Movimento Unidimensional 1. O gráfico x(t) do movimento de uma partícula ao longo do eixo x é mostrado na figura abaixo. Faça um esboço dos gráficos da velocidade versus tempo e da aceleração versus tempo para esse movimento.

2. As componentes da velocidade de um ponto, cujo movimento tem início na origem das coordenadas, são dadas por:

2x yv 8 t e v 24 t= =

Determinar a equação da trajetória. 3. Um ponto se move sobre a parábola 2y 2x,= de tal maneira que a projeção da sua velocidade sobre o eixo dos x é constante e igual a 8 m/s. Ao iniciar-se a contagem do tempo, o móvel está na origem das coordenadas.Determinar a velocidade no fim de 1 s. 4. Num movimento retilíneo, a relação entre a velocidade e o deslocamento é dada por:

2 2v Ax Bx C= + + Determinar a expressão da aceleração. 5. O mecanismo de amortecimento, usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas, consiste essencialmente de um pistão, que está preso ao cano e pode se mover no cilindro fixo cheio de óleo. Quando o cano recua com uma velocidade inicial v0, o pistão movimenta-se e o óleo é forçado através de orifícios no pistão, provocando uma desaceleração do pistão e cano proporcional ás suas velocidades, isto é, a = – kv. a) Expressar v em função de t; b) Expressar s em função de t; c) Expressar v em função de s e d) Traçar as correspondentes curvas do movimento. 6. A aceleração de uma partícula que cai a partir do repouso sob atuação das forças Peso e de resistência do ar, pode ser escrita da seguinte maneira:

ka g v,m

= −

Onde g é o módulo da aceleração da gravidade, m é a massa da partícula e k é uma constante de dimensões apropriadas. a) Determine a unidade da constante k. b) Determine a expressão da velocidade em função do tempo. c) Determine o valor da velocidade limite dessa partícula. d) Faça o gráfico da velocidade da partícula em função do tempo.

Movimento Bidimensional e Tridimensional 7. Uma partícula descreve uma trajetória circular obedecendo a seguinte equação:

2 2r(t) R cos( t ) i R sen( t ) j= ω + ω

Encontre as expressões da velocidade e da aceleração da partícula em função do tempo. 8. Foi mostrado em sala de aula que a aceleração pode ser escrita de seguinte forma:

2

T N

dv vˆ ˆa u udt

= +ρ

r

a) Escreva o módulo da velocidade da seguinte forma 1/2v (v.v)=

r r e mostre que a componente tangencial da aceleração, aT, pode ser calculada da seguinte forma:

T

dv a.vadt v

= =r r

b) Mostre que a componente normal da aceleração, aN, pode ser calculada da seguinte maneira:

N

a va

v×

=r r

Nota: observe que a identidade a abaixo é verdadeira:

2 2a v (a .a)(v.v) (a .v)× = −r r r rr r r r

c) Utilizando o resultado do item b mostre que o raio de curvatura de uma curva pode ser calculado da seguinte maneira:

3 3/2v (v.v)a v a v

ρ = =× ×

r r

r rr r

d) Se o movimento for bidimensional, escreva a velocidade e a aceleração em coordenadas cartesianas e verifique que:

x y y xx x y yT N2 2 2 2

x y x y

a v a va v a va e a

v v v v

−+= =

+ +

9. Uma partícula descreve uma trajetória elíptica com centro na origem de um sistema de referência Oxy. O vetor posição dessa partícula obedece a seguinte equação:

r(t) a cos ( t) i bsen( t) j= ω + ω Encontre: a) As expressões da velocidade e da aceleração em função do tempo. b) As componentes tangencial e normal da aceleração.

10. Um projétil descreve a parábola de equações paramétricas:

2

x 24,5 ty 49 t 4,9 t=⎧

⎨= −⎩

a) Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração no ponto mais alto da trajetória e no ponto em que o projétil toca o plano horizontal do tiro. b) Determinar os raios de curvatura nesses pontos. 11. Uma partícula P se movimenta sobre um reta do centro de um disco para a periferia, com o vetor posição sendo:

2rˆr (t) t u=

r a) Encontre as expressões da velocidade e da aceleração. b) Você deve ter observado um termo não esperado na expressão da aceleração. Um termo tangente a periferia do disco. Explique o porquê deste termo, utilizando os conhecimentos adquiridos no curso de cinemática. 12. A barra AB, representada na figura abaixo, está apoiada num plano horizontal e gira em torno de um eixo vertical, passando por B, com uma aceleração angular constante de 1 rad/s2. Enquanto a barra gira, o cursor C se desloca de B para A, de tal modo, que a distância do ponto B ao ponto C aumenta, regularmente, á razão de 0,50 m/s.

Quando o cursor está na posição indicada na figura, a velocidade angular da barra é de 3 rad/s, no sentido do movimento dos ponteiros do relógio. Determinar, para a posição indicada na figura, a aceleração do cursor C. 13. O braço AO, de 1 m de comprimento, gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação

20,15 t ,θ = onde θ está expresso em radianos e t em segundos. O cursor B desliza ao longo do braço sendo que seu deslocamento em relação a O é dado por 2r 1 0,13 t ,= − onde r é expresso em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e aceleração total do cursor B após o braço AO ter girado de 30o.

14. O movimento bidimensional de uma partícula é definido pelas relações:

3 2 3 2r t 2t e t 4t ,= − θ = − onde r é expresso em metros e θ em radianos. Determinar a posição, velocidade e aceleração, em coordenadas polares, da partícula nos instantes a) t = 0 b) t = 1 s 15. Determinar a aceleração de uma partícula P que se desloca sobre um meridiano M de uma esfera em rotação, e que possui velocidade relativa à esfera constante.

Sugestão: O movimento de P sobre M pode ser descrito analiticamente sobre a forma

rˆr(t) R cos ( t) u R sen ( t) k= γ + γr

,

onde R é o raio da esfera, γ (> 0) a velocidade angular de P sobre M, ru um vetor unitário horizontal no plano de M (representado na figura acima pela letra b) e k o vetor unitário na direção positiva do eixo z. 16. Mostre que se uma partícula se move de modo que sua aceleração total seja central, ou seja, sua aceleração esteja sempre dirigida para um único ponto, vale a seguinte relação:

2

d C ,dt rθ=

Onde C é uma constante. 17. O movimento tridimensional de uma partícula é definido pelas relações:

r 2k cos tt

z pt

=⎧⎪θ =⎨⎪ =⎩

Determine a) a trajetória da partícula. b) os módulos da velocidade e da aceleração num instante qualquer t. c) o raio de curvatura da trajetória num instante qualquer t.

Problemas para ajudar na utilização da regra da cadeia: 18. A barra AB, representada na figura abaixo, escorrega num plano vertical com a extremidade A apoiada num plano horizontal e com velocidade uniforme de 2 m/s.

Determinar a velocidade com que a extremidade B toca o solo. 19. Na figura abaixo, representamos esquematicamente um compressor de ar, cuja manivela OP gira no sentido anti-horário com velocidade de rotação constante de 150 r.p.m. Determinar a velocidade do pistão, para x = 6 cm, sendo 18 cm o raio da manivela.

20. Um avião se desloca a uma altura h com velocidade constante v, sempre acompanhado por um holofote, conforme mostra a figura abaixo.

a) Determine a expressão da velocidade angular o holofote. b) Determinar a lei de variação do ângulo θ com o tempo. 21. Uma esfera de gelo derrete a uma taxa de 0,5 ml/s. Determine a taxa de variação do raio da esfera.