MAT5719 - Clculo Diferencial Geomtricono Rn

29 de janeiro de 2010

Lista 21. Sendo f : Rn Rk diferencivel em x0 e g : Rn Rl diferencivel em

y0, mostre que F : Rn Rn Rk Rl definida por F(x, y) = ( f (x), g(y)) diferencivel em (x0, y0) expressando dF(x0, y0)(h, k) e F(x0, y0).

Demonstrao. Procure uma candidata para a diferencial de F. Voc deveecontrar ( f (x0), g(y0)).

Para mostrar que F diferencivel, note que hh2+k2

e kh2+k2

so limi-

tadas.

A matriz que representa dF(x0, y0) (nas bases cannicas de R2n e Rk+l) [f (x0) 00 g(y0)

].

2. Verifique se f : R2 R2

f (x, y) ={(x, y) se y = x2

(0, 0) c. c.

diferencivel nos pontos da forma (x, x2),x (diretamente).Demonstrao. Note que f no contnua nos pontos x, x2, com x , 0,lim n f (x, x2 + 1/n) = (0, 0) , f (x, x2).A candidata a derivada de f em (0, 0) a aplicao nula. Mas limx0

f (x,x2)(x,x2) =

1 , 0.

Por isso f no diferencivel em todos os pontos da forma (x, x2).

1

23. Determine todos os pontos (x, y) onde a funo diferencivel:

(a)

f (x, y) =

x sin y + xy2

x2+y4 se (x, y) , (0, 0)0 c. c.

(b)

f (x, y) =

sin(xy2)

xy se xy , 00 c. c.

Obs.: Usar as propriedades se possvel.

Demonstrao. (a) A parte x sin y diferencivel em todo o R2. Portanto,basta analisar a frao.Como xy2 , x2 e y4 so diferenciveis, f s pode deixar de ser di-ferencivel em (0, 0). De fato, f no diferencivel em (0, 0), poislimx0 f (x

2, x) , limx0 f (x2, x).Assim, f diferencivel em R2\{(0, 0)}.

(b) Como f descontnua nos pontos da forma (0, y), com y , 0, bastaverificar se f diferencivel nos pontos do tipo (x, 0). Analisaremoso ponto (0, 0) separadamente.A candidata a derivada em (x, 0) seria L(h, k) = k. fcil ver quelim(h,k)(0,0)

f (x+h,k) f (x,0)k(h,k) = 0.

A candidata em (0, 0) a aplicao nula. E lim(x,y)(0,0)f (x,y)(x,y) = limx0

sin(x3)x32=

2/2 , 0, se x = y.Concluso, f diferencivel em R2\({0} R).

4. Verificar os pontos onde f C1

(a)

f (x, y) =

(x2 + y2) sin(

1x2+y2

)se (x, y) , (0, 0)

0 c. c.

(b)

f (x, y) = y sin x + x

yet

2dt

3Demonstrao. (a) As derivadas direcionais so fx(x, y) = 2x sin(

1x2+y2

)

cos(

1x2+y2

)xx2+y2

e fy(x, y) = 2y sin(

1x2+y2

) cos

(1x2+y2

)yx2+y2

.

Mas fx(0, 0) = limt0 t sin 1|t| = 0 , que diferente de limx0 fx(x, 0) =limx0 sinal(x) cos 1|x| , que no existe.

Portanto f C1 em R2\{(0, 0)}.(b) As derivadas parciais existem e so contnuas. De fato, f (x,y)

x = y cos x+ex

2e f (x,y)

y = sin x ey2.

5. Estudar a diferenciabilidade em R2 de

(a)

f (x, y) ={ xy

2xy7 se 2x , y7

0 c. c.

(b)

f (x, y) =

x3y

x4+y2 se (x, y) , (0, 0)0 c. c.

Demonstrao. (a) O limite de f (x, y) para (x, y) (y0, y702 ), 2x , y

7, no 0 se y0 , 0. Por isso f no diferencivel nos pontos da forma2x = y7 a menos de (0, 0).Em (0, 0) f tambm no contnua, pois temos curvas de nvel dife-rente de 0, se acumulando neste ponto.

(b) As derivadas direcionais em (0, 0) so nulas. Vejamos que a aplicaonula no a diferencial de f em (0, 0).

limx0| f (x,x2)|(x,x2) = limx0

|x5 |2x4(x,x2) limx0 |x|2(x,x) = 122 , 0.

6. Se f C2 em p A, ento f C1 em p.

Demonstrao. Basta analisar o caso em que o contradomnio R. Tomef : Rn R.Sabemos que numa vizinhana V de p,

2 fxix j

: V R existe e con-tnua para i, j = 1, . . . , n. Se fixarmos i, arbitrrio, podemos notar que

4 fxi

: V R C1 (todas as derivadas paricias existem e so contnuas),portanto diferencivel e consequentemente contnua.

Assim, fxi

: V R contnua para i = 1, . . . , n. Assim, f C1.

7. Seja

f (x, y) =

xy(x2y2x2+y2

)se (x, y) , (0, 0)

0 c. c.

Mostre que fxy(0, 0) , fyx(0, 0). Explique.

Demonstrao. Como f (0, y) = 0, y, fx (0, y) = y e f (x, 0) = 0, x,

fy (x, 0) = x, temos que fxy = 1 e f yx = 1.Isso mostra que f no C2.