Lista 13 - Desempenho no domínio do tempo

8/8/2019 Lista 13 - Desempenho no domínio do tempo

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13ª Lista de Exercícios – Desempenho no domínio do tempo

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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira

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QUESTÃO 1:

Solução:

11 qqedt

dV −=

200

)hh( qeh4 21

1

−−=

•

π

π π π 800

h

4

qe

800

hh 121 −+=

•

(13.1)

212 qqdt

dV −=

100

h

200

)hh( h4 2212 −

−=

•

π

π π 800

h3

800

hh 212 −=

•

(13.2)

Temos:

2e1

2

e1 H Q200 )1 s800( H 200

H Q )

200

1 s4( H +=+⇒+=+ π π (13.3)

)3 s800( H H 200

H )

200

3 s4( H 21

12 +=⇒=+ π π (13.4)

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4




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Continuação... QUESTÃO 1:

Substituindo (13.4) em (13.3):

2e2 H Q200 )1 s800 )( 3 s800( H +=++ π π

2e

222

2 H Q200 )3 s3200 s800( H +=++ π π

e

222

2 Q200 )13 s3200 s800( H =−++ π π

P 2 s3200 s800

200

Q

H 222

e

2=

++

=

π π (13.5)

Como:

05 ,0* P G = (13.6)

Substituindo (13.6) em (13.5):

12 s3200 s800

10

G1

GT

222 ++

=

+

=

π π (13.7)

%Matlab%Matlab

clcclc

close all close all

clear all clear all

Nt=[10]; Nt=[10];

Dt=[800^2*pi^2 3200*pi 12]; Dt=[800^2*pi^2 3200*pi 12];

T=tf(Nt,Dt)T=tf(Nt,Dt)

t=0:100:15000;t=0:100:15000;

step(T,t) step(T,t)

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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira13ª Lista de Exercícios – Desempenho no domínio do tempo

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Figura 1 – Resposta ao degrau unitário da questão 1

A partir da figura 1, encontramos:

• Sobresinal (PSS)= 10,8%

• Tempo de subida (ts)=1310s

• Tempo de estabilização (t,e2%)= 4280s

• Erro estacionário=1-0,833=0,167m

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QUESTÃO 2:

Solução:Temos a partir da equação (13.3) e (13.4):

2e1

2

e1 H Q200 )1 s800( H 200

H Q )

200

1 s4( H +=+⇒+=+ π π (13.8)

3 s800

H H )3 s800( H H

200

H )

200

3 s4( H 1

2211

2+

=⇒+=⇒=+π

π π (13.9)

Substituindo a equação (13.9), na equação (13.8), temos:

3 s800

H Q200 )1 s800( H 1e1

+

+=+

π π

1e1 H Q200 )3 s800( )3 s800 )( 1 s800( H ++=++ π π π

1e

222

1 H Q )600 s160000( )3 s3200 s800( H ++=++ π π π

e

222

1 Q )600 s160000( )13 s3200 s800( H +=−++ π π π

) s( P 2 s3200 s800

600 s160000

Q

H 222

e

1=

++

+=

π π

π (13.10)

Como:

05 ,0* P K * P G == (13.11)

Então:

2 s3200 s800

30 s8000G05 ,0*

2 s3200 s800

600 s160000G

222222 ++

+=⇒

++

+=

π π

π

π π

π

(13.11)

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Logo:

32 s11200 s800

30 s8000

R

H T

222

1

++

+==

π π

π

(13.12)

%Matlab%Matlab

clcclc

close all close all

clear all clear all

Nt=[8000*pi 30]; Nt=[8000*pi 30];

Dt=[800^2*pi^2 11200*pi 32]; Dt=[800^2*pi^2 11200*pi 32];

T=tf(Nt,Dt)T=tf(Nt,Dt)

t=0:100:15000;t=0:100:15000;

step(T,t) step(T,t)

Figura 2 – Resposta ao degrau unitário da questão 2

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A partir da figura 2, encontramos:

• Sobresinal (PSS)= 0%

• Tempo de subida (ts)=557s

• Tempo de estabilização (t,e2%)= 1170s

• Erro estacionário=1-0,938=0,062m

QUESTÃO 3:

Solução:

Para Malha Aberta:

Wns2 sWn ) s( P

)Wn2 p( pWn P

2

22

ξ ξ +=⇒+= (13.13)

Substituindo 6 ,0=ξ ee 5Wn =

)6 s( s

25 ) s( P

s6 s

25 ) s( P

)6 p( p

25 P

2+

=⇒

+

=⇒

+

= (13.14)

Para Malha Fechada:

22

2

2

2

WnWns2 s

Wn ) s( P

Wn )Wn2 p( p

Wn P

++=⇒

++=

ξ ξ (13.15)

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Substituindo 6 ,0=ξ ee 5Wn =

25 s6 s

25 ) s( P

25 )6 p( p

25 P

2++

=⇒

++

= (13.16)

a) Erro estacionário do sistema de MA

Erro estacionário da planta com sistema tipo 1 entrada degrau unitário:

[ ] [ ] ) s( R* ) s( T 1 slime ) s( Y ) s( R slime ) s( sE lime 0 sest 0 sest 0 sest −=⇒−=⇒=

→→→

∞=⇒=⇒

+−=⇒ → est est 0 sest e

0

25e

s

1*

)6 s( s

251 slime (13.17)

b) Erro estacionário do sistema de MF

Erro estacionário do sistema tipo 0 entrada degrau unitário:

[ ] [ ] ) s( R* ) s( T 1 slime ) s( Y ) s( R slime ) s( sE lime 0 sest 0 sest 0 sest −=⇒−=⇒= →→→

0e25

0e

s

1*

25 s6 s

251 slime est est 20 sest =⇒=⇒

++−=⇒ → (13.18)

c) Resposta de MF ao impulso

%Matlab%Matlab

clear all;clear all;

close all;close all;

clc;clc;wn=5;wn=5;

psi=0.6; psi=0.6;

Nt=[wn^2]; Nt=[wn^2];

Dt=[1 2*psi*wn wn^2]; Dt=[1 2*psi*wn wn^2];

T=tf(Nt,Dt);T=tf(Nt,Dt);

impulse(T)impulse(T)

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Figura 3 – Resposta ao impulso da questão 3

d) Resposta de MF a entrada )t 5cos( 3 )t ( r =

%Matlab%Matlab



clc;clc;

wn=5;wn=5;

psi=0.6; psi=0.6;

Nt=[wn^2]; Nt=[wn^2];


T=tf(Nt,Dt);T=tf(Nt,Dt);t=0:0.01:4;t=0:0.01:4;

r=3*cos(5*t);r=3*cos(5*t);

figure(2) figure(2)

lsim(T,r,t)lsim(T,r,t)

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Figura 4 – Resposta a uma entrada )t 5cos( 3 )t ( r =

e) Resposta a entrada degrau unitária

%Matlab%Matlab



clc;clc;

wn=5;wn=5;

psi=0.6; psi=0.6;

Nt=[wn^2]; Nt=[wn^2];


T=tf(Nt,Dt);T=tf(Nt,Dt); figure(4) figure(4)

st st ep(T)ep(T)

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Figura 4 – Resposta a uma entrada degrau

Figura 5 – Resposta a uma entrada degrau com suas características ____________________________________________________________________________


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f) Tempo de subida

A partir da figura 5, encontramos tempo de subida (ts)=0,371s

g) O instante de pico máximo

A partir da figura 5, encontramos o instante de pico máximo (tp)=0,791s

h) O valor de pico máximo

A partir da figura 5, encontramos o valor de pico máximo (Yp)=1,09

i) Tempo de estabilização a 2%

A partir da figura 5, encontramos o tempo de estabilização a 2% (Te2%)=1,19s

j) O percentual de sobresinal

A partir da figura 5, encontramos o percentual de sobresinal (pss)=9,47%

k) A constante de tempo

s / rad 333333333 ,06

1

W

1

n

=⇒=⇒= τ τ ξ

τ (13.19)

l) O ganho estático

1 K 0 =

m) O fator de amortecimento

59 ,0 )47 ,9 / 100( ln

)47 ,9 / 100ln(

) pss / 100( ln

) pss / 100ln(

2222=⇒

+

=⇒

+

= ξ π

ξ π

ξ (13.20)

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n) A frequência natural

s / rad 966 ,4W 59 ,01W

79 ,01W

T W

T n

nn

p

d

p =⇒−

=⇒−

=⇒=π

ξ

π π (13.21)

o) A equação diferencial de malha fechada

Para Malha Fechada:

22

2

2

2

WnWns2 s

Wn ) s( P

Wn )Wn2 p( p

Wn P

++=⇒

++=

ξ ξ (13.22)

Substituindo 59 ,0=ξ ee 966 ,4Wn = na equação (13.22)

66 ,24 s85 ,5 s

66 ,24 ) s( P

2++

=

25 s6 s

25 ) s( P

2 ++= (13.23)

Aplicando a transformada inversa de Laplace na equação (13.23)

25 s6 s

25

) s( R

) s( Y 2

++

=

) s( R25 ) s( Y )25 s6 s( 2=++

r 2 y2 5 y6 y =++

•••

(13.24)

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