Lista 7.1 – Formas Quadráticas; Conjunto Convexo; Função...
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Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa Apontamentos Cálculo II
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Lista 7.1 – Formas Quadráticas; Conjunto Convexo; Função Convexa
1. Forma quadrática de n variáveis reais (Q):
Polinómio de 2º grau n variáveis reais cuj las são exclusivamente de 2º de as parce grau.
, x … ,x 1, x 1 .x12 a 2.x1 . 22.x22 a23.x2.x3 a2n.x2.xn Q x1, x2 3 n n a 1 1 .x2 a1n.x1 xn a
a n 1 n 1 .xn 12 a n 1 n.xn 1.xn ann.xn2 ∑ ∑ aij.xi.xj
nj i
ni 1
2 F. a ti
Q x,y axx.x2 axy.x.y ayy.y2
orm quadrá ca de 2 variáveis reais:
3. Forma matricial simétrica de uma forma quadrática de n variáveis reais:
Forma quadrática escrita como o produto entre uma matriz linha, uma matriz simétrica e uma matriz coluna.
Q x1, x2, … , xn x1 x2 … xn .
a11a122
… a1n2
a122
a22 … a2n2… … … …
a1n2
a2n2
… ann
.
x1x2…xn
xT.A.x
4 r. Forma matricial simétrica de uma fo
Q x,y x y .axx
axy2
ma quadrática de 2 variáveis reais:
axy2
ayy.xy xT.A.x
5. Valor próprio de uma matriz Anxn real e simétrica:
Número real que, quando multiplicado por cada um dos elementos de um subespaço vectorial de vectores de n diferente do vector nulo (conjunto de vectores próprios) iguala o produto entre A e cada ctores. um destes ve
λiA é valor próprio de A SiA n, Si
A subespaço vectorial 0 : x SiA, λi
A.x A.x
6. Cálculo dos valores próprios de uma matriz Anxn real e simétrica:
Uma matriz Anxn real e simétrica tem n valores próprios reais, mas nem todos necessariamente difere ntes.
λiA é valor próprio de A A λi
A.I 0
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7. Menor principal de ordem k uma matriz Anxn real e simétrica, resultante da eliminação das linhas e colunas i1, i2, … e in k (Mki1i2in-k
A ):
Determinante da sub‐matriz de A resultante da eliminação das suas linhas e colunas i1, i2, … e in k (as linhas e colunas eliminadas têm os mesmos índices).
8. Menores principais de uma matriz A3x3 real e simétrica:
Determinantes das sub‐matrizes de A resultantes da eliminação de todas as combinações possíveis de qualquer número das suas linhas e colunas, incluindo o 0.
Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Menores principais de ordem 1: M123A a11| a M1
A |a22| ; M |a33| a33 | 11;13
a22 112A
Menores principais de ordem 2: MA a11 a12a21 a22
; M2A a11 a13
a31 a33; M21
A a22 a23a32 a33
23 2
Menor principal de ordem 3: M3A
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A|
9. Menor principal líder de ordem k uma matriz Anxn real e simétrica ( kLA
): M
Determinante da ub‐matriz de A resultante a eliminação das suas últimas n k linhas e colunas (as linha colunas eliminadas têm os esmos índices).
s ds e m
A
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …an1 an2 … ann
; MkLA
a11 a12 … a1ka21 a22 … a2k… … … …ak1 ak2 … akk
10. Menores principais líderes de uma matriz A3x3 real e simétrica:
Determinantes das sub‐matrizes de A resultantes da eliminação de qualquer número das su ltimas linhas e colunas. as ú
Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Menor principal líder de ordem 1: M1LA M123
A a11| a 1 | 1
Menor principal líder de ordem 2: M2LA M23
A a11 a12a21 a22
Menor principal líder de ordem 3: M3LA M3
Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A|
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11. Classificaçã d f m q ática quanto ao sinal: o e uma or a uadr
Definida positiva: x n: , Q 0 x 0 x
Semi‐definida positiva , x : x n Q 0
Definida negativa: x n: , Q 0 x 0 x
Semi‐defini x n da negativa: , Q x 0
Indefinida: x, y n: Q x 0 Q y 0
12. Formas quadráticas definidas e se i-de inidas: m f
Definidas: Q é definida positiva (negativa) Q é semi efi positiva (negativa) ‐d nida
Semi‐definidas: Q é semi‐definida positiva (negativa) Q é definida positiva (negativa)
13 C
Q x xT.A.x
. lassificação de uma forma quadrática quanto ao sinal com base nos valores próprios da matriz que lhe está associada:
Definida positiva: i , , 0 1 … ,n λiA
Semi‐definida pos a i 1, ,n λiA 0 itiv : … ,
Definida negativa: i , , 0 1 … ,n λiA
Semi‐defini … , λ 0 da negativa: i 1, ,n iA
Indefinida: i, j 1,… ,n : λiA 0 λjA 0
14 C
Q x xT.A.x
. lassificação de uma forma quadrática quanto ao sinal com base nos menores principais da matriz que lhe está associada:
Definida positiva: k , , ij , , ki1 …in k
A 0 1 … ,n 1 … ,n Mi2
Semi‐definida positiva k 1, ij 1, ,n ,Mki1i2…in k
A: … ,n , … 0
Definida negativa: k , ij , , Mki1i2…in k
A sinal 1 k 1 … ,n , 1 … ,n sinal
Semi‐defini k 1,… ,n , j 1,… ,n , da negativa: i
sinal Mki1i2…in k
A sinal 1 k Mki1i2…in k
A 0
Indefinida: Todos os outros casos
15 C
Q x xT.A.x
. lassificação de uma forma quadrática quanto ao sinal com base nos menores principais líderes da matriz que lhe está associada:
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ua rát
Definida positiva: ,… n kLA 0 k 1 , ,M
Definida ne ti ,… ,n , sina MkLA sinal 1 k ga va: k 1 l
Indefinida: k 1,… ,n , k par: MkLA 0
16. Conjunto convexo de n:
Conjunto que, se contém dois pontos, contém também todos os pontos pertencentes ao segmento de os recta que une.
A é convexo x, y A, λ 0,1 , λ.x 1 λ .y A
17. Conjunto côncavo de n:
Conjunto que contém pelo menos dois pontos unidos por um segmento de recta não totalmente contido em si.
A é côncavo x, y A: λ 0,1 : λ.x 1 λ .y A
18. Intersecção e convexidade de conjuntos:
A intersecçã convexos m conjunto conv x
i 1,… ,k , Ai é convexo A Aiki 1 A1 … Ak é convexo
o de conjuntos é u e o.
19. Função escalar, de domínio convexo, convexa:
Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo linear, ou menos que linear. Função cujas imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são ligadas por um segmento de recta que se encontra acima ou ao mesmo nível que as imagens dos pontos que se no segmento de recta que une os dois pontos originais. encontram
f: Dfn
f co ve;D n xo
f é convexa x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2
20. Função escalar, de domínio convexo, estritamente convexa:
Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo menos que linear. Função cujas imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são ligadas por um segmento de recta que se encontra acima das imagens dos pontos que se encontram no segm ta que une os dois pontos originais. ento de rec
f: Dfn ;Df convexo
f es m n co a x2 D , λ 0,1 , é trita e te nvex x, f
f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2
21. Função escalar, de domínio convexo, côncava:
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Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo linear, ou mais
que linear. Função cujas imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são ligadas por um segmento de recta que se encontra abaixo ou ao mesmo nível que as imagens dos pont contram no segmento de recta que une os dois pontos originais. os que se en
f: Dfn
f co ve;D n xo
f é côncava x, x2 Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2
22. Função escalar, de domínio convexo, estritamente côncava:
Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo mais que linear. Função cujas imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são ligadas por um segmento de recta que se encontra abaixo das imagens dos pontos que se encontram no segm ta que une os dois pontos originais. ento de rec
f: Dfn ;Df convexo
f es m n cô va x2 D , λ 0,1 , é trita e te nca x, f
f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2
23. Propriedades de funções convexas e cô cavas: (f e g convexas (côncavas), h crescente e convexa (côncava)
n):
Combinação linear positiva: α,β 0 , α.f β.g convexa (côncava)
Transform ção te e convexa (côncava): hof convexa (côncava) a crescen
Extremos: max f,g min f,g convexa (côncava)
24. Classificação de uma função de classe C2 quanto à convexidade com base na matriz Hesseana:
Estritamente onv x x int Df ,Hf x definida positiva c e a:
Convexa: x int Df , semi‐ finida positiva Hf x de
Estritamente ônc v int Df ,Hf x definida negativa c a a: x
Côncava: x int D ,H x ‐de i ativa ff semi fin da neg
Convexa e côncava: x int Df ,Hf x 0 semi‐definida positiva e negativa
Não convexa nem côncava: Todos os outros casos
25. Função escalar, de domínio convexo, quase-convexa:
Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos não é supe das imagens dos dois pontos. rior à maior
f: Dfn ;Df o convex
f é quase‐convexa x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y max f x ,f y
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26. Função escalar, de domínio convexo, estritamente quase-convexa:
Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos é infer m as imagens dos dois pontos. ior à aior d
f: Dfn ;Df convexo
f é e t it me e quase‐convexa x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y s r a nt
max f x ,f y
27. Função escalar, de domínio convexo, quase-côncava:
Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos não é infer m das imagens dos dois pontos. ior à enor
f: Dfn ;Df o convex
f é quase‐côncava x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y min f x ,f y
28. Função escalar, de domínio convexo, estritamente quase-côncava:
Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos é supe das imagens dos dois pontos. rior à menor
f: Dfn ;Df convexo
f é es e te quase‐côncava x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y tritam n
min f x ,f y
29. Função escalar, de domínio convexo, explicitamente quase-convexa:
Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos com imag i es é inferior à maior das imagens dos dois pontos. ens d ferent
f: Dfn ;Df convexo
f é pli i m nt u on exa
f λ.x 1 λ .y max f x ,f y
ex c ta e e q ase‐c v x, y Df: f x1 f y , λ 0,1 ,
30. Função escalar, de domínio convexo, explicitamente quase-côncava:
Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos com imag i es é superior à menor das imagens dos dois pontos. ens d ferent
f: Dfn ;Df convexo
f é pli i m nt u côncava
f λ.x 1 λ .y min f x ,f y
ex c ta e e q ase‐ x, y Df: f x f y , λ 0,1 ,
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31. Tipos de convexidade de funções:
f estritamente convexa (côncava) f convexa (côncava)
f estritamente quase‐convexa (côncava)
f quase‐convexa (côncava)
f explicitamente quase‐convexa (côncava)