MAT5719 - Clculo Diferencial Geomtricono Rn
29 de janeiro de 2010
Lista 21. Sendo f : Rn Rk diferencivel em x0 e g : Rn Rl diferencivel em
y0, mostre que F : Rn Rn Rk Rl definida por F(x, y) = ( f (x), g(y)) diferencivel em (x0, y0) expressando dF(x0, y0)(h, k) e F(x0, y0).
Demonstrao. Procure uma candidata para a diferencial de F. Voc deveecontrar ( f (x0), g(y0)).
Para mostrar que F diferencivel, note que hh2+k2
e kh2+k2
so limi-
tadas.
A matriz que representa dF(x0, y0) (nas bases cannicas de R2n e Rk+l) [f (x0) 00 g(y0)
].
2. Verifique se f : R2 R2
f (x, y) ={(x, y) se y = x2
(0, 0) c. c.
diferencivel nos pontos da forma (x, x2),x (diretamente).Demonstrao. Note que f no contnua nos pontos x, x2, com x , 0,lim n f (x, x2 + 1/n) = (0, 0) , f (x, x2).A candidata a derivada de f em (0, 0) a aplicao nula. Mas limx0
f (x,x2)(x,x2) =
1 , 0.
Por isso f no diferencivel em todos os pontos da forma (x, x2).
1
23. Determine todos os pontos (x, y) onde a funo diferencivel:
(a)
f (x, y) =
x sin y + xy2
x2+y4 se (x, y) , (0, 0)0 c. c.
(b)
f (x, y) =
sin(xy2)
xy se xy , 00 c. c.
Obs.: Usar as propriedades se possvel.
Demonstrao. (a) A parte x sin y diferencivel em todo o R2. Portanto,basta analisar a frao.Como xy2 , x2 e y4 so diferenciveis, f s pode deixar de ser di-ferencivel em (0, 0). De fato, f no diferencivel em (0, 0), poislimx0 f (x
2, x) , limx0 f (x2, x).Assim, f diferencivel em R2\{(0, 0)}.
(b) Como f descontnua nos pontos da forma (0, y), com y , 0, bastaverificar se f diferencivel nos pontos do tipo (x, 0). Analisaremoso ponto (0, 0) separadamente.A candidata a derivada em (x, 0) seria L(h, k) = k. fcil ver quelim(h,k)(0,0)
f (x+h,k) f (x,0)k(h,k) = 0.
A candidata em (0, 0) a aplicao nula. E lim(x,y)(0,0)f (x,y)(x,y) = limx0
sin(x3)x32=
2/2 , 0, se x = y.Concluso, f diferencivel em R2\({0} R).
4. Verificar os pontos onde f C1
(a)
f (x, y) =
(x2 + y2) sin(
1x2+y2
)se (x, y) , (0, 0)
0 c. c.
(b)
f (x, y) = y sin x + x
yet
2dt
3Demonstrao. (a) As derivadas direcionais so fx(x, y) = 2x sin(
1x2+y2
)
cos(
1x2+y2
)xx2+y2
e fy(x, y) = 2y sin(
1x2+y2
) cos
(1x2+y2
)yx2+y2
.
Mas fx(0, 0) = limt0 t sin 1|t| = 0 , que diferente de limx0 fx(x, 0) =limx0 sinal(x) cos 1|x| , que no existe.
Portanto f C1 em R2\{(0, 0)}.(b) As derivadas parciais existem e so contnuas. De fato, f (x,y)
x = y cos x+ex
2e f (x,y)
y = sin x ey2.
5. Estudar a diferenciabilidade em R2 de
(a)
f (x, y) ={ xy
2xy7 se 2x , y7
0 c. c.
(b)
f (x, y) =
x3y
x4+y2 se (x, y) , (0, 0)0 c. c.
Demonstrao. (a) O limite de f (x, y) para (x, y) (y0, y702 ), 2x , y
7, no 0 se y0 , 0. Por isso f no diferencivel nos pontos da forma2x = y7 a menos de (0, 0).Em (0, 0) f tambm no contnua, pois temos curvas de nvel dife-rente de 0, se acumulando neste ponto.
(b) As derivadas direcionais em (0, 0) so nulas. Vejamos que a aplicaonula no a diferencial de f em (0, 0).
limx0| f (x,x2)|(x,x2) = limx0
|x5 |2x4(x,x2) limx0 |x|2(x,x) = 122 , 0.
6. Se f C2 em p A, ento f C1 em p.
Demonstrao. Basta analisar o caso em que o contradomnio R. Tomef : Rn R.Sabemos que numa vizinhana V de p,
2 fxix j
: V R existe e con-tnua para i, j = 1, . . . , n. Se fixarmos i, arbitrrio, podemos notar que
4 fxi
: V R C1 (todas as derivadas paricias existem e so contnuas),portanto diferencivel e consequentemente contnua.
Assim, fxi
: V R contnua para i = 1, . . . , n. Assim, f C1.
7. Seja
f (x, y) =
xy(x2y2x2+y2
)se (x, y) , (0, 0)
0 c. c.
Mostre que fxy(0, 0) , fyx(0, 0). Explique.
Demonstrao. Como f (0, y) = 0, y, fx (0, y) = y e f (x, 0) = 0, x,
fy (x, 0) = x, temos que fxy = 1 e f yx = 1.Isso mostra que f no C2.
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