Preparatrio IME ITA

Listas de Treinamento

Prof. Martins Rama Geometria Plana Lista M01-16

Braslia, fevereiro de 2016. 1

01. (EN) Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e

6 cm e uma de suas diagonais mede 8 cm . Quanto mede a

outra diagonal?

02. Prove que a altura de um trapzio retngulo, cujas

diagonais so perpendiculares entre si, dada pela mdia

geomtrica das bases.

03. (ITA) Um tringulo retngulo est simultaneamente

circunscrito a uma circunferncia 1C e inscrito em uma

circunferncia 2C . Sabendo-se que a soma dos

comprimentos dos catetos do tringulo vale k cm, qual ser

a soma dos comprimentos dessas duas circunferncias, em

funo de k ?

04. Trs polgonos convexos tm nmeros de lados iguais a

trs naturais consecutivos. Sabendo que a soma dos nmeros

de diagonais dos polgonos 133, calcule o nmero de lados

do polgono de maior gnero.

05. (CN) Considere um tringulo retngulo e uma

circunferncia que passa pelos pontos mdios dos seus trs

lados. Se x , y e z ( )x y z< < so as medidas, em graus, dos arcos dessa circunferncia, exteriores ao tringulo, que

relao existe entre x , y e z ?

06. Seja ABCD um trapzio de bases 7AB cm= e

3CD cm= e lados no paralelos AD e BC . Se 43A =

e 47B = , calcule a distncia entre os pontos mdios das bases do trapzio.

07. So dados no plano um paralelogramo ABCD , de

diagonais AC e BD , e uma reta r que no intersecta

ABCD . Sabendo que as distncias dos pontos A , B e C

reta r so respectivamente iguais a 2 cm , 3 cm e 6 cm ,

calcule a distncia do vrtice D a r .

08. Na figura abaixo, 1PP a= e 1 2P P b= . Calcule o

limite da soma 1 1 2 2 3 3 4 ...PP PP P P P P+ + + +

09. Pelo ponto de concurso das diagonais de um trapzio

traa-se uma reta paralela s bases. Prove que o segmento

desta paralela, limitado pelos lados no paralelos, igual

mdia harmnica das bases.

10. Sejam ABCD um quadrado de diagonais AC e BD e

E um ponto sobre o lado CD , tal que AE AB CE= + . Sendo F o ponto mdio do lado CD , prove que

2EAB FAD= .

11. (IME) No tringulo ABC , AH a altura relativa de

BC , com H localizado entre B e C . Seja BM a mediana

relativa de AC . Sabendo que 4BH AM= = , determine a soma dos possveis valores inteiros de BM .

12. (IME) Seja x o valor do maior lado de um

paralelogramo ABCD . A diagonal AC divide o ngulo

DAB em dois ngulos, iguais a 30 e 15 . A projeo de cada um dos quatro vrtices sobre a reta suporte da diagonal

que no o contm forma o quadriltero ' ' ' 'A B C D . Calcule

o permetro de ' ' ' 'A B C D .

13. (ITA) Num tringulo ABC o lado AB mede 2 cm , a

altura relativa ao lado AB mede 1 cm , o ngulo ABC

mede 135 e M o ponto mdio de AB . Calcule, em radianos, a medida de BAC BMC+ .

14. (ITA) Entre duas superposies consecutivas dos

ponteiros das horas e dos minutos de um relgio, o ponteiro

dos minutos varre um ngulo x . Qual a medida de x em

radianos?

15. (ITA) Em um tringulo de vrtices A , B e C , a altura,

a bissetriz e a mediana, relativamente ao vrtice C , dividem

o ngulo BCA em quatro ngulos iguais. Se a medida do lado oposto ao vrtice C , calcule a medida da mediana

(em funo de ) e as medidas dos ngulos internos do

ABC .

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Respostas

01. 2 10 cm

03. k

04. 12

05. 0x y z+ =

06. 2 cm

07. 5 cm

08.

2a

a b

11. 13

12. ( )2 3 - 1 x+

13. 4

14. 24

11

15. 2

e

3 4, ,

8 8 8

O professor Martins Rama formado em

Engenharia pelo IME, turma de 2002, possui

mestrado em Matemtica pela UnB e prepara

jovens para as escolas militares desde 2004.