Lista 1 - II Unidade

Álgebra Linear Prof. Henrique Plínio [email protected]

FAMEC Faculdade Metropolitana de Camaçari

Engenharias - Ciclo Básico

1. Dados os espaços vetoriais V abaixo verifique, em cada caso, se S é subespaço vetorial de V

sobre R.

a) b) V =

a.1) S = {(x,y) V; y = 3x} b.1) S = {(x,y,z) V; x+y+z=1}

a.2) S = {(x,y) V; y = -2x+1} b.2) S = {(x,y,z) V; x = 2y+z }

a.3) S = {(x,y) V; y = b.3) S = {(x,y,z) V; xz = 0}

a.4) S = {(x,y) V; y = x2} b.4) S = {(x,y,z) V, y 0}

c) V =

c.1) S =

c.2) S =

c.3) S =

c.4) S =

2. Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = (0,-2,2) e v = ( 1,3,-1)?

a) (2,2,2) b) (3,1,5) c) (0,4,5) d) (0,0,0)

3. Expresse, se possível, os seguintes vetores como combinações lineares de u = (2,1,4)

v = (1,-1,3) e w = (3,2,5).

a) (-9, -7, -15) b) (6,11,6) c) (0,0,0) d) (7.8.9)

4. Expresse os seguintes vetores como combinações lineares dos vetores p1 = 2 + x + 4x2,

p2 = 1 – x + 3x2 e p3 = 3 + 2x + 5x

2.

a) - 9 – 7x – 15x2 b) 6 + 11x + 6x

2 c) 0 d) 7 + 8x + 9x

2

Docente: Henrique Plinio Disciplina: Álgebra Linear 2013.1

Discente: Carga Horária: 80 horas

Lista 1 II Unidade


5. Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de A =

, B =

e

C =

?

a)

b)

c)

d)

6. Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos do conjunto S,

sendo:

a)

b) v = (2,7) e S = {(1,0), (2,9)}

c) v = (0,0,3) e S = {(2,00),(0,1,0)}

d) v = (4, 5, -1) e S = {(1,1,1),(1,2,0),(2,3,-1)}

e)

7. Sejam os vetores u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4) em

a) Escreva o vetor w = (7,-11,2) como combinação linear de u e v.

b) Para que valor de k o vetor (-8, 14, k) é combinação linear de u e v?

c) Determinar uma condição entre a, b, e c para que o vetor (a,b,c) seja uma combinação linear

de u e v.

8. Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt + c/ a, b, c } os vetores p1 = t

2 – 2t +1, p2 = t + 2

e p3 = 2t2 – t.

a) Escrever o vetor p = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1,p2 e p3.

b) Escrever o vetor p = = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1 e p2.

c) Determinar uma condição para a, b, e c de modo que o vetor at2 + bt + c seja combinação

linear de p2 e p3.

9. Considere os vetores

.


a) Escreva

como combinação linear de . Esta combinação linear é

única?

b) Escreva u como combinação linear de Esta combinação linear é única?

c) Verifique se

pode ser escrito como uma combinação linear de ?

10. Mostre que os vetores = (2,1) e = (1,1) geram o

11. Mostre que os vetores = (1,1,1), = (0,1,1) e = (0,0,1) geram o .

12. Seja S o subespaço do definido por:

S = { (x,y,z,t)

Pergunta-se:

a) (-1, 2, 3,0)

b) (3,1,4.0)

c) (-1, 1, 1,1)

13. Determinar os subespaços do gerados pelos seguintes conjuntos:

a) A = {(2,-1,3)}

b) A = {(-1, 3,2), (2,-2,1)}

c) A = {(1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0)}

d) A = {(-1, 1,0), (0, 1, -2), (-2, 3,1)}

e) A = {(1, 2, -1), (-1, 1,0), (-3, 0,1), (-2, -1,1)}

f) A = {(1, 2, -1), (-1, 1,0), (0,0,2), (-2,1,0)}

14. Em cada parte, determine se os vetores dados geram o .

a) = (2,2,2), (0,0,3) e (0,1,1)

b) = (2,-1,3), (4,1,2) e (8,-1,8)

c) = (3,1,4), (2,-3,5) , (5,-2,9) e (1,4,-1)

d) = (1,2,6), (3,4,1) , (4,3,1) e (3,3,1)

15. Seja o conjunto A = { }, sendo = (-1, 3, -1) e = (1,-2,4) . Determinar:


a) O subespaço G(A).

b) O valor de k para que o vetor v = (5,k,11) pertença a G(A).

16. Sejam os vetores = (1,1,1), = (1,2,0) e = (1,3,-1). Se (3,-1,k) [ ], qual o

valor de k?

17. Determinar os subespaços de (espaço vetorial dos polinômios de grau 2) gerados pelos

seguintes vetores:

a)

b)

c)

18. Seja o espaço vetorial . Determinar seus subespaços gerados pelos vetores

a)

b)

19. Determinar o subespaço de gerado pelos vetores u = (2,-1,1,4), v = (3,3,-3,6) e w =

(0,4,-4,0).

20. Verificar se o vetor v = (-1, -3, 2,0) pertence ao subespaço do gerado pelos vetores

.

21. é gerado por

22. é gerado por

23. é gerado por

24. é gerado por

25. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:

a) S = {(x, y, z) , x + z = 0 e x – 2y = 0}

b) S = {(x,y,z) , x + 2y – 3z = 0 }.

c) S =


d) S =

e) S = {(x, y, z, t) /

f) ) S = {(x,y,z,t) /


Respostas

1) a.1) sim a.2) não a.3) não a.4) não

b.1) não b.2) sim b.3) não b.4) não

c.1) sim c.2) não c.3) sim c.4) não

2) a,b,d

3) a) (-9,-7,-15) = -2u + v - 2w b) (6,11,6) = 4u – 5v + w

c) (0,0,0) = 0u + 0v + 0w d) (7,8,9) = 0u – 2v + 3w

4) a) b)

c) d)

5) a,b,c

6) a)

=

b) (2,7) =

c) Não é possível

d) (4, 5, -1) = 1(1,1,1) – 1(1,2,0) + 2(2,3,-1)

e) Não é possível.

7) a) w = 3u – v b) k = 12 c) 16 a + 10b - c = 0

8) a) b) Não é possível

c) a + 2b – c = 0 d) Não é possível

9) a)

b)

c) Não é possível

10)

11)

12) a) sim b) não c) não


13)

b) 7

c)

d)

e)

f)

14) a) geram b) não geram c) não geram d) geram

15) a) G(A) = b) k = -13

16) k = 7

17) a) b) c)

18) a)

b)

19)

20 Pertence 21) Não 22) Sim

23) Sim 24) Não

25) a)

b)

c)

d)

e)

f) {(1,1,0,0),(0,0,1-1)}

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