LISTA 2 - MATEMÁTICA FINANCEIRA

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COLÉGIO ESTADUAL EDVALDO BRANDÃO CORREIA

Curso - FORMAÇÃO GERAL (Ensino Médio)

Educador e Professor - Itamar S. Nascimento / Disciplina - Matemática Financeira

Data: ____ /05 / 2009

Aluno (a): ________________________________________________Série / Turma: 3____ Turno_____

LISTA 2 (Números Racionais, Equações Exponenciais, Definições de Razão e Proporção)

ATIVIDADE PROGRAMADA PARA A SEMANA DE 18 A 22 DE MAIO DE 2009

Obs.: Nesta lista não há qualquer pontuação ou nota. Entretanto lembre-se que precisaremos desta revisão para andarmos no nosso curso de Matemática Financeira. A nota é a sua aprendizagem e posterior aprovação ao término do ano letivo! Estude de fato!!!

ESTE ANO SERÁ UM SUCESSO SE...

Este ano será um sucesso se...houver um sorriso de otimismo,um sonho de beleza em seu coração epoesia nas pequenas coisas: na simplicidade da flor,na inocência das crianças, no silêncio interior,na amizade, no momento presente,na oportunidade de ser bom, ser amigo e compreensivo;sensível ao sofrimento alheio,grato ao passa que lhe proporcionou experiências para o futuro.

Este ano será um sucesso se...você for franco sem ferir,tiver fé em si, no próximo e em Deus e,acima de tudo, expressar o que pensa do outrocom uma palavra de carinho, de apoio,de reconhecimento, de bondade e encorajamento.

Este ano será um sucesso se...você souber vencer a preguiça, o orgulho,a indiferença ao sofredor, a tentação da riqueza, da intriga e da inveja,da intolerância ao ignorante, ao que tem idéias diferentes das suas, ao menos inteligente, ao egoísta, ao mesquinho.

Este ano será um sucesso se...você socorrer a quem precisa, aconselhando-o,

estendendo-lhe a mão, dando-lhe ajuda no momento certo, economizando bens materiais,esbanjando amor e solidariedade,entendendo a criança e o idoso,o adulto que não teve infância e aquele que não sabe amar.

Este ano será um sucesso se...você der um “bom dia” de coração e enfrentar com esportividade as desventuras, semear a paz e o amorvibrar com a felicidade alheia, com a beleza do sol acordando o dia,com a gota de orvalho na flor.

Este ano será um sucesso se ...você valorizar cada vitória e o mundo de oportunidadesque se abrirem diante de você e,começar cada dia com Deus!

Se você for sensível a tudo isso,então este ano será um sucesso para você epara os que viverem ao seu redor!

Que texto lindo reflexivo, não é mesmo?

Você gostou dele? É um presente pra você do

Colégio Estadual Edvaldo Brandão Correia, Grupo

Gestor, Coordenadores e funcionários diversos e é

claro, de nós seus Professores!

_______________________________________________________________________Professor Itamar S Nascimento MATEMÁTICA FINANCEIRA _ ano MMIX

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CÁLCULOS DIVERSOS

Quantas moedas de R$ 0,50, R$ 0,25, R$

0,10, R$ 0,05 e R$ 0,01 respectivamente podem

destrocar o montante de R$ 100,00? E de R$

155,50?

Esta simples pergunta acima induz a

reflexões sobre como calcular o que é solicitado,

não é verdade? A propósito que conta aritmética

você usaria para responder? Sabe calcular com

números racionais decimais? Especificamente, sabe

você operacionalizar as seis operações aritméticas

com os números decimais que a maioria das

pessoas chama-os de “quebrado”? Lembra-se de

quais são as seis contas aritméticas? Vamos

relembrar alguns pontos importantes? Preparado

ou preparada? Vamos lá então!

Os números decimais exatos são uma

subcategoria do Conjunto dos Números Racionais

(Q ). Veja:

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS(Q )

Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.

Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: Por exemplo:

Em forma de fração ordinária:♦ ; ; e

todos os seus opostos.

Esses números tem a forma ab

com a , b Z e b ≠

0.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

Esses números têm a forma ab

com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas

simples ou compostas:

As dízimas periódicas de expansão infinita, que

podem ser escritas na forma ab

: com a, b Z e b ≠

0.

► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = {x = ab

, com aZ e b Z¿}


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Q={−∞,…−52

,−2 ,−32

,−1 ,0 ,+1 ,+ 32

,+52

,+3 , ..+∞}Conjunto dos Números Racionais

Outros subconjuntos dos Números Racionais ► (Q )

Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. São eles:

Q¿={−∞ ,…−52

,−2,−32

,−1 ,+1 ,32

,52

,3 ,..+∞}Conjunto dos Números Racionais Não Nulos

Q+¿¿ ¿ {0 ,+1 ,32

,52

,3 ,3 ,2 , ...+∞}Conjunto dos Números Racionais Não Negativos

Q−¿ ¿ ¿ {−∞ ,…−52

,−2 ,−32

,−1,0}Conjunto dos Números Racionais Não Positivos

Q+¿ ¿¿ ¿ {1,32

,52

,3 ,3 ,2 ..+∞}Conjunto dos Números Racionais Positivos

Q+¿ ¿={−∞, …−

52

,−2 ,−32

,−1}¿

Conjunto dos Números Racionais Negativos

► Representação Geométrica

NOTA IMPORTANTE: Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

ADIÇÃO

a¿ 12+ 2

3=3+2

6=5

6(forma fracionária)

b¿1,25+0,025+32,566¿( formadecimal exata)

c ¿0 ,6ou0,666…=(dízima periódica)QUADRO VALOR DE LUGAR (QVL)

UM

C D U , d c m

1 , 2 5

0 , 0 2 5

3 2 , 5 6 6

3 3 , 8 4 1

Como se lê o numeral 33, 841? ____________________________________________________________________________________________________

Agora calcule:

c ¿ 25+ 5

7+ 1

2=¿

d ¿ 35+0 ,7+0,25=¿

e ¿ 3√64+ 23+0,32+0 ,1=¿

SUBTRAÇÃO

f ¿1−0,25=1− 25100

=1−14=4−1

4=3

4=¿

¿0,75(Setenta e cinco centésimos e NÃO zero vírgula setenta e cinco);

g¿0,75−1= 75100

−1=75−100100

=−25100

=¿

¿−0,25 (Vinte e cinco centésimos negativos);


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h¿1,2 5−0,6−12+√121=1+ 2

10+ 5

90− 6

10−¿

−12

+11=10+18+5−54−45+99090

=¿

¿(10+18+5+990 )−(54+45 )

90=¿

¿ 1023−9990

=92490

=15415

≅ 10,26

Agora é sua vez de calcular:i ¿1,36−0,89−0,11=¿

j ¿0,77…−0 ,25− 3√5832=¿

l ¿ 32−15

2−5

3−0,4=¿

MULTIPLICAÇÃO

Quanto dará 0 ,25 ∙1 ,715 ∙0 ,3? Você

sabe? Todavia não vale efetuar o cálculo com

nenhuma calculadora! Imagine-se num escritório ou

noutro local desprovido de uma calculadora e você

tenha que operacionalizar tal conta aritmética.

Você tem duas saídas básicas. São elas:

1) Transformar todos os decimais em frações

ordinárias e operá-los:

OU2) Observar e contar quantas casas decimais

tem cada numeral. Depois anotar isso por

escrito ou na mente e daí multiplicar os

numerais sem apresentarem a tal vírgula, o

que chamo de “separador de mundos” em

nossas aulas de Matemática Financeira,

lembram-se? Vamos lá!

Resolvendo:Procedimento 1

0,25= 25100

= 14

1,715=17151000

=343200

0,3= 310

Logo teremos:

0 ,25 ∙1 ,715 ∙0 ,3=14

∙343200

∙3

10=1029

8000¿0,128625

Procedimento 2

25∙1715 ∙31000000

= 1286251000000

=0,128625

Treine agora você! Você é capaz! Desafie a si

mesmo (a):

m ¿0,35∙1,27 ∙25,36=¿

n¿5% ∙15

∙1,36 ∙0,08 ∙1% ∙ 3√0,008=¿

o¿7% ∙ √24

∙3√125

4∙0,01 %=¿

DIVISÃO

Lembra da pergunta na primeira página, ou

seja, quantas moedas de R$ 0,50, R$ 0,25, R$ 0,10,

R$ 0,05 e R$ 0,01 respectivamente caberão em R$

100,00? E em R$ 155,50?

Pois é, ela remete-nos à divisão não é

verdade? Pense por um segundo: Você precisa

destrocar os valores respectivos a R$ 100,00 e R$

155,50 em unidades monetárias de moedas cujos

valores são respectivamente iguais a R$ 0,50, R$

0,25, R$ 0,10, R$ 0,05 e R$ 0,01.

Perceba a ordem das contas então:

1¿ 1000,5

,1000,25

,1000,1

,1000,05

e1000,01

;

2¿ 155,50,5

,155,50,25

,155,5

0,1,155,50,05

e155,50,01

.


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Um leve apertar no teclado duma

calculadora resolveria tais problemas não é

mesmo? Mas como surgiram as calculadoras? Não

foi a partir do raciocínio lógico humano

conglomerado às pesquisas científicas? Então,

porque deixar seu cérebro ocioso? Vai dar teia de

aranha, viu? Vamos aumentar as sinapses entre os

neurônios por pensar? Vamos lá!

Já se sabe que a Divisão é irmã afiliada da

Multiplicação, não é mesmo? Visto posto podemos

transformar divisões em multiplicações e vice-versa

ao sabor da imaginação e problemas propostos. No

nosso caso temos as seguintes frações ou divisões:

1000,5

=1005

10

=100 ∙105

=100∙2=200

1000,25

= 10025

100

=100 ∙10025

=100 ∙4=400

1000,1

=1001

10

=100 ∙101

=1000

1000,05

= 1005

100

=100 ∙100

5=100 ∙20=2000

1000,01

= 1001

100

=100∙100

1=100 ∙100=104=¿

¿10 000.

A quais conclusões chegamos?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Já matou a charada não é? Percebeu que eu

primeiramente transformei cada decimal em fração

não foi? E depois? Lembra-se da “decoreba” de há

muito tempo, “conserva a primeira fração e

multiplica-se pelo inverso da segunda?” Pois é,

fizemos exatamente isso. Por quê? Por que a

multiplicação é inversa a divisão!

Ainda não entendeu? Okay vou esclarecer-

te!

Pense em um pacote contendo um

quilograma de feijão (1Kg). Sua mãe grita:

- Henrique Pedro divida o pacote de feijão ao meio

e cate a outra metade e bote no fogo.

Você retado da vida, pois guarda o preceito

popular de que isso é serviço pra menina obedece

pois foi sua mãe quem pediu, não é mesmo?

Kkkk ...kkk!

Materialize a situação com os desenhos

abaixo:

Pelo desenho esboçado está correto afirmar que

2 ∙12

Kg=1 Kg .Não é verdade?

Assim multiplicar por 1/2 é o mesmo que dividir por

2 e vice-versa! Esqueça o decoreba viu? Raciocine!

Agora é sua vez de treinar!Calcule:


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155,50,5

=¿

155,50,25

=¿

155,50,1

=¿

155,50,05

=¿

155,50,01

=¿

POTENCIAÇÃO

[ (0,2 )3 ]2 ∙ ( 0,1 )3=[ 0,2 ]6∙( 110 )

3

=[ 15 ]

6

∙( 110 )

3

=¿

¿ 115625.

∙1

1000= 1

15625000=0,000000064ou

6,4 ∙10−8 (emnotação científica ) .

Você vai arrancar os cabelos porque não

compreendeu esse cálculo acima? Antes de fazer

isso e xingar os professores de Matemática de

quaisquer nomes menos o de santo ou pior ainda,

dizer que vai matar quem inventou a Matemática,

que no caso foi o Criador de todo Universo, leia a

revisão logo em seguida sobre Potenciação e

Radiciação cuidadosamente explicadas que produzi

pra você! Depois aqueça as turbinas fazendo cada

atividade proposta, certo? E é claro deixe os cabelos

em paz!!!

Potenciação é uma multiplicação de fatores

(numerais) iguais. Observe:

2 ∙2 ∙2ou23=8

Note que 23 é a expressão concisa do

produto de 2 x 2 x 2, ou seja, 3 fatores iguais a 2. Ela

representa uma potência na qual o número 2 é

denominado base e 3, o expoente.

A potência 23 pode ser assim lida:

Dois elevado ao cubo;

Dois elevado a terceira potência;

Cubo de dois.

23

∙23=4

9 ou ( 23 )

2

=22

32 =49

Aqui, ( 23 )

2

também representa uma

potência, sendo lida como: dois terços elevado à

segunda potência ou um terço elevado ao

quadrado.

De modo geral, sendo a um número real e n

um número natural, com n≥2, definimos:

an=a ∙a ∙a ∙a…∙a⏟n fatores

Podemos observar que os símbolos a1 e a0

não se encaixam na definição acima, pois não tem

sentido falar em multiplicação com um só fator ou,

ainda, com nenhum fator.

No entanto, é conveniente estender a

definição de potência para esses dois casos, de

modo a preservar as propriedades das potências.

ESCRITA ALGÉBRICA DISCRIMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO


Qual será o valor da expressão [ (0,2 )3 ]2 ∙ ( 0,1 )3=¿?

Você precisará utilizar as propriedades das potências que você vem aprendendo desde a 5.ª série do Ensino Fundamental até aqui. Então não custa nada revisá-las não é mesmo?A resposta é:

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01an=b { a⟶é aBASE

n⟶é o EXPOENTEb⟶é a POT ÊNCIA

Nomenclatura básica da Potenciação.

02 a1=a Toda base elevada a UM resulta nela mesma.

03 a0=1(a≠0) Toda base elevada a ZERO resulta em UM.

04 am∙ an=am+n Na MULTIPLICAÇÃO de BASES IGUAIS conserva-se aBASE e somam-se os expoentes.

05 am÷an=am−n Na DIVISÃO utilizando-se BASES IGUAIS conserva-se a BASE e somam-se os expoentes.

06 {[ (a )n ]p}w=an ∙ p ⋅w Na POTÊNCIA DE POTÊNCIA conserva-se a base e MULTIPLICA-SE os expoentes.

07 (a ⋅b )n=an⋅ bn Na POTÊNCIA DE UM PRODUTO COM BASES DIFERENTES elevadas ao MESMO EXPOENTE eleva-se cada base ao expoente dado.

08 ( ab )n

=an

bn

Na POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE COM BASES DIFERENTES eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente.

09a−n= 1

an

Uma BASE qualquer elevada a um EXPOENTE NEGATIVO reescreve-se a mesma colocando UM sobre a BASE elevada ao EXPOENTE POSITIVO.

10 ( ab )−n

=( ba )n Na POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE COM BASES DIFERENTES elevadas a um

EXPOENTE NEGATIVO invertem-se ou trocam-se numerador e denominador ficando a potência elevada ao EPOENTE POSITIVO.

11ank

=an repertir−se−á K vezes⏞nn

Ex.: 523

=52∙ 2∙ 2=58

Está é a propriedade POTÊNCIA SOBRE POTÊNCIA.

12a

nm=

m√an

Ex.: 323=

3√32

Potência com EXPOENTE FRACIONÁRIO.

Agora é hora de você exercitar essas regras não é mesmo? Então responda, adequadamente, as questões

seguintes, utilizando as propriedades das potências já estudadas e agora revisadas. Bons estudos !!!

1. Considere a igualdade 25=32.

a) Como se chama o número 2? ______________________________________

b) Como se chama o número 5? ______________________________________

c) Como se chama o número 32? _____________________________________

2. Calcule:


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a¿82=¿

b¿2¿3=¿

c ¿7¿3=¿

d ¿ (−4 )2=¿

e ¿18¿0=¿

f ¿ (−8 )¿2=¿

g¿ (−2 )3=¿

h¿ (−1 ) ¿5=¿

i ¿−(−2 )3=¿

j ¿−351=¿

k ¿10¿x=100 000

l ¿10¿x=0,00001

m ¿20¿15−3 x=1

n¿2¿2+2−2=¿

o¿52 ∙10−2 ∙( 12 )

−2

=¿

p¿ 92 ∙273

2432 =¿

q¿ 210 ∙24

29 =¿

r ¿( 13 )¿23

=¿

s¿8¿0 , 3=¿

t ¿ (0,444 …) ¿0,5=¿

RADICIAÇÃO

Definição: Dados um número real a e um número inteiro, n>1 ; define-se raiz n-ésima de a sendo o

número x, cuja potência n-ésima seja igual a a.

A radiciação é uma operação unária oposta à potenciação (ou exponenciação).

Para um número real a, a expressão representa o único número real x que verifica xn=a e tem o

mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n=2 o símbolo de radical refere-se à raiz

quadrada. A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando e a radical.

Assim temos: n√a=x⟺ xn=a

Daí temos a seguinte Nomenclatura da Radiciação: { né o Í ndicexé araiz

aé oradicandoO sí mbolo √❑é oradical

Não se esqueça que por nomenclatura entendem-se as partes que compõem alguma coisa. No caso

as partes da conta aritmética dada.

√25=5 , pois52=25

3√−8=−2 pois−23=−8

REGRAS GERAIS DA RADICIAÇÃO

Considerando ae b∈R¿ positivos temos:

Então, estude a regra à esquerda e então discrimine-a à direita com suas próprias palavras. Mãos à obra!


http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/wiki/Potencia%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_un%C3%A1ria

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ESCRITA ALGÉBRICA DISCRIMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES DA

RADICIAÇÃO01 n√ab=n√a n√b

02 n√ ab=

n√an√b

03 n√am=( n√a )m=amn

04 m√ n√a=m∙ n√a

05

( n√a )m= n√am

06a

mn=

n√am


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07a

−mn = 1

n√am

08 n√an

092√a±❑√b=

2√ (a+❑√a2−b )2

±2√ (a−❑√a2−b )

2

Racionalização

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização da fração.

Exemplos:

1¿ a❑√b

= a❑√b

∙❑√b❑√b

=a❑√bb

2¿ 1(❑√a+❑√b )

=1 ∙ (❑√a−❑√b )

(❑√a+❑√b ) ∙ (❑√a−❑√b )=

❑√a−❑√b

(❑√a )2− (❑√b )2=

❑√a−❑√ba−b

3¿4

5√72=

45√72

∙5√73

5√73=

45√73

5√75

4 ¿3−❑√53+❑√5

=(3−❑√5 )(3+❑√5 )

∙(3−❑√5 )(3−❑√5 )

=(3−❑√5 )2

(3 )2−(❑√5 )2=¿

(3 )2−2∙3 ∙❑√5+(❑√5 )2

9−5=

9−6❑√5+54

=¿

¿ 14−6❑√54

.

Conseguiu perceber as regras envolvidas?

Nos exemplos dados, você observou que a racionalização do denominador da expressão dada é feita

multiplicando-se o seu numerador e o seu denominador por uma expressão conveniente, chamada de fator

racionalizante.

O fator racionalizante de alguns caos pode ser obtido de acordo com a tabela abaixo.

NOTA IMPORTANTE: Para efetuar a radiciação no MS Excel é necessário entender um conceito simples. Explico

assim: a raiz W de um número Y ( ), é igual a Y elevado à 1 dividido por X ( ). Em fórmula ficaria assim: " =

radicando ^ (1/índice) ". Ex: raíz cúbica de 8 ( ) ficaria " = 8 ^ (1/3)".EQUAÇÕES EXPONENCIAIS


TIPO DE DENOMINADOR

√a

(coma≥0 )

n√am

(coma>0 )

√a+√b

(coma>0 eb>0 )

√a−√b

(coma>0 eb>0 )

FATOR RACIONALIZANTE √a n√an−m √a−√b √a−√b

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o

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Chama-se Equação Exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Assim, são equações

exponenciais, por exemplo: 2x=16 ;3x−1+3x−2=9 ;3x−1=27 ;10 ∙22x−5 ∙22x−1=0

Exemplo: Calcular o valor de xna equação 27x+1=9x

27x+1=9x

33 ( x+1 )=32x

3 ( x+1 )=2 x

3 x+3=2 x

3 x−2 x=−3

x=−3

S= {−3 }

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Note que:

32=25⟺ log2 32=5

25=52⟺ log525=2

27=33⟺ log3 27=3

Deduzimos que:

A operação por meio da qual obtemos x é chamada de LOGARITMAÇÃO.

OperaçãoElementos

Potenciação Logaritmação

a Base Base do Logaritmo

b Potência Logaritmando ou Antilogaritmo

x Expoente Logaritmo

Definição: O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o número x, ao qual se deve elevar a para se obter b. Assim:

b=ax⟺ loga b

Sistema de Logaritmo

a) Sistema de Logaritmos Decimais - é o sistema e base 10 ou sistema de Briggs.


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b) Sistema de Logaritmos Neperianos - é o sistema de base e ou sistema de logaritmos naturais. Indica-se:

log e xou ln x onde e=2,718… (nº irracional).

Condição de existência

log ab⟹ {logaritmando positivobase positiv a

base diferentede1 ou log ab⟹ { b>0

a>0 ea≠1

A este conjunto de condições chamamos de CAMPO DE EXISTÊNCIA ou DOMÍNIO DOS LOGARITMOS.

Exemplos:

1) Determinar o domínio da função f ( x )=log3 (x−5 )

CE { x−5>0x>5

D( f )={x∈R; x>5}

2) Determinar o Campo de Existência de y=logm−27

CE { m−2>0e m−2≠1m>2m≠3

D(f )={x∈R ; x>2e x≠3 }

3) Determinar o domínio de y=logx +1 x2+3x−18

Obs.: Será feito em sala de aula.

Conseqüências da Definição

1) log a1=02) log aa=13) log aam=m4) a logab=b5) log ab=loga c⟺b=c .

Equações Logarítmicas

Procedemos do seguinte modo para resolvermos:

1º) Indicaremos as condições de existência;

2º) Resolveremos a equação;

3º) Faremos a verificação com as soluções da equação nas condições de existência.

Dado log 4 x=2CE {x>0

log 4 x=2⟹ x=42 ∴ x=16


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Verificação: x>0⟹16>0 (Verdadeiro )

S= {16 } .

Propriedades dos Logaritmos

1) LOGARITMO DE UM PRODUTOO LOGARITMO DE UM PRODUTO É IGUAL À SOMA DOS LOGARITMOS DOS FATORES, TOMADOS NA MESMA BASE, ISTO É:

log b ( a∙ c )=logb a+ logbc , coma>0 , c>0e b≠1eb>0.

2) LOGARITMO DE UM QUOCIENTEO LOGARITMO DE UM QUOCIENTE É IGUAL AO LOGARITMO DO DIVIDENDO MENOS O LOGARITMO DO DIVISOR,TOMADOS NA MESMA BASE, ISTO É:

log bac=logb a−logb c , coma>0 ,c>0 , b≠1eb>0.

3) LOGARITMO DE UMA POTÊNCIAO LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA É IGUAL AO PRODUTO DOS EXPOENTE PELO LOGARITMO DA BASE DA POTÊNCIA, ISTO É:

log ban=n ∙ logb a , coma>0 ,1≠b>0e n∈ R

4) MUDANÇA DE BASE

log ab=logc b

logc a,comb>0 ,0<a≠1e 0<c ≠1

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1) Resolva as expressões numéricas seguintes:

a¿ [ (−47 )∙ (−4 )10∙ (−4 ) ] : [ (−4 )8 ]2=¿

b¿ [ (−2 )6 ]2: [ (−2 )6 ∙ (−2 )12∙ (−2 ) ]=¿

c ¿ 1

3−√3+ 1

3+√3=¿

d ¿√6+ 2

√6=¿

e ¿ √3+1√3−1

=¿

f ¿ 0,05 ∙10−2 ∙0,4 ∙10−1 ∙0,082 ∙10−4 =¿

g¿ 3√375=¿

h¿x2−(− y2

x2 )(√x+√ y )2−2√ xy

=¿

i ¿ 2√2+√3+√2−√3√3

=¿

j ¿3 3√x+5 3√ x−12 3√ y−3√x+10 3√ y=¿

k ¿ √75+√12√588

=¿

l ¿ 6√75:3√72=¿

m ¿ (3+2√5 )2−√720−18=¿

n¿(1−1

2 )2

34

+

15

(1−45 )

2 =¿


9 d

e m

aio

de

20

09

o¿ 1

2+1

2+1

10

=¿

p¿5√31+

6√10−√83−√4=¿

q¿ ( 3√ 6√29)4

∙( 6√ 3√29 )4=¿2) As equações exponenciais aparecem em alguns

cálculos de Matemática Financeira associadas aos

Logaritmos. A guisa de exemplo, Juro Composto,

definido num período maior ou igual a 2 meses

(t ≥2 ). Assim é pertinente e necessário revisar tais

conteúdos. Calcule as equações exponenciais:

a¿ 4x−2x−2=0

b¿9x+3x=90

c ¿4x−20 ∙2x+64=0

d ¿4x+4=5 ∙2x

e ¿9x+3x+1=4

f ¿52 x+5x+6=0

g¿22x+2x +1=80

h¿102x−1−11 ∙10x−1+1=0

i ¿4x+1+43− x=257

j ¿5 ∙22 x−42x−1

2−8=0

k ¿25√ x−124 ∙5√x=125

l ¿3x− 15

3x−1+3x−3= 23

3x−2

m ¿2x+1+2x−2− 3

2x−1− 3

2x−1=30

2x

n¿( 23 )

x

=2,25

o¿8x= 132

p¿ (√3 )x= 3√81

q¿100x=0,001

r ¿162 x+3−162 x+1=28 x+12−26x +5

s¿4x+6x=2 ∙9x

3) Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:

a¿ log√8 4=¿

b¿ log250,2=¿

c ¿ log23√64=¿

d ¿ log16 32=¿

e ¿ log5 0,000064=¿

f ¿ log91=¿

g¿ log 17

1=¿

h¿ log 88=¿

i ¿ log6 62=¿¿

j ¿5log4 3 ∙ log5 4=¿

k ¿2−log3 8 ∙ log2 3=¿

l ¿4log4 16

2 =¿

RAZÃO

Definição: é o quociente, se tomado dois números, do

primeiro pelo segundo, com o segundo número

diferente de zero.

Exemplo:

A razão de 3 para 5 é 35

.

A razão de 14

para23

é

1423

. que é iguala38

.


9 d

e m

aio

de

20

09

Temos de uma Razão

Os termos de uma razão recebem nomes especiais:

Na razão

47 { Onú mero4 é c hamado ANTECEDENTE.

Onúmero7 é c hamadoCONSEQ Ü ENTE .

PROPORÇÃO

I) Definição: é a igualdade entre duas razões.

II) Termos da proporção

Representamos por :

ab= c

dou a: b=c :d

Lemos: a está para b assim como c está para d.

Os termos a e d são chamados extremos da

proporção.

Os termos b e c são chamados meios da

proporção.

III) Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao

produto dos meios.

Exemplo: Sejam as proporções:

I ¿ 35= 6

10 { 5 x 6=303x 10=30

II ¿ 23=4

6 {2 x6=123 x4=12

IV) Resolução de uma proporção

Podemos descobrir o valor de um termo

desconhecido numa proporção, aplicando a

propriedade fundamental.

Exemplo 1:

Calcular ovalor x na propor çã ox7= 9

21

Lembre−seque pela teoriaestudada

O produto dos meios é igual ao produt

dos extremos

Assim:

x ∙21=7 ∙9=¿

¿21 x=63

¿ x=6321

=3

x=3

Exemplo 2:

Calcular ovalor x na propor çã ox−212

= x20

Lembre−seque pela teroiaestudada

O produto dosmeios é igualao

produtodos extremos

20 ∙ (x−2 )=12 ∙ x

20 ( x−2 )=12 x

¿20 x−40=12 x

¿20 x−12 x=40

¿8 x=40

x=408

x=5

VAMOS EXERCITAR O QUE ACABAMOS DE APRENDER?

1) Calcule o valor de x nas proporções:

a¿ x10

=75

b¿ 315

= x5

c ¿ 123

=8x


9 d

e m

aio

de

20

09

d ¿ x4=2

7

e ¿ 146

= x9

f ¿ 1560

=60x

g¿ x6= x+3

15

h¿ x−3x

=45

i ¿6 x5

=

2513

j ¿1−1

3x

=75

k ¿ 113+

12

=2x

l ¿2−1

3x

=

54

15

2) Resolva os sistemas:

a¿ {x+ y=14xy=3

4

b¿ {x− y=6xy=10

7

c ¿ {x+ y=40xy=7

3

d ¿ {x− y=15x9= y

4

Note a resolução desses dois problemas

abaixo. Depois resolva os exercícios

solicitados!

I) A soma de dois números é 48 e a

razão entre eles é 75

. Calcular

esses números.

Solução:

Se xe y sã oos dois nú meros, ent ã o:

{x+ y=48⟹ y=48−x Ixy=7

5⟹5x=7 y II

Substituindo I em II :5 x=7 ( 48−x )

5 x=336−7 x

5 x+7 x=336

1 x=336

x=33612

x=28

C álculode y :

y=48−x

y=48−28

y=20

Resposta: Os números são 28 e 20.

II) Dividir 60 em partes proporcionais a 5 e 7.

Solução:

Se xe y sã oos dois nú meros, ent ã o:

{ x+ y=60x5= y

7⟹5 y=7 x⟹ y=7 x

5

Substituindo yna1 ª equaçã o : x+ 7 x5

=60

5 x+7 x=300

12 x=300


9 d

e m

aio

de

20

09

x=30012

x=25

Ent ã o : x+ y=60

25+ y=60

y=60−25

y=35

Resposta: OS números são 25 e 35.

QUE TAL EXERCITAR O QUE ACABAMOS DE

APRENDER?

1) Determine dois números cuja razão é 92

e cuja

soma é 55.


e cuja

diferença é 17.

3) A soma das idades de dois irmãos é 20 anos e a

razão entre elas é 23

. Calcule as idades.

4) Minha mãe fez uma salada de frutas com

maçãs e mamãos num total de 21 frutas. A

razão do número de maçãs par o número de

mamãos foi de 3 para 4. Quantas maçãs ela

usou na salada?

5) Numa classe de 2 alunos, em cada grupo de 7

alunos, 4 são meninas. Qual o total de

meninos?

6) Dividir 45 em partes proporcionais a 5 e 10.

7) Repartir 63 figurinhas entre Paulo e Ari, de

modo que as quantidades sejam proporcionais

a 3 e 4.

8) Divida R$ 39 000,00 entre duas pessoas de

modo que a primeira e a segunda recebam

quantias proporcionais a 6 e 7.

9) Calcule o valor das proporções:

a¿ 2xx−1

=45

b¿ 3x+24

=5 x7

c ¿

53

3+14

=x35

d ¿x3=

92

2+14


e cuja

soma é 75.


e cuja

diferença é 42.

12) Repartir 80 laranjas entre dois meninos na

razão 53

.

13) Um pai dividiu R$ 3 000,00 entre dois filhos na

razão de 7 para 8. Quanto recebeu cada filho?

14) Dois sócios entram num negócio com um

capital de R$ 5 000,00 e R$ 3 000,00. No final

obtêm um lucro de R$ 24 000,00. Quanto

receberá cada um?

15) Uma mistura está formada por 4 partes de

álcool e 3 partes de água. Quantos litros de

álcool há em 140 litros dessa mistura?

GABARITO

Questões 1 2 3 4 5 6 7 8

Respostas (45, 10) (51, 34) (8, 12) 9 maçãs 12 meninos (15, 10) (27, 36) R$ 18 000,00_______________________________________________________________________Professor Itamar S Nascimento

MATEMÁTICA FINANCEIRA _ ano MMIX

9 d

e m

aio

de

20

09

R$ 21 000,00

Questões 9 10 11 12 13 14 15

Respostas

a¿−23

, b¿−14

c ¿ 413

, d¿6

(30, 45) (70, 28) (50, 30)R$ 1 400,00

R$ 1 600,00

R$ 15 000,00

R$ 9 000,00

80 litros de

álcool

Não deixe de passar para o caderno somente aquilo que achar importante fixar na mente!Aprender Matemática exige esforço, estudo e principalmente prática.

Educador e Professor Itamar Nascimento


LISTA 2 - MATEMÁTICA FINANCEIRA

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