Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB

Departamento de Ciências Exatas – DCE

Disciplina: _______________________. Profª: Vanêssa. Data: ___/___/___.

Aluno: _____________________________________. Curso: _______________________.

Lista de Exercícios 1 - Técnicas de Somatório

1. Índices ou notação por índices

O símbolo xi (leia x índice i) representa qualquer um dos n valores , x1, x2, ..., xn, assumidos

pela variável xi, na amostra ou no conjunto de dados. A letra i, usada como índice, pode representar

qualquer um dos valores: 1, 2, ..., n. Evidentemente pode ser usada qualquer outra letra além de i.

2. Notação de somatório

O símbolo é usado para representar a soma de todos os valores x1 desde i = 1 até i =

n, ou seja, por definição:

O símbolo é a letra grega signa, que indica soma.

3. Propriedades

3.1

3.2

Obs:

3.3

3.4

Obs. A, b e k são constantes e X e Y variáveis aleatórias.

4. Soma variáveis arranjadas com dupla identificação

É comum os dados de um experimento ou de uma amostragem ser representado por uma

tabela de dupla entrada. Por exemplo, um pesquisador interessado em verificar se as notas de

matemática de alunos do segundo grau diferem entre os estados brasileiros, amostrou escolas

anotando a nota de 200 alunos em cada um dos estados. Para identificar estes dados, o estatístico

poderia identificar os estados por um índice e o aluno por outro. Desta forma tem se a variável X

com dois índices (xij). O índice i representa os estados brasileiros e o índice j os alunos de cada um

deles. Um outro exemplo, apresentado na tabela 1, refere-se a produção média por hectare de uma

gramínia após a utilização de adubos hidrogenados e fosfatados. Três quantidades de nitrogênio

foram aplicadas e quatro doses de fósforo.

1ª aula prática

Tabela 1: Produtividade em t há de uma forrageira sob o efeito de 3 doses de N em

combinação com 4 de P observados em um experimento zootécnicos.

Teor de fósforo (i) Teor de nitogênio (j)

1 2 3

1 4,6 5,0 5,5

2 5,0 5,5 6,1

3 5,2 5,8 6,4

4 6,0 6,2 6,8

Em algumas análises estatísticas é necessário muitas vezes somar as linhas e/ou

colunas, bem como toda a tabela. A notação de somatório pode ser utilizada com essa

finalidade. Como dois fatores determinam a produtividade, dois índices serão utilizados para

representá-los, comentado anteriormente. Assim será definido os seguintes somatórios:

i) Somar todas as produtividades da tabela 1

ii) Somar cada uma das linhas

Assim por exemplo, para fósforo dose 1 (i =1), a produtividade total é:

iii) Somar cada uma das colunas

Assim, por exemplo, para nitrogênio dose 3 (j=3), a produtividade total é:

1ª aula prática

Exercícios propostos

1. Sejam os conjuntos de dados a seguir: X= {2,4, 4,3,2} e Y= {1,2,3,6,7}. Obtenha:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. Seja a média aritmética e a variância. Dado o conjunto

de dados X= {2,4,5,6,1,8}, calcule a sua média e variância.

3. Demonstre numericamente e algebricamente que:

a)

b)

4. Obtenha, a partir da tabela abaixo, as seguintes somas:

Linhas Colunas

Total xi. j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5

i = 1

i = 2

i = 3

Total x.i

a) Os totais das colunas, linhas e o total geral;

b)

c)

d)

n

x

X

N

i

i 1

n

x

xs

n

i

in

i

i

2

122 1-n

1

01

n

i

i xx

n

x

xxx

n

i

in

i

i

n

i

i

2

1

1

2

1

2

3

1

5

1

2

i j

ijx

311 x

121 x531 x

512 x322 x232 x

413 x223 x433 x

314 x424 x334 x

215 x225 x335 x

3,2,1,5

1

2

ixj

ij

5,4,3,2,1,3

1

2

jxi

ij

5

1i

ix

5

1

24i

ix

5

1

23i

ii yx

5

1i

iy

5

1i

ii yx

5

1

24

2 i

i

i

ii yyx