LISTA DE EXERC ICIOS DE ALGEBRA LINEAR Diagonalizao de Operadores ca Professor: Ronaldo Freire 1. Verique, em cada item, se o operador dado ou no diagonalizvel e, no caso e a a armativo, encontre uma base que o diagonaliza. i) T : R2 R2 , T (x, y) = (3x + 4y, x + 2y) ; ii) T : R3 R3 , T (x, y, z) = (3x 3y 4z, 3y + 5z, z) ; iii) T : R3 R3 , T (x, y, z) = (x + 2y z, 2x 3y + z, 2x + 2y 2z) . 2. Determine, em coordenadas com respeito ` base cannica de R2 , o operador a o linear T : R2 R2 que tem (3, 1) e (2, 1) como autovetores associados aos autovalores 2 e 3, respectivamente. 3. Prove que se T : V V um operador linear invert e um auto-valor e vel e de T, ento = 0 e 1 auto-valor de T 1 . a e 4. Mostre que os auto-valores de qualquer matriz quadrada so iguais ao da sua a transposta. 5. Dadas matrizes A, B M(n, n), prove R autovalor de AB se, e somente e se, autovalor de BA. e 6. Diz-se que um operador linear T : V V idempotente se T T = T , isto , e e T (T (v)) = T (v) v V . Mostre que: i) Existe um operador idempotente T : R2 R2 distinto do operador nulo e do operador identidade; ii) os poss veis auto-valores de um operador idempotente so 0 e 1. a

1