INSTITUTO FEDERAL FLUMINENSE - CAMPUS MACA É

Engenharia de Controle e Automação IndustrialDisciplina: Cálculo Diferencial e Integral IVProf.": Marques Fredman Mescolinhttps:jjsites.google.comjsitejmescolinmarquesjmescolinmarques©gmail.comLista 11 - Transformada de Fourier

1. (a) Encontre um argumento para justificar o fato de que F{l} não existe.

(b) Mostre, de maneira análoga que, Fs{l} e Fc{l} não existem.

2. Suponha f contínua e absolutamente integrável em R e l' contínua por partes emqualquer intervalo. Suponha ainda que lim f(x) = O. Encontre uma expressão para

x-+±oo

F{f'(x)}.

3. Considerando as mesmas condições do exercício anterior e supondo que lim l' (x) = O,x-+±oo

encontre uma expressão para F{f"(x)}.

4. Suponha f contínua e absolutamente integrável em R e f' contínua por partes emqualquer intervalo. Suponha ainda que lim f(x) = O. Mostre que

x-+±oo

Fs{1'(x)} = -a· Fc{f(x)} ..

5. Considerando as mesmas condições do exercício anterior, mostre que

Fc{f'(x)} = a . Fs{f(x)} - f(O).

6. Considere f e l' continuas'ern R com lim f(x) = O e lim 1'(x) = O. Mostre quex-++oo x-++oo

Fs{f"(x)} = a2• Fs{f(x)} + a· f(O).

7. Considerando as mesmas condições do exercício anterior, mostre que

Fc{f"(x)} = _a2 • Fc{f(x)} 41 1'(0).

Referências

[1] FIGUEIREDO, DJAIRO. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4G Edição. Projeto Euclides.IMPA: Rio de Janeiro, 2007.[2] ZILL, DENNIS & CULLEN, MICHAEL. Matemática avançada para Engenharia - Volume 3. BookmanEditora. Porto Alegre, 2009.

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/

(d) f(x) = {X2, -1 ~ x < Ü_x2, O ~ x < 1

(e) f (x) = x3, O < x < 2

3. Dê exemplos de funções que mostrem que:

(a) O produto de funções pares é par.

(b) O produto de funções ímpares é ímpar.

(c) O produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar.

(d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par.

(e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar.

4. Nos itens a seguir, expanda a função indicada numa série apropriada de senos oucossenos:

(a) f(x) = {-I, -'Ir:::; x < O1, O < x ~ 'Ir

(b) f(x) = [z], -'Ir < x < 'Ir

(c) f (x) = x2, -1 < x < 1

(d) f(x) = 'lr2- x2, -'Ir < X < 'Ir

(e) f(x) = { x-I,x+ 1,

'Ir < x <Oü<x<'Ir

Respostas

1) a) ao = 1, an = O , bn = -(-l)n/mr; b) ao = 7r/2 , an = [1- (-1)n]jn27r , bn = l/n; c)ao = 1 ,an = 2/n7r . sen (n7r/2) , b.; = O; d) ao = 2/3 , an = 2/37r sen (n7r/3) , bn = O; e) ao = O,an = O, bn = 2/n7r' (1- cos n-r): f) ao = O, an = O, bn = -2m/2 + 2m7r/7rn2; g) ao = 2m7r,an = O, bn = -2m/n; h) ao = 7r2/3,an = 2(-1)n/n2,bn = -7r(-l)n/n+ 2(-1)n/7rn3 + (-2)/7rn3;

i) ao = 3/2,an = (_1)n/n27r2 -1/n27r2,bn = -l/n7r.2) a) ímpar, b) nem par nem ímpar, c) par, d) ímpar, e) nem par nem ímpar.

3) a) 2/7r2::=1 l_(~l)n sennx; b) 7r/2 + 2/7r2::=1 (-ll~-l cosnx c) 1/3 +4/7r2 2::=1 (_l)n /n2 cos nrrz: d) 27r2/3 + 42::=1 (_~;+l cosnx; e) 2/7r 2::=1 l-(-lÇ(l+1r) sen nx

Referências

[1] FIGUEIREDO, DJAIRO. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4a Edição. Projeto Euclides.

IMPA: Rio de Janeiro, 2007.

[2] ZILL, DENNIS & CULLEN, MICHAEL. Matemática avançada para Engenharia - Volume 3. Bookman

Editora. Porto Alegre, 2009.

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