Lista 1 - MAT5719 - Cálculo Diferencial Geométrico no Rn
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MAT5719 - Cálculo Diferencial Geométrico no R n 14 de janeiro de 2010 Lista de Exercícios 1 1. Sej am D ⊂ R n e p ∈ R n . Mostre que são equivalentes: (a) p é ponto de acumulação de D, (b) ∀r > 0 B r ( p) contém infinitos pontos de D, (c) ∃ x n ∈ D\{ p} com x n → p. Demonstração. Defino B r ( p) = B r ( p)\{ p}. 1a= ⇒ 1b: Suponha que existe r > 0 tal que A r = B r ( p) ∩ D tenha um número finito de elementos. Se A r = ∅ então p não é ponto de acumulação. Caso contrário, seja δ = min{d ( x, p) : x ∈ A r }. Temos que A δ = ∅ e, de novo, p não é ponto de acumulação . Outra forma de fazer: Do fato de p ser ponto de acumulação de D, temos, dado r 1 > 0 existe x 1 ∈ B r 1 ( p) ∩ D ∅ . Defino, para n > 0, r n+1 = d ( x n , p) > 0 e escolho x n ∈ B r n ( p) ∩ D. Isso define uma sequência não constante (não necessariamente convergente) em B r 1 ( p) ∩ D. Pela arbitrariedade de r 1 temos 1b. 1b = ⇒ 1c: Esco lha uma sequ ênci a r n > 0 tal que r n → 0. Então esco lha x n ∈ B r n ( p)∩ D. x n → p pois ∀ > 0 ∃n 0 ∈ N tal que r n < e x n ∈ B ( p) ∩ D. 1c = ⇒ 1a: Dado > 0 existe n 0 ∈ N tal que n > n 0 = ⇒ x n ∈ B ( p) ∩ D, de modo que ∀ > 0, B ( p) ∩ D ∅ . 1
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MAT5719 - Clculo Diferencial Geomtricono Rn
14 de janeiro de 2010
Lista de Exerccios 11. Sejam D Rn e p Rn. Mostre que so equivalentes:
(a) p ponto de acumulao de D,
(b) r > 0 Br(p) contm infinitos pontos de D,(c) xn D\{p} com xn p.
Demonstrao. Defino Br(p) = Br(p)\{p}.1a= 1b:Suponha que existe r > 0 tal que Ar = Br(p)D tenha um nmero finito deelementos. Se Ar = ento p no ponto de acumulao. Caso contrrio,seja = min{d(x, p) : x Ar}. Temos que A = e, de novo, p no pontode acumulao.
Outra forma de fazer:
Do fato de p ser ponto de acumulao de D, temos, dado r1 > 0 existex1 Br1(p) D , . Defino, para n > 0, rn+1 = d(xn, p) > 0 e escolho xn Brn(p) D. Isso define uma sequncia no constante (no necessariamenteconvergente) em Br1(p) D. Pela arbitrariedade de r1 temos 1b.1b = 1c:Escolha uma sequncia rn > 0 tal que rn 0. Ento escolha xn Brn(p)D.xn p pois > 0 n0 N tal que rn < e xn B(p) D.1c = 1a:Dado > 0 existe n0 N tal que n > n0 = xn B(p) D, de modo que > 0, B(p) D , .
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22. Seja R o conjunto das sequncias quase nulas. Mostre que o conjuntoS = {ei R : ei = (i j) j} fechado, limitado mas no compacto.
Demonstrao. Como S = jN{e j}, unio enumervel de fechados, paraver que S fechado, basta observar que cada {e j} um ponto isolado de S .De fato, B1(e j) S = {e j}, pois se i , j, d(ei, e j) =
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S limitado, pois d(0, e j) = 1, j N.Tomando a cobertura dada pelas mesmas bolas utilizadas para mostrar que S fechado, percebe-se que nenhuma pode ser removida sem que essa coleodeixe de ser uma cobertura.
3. Mostre que o conjunto D dado pelos nmeros reais em [0, 1] que apresentamapenas os dgitos 4 e 7 em suas expanses decimais compacto.
Demonstrao. Vamos mostrar que D fechado:
Construmos indutivamente os conjuntos Dm = {x = n=1 xn10n : xn {4, 7}, n = 1, . . .m e xn {0, 1, . . . , 9} se n > m}. Note que D Dm,m N,portanto D m=1Dm.Provemos que m=1Dm D: Considere x Dc, ento existe j N tal quex j < {4, 7}, isto implica que x < Dm+1, logo x < m=1Dm.Uma outra forma de ver que D fechado:
Tome x =
n1 xn10n Dc. Ento existe j N tal que 4 , x j , 7 (noteque, para isso, existe um k > j tal que xk , 9. Na bola B10(k+1)(x + 10(k+1)),todos os elementos ou tem a j-sima casa decimal igual a x j ou x j 1, masse x j 1 {4, 7} ento temos xk+1 = 9.Como [0, 1] compacto de R e D [0, 1] fechado, ento D compacto.
4. Seja . . . Kn . . . K2 K1 uma famlia de compactos (encaixantes).Mostre que iNKi , .
Demonstrao. Suponha que todo ponto de K1 fica fora de algum K, i.e.todo ponto de K1 pertence a algum Kc. Assim, {Kc, N} uma coberturade K1, portanto admite uma sub-cobertura finita (com n elementos). AssimK1 nj=1Kc j = K1K1 Kn = , o que contradiz o fato de qualquerinterseo finita de elementos desta famlia ser no vazio.
