1

4. Funo

O objeto fundamental do clculo so as funes. Assim, num curso de Pr-Clculo importante estudar as idias bsicas concernentes s funes e seus grficos, bem como as formas de combin-los e transform-los.

Ao estudar algum fenmeno de qualquer natureza, sempre se procura estabelecer relaes entre as grandezas envolvidas. Se duas grandezas x e y esto relacionadas de tal maneira que a cada valor atribudo a x existe, em correspondncia, um nico valor associado a y, ento se diz que y uma funo de x. Por exemplo, a distncia percorrida por um carro em um determinado perodo de tempo uma funo de sua velocidade, a rea de uma circunferncia uma funo de seu raio, a rea de um quadrado uma funo de seu lado, a populao de um determinado pas uma funo do tempo, dentre muitos outros exemplos.

Definio: Uma funo f uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um nico elemento de um conjunto B. f: A -> B x f(x) Se x A ento o elemento de B que f associa a x denotado f(x).

O conjunto A chamado domnio da funo. O conjunto B chamado de contradomnio da funo. O conjunto que compreende todos os valores assumidos por y=f(x) quando x toma todos os possveis valores em seu domnio chamado de imagem da funo f.

OBS: 1. x denominada varivel independente da funo (varia sem depender de nenhuma

outra varivel). 2. y chamada varivel dependente da funo (como y=f(x), temos que y depende da

variao da varivel x) .

Uma funo de uma varivel real a valores reais uma funo f: A B, onde A e B so subconjuntos de IR. Seja f: A B uma funo. O conjunto Gf={ (x, f(x)) / xA }denomina-se grfico de f. Assim, o grfico de f um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de nmeros reias. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o grfico de f pode ento ser pensado como o lugar geomtrico descrito pelo ponto (x,f(x)) quando x percorre o domnio de f.

Domnio

Para determinarmos o domnio (leia o maior domnio) de uma funo, estaremos procurando qual o maior conjunto possvel A IR que satisfaa a lei de correspondncia definida (lembremo-nos de que, para termos uma funo, todos os elementos do conjunto A tm que estar associados a um elemento em B). Graficamente, o domnio da funo a projeo do grfico de f, sobre o eixo das abscissas.

2

Problemas de domnio

usual representar uma funo f de uma varivel real a valores reais e com domnio A, simplesmente por y=f(x), xA

Exemplo 1: Seja y=f(x)=x2. Tem-se: a) Df = IR b) f(2)=22=4 (o valor que f assume em 2 4) c) f(-1)=(-1) 2=1 d) f(0)=02=0 e) f(t)=t2 f) f(x+1)=(x+1) 2 g) Grfico de f = {(x,y)/ y=x2, xIR}

Exemplo 2:

Seja f: A IR B IR uma funo. Vamos determinar o (maior) domnio das seguintes leis de correspondncia:

a) f(x)=7x

b) f(x)=y=42

1+x

c) f(x)= 8x

3

d) f(x)=xx +2

2

e) f(x)=2

1x

f) f(x)= xx + 11

Exemplo 3: Dada a funo f(x)=-x2+2x , simplifique:

a)1

)1()(

x

fxf

b) h

xfhxf )()( +

4

Exerccios:

1) Calcule:

a) g(0), g(2) e g( 2 ) sendo g(x)=12 x

x

b) 0)(sen,)()( 2 =+ abexxfdoab

bafbaf

2) Simplifique )()()( pxpx

pfxf

sendo dados:

a) f(x)=x2 e p=1 b) f(x)=x3 e p=2 c) f(x)=x3 e p qualquer d) f(x)=5 e p=2 e) f(x)=

x

1 e p=1

f) f(x)=x2-3x e p=-2

Exerccios propostos:

1) Determine o domnio de cada uma das seguintes funes: a) y= 3 1+x b) y= 13123 ++ xx c) y=

41

62 ++

xxx

x

d) y=1312

+

x

x

e) y=3

1x

2)

5

Respostas: 1) a) IR b) {xIR/x-1/3}ou [-1/3, +[ c){ xIR /x-4 e x-2 e x-3}ou ]- ,-4[ U ]-4,-3[ U ]-3,-2[ U ]-2,+ [ d) { xIR /x>1/3} e){ xIR /x0} 2)

Imagem e contradomnio

O conjunto que compreende todos os valores assumidos por y=f(x) quando x toma todos os possveis valores em seu domnio chamado de imagem da funo f. Graficamente, o conjunto imagem da funo a projeo do grfico de f sobre o eixo das ordenadas.

3)

6

Razes ou zeros

Chama-se raiz ou zero de uma funo o nmero r do seu domnio tal que f(r)=0.

Taxa de variao

Sejam x1 e x2 dois elementos distintos do domnio de uma funo f. Chama-se taxa de variao mdia de f entre x1 e x2 a razo:

2121

21,

)()(xx

xx

xfxf

Exerccio 1) Dada a funo f(x)= ,12 x responda:

a) Qual o seu domnio? b) Qual a imagem de x=5? c) Qual o valor de x que possui imagem 5?

OBS: Uma funo f com valores em IR s est bem definida quando sabemos seu (maior) domnio e sua lei de correspondncia.

Igualdade de funes

Sejam f e g duas funes definidas, respectivamente em D1 e D2. Dizemos que f e g so iguais quando D1=D2 e f(x)=g(x), para todo x D1.

Exemplos:

1) f: IR IR e g: IR IR so iguais, pois |x|= 2x , x IR. x |x| x 2x

2) ) f: IR + IR e g: IR + IR so iguais, pois |x|=x, x IR + . x |x| x x

7

3) f: IR IR e g: IR IR so diferentes para valores de x negativos. x |x| x x

Exemplo: se x = -5, f(-5) = | 5 | = 5 e g(-5) = -5.

Funo polinmio

Definio: Um polinmio ou funo polinomial P, na varivel x, toda expresso do tipo:

P(x)=a 012211 ... axaxaxax nnnn ++++ , onde nIN, niai ,...,1,0, = so nmeros reais chamados coeficientes e as parcelas nixa ii ,...,1, = , termos do polinmio. Cada termo denominado monmio.

Grfico: A representao grfica de um polinmio pode ser feita por pontos. No entanto, para a representao grfica de uma funo polinmio de grau n>2, num intervalo dado, devemos tomar o cuidado de considerar um nmero suficientemente grande de pontos do referido intervalo a fim de evitar erros grosseiros de representao.

Os polinmios so usados comumente para modelar diversas quantidades que ocorrem em cincias sociais e naturais. Por exemplo, os economistas frequentemente usam uma funo polinomial para representar o custo da produo de x unidades de um produto.

4.1 Funo afim ou funo polinomial do 1o grau

Denomina-se funo afim ou funo polinomial do 1o grau a funo que associa a todo nmero real x, outro nmero real y, tal que:

y=f(x)=ax+b, onde a e b so constantes reais (a0).

Domnio: O domnio da funo afim IR. Imagem: IR Grfico: Reta no paralela aos eixos x e y. Interseo da reta com o eixo 0y: (0,b). Assim, o nmero b chama-se coeficiente linear. Interseo da reta com o eixo 0x: (-b/a,0). Graficamente, a interseo da reta com o eixo 0x o zero de uma funo do 1o grau.

O valor b/a a raiz dessa funo. A taxa de variao de uma funo do 1o grau constante e igual ao coeficiente a.

x1,x2 IR, x1x2.

8

O nmero real a denominado coeficiente angular ou declividade da reta.

Graficamente:

Funes crescentes e decrescentes:

A funo afim crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo, isto , se, e somente se, a>0. A funo afim decrescente se, e somente se, o coeficiente angular for negativo, isto , se, e somente se, a

9

4.1.2 Funo identidade

Seja f(x)=ax+b. Se a=1 e b=0 , teremos f(x)=x e f chamada funo identidade.

Domnio: IR Imagem: IR Grfico: reta que contm as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.

4.1.3 Funo linear

Seja f(x)=ax+b. Se a0 e b=0, a funo polinomial do 1o grau se torna f(x)=ax e chamada funo linear.

Domnio: IR. Imagem: IR. Grfico: reta que passa pela origem. Para esboarmos seu grfico, basta determinar outro ponto alm de (0,0).

OBS: A funo identidade um caso particular da funo linear, onde a=1.

Sinais de uma funo

Seja f: A IR B IR. Para que valores de x temos f(x)>0, f(x)=0 e f(x)0, temos que determinar os valores de x, onde y>0, ou seja,

os valores de x em que o grfico est acima do eixo x. Para saber quando f(x)=0, devemos determinar as razes da funo, ou seja, os

valores de x onde o grfico corta esse eixo. Para saber quando f(x)

10

No caso da funo afim, como o zero da funo (f(x)=0) x=-b/a, podemos verificar que:

Exerccios

1) Determine o domnio, imagem e esboce o grfico de cada uma das funes seguintes:

a) f(x)=y= -8 b) f(x)=y=-3x c) f(x)=y=3x-6

2) Dada a funo f(x)=3x-1, calcule:

a) f(4) b) f(2x+1)

3) Seja f(2x+7)=-4x+9. Determinar f(-5).

11

4) Determinar a equao da reta que passa pelo ponto (2;1) e tem coeficiente angular igual a 3.

5) Determine p para que a funo f(x)=(2p+3)x+2 seja decrescente.

6) Estudar o sinal da funo f(x)=y=4x-5

7) Estudar o sinal da funo f(x)=y=-4x+5

10) (UNIRIO) O grfico da funo y=mx+n, onde me n so constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2). A taxa de variao mdia da funo :

(A) -2 (B) -1/2 (C)1/2 (D)2 (E) 4

8)

9)

12

Exerccios propostos

3)

13

7) (UNIRIO) Sejam f e g funes tais que f(x)= 5x+2 e g(x)=-6x+7. Determine a lei que define a funo afim h, sabendo que h(-5)=1 e que o grfico de h passa pelo ponto de interseo dos grficos de f com g.

8) Determine o domnio, imagem e esboce o grfico de cada uma das funes seguintes:

a) f(x)=y= pi b) f(x)=y= x/3 c) f(x)=y=-3x+1

4)

5)

6)

14

9)

10)

d)

c)

a) a) b)

12)

13)

14)

a)

b)

c)

a) b)

15

Respostas: 1) D 2)a)y=1,25x-22500 b)x=18000 unidades 3) a)-6 b)-9 c)5 2 -6 d)5x+29 e)15x-26 f)(6/5;0) g) (7/5;1) 4)A 5) a)$12,90 b)21km 6) a) firma 3 b) 20 dias

7)h(x)=(3/5)x+4 8) a) D=IR, Im={pi} b)D=IR, Im=IR c) D=Im=IR 9) a)[0,50] b) 180 kwh 10)a)57/8 b)-1 c) (2x+29)/3 d) (10x+89)/3 11)y=-5x-2 12) a e d so

crescentes e b e c so decrescentes 13)p>7/5 14) a) y=-x/7 + 4/7 D(f)=Im(f)=IR c) y=-3x-6; D(f)=Im(f)=IR c) y=1; D(f)=IR, Im(f)={1} 15)a) y=-

3x+11;D(f)=Im(f)=IR b) y=-4x-20; D(f)=Im(f)=IR c) y=-4; D(f)=IR, Im(f)={-4}

Inequaes simultneas

A dupla desigualdade f(x)

16

Exerccios

Exerccios propostos:

1) Resolva as inequaes em IR:

2) Resolver os sistemas de inequaes em IR:

Inequaes produto

Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes f(x).g(x)>0, f(x).g(x)0

1o.) Faremos inicialmente o estudo dos sinais das funes f(x) =2x-1 e g(x)=x+4

2o.) Faremos um quadro-produto, no qual figuram os sinais dos fatores e sinal do produto.

1

17

Dentre as inequaes produto, so importantes as inequaes: [f(x)] n >0, [f(x)] n 0

2) (3x+1)30

Exerccio: 1) Determine os valores de x que verificam cada uma das seguintes desigualdades :

a) (-3x+2)(x+1)

18

2) Obtenha o domnio da funo f(x)= ).21)(4)(53( xxx ++

3) Resolva as inequaes:

Exerccios propostos

Inequao quociente

Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes:

0)()(0)(

)(,0)(

)(,0)(

)( xgxf

exgxf

xgxf

xgxf

so denominadas inequaes quociente.

As regras de sinais do produto e do quociente de nmeros reais so anlogas. Na resoluo de inequaoes quociente, podemos, portanto, usar o quadro de sinais.

Exemplo:

Resolva a inequao .0)2()1)(3(

+

x

xx

b)

1)

2)

3)

19