Lista 3 - MAT5719 - Cálculo Diferencial Geométrico no Rn
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MAT5719 - Cálculo Diferencial Geométrico no R n 22 de fevereiro de 2010 Lista 3 1. Seja f : [0, 2] → R * + contínua, tal que int 1 0 f (t)dt = 2 1 f (t)dt = 1. Para cada x ∈ [0, 1], considere g( x) definida implicitamente por g( x) x f (t)dt. Prove que g está bem definida e é de classe C 1 . 2. Dada f ( x, y, z) = ( x 2 + y 2 - 4) 3 + z 2 - 1, determine os valores c ∈ R tais que f -1 (c) é superfície de R 3 e , nesses casos, descreva f -1 e determine sua dimensão. 3. Determine os valores regulares de F ( x, y, z, t) = ( x 2 + y 2 - z 2 + t 2 , t 2 )e descreva as superfícies de nínel. 4. Verificar se f ( x, y) = 2 x 2 + 3 xy + 2y 2 tem extremos locais condicionada à curva g( x, y) = x 2 + y 2 = 1. 5. Achar os pontos do elipsóide x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 cuja soma das coordenadas seja máxima. 6. Seja f ( x 1 ,..., x n ) = √ x 1 ... x n n, ∀ x i ≥ 0. Determine o máximo de f restrita à x 1 + ··· + x n = a ( x i ≥ 0). Conclua que x 1 ... x n ≤ x 1 +···+x n n n . 1
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MAT5719 - Cálculo Diferencial Geométricono Rn
22 de fevereiro de 2010
Lista 31. Seja f : [0, 2]→ R∗+ contínua, tal que int1
0 f (t)dt =∫ 2
1f (t)dt = 1. Para cada
x ∈ [0, 1], considere g(x) definida implicitamente por∫ g(x)
xf (t)dt. Prove
que g está bem definida e é de classe C1.
2. Dada f (x, y, z) = (x2 + y2 − 4)3 + z2 − 1, determine os valores c ∈ R taisque f −1(c) é superfície de R3 e , nesses casos, descreva f −1 e determine suadimensão.
3. Determine os valores regulares de F(x, y, z, t) = (x2 + y2 − z2 + t2, t2) edescreva as superfícies de nínel.
4. Verificar se f (x, y) = 2x2 + 3xy + 2y2 tem extremos locais condicionada àcurva g(x, y) = x2 + y2 = 1.
5. Achar os pontos do elipsóide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 cuja soma das coordenadasseja máxima.
6. Seja f (x1, . . . , xn) =√
x1 . . . xnn, ∀xi ≥ 0. Determine o máximo de f restritaà x1 + · · · + xn = a (xi ≥ 0). Conclua que x1 . . . xn ≤
(x1+···+xn
n
)n.
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