Limites e Continuidade de Funções de várias...

Limites e Continuidade de

Funções de várias variáveis

Seção 14.2

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Vamos comparar o comportamento das funções 𝑓 e 𝑔:

𝑓 𝑥, 𝑦 =sin 𝑥2+𝑦2

𝑥2+𝑦2 𝑔 𝑥, 𝑦 =

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2

Pelos dados numéricos intui-se que:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

sin 𝑥2+𝑦2

𝑥2+𝑦2= 1 e lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2= ∄

Section 14.2

A

Sec14-1figs19c-d.avi




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Gráfico da função 𝑓 𝑥, 𝑦 =

sin 𝑥2+𝑦2

𝑥2+𝑦2

Section 14.2

A

x

z

x

z

y

z

Gráficos da função

𝑔 𝑥, 𝑦 =𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2





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Definição: Seja 𝑓 uma função de duas variáveis cujo domínio 𝐷 contém

pontos arbitrariamente próximos de (𝑎, 𝑏). Dizemos que: lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿,

se para 휀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 correspondente, tal que, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 𝑒

0 < 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 < 𝛿, então 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 휀

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TESTE DOS DOIS CAMINHOS:

Section 14.2

A

Se 𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝐿1 quando (𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏) ao longo do caminho 𝐶1 e

𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝐿2 quando (x, y) → (𝑎, 𝑏) ao longo do caminho 𝐶2, com

𝐿1 ≠ 𝐿2, então lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓 𝑥, 𝑦 = ∄ .





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Avalie a existência do limite das funções a seguir:

𝑎) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2 − 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2

b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2

𝑐) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑦𝑥2

𝑥4+𝑦2

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A





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Teorema do Confronto:

Seja g(x, y) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ 𝑥, 𝑦 tal que 0 < 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 < 𝛿 , com 𝛿 > 0.

Se lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑔 𝑥, 𝑦 = lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝐿 então lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓 𝑥, 𝑦 existe e

lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓 𝑥, 𝑦 = L.

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A





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Utilize o Teorema do Confronto para encontrar o limite:

𝑎) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

3𝑦𝑥2

𝑥2 + 𝑦2

b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3

𝑥2 + 𝑦2

𝑐) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥 𝑠𝑒𝑛1

𝑥2+𝑦2

𝑑) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑦

𝑥2 + 2𝑦2

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A





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CONTINUIDADE

Definição: Uma função 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ é dita contínua em (𝑎, 𝑏) se

1. 𝑓 for definida em (𝑎, 𝑏);

2. lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒;

3. lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑎, 𝑏)

• A função será contínua se for contínua em todos os pontos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷.

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• As funções polinomiais 𝒄𝒙𝒎𝒚𝒏, com 𝑐 constante e 𝑚 e 𝑛 inteiros

não negativos são contínuas em ∀(𝑥, 𝑦) (ℝ2). Ex. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑥2𝑦3 + 5𝑥6 + 𝑥8𝑦3

• As funções racionais são contínuas em todo o seu domínio.

Ex. 𝑓 𝑥, 𝑦 =2𝑥𝑦+𝑦2

𝑥2+𝑦2, com (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

• Combinações algébricas contínuas são contínuas.

Ex. 𝑒𝑥−𝑦, cos𝑥𝑦

𝑥2+1 , ln(1 + 𝑥2 𝑦2)

• As propriedades dos limites de funções de uma variável se estendem

para funções de várias variáveis.

•

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Avalie se as funções a seguir se são contínuas ou não.

𝑎)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = 0,0 no ponto (0,0).

b)𝑓 𝑥, 𝑦 =

3𝑥2𝑦

𝑥2 + 𝑦2, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = 0,0

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Section 14.2

A




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Section 14.2

𝑎) lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠: Determine o limite das funções a seguir, caso exista,

ou mostre que o limite não existe.

𝑏) lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(3,0,1)

𝑒−𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑧

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