Lista 2 - IAL
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Universidade de Bra s´ ıli a Departamento de Matem´ atica C´ alculo 2- 2a Lista de Fixa¸ c˜ ao - M´ odulo 2 1. Em cada um dos problemas, resolva a equa¸ c˜ ao diferen cia l dada. Se uma condi¸ c˜ ao inicial for especificada, determine tamb´ em a solu¸ c˜ ao que a satisfaz. (a) dy dx = x 3 −2y x ; (b) (x + y ) − (x − y) dy dx = 0; fazer a mudan¸ ca v = y /x e torna-la separ´avel (c) x dy dx + xy = 1 − y, y (1) = 0; (d) x dy dx + 2y = sen x x , y (2) = 1; (e) (3y 2 + 2xy) − (2xy + x 2 ) dy dx = 0; fazer a mudan¸ ca v = y /x e torna-la separ´ avel (f ) dy dx = x 2 +y 2 x 2 . fazer a mudan¸ ca v = y /x e torna-la separ´ avel 2. Equa¸ c˜ oes de Riccati. A equa¸c˜ ao dy dt = q 1 (t) + q 2 (t)y + q 3 (t)y 2 , ´ e conhecida como a equa¸c˜ao de Riccati. Suponhamos que uma certa solu¸c˜ ao y 1 desta equa¸ c˜ao ´e conhecida. Uma solu¸ c˜ao mais geral, com uma constante arbitr´aria, pode ser conseguida pela substitui¸ c˜ ao y(t) = y 1 (t) + 1 v(t) . Verifique que v (t) satisfaz a equa¸ c˜ ao linear de 1 a ordem dv dt = −(q 2 + 2 q 3 y 1 )v − q 3 . Resolva a seguinte equa¸ c˜ ao de Riccati y = 1 + t 2 − 2ty + y 2 , sabendo que y 1 (t) = t ´ e uma so lu¸ c˜ ao. 3. T rajet´ orias ortogon ais. Um pro blema muito co mum em geometri a ´ e o de achar a fa m ´ ılia de curvas que int erce ptam ortog onalmente as curv as de uma outra fam´ ılia. As duas fam ´ ı l ias s˜ ao, cada qual, as trajet´ orias ortog onais da outra fam ´ ılia. Consideremos a fa m ´ ı l ia de hi p´ er bol es xy = c, onde c ´ e uma con st ant e. i) Esbo¸ car o gr´ afico das hiperboles para diversos valores de c. Dete rminar o coeficien te angular da hiperbole que passa por um ponto dado, que envolva as coordenadas do ponto (x, y) mas n˜ ao o parametro c . ii) Utilizando o fato de os coeficientes angulares das curvas ortogonais serem o negativo do inverso, um do outro, escrever a equa¸c˜ ao diferencial das trajet´ orias ortogonais a fam ´ ılia de hiper boles dada. iii) Resolver a equa¸ c˜ ao encontrada e determinar as trajet´ orias correspondentes. Esbo¸ car algumas destas curvas. 1
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IAL, Álgebra, Linear
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Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica
Calculo 2- 2a Lista de Fixacao - Modulo 21. Em cada um dos problemas, resolva a equacao diferencial dada. Se uma condicao
inicial for especificada, determine tambem a solucao que a satisfaz.
(a) dydx
= x32yx
;
(b) (x + y) (x y) dydx
= 0; fazer a mudanca v = y/x e torna-la separavel
(c) x dydx
+ xy = 1 y, y(1) = 0;(d) x dy
dx+ 2y = sen x
x, y(2) = 1;
(e) (3y2 + 2xy) (2xy + x2) dydx
= 0; fazer a mudanca v = y/x e torna-la separavel
(f) dydx
= x2+y2
x2. fazer a mudanca v = y/x e torna-la separavel
2. Equacoes de Riccati. A equacao
dy
dt= q1(t) + q2(t)y + q3(t)y
2,
e conhecida como a equacao de Riccati. Suponhamos que uma certa solucao y1 destaequacao e conhecida. Uma solucao mais geral, com uma constante arbitraria, pode serconseguida pela substituicao
y(t) = y1(t) +1
v(t).
Verifique que v(t) satisfaz a equacao linear de 1a ordem
dv
dt= (q2 + 2q3y1)v q3.
Resolva a seguinte equacao de Riccati
y = 1 + t2 2ty + y2,sabendo que y1(t) = t e uma solucao.
3. Trajetorias ortogonais. Um problema muito comum em geometria e o de achar a famliade curvas que interceptam ortogonalmente as curvas de uma outra famlia. As duasfamlias sao, cada qual, as trajetorias ortogonais da outra famlia. Consideremos afamlia de hiperboles xy = c, onde c e uma constante.i) Esbocar o grafico das hiperboles para diversos valores de c. Determinar o coeficienteangular da hiperbole que passa por um ponto dado, que envolva as coordenadas doponto (x, y) mas nao o parametro c.ii) Utilizando o fato de os coeficientes angulares das curvas ortogonais serem o negativodo inverso, um do outro, escrever a equacao diferencial das trajetorias ortogonais afamlia de hiperboles dada.iii) Resolver a equacao encontrada e determinar as trajetorias correspondentes. Esbocaralgumas destas curvas.
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