LINHAS de TRANSMISSÃO e GUIAS de ONDA

As linhas de transmissão são os elementos que interligam dois pontos com o intuito de

transferir potência. Um exemplo típico é a interligação de um transmissor e uma antena e em geral

as linhas são compostas por dois condutores separados por um dielétrico (isolante).

Em relação à distribuição física dos condutores as linhas são divididas em bifilares e

coaxiais, Figura 3.1. As linhas bifilares são ditas balanceadas e estão mais sujeitas a irradiação e

captação de ondas eletromagnéticas inclusive ruído, que as linhas coaxiais ditas não balanceadas.

Figura. 3.1 (a) Linha bifilar (balanceada), (b) Linha coaxial (desbalanceada)

3.1 Circuito Elétrico Equivalente

As linhas de baixas perdas (lossy line), Figura 3.2, são representadas pelos parâmetros distribuídos

indutância L, pela resistência R, pela capacitância C e pela condutância G, todos estes parâmetros

referidos por metro de linha. A impedância resultante Z0 é chamada de impedância característica e

independe da frequência e do comprimento físico desta linha e é determinada pela Equação 3.1.

CjG

LjR

Y

ZZ

0 (3.1)

Na faixa de radio frequência a reatância indutiva é muito maior que a resistência. A

susceptância capacitiva muito maior que a condutância. Estas linhas são chamadas sem perdas

(lossless line), Figura 3.3, e a impedância característica Z0 resultante é puramente resistiva

conforme Equação 3.2.

Figura3.2 lossyline - Modelo de parâmetros

distribuídos

3.2 Linhas Bifilares e Coaxiais

A impedância característica para as linhas bi filares e coaxiais muito utilizadas na prática

depende das suas especificidades físicas ou parâmetros de construção. As linhas estão representadas

nas Figuras 3.4 (a) e (b). As Equações 3.3(a) e (b) são para o cálculo das impedâncias

características.

A Figura 3.5 ilustra dois tipos diferentes de cabos coaxiais, o cabo coaxial grosso que

permite maior largura de banda e foi muito utilizado em redes de locais de grande tráfego e o cabo

coaxial fino para menores taxas de tráfego de dados.

Figura 3.3 lossless line - Modelo de parâmetros distribuídos

(3.2)

Figura. 3.4 (a) Linha Bi filar e (b) Coaxial

Comprimento

C

LZ 0

dielétricodorelativaeléticadadePermissivi

ernocondutordodiâmetrod

blindagemexternocondutordodiâmetroD

bd

DZCoaxial

condutoresdosdiâmetrod

condutoresosentreespaços

ad

sZBifilar

r

r

r

int

)(

3.3log138

:

3.32

log276

:

0

0

Figura 3.5 Exemplos de diferentes cabos coaxiais: Banda Base e Banda Larga

A Tabela 3.1 traz alguns cabos coaxiais que ainda são muito encontrados em redes de

comunicação em locais que requerem alguma imunidade ao ruído eletromagnético.

Tabela 3.1 Características elétricas e mecânicas de cabos coaxiais de 50 Ohms

Exemplo 3.1: Um cabo coaxial de 75 Ω de impedância característica e capacitância nominal 69

pF/m. Qual a indutância por metro? Sendo o diâmetro do condutor igual a 0,584 mm, e a constante

dielétrica igual a 2,23. Qual o diâmetro do outro condutor?

mmdDd

DZ

mHLC

LZ

rZ

r

78,3584,0.10.10log138

/388,010.69.75

138

23,275

1380

122

0

0

Exemplo 3.2:Qual a impedância característica mínima de uma linha paralela de dielétrico o ar?

08,832log1

276) quando mínima Impedância(

2log

27600 Zds

d

sZ

r

Exemplo 3.3:Um cabo coaxial tem condutor com diâmetro 0,025 mm e constante dielétrica relativa

igual a 2,56, se a impedância característica for 2 kΩ, qual o diâmetro da blindagem?

luzanosou

kmmmdDrZ

40910.44,9

10.86,3

10.86,310.86,3025,0.10.10

12

15

1521138

56,22000

138

0

Perdas em Linhas de Transmissão: As perdas são tabeladas e expressas em dB/100m,

Tabela 3.1.

- Irradiação:As linhas irradiam parte do sinal como se fossem antenas. As bifilares estão mais

sujeitas a irradiação do que as coaxiais, conforme dito antes, e o efeito é acentuado com o aumento

da frequência.

- Aquecimento do Condutor:Por efeito Joule 2RI . Como a resistência aumenta com a frequência

(efeito pelicular ou skin) a perda aumenta e é proporcional ao comprimento. Parte da energia pode

ser refletida pela carga (não casamento de impedâncias), aumentando mais o aquecimento da linha.

- Aquecimento do Dielétrico:É proporcional a tensão e ao comprimento, inversamente a

impedância característica e aumenta com a frequência para dielétricos sólidos.

3.3 Casamento de Impedâncias

Para que a máxima potência seja transferida da linha para a carga, as impedâncias devem

ser uma o conjugado complexo da outra (Teorema da Máxima Transferência de Potência), senão

parte do sinal será refletido, provocando o aparecimento de ondas estacionárias ao longo da linha,

Figura 3.6. Esta energia refletida pode danificar o transmissor. A relação entre a corrente máxima e

a mínima é chamada relação de onda estacionária ROE ou SWR (Standing Wave Ratio) ou ainda

VSWR (Voltage Standing Wave Ratio). As Equações 3.4 (a) e (b) calculam a SWR que

necessariamente é maior que um, se não houver casamento de impedâncias.

LinhadeimpedânciaZdeimpedânciaZonde

bZZseZ

ZSWRZZse

Z

ZSWR

MínimaTensãoVMáximaTensãoV

aV

VSWR

OL

LO

L

OOL

O

L

MINMAX

MIN

MAX

carga:

4.3

4.3

A relação entre as potencias ou tensões refletida (Vref) e incidente (Vinc) pela carga também

pode ser calculada pela relação de onda estacionária ou pelas impedâncias, Equações 3.5 (a) e (b).

A relação é o módulo do coeficiente de reflexão e representada pela letra grega gama maiúscula

.

bZZ

ZZ

SWR

SWR

aV

V

P

P

L

L

inc

ref

inc

ref

5.31

1

5.3

0

0

Linha

4

A

B

Equivalente

Figura. 3.7 Linha e Equivalente Elétrico

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

Figura 3.6 Distribuição da corrente e tensão

3.5 Equivalente Elétrico em função do comprimento da linha

As linhas de transmissão de quarto de comprimento de onda, terminadas em curto, se comportam

como circuito LC sintonizado paralelo. As linhas terminadas em aberto como um circuito série.

Variando o comprimento destas linhas em torno de 4/ temos os circuitos equivalentes, Figura 3.7.

Exemplo 3.4: Uma portadora de 27 MHz com segundo harmônico igual a 54 MHz causa

interferência em receptores de TV próximos. Para eliminar o sinal de 54 MHz na antena pode-se

usar um toco de linha ligado em paralelo (stub) de 2/ terminado em curto ou um stub de 4/

terminado em aberto conforme circuitos equivalentes ilustrados na figura 3.8.

Abertom

Fechadom

mHz

sm

f

vfv

38,14

5556,5

4

78,22

5556,5

2

5556,510.54

/10.3.

6

8

Na prática o toco terminado em aberto não é muito utilizado por irradiar ou captar ruído

pela parte aberta. Pode-se então conectar um toco de linha terminado em curto, no curto a tensão é

igual a zero e a 2/ do curto, ou seja, na antena ou carga a tensão referente ao 2º harmônico É

igual à zero.

3.4 Carga Puramente Resistiva

Para fazer o casamento de impedância entre a linha de transmissão de impedância característica Z0

e a carga de impedância real (resistência) ZL, ZIN na entrada do arranjo trafo mais carga deve ser

igual à Z0. Utilizando um transformador (Trafo) de quarto de onda, de impedância ZT, conectado

diretamente a carga e a linha, Figura 3.8. Os trafos, na verdade, são linhas de transmissão com

comprimento igual a um quarto do comprimento de onda. A impedância ZIN na entrada do arranjo

trafo mais carga é calculada pela Equação 3.6.

Isolando ZT na Equação 3.6 temos a Equação 3.7.

L

TIN

Z

ZZZ

2

0 (3.6)

LT ZZZ 0 (3.7)

Figura. 3.8 Trafo de quarto de onda ligado à carga

Exemplo 3.5:Ligar uma carga de impedância ZL de 200 Ω a uma linha de impedância característica

Z0 igual a 300 Ω, para que SWR seja reduzida a um podemos usar um transformador de quarto de

onda de impedância ZT. Da Equação 3.7, temos:

2453002000 LT ZZZ

3.6 Carga Complexa

Com a carga complexa conectada, a tensão e a corrente tem seus valores variado ao longo da linha,

consequentemente a impedância também varia, vide Figura 3.7.

Para impedância de carga puramente resistiva o trafo de 4/ ligado entre a linha e a carga

resolve bem o problema e “casa as impedâncias” evitando a reflexão de energia. Sendo a carga

complexa, pelo teorema da máxima transferência de potencia, devemos casar as impedâncias

anulando a parte reativa, além de igualar a parte real. O trafo pode ser ligado em série, mas

colocado a certa distância da carga. Outra alternativa é ligar em paralelo um toco de linha (stub).

Somando duas admitâncias em que as susceptâncias tenham mesmo módulo e sinal contrário é

possível anular a parte complexa, restando apenas a parte real.

Os cálculos tanto para o trafo de 4/ como para o stub são muito facilitados com o uso de

solução gráfica de fácil compreensão através da utilização da carta de Smith.

3.6.1 Carta de Smith

Na carta, Figura 3.9, uma volta completa no sentido horário representa deslocar-se ao longo

da linha de transmissão a uma distância de meio comprimento de onda 2/ da carga em direção

a fonte.

Os círculos da carta representam os valores reais da impedância normalizada (r = resistência

elétrica) ou valores reais da admitância (g = condutância).

Os arcos que iniciam do lado direito da carta representam as partes imaginárias da

impedância normalizada (+jXL = reatância indutiva ou -jXC = reatância capacitiva) ou valores

imaginários da admitância (-jBL = susceptância indutiva ou +jBC = susceptância capacitiva). A

carta que usamos é geral e não para uma impedância específica de linha de transmissão, portanto é

necessário normalizar a impedância da carga, para isto basta dividir a impedância de carga pela

impedância da linha que estiver sendo utilizada no projeto, o Exemplo 3.7 ilustra como localizar

alguns valores na carta.

Exemplo 3.7: Como inserir pontos na carta e fazer a leitura dos valores dos mesmos utilizando a

carta de Smith normalizada para a linha sem perdas.

Considerando linha lossless de impedância característica 3000Z e carga 150150 jZL ,

normalizando a impedância de carga 5,05,0300

150150j

j

com isto plotamos, Figura 3.9, o

ponto P e com o centro da carta e traçamos o circulo de (SWR=2,6), o ponto Q = 1,0-j1,0

(admitância) é dado pela intersecção do círculo com o prolongamento da reta P pelo cento da carta.

A uma distância 1,0 da carga, ao longo da linha em direção da fonte, a impedância normalizada é

1,14,1 j . Multiplicando o valor determinado (normalizado) pela impedância da linha temos o

valor 300+j330 Ω.

3.6.2 Trafo de quarto de onda e carta de Smith

Utilizando Trafo de quarto de onda (ligação em série) os passos a seguir servem como

roteiro para aplicação prática da carta ao Exemplo 3.8

1. Calcular a impedância de carga normalizada.

2. Localizar o ponto A referente à impedância normalizada na carta.

3. Traçar o círculo da SWR e a reta que une o centro ao ponto A determinado anteriormente.

4. Percorrendo o circulo SWR no sentido horário até encontrar a reta de valores apenas reais e

marcar o ponto de intersecção B.

5. Traçar a reta que une o centro ao ponto B anterior.

6. Determinar a distância entre a carga e o trafo pelo ângulo entre as retas.

7. Conectar o trafo a carga, a admitância resultante é somente a condutância (parte real) da carga.

8. Transformar a condutância em resistência e calcular TZ do trafo de 4/ .

Figura. 3.9 Carta de Smith para o Exemplo 3.7

Exemplo 3.8: Conectar (em série) a certa distância da carga e ao longo da linha um trafo de quarto

de onda, determinado utilizando a Carta de Smith, capaz de reduzir a SWR a um. Frequência igual

a 300 MHz, carga 50100 jZL e linha 750Z . Calcular :

(a) O ponto mais próximo à carga para conectar o trafo de 4/ .

(b) ZT do trafo.

Solução:(a) Normalizar m.

.,j,

jZL 1

10300

103670331

75

501006

8

plotamos o

ponto A e o círculo SWR = 1,9, Figura 3.11. Onde o círculo SWR encontrar o eixo r (puramente

resistivo) no sentido horário, partindo do ponto A determinamos o ponto B. A distância é

184,0316,0500,0 ou 0,184 m e o valor da resistência é 83975530530 ,.,ou,r .

60547539750 ,,.ZZZ)b( RT

Figura. 3.10 Cálculo da posição do trafo de 4/ utilizando a carta de Smith

3.6.3 STUB e carta de Smith

Utilizando stub (ligação em paralelo) devemos além de determinar à posição onde o mesmo será

conectado a linha e partindo da carga, devemos determinar o comprimento deste mesmo stub

conforme Figura 3.11.

Figura 3.11 Variações da distância a carga e comprimento do stub

Os passos a seguir e o Exemplo 3.9 servem para ilustrar a aplicação do stub:

1. Calcular a impedância de carga normalizada.

2. Localizar o ponto P referente à impedância normalizada na carta. 3. Traçar o círculo da SWR e a

reta que une o centro ao ponto determinado anteriormente.

3. Localizar o ponto Q referente a admitância, este ponto é a intersecção entre o prolongamento da

reta e o círculo SWR.

4. Percorrendo o circulo SWR no sentido horário até encontrar o círculo r=1 e marcar o ponto de

intersecção R.

5. Traçar a reta que une o centro ao ponto anterior R.

6. Determinar a distância entre a carga e o stub pelo ângulo entre as retas.

7. A parte imaginária do R é utilizada para determinar na outra porção da carta o ponto S.

8. Traçar a reta determinada pelo centro e por S.

9. A distância entre a carga e o stub é determinada pelo ângulo entre a reta traçada anteriormente e

a reta real.

Exemplo 3.9: Carga 600450 jZL e f = 10 MHz é conectada a linha 3000Z . Calcular a

posição e o comprimento do stub.

Normalizar m.

.,j,

jZL 30

1010

1030251

300

6004506

8

e plotar o ponto P e o circulo SWR =

4,6 (Figura 3.13) o ponto Q é a intersecção da reta com o círculo de SWR Q( 32,024,0 jYL ). O

ponto R jB1 é a 1ª intersecção do circulo e condutância normalizada (G = 1 ou r = 1), R

7,11 j a distância entre Q e R é à distância da carga que o stub deve ser conectado a linha,

,,,,dstub 1300051018101 m,.,dstub 9033013001

Como a susceptância da linha onde o stub esta conectado é igual a + j 1,7 a susceptância do

stub deve ser – j 1,7 para resultar nula a susceptância marca-se o ponto S e a distância entre S e o

eixo real r = 0 é o comprimento do stub 085,0250,0335,01 stubL , m,.,L mstub 5523008501

P/ o gerador

Distância do STUB

Comprimento do STUB

A segunda intersecção do circulo e condutância normalizada (G=1 ou r = 1), R’ 7,11 j e

repetindo os procedimentos anteriores tem-se um segundo ponto e um novo comprimento

alternativo para o stub.

Exercícios P

Figura. 3.13 Posicionamento e comprimento do stub para casamento de impedâncias

EXERCÍCIOS

(3.1)Uma linha de transmissão sem perdas tem capacitância paralela igual a 100 pF/m e indutância

série de 4 µH/m. Qual a impedância característica?

(3.2) O condutor externo de uma linha coaxial tem diâmetro 6 mm, impedância característica 50 e

constante dielétrica 1,60. Qual o diâmetro do condutor interno?

(3.3) Uma linha de 300 terminada numa carga puramente resistiva tem tensão máxima 7,5V e

tensão mínima 5,0V. Qual o valor da resistência de carga?

(3.4) Um transformador de quarto de onda interliga uma linha de 75 a uma carga de 50. Qual a

impedância característica deste transformador?

(3.5) A relação de ondas de onda estacionária em uma linha de impedância característica 150, é

igual a 3. Para reduzir a VSWR a 1 quais valores possíveis para o trafo de quarto de onda?

(3.6) A velocidade de uma OEM dobra quando esta onda passa de uma linha com 4r para um

guia de onda com que valor de r ?

(3.7) O condutor externo de uma linha coaxial tem diâmetro 6 mm, impedância característica 50

e constante dielétrica 1,60. Qual o diâmetro do condutor interno?

(3.8) Determinar a relação de onda estacionária e corrigir para SWR igual a 1, utilizando um trafo

de quarto de onda, sendo as impedâncias da linha e antena iguais a 600 Ω e 150 Ω respectivamente.

(3.9) O que é um balun (“balanced" + "unbalanced”)e qual a sua principal aplicação?

(3.10) A relação de onda estacionária em uma linha de transmissão de impedância 600 , ligada a

certa carga, é igual a 6. Quais as impedâncias (em ) de um trafo de quarto de onda capaz de

reduzir a SWR para o valor ideal?

(3.11) Uma linha de transmissão bifilar tem diâmetro dos condutores igual à 1,00 mm e distância

entre eles igual à 5,00 mm, sendo a constante dielétrica do isolante entre os condutores igual à

1,215. Determinar a impedância característica desta linha em Ohm.

(3.12) Linha de 150 conectada a uma carga de impedância )75225( j . Com a carta de Smith

achar a SWR, menor distância à carga do trafo de 0'4/ Ze .

(3.13) Carga 450250 jZL e linha 3000Z . Calcular

(a) O ponto mais próximo à carga para conectar o trafo de 4/ .

(b) 0'Z do trafo.

(3.14) Calcular o comprimento de uma linha terminada em aberto se a admitância de entrada e a

impedância característica são respectivamente 5010.80 0

3 ZeSjYin

(3.15) Uma linha de 500Z terminada numa carga )5050( jZL .

(a) Determinar a SWR e LY

(b) Determinar a posição e o comprimento do stub.

(c) Determinar a posição e o 0'Z do trafo.

(3.16) Linha 50 Ohm, carga 100 Ohm e 63 MHz.

(a) Achar o stub.

(b) passando a frequência para 70 MHz qual a nova SWR?

- Anotações: