linha poligonal fechada
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POLÍGONOS TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS
Nuno Marreiros
7º ANO
Polígonos
Antes de começar
Não é possível pois uma circunferência não é formada por segmentos de reta.
Nem tudo o que parece é …
Segmento de reta é a linha mais curta que une
dois pontos.
Notação:
O segmento de reta
representa-se por [CD].
Segmento de reta
Uma linha poligonal ou linha quebrada é aquela
que é formada por sucessivos segmentos de reta,
tendo, dois a dois apenas um extremo comum.
Linha poligonal
Uma linha poligonal fechada é uma linha poligonal
cujos extremos coincidem.
Linha poligonal fechada
Exercício:
Das figuras que se seguem, indica as linhas
poligonais fechadas.
Vamos praticar … Linha poligonal fechada
Chama-se polígono a toda a linha poligonal fechada simples, incluíndo
os pontos da região interna que essa linha determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
Polígonos
Elementos de um polígono
No polígono ABCDE temos que:
A
B
C D
E
• Os segmentos
são os lados do polígono;
, , , ,AB BC CD DE EA
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices
do polígono;
• Os segmentos
são as diagonais do polígono;
, , , ,AC AD BD BE CE
• são os ângulos internos
do polígono;
ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não
consecutivos desse polígono.
Exercício:
Das figuras que se seguem, indica as que
representam polígonos.
Vamos praticar … Polígonos
São polígonos que têm os lados congruentes e os
ângulos também congruentes.
São os que não são regulares.
Regulares
Irregulares
Triângulo equilátero Quadrado
Classificação de polígonos quanto aos lados e ângulos
A fronteira de um polígono é linha poligonal
fechada que separa o interior e o exterior de um
polígono.
Fronteira de um Polígono
Um polígono diz-se convexo quando o
segmento de reta que une dois pontos
quaisquer da sua região interna está
sempre contido nela.
Polígonos convexos Polígonos côncavos
Um polígono diz-se côncavo
quando existem dois pontos da
sua região interna tais que o
segmento de reta por eles
determinado não está contido nela.
A
B
A
B
São polígonos convexos São polígonos côncavos
Polígonos convexos e côncavos
Vamos praticar … Polígonos convexos e côncavos
i1
i2
i3
i4
e1
e2
e3 e4 i1 + e1 = 180°
i2 + e2 = 180°
i3 + e3 = 180°
i4 + e4 = 180°
A
B
C
D
Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares (180º).
Vértice A
Vértice B
Vértice C
Vértice D
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono
Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
a
b
n
A
B C
r
Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A.
m
c
Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respetivamente.
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
Como r // BC, temos m = b e n = c
(alternos internos)
Como a + m + n = 180° Conclui-se que a + b + c = 180°
I
II
Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer.
Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero.
Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos.
A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180°.
Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 2 x 180° = 360°.
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono qualquer.
Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo vértice.
A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180° = 540°.
I
II
III
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
S3 = 180° x 1 S4 = 180° x 2
(3 – 2) (4 – 2)
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
S5 = 180° x 3 S6 = 180° x 4
(5 – 2) (6 – 2)
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
Si = 180° x (n – 2)
A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é dada por:
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo qualquer.
A
B C
i1
i2 i3
e1
e2
e3
i1 + e1 = 180°
i2 + e2 = 180°
i3 + e3 = 180°
Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180°.
+ Se = 180° ∙ 3 Si
+ Se = 540° 180°
Se = 360°
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono qualquer
Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com
vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º).
Nome Polígonos Número
Triângulo 3
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octógono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Classificação de polígonos quanto ao número de lados
Um polígono com n lados chama-se polígono de n lados.
Número de
ladosPolígonos
1 Não existe
2 Não existe
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
Número de
ladosPolígonos
11 Undecágono
12 Dodecágono
13 Tridecágono
14 Tetradecágono
15 Pentadecágono
16 Hexadecágono
17 Heptadecágono
18 Octadecágono
19 Eneadecágono
20 Icoságono
Classificação de polígonos quanto ao número de lados
Exercício:
Considera os seguintes polígonos e classifica-os
quanto ao número de lados.
Triângulo Heptágono
Eneágono Quadrilátero
Vamos praticar … Número de lados de um polígonos
Páginas Exercícios
18 1 e 2
19 3, 4, 5 e 6