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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

DOUTORADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

ANÁLISE DE ERROS MATEMÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS APLICADOS À FÍSICA ELÉTRICA

Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos

Orientadora: Prof.ª Dr.a Norma Suely Gomes Allevato

Tese apresentada ao Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências e Matemática.

SÃO PAULO

2013

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA


B326a

Bastos, Antonio Sergio Abrahão Monteiro. Análise de erros matemáticos na resolução de problemas,

aplicados à física elétrica / Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos. -- São Paulo; SP: [s.n], 2013.

199 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Norma Suely Gomes Allevato. Tese (doutorado) - Programa de Pós-Graduação em Ensino de

Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Educação Matemática 2. Análise de Erros - Matemática

3. Resolução de Problemas - Ensino de Física 4. Matemática - Ensino Superior. I. Allevato, Norma Suely Gomes. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51:37(043.2)


PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

ANÁLISE DE ERROS MATEMÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS APLICADOS À FÍSICA ELÉTRICA.

Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos

Tese de doutorado defendida e Aprovada

pela Banca Examinadora em 26/02/2013.

BANCA EXAMINADORA:

Prof.ª Dr.ª Norma Suely Gomes Allevato

Universidade Cruzeiro do Sul

Presidente

Prof.ª Dr.ª Edda Curi


Prof.ª Dr.ª Maria Delourdes Maciel


Prof.ª Dr.ª Helena Noronha Cury

Centro Universitário Franciscano (UNIFRA)

Prof. Dr. Ivã Gurgel

Universidade de São Paulo

Agradeço ao Grande Arquiteto do Universo, pela paz, saúde e discernimento.

À minha esposa: Ana Paula, pelo amor, carinho, paciência e incondicional apoio

durante estes anos.

Aos meus filhos: Yuri e Yasmin, por me darem alegrias e suportarem minha

ausência em alguns momentos.

Aos meus pais: Jose Antonio e Rosa Maria, que sempre me escutaram, incentivaram

e apoiaram em minhas decisões.

Aos meus avós maternos, Miguel e Luiza (in memoriam), pelo carinho e por terem

me moldado a ser uma pessoa melhor.

Aos meus avós paternos, João e Zélia (in memoriam), por terem me abençoado

sempre.

E, incondicionalmente, a todos os que me ajudaram direta ou indiretamente na

concretização desta obra.

AGRADECIMENTOS

À professora Dr.a Norma Suely Gomes Allevato pela orientação, pela paciência, pelo

carinho, pela compreensão e pela dedicação incondicional à minha pesquisa. Não

há palavras que justifiquem a minha gratidão e a minha admiração pelos

ensinamentos e pelos incentivos incondicionais dados nos momentos mais felizes e,

principalmente, nos momentos mais difíceis desta minha trajetória no doutorado.

Às professoras Dr.a Edda Curi, Dr.a Maria Delourdes Maciel, Dr.a Helena Noronha

Cury e ao professor Dr. Ivã Gurgel, por terem aceitado o convite para participar da

banca de qualificação e defesa, e também pelos valiosos apontamentos, sugestões

e contribuições para o aprimoramento e aprofundamento desta pesquisa.

Aos professores e colegas do Programa, pelos momentos de acaloradas discussões

proporcionadas durante o curso, de quem sentirei muitas saudades. Fica a minha

admiração por essas pessoas especiais.

À Universidade Cruzeiro do Sul, por ter contribuído para a minha formação como

pesquisador e como professor do Ensino Superior.

Aos meus amigos Andrea, Ilíria, Manoel, e aos demais membros do GPEAEM, pela

amizade acima de tudo, por serem parceiros de crescimento profissional e pessoal,

pela ajuda incondicional nos momentos mais difíceis e pelas valiosas contribuições

no andamento desta pesquisa.

À professora Dr.ª Edda Curi, pelo carinho durante a fase de orientação no Curso de

Mestrado, e também por ter me incentivado e aconselhado a prosseguir meus

estudos na área acadêmica e de docência.

Aos alunos que participaram desta pesquisa, pelo empenho e seriedade com que

desenvolveram os problemas, contribuindo, assim, não só para minha pesquisa, mas

para a melhoria da Educação Matemática de nosso país.

Não poderia deixar de mencionar a Cida (secretária de minha orientadora), por

preparar o “chá da tarde” e por se preocupar em trocar os muitos cafezinhos por chá,

pelos saborosos almoços e, acima de tudo, pelo carinho e sorriso com que sempre

me recebeu.

Senhor!

Sentindo-me tão pequeno, diante da glória e do esplendor que se manifestam de ti

no universo, entretanto, encorajado por saber-me vida de tua vida, mergulho minha

alma, em tua essência sublime, pois me sinto herdeiro de teus atributos divinos de

inteligência e do amor, sentindo-me um cidadão do universo, e nesta concepção em

que me demoro, te apresento a minha gratidão eterna.

Sou-te grato senhor, pela vida que me concebestes, e por me haveres dotado dos

atributos divinos de inteligência e de amor, que conservo em meu ser eterno, como

potenciações infinitas, e ainda por me haveres facultado com o livre arbítrio,

propiciando-me a benção de escolher os caminhos que fatalmente me conduzirão ao

encontro de tua glória, pois quando nos crias, nos destinas à evolução, fadados à

felicidade e à luz.

E ainda por me haveres propiciado através de Jesus e seus emissários divinos, a

oportunidade de haver alcançado mais uma conquista, em minha caminhada de

alma eterna, entretanto, atendendo às palavras do mestre divino, quando nos pede

para que nos ajudemos, que os céus nos ajudará, pois dotados do livre arbítrio, nos

transformamos em construtores de nosso próprio destino, e se nós não

movimentarmos a nossa vontade, se não desejarmos ampliar as nossas conquistas

no campo do progresso, da evolução e do bem, estaremos inibindo a manifestação

divina a nosso favor

A minha eterna gratidão ainda aos emissários divinos do mestre, amigos queridos,

não tenho palavras para expressar meus sentimentos de gratidão e de amor, e

compreendo ainda que o verbo é incapaz de exprimir este momento divino de minha

caminhada, mas, as palavras comumente se exteriorizam vazias e inexpressivas de

nossos lábios, e desejo orientado por vossas palavras de estímulo e de esperança,

trabalhar na disseminação do amor, e da luz, a favor de toda a humanidade, não me

permitindo jamais prejudicar a um irmão meu filho de Deus Nosso Pai, e que eu não

me esqueça jamais de que só o amor é eterno, e capaz de encobrir a multidão de

nossos pecados, e que Deus vos ilumine hoje e sempre.

Obrigado Grande Arquiteto do Universo!

Pelo amigo: Jose Sola

BASTOS, A. S. A. M. Análise de erros matemáticos na resolução de problemas, aplicados à física elétrica. 2013. 199 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é apresentar uma descrição e análise dos dados obtidos

em uma investigação que estudou, via Resolução de Problemas, como se

apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas

de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da Resolução de Problemas.

A metodologia de pesquisa foi de natureza qualitativa e a coleta de dados foi

realizada por observação-participante em sala de aula, como também pelas

resoluções escritas dos problemas geradores propostos aos alunos e pela análise

documental. A pesquisa de campo foi realizada com alunos do 3º semestre de dois

cursos de Tecnologia de uma instituição particular de ensino superior. A metodologia

de ensino escolhida pelo professor pesquisador foi o Ensino e Aprendizagem de

Matemática através da Resolução de Problemas, particularmente problemas de

Física Elétrica relacionados a temas da área de tecnologia computacional. Nessa

metodologia de ensino, os alunos constroem formas de pensar, adquirem hábitos de

persistência, de curiosidade e confiança em circunstâncias que não lhes são

familiares e que lhes servirão além da aula de Matemática ou Física, e aprendem

conteúdos enquanto resolvem problemas. Considerando que o erro é uma etapa

indispensável para a construção do conhecimento no processo de aprendizagem, a

proposta para esta pesquisa foi realizar a análise dos erros manifestados nos

problemas geradores propostos. A análise dos erros nas resoluções escritas dos

alunos nos permitiu detectar aspectos ligados à linguagem (natural, matemática e

física), bem como à transição entre elas. Também apontou lacunas de

conhecimentos prévios de Matemática e Física, referentes aos Ensinos Básico e

Superior, que condicionaram fortemente a resolução dos problemas de Física

Elétrica propostos. Observamos que com a aplicação da Metodologia de Ensino e

Aprendizagem através da Resolução de Problemas com os alunos, sua postura

mudou, passando a trabalhar mais sua habilidade analítica e ganhando autonomia

enquanto buscavam resolver os problemas.

Palavras-chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Análise de Erros;

Ensino de Física; Ensino Superior.

BASTOS, A. S. A. M. Mathematical error analysis in problem solving, applied to electrical physics. 2013. 199 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.

ABSTRACT

The purpose of this work is to present a description and analysis of data obtained

from an investigation that studied, via Error Analysis, how the students‟ mathematical

mistakes are shown when they solve Electrical Physics problems in a teaching

environment through Problem Solving. The research methodology is qualitative and

the data were collected in classroom through participant observation plus the

students‟ written resolutions of the proposed problems and document analysis. The

field research was developed with third semester students of two Technology

courses in a private higher education institution. The teaching methodology chosen

by the researcher/teacher was Teaching and Learning Mathematics through

Problem Solving, particularly Electrical Physics problems concerning Computer

technology area. By that teaching methodology, the students build up ways of

thinking, get the habits of persistence, curiosity and confidence in situations that are

not familiar to them and will be useful beyond Mathematics or Physics classes, and

learn contents while they solve the problems. Considering the error as a necessary

stage for knowledge building in learning process, the proposition for the present

research was to analyze the mistakes that were shown in the proposed problems.

The analysis of the mistakes in the students‟ written solutions allowed us to detect

aspects related to language (natural, mathematical and physical) as well as the

transition between them. It also disclosed some lack of previous mathematical and

physical problems in both Lower and Higher Education, which strongly conditioned

the resolution of the proposed problems of Electrical Physics. We realized that when

the Methodology of Teaching and Learning through Problem Solving was applied to

the students, their attitude changed; they started to work better on their analytical

ability and they gained more autonomy as they tried to solve the problems.

Keywords: Mathematics Education; Problem Solving; Error Analysis; Physics

Teaching; Higher Education.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Diferentes tipos de problemas. ............................................................ 38

Figura 2 – Hierarquia do Pensamento. .................................................................. 40

Figura 3 - Processo de Melhoramento Hipotético ................................................ 43

Figura 4 - Processo de resolução de problemas matemáticos. .......................... 45

Figura 5 – Modelo de Análise Didática dos Erros – MADE. ................................. 64

Figura 6 – Os significados do erro. ....................................................................... 73

Figura 7 - O erro como elemento a ser evitado. ................................................... 78

Figura 8 - O erro como categoria didática. ............................................................ 79

Figura 9 – Grupos trabalhando no problema ...................................................... 118

Figura 10 – Segmentação da lousa e algumas resoluções dos grupos. .......... 119

Figura 11 - Protocolo 1: Resolução correta do Problema 0 ............................... 121

Figura 12– Resolução na lousa pelos grupos .................................................... 124





Figura 17 - Protocolo 6: Resposta de G1C1 para o Problema 0. ....................... 138

Figura 18 - Protocolo 7: Resposta do G4C3 para o Problema 0 ........................ 140

Figura 19 - Protocolo 8: Resposta do G2C2 para o Problema 2 ........................ 141

Figura 20 - Protocolo 9: Resposta do G3C3 para o Problema 2. ....................... 141

Figura 21 - Protocolo 10: Resposta do G1C1 para o Problema 2 ...................... 142


Figura 23 - Protocolo 12: Resposta do G10C1 para o Problema 4 .................... 143




Figura 27 - Protocolo 16: Resposta do G9C4 para o Problema 3. ..................... 147




LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - As quatro concepções de erros .......................................................... 71

Quadro 2 - Quantidade de alunos por curso e campus. .................................... 108

Quadro 3 - Cronograma de Aplicação do Instrumento. ..................................... 110

Quadro 4 - Prefixos para potências de dez ......................................................... 139

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15

A Trajetória Pessoal e a Origem da Pesquisa ....................................................... 17

Problematização e Importância da Pesquisa ........................................................ 20

Organização da Tese .............................................................................................. 23

CAPÍTULO 1 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................... 27

1.1 Navegando por outras formas de Ensinar Matemática ........................... 28

1.2 Problemas ou Exercícios: o que resolvemos nas aulas de

Matemática é... ............................................................................................ 32

1.3 Tipologias de Problemas Matemáticos ..................................................... 35

1.4 Resolução de Problemas: diferentes concepções .................................. 40

1.5 O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas .............. 49

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE ERROS ...................................................................... 55

2.1 Antecessores nos Estudos dos Erros ...................................................... 56

2.2 O que é Erro? .............................................................................................. 59

2.3 Alguns Tipos de Erros ............................................................................... 61

2.4 A Análise de Erros nos Contextos Educacionais .................................... 69

2.5 O Erro sob duas Perspectivas ................................................................... 74

2.6 O Erro sob a Perspectiva de quem Ensina ............................................... 75

2.7 A Revisão da Literatura envolvendo Análise de Erros ............................ 80

CAPÍTULO 3 - METODOLOGIA DE PESQUISA ..................................................... 89

3.1 A Fundamentação Metodológica – Pesquisa Qualitativa ........................ 90

3.2 O Plano Metodológico ................................................................................ 95

3.2.1 A Pesquisa Participante ............................................................................. 95

3.2.2 A Observação ............................................................................................. 97

3.2.3 A Observação Participante ........................................................................ 98

3.2.4 As Análises de Documentos ..................................................................... 99

3.2.4.1 A Análise de Erros .................................................................................... 100

3.3 A Coleta dos Dados .................................................................................. 102

3.4 O Registro dos Dados .............................................................................. 102

3.5 Organização, Análise e Apresentação dos Dados. ................................ 103

CAPÍTULO 4 - O CONTEXTO E OS SUJEITOS .................................................... 105

4.1 A Instituição de Ensino ............................................................................ 107

4.2 O Curso e a Disciplina .............................................................................. 107

4.3 O Desenho do Instrumento ...................................................................... 108

4.4 O Início da Coleta de Dados .................................................................... 109

4.5 O Perfil dos Alunos .................................................................................. 111

4.6 O Perfil do Pesquisador ........................................................................... 111

CAPÍTULO 5 – DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS ................................. 113

5.1 A Análise dos Erros .................................................................................. 116

5.2 Aplicando a Metodologia de Ensino através da Resolução de

Problemas ................................................................................................. 116

5.2.1 O Problema 0 (Zero) – O que você faria? ............................................... 120

5.2.2 O Problema 1 – Que número faz sentido? .............................................. 122

5.2.3 O Problema 2 – Que questões você pode criar e responder? .............. 125

5.2.4 O Problema 3 – O que está errado? ........................................................ 127

5.2.5 O Problema 4 – Qual é a questão se você sabe a resposta? ................ 129

5.3 Dialogando com a Literatura sobre Resolução de Problemas ............. 131

5.4 A Organização e Preparação para Análise das Resoluções dos

Problemas Aplicados ............................................................................... 136

5.5 Dialogando com a Literatura sobre Análise de Erros ........................... 157

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 165

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 175

APÊNDICES ........................................................................................................... 185

APÊNDICE A .......................................................................................................... 186

APÊNDICE B .......................................................................................................... 188

ANEXOS ................................................................................................................. 195

ANEXO A ................................................................................................................ 196

15

INTRODUÇÃO

A Trajetória Pessoal e a Origem da Pesquisa

Problematização e Importância da Pesquisa

Organização da Tese

16

INTRODUÇÃO

pessoas originais ele acha. Gente medíocre

Blaise Pascal1

Contemplo nesse texto, da forma mais fidedigna possível, a trajetória de

quatro anos de pesquisa, ao longo do curso de Doutorado no Programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul.

Neste primeiro passo para a construção desta tese, apresento alguns caminhos

percorridos e alguns fatos que cooperaram para que esta pesquisa pudesse ser

idealizada no âmbito da Educação Matemática, tendo como contexto a disciplina de

Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores em dois cursos de Tecnologia.

A responsabilidade de redigir uma tese envolvendo dois campos da ciência

(Matemática e Física) me fez sentir medo, pois em diversos momentos vi-me às

voltas com grandes dificuldades para vislumbrar com clareza o caminho que havia

escolhido para o desenrolar da pesquisa.

O trabalho de escrever uma tese é muito árduo, pois envolve escrever a

introdução apresentando o(s) problema(s) da pesquisa, tecer um caminho

metodológico, construir uma fundamentação com base nos teóricos (que referências

utilizar), coletar e analisar os dados, expressar os resultados da análise e, por fim,

confrontar estes com as orientações teóricas a fim de validá-los ou não, indicando

caminhos para que outros deem continuidade ao que deixamos inacabado, não

obstante as conclusões construídas.

Nos momentos em que me dedicava a escrever, percebi que a

responsabilidade não se reduzia apenas à escrita de forma consistente e

teoricamente bem fundamentada, mas envolvia resgatar minha trajetória docente no

Ensino Superior e Ensino Médio, o que acumulou algumas preocupações no que

tange aos vários aspectos do ensino de Matemática, em especial aqueles

relacionados à aprendizagem dos alunos e aos erros por eles cometidos nas aulas

1 No texto Pensées de 1670.

17

de Matemática. A necessidade de resgatar os fatos desse percurso bastante longo,

fez com que os quatro anos de doutorado parecessem pouco tempo para tal

empreitada.

Nos momentos de orientação, fui por diversas vezes questionado a respeito

do real motivo que moveu meu interesse em desenvolver esta pesquisa: Qual é o

objetivo da sua pesquisa? O que você quer desenvolver? Ao encontrar a(s)

resposta(s) a essas indagações, eu estaria amadurecido para realizar o trabalho,

dizia a orientadora. Esse amadurecimento se deu pela minha persistência e

curiosidade em buscar respostas aos meus próprios pensamentos. Minhas

experiências e vivências no campo educacional transformaram minha mente em

uma fábrica de perguntas, criando um emaranhado de situações que, em muitos

momentos, eram nebulosas e, em outros, pareciam divagar sobre os fatos.

Neste capítulo introdutório tento resgatar, organizar e apresentar essas

experiências, com o intuito de direcionar o presente trabalho, buscando uma melhor

justificativa para o desenvolvimento desta tese.

A Trajetória Pessoal e a Origem da Pesquisa

A facilidade de me comunicar e de interagir com as pessoas, bem como a

capacidade de análise e tranquilidade em buscar alternativas para os problemas de

ordem técnica, conduziram-me, após alguns anos atuando na área de

telecomunicações, a ingressar no departamento de treinamento de uma empresa de

tecnologia, o que aconteceu logo após o início das minhas atividades docentes no

antigo curso supletivo, ofertado pelas Escolas Públicas Estaduais. Simultaneamente

aos treinamentos técnicos na empresa, também assumi aulas de Física no Ensino

Médio (antigo 2º Grau). Nos treinamentos técnicos notava que os profissionais,

mesmo tendo conhecimento a respeito de eletricidade, pois haviam cursado

disciplinas específicas em cursos técnicos profissionalizantes, possuíam dificuldades

em interpretar alguns conceitos físicos pela ausência de conhecimento da teoria de

eletricidade, ou por não relacionarem os problemas práticos com tópicos de

eletricidade discutidos no próprio treinamento. Alguns dos tópicos que esses

profissionais haviam aprendido durante o curso técnico eram por mim trabalhados

com meus alunos do Ensino Médio. Assim, assumir as aulas de Física nesse nível

18

de ensino foi muito gratificante. Diante dessas situações desafiadoras, decidi

trabalhar com situações-problema e estabelecer relações entre a teoria e a prática,

algo que aqueles profissionais não percebiam.

Por possuir formação técnica em eletrônica e experiência na área de

manutenção de equipamentos eletrônicos e implantação de sistemas de

telecomunicações, logo percebi a dificuldade, também dos alunos do Ensino Médio,

em trabalhar os conteúdos de eletricidade, visto que raramente os alunos fazem

relação entre a teoria e as situações práticas da vida real.

Após alguns anos, minha prática em educação possibilitou ministrar aulas de

Matemática e Física no Ensino Superior. Em 2004 não mais estava trabalhando com

treinamento na empresa, pois havia redirecionado minha carreira para a área de

Educação, estreando em uma instituição privada, assumindo algumas aulas de

Cálculo e Física em cursos de Tecnologia, Engenharia e Ciência da Computação.

Percebi, então, que este não é um trabalho dos mais fáceis; os alunos em

geral já assumem uma posição defensiva em relação a essas disciplinas,

argumentando que são muito difíceis e complexas, e, por vezes, questionam a

necessidade ou a importância de se aprender Matemática ou Física, em particular os

alunos dos cursos de Tecnologia, pois não veem aplicação imediata em suas

profissões.

Somando-se ao exposto anteriormente, por outro lado, escuto colegas

professores da instituição em que trabalho e de outras instituições, queixando-se da

falta de conhecimentos prévios, do baixo rendimento e desinteresse dos alunos, da

ausência de recursos e da falta de apoio para a qualificação e/ou aperfeiçoamento

profissional. Além disso, os diretores e coordenadores de curso realizam um trabalho

que consiste em alertar o corpo docente quanto ao nível de retenção dos alunos, e

solicitam que os professores busquem aprimoramento e renovem suas práticas.

Sempre me questionei e, ainda hoje, continuo conjecturando sobre a minha

própria prática de ensino. Concluí que estava ensinando do mesmo modo que havia

aprendido no transcorrer de minha formação como professor: utilizava o quadro

negro de forma semelhante aos meus professores, o mesmo tipo de livro texto ou

material de apoio e o mesmo modo de atribuir notas ou conceitos pelo conhecimento

19

adquirido pelos alunos. Complementando, acreditava, ainda, que no Ensino Superior

os alunos já estivessem mais maduros, com conhecimentos bem fundamentados em

Matemática e com preparo para desenvolver novos conhecimentos. Ledo engano.

Nesses momentos, revi minha trajetória de formação docente e decidi buscar novos

conhecimentos, com o intuito de estar mais bem qualificado e, assim, melhorar a

qualidade das minhas aulas. Ingressei no Curso de Mestrado do Programa de Pós-

graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul,

quando tive como orientadora a Prof.ª Dr.a Edda Curi. Esta, por trabalhar com

formação de professores, me fez perceber e mudar algumas posturas como

educador. Durante esse tempo de maturação acadêmica, passei a trabalhar em sala

muitas das aprendizagens que havia adquirido no Mestrado, aumentando

sobremaneira a qualidade e a forma de trabalhar minhas aulas.

Quando iniciei o Mestrado, havia duas linhas de trabalho, nas quais tinha

interesse: Matemática Financeira e a aplicação da Matemática em aulas de Física.

Trabalhei com Matemática Financeira. Entretanto, havia algumas inquietações que

necessitavam de respostas em minhas aulas de Eletricidade. Então tomei a decisão

de buscar essas respostas, ingressando no Doutorado do mesmo Programa.

Durante o intervalo entre o término do Mestrado e o início do Doutorado, li

alguns artigos e mantive conversas com alguns professores da instituição em que

trabalho. Algumas ideias foram se formando até que tive contato com alguns estudos

sobre misconception2, os quais me deram a sensação de que havia encontrado um

caminho a percorrer para auxiliar na busca das respostas para minhas inquietações.

Já como aluno do Doutorado, recebi a notícia de que ficaria sob a tutela da Prof.ª

Dr.a Norma Suely Gomes Allevato. Ao iniciar nossas conversas, fui questionado

sobre qual seria meu projeto. Como tinha em mente trabalhar com Ensino Superior e

envolver Matemática e Eletricidade, pensei em trabalhar com o conceito de

misconception. Nesse momento, fui apresentado também à Resolução de

Problemas, o que me causou certa desconfiança: resolver problemas não é o que

fazemos o tempo inteiro em nossas aulas? O que haveria para pesquisar sobre

isso?

2 Usualmente traduzido como: concepções errôneas.

20

Enquanto cursava as disciplinas, fomos convidados a fazer um curso de

verão com a Prof.ª Dr.a Bea esolução de Problemas

e Modelagem Matemática. Confesso que a maioria dos participantes estavam ávidos

por escutar a professora falar sobre Modelagem, porém em uma das suas falas, ela

proferiu alguns comentários a respeito de Resolução de Problemas, chamando a

minha atenção. Ao final do curso fui conversar com a Prof.ª Dr.a Beatriz

para saber sua opinião a respeito de misconception e Resolução de Problemas. Ela

foi bem incisiva com relação ao estudo de misconception na Educação Matemática.

Disse-me que não havia muitas pesquisas nessa linha no exterior, mas que estava

crescendo lentamente, envolvendo aplicações da Matemática com a Química. Por

outro lado, a Resolução de Problemas estava bem fortalecida e com muitas

produções nos últimos anos. O material fornecido pela minha orientadora e outros

enviados pela Prof.ª Dr.a Beatriz me ajudaram a definir o meu trabalho

de tese na linha de Resolução de Problemas. Mas ainda faltava definir se no estudo

eu poderia incluir misconception. Nas conversas com minha orientadora,

questionamos se este não seria um conceito próximo à linha de Análise de Erros.

Partimos para procurar saber quem trabalhava nessa linha. No X ENEM (X Encontro

Nacional de Educação Matemática) tive oportunidade de conversar com a Prof.ª Dr.a

Helena Noronha Cury, que há muito tempo trabalha nessa linha. Após algumas

ponderações, decidimos trabalhar com a Análise de Erros ao invés de

misconception. Finalmente, definimos que a pesquisa teria como fenômeno de

interesse a Análise de Erros em Matemática na Resolução de Problemas em aulas

de Física Elétrica. O interesse por entender os erros matemáticos cometidos pelos

alunos, durante a resolução de problemas de Física Elétrica, que contêm conceitos

da Matemática do Ensino Básico, me fez seguir por esse caminho.

Problematização e Importância da Pesquisa

Esta pesquisa visa contribuir para a reflexão sobre as dificuldades e os erros

matemáticos cometidos pelos alunos quando da realização das atividades propostas

em sala de aula de Física. Observar esses erros pode ser útil para professores, em

sala de aula, e proporcionar uma reflexão conjunta professor-aluno, perfazendo um

novo caminho para a construção do conhecimento por meio da análise do erro

matemático ocorrido.

21

Segundo Pietrocola (200

matemática é, muitas vezes, considerada como a grande responsável pelo fracasso

Em geral, quando há a necessidade de se utilizarem conteúdos matemáticos

em aplicações de conteúdos científicos no cotidiano (nesta tese, os conteúdos de

Eletricidade), surge a fragilidade e a falta de compreensão de alguns tópicos

matemáticos anteriores, o que impede o aluno de estruturar suas

resoluções/aplicações. Com isso, o aluno não sai do lugar, ou seja, não avança na

aprendizagem desses novos conteúdos do Ensino Superior.

Também é fato que os alunos chegam ao nível superior trazendo consigo

algumas lacunas nos conteúdos de Matemática e Física. Concordamos com Santos

(2010) quando diz que:

em alguns casos, quando um aluno não resolve um exercício de Física, não podemos afirmar apenas que não tem conhecimentos matemáticos suficientes; que tem dificuldades na interpretação do enunciado; ou que não aprendeu nada de Matemática nas séries anteriores. O problema parece bem mais amplo e envolve uma série de aspectos não somente relacionados aos conteúdos de ensino, mas também didáticos relativos ao conhecimento de um conteúdo a ensinar (SANTOS, 2010, p.20).

Exemplificando a ideia anterior, nota-se que atualmente os alunos convivem

com uma revolução tecnológica e social, diretamente relacionada com as ciências e

as tecnologias, haja vista a massificação de produtos de alta tecnologia disponíveis,

mas que não chegaram à escola, pois os alunos recebem um ensino de ciências que

se apresenta distante das discussões atuais. Em algumas situações, os alunos

vivenciam uma ciência presente, moderna, que faz parte do mundo real, todavia,

desconexa e sem ligações explícitas com a Ciência, a Física e a Matemática, que só

funcionam na escola. Esse tipo de trabalho desestimula e desmotiva os alunos, e os

próprios professores apontam o fato como sendo um dos obstáculos para a

aprendizagem.

Será que existe Física sem Matematica? Em geral, os físicos dizem que não.

A Física e a Matemática têm uma conexão bastante profunda, fortalecida a partir do

século XVIII; até então, os físicos não matematizavam a Física. A partir desse

período é que as pesquisas físicas passaram a ser matematizadas, o que vem

trazendo dificuldades no ensino de Física. Em nosso caso particular, ou seja, no que

22

se refere à Eletricidade, há poucas pesquisas que tocam nesse ponto quando se

considera a área de Ciências, Física e Matemática.

e Física

acabam por atribuir à Matemática a responsabilidade pelas dificuldades na

alunos na resolução de equações do 1º grau, potenciação de base 10, porcentagem

e operações matemáticas básicas reforçam nossa suspeita de que se trata de falta

de conhecimento matemático. Na presente pesquisa, ao trabalharmos com conceitos

da Física, pretendemos olhar para os erros de Matemática na resolução de

problemas propostos, na disciplina Física Elétrica.

Nossa problemática de pesquisa está centrada, portanto, em conhecer e

analisar os erros cometidos pelos alunos, oriundos do instrumento de pesquisa

entregue pelos alunos, buscando corrigir a posteriori a lacuna sinalizada por esses

erros matemáticos.

Acreditamos que em uma sociedade científica e tecnologicamente

desenvolvida, a oferta de uma Educação Matemática de qualidade para todos

poderia permitir entender melhor a sociedade contemporânea em que estamos

inseridos, cada vez mais matematizada, com um olhar mais globalizado. Ao

relacionarmos essa situação com as justificativas anteriormente mencionadas,

entendemos ser importante ressaltar ainda a existência de lacunas de pesquisa

percebidas a partir da análise de alguns trabalhos desenvolvidos na linha de Análise

de Erros. Essa revisão detalhada de algumas das pesquisas já desenvolvidas será

apresentada no Capítulo 2.

Vale destacar que nessa varredura, ainda não encontramos trabalhos que se

assemelhem ao nosso, sobre erros no ensino de Física, em particular na Física

Elétrica, utilizando a metodologia de ensino através da Resolução de Problemas,

com alunos em sala de aula. Assim, a partir das informações que dizem respeito à

minha trajetória acadêmica e profissional, da problemática estabelecida no ensino de

Física e das lacunas de pesquisa observadas na literatura a respeito da Resolução

de Problemas associada à Análise de Erros, foi possível elaborar a pergunta geral

que deu uma direção à pesquisa que realizamos:

23

Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da

Resolução de Problemas?

As leituras e análises de pesquisas que pudessem se aproximar da nossa,

nos permitiram identificar questões específicas que nos auxiliaram a responder a

questão geral desta investigação:

Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam nas resoluções

dos problemas?

Quais conteúdos matemáticos da Educação Básica são manifestados

nos erros cometidos pelos alunos?

Quais são as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos

na aplicação da 1ª e da 2ª Lei Ohm através da resolução de problemas?

Como os alunos percebem os conteúdos de Eletricidade na resolução de

problemas ligados ao seu próprio cotidiano?

Como a Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas

atua na mudança de postura dos alunos?

Assim, a presente pesquisa teve por objetivo apresentar uma descrição e

análise dos dados obtidos em uma investigação que estudou, via Resolução de

Problemas, como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao

resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da

Resolução de Problemas.

Após abordar esses elementos essenciais na construção da presente

pesquisa, a seguir apresentamos a modo como a tese foi organizada.

Organização da Tese

Optamos por dividir a apresentação da nossa pesquisa em seis partes,

complementadas por referências e anexos.

24

INTRODUÇÃO

Nesta seção é relatada minha trajetória profissional e acadêmica,

culminando nesta tese de doutorado, e a problematização que norteou nossa

pesquisa, justificando o desenvolvimento e a relevância deste trabalho.

Apresentamos a pergunta geral de pesquisa e, por fim, de forma breve,

descrevemos os conteúdos de cada parte integrante desta tese.

CAPÍTULO 1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

No Capítulo 1, realizamos uma varredura na literatura sobre as pesquisas

em Resolução de Problemas, analisando a importância dos problemas no

desenvolvimento da atividade matemática em sala e na produção e desenvolvimento

do conhecimento matemático do aluno em geral. Inicialmente, fazemos uma

descrição das diferentes formas de emprego da Resolução de Problemas na

Educação Matemática. Analisamos diferentes tipos de problemas e apresentamos as

diferentes concepções de Resolução de Problemas. Ao final, damos um enfoque

especial ao papel desempenhado pelo Ensino de Matemática através da Resolução

de Problemas em sala de aula.

CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE ERROS

Neste capítulo, fazemos um retrato da literatura sobre as pesquisas em

Análise de Erros, situando o erro no contexto educacional. Discutimos suas

principais características e apresentamos diferentes tipos de erros e algumas

condições na consideração dos erros e de suas análises. Damos um tratamento

especial ao papel desempenhado pelo erro no processo de aprendizagem

matemática.

CAPÍTULO 3 METODOLOGIA DE PESQUISA

Destinamos a este capítulo a exposição e discussão dos elementos da

Metodologia de Pesquisa adotada. Apresentamos nossa justificativa ao escolhermos

a metodologia qualitativa do tipo observação participante, análise de erros e análise

de conteúdo, bem como os métodos particulares escolhidos para a coleta, registro,

organização e análise dos dados da pesquisa relatada nesta tese.

25

CAPÍTULO 4 O CONTEXTO

O Capítulo 4 contém a apresentação do contexto em que o trabalho de

campo foi realizado. O ponto de partida são os aspectos mais gerais, fechando nos

mais específicos. A instituição de ensino, o curso e a disciplina em que efetuei a

coleta de dados são contemplados neste capítulo. Procuramos descrever, também,

o perfil do aluno e do professor pesquisador.

CAPÍTULO 5 DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS

Apresentamos e discutimos, neste capítulo, as aulas em que foram

trabalhados os problemas enfatizando os aspectos ligados à metodologia de ensino

e aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. Também

apresentamos e analisamos os dados construídos relativos aos erros cometidos

pelos alunos, com os quais nos defrontamos durante o processo investigativo,

especialmente percebido nos registros escritos das resoluções dos problemas

propostos aos alunos.

Finalizamos o capítulo analisando o Diálogo dos Dados com a Literatura

Empregada sobre Resolução de Problemas e Análise de Erros.

CONSIDERAÇOES FINAIS

Aqui retomamos e respondemos nossa questão de pesquisa, indicando as

contribuições do trabalho investigativo realizado, bem como as possibilidades para

novos estudos.

27

CAPÍTULO 1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

1.1 Navegando por outras Formas de Ensinar Matemática

1.2 Problemas ou Exercícios: o que resolvemos nas aulas de Matemática é...

1.3 Tipologias de Problemas Matemáticos

1.4 Resolução de Problemas: diferentes concepções

1.5 O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas

28

CAPÍTULO 1

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

ly solved because the correct answer has been made. A problem is not truly solved unless the learner understands what he has done and

3

William A. Brownell4

Neste capítulo, discorremos a respeito de algumas literaturas que abordam

pesquisas em Resolução de Problemas, analisando a importância dos problemas no

desenvolvimento da atividade matemática em sala de aula e na produção e

desenvolvimento do conhecimento matemático do aluno. Inicialmente realizamos

uma descrição sobre as formas de ensinar Matemática, discutindo o emprego da

Resolução de Problemas na Educação Matemática. Em seguida expomos algumas

tipologias de problemas, analisamos suas principais características e apresentamos

algumas diferentes concepções a respeito de Resolução de Problemas. Ao final,

damos um enfoque especial às questões voltadas ao papel desempenhado pelo

Ensino através da Resolução de Problemas em sala de aula.

1.1 Navegando por outras formas de Ensinar Matemática

Navegar pela área da Educação é muito complexo, e quando se trata da

Matemática, sua complexidade só aumenta. É nessa área de conhecimento que

procuramos alternativas para melhorar a qualidade do ensino de Matemática,

buscando maneiras de ensinar, apoiados em novos estudos. Apesar de todo o

3 Traduzido como: Um problema não está necessariamente resolvido porque a resposta correta foi obtida. Um problema não está verdadeiramente resolvido, a menos que o aluno entenda o que fez e saiba por que suas ações foram adequadas. 4 The Measurement of Understanding (1946).

29

desenvolvimento no campo da Didática5, em particular da Didática da Matemática6

construída nos últimos anos, as práticas de ensino dos professores de Matemática

pouco foram alteradas. Há um distanciamento entre a maneira como se ensina nas

escolas, as propostas curriculares e o que se tem investigado em Educação. Para

alguns pesquisadores, esse distanciamento é fruto, em parte, da forma como o

professor aprendeu na escola e na universidade (ESTEVES; LEITE, 2005).

As crenças e atitudes a respeito da Matemática são as mais variadas

possíveis. Como resultado dos procedimentos didáticos orientados por elas, há

alunos que não alcançam sucesso em Matemática e alunos que não aprendem

Matemática e que simplesmente bloqueiam a mente para tal conhecimento. Alguns

alunos incorporam uma quantidade grande de conhecimentos, mas de forma

desordenada, lembrando-se de emaranhados de fórmulas que frequentemente são

utilizadas em momentos inapropriados ou de forma incorreta. Isso decorre, entre

outras razões, do fato de que muitos de nossos alunos aprendem Matemática

sentados e em silêncio, executando algoritmos que não compreendem, e também

estudando de forma independente e individual, sem diálogo e troca de experiências

com seus colegas de classe.

Apesar disso, as mudanças na forma de ensinar Matemática causam

desconfiança e preocupação em alguns professores, pois exigem que seja assumida

outra postura frente a seus alunos com relação à maneira de desenvolver suas

aulas. Diferentemente do que tem ocorrido, a mudança precisa ser mais rápida. Mas,

o que se pode observar é que os trabalhos, nesse sentido, arrastam-se por longos

períodos de tempo, tornando-se quase imperceptíveis; é o que, em geral, ocorre

com a Educação. Nossos alunos frequentam as escolas por anos a fio, acreditando

que nada está sendo mudado, até que um dia olham para trás e, então, percebem o

quanto evoluíram até aquele momento. Os professores tendem a simpatizar e optar

por alguma escola7, sempre no intuito de buscar novas formas de ensinar e motivar,

5 Didática é a parte das ciências da Educação que tem por objetivo o estudo dos processos de ensino e aprendizagem em sua globalidade, independentemente da disciplina em questão, considerando

10, p. 23). 6 A Didática de uma disciplina (Matemática) estuda os processos de transmissão e aquisição relativos ao domínio específico dessa disciplina, ou das ciências próximas com as quais ela interage

10, p. 32). 7 Escola: conjunto de pessoas que segue um sistema de pensamento, uma doutrina, uma estética, etc. (HOUAISS, 2009).

30

tentando construir um modelo próprio de trabalho com seus alunos, sem se afastar

das bases curriculares.

A decisão tomada pelo professor em cada situação é colocada por Willian

o que é exigido, há sempre uma pitada entre o ideal e o real, que só pode ser obtido

deix 8 (apud LAMPERT, 2001, p. 447). É importante que

o professor perceba a distância entre o ideal e o real, cabendo a ele tentar atingir

esse ideal.

Estudos em Educação Matemática no Brasil e no mundo apresentam

algumas alternativas de abordagens para o seu ensino e para as pesquisas, e uma

delas é a Resolução de Problemas. Dessa forma, passadas pouco mais de três

décadas desde que se iniciou um grande movimento mundial para a melhoria do

ensino de Matemática, destacamos alguns trabalhos realizados na Espanha, por

Carrillo e Contreras (1996,1998, 2000, 2001); nos Estados Unidos da América, pelo

Conselho Nacional de Professores de Matemática - NCTM National Council of

Teachers of Mathematics (1989), Stanic e Kilpatrick (1989), Schroeder e Lester

(1989), Lester e Mau (1993), Schoenfeld (2011), Van de Walle (2009) e Cai e Lester

(2012); no Japão, por Nunokawa (2005), e em outros países em que os estudiosos

indicam a Resolução de Problemas como foco da Educação Matemática.

Em nosso país, estamos também destacando a Resolução de Problemas no

ensino de Matemática de diversas formas e em diferentes contextos (BRASIL, 1998,

1999; ONUCHIC, 1999; ALLEVATO, 2005; 2007; 2008; ONUCHIC; ALLEVATO,

2009; 2011; NUNES, 2010; ABDELMALACK, 2011; ROSSI, 2012; COSTA, 2012),

fornecendo problemas para os alunos resolverem, ajudando-os a construir

conhecimento matemático e formalizar os conteúdos matemáticos para fixar sua

aprendizagem.

Também encontramos alguns trabalhos envolvendo Resolução de

Problemas no ensino de Ciências e Física, entre os quais destacamos: Vasconcelos

et al. (2007), Costa e Moreira (2001; 2002), Peduzzi (1997), Peduzzi, Zylbersztajn e 8 always a pinch between the ideal and the actual which can only be got through by leaving part of the

31

Moreira (1992) e Carvalho et al. (1992), mostrando o desenvolvimento dessa linha

de pesquisa nessas áreas do conhecimento.

Podemos perceber que os estudos envolvendo a Resolução de Problemas

vêm ganhando corpo não somente na Educação Matemática, mas também no

ensino de Ciências e Física. Notamos que nessas áreas do conhecimento, também

se buscam relações (conexões) entre as diversas áreas; essa é uma das alternativas

para conduzir os alunos a construírem conhecimento e desenvolverem compreensão

acerca dos conteúdos trabalhados.

Lampert (2001) faz uma analogia bem interessante dizendo que o ambiente

de trabalho do professor é tão complicado quanto o de um piloto de avião ou de um

navegador de submarino, que se preocupam com a movimentação de suas naves

com relação a três dimensões: olhar para cima e para baixo, esquerda e direita e

para frente e para trás com o propósito de se localizarem. O mesmo ocorre com o

professor, que trabalha em ambientes bastante problemáticos assumindo dimensões

maiores e que ficam cada vez mais complexas. O espaço em que o professor

trabalha é cheio de ideais a serem realizados, repleto de destinos diferentes,

envolvendo alunos, outras pessoas e aspectos variados dos ambientes de ensino,

9

(LAMPERT, 2001, p. 3).

Vale ressaltar que o trabalho com Resolução de Problemas durante as aulas

de Matemática e Física está sendo recomendado como uma alternativa para os

desafios enfrentados pelos educadores, como forma de melhorar o desempenho dos

alunos e aumentar a sua motivação para aprender. Acredita-se que as atividades

desenvolvidas através da Resolução de Problemas irão preparar melhor os nossos

alunos para o mundo e para o mercado de trabalho, melhorando sua capacidade de

pensar estrategicamente e a habilidade de comunicar suas ideias. Sendo assim, na

próxima seção, refletiremos sobre o que, de fato, resolvemos nas aulas de

Matemática: problemas ou exercícios?

9 Tradução de: Teaching with problems is a particular kind of teaching, and is a kind that is not well understood.

32

1.2 Problemas ou Exercícios: o que resolvemos nas aulas de Matemática é...

A palavra problema está frequentemente associada a diferentes acepções,

não se distinguindo, por vezes, exercício e problema. Para Onuchic (1999, p. 215),

da é dada por Van de Walle (2009), em que

métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a percepção de que haja um

HIEBERT et al., 1997 apud VAN

DE WALLE, 2009, p. 57).

Dois outros pesquisadores, Krulik e Reis (1980, p. 1), definem problema

indivíduos implicados não conhecem meios ou caminhos evidentes para obtê-

Nesse sentido, a perspectiva dada por Carrillo (1996) é a de que:

O conceito de problema deve associar-se a uma aplicação significativa (não mecânica) do conhecimento matemático a situações não familiares, a consciência de tal situação, a existência da dificuldade na hora de enfrentar se a ela e a possibilidade de ser resolvido aplicando tal conhecimento (CARRILLO, 1996, p. 101).

problema está bastante presente no dia-a-dia de quem trabalha com Matemática,

mas nem sempre seu uso vem acompanhado de um consciente posicionamento

utilizam o termo resolução de problema, eles estão se referindo a tarefas

matemáticas que têm o potencial de proporcionar desafios intelectuais que podem

desenvolvimento do aluno, devem-se considerar exclusivamente os "problemas que

valem a pena10 (CAI; LESTER, 2012, p. 149), visto que dão aos alunos a

oportunidade de consolidar e ampliar o que já sabem, estimulando a aprendizagem

da Matemática.

10 Considera-se problema que vale a pena aqueles que são intrigantes, com bom nível de desafio, seduzindo o aluno a raciocinar (CAI; LESTER, 2012, p. 149).

33

Outros dois pesquisadores, Lappan e Phillips (1998, apud CAI; LESTER,

2012), desenvolveram um conjunto de critérios para um problema que vale a pena:

1. O problema envolve matemática útil e importante. 2. O problema exige níveis mais altos de pensamento e resolução de problemas. 3. O problema contribui para o desenvolvimento conceitual dos alunos. 4. O problema cria uma oportunidade para o professor avaliar o que seus alunos estão aprendendo e onde eles estão enfrentando dificuldades. 5. O problema pode ser abordado por estudantes de múltiplas maneiras usando diferentes estratégias de resolução. 6. O problema tem várias soluções ou permite diferentes decisões ou posições a serem tomadas e defendidas. 7. O problema encoraja o envolvimento e o discurso dos alunos. 8. O problema se liga a outras importantes ideias matemáticas. 9. O problema promove o uso habilidoso da matemática. 10. O problema proporciona uma oportunidade de praticar habilidades importantes (LAPPAN; PHILLIPS, 1998, apud CAI; LESTER, 2012, p. 149).

Para Cai e Lester (2012), os quatro primeiros critérios de Lappan e Phillips

são essenciais na escolha de todos os problemas (importância matemática,

pensamento de nível mais alto, desenvolvimento conceitual e oportunidade de

avaliar a aprendizagem). Os autores complementam citando NCTM (1991):

O papel dos professores é revisar, selecionar e desenvolver as tarefas que favoreçam o desenvolvimento do entendimento e o domínio dos procedimentos, de maneira que também promovam o desenvolvimento de habilidades para resolver problemas e raciocinar e de se comunicar matematicamente (NCTM, 1991, apud CAI; LESTER, 2012, p. 150).

Considerando esse aspecto, salientamos que o professor pode transformar

um problema do próprio livro texto de tal maneira que os alunos se sintam

envolvidos em aprender Matemática (critério 1), o que ajuda na evolução e

desenvolvimento de suas habilidades na Resolução de Problemas (critérios 2, 3, 4 e

5). Em geral, o rearranjo dos problemas contidos nos livros texto é relativamente fácil

de realizar, o que aumenta a oportunidade para a aprendizagem dos alunos. Dessa

forma, a modificação realizada pelo professor nos problemas apresentados nos

livros texto satisfaz os critérios 3 e 4.

Concordamos com os autores que os quatro primeiros critérios são

fundamentais, munindo os professores com as diretrizes para a tomada de decisões,

tornando a Resolução de Problemas o âmago da sua instrução. Seguramente,

entende-se não ser sensato esperar que cada problema que o professor escolhe

deva contemplar todos os dez critérios, devendo-se levar em conta os objetivos

34

instrucionais do professor para o conteúdo que se deseja atingir com os problemas

geradores.

Mas qual o significado da palavra problema? Existe diferença entre problema

e exercício?

Lester (1983 apud ECHEVERRÍA; POZO, 1998, p. 15) identifica um

ivíduo ou grupo quer ou precisa

resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à

Onuchic (1999, p. 215) esclarece sua compreensão dizendo que um

ressado em

aluno aplica de forma quase mecânica uma fórmula ou uma determinada técnica

que apresenta um obstáculo aos sujeitos resolvedores, os quais desconhecem a

forma de o ultrapassar, e que pode ter mais do que uma solução possível ou não ter

palavra exercício, desc

resolvedor, na medida em que ele sabe, à partida, o que fazer para encontrar a

Outros autores que descrevem a diferença entre exercício e problema são

Echeverría e Pozo (1998), relacionando-a com o contexto da tarefa, sendo o

exercício centrado na utilização de habilidades ou técnicas já assimiladas

conhecimentos modificados em rotinas automatizadas como resultado da prática

contínua. Para esses autores, os exercícios estão limitados à utilização de uma

técnica no momento de realizar uma tarefa ou de enfrentar uma situação já

conhecida, não representando nada de novo e podendo ser solucionado com

técnicas já conhecidas ou por meios habituais.

Entretanto, às vezes, é difícil assinalar quando uma tarefa é um exercício ou

um problema; é preciso considerar as experiências dos alunos, seus conhecimentos

35

prévios, assim como os objetivos pré-estabelecidos para a realização dessa tarefa.

Vale e Pimentel (2004) se referem a problema quando não se sabe chegar à

solução, envolvendo, assim, a mobilização de conhecimentos anteriores e a

utilização de estratégias de resolução apropriadas àquela ocasião, e que podem

envolver também procedimentos rotineiros e algoritmos. Por outro lado, se a tarefa

não possui desafios e pode ser resolvida de forma fácil por procedimentos rotineiros

e familiares, sendo ou não complicada, considera-se como sendo um exercício.

À luz dessa literatura correspondente à Resolução de Problemas,

observamos que além das diversas concepções utilizadas para elucidar o que é

problema e o que é exercício, existem também diferentes abordagens com respeito

aos objetivos e aos tipos de problema matemático. A seguir, na próxima seção,

analisaremos as diferentes tipologias de problemas.

1.3 Tipologias de Problemas Matemáticos

Em nossas investigações, defrontamo-nos com problemas que têm

estruturas diferentes, dependendo da área à qual pertencem (Álgebra, Geometria,

Cálculo, etc.) e do conteúdo a que eles se referem nessas áreas, assim como do tipo

de operações e processos que se quer enfocar. Observamos que ao categorizarem

os problemas, os estudos tornam possível sua utilização por aqueles que estão

aprendendo a resolver problemas, e também pelos professores que ensinam por

meio da perspectiva de Resolução de Problemas. Os investigadores apresentam

tipologias para os problemas que o professor pode encontrar nos livros didáticos ou

criar e, assim, propor para seus alunos. Para Allevato (2005), em particular, são

considerados dois tipos de problemas a serem trabalhados em sala de aula. O

primeiro tipo habitualmente se encontra em livros didáticos e geralmente é

trabalhado pelos professores em sala de aula, referindo-se aos problemas fechados,

caracterizados como aqueles em que a situação inicial, o processo de resolução e a

resposta do problema são pré-determinados.

O segundo tipo, hoje em dia ainda pouco explorado no campo educacional,

admite diversas estratégias para obter a resposta ou as respostas desejadas,

permitindo ao aluno decidir qual a melhor ou a mais adequada estratégia para

resolver o problema, de acordo com suas percepções. Dessa forma, os alunos

36

conseguem explorar outros problemas a partir de um dado problema. Em outras

palavras, quando o problema permite que os alunos façam escolhas, Allevato (2005)

caracteriza-o como problema aberto. Ao encontro dessa consideração, Van de Walle

(2009) nos diz que ao realizarmos experiências matemáticas dentro de sala de aula,

torna-se indispensável a utilização de problemas abertos, vislumbrando alargar o

âmbito dos conhecimentos matemáticos a serem construídos.

Desse modo, um único problema pode ser abordado de forma diferenciada

na medida em que nos dispomos a utilizar diversas maneiras/estratégias que nos

levem por diferentes caminhos à solução.

Em Portugal, o Grupo de Investigação em Resolução de Problemas

(GIRP)11, descrito por Vale e Pimentel (2004), construiu um quadro com quatro tipos

de problemas, não pressupondo que um problema não possa ser inserido em mais

de um tipo. A seguir, descreveremos a classificação apresentada pelo Grupo:

Problemas de processo: Um problema deste tipo não se resolve, geralmente, pela aplicação direta de um algoritmo, isto é, dificilmente se resolverá sem a utilização de estratégias de resolução de problemas, tais como: descobrir padrão, trabalhar do fim para o início, fazer um esquema ou um desenho, fazer uma lista organizada, reduzir a um problema mais simples, formular e testar conjecturas. Estes problemas podem não estar relacionados com os conteúdos programáticos e, se estiverem, pode não ser necessária para a resolução a sua utilização direta, para além de conhecimentos elementares de aritmética e geometria (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 19).

Como exemplo do tipo de problema acima descrito, temos:

11 GIRP é formado por: Domingos Fernandes; Antonio Borralho; Ana Leitão; Helena Fernandes; Isabel Cabrita; Isabel Vale; Lina Fonseca e Pedro Palhares, pesquisadores portugueses.

37

O grupo indica, também, os

Problemas de conteúdo: Um problema deste tipo requer a utilização de conteúdos programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas. Sem eles dificilmente poderá ser resolvido (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 19).

No segundo tipo, exemplificamos com o enunciado:

O terceiro tipo refere-se a:

Problemas de aplicação: em geral, esse tipo de problema se vale de informações do cotidiano, estabelecidos pelo professor ou coletados pelo próprio aluno. A decisão da(s) estratégia(s) adquire uma importância muito grande, fazendo com que o aluno por vezes, se utilize mais de uma estratégia de resolução de problemas. Esse tipo de problema, normalmente pode admitir mais de uma solução, e diferentemente dos demais tipos de problemas, leva-se horas ou dias para que alcance uma resposta (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 20).

Para esse tipo, apresentamos o exemplo:

O usuário de energia elétrica de um estado tem a opção de escolher entre três

operadoras: a Companhia Estrela da Energia, Companhia de Energia Acme e a

Sem Falhas Companhia de Energia. A tabela abaixo mostra as taxas cobradas

pelas operadoras de energia, por KiloWatt-hora.

Companhia Taxa Mensal em R$ Preço / KiloWatt-hora

Estrela da

Energia

5,75 para os primeiros

100KWh

R$0,10 por KWh acima de

100

Energia Acme 6,75 para os primeiros

100KWh

R$0,085 por KWh acima de

100

Sem Falhas R$ 10,00 R$ 0,055 por KWh

Com base na tabela acima, você escolheria qual operadora? Justifique sua

escolha.

Quantas figuras geométricas formam a bandeira brasileira?

Um grupo de amigos irá promover uma feijoada beneficente no final de um

curso para 30 alunos. Eles precisam comprar os seguintes ingredientes: feijão

preto, temperos, carnes, arroz. Faça um levantamento do custo da feijoada por

aluno.

38

E, finalmente, o quarto tipo:

Problemas de aparato experimental: são problemas que exigem introdução de estudos experimentais sobre alguma matéria ou conceito, de que é imprescindível para o aluno exercer sobre suas ações. Em geral utiliza-se de métodos das ciências experimentais, que permitem o desenvolvimento de certas competências, como: planilhar, organizar dados, interpretar os dados, mensurar. Esse tipo de problema manifesta no aluno, competências não antes necessárias e pode trazer à tona a resolução de diversos problemas secundários (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 20).

Utilizamos, para exemplificar esse tipo, o seguinte problema:

Para Vale e Pimentel (2004), as descrições dos tipos de problemas podem

ser apresentadas no esquema a seguir, mostrando que um problema pode estar

inserido em mais de um tipo:

Ao trazermos a classificação dos diferentes tipos de problemas, salientamos

que os problemas propostos aos alunos participantes da pesquisa relatada nesta

tese se deram pela tipologia fornecida por Krulik e Rudnick (2001), em que os

Figura 1 Diferentes tipos de problemas.

Aplicação

Processo

Conteúdo Aparato

Fonte: Vale e Pimentel (2004, p. 21).

Construa um circuito elétrico misto com 3 resistores de mesmo valor. A tensão

fornecida é de 9 V. Pergunta-se: a) Qual é a corrente elétrica no resistor que

está em paralelo? b) Qual é a tensão no resistor que está em paralelo? c)

Substitua o resistor em paralelo pelo dobro do valor e refaça os experimentos.

39

autores empregam em cada tipo de problema mencionado um aspecto peculiar

dentro do processo de Resolução de Problemas, os quais descrevemos a seguir.

Que número faz sentido? - Problemas para os quais é necessário inserir

valores (números) que deem sentido ao enunciado.

O que está errado? - Problemas resolvidos em que a resolução contém erro

no raciocínio (conceitual, de interpretação ou de cálculo). A finalidade é

identificar o(s) erro(s) e encontrar uma solução correta para o problema.

O que devemos fazer? - Problemas de final aberto, que os alunos resolvem

fundamentados em suas próprias experiências e conhecimento para, em

seguida, justificar suas soluções.

Que questões você pode responder? - Problemas oferecidos na forma de

situações que contêm informações numéricas. Solicita-se aos os alunos que

preparem perguntas que podem ser respondidas a partir dos dados.

O que está faltando? - Problemas em que falta uma informação (dado)

importante. Os alunos identificam o que falta, proveem o dado apropriado e

resolvem o problema.

Qual é a questão se você sabe a resposta? - Problemas que contêm as

informações, mas não possuem questões. As respostas são fornecidas e os

alunos devem preparar questões apropriadas.

Essa mesma tipologia foi utilizada por Allevato (2007) em um minicurso em

que a pesquisadora destaca a importância da resolução de diferentes tipos de

problemas para estimular a utilização do pensamento crítico e do pensamento

criativo12, considerados conforme a figura 2:

12 Pensamento crítico é a habilidade para analisar a situação e extrair conclusões apropriadas e corretas a partir dos dados fornecidos. Isso também inclui determinar se os dados são inconsistentes e/ou se os dados se perderam ou são estranhos. Pensamento criativo é a habilidade para originar a solução para uma situação problema. Complementando, é a habilidade para gerar, sintetizar e aplicar ideias originais para produzir um resultado complexo (KRULIK; RUDNICK, 2001, p. iv).

40

Dessa forma, Krulik e Rudnick (2001) entendem que esse conjunto de tipos

de problemas pode ser o caminho que conduzirá os alunos para a ampliação da

capacidade de raciocinar e de realizar pensamentos de ordem superior.

A escolha da tipologia a ser utilizada pelo professor em suas aulas, em face

do exposto, não é fácil. Classificar os tipos como descrito anteriormente em três,

quatro, cinco ou qualquer outro número de tipologias é, em qualquer caso, sem

dúvida, discutível, pois provavelmente podemos sempre encontrar outro tipo, além

dos já descritos. A intenção não é descrever todos os possíveis tipos de problemas,

mas sim analisar alguns modelos, para auxiliar na interpretação das informações

obtidas nesta pesquisa.

1.4 Resolução de Problemas: diferentes concepções

Quando se fala em Resolução de Problemas em Matemática, retornamos a

um passado não muito distante, com pouco mais de três décadas. Durante este

tempo muitas concepções distintas surgiram em decorrência das pesquisas

Figura 2 Hierarquia do Pensamento.

Fonte: Krulik e Rudinick (2001, p. iv).

41

realizadas. Uma das ideias difundidas por meio do NCTM (National Council of

Teachers of Mathematics, 2000) é a aceitação de que um dos principais objetivos do

ensino da Matemática é que os alunos se tornem bons solucionadores de problemas

e, não obstante as múltiplas interpretações do termo e concepções, ficou

caracterizado que a Resolução de Problemas deveria desempenhar um papel mais

amplo no contexto da matemática escolar.

Observamos, entretanto, que as diversas pesquisas em Educação

Matemática, produziram concepções diferentes quanto à Resolução de Problemas

(ALLEVATO, 2005; CAI, 2003; CARRILLO, 2000 a, 2001; HATFIELD, 1978;

LESTER, 1980; MENDONÇA, 1999; ONUCHIC, 1999; SCHROEDER).

Carrillo (2001) considera que a aplicação de um problema não unifica a

forma de compreensão da Resolução de Problemas em sala de aula, e que é

necessária uma tomada de consciência quanto aos elementos a serem considerados

nessa execução. Diversos outros pesquisadores têm identificado concepções

diferentes a respeito da Resolução de Problemas em Matemática e sobre seu ensino

e aprendizagem. Para Carrillo (2000b) podemos descrever as concepções a respeito

de ensino e aprendizagem matemática, no que ele denomina quatro tendências

didáticas, sendo que a quarta é tida por ele como a que tem mais sintonia com as

atuais orientações curriculares, bem como com as reflexões provenientes da didática

da Matemática.

No seu estudo, o autor explana as diferentes formas de compreender o

ensino e a aprendizagem da Matemática. As quatro tendências discutidas pelo autor

ilustram diferenças relacionadas à metodologia, ao sentido do conteúdo, à

concepção de aprendizagem e, por fim, à avaliação. Essas quatro tendências são

descritas como: tradicional, tecnicista, espontaneísta e investigativa.

Na tendência tradicional, a aula é ministrada na forma expositiva, utilizando

somente os livros texto previamente selecionados pelo professor, seguindo

rigorosamente um programa estabelecido anteriormente, sem a preocupação com as

relações (conexões) entre os conteúdos, estando o curso orientado para a aquisição

de conhecimentos. O aluno deve memorizar tais conhecimentos, que serão

cobrados no exame/prova, sendo este o único instrumento para mensurar o

42

aprendizado. Considera-se de responsabilidade do aluno o resultado pela sua

aprendizagem, atrelando seu resultado às notas. Com relação ao diagnóstico inicial

dos alunos, é baseado somente nos conteúdos que supostamente foram trabalhados

anteriormente.

Utilizando a tendência tecnicista, o tratamento dado pelo professor não é o

de fornecer o conteúdo final, e sim, o de seguir uma programação fechada,

simulando todo um processo para o aluno, para ele observar toda a construção

lógica que sustenta um dado conteúdo, e outorgando à disciplina, além da finalidade

informativa, o seu caráter prático para ser implementada em outras áreas da

Matemática ou em outras áreas do conhecimento humano. Entende-se que a

aprendizagem se dá utilizando os conteúdos assimilados, de modo ordenado, de

acordo com a lógica estrutural da disciplina. Para que o aluno aprenda, basta

compreender e assimilar o conhecimento advindo do exterior. O principal

responsável pelos resultados da aprendizagem é o aluno, sendo o contexto

escolhido pelo professor considerado correto. O professor questiona (para uma

possível alteração futura) o processo de aprendizagem à luz dos resultados ao final

de cada ciclo em que está dividida a aprendizagem do aluno, com base no grau de

operacionalidade dos objetivos propostos. O exame/prova é o instrumento mais

apropriado para medir o aprendizado. O diagnóstico inicial dos alunos é baseado na

detecção de erros conceituais ou processuais, que deveriam ser retificados antes da

execução do novo processo.

A tendência espontaneísta parte de uma proposta do professor, com

atividades de manipulação de modelos por meio dos quais se espera eventualmente

que ocorra a construção de conhecimentos não ordenados. A programação é

mutante por estar atrelada aos interesses dos alunos, não possuindo uma

organização inicial. O interesse reside na promoção positiva de atitudes face ao

trabalho escolar, em que a disciplina tem natureza formativa, sendo instrumento de

mudança para o aluno, permitindo-lhe adquirir valores racionais para construir uma

atitude lógica para os problemas do cotidiano. O professor entende que o aluno

aprende um conteúdo quando há um significado palpável para ele. Cabe ao

professor incentivar o aluno a participar das atividades de sala de aula, promovendo,

assim, a construção da aprendizagem, acompanhar a evolução e enfatizar a

43

importância do contexto no processo de aprendizagem. No caso do exame/prova, a

conotação é psicologicamente desfavorável por interferir negativamente nas

atividades e mesmo nas relações pessoais dentro da sala de aula. O diagnóstico

inicial dos alunos é realizado dentro do campo de interesse deles.

Por fim, na tendência investigativa, o professor dispõe de uma proposta bem

organizada do programa a ser trabalhado, mas não precisa seguir um único

caminho. O interesse está na aquisição de conceitos, no desenvolvimento de

procedimentos e na promoção de atitudes positivas com relação ao contexto escolar.

Desse modo, o objetivo final da disciplina é proporcionar aos alunos instrumentos

que lhes deem autonomia para aplicarem os conceitos nos mais diferentes contextos

do cotidiano. Para que isso ocorra, o aluno deverá dar significado ao que o professor

propôs e que foi planejado para ele. O professor vê a avaliação como um sensor da

aprendizagem, utilizando-a para redirecionar, a qualquer momento, sua forma de

trabalho. O exame/prova é um instrumento educacional que pode atingir dois

objetivos: (1) o de aprender, na medida em que é considerada uma atividade

individual incerta dentro do processo de construção do conhecimento; e (2) o de

controle do processo. Com relação ao diagnóstico inicial, manifesta os aspectos do

conhecimento do aluno, que, de uma forma ou de outra, poderão interferir no

processo de ensino-aprendizagem.

Entendemos, assim, que a tendência investigativa é a que mais se aproxima

do trabalho que desenvolvemos, o que não descarta a possibilidade de utilização

das outras tendências, pois quando se ensina através da Resolução de Problemas,

o aluno faz uma investigação; ele descobre caminhos em busca de soluções,

construindo, assim, o seu conhecimento, e utiliza todos os procedimentos

disponibilizados para o ensino de Matemática (repetição, compreensão, uso da

linguagem matemática e, às vezes, a forma de ensino tradicional).

Dessa maneira, concordamos com Carrillo (2001) em que a escolha por

utilizar a Resolução de Problemas como metodologia é uma decisão que envolve e

afeta muitas variáveis curriculares: conteúdo, metodologia, avaliação, papel do

professor e papel do aluno.

Outro estudo desenvolvido pelo mesmo autor descreve, por meio de um

44

esquema, um Processo de Melhoramento Hipotético do conhecimento matemático,

que deve ser favorecido uma vez que se apoia na ideia de que os professores

podem conduzir os alunos a chegarem ao último nível.

conscientes de que participar de um processo de melhoria é, em si, uma conquista,

e a dificuldade não deve impedir-nos de tentar atingir os objetivos que muitas vezes

(CARRILLO, 2001, p. 3).

O autor comenta que esse esquema nos coloca a refletir sobre os avanços

significativos que podem advir quando o professor busca inserir a Resolução de

Problemas em sua sala de aula. Os professores devem se munir de paciência,

permitindo que os alunos formulem a proposta de sua abordagem, e não

simplesmente fornecer as receitas que modificam os problemas, transformando-os

automaticamente em exercícios. Não devem, reciprocamente, abandonar a prática

rotineira dos exercícios e substituí-los simplesmente por problemas; os problemas

Fonte: Carrillo (2001, p. 3).

Figura 3 - Processo de Melhoramento Hipotético.

45

devem ser tratados diferentemente dos exercícios. Percebe-se que em determinados

momentos, os problemas são colocados à parte, em favor do conteúdo a ser

cumprido. Nesse processo, o problema como institucionalização da aprendizagem

acontece ao se realizarem paradas para socializar a aprendizagem que ocorre

enquanto são esclarecidas as dúvidas. Possuir uma lista de possibilidades (lista de

heurísticas13) é, também, muito útil, servindo de apoio ao professor e possibilitando

ajudar os alunos a organizarem e progredirem na resolução de um problema. Um

importante ganho qualitativo é quando ocorre a reflexão sobre os processos

seguidos. Para aumentar a eficácia desse processo é desejável possuir as

ferramentas para observar os aspectos relevantes à evolução do Processo de


A partir de alguns processos - modelos e métodos, os alunos desenvolvem

seu raciocínio, passando a pensar de forma razoável e válida. É nesse sentido que

Rigelman (2007) descreve, por meio da Figura 4, um modelo circular indicando que

o processo matemático para a resolução de problemas não possui fim.

13 O objetivo da heurística é estudar os métodos e regras de descoberta e invenção. Heurística, como, um adjetivo, significa "que serve para descobrir" (POLYA, apud HATFIELD, 1978, p.22 - 23).

Figura 4 - Processo de resolução de problemas matemáticos.

Fonte: Rigelman (2007, p. 313).

46

Dentre as diferentes concepções apresentadas, apesar de possuírem pouco

mais de três décadas, mantêm-se bem atuais as apresentadas por Hatfield (1978):

Ensino para resolução de problemas, em que se situa como principal objetivo de ensinar matemática a resolução de problemas aplicando seus conhecimentos.

Ensino via resolução de problemas, em que e a resolução de problemas é o recurso metodológico para aprender Matemática.

Ensino sobre resolução de problemas, em que se pretende que os alunos sejam cada vez melhores solucionadores de problemas através da aquisição de habilidades e estratégias (HATFIELD, 1978, apud CARRILLO, 2000a, p. 6).

Para Carrillo (2000a), o trabalho do professor com a Resolução de

Problemas torna-se mais efetivo se houver dedicação e organização de conteúdos,

apoiados em objetivos favoráveis ao ensino e aprendizagem matemática.

Também Mendonça (1999) considera importante clarificar as diversas

interpretações possíveis para a Resolução de Problemas. Para a autora, há três

formas de interpretar a Resolução de Problemas, sendo elas:

Pensar a resolução de problemas como um objetivo significa que se ensina Matemática para resolver problemas; de modo a aplicar essa interpretação na sala de aula, parece ser suficiente expor a teoria e, então, propor problemas mais ou menos engenhosos.

Pensá-la como um processo significa olhar para o desempenho/ transformação dos alunos(as) como resolvedores levá-los a enfrentar problemas de modo a desenvolver o seu potencial heurístico; para utilizar essa interpretação na sala de aula, procura-se propor problemas de modo a

olução. Por exemplo, uma estratégia para resolver problemas de contagem pode ser pensar no problema com números menores; tentativa e erro é também uma estratégia importante.

Pensar a solução de problemas como um ponto de partida é tomar o problema como o recurso pedagógico, apresentado no inicio do processo da aprendizagem que espera-se alcançar, destinado à construção de conhecimentos matemáticos pelo aluno. Essa interpretação contraria a primeira e engloba a segunda interpretação, ao menos parcialmente. Porém o essencial em ambas reside na interação professor/a aluno/a, na qual as ideias e sugestões dos alunos e alunas têm um papel fundamental na aprendizagem (MENDONÇA, 1999, p. 16).

Dessa forma a autora entende que, quando se trata de Resolução de

Problemas como um objetivo, o problema será apresentado após o professor ter

exposto a teoria matemática, com a intenção de administrar a aprendizagem desse

conteúdo ou conceito matemático, ou mesmo como treino para já conhecidas

técnicas. Por outro lado, a Resolução de Problemas na forma de processo, seria um

momento de reflexão a respeito dos processos heurísticos que o aluno estará

seguindo para solucionar problemas que envolvem os conhecimentos adquiridos,

47

utilizando uma estratégia, podendo ser por tentativa de acerto e erro, através de

gráficos, desenhos, entre outros, cabendo ao professor trabalhar a sistematização

ou melhora do algoritmo. Por fim, a autora diz que ao se utilizar a Resolução de

Problemas como ponto de partida para alavancar o processo de aprendizagem, os

problemas seduzem os alunos a discutirem e explorarem, de forma a organizarem e

construírem seu conhecimento matemático.

Como observado anteriormente, Mendonça (1999) e Hatfield (1978, apud

CARRILLO, 2000a) apresentam semelhanças em suas concepções a respeito da


A partir das leituras que realizamos na literatura a respeito de Resolução de

Problemas, em especial, no tocante à mudança da prática do professor,

constatamos que tal movimento ocorre em um determinado contexto, e que tais

mudanças são condicionadas pelas diferenças entre as pessoas, as quais se apoiam

em relações, ideias e experiências próprias. Mendonça (1999) analisa o potencial

pedagógico da Matemática, e sugere alavancar o processo de aprendizagem

partindo do instante em que se cria no aluno a necessidade de compreender o

momento e sua realidade social, problematizando-a e estimulando-os a formular

problemas.

Seguindo essa linha, mas ampliando e atualizando o proposto por Hatfield

(1978); Schroeder e Lester (1989), Onuchic (1999) e Allevato (2005) nos ajudam a

refletir sobre três diferentes concepções a respeito de Resolução de Problemas,

sendo elas: ensinar sobre Resolução de Problemas; ensinar para resolver

problemas; e ensinar através da Resolução de Problemas, sendo que esta última

não estava muito sedimentada nos anos de 1980.

Na primeira concepção, ensinar sobre Resolução de Problemas,

disponibilizam-se ao aluno técnicas e heurísticas que são ensinadas como conteúdo

e que se sustentam no modelo proposto por Polya, seguindo estratégias próprias e

bem estabelecidas. Os alunos deveriam seguir rigorosamente determinadas etapas

para atingirem a solução esperada do problema. A respeito dessa concepção,

Allevato (2005) ressalta que não é por meio da repetição de estratégias ou técnicas

operatórias que haverá garantias da compreensão de um conceito ou conteúdo

48

matemático. Não obstante a reprodução de processos, pelo aluno, os conceitos

podem continuar sem significado para o aluno, que é privado de encontrar a solução

por si só.

Allevato (2005) comenta que:

Um exemplo, tão típico quanto genérico, é o das longas listas de problemas propostas pelos professores aos alunos, sobre um determinado assunto matemático. Muitas vezes verifica-se que os alunos automatizam procedimentos de tal modo que se, entre tantos, um determinado problema exigir deles um encaminhamento diferente, eles não são capazes de perceber. Os alunos simplesmente repetem, naquele problema, os mesmos procedimentos que vinham utilizando nos anteriores e produzem resultados incorretos; não param para pensar sobre cada problema individualmente, não atribuem sentido ao que lêem e ao que fazem (ALLEVATO, 2005, p. 57).

A segunda concepção diz respeito ao ensino para a resolução de

problemas, em que é necessário possuir conhecimento prévio de alguma técnica,

algoritmo ou mesmo conteúdo matemático para, ser utilizado na resolução do

problema e, assim, obter sua solução. Em geral, boa parte dos livros didáticos de

Matemática é estruturada nessa concepção, assim desenvolvida pelos professores

em suas aulas de Matemática:

Essa concepção considera a Matemática como utilitária de modo que, embora a aquisição de conhecimento matemático seja de primordial importância, o propósito principal do ensino é ser capaz de utilizá-lo. Nessa concepção o professor concentra-se no modo como a Matemática que está sendo ensinada pode ser aplicada na resolução de problemas. Ele se preocupa com a habilidade dos alunos de transferirem o que aprenderam num contexto para problemas em outros contextos, ou seja, ele ensina para a resolução de problemas (ALLEVATO, 2005, p. 53).

O ensino para a resolução de problemas certamente torna o ensino da

Matemática mais atraente e estimulante para o aluno, levando-o a compreender que

os conceitos matemáticos ensinados podem ser aplicados na resolução de

problemas. Entretanto, a autora faz uma crítica, apontando que nessa abordagem:

o aluno capta, repete estilos e aceita processos e resultados; sua atividade se limita a tentar assimilar os conceitos teóricos aplicando-os e reconstruindo processos. O professor propõe e contextualiza o problema, espera e corrige as respostas dos alunos, oferece chaves semânticas explícitas e implícitas e, finalmente, expõe seu processo de resolução como o mais correto (ALLEVATO, 2005, p. 53 - 54).

49

Desse modo, dificilmente o aluno irá ousar utilizar um recurso ou uma

estratégia diferente da apresentada pelo professor, podendo se tornar um mero

repetidor.

Por fim, a terceira concepção, denominada ensino através da Resolução de

Problemas, é a metodologia propulsora da pesquisa relatada nesta tese, e será

discutida na próxima seção.

1.5 O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas

Entramos no século XXI confrontando as ideias do século passado,

envolvendo o currículo de Matemática, com as atuais, entre as quais está ensinar

Matemática através da Resolução de Problemas. Algumas indagações a respeito de

Resolução de Problemas passam a ser realizadas pelos pesquisadores em relação

ao ensino, às estratégias e seus modelos, iniciando outra fase. Nela a Resolução de

Problemas passa a ser pensada como uma metodologia de ensino, por entender que

os alunos desenvolvem uma aprendizagem mais apropriada aos objetivos atuais

para o ensino de Matemática.

Assim, o nosso propósito em trabalhar através da Resolução de Problemas

não é unicamente promover a aprendizagem de um tópico, um padrão ou um

conteúdo; mas, também, adotar outra postura para o ensino e a aprendizagem da

Matemática, ou seja, é adotar uma metodologia de ensino e aprendizagem.

Para Van de Walle (2009, p. 58

deve estar completamente mesclado com a aprendizagem, assim os alunos estarão

. As dificuldades de trabalhar com

Resolução de Problemas são consideráveis: sabemos que as tarefas devem ser

cuidadosamente planejadas aula a aula, levando em consideração a compreensão

dos alunos e as necessidades curriculares. Contudo, o autor apresenta uma lista de

razões para continuar nesse esforço:

(a) A resolução de problemas concentra a atenção dos alunos sobre as ideias e em dar sentido às mesmas; (b) a resolução de problemas desenvolve nos alunos a convicção de que eles são capazes de fazer matemática e de que a matemática faz sentido;

50

(c) a resolução de problemas fornece dados contínuos para avaliação que podem ser usados para tomar decisões educacionais, ajudar os alunos a ter bom desempenho e manter os pais informados; (d) a resolução de problemas possibilita um ponto de partida para uma ampla gama de alunos; (e) uma abordagem de resolução de problemas envolve os estudantes de modo que ocorrem menos problemas de disciplina;

(g) é muito divertida! (VAN DE WALLE, 2009, p. 59).

Essa nova visão de ensino-aprendizagem de Matemática está amparada,

especialmente, nos estudos desenvolvidos pelo NCTM e descritos nos Standards

2000 - Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000).

D´Ambrosio (2006) discute o trabalho realizado por Stanic e Kilpatrick a

respeito desse tema, em que a Resolução de Problemas é um veículo, pois introduz

e desenvolve conceitos matemáticos. A proposta no ensino de Matemática através

da Resolução de Problemas é a de que os alunos se confrontem com situações-

problema e utilizem conhecimentos matemáticos já existentes para resolvê-las;

dentro desse processo, esses alunos podem construir novos conhecimentos e

entendimentos.

Devemos ter uma noção clara das dificuldades de entendimento dos alunos

e buscar métodos diferentes para ensinar Matemática. Van de Walle (2009) adverte:

mesma nova ideia. O que é significativo é que a construção dessa certamente será diferente para cada aprendiz, até mesmo dentro de um

E WALLE, 2009, p. 43).

O autor diz que a edificação do conhecimento demanda pensar

reflexivamente, raciocinar ativamente a respeito ou, mentalmente, trabalhar uma

ideia. Pensar reflexivamente denota filtrar ideias já conhecidas para descobrir

aquelas que pareçam ser mais importantes ao dar o sentido às novas ideias. Fosnot

pensamento reflexivo ou intencional, as pessoas podem modificar os seus

esquemas existentes para acomodar essas

Tendo como base essas orientações, devemos buscar instrumentos que nos

auxiliem a ensinar uma Matemática que tenha significado para os alunos. Assim, os

problemas devem ser propostos em um formato que engaje os alunos a pensarem e

51

desenvolverem a Matemática como algo importante que eles necessitam aprender.

Para uma melhor aprendizagem matemática, Van de Walle (2009) diz que algumas

características devem ser consideradas:

(a) o problema deve começar onde os alunos estão; (b) o aspecto problemático ou envolvente do problema deve estar relacionado à matemática que os alunos vão aprender; (c) a aprendizagem matemática deve requerer justificativas e explicações para as respostas e os métodos (VAN DE WALLE, 2009, p. 58).

Trabalhar através da Resolução de Problemas em sala de aula requer

tarefas centradas no aluno e não no professor, e para ensinar e construir ideias

novas deve-se respeitar os conhecimentos prévios dos alunos. A disposição para

manifestar confiança de que os alunos podem gerar ideias significativas a respeito

da Matemática é um aspecto que deve ser praticado pelo professor. Com essa

visão, entendemos que a aprendizagem através da Resolução de Problemas é um

caminho importante para se fazer Matemática, e ensinar utilizando problemas é um

trabalho que exige muito do professor.

Allevato (2005) descreve que, ao analisar os aspectos mais relevantes das

inúmeras maneiras como a Resolução de Problemas é abordada, o ensinar através

de Resolução de Problemas se mostra mais coerente com as indicações do NTCM,

em que:

Habilidades e conceitos matemáticos devem ser aprendidos no contexto da resolução de problemas;

O desenvolvimento de processos de pensamento de ordem superior deve ser estimulado através de experiências em resolução de problemas, e

O ensino de matemática deve ocorrer, por investigação orientada, em um ambiente de resolução de problemas (ALLEVATO, 2005, p. 56).

É primordial construir um ambiente em sala de aula que propicie ao aluno

uma aprendizagem mais significativa, dando sentido às coisas, integrando os

elementos e estruturas que matematicamente aparecem desconexos e perceber

como se relacionam.

A autora discorre sobre a concepção apresentada por Van de Walle (2009),

em que a Resolução de Problemas deve ser uma estratégia de ensino, e que as

tarefas ou problemas devem ser propostos para envolver os estudantes em

atividades que os façam pensar sobre e para desenvolver a Matemática que eles

necessitam aprender.

52

Desse modo, para Allevato (2005) o ensino através da Resolução de

Problemas sendo uma metodologia, não exclui as demais concepções,

possibilitando aos alunos aprenderem sobre Resolução de Problemas enquanto

aprendem Matemática para resolver problemas novos.

Como exposto por Onuchic e Allevato (2005), a Resolução de Problemas

desempenha um importante papel na melhoria das habilidades matemáticas dos

alunos, trazendo para a sala de aula um trabalho mais colaborativo por parte dos

professores e alunos. É nesse cenário que Onuchic e Allevato (2011) dizem que não

há rigidez em se trabalhar com a metodologia do ensino através da Resolução de

Problemas. Entretanto, sugerem que se organizem as atividades nas seguintes

etapas:

Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.

Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.

Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.

Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.

Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.

Resolução do problema - A partir do entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

Observar e incentivar Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias, já conhecidas, necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.

53

Registro das resoluções na lousa Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.

Plenária Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem.

Busca do consenso Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

Formalização do conteúdo Neste momento, denominado

organizada e estruturada em linguagem matemática padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p. 83 85).

Como exposto pelas autoras, a Resolução de Problemas, mostra-se

importante quando se almeja introduzir um conceito novo ou procedimento, tornando

o processo de aprendizagem mais natural e instigante. Esse instrumento auxilia na

interiorização, pelo aluno, dos significados dos conceitos matemáticos, facilitando,

assim, a formalização matemática.

Em seu trabalho, Charnay (2001) realiza uma abordagem bem interessante

com relação às estratégias de ensino que são adotadas pelo professor, que sofrem

diversas influências qual é o ponto de vista do professor com relação à disciplina

de Matemática; quais são os objetivos do ensino de Matemática; que objetivos

específicos o professor entende serem importantes naquele momento; que

habilidades e expectativas deverá ter no que diz respeito aos alunos; qual é a

situação socioeconômica desses alunos, descrita em três modelos de referência:

-se de transmitir, de comunicar um saber aos alunos. A pedagogia é então a arte

começar,

pergunta-se ao aluno a respeito de seus interesses, suas motivações, suas próprias necessidades, o meio que o rodeia.

aluno): propõe- no aluno e

- -las, modificá-las ou construir novas (CHARNAY, 2001, p. 39).

O modelo descrito por Charnay (2001) como aproximativo é muito próximo

do que estamos chamando de Ensino através da Resolução de Problemas, descrito

por Onuchic e Allevato (2011), pois o autor descreve que nesse modelo:

54

O professor propõe e organiza uma série de situações com diferentes obstáculos (varáveis didáticas dentro destas situações), organiza as diferentes fases (investigação, formulação, validação, institucionalização).

Organiza a comunicação da aula, propõe no momento adequado os elementos convencionais do saber (notações e terminologias).

O aluno ensaia, busca, propõe soluções, confronta-as com as de seus colegas, defende-as e as discute.

O saber é considerado dentro de sua lógica própria (CHARNAY, 2001, p. 39).

O autor observa que os professores, normalmente, não se restringem

apenas a um modelo, mas que, em geral, utilizam partes de cada um desses

modelos, que cada professor faz uma escolha, consciente ou não, e privilegia um

deles. Esses modelos fazem com que os professores tenham fontes de dados para

reflexão e análise das atividades didáticas realizadas.

Vemos o quão interessante é o papel da Resolução de Problemas na

Educação Matemática. Allevato (2009) nos mostra que as novas formas de se

pensar a Resolução de Problemas encaminham a novas formas de trabalho, em que

os professores devem propor problemas que direcionem os alunos a ler, escrever,

ouvir e falar.

Conduzimos nossa pesquisa com a proposta da concepção do ensino

através da Resolução de Problemas, que consiste em uma metodologia de ensino

que prioriza a construção de conceitos através de problemas selecionados pelos

professores, e seguindo as orientações propostas por Allevato e Onuchic (2009). A

opção pela Resolução de Problemas, da maneira como foi empregada, teve como

propósito criar um contexto promissor à construção de conhecimento matemático,

tendo sido utilizada como metodologia de ensino, ou melhor, o problema sugerido

era gerador de novos conceitos e conteúdos matemáticos. Esperávamos que os

alunos compreendessem os significados dos conteúdos, sem que houvesse a

obrigação de recorrer a técnicas previamente trabalhadas (os fatos ocorridos serão

apresentados no Capítulo 5). Além disso, complementamos nossa busca, realizando

a análise dos erros cometidos pelos alunos na resolução desses problemas.

Por isso, tendo discutido algumas ideias que direcionaram o nosso trabalho

com respeito à Resolução de Problemas, discorreremos no próximo capítulo sobre

Análise de Erros como ferramenta para refletir e ampliar a realização de pesquisas

no cenário científico e no âmbito escolar.

55

CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE ERROS

2.1 Antecessores nos Estudos dos Erros

2.2 O que é Erro?

2.3 Alguns Tipos de Erros

2.4 A Análise de Erros nos Contextos Educacionais

2.5 O Erro sob duas Perspectivas

2.6 O Erro sob a Perspectiva de quem Ensina

2.7 A Revisão da Literatura envolvendo Análise de Erros

56

CAPÍTULO 2

ANÁLISE DE ERROS

Mistakes are almost always of a sacred nature. Never try to correct them. On the contrary: rationalize them, understand them thoroughly. After that, it will be possible for you to sublimate them.

Salvador Dali14

Neste capítulo, analisamos alguns estudos, identificados por pesquisa

bibliográfica, e apresentamos a Análise de Erros como aliada aos processos de

ensino e aprendizagem de Matemática. Inicialmente, fazemos uma breve

retrospectiva histórica. Em seguida, apresentamos alguns aspectos que se fazem

presentes no desenvolvimento das pesquisas sobre erros: o que é erro, como pode

ser considerado por professores e alunos e algumas classificações a respeito de

erros.

2.1 Antecessores nos Estudos dos Erros

O erro, na Educação, sempre foi alvo de punição sistemática nas escolas de

diversas culturas, incluindo a nossa, apesar dos reiterados clamores de supressão

de tais atos.

No âmbito do ensino e da aprendizagem da Matemática, no final do século

XIX e início do século XX, diversos psicólogos e matemáticos (empregando termos

que, em muito, se referem à mesma ideia) realizaram pesquisas educacionais.

Thorndike (apud CURY, 2007) buscou entender as dificuldades encontradas pelos

alunos na resolução de problemas de Aritmética, e para estudar suas teorias de

aprendizagem e entender esse processo, considerava que era necessário estudá-los

14 Tradução nossa: Os erros são quase sempre de uma natureza sagrada. Nunca tente corrigi-los. Ao contrário: racionalize-os, compreenda-os completamente. Depois disso, será possível para você sublimá-los.

57

nos animais. Thorndike, com suas inúmeras experiências, trouxe à luz ideias

inovadoras para a época.

Continuando, Cury (2007) informa que em 1936, ele expôs o que chamou de

Lei do Exercício o uso fortifica e o desuso enfraquece as conexões mentais. Ele

entende, entretanto, que a atividade mental do aluno deve ser respeitada buscando

não cansá-lo com atividades inúteis, uma vez que estados de aborrecimento tendem

a enfraquecer tais conexões. Thorndike acreditava que se devem reforçar os

vínculos e os hábitos para a realização de cálculos. Ele desenvolveu pesquisas

sobre os erros cometidos por alunos em operações matemáticas, e determinou os

tipos de erros, procurando analisar os passos mentais necessários para se obterem

os resultados esperados.

Outro autor que escreve a respeito da Análise de Erros em Educação

Matemática é Radatz (1979), descrevendo que até meados do início do século XX,

nos Estados Unidos da América, mais de trinta estudos já haviam sido realizados

para diagnosticar os erros em Aritmética. Na Alemanha, também foram

desenvolvidos diversos estudos nessa mesma época, e a análise dos erros dos

alunos nesses dois países foi caracterizada por diferentes pontos de partida e

interesse, principalmente por causa de diferentes orientações verificadas em relação

à pesquisa psicológica e educacional da época, mas também por causa de

diferenças nas políticas educacionais e na estrutura da organização escolar.

Assim, as pesquisas realizadas no início do século XX envolvendo análises

de erros estavam voltadas aos erros cometidos pelos alunos dos anos iniciais, em

Aritmética. Entretanto, uma exceção, segundo Cury (1994), foi uma pesquisa

realizada por Smith (1940), nos Estados Unidos da América, com alunos da high

school, envolvendo Geometria Plana.

Encontramos na literatura estudos mais recentes realizados na Espanha,

onde o educador matemático Rico (1998) se mobilizou em torno do estudo do erro.

Para ele, o campo de estudo de erros na aprendizagem da Matemática escolar tem

se desenvolvido e se tornado cada vez mais produtivo nas últimas décadas.

Entende-se que há interesse para um melhor entendimento e conhecimento dos

alunos. Assim, a análise de erros no ensino e na aprendizagem transformou-se em

58

uma das linhas de pesquisa de permanente interesse nas investigações em

Educação Matemática.

Complementando, Cury (2007) indica que as pesquisas sobre erros,

especificamente em Educação Matemática, vêm sendo realizadas desde os anos de

1960 e sofreram diferentes influências, que vão do Behaviorismo até o

Processamento de Informações, passando pela proposição de atividades

investigativas. Em cada uma dessas tendências, o erro tem sido visto e tratado de

um modo diferente, indo da simples detecção e classificação até a busca por

métodos de ensino que minimizem sua ocorrência ou a de determinado tipo,

passando pela sua utilização como ponto de partida para atividades investigativas.

Segundo Torre (2007),

O erro por si mesmo não leva a nada se não for seguido de uma reflexão para revelar a verdade. Uma olhada retrospectiva e histórica nas grandes descobertas humanas ilustrará como em muitas delas ocorreu o acaso ou o erro como força aleatória que possibilitou um resultado bem-sucedido; em outros casos, deveu-se à atenta observação de certos fenômenos ou de discordâncias insignificantes. Não se deve condenar nem desprezar o erro, por mínimo que este pareça, mas sim analisar seus efeitos. Muitas teorias, mais que equivocadas, são incompletas (TORRE, 2007, p. 21).

Vale ressaltar que as diferenças de estilos e métodos de ensino nas escolas

e sua estrutura educacional são motivos para se pesquisar sobre os erros na

aprendizagem, em particular na aprendizagem matemática. Entendemos que a

presença permanente de erros na construção e consolidação do conhecimento

humano é uma questão contextual, complexa e delicada. As leituras que realizamos

na literatura nos permitem inferir que a manifestação do erro indica que há alguma

deficiência ou incompletude no conhecimento. O erro pode ser encarado como uma

condição do que pode acontecer e do que pode ser realizado ou aprimorado, um

aspecto permanente na busca pelo conhecimento.

Refletindo sobre a importância de se analisar a produção escrita dos alunos

em Matemática, Buriasco e Silva (

pode contribuir com o aluno na medida em que o professor o incentive a analisar sua

matemáticos enfatiza que em lugar de ser protegido do erro, o aluno deveria ser

59

exposto ao erro muitas vezes, ser encorajado a detectar e a demonstrar o que está

errado, e por quê" (p. 169).

Essas orientações favorecem uma nova postura do professor e do aluno

frente ao erro. Não um sentimento de fracasso ou desalento, mas uma atitude de

busca positiva e contínua de melhoria e de novas aprendizagens.

No entanto, quando se fala em erro, a que se está referindo? Torna-se

necessário ter consciência da natureza do erro a fim de identificá-lo e, a partir daí,

configurar encaminhamentos.

2.2 O que é Erro?

Discorrer sobre erros é algo que vem de longa data, quando os

pesquisadores iniciaram seus trabalhos com o intuito de compreender suas

implicações nos processos de ensino e aprendizagem dos alunos. Os erros estão

presentes em discussões que envolvem todas as áreas do conhecimento a

Psicologia, a Pedagogia e, em nosso caso, a Educação Matemática em virtude da

amplitude de seu significado e relevância nos contextos educacionais.

Nesta pesquisa, assumimos o erro como algo que apresenta discrepância

com o considerado correto, e como Japiassu e Marcondes (1999) expõem:

Para a filosofia clássica, o erro consiste, na maioria das vezes, no efeito de nossos sentidos: a Terra me parece plana, o Sol parece girar em torno da Terra. O entendimento propriamente dito não deve cometer erro, mas a

espírito a cometer erros. Contudo, muitos filósofos atuais veem no erro não algo a ser sumariamente proscrito, mas uma primeira etapa do conhecimento, uma condição da verdade: o erro descoberto nos leva a procurar uma solução melhor: a verdade cientifica pressupõe, de direito, um

MARCONDES, 1999, p. 86).

educativo, porque não é possível avançar em um longo e desconhecido caminho

sem se equivocar:

elemento sempre presente e, na descrição de J. Torres (apud TORRE, 2007), está

inserido no currículo oculto, permeia as ações, decisões e avaliações que são

realizadas no âmbito da Educação.

60

Sempre ouvimos das pessoas mais vividas que devemos aprender com os

erros; este é um dito popular que a história não se cansa de mostrar, seja no âmbito

pessoal ou profissional. Torre (2007) faz uma colocação interessante com relação a

alguns pensamentos já amplamente discutidos no meio acadêmico:

[..] o acaso, o erro, a complexidade, o problemático e tudo aquilo que encerra rejeição por parte de certos setores positivistas ou tecnocráticos é aceito por alguns filósofos como importante componente do progresso científico. O erro é uma das engrenagens da roda da história. É hora de aprender com as falhas, os desacertos e os erros. É hora de propor uma nova ética baseada no reconhecimento dos próprios erros. É hora de recolhermos nas pesquisas não só os resultados positivos, coincidentes com nossas expectativas, mas também aqueles inesperados, imprevistos, problemáticos ou contrários ao esperado (TORRE, 2007, p. 46).

Torre (2007) acrescenta que o enfoque didático do erro consiste em sua

consideração construtiva e, inclusive, criativa dentro dos processos de ensino e

aprendizagem. Desse modo, percebemos no erro um ponto de referência importante

para orientar nossas hipóteses para outros caminhos e encaminhamentos para o

desenvolvimento dos conteúdos em sala de aula, considerando os resultados

negativos como fonte de novos conhecimentos.

Outra significação dada ao erro é a de desajuste conceitual ou moral em

relação a determinada norma. Nessa conjuntura, dá-se força à inadequação entre o

esperado e o obtido, sendo o erro entendido como desajuste, em relação à norma

moral ou social estabelecida pelo professor como válida ou correta, da resposta

dada pelo aluno. Essas normas são semelhantes àquelas fornecidas pelos pais, em

casa, quando dizem aos filhos o que está certo ou não e, dessa forma, a criança vai

aprendendo e adotando uma determinada conduta moral e de comportamento social

graças às correções do meio adulto.

O erro é um indicador ou sensor de processos que não funcionam como se

esperava, de problemas não resolvidos satisfatoriamente, de aprendizagens não

alcançadas e de estratégias cognitivas inadequadas. Pode-

tarefas.

Desse modo, cabe uma reflexão cuidadosa sobre o erro, sobre as

implicações que decorrem de sua presença nos contextos educacionais, do ponto de

61

vista tanto do aluno quanto do professor, e sobre os modos de aproveitá-lo a favor

da construção do conhecimento escolar.

2.3 Alguns Tipos de Erros

Os erros dos alunos são uma rica fonte de estudo para aqueles que desejam

melhor entender, inclusive, os diferentes motivos que levam os alunos a incorrerem

em erros. Em Pochulu (2005) e Torre (2007), podemos verificar a descrição de

alguns tipos de erros, que devem ser tratados de maneira heterogênea e positiva, o

que demanda de quem irá trabalhar com eles conhecer as modalidades que

permitam classificá-los e constituir níveis entre os erros.

Outro autor que trata do assunto é Corral (apud TORRE, 2007), que

diferencia o erro em dois tipos:

a) Erros de aplicação, que têm lugar quando se conhece e se aceita determinada norma que logo não se aplica;

b) Erros de compreensão, quando não se conhece claramente a norma (CORRAL, apud TORRE, 2007, p. 98).

Determinados autores evidenciam que o erro é um fenômeno natural,

presente em quase todos os momentos, ações e processos humanos. Corral

corrobora complementando:

Agora sabemos que muitos dos erros que cometemos quando pensamos não são arbitrários; pelo contrário, respondem a diferentes momentos de nosso estado atual de conhecimento. Por isso seu estudo não supõe nenhuma morbosidade, senão que mostra algumas de nossas limitações intelectuais e sugere vias de aproximação qualitativa a nosso pensamento. Os erros revelam os processos psicológicos e os procedimentos heurísticos de nosso pensamento. Os erros são sinais de inteligência e correspondem à face oculta dos avanços intelectuais (CORRAL, apud TORRE, 2007, p. 98).

Torre (2007), mesmo constatando que há muitos pontos de vista sobre erros

na aprendizagem, faz a condensação de alguns conceitos que, em geral, são

emanados do termo erro, como veremos a seguir:

i. O erro como falta de verdade: de um ponto vista filosófico e lógico o erro está em afirmar algo diferente do que é. [...] O erro está no julgamento, ao afirmar algo incongruente com a verdade ou em contradição com ela. [...] O erro se diferencia da ignorância porque esta implica o desconhecimento total da coisa de que se trata, enquanto que o erro lógico, de que falamos aqui, costuma ter sua origem em um desconhecimento parcial. ii. O erro como incorreção por falta de conhecimento ou de clareza: a origem desse tipo de erro pode provir da confusão, do equívoco ou da ignorância em relação á informação que é pedida. A confusão é o erro que

62

se comete ao tomar uma coisa por outra. [...] A ignorância é o desconhecimento total ou parcial da informação que se solicita. A ignorância pode dar lugar ao erro quando o sujeito se arrisca a responder sobre questões que desconhece, proferindo afirmações equivocadas ou improcedentes. iii. O erro como equívoco (mistake): não se refere tanto ao plano lógico nem à falta de conhecimento quanto ao processo de execução. [...] corresponde a uma deficiência na competência, enquanto o equívoco nos remete à execução das tarefas. [...] Isso quer dizer que boa parte das

baseadas na falta de conhecimento, mas se apoiam em equívocos de execução.

iv. O erro como desajuste conceitual ou moral: dá-se ênfase á inadequação entre o esperado e o obtido, prescindindo de sua causa. [...] nesta acepção nos fixamos no desajuste em relação à norma moral ou social estabelecida. [...] Transferindo esse conceito para o contexto escolar, o erro representa um desajuste entre a norma estabelecida pelo professor como válida ou correta e a resposta dada pelo aluno. v. O erro como sensor de problemas: o equívoco e os erros levam consigo profundas conotações de rejeição e ocultação de algo natural e evidente. [...] O erro é um indicador ou sensor de processos que não funcionaram como esperávamos, de problemas não resolvidos satisfatoriamente, de aprendizagens não alcançadas, de estratégias cognitivas inadequadas (TORRE, 2007, p. 64-67).

O mesmo autor completa dizendo que temos cinco erros que estão

interagindo em nosso cotidiano, como o erro por monotrilho, descrito como: ir

imediatamente de uma ideia para a outra, desconhecendo dados ou diferenças

essenciais e determinantes entre as ideias. Esse tipo de erro é comum entre as

crianças por observarem os adultos realizando algo e acreditarem que pode ser

reaplicado em outras situações. Ocorre, por exemplo, ao imaginarem que como as

balas são coloridas, as pílulas coloridas também são doces; ou, ao verem a mãe

colocar roupa na máquina de lavar, pensarem que, estando o gato sujo, este pode ir

à máquina de lavar também. Por ser uma sequência logicamente correta, esse tipo

de erro sugere a simplicidade mental, sendo árdua sua eliminação.

Um segundo tipo, chamado erro de magnitude, equivale a associar uma

ideia a outra de maneira visivelmente apropriada em relação ao título que lhe damos,

desconsiderando divergências de magnitude ou proporção. Um ímã atrai objetos

metálicos; entretanto, se esses objetos não são grandes ou estão distantes, o efeito

da atração não será produzido. Não apenas no pensamento infantil ocorre esse tipo

de erro; ele está presente também entre os adultos. Por induzirem ao erro, existe a

necessidade de identificar as condições que acompanham tais ideias. Para

tentarmos eliminá-lo, damos nomes diferentes às coisas: um lago, uma lagoa, um

63

mar, apresentando diferenças entre elas. Esse erro, em geral, está presente em

nossa linguagem habitual, originando confusões.

O terceiro se chama erro por desajuste e ocorre quando confundimos

artefatos, circunstâncias ou pessoas por não nos apercebermos de todos os

detalhes que os definem. Quem nunca confundiu uma pessoa com outra ao vê-la de

No

caso dos alunos, a distração é a principal origem desse tipo de erro. Uma

informação que passa despercebida por eles, em um problema de Matemática,

implica soluções errôneas. Diversas soluções incorretas ou incompletas possuem

origem nesse desajuste, entre o que o problema solicita e o que o aluno responde,

não fazendo uma reflexão sobre o enunciado dos problemas. Nessa situação, é

conclusões precipitadas são as causas principais desse tipo de erro.

Certamente, assumir uma atitude prepotente ou de desprezo com relação a

algo, ou ser orgulhoso, também induz ao erro. Nesse caso, é batizado de arrogância,

que se deve pela austeridade das ideias, pela maneira como elas são defendidas e

impostas às outras. É entendido mais como um erro de atitude do que de conteúdo.

Esse tipo de erro advém do modo como a nossa mente organiza os dados, valendo-

se da separação do sim-

que o de quem se

Por fim, o quinto é intitulado erro por omissão, que ocorre quando realizamos

uma escolha parcial, ou seja, ao considerarmos como certa apenas uma parte do

todo e, assim, concluirmos a ideia sobre esse contexto. Essa omissão pode ocorrer

de forma consciente ou inconsciente, havendo a necessidade de estabelecer um

julgamento por haver precipitação em tirar conclusões sem acolher a totalidade dos

dados fornecidos. Em nosso cotidiano, esse tipo de erro pode ser visto mais

fortemente na política e nos meios de comunicação de massa, em que predominam

as ideologias, ou nos comerciais, apresentando os fatos da forma que mais convém.

Desse modo, acrescente-se que comumente os professores tendem a

apurar os erros dos seus alunos a partir de suas próprias estruturas mentais, e não

das dos seus alunos. Sabemos que por trás de cada erro há uma explicação. A

64

averiguação da causa que produziu cada erro abriga muitos segredos de

aprendizagem. Para melhor exemplificar, segue um Modelo de Análise Didática dos

Erros (MADE), ilustrado na figura a seguir:

Segundo Torre (2007), nesse modelo, existem três parâmetros, sendo eles:

I. Erros de Entrada: são relativos ao desequilíbrio de informação e se

relacionam com os erros no plano das compreensões, das intenções ou erros

nos planos das percepções da informação;

II. Erros de Organização: referem-se ao modo como cada sujeito organiza os

dados da informação para dar a resposta que lhe é solicitada. Podem incorrer

nesse processo os erros por problemas de análise e síntese, de ordenação,

de conexão, ou por interferências na organização das informações recebidas

da leitura de uma fonte ou mesmo da escuta de uma aula;

III. Erros de Execução: ocorrem no uso de processos mecânicos ou lapsos de

linguagem, equívocos operacionais ou de estratégia, distrações.

Esses parâmetros possuem características próprias e ocorrem em

momentos e por motivos específicos; cabe ao professor saber identificar qual o tipo

Figura 6 Modelo de Análise Didática dos Erros MADE.

Fonte: Torre (2007, p. 108).

65

de erro cometido pelo aluno, e fornecer-lhe condições de perceber e transpor esse

erro.

A descrição fornecida por Torre (2007) a respeito dos erros de entrada ou

desequilíbrio de informação indica o fato de haver um problema de incapacidade ou

inconformidade da informação, o que ele chamou de plano de intenção, plano de

percepção e plano de compreensão.

Com referência ao plano de intenção, é descrito que a falta de metas ou

clareza é o principal motivo de equívocos, assim como a incompreensão das metas,

que, em diversas circunstâncias, não pode ser creditada à incapacidade, mas sim, à

ausência de compreensão do que foi solicitado. Assim, o conflito de objetivos ou

desvio da meta proposta faz parte do conjunto de ideias acerca dos erros de

intenção, que se verificam também quando a tarefa requerida desperta nos alunos

objetivos outros que acabam por ser mais desejáveis do que os propostos pelo

docente.

Quando Torre (2007) discorre a respeito dos erros de percepção, aborda a

maligna interação entre as peculiaridades da informação e os processos cognitivos

dos alunos. Nesse plano, é a metodologia docente e a capacidade discente que são

vistas como as principais responsáveis por tais erros.

Ainda dentro do que foi descrito por Torre (2007) como erros de entrada,

estão aqueles ligados à compreensão, em que incide elevada porcentagem dos

erros escolares, em geral centrados em limitações ou deficiências na compreensão

léxica, conceitual e lógica.

No segundo parâmetro, Torre (2007) salienta que as informações coletadas

pelo sujeito devem ser bem trabalhadas para que não haja erros de organização das

mesmas. Por ser parte integrante do processo de aprendizagem, deve-se levar em

consideração a organização interna da informação, ou melhor, como cada aluno

organiza as informações captadas pela percepção e/ou fornecidas pelos dados de

uma tarefa.

Comumente os alunos cometem erros que são facilmente verificados em

uma avaliação; esse terceiro parâmetro é descrito por Torre (2007) como o dos erros

66

de execução. Para sanar esse tipo de erro, compete ao docente proporcionar pistas,

orientando os alunos a reverem seus processos e encontrarem suas próprias falhas.

Os erros de execução são muito ligados à atitude e ao estilo dos alunos quando

arriscam novas direções, estratégias não comuns e procedimentos não tradicionais,

ao passo que outros alunos mantêm processos mais seguros e tradicionais.

Nikerson, Perkins e Smith (apud TORRE, 2007) descrevem

sistematicamente os erros e as parcialidades do raciocínio, distribuídos em três

grupos, sendo:

Erros de raciocínio dedutivo;

Erros de raciocínio indutivo;

Erros devido a fatores sociais.

Esses autores entendem que os erros de raciocínio dedutivo expressam os

processos de raciocínio inerentes ao ser humano, contribuindo para tal os critérios, o

palavreado adotado ou as representações inadequadas.

Quanto aos erros de raciocínio indutivo, descrevem como aqueles que por

meio de observações formulam imediatamente julgamentos generalizados.

Acontecem por ausência de informações adequadas ao se estimar a afinidade entre

acontecimentos, ao se fazerem deduções sobre causalidades ou a partir de

antevisão.

Finalmente, têm-se os erros devidos a fatores sociais, que são descritos

como decorrentes de motivações e ligados a relações sociais. As dificuldades advêm

da precária relação entre as ideias e os indivíduos que as alvitram. Seu ajuizamento,

ou uma hipótese elaborada, tem maior capacidade de convicção caso seja alvitrada

por um indivíduo bem reputado do que por outro sem expressão.

Podemos, assim, perceber o quão importante é lembrar que o erro é a

manifestação externa de que algo foi realizado de forma indevida ou inesperada,

envolvendo um processo complexo em que há diversas variáveis interagindo.

Dessa forma, alguns trabalhos sobre falhas manifestadas no raciocínio

informal foram desenvolvidos por Perkins, Allen e Hafner (apud TORRE, 2007),

67

indicando novo rumo sobre o procedimento lógico em circunstâncias corriqueiras da

vida cotidiana e seus presumíveis erros. Esses trabalhos apontam certa melhoria

contrárias a partir da premissa inicial, a desconexão entre as premissas e a

conclusão, a contradição ou contraexemplo carente de argumentação, lapsos e

O conhecimento a respeito dos erros e seus tipos aprofunda sua análise

bem como seu tratamento, e nessa direção, Nikerson, Perkins e Smith (apud

TORRE, 2007) ressaltam que é importante que os professores se deem conta das

deficiências comuns do raciocínio, não apenas com o fim de que os alunos sejam

capazes de corrigi-las ou superá-las mediante um trabalho apropriado, como

também, o que não é menos importante, para evitar o esforço desses modos de

pensar. Assim, poder-se-ia considerar o trabalho sobre o erro como uma forma de

melhorar os processos de ensino, de aprendizagem e, consequentemente, do

pensamento lógico.

Outro fator que faz emergir a análise de erros no Ensino de Matemática é

sua ocorrência relacionada a disparates de compreensão e aos processos lógicos,

sistematizados pelos alunos de maneira errônea, quando da realização de uma

tarefa ou na resolução de um problema. Consequentemente, o professor deverá

alterar suas estratégias docentes com o objetivo de adotar uma metodologia mais

adequada a esses alunos, e não somente explorar o saber mecânico operacional,

mas incentivar os alunos a escolherem os procedimentos que mais se adaptem aos

seus propósitos e estilos de aprendizagem.

Em Cury e Konzen (2006), foi apresentado um trabalho a respeito da

classificação e análise dos erros em Álgebra, no qual se posicionam do seguinte

modo:

Acreditamos que pesquisas sobre análise de erros podem ser implementadas em salas de aula, em qualquer nível de ensino, de forma que o professor possa ser um investigador de sua própria prática, tornando o ensino de Matemática menos pautado por regras e exercícios padronizados e mais adequado às necessidades dos estudantes (CURY; KONZEN, 2006, p. 8).

68

centra nas falhas de compreensão e no processo lógico seguido quando o estudante

2007, p. 130).

Uma análise mais detalhada desses aspectos ligados ao erro e dos autores

citados nesta seção pode ser encontrada em Bastos e Allevato (2011).

Assim, a análise de erros tem se mostrado um campo de estudo muito vasto

e fértil nas diferentes áreas do saber, que vem se desenvolvendo de forma crescente

e produtiva nos últimos anos por meio de trabalhos publicados no Brasil e em outros

países. Estando os educadores matemáticos preocupados com a melhoria do ensino

e da aprendizagem de Matemática em todos os níveis de ensino, busca-se

despertar, com esse tema, a reflexão sobre a análise de erros como metodologia

para a melhora na compreensão e na construção de conhecimento pelos alunos,

bem como nas realizações docentes.

O objetivo final não é outro que o de clarear um novo campo de hipóteses a

respeito das condições que mais importam na consideração dos erros e da avaliação

das tarefas descritas nas pesquisas e trabalhos publicados. Observamos que o

interesse por esse tema vem crescendo, promovendo uma melhoria da

compreensão teórica e, consequentemente, das práticas em sala de aula,

particularmente de Matemática.

A partir dessas reflexões, temos condições de nos atermos ao relato da

pesquisa que gerou esta tese. No próximo capítulo, detalharemos o contexto onde

ela foi realizada.

69

2.4 A Análise de Erros nos Contextos Educacionais

Os erros são elementos que se mostram com frequência em nosso cotidiano

e podem estar ligados à busca ou à falta de conhecimento.

A ciência busca um conhecimento que corresponde à verdade15, mas o

desenvolvimento do conhecimento científico está repleto de erros. O papel da

aprendizagem é caminhar na construção de conhecimento verdadeiro, livre de erros.

Entretanto, os processos de aprendizagem envolvem erros sistemáticos, que

representam uma possibilidade permanente na aquisição e consolidação desse

conhecimento.

Nas atividades de sala de aula, podemos perceber o erro perpetrado pelos

alunos nos diversos níveis de ensino, de modo que ele vem se tornando o mote para

muitos pesquisadores e educadores por ser uma das grandes preocupações da

Educação. Se entendermos o erro como um aliado, teremos muitas oportunidades

de mel

parte do currículo oculto, nutrindo boa porção das ações, decisões e avaliações que

Os estudos realizados por Borasi (1987) indicam que na maioria dos estudos

produzidos no contexto da Educação Matemática, os erros dos alunos são

considerados como a causa determinante das dificuldades de aprendizagem dos

alunos e/ou de falha nas técnicas de ensino. Como os erros são vistos como um

sinal de falha no processo de aprendizagem, a preocupação com a eliminação dos

erros dos alunos tem sido constantemente evidenciada.

Vemos, assim, que a análise dos erros apresentados pelos alunos tem sido

objeto de muitas pesquisas, com vertentes diversas, que dependem do enfoque

dado à pesquisa. Em particular, o que nos interessa explorar neste trabalho é a

Educação Matemática, em que os erros têm instigado estudiosos, que buscam

entender, pela perspectiva cognoscente, como integrar e transformar os erros em

recursos que possam ser aproveitados para promover a melhoria do ensino e da

15Classicamente, a verdade se define como adequação do intelecto ao real. Pode-se dizer, portanto, que a verdade é uma propriedade dos juízos, que podem ser verdadeiros ou falsos, dependendo da correspondência entre o que afirmam ou negam e a realidade de que falam (JAPIASSU; MARCONDES, 1999, p. 269).

70

aprendizagem. Assim, o erro tem sido objeto de relevantes estudos em todos os

níveis de escolarização (BORASI, 1987, 1988, 1996; BURIASCO, 2000; CURY,

2006, 2007; CURY, VIALI, 2009; POCHULU, 2005; RADATZ, 1979, 1980; RICO,

1995; TORRE, 2007).

Torre (2007) considera que o erro faz parte do cotidiano dos professores,

mas é estudado e trabalhado por eles com menos intensidade. Esse pensamento é

compartilhado por Cury (2006); as pesquisas realizadas por essa autora levaram-na

a desenvolver uma metodologia de análise qualitativa dos erros.

Nesse sentido, os resultados da pesquisa realizada por Cury e Silva (2008):

mostram a importância de trabalhar com problemas no Ensino Fundamental, especialmente pela perspectiva de que o futuro professor auxilie os alunos, desde cedo, a superarem dificuldades que se acumulam e causam os erros detectados no ensino superior de Matemática (CURY; SILVA, 2008, p. 96).

Quando o professor faz a correção de uma avaliação, teste ou trabalho,

normalmente concentra-se nos erros, visto que considera o acerto como algo normal

e esperado a partir das atividades de ensino realizadas. Cury (2007) questiona se os

erros realmente evidenciam o que o aluno não sabe, e se os acertos são mesmo

evidência do que ele sabe. Muitos educadores ainda veem o erro como algo ruim e

que deve ser evitado, como princípio para o bom ensino. Mas, para alguns, o erro

não é o fim, e sim, o início da construção do conhecimento. Segundo Torre (2007, p.

qual se necessita ante os conceitos específicos, como um veículo que encurta as

Dessa forma, compete ao professor conduzir o aluno no processo de ensino

e aprendizagem em sala de aula, auxiliando-o a encontrar caminhos que o façam

sentir-se mais confiante, incentivando-o a trabalhar seus erros, superando barreiras

e construindo novos conhecimentos.

Em um de seus trabalhos, Borasi (1985) comenta que ao considerarmos os

erros, estaremos abrindo caminhos para conhecer a concepção de uma pessoa em

relação a um conceito matemático, ou mesmo p

identificadas como:

71

Quadro 1 As quatro concepções de erros16

Olhando PARA o erro Olhando ATRAVÉS do erro

Erro como OBSTÁCULO a ser remediado

(1) O erro é visto como um SINAL de que o processo de aprendizagem falhou. O DIAGNÓSTICO do erro permitirá identificar exatamente onde ocorreu a falha. A remediação resulta da reexplicação daquele assunto ou da proposição de exercícios sobre o mesmo assunto.

(2) O erro é visto como uma PROJEÇÃO do que está realmente na mente dos alunos. A sua INTERPRETAÇÃO pode levar a conhecer as concepções do aluno e como sua mente funciona. Tal conhecimento pode ser usado para ajudar o aluno a modificar a sua misconception e, portanto, eliminar a causa do erro. Ainda pode auxiliar no planejamento mais adequado para o currículo, onde esses erros não devem ocorrer.

Erro como TRAMPOLIM a ser explorado

(3) Os erros são vistos como uma ETAPA fundamental e positiva do processo de aprendizagem. Uma ANÁLISE de nossos erros nos levará a uma melhor compreensão do tema em questão. Nós podemos tentar CONSTRUIR sobre nossos erros e, assim, obter novos conhecimentos e resultados.

(4) Os erros são vistos como FORMA de INVESTIGAR a natureza de um assunto. Eles vão mostrar sua força e limitações, e nos ajudar a avaliar melhor nossos resultados e métodos.

Dessa forma, Borasi sugere que os professores abandonem a ideia de

serem simplesmente transmissores de conhecimentos e busquem explorar melhor

as experiências em sala, encorajando os alunos a desenvolverem e verbalizarem

suas ideias, raciocinarem e argumentarem. A autora indica que há possibilidade de

que os erros apresentados possam ser discutidos e se tornem uma forma de se

aprofundar no conteúdo. Ao invés de se tentar reexplicar o conteúdo com fórmulas e

teorias, podem-se propor outros exercícios com as teorias incorretas apresentadas

pelos alunos para que eles próprios possam perceber/concluir onde está o erro e,

dessa forma, transpô-

Esse trampolim envolve diferentes modos para se usarem os erros, que dependem

dos objetivos com que o erro é empregado e do nível de abstração que está sendo

exigido.

A autora complementa dizendo que busca as consequências e implicações

de uma interpretação de erros como um trampolim em direção ao entendimento da

natureza da Matemática, assim como à aprendizagem de um conteúdo específico de

16 Tradução nossa

Fonte: Borasi (1985, p. 2).

72

Matemática. Corroboramos com a autora no sentido de focarmos nosso trabalho nas

caixas 3 e 4 do Quadro 1.

Alguns tipos de erros são próprios de determinadas fases do

desenvolvimento ou maturidade mental e, nesse momento, deve-se aguardar que o

aluno se dê conta do erro, visto que pouco se pode fazer quando ele não consegue

Desse modo, é importante analisar as diferentes formas de conceber o erro

nos processos de ensino e aprendizagem. Algumas pesquisas consideram o erro

como um problema, uma inadequação prejudicial ao ensino e à aprendizagem, e há

outros que acreditam que o erro é algo natural, que pode e deve ser trabalhado.

Acreditamos que o erro possa ser trabalhado pelo professor como forma de

sanar ou diminuir a lacuna deixada por algum conteúdo, que vem fazendo com que

os alunos cometam os mesmos erros constantemente, desestimulando-os nos

estudos, principalmente em Matemática.

Em sua análise, Torre (2007), assim como outros pesquisadores, entende

que os erros provêm do pensamento e da execução ou ação. De acordo com a

figura 6, os significados dos erros fornecidos por Torre podem ser:

73

No âmbito da Educação, o erro pode ser entendido como inexatidão, por

ausência de conhecimento, por falta de clareza no desenvolvimento de um

raciocínio, em que o correto e o incorreto são contrastados por convenção

sociocultural, ou por desconhecimento de algumas regras ou pautas culturais já

estabelecidas. Cabe ao professor realizar esse julgamento através da avaliação, que

deve estar estreitamente ligada aos significados que pretendeu construir por meio

das atividades de ensino. Cury (2006) ressalta:

Evidentemente, a avaliação não deve se restringir a pontuar acertos e erros, mas a análise das produções dos alunos é um dos procedimentos que adotamos para avaliar seu desempenho. Mesmo sabendo que discutir erros não é tarefa fácil, nem por isso se deve evitar o assunto (CURY, 2006, p. 96).

As ideias de Torre (2007) também são apresentadas no sentido de defender

que o erro deve receber um tratamento didático:

Figura 7 Os significados do erro.

Fonte: Torre (2007, p. 22).

74

As intervenções do professor não pretendem limpar o caminho de dificuldades, nem evitar os erros, nem provocá-los, mas utilizá-los quando surgem. Desse modo, a afirmação de que o erro desanima ou distancia se transforma em: o erro atrai a atenção do professor e do aluno. O professor pode chegar a utilizá-lo didaticamente como situação de aprendizagem, já que o aluno costuma estar interessado em averiguar por que algo não saiu bem ou por que se enganou (TORRE, 2007, p. 27).

Alguns autores defendem a ideia de que se deve trabalhar com os alunos

em pequenas etapas, com o propósito de que os alunos não venham a cometer

erros. Mas todos os processos virão acompanhados de algum erro, pois ele é parte

integrante de qualquer processo.

2.5 O Erro sob duas Perspectivas

Uma perspectiva possível para se tratar do assunto do erro é considerá-lo

com o olhar de êxito. Torre (2007) comenta que, segundo essa perspectiva, para

assegurar o sucesso dos alunos, existe a necessidade de se evitar o erro, visto,

nesse caso, como uma inadaptação prejudicial à aprendizagem, que deve ser

punida. Segundo ele, na concepção do erro como êxito, o aprendizado é

concentrado na eficiência dos resultados dos alunos, utilizando-se da estratégia de

ensinar conteúdos breves em que as dificuldades sejam divididas em partes

menores, fáceis de serem solucionadas, baseando-se no processo conhecido como

evitamento do erro.

Com essa visão, Torre (2007) considera que:

O fracasso desanima o aluno e prejudica sua aprendizagem; é preciso, portanto, favorecer o êxito, provocando a resposta correta na maioria das perguntas. O erro como categoria de ensino, deve ser entendido como evitativa e contraproducente, já que desanima, distancia e infunde complexos (TORRE, 2007, p. 74).

Outro autor que aborda essa concepção é Macedo (1994), esclarecendo que

nela o erro é entendido como algo muito ruim a ser evitado ou punido, e que, quando

fixado, dificilmente poderá ser eliminado. Uma vez que as escolas estão

comprometidas com resultados, o erro pode e deve ser apagado e corrigido.

Para Lannin, Barker e Townsend (2007), partindo de uma perspectiva

behaviorista, os erros são vistos como comportamentos incorretos, que necessitam

ser substituídos por comportamentos corretos. Estratégias instrucionais para corrigir

75

os erros dos alunos envolvem termos que definem claramente a realização repetida

da prática com os procedimentos corretos, decompondo-os em procedimentos

pequenos, para serem gerenciáveis. Além da teoria behaviorista, outras teorias

apareceram a respeito de como os erros são considerados.

Como contraponto, em uma visão construtivista, o erro é aceito como algo

natural e irá acompanhar os alunos em todo o seu processo de aprendizagem, pois

se trata de um desequilíbrio momentâneo entre o resultado esperado e o obtido,

sendo, assim, um momento para que o aluno faça uma reflexão sobre o erro

cometido. Torre (2007) comenta que nessa visão, o erro estabelece uma relação

entre o meio e o produto, sendo aceito como fato natural que acompanha a

aprendizagem dos alunos e não comporta atitudes sancionadoras ou punitivas.

Macedo (1994) esclarece que na linha construtivista, o erro é um elemento

possível e até mesmo necessário, intrínseco ao processo de construção do

conhecimento. Para o autor, o erro, por fazer parte do processo, pode ser analisado

por diferentes maneiras, e não deve ser negado ou justificado de modo complacente,

tampouco evitado por meio de punições, mas sim, problematizado e transformado

em situação de aprendizagem. Para quem aprende, o erro aparece como um

problema a ser resolvido, e muitas vezes é possível reconhecê-lo apenas depois de

tê-lo cometido, ou seja, não se pode prevê-lo.

O fato de o erro permitir ao professor realizar intervenções que revisem os

conteúdos em que os alunos apresentam dificuldades, ou mesmo desafiar os alunos

a descobrirem seus erros, faz da análise de erros um importante instrumento de

aprendizagem (CURY; SILVA, 2008).

2.6 O Erro sob a Perspectiva de quem Ensina

Na educação contemporânea, ainda encontramos formas de ensino

centrado no professor, utilizado desde os tempos remotos, em que se considerava o

conhecimento como estando fora do aluno e acreditava-se que bastava o professor

expor o conteúdo para que o aluno aprendesse. A mente do aluno era vista como

um campo fértil para receber os conceitos, não havendo liberdade para

questionamentos; no caso de fracasso na recepção das informações, o aluno era o

76

único culpado. E como forma de disciplinar o aluno, empreendiam-se punições

severas, não admitindo o erro, considerado um elemento que atrapalhava o

processo da aprendizagem. Com esse modelo de ensinar17, verificamos a via dos

acontecimentos para as ideias, enfatizando as perspectivas de estímulo-resposta,

em que a percepção sufoca a reflexão.

As leituras que realizamos sobre ensino e aprendizagem nos permitiram

inferir que atualmente, o ensino não deve mais estar centrado no professor, mas no

aluno e no processo de ensino e aprendizagem. Desse modo, o professor pode

orientar o aluno e promover sua relação com o conhecimento por meio de atividades

que conduzam à reestruturação do pensamento e outros processos cognitivos.

Atualmente, uma das inquietações do professor está na dúvida quanto à

forma de expor aos alunos os conceitos fundamentais de sua disciplina, fazendo-os

compreender esses conceitos, partindo dos conhecimentos adquiridos durante sua

escolarização. Cury (2006) entende que a análise de erros pode ser entendida como

metodologia de pesquisa, com enfoques apontados pelos pesquisadores e pelas

teorias em que se apoiam essas pesquisas. Pode ser entendida como metodologia

de ensino no instante em que se propõem atividades de exploração dos erros,

originando a construção de conhecimentos.

Para Torre (2007), as funções básicas do professor, tais como explicar,

perguntar, ajudar o aluno, corrigir exercícios, avaliar, são complementadas com a

necessidade de dedicar um tempo ao diagnóstico análise dos erros e suas causas

e apresentar situações de aprendizagem norteadas por esses erros. Com isso,

torna-se importante o professor saber avaliar o aluno pelo que ele sabe, e também

analisar, por meio dos erros, o que precisa ser melhorado.

Para que o professor saiba ensinar e avaliar os alunos, precisa estar bem

preparado, e o que observamos é que muitos não conseguem trabalhar com

questões tidas como básicas nos ambientes de ensino. Cury e Viali (2009), em um

trabalho realizado com professores e fundamentado na análise de erros em

probabilidade e estatística, descrevem: 17 in signo) é indicar, mostrar, manifestar aquilo que não é patente

s ao aluno aqueles conceitos ou aquelas significações para que o aluno se aproprie deles intelectualmente (TORRE, 2007, p. 71).

77

[...] que o próprio professor acaba por não ter condições de resolver questões básicas de probabilidade que ele deveria estar ensinando aos alunos do ensino fundamental ou médio. [...] apresentamos a análise de erros nas respostas para uma questão elementar de probabilidade, aplicada a uma amostra de professores desses níveis de ensino que estão em processo de formação continuada, tanto em cursos de especialização quanto de mestrado, e o resultado encontrado na avaliação preliminar aqui descrita mostra que menos de 10% conseguiram acertar a questão (CURY; VIALI, 2009, p. 374).

Além disso, o professor deve incentivar o aluno a buscar conhecimento por

meio de seu erro, criando uma nova relação professor-aluno, o que facilita a

construção do pensamento por meio do diálogo. Torre (2007) nos descreve que:

O aluno realiza as operações matemáticas de forma mecânica, porque já as domina, mas diante do erro cometido presta maior atenção para descobrir onde pode ter falhado. A análise do erro representa um processo e, como tal, é uma fonte de aprendizagem de estratégias cognitivas. Procedimentos não podem ser ensinados nem aprendidos por meio da constatação de resultados, mas do funcionamento de processos lógicos, psicológicos ou mecânicos. É por isso que o erro, além de favorecer a habilidade reflexiva e analítica, é uma estratégia adequada para o ensino-aprendizagem de procedimentos, novo domínio de objetivos que devem ser levados em conta no ensino (TORRE, 2007, p. 44).

Nesse sentido, Macedo (1994) enfatiza que não basta constatarmos o erro;

temos que tratá-lo. E a forma de tratamento não é o reforço ou a remediação, mas

sim, tornar o erro observável para os alunos. Ele considera que o erro observável é o

resultado de uma interpretação que o sujeito faz da sua própria ação, bem como do

objeto sobre o qual ela procede. Para o professor, tornar o erro observável é muito

mais do que saber por que e onde o erro aconteceu; é buscar as causas desse erro

e analisar sobre como proceder para superá-lo. Para os alunos, a observação do

erro acontece de forma significativa quando é possível confrontar o que aprenderam

com seus conhecimentos prévios, de modo que o erro provoca uma desestabilização

em seus saberes.

Também Aquino (1997) destaca que o erro só terá valor se for observável

pelo aluno. Não adianta o aluno saber onde errou se não puder entender o motivo do

seu erro. E complementa dizendo que o aluno necessita avaliar a qualidade de suas

respostas, realizando diversos experimentos e testes, e submetê-las à verificação

para saber se são verdades ou erros.

Na realidade, outra função do professor é auxiliar os alunos a chegarem às

verdades, em princípio sem mesmo precisar considerar o erro em suas intervenções.

78

Entretanto, segundo Torre (2007), na perspectiva construtivista, ao se manifestar

como um desequilíbrio entre o resultado esperado e o resultado obtido, o erro

consiste em uma alavanca para a mudança.

Com o apoio do erro, a comunicação em sala de aula acontece de forma

interativa, em que o professor se conscientiza de que seus alunos estão

necessitados por não terem assimilado os códigos das novas significações que

surgiram em seu caminho, ou por terem seguido caminhos diferentes do esperado.

Torre (2007) ilustra o papel atribuído ao erro no ensino tradicional por meio

do esquema a seguir:

Por outro lado,

poderá desencadear um questionamento de todo o processo de ensino e

transformar-

do erro construtivo, deve-se considerar que é preciso encarar o erro como resultado

de uma experimentação em que são levados em conta o planejamento, as ações do

aluno e suas hipóteses, que estas estão sendo colocadas à prova, e que o professor

pode se utilizar desse momento como uma estratégia didática.

Nessa linha, Torre (2007) considera o erro como categoria didática,

destacando que ele não é um fim; é um recurso que informa ao professor que o

aluno que se equivoca necessita de ajuda. A seguir, é apresentado um esquema do

que o autor considera sobre o erro como categoria didática:


Figura 8 - O erro como elemento a ser evitado.

79

Os alunos, ao cometerem erros, estão munindo seus professores com

subsídios significantes, sinalizando que há lacunas de aprendizado que carecem de

auxiliá-los a não mais cometerem os mesmos equívocos ocorridos anteriormente.

Considerando o erro intrínseco ao processo, deve-se refletir e rever as tarefas, não

só do professor como do aluno. Ele fará parte das intervenções no processo de

ensino e aprendizagem, respeitando as individualidades dos alunos.

Verifica-se que quando o professor revisa com seus alunos os erros

cometidos em uma avaliação ou em alguma tarefa realizada em sala, esses

estudantes costumam compreender melhor os erros cometidos. A aprendizagem nos

bancos acadêmicos, assim como em outros campos profissionais, deriva também da

própria experiência e da ponderação sobre os êxitos e os fracassos de um trabalho.

não costumam ver nos equívocos uma forma de aprender, mesmo considerando

correta a pena empreendida pelo professor, que, não raro, não oferece ao aluno a

possibilidade de uma reação. O erro adverte o aluno de que alguma coisa na

realização da tarefa ou na resolução de um problema fracassou, devendo ele (aluno)

modificar a estratégia de abordagem, e não ser penalizado.

dade triunfa sobre o erro, mas para cada

verdade há a negação da verdade anterior, e esta nova verdade não é definitiva e

Figura 9 - O erro como categoria didática.


80

hoje, a verdade de amanhã. O erro é o motor do conhecimento.

Temos no erro um ponto de referência importante para orientar nossas

hipóteses para outros caminhos de ação.

Segundo Torre (2007):

o erro por si só não leva a nada se não for seguido de uma reflexão para revelar a verdade. Uma olhada retrospectiva e histórica nas grandes descobertas humanas ilustrará como em muitas delas ocorreu o acaso ou o erro como força aleatória que possibilitou um resultado bem-sucedido; em outros casos, deveu-se á atenta observação de certos fenômenos ou de discordâncias insignificantes. Não se deve condenar nem desprezar, pois, o erro, por mínimo que este pareça, mas sim analisar seus efeitos (TORRE, 2007, p. 21).

Podemos acrescentar que o erro pode apresentar algo conhecido sob um

novo aspecto no processo educativo, destacando que os erros não surgem por azar,

surgem como um marco conceitual consistente, construído sobre conhecimentos

adquiridos previamente, e todo processo de ensino é potencialmente gerador de

erros devido a diferentes causas, algumas delas se apresentando de forma

inevitável.

2.7 A Revisão da Literatura envolvendo Análise de Erros

Além dos aspectos conceituais discutidos neste capítulo, para o

desenvolvimento de nossa pesquisa, consideramos importante conhecer os

trabalhos que foram desenvolvidos recentemente envolvendo Análise de Erros. O

resultado desse levantamento será apresentado nesta seção.

Inicialmente, agrupamos os trabalhos desenvolvidos no âmbito da Análise de

Erros em cursos de Formação Inicial e Continuada de Professores para, em seguida,

descrevermos os relacionados com o Ensino Básico e finalizarmos com os que

envolvem o Ensino Superior.

Observamos o grande interesse por parte dos pesquisadores em Análise de

Erros em compreender melhor quais erros são cometidos por professores. Cury e

Viali (2011), numa pesquisa (Professores de Matemática em Formação Continuada:

uma análise de erros em conteúdos de probabilidade) envolvendo cinco instituições

81

de Ensino Superior, verificaram que mais de 70% dos professores erraram ou não

responderam às questões propostas sobre probabilidade. Os dados forneceram

indícios de que os participantes possuíam dificuldades conceituais de probabilidade,

o que poderia trazer problemas para o ensino desse tópico aos seus alunos da

Educação Básica.

Observamos também em Cury e Konzen (2007) a utilização de jogos como

um recurso relevante no apoio a ser dado aos professores e alunos no entendimento

das dificuldades, e como forma de melhorar essa compreensão acerca de conteúdos

de Álgebra e Lógica Matemática para alunos universitários da Licenciatura de

Matemática. Assim, na medida em que os professores buscam melhorar sua

capacitação, aparecem muitos erros conceituais.

Cury, Bisognin e Bisognin (2009) relatam os resultados de um trabalho (A

Análise de Erros como Metodologia de Investigação) em que analisaram soluções de

problemas de Álgebra, Análise, Geometria e Probabilidade, construídas por alunos

do Mestrado em Ensino de Matemática (alguns desses alunos já atuam como

professores), trazendo à tona informações que permitem prosseguir na busca de

conhecimento a respeito das causas dos erros. Além disso, as pesquisadoras

permitiram aos alunos analisarem seus próprios erros, percebendo que é possível

criar um ambiente de aprendizagem em que esses alunos sejam desafiados a

questionar as certezas matemáticas e trabalhar em cooperação, buscando uma

melhor qualificação.

Em estudos recentes envolvendo a Educação Básica, encontramos outras

investigações com resultados relevantes, como os apresentados por Siebra (2009)

em sua dissertação de Mestrado (Dificuldades e Erros de Alunos de 8ª Série com

Relação a Questões que Envolvem Álgebra) desenvolvida em uma escola da rede

pública estadual paulista envolvendo 84 alunos. A autora selecionou nove questões

da Prova SARESP/2005 e reaplicou aos alunos com o objetivo de buscar a causa

das dificuldades e verificar os erros apresentados na resolução, buscando ampliar as

possibilidades metodológicas de ensino e aprendizagem da Matemática no que

tange ao ensino de Álgebra. Nos resultados, a autora destacou que muitas das

dificuldades e erros apresentados pelos alunos já haviam sido apontados pela

literatura, e que a maioria deles se origina nas deficiências de conhecimento em

82

Aritmética que esses alunos possuem.

Temos o trabalho desenvolvido por Santos (2007), analisando a produção

escrita de alunos da 4ª e 8ª séries (5º e 9º anos) do Ensino Fundamental e do 3º ano

do Ensino Médio, da Prova de Questões Abertas de Matemática da AVA18 2002. A

pesquisa avaliou a forma como os alunos trabalham com a questão aberta, as

particularidades dos problemas que eles estabelecem a partir do enunciado e os

conteúdos escolares que eles mostram saber por meio de sua produção escrita. O

trabalho apresenta os saberes que os alunos da Escola Básica possuem por

intermédio de sua produção escrita, assim como suas formas pessoais de trabalhar

com uma questão aberta de Matemática.

Nessa mesma linha de trabalho, Perego (2006) desenvolveu um estudo com

uma amostra a respeito da produção escrita em Matemática nas Provas de

Questões Abertas da Avaliação Estadual do Rendimento Escolar do Paraná

AVA/2002, envolvendo alunos da 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental. Essa

pesquisa buscou compreender, com base na interpretação dos registros dos alunos,

os caminhos utilizados por eles, a estratégia selecionada para resolver a questão,

não se preocupando muito com os acertos e os erros. O estudo indicou que a

dificuldade maior pode estar na interpretação dos textos no momento de escolher

uma estratégia para resolver a questão, ou melhor, parecem não estar habituados a

questões que exigem mais do que um simples calculo matemático.

Outro trabalho analisado (Análise de erros em resolução de problemas: uma

experiência de estágio em um curso de licenciatura em matemática), que também

trata de investigar alunos da Educação Básica, foi um artigo publicado por Cury e

Silva, em 2008, que resultou de uma investigação realizada no contexto do

cumprimento da disciplina de estágio por uma futura professora enquanto aluna do

curso de Licenciatura em Matemática. Essa investigação ocorreu em uma escola da

rede pública, em que a aluna estagiária propôs aos seus alunos de 5ª série (6ª ano)

do Ensino Fundamental a criação de problemas que envolvessem números racionais

na forma decimal, partindo de imagens apresentadas por ela (um urso, um barco,

18 AVA é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar da Rede Estadual do Paraná.

83

uma boneca e um trem). Em outro momento, foram apresentados outros problemas

que envolviam cálculos com valores monetários. Ao analisar as soluções

apresentadas pelos alunos, ficaram evidentes as diferentes formas com que os

estudantes trabalham os números racionais na forma decimal, permitindo à

estagiária conhecer algumas dificuldades que esses alunos encontraram na

resolução de problemas e no tratamento dado aos números racionais.

Também Feltes (2007), em sua dissertação de Mestrado (Análise de Erros

em Potenciação e Radiciação: um Estudo com Alunos de Ensino Fundamental e

Médio), classificou os erros encontrados nas respostas escritas dos alunos ao

resolverem testes envolvendo potenciação e radiciação, e também analisou as

respostas a um questionário aplicado aos professores de Matemática das escolas

participantes a respeito dos erros cometidos por seus alunos. Foi possível concluir

que as maiores dificuldades estão relacionadas às operações numéricas e às

propriedades da potenciação. Os professores consideraram que, em geral, os erros

foram causados pela falta de estudo e/ou de atenção. Nas conclusões, a autora

apresenta considerações sobre o uso dos erros no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática.

Com o objetivo de fazer algumas contribuições nesse sentido, Llinás (2003)

apresentou, em sua tese de Doutorado (Preconcepciones y errores conceptuales en

Óptica. Propuesta y validación de un modelo de enseñanza basado en la Teoría de

la Elaboración de Reigeluth y Stein), uma alternativa para melhorar o ensino de

Física, seus objetivos, conteúdos e método, para que haja evolução. A pesquisadora

comenta que há diferentes métodos e teorias para facilitar a estruturação,

organização e a própria sequenciação de conteúdos, os quais facilitam a

aprendizagem. Com base nos resultados satisfatórios obtidos no campo da Física

Mecânica e sabendo que há poucas aplicações dessa forma de ensinar, a autora

sugere aos professores uma metodologia que ela considera eficaz, tanto para o

sequenciamento de conteúdos de aprendizagem quanto para o desenvolvimento de

sequências de instrução. A autora destaca ainda a carência de estudos envolvendo

as diferentes áreas da Física.

Também encontramos uma investigação realizada por Souza (2002). Em

sua dissertação (Erros em Matemática: Um Estudo Diagnóstico com alunos de 6ª

84

série do Ensino Fundamental), destaca que os erros são meios construtivos no

processo de aprendizagem e devem ser encarados como algo a ser compreendido,

podendo se tornar uma importante ferramenta para diagnosticar e identificar as

dificuldades e obstáculos presentes no ensino da Matemática e fornecer elementos

que possam favorecer o desenvolvimento cognitivo do aluno. O estudo desenvolveu-

se em uma sala do 7º ano (antiga 6ª série) do Ensino Básico de uma escola pública

de Londrina (PR) com alunos que apresentavam baixo rendimento escolar. Realizou-

se um levantamento dos erros cometidos no cotidiano das aulas e nas avaliações.

Os resultados da pesquisa indicam que é possível reconhecer a natureza dos erros,

sua origem ou possíveis causas, e tratá-los como um elemento potencialmente

articulador de novos saberes, tanto para o professor quanto para o aluno.

Outro trabalho sobre erros no Ensino Básico (Diagnóstico e Análise de Erros

em Matemática: subsídios para o processo ensino-aprendizagem) é o relatado no

artigo de Moren, David e Machado (1992). A pesquisa aponta que esses erros atuam

na identificação das dificuldades de aprendizagem, nas avaliações e nas orientações

do processo de ensino-aprendizagem. A investigação se deu por meio de testes

envolvendo a operação de subtração em turmas de 4º a 7º ano (antiga 3ª a 6ª série)

de 11 escolas públicas de Minas Gerais e Rio de Janeiro, com o objetivo de

identificar os níveis de dificuldade apresentados por esses alunos. As autoras

indicam que a compreensão do sistema de numeração implica ter bom desempenho

em realizar operações matemáticas, mas que o contrário não é verdadeiro, e fazem

algumas sugestões para a melhoria do ensino em sala de aula.

Mathematical Errors: A Taxonomy) que os alunos podem aproveitar seus erros

cometidos em Matemática para melhorar sua aprendizagem. A autora, em sua

análise da pesquisa a respeito do ensino por meio dos erros, considera-os como um

turmas de alunas do 11th grade19, que apresentaram vinte erros que foram

registrados e analisados. Uma taxonomia construtiva do uso dos erros foi

desenvolvida com base no nível do discurso matemático e no nível de

19 Desse modo, como atualmente está estruturado o sistema de Ensino no Brasil em 12 anos, o sistema americano inclui do nível pré-escolar ao 12º ano (K 12). Portanto 11th grade corresponde ao que seria o 2º ano do Ensino Médio no Brasil.

85

aprendizagem. A autora indica oito potenciais benefícios associados aos erros

cometidos nas atividades.

No que diz respeito ao Ensino Superior, Bortoli (2011), em seu trabalho de

Mestrado (Análise de Erros em Matemática: um estudo com alunos de Ensino

Superior), buscou analisar os erros empreendidos por alunos de cursos de

Administração, Ciências Contábeis, Engenharia Agronômica, Química e Sistemas de

Informação, quando da resolução de testes na disciplina de Pré-Cálculo. Esse

estudo objetivou utilizar as informações coletadas para planejar estratégias de

ensino para melhorar sua aprendizagem não somente nessa disciplina, mas também

nas demais que envolvem Matemática no decorrer daqueles cursos. Os tipos de

erros encontrados foram comparados aos de Movshovitz-Hadar e colaboradores

(1987) em pesquisa com alunos da high school, sendo possível notar que os erros

técnicos, computacionais, de manipulação algébrica e de uso incorreto de algoritmos

evidenciaram as maiores dificuldades dos estudantes na resolução dos testes.

Assim, elaborou-se uma sequência didática para auxiliar os estudantes a superarem

suas dificuldades em operações algébricas, em especial na redução de termos

semelhantes.

Também no Ensino Superior, Souza Filho (2009), em sua pesquisa de

Doutorado (O Erro em sala de aula: subsídios para o Ensino do Eletromagnetismo),

investigou as relações em que o processo dialético20 entre o erro e a verdade, a

razão e a experiência, contribuiu para a conquista de conhecimentos mais

sistematizados e mais elaborados. O resultado do estudo teórico acerca da

epistemologia de Bachelard forneceu subsídios que ajudaram a compreender a

importância do erro e da verdade no desenvolvimento e na aquisição de novos

conceitos.

Seguindo um campo diferente, Cury e Konzen (2006) realizaram um trabalho

(Classificação e Análise de Erros em Álgebra) com uma abordagem objetivando

conteúdos específicos dos vários níveis do ensino de Matemática. As autoras

apoiaram-se em pesquisas já realizadas com alunos calouros na disciplina de

20 Dialética: em nossos dias, utilizando-racionalidade aos modos de explicação e demonstração confusas e aproximativas [...] Em Platão, a dialética é um instrumento de busca da verdade, que utiliza sistematicamente o discurso para chegar à percepção das essências (JAPIASSU; MARCONDES, 1999).

86

Cálculo Diferencial e Integral, e revelaram que grande parte dos erros cometidos por

eles é proveniente da falta ou falha na aprendizagem de conteúdos da Educação

Básica, em especial de Álgebra, envolvendo simplificação, fatoração, produtos

notáveis e resolução de equações polinomiais. Assim, para entender a origem

desses erros em Álgebra, as autoras realizaram uma investigação com alunos do 9ª

ano (antiga 8ª série) do Ensino Fundamental, aplicando um teste com questões que

envolviam porcentagem, valor numérico e operações com expressões algébricas,

que foram analisadas e classificadas.

Isso nos leva ainda ao trabalho de Cury, Bisognin e Fioreze (2005)

envolvendo oito instituições de Ensino Superior do Rio Grande do Sul (Análise de

Erros e Proporcionalidade: Uma experiência com alunos de Graduação e Pós-

Graduação). As autoras indicam algumas teorizações sobre Análise de Erros para,

em seguida, apresentar uma breve análise de uma das questões aplicadas aos

calouros da área de Ciências Exatas, versando sobre proporcionalidade. O trabalho

discute a importância do conceito de proporcionalidade no ensino de Matemática e

aponta diferenças expressivas de conceituação e de escrita entre dois grupos de

alunos envolvidos, da Graduação e da Pós-graduação, bem como nas justificativas

apresentadas e procedimentos de resolução das atividades.

Além desses, outro artigo (Análise de Erros em Cálculo: uma Pesquisa para

Embasar Mudanças) que ressalta as diferentes formas de erros cometidos por

alunos em disciplinas matemáticas foi desenvolvido por Cury e Cassol (2004). O

trabalho apresenta as dificuldades dos alunos e complementa sugerindo alterações

na metodologia de trabalho em sala de aula.

Uma das principais referências envolvendo Análise de Erros no Brasil, Cury

(1994), em sua pesquisa de Doutorado (As Concepções de Matemática dos

Professores e suas Formas de Considerar os Erros dos Alunos), analisou as

relações entre as concepções de Matemática assumidas pelos professores e suas

formas de considerar os erros dos alunos. A pesquisa foi realizada com seis

professores de Matemática de instituições de Ensino Superior, que responderam a

um questionário aberto e entrevistas, fornecendo elementos substanciais para

responder às questões da tese. Realizada a análise, a autora apresentou uma

proposta de reformulação do ensino nos cursos de Licenciatura em Matemática,

87

utilizando os erros como fator potencial para o desenvolvimento dos alunos, levando

em consideração a interação entre o aluno, os colegas e o professor.

Anteriormente, em sua dissertação (Análise de Erros em Demonstrações de

Geometria Plana: Um estudo com alunos de 3º Grau), Cury (1989) já havia realizado

uma pesquisa com alunos de um curso de Licenciatura Plena em Matemática

realizando demonstrações de proposições de Geometria Plana e construindo

resoluções orais e escritas, cuja análise gerou a classificação dos erros detectados.

A autora concluiu que as causas dos erros envolvem aspectos do processo ensino-

aprendizagem de Matemática, de conceituações sobre demonstrações de teoremas

e também da filosofia da Matemática que norteia a prática docente e a elaboração

dos currículos de cursos de Matemática.

Tendo realizado a revisão dessa coletânea de pesquisas envolvendo Análise

de Erros, cabe-nos refletir sobre o lugar que a pesquisa que desenvolvemos ocupa

nesse cenário. É inerente à pesquisa a descoberta, a curiosidade e a abertura à

exploração de diferentes aspectos que podem ser observados na sala de aula.

Embora nem sempre façam investigação sistematizada, os professores

constantemente avaliam e modificam suas ações e seus comportamentos para

tornar a aprendizagem mais agradável e eficiente aos alunos. Como afirma Ponte

nha

de trabalho, Clouthier e Shandola (1993) insistem na ideia de que professores

investigadores são professores interessados em melhorar as práticas educacionais

em seus próprios ambientes. Assim, buscamos textos que possuem alguma

semelhança com o que procuramos fazer em nossa investigação, todos eles fruto de

investigações envolvendo professores em formação inicial ou continuada ou alunos

em sala de aula, em todos os níveis de ensino.

Realizamos uma busca no sentido de encontrar trabalhos sobre erros no

ensino de Física e de Matemática, mas não encontramos trabalhos nessa linha na

área de Física. Por essa razão, a pesquisa que realizamos ganha relevância para a

Educação pelo modo como foram trabalhados os conteúdos com os alunos,

seguindo os passos da metodologia do ensino através da Resolução de Problemas,

analisando os erros matemáticos cometidos por eles.

88

Diante dessas reflexões, questionamo-nos: por que não entender o erro

como um instrumento capaz de encurtar o caminho entre as intenções e as

realizações?

E tendo desenvolvido tais reflexões, no próximo capítulo, explicitaremos os

aspectos metodológicos envolvidos e adotados em nossa investigação.

89

CAPÍTULO 3 - METODOLOGIA DE PESQUISA

3.1 A Fundamentação Metodológica - Pesquisa Qualitativa

3.2 O Plano Metodológico

3.2.1 A Pesquisa Participante

3.2.2 A Observação

3.2.3 A Observação Participante

3.2.4 As Análises de Documentos

3.2.4.1 A Análise de Erros

3.3 A Coleta dos Dados

3.4 Os Registros dos Dados

3.5 A Organização, Análise e Apresentação dos Dados

90

CAPÍTULO 3

METODOLOGIA DA PESQUISA

conhecimento sistemático, não meramente repetitivo, mas produtivo, que faz avançar a área do conhe

GOLDENBERG (2007, p. 105)

Este capítulo trata da fundamentação metodológica e do plano adotado na

pesquisa, descrevendo os métodos investigativos que foram necessários para a

realização do levantamento, tratamento e análise de dados.

Para responder às nossas inquietações, expressas em nossa questão de

pesquisa, optamos por adotar a pesquisa qualitativa, em que a intenção principal

consistiu na compreensão dos erros cometidos pelos alunos, sem a preocupação

com a quantificação dos resultados.

3.1 A Fundamentação Metodológica Pesquisa Qualitativa

Ao iniciarmos esta sessão, vamos discorrer sobre o nosso entendimento do

que é pesquisa científica. O fato de pesquisar nos encaminha para descobrir ou

encontrar respostas a fatos que nos

científica exige criatividade, disciplina, organização e modéstia, baseando-se no

confronto permanente entre o possível e o impossível, entre o conhecimento e a

Segundo Romberg ( -se a processos, a

complementa dizendo que a pesquisa não deve ser entendida apenas como um

processo puramente técnico ou como um conjunto de procedimentos pré-

determinados, em que o pesquisador atua por meio de argumentos e

acontecimentos previsíveis. Uma pesquisa científica deve ser pensada como uma

91

nova produção de conhecimento relevante à comunidade científica, e não apenas

como um simples processo mecânico, em que se podem direcionar as respostas

para as inquietações ou para conclusões previamente construídas. Assim como na

arte, há um consenso, no sentido amplo, de que se devem seguir determinados

procedimentos para a pesquisa ser um trabalho aceitável.

Luna (2007) comenta que nesse novo conhecimento não se aceitam juízos

pré-estabelecidos e tampouco preconceitos. Outro autor que comenta sobre a

construção desse novo conhecimento é Bachelard (2006), dizendo que há

necessidade de desbastar os limites iniciais do conhecimento por um todo, tirando

as amarras e reformulando esses conhecimentos. Por isso, essa busca pela

produção de conhecimento não pode ser determinada apenas pela imersão do

pesquisador no fenômeno a ser estudado, muito embora o pesquisador procure a

transformação da realidade no meio em que está inserido. Entendemos que para a

construção de um novo conhecimento, precisamos de embasamentos teóricos, com

o objetivo de alcançarmos as respostas às inquietações, que não são facilmente

encontradas na literatura.

O motivo que nos fez optar pela pesquisa qualitativa é o fato de que para a

investigação e compreensão das questões formuladas, existe a necessidade de

familiarização com os sujeitos e com a situação a ser pesquisada.

Flick (2009) comenta que nos métodos qualitativos, a comunicação do

pesquisador em campo é parte integrante da produção de conhecimento, em que

suas ponderações sobre suas próprias atitudes e observações em campo, suas

impressões, impaciências, sentimentos de angústia são transformados em

informações que farão parte da análise de dados e estarão documentados em

diários de campo ou em protocolos de contexto21. Assim, em nossa pesquisa, o

contato com os sujeitos, alunos da disciplina de Infraestrutura Elétrica, foi constante

no sentido de observá-los e de recolher material produzido por eles relacionado ao

tema de investigação.

21 Fichas nas quais são registrados os dados.

92

Bogdan e Biklen (1994) destacam que a investigação qualitativa possui cinco

características, que não necessariamente são expressas com igual valor. Em nosso

trabalho, destacam-se as cinco características descritas por esses autores. São elas:

1. Na investigação qualitativa, o principal instrumento é o investigador,

porque se preocupa com o contexto e frequenta o(s) local(is) de estudo, de modo

que o ambiente natural é a fonte principal para a coleta dos dados. Eles entendem

que as ações podem ser mais bem compreendidas quando são observadas no seu

ambiente habitual.

2. A pesquisa qualitativa é caracterizada por ser descritível, e podem-se

recolher informações no formato de palavras ou imagens. Como consequência, as

escritas são acompanhadas de citações que servem para ilustrar e substanciar o

trabalho. As informações coletadas podem ser notas de campo, fotografias, vídeos,

documentos pessoais, memorandos, transcrições de entrevistas ou qualquer outro

registro oficial. Com relação à análise das informações, são respeitadas suas

riquezas e o modo como as informações foram registradas. As minúcias de como a

investigação é tratada fazem com que o mundo seja visto de uma forma nada

comum, pois tudo tem potencial para constituir um caminho que permita construir

uma compreensão mais clara a respeito do objeto estudado.

3. Os investigadores qualitativos tendem a se preocupar mais com o

processo do que com os resultados. Os investigadores que utilizam essa abordagem

estão mais interessados no modo como diferentes pessoas dão sentido às suas

investigações.

4. Os pesquisadores qualitativos analisam as informações coletadas de

maneira indutiva, visto que não têm interesse em comprovação de hipóteses, mas

em analisar e compreender o processo como um todo. O investigador qualitativo não

prevê como sua investigação ocorrerá antes da coleta das informações, mas

posteriormente, quando as informações forem sendo tratadas, é que ele procurará

compreender os fatos que foram levantados durante a pesquisa. Dessa forma, não

se pode presumir que se sabe o suficiente para reconhecer completamente as

questões de pesquisa sem antes realizá-la.

93

5. Na investigação qualitativa, os significados são vitais, pois os

pesquisadores possuem interesse em entender como diferentes pessoas dão

sentido às suas vidas e ao que as cerca. Para que o pesquisador compreenda os

significados dos fatos, deve estar preparado para lidar com sentimentos, virtudes,

crenças, valores e percepções no ambiente a ser investigado. Outros aspectos

relevantes são a percepção e a sensibilidade.

qualitativos preocupam-

(Erickson, 1986; ver Dobbert, 1982, apud, BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 50). Os

autores asseguram que a pesquisa qualitativa conduz o investigador a compreender

as perspectivas dos participantes. Uma pesquisa qualitativa apresenta situações que

ocorreram durante o processo de investigação e que, com frequência, ficam

invisíveis aos observadores externos; daí a necessidade da imersão do pesquisador

no ambiente de pesquisa. Nesse tipo de investigação, o pesquisador faz parte de

sua própria situação de estudo. Dessa forma, a neutralidade é quase impossível,

visto que sua ação e também os efeitos que ela propicia constituem elementos de

análise. Desse modo, a pesquisa qualitativa está muito fortemente ligada a uma

postura específica, fundamentada na abertura e na reflexividade do pesquisador.

Como professor de Física e trabalhando com disciplinas envolvendo Física

Elétrica, a pesquisa foi realizada com as turmas de alunos de Ensino Superior, em

que o pesquisador lecionava a disciplina de Infraestrutura Elétrica, utilizando a

resolução de problemas, integrando a pesquisa de campo às atividades regulares da

disciplina, e buscando entender o porquê de os alunos possuírem tanta dificuldade

em compreender e expressar matematicamente a resolução de problemas que

envolvem conteúdos da disciplina de Física Elétrica.

Como já mencionado, o investigador não é neutro e interpreta os dados

coletados, como é apresentado por Bogdan e Biklen (1994):

A interpretação não é um ato autônomo, nem é determinada por nenhuma força particular, humana ou não. Os indivíduos interpretam com o auxílio dos outros pessoas do passado, escritores, família, figuras da televisão e pessoas que se encontram nos seus locais de trabalho e divertimento , mas estas não o fazem deliberadamente. Os significados são construídos através das interações (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 55).

94

Durante o processo de pesquisa, o pesquisador é um sujeito que se

encontra em meio a um grande processo de aprendizagem e transformações. Por

outro lado, o mesmo pode vir a acontecer com o pesquisado, que, não sendo um

mero objeto a partir do momento em que sabe das intenções do estudo que está

sendo realizado, também tem oportunidade de refletir e aprender durante as

investigações.

Em virtude desses aspectos, mesmo empregando diversos mecanismos de

controle metodológico, torna-se muito complexo evitar a influência dos interesses do

grupo e da constituição social e cultural na pesquisa e em suas descobertas. Por

isso, é importante também a escolha do referencial teórico, que deve ser feita por

meio da preferência do pesquisador e da linha de trabalho da pesquisa.

Segundo Bogdan e Biklen (1994):

[...] seja ou não explícita, toda investigação se baseia numa orientação teórica. Os bons investigadores estão conscientes dos seus fundamentos teóricos, servindo-se deles para recolher e analisar os dados. A teoria ajuda à coerência dos dados e permite ao investigador ir para além de um amontoado pouco sistemático e arbitrário de acontecimentos (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 52).

A pesquisa que realizamos possui como referencial teórico dois eixos. O

primeiro eixo se refere à Resolução de Problemas, no qual se insere a metodologia

de Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas (aspectos estudados

sobre esse assunto foram registrados no Capítulo 1 desta tese). O segundo se

refere à Análise de Erros, em particular os erros matemáticos cometidos pelos

alunos nos problemas de Eletricidade (este tema foi apresentado e discutido no

Capítulo 2).

A qualidade da pesquisa qualitativa, no entanto, vai além das questões e das

uma pesquisa boa e uma pesquisa ruim, na área da pesquisa qualitativa configura

teórico escolhido, o pesquisador

também necessita definir que métodos irá utilizar para desenvolver sua pesquisa.

Não há uma única técnica ou modo de fazer pesquisa.

95

Além disso, para Flick (2009):

os aspectos essenciais da pesquisa qualitativa consistem na escolha adequada de métodos e teorias convenientes; no reconhecimento e na análise de diferentes perspectivas; nas reflexões dos pesquisadores a respeito de suas pesquisas como parte do processo de produção de conhecimento; e na variedade de abordagens e métodos (FLICK, 2009, p. 23).

Nessa mesma linha, Goldenberg (2007) comenta sobre a necessidade da

combinação de diversos métodos no estudo de um mesmo fenômeno, com o

objetivo de abranger a maior amplitude na descrição, explicação e compreensão do

objeto de estudo.

As definições do objeto de pesquisa bem como as opções metodológicas

constituem um ponto tão importante para o pesquisador quanto o texto que será

elaborado ao final. Nessa elaboração, mais relevante do que cumprir uma

formalidade é poder oferecer aos outros a possibilidade de refazer o caminho e de

avaliar com mais segurança as observações feitas a partir da utilização da pesquisa

qualitativa, que, apesar dos riscos e dificuldades impostas, revela-se sempre um

empreendimento instigante e desafiador.

Os tipos de pesquisa qualitativa empregados no desenvolvimento da

presente investigação foram a pesquisa participante, a observação participante, a

análise de documento e a análise de erros, as quais serão discutidas nas próximas

seções.

3.2 O Plano Metodológico

Nesta seção, discutiremos os métodos que foram empregados no

desenvolvimento da pesquisa realizada nesta tese.

3.2.1 A Pesquisa Participante

Durante as aulas em que aplicamos os testes, estabeleceu-se uma relação

intensa e dinâmica entre o professor pesquisador e os alunos, tendo sido

fundamental a convivência harmoniosa no espaço da sala de aula, criando caminhos

que configuraram uma pesquisa participante.

96

Adotamos nesta pesquisa a perspectiva da pesquisa participante dada por

Brandão (1987), considerando que todo o trabalho de preparação, elaboração e

implementação das atividades foi realizado pelo pesquisador. Esse trabalho mudou

a rotina de aula dos alunos, e o pesquisador interferiu no contexto enquanto

desenvolvia sua pesquisa.

Brandão (1987) discute pesquisa participativa22 considerando-a uma concepção

teórico-metodológica de investigação social através da qual se constrói o

conhecimento crítico da realidade, com a participação da própria comunidade e o

comprometimento do pesquisador, promovendo a participação, a aprendizagem e a

transformação social para o benefício dos participantes da investigação.

Na mesma linha de pensamento, Boterf (1999) comenta que:

considerando as limitações da pesquisa tradicional, a pesquisa participante vai, ao contrário, procurar auxiliar a população envolvida a identificar por si mesma os seus problemas, a realizar a análise critica destes e a buscar as soluções adequadas. Deste modo, a seleção dos problemas a serem estudados emerge da população envolvida, que os discute com especialistas apropriados, não emergindo apenas da simples decisão dos pesquisadores (BOTERF, 1999, p. 52).

A pesquisa participante valoriza a experiência profissional, seja dos sujeitos,

seja dos pesquisadores, sendo uma de suas características a possibilidade da

aplicação prática do tema que está sendo investigado, construindo saberes, criando

e recriando a realidade. Concede aos participantes o direito e poder de pensarem,

produzirem e dirigirem seus saberes a respeito e em benefício de suas próprias

histórias.

Desse modo, em nossa pesquisa, procuramos enfatizar conteúdos que

fossem úteis à formação dos alunos. Os problemas propostos envolviam assuntos

como corrente elétrica, tensão elétrica, as leis de Ohm, conteúdos de Física Elétrica,

que são considerados importantes na futura prática profissional desses alunos. O

pesquisador desempenhou a função de observador e observador participante no

sentido de que foi à sala de aula, aplicando técnicas de coleta dos dados para

futuras análises.

22 A expressão participativa foi empregada aqui para respeitar a forma como foi denotada pelo autor.

97

3.2.2 A Observação

É muito comum, em nosso cotidiano, as pessoas olharem para algum objeto

e enxergarem coisas diferentes. Entendemos que cada pessoa, por possuir

experiências diferentes das outras, tende a ver de forma diferente. Por isso, para

desenvolvermos uma pesquisa utilizando como método a observação, devemos

planejar com antecedência o que, onde e como observar. Lüdke e André (1986, p.

. Isso

reflete a necessidade de um planejamento minucioso e uma preparação rigorosa por

parte do observador.

Para Alves-Mazzotti (2001), a observação proporciona algumas vantagens,

tais como: a independência do nível de conhecimento ou da capacidade verbal dos

sujeitos; permite checar na prática as respostas das questões, identificar

comportamentos não intencionais ou inconscientes, explorar tópicos que os

informantes não se sentem à vontade para discutir e registrar o comportamento em

seu contexto temporal-espacial.

A observação dos fatos é de extrema relevância na pesquisa qualitativa,

porém também apresenta algumas desvantagens, tais como: depende

extremamente do observador; é uma pesquisa muito cara, pois exige muitas horas

de trabalho; além de não poder ser generalizada, pois foi pesquisada para

determinado alvo em uma determinada época, não pode ser estendida naturalmente

para outro grupo ou outro período. Porém, nenhuma dessas desvantagens chega a

causar prejuízos à pesquisa qualitativa.

Também Lüdke e André (1986) abordam essa forma de pesquisa afirmando

que:

delimitação do objeto do estudo. Definindo-se claramente o foco da investigação e sua configuração espaço-temporal, ficam mais ou menos evidentes quais aspectos do problema serão cobertos pela observação e qual a melhor forma de captá-los. Cabem ainda nessa etapa as decisões mais específicas sobre o grau de participação do observador, a duração das observações, etc. (LÜDKE; ANDRE, 1986, p.25).

98

É durante o planejamento de uma pesquisa que é feita a delimitação do

objeto de estudo. Assim, consideramos realizar as atividades de resolução de

problemas sobre Eletricidade, e posteriormente analisar os erros cometidos, nas

turmas regulares que o pesquisador possuía em sua grade de trabalho. As turmas

foram apresentadas ao objetivo da pesquisa e à forma de trabalhar as atividades,

que seriam realizadas em algumas aulas do semestre letivo. As atividades foram

realizadas em 5 aulas, no período de 01/08/2011 a 27/10/2011. Para cada dia foi

previsto um conteúdo a ser abordado e foram preparados os problemas a serem

trabalhados (o detalhamento deste plano será apresentado no Capítulo 4).

Uma vez que, nesta investigação, foi realizada observação do tipo

participante, a próxima seção será dedicada a ela.

3.2.3 A Observação Participante

Para Junker (1971; apud LÜDKE e ANDRÉ,1986), há quatro possibilidades

em que o pesquisador pode se colocar ao realizar uma observação: participante

total, participante como observador, observador como participante e observador

total.

Participante total: o observador não revela ao grupo seu papel de pesquisador, ele torna-se um membro do grupo para se aproximar intrinsecamente dos participantes. Porém, fica com acesso limitado às relações estabelecidas fora do grupo. Deixa de ter a visão do todo.

Participante como observador: revela ao grupo parte do que pretende, para não alterar o comportamento do grupo observado.

Observador como participante: a identidade do pesquisador e os seus objetivos de estudo são revelados ao grupo pesquisado. O pesquisador tem acesso ilimitado a todas as informações, porém está limitado na divulgação dos resultados, pois depende da aprovação do grupo para a divulgação dos resultados.

Observador total: o pesquisador não interage com o grupo observado (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 28).

Dentro do que assumimos como observação participante, esta pesquisa se

enquadra no terceiro tipo indicado por Junker (1971), ou seja, no que ele chamou de

observador como participante. Desse modo, a observação participante permite um

contato pessoal e estreito do observador com o fenômeno pesquisado, o que torna o

pesquisador parte da circunstância obser

pessoa como o principal e o mais confiável instrumento de observação, seleção,

99

-MAZZOTTI, 2001,

p. 167).

Na presente pesquisa, associamos a observação participante a outros

métodos, lançando mão também da análise de documentos.

3.2.4 As Análises de Documentos

Uma vez que a análise de documentos é um processo complicado e árduo,

sendo realizado durante todo o processo da investigação, deve implicar a redução,

organização e interpretação dos dados. Para Lüdke e André (1986), a qualidade

desse material pode variar; algum pode conter apenas informações superficiais,

enquanto outro serve de fonte capaz de produzir ideias, coisas novas, originais.

Constam no Dicionário Houaiss (2009) os seguintes significados para a

prova de um acontecimento, fato ou estado; 2. qualquer objeto que comprove,

elucide, prove ou registre um fato, acontecimento; 3. arquivo de dados gerado por

Assumimos, então, a análise documental como a realizada em documentos originais

(HELDER, 2006, p. 1).

Corseti (2006) entende que em muitos trabalhos, os documentos oficiais são

insuficientes para abranger aspectos básicos. Desse modo, defende que os acervos

materiais escolares (cadernos e livros escolares), registros de professores e alunos,

enfim, toda a documentação que permita recuperar as práticas pedagógicas e a

documental, a autora comenta que os pesquisadores têm perseverado na

necessidade de recorrer a esses acervos, principalmente os que abordam temas

novos e que se valem de fontes não tradicionais.

100

Ressaltamos que nessa prática de pesquisa, a sensibilidade do autor deve

estar bem aflorada para que as informações e dados possam ser mais bem

trabalhados. Após a coleta dos dados, o pesquisador deve começar a organizar,

identificar as relações entre os fatos e fazer o levantamento de novas questões caso

seja necessário.

No caso desta pesquisa, a análise documental se deu desde o seu início, em

que buscávamos subsídios para nortear nosso trabalho. Nossa análise documental

se constituiu essencialmente da exploração dos registros escritos produzidos pelos

alunos contendo as resoluções dos problemas propostos, para que pudéssemos

proceder à análise, especialmente após a coleta de dados.

3.2.4.1 A Análise de Erros

Vemos a Análise de Erros dentro da Análise Documental, apoiada nos

escritos dos alunos. Em uma investigação inicial, buscando descrever a análise de

erros, encontramos duas vertentes: (1) como abordagem em pesquisa e (2) como

abordagem de ensino, dentro da Educação Matemática, objetivando conteúdos

específicos nos diferentes níveis do Ensino de Matemática. Os estudos que

analisamos possuem enfoques diversos, atrelados aos objetivos que pesquisadores

e/ou professores estão interessados em atingir a respeito dos trabalhos produzidos

pelos alunos.

Cury (2006) entende que a análise de erros pode ser uma metodologia de

pesquisa, com viés diferente de acordo com os investigadores e as teorias que

possam embasar tais pesquisas. É nessa perspectiva que ela será considerada

nesta seção.

Utilizamos o erro como caminho para auxiliar na construção de

compreensões acerca do ensino e da aprendizagem, analisando as dificuldades

apresentadas pelos alunos nas aulas de Física Elétrica e os erros envolvendo

conteúdos de Matemática do Ensino Básico.

Entendemos que as pesquisas envolvendo análise de erros, ligadas à

Educação em geral, não têm a finalidade de avaliar o aluno, mas sim, buscar meios

para compreender de que forma ele toma para si certo conhecimento, e saber quais

101

dificuldades necessitam ser ultrapassadas para que, então, esteja preparado para

trabalhar com o conteúdo desejado.

Nesta pesquisa, analisamos os erros cometidos pelos alunos ao resolverem

os problemas de Física Elétrica, no âmbito da disciplina de Infraestrutura Elétrica, de

modo a melhor compreendermos como estavam construindo conhecimentos sobre

os conteúdos trabalhados. Uma das maneiras de tentar entender onde se

encontrava o erro seria codificar as respostas fornecidas pelos alunos nos

problemas aplicados a fim de explicar como foram analisadas. Surgiu, então, a

necessidade de codificar o material, o que, segundo Barichello (2008), é uma prática

habitual em pesquisas que abrangem Análise de Erros, propondo estruturas de

classificação para os erros cometidos pelos alunos dos diferentes níveis de ensino

de Matemática, que provêm desde o início do século XX até os nossos dias, mas

com abordagens distintas. Assim, essas pesquisas têm como pontos fortes indicar

formas de classificar os erros cometidos pelos alunos e promover discussões

importantes a respeito da natureza desses erros. Apesar de essas pesquisas terem

seus resultados restritos à própria pesquisa, elas disseminam ideias para aspectos

mais amplos, tanto dos erros como do pensamento matemático do aluno.

Barichello (2008) aponta que alguns estudos não se fundamentam em

análises baseadas na experiência e na observação, mas somente na revisão

bibliográfica referente a esse tema, como assinala a pesquisa realizada por Radatz

(1979):

É muito difícil fazer uma separação definitiva entre as possíveis causas de um determinado erro, porque há uma estreita interação entre as causas. O mesmo problema pode suscitar erros de diferentes fontes e o mesmo erro pode surgir de diferentes processos de resolução de problemas. A classificação definitiva e a hierarquia das causas do erro parecem impossíveis de se alcançar (RADATZ, 1979, p. 170-171)23.

ser considerado como um processo construtivo, como método de descoberta

aprendizagem do aluno. Portanto, é importante esclarecer que a análise de erros foi

utilizada em nosso trabalho como método de pesquisa (como discutido nesta seção) 23 Tradução de: it is often quite difficult to make a sharp separation among the possible causes of a given error because there is such a close interaction among causes. The same problem can give rise to errors from different sources, and the same error can arise from different problem-solving processes. A definitive classification and hierarchy of error causes seems impossible to achieve.

102

e como recurso de promoção do ensino e da aprendizagem (discutido no Capítulo

2).

3.3 A Coleta dos Dados

É prudente que o investigador negocie e obtenha dos participantes uma

autorização, proporcionando, assim, vantagens importantes quanto à publicação das

informações (áudio, vídeo e testes). Lüdke e André (1986) apresentam duas formas

de coleta de dados: investigação dissimulada (sem autorização) e de estilo

cooperativo (com autorização). Então, dependendo do estudo a ser realizado, pode-

se escolher como será encaminhada a questão da autorização. Para realizar a

nossa coleta de dados, solicitamos a autorização dos alunos (APÊNDICE A).

Concordamos com Tozoni-

merece atenção especial para que, posteriormente, os dados sejam analisados e

interpretados, revelando novos conhecimentos sobre os fenômenos educativos

-REIS 2007, p. 67). Basicamente, registramos os dados por

meio de dois recursos, que serão apresentados a seguir.

3.4 O Registro dos Dados

Os registros das informações coletadas durante uma pesquisa podem ser

feitos através de anotações escritas, material transcrito das gravações, filmes,

fotografias, slides. Nesta investigação, foram realizados áudio e videogravações das

seções de coleta de dados, fotografias dos alunos trabalhando em aula, as

atividades escritas dos mesmos (os problemas aplicados para coleta de dados foram

arquivados) e foi elaborado um diário de campo.

O diário de campo constituiu uma importante forma de registro de

informaçõe

pesquisador registra suas observações, ideias, reflexões e estratégias, e descreve

os fatos ocorridos. Essas anotações devem conter tudo o que o pesquisador ouve,

vê e observa durante sua coleta de dados. Os autores orientam que os registros dos

eventos ocorridos em campo devem envolver duas situações: uma descritiva e outra

103

mais reflexiva. Assim sendo, nossas observações foram feitas em um caderno

específico, para que, no transcorrer das aulas, pudéssemos registrar os fatos no

momento em que ocorriam, evitando deixá-los passar despercebidos ou esquecer

aspectos relevantes observados.

Confiar na capacidade de se lembrar de todos os fatos ocorridos e das falas

dos sujeitos, em momentos inusitados ou não, é muita pretensão por parte do

pesquisador. Por isso, também lançamos mão do uso de um gravador, que esteve

junto ao pesquisador em todos os momentos da coleta de dados, em sala de aula.

As falas foram transcritas para posteriormente serem analisadas.

3.5 Organização, Análise e Apresentação dos Dados.

Segundo Bogdan e Biklen (1994), a tarefa de organizar os dados, embora

pareça fácil, é bastante complexa. Os materiais coletados nem sempre são fáceis de

serem separados ou codificados, passando uma sensação de impotência ao

pesquisador. Tal tarefa envolve vários passos, e nossa organização consistiu

inicialmente em separar o material coletado por data e por turma, agrupado, assim,

em quatro blocos, para posteriormente ser analisado a partir das categorias

determinadas a posteriori.

A apresentação dos dados coletados nem sempre demonstra a

complexidade intrínseca ao processo de pesquisa. Entretanto, no Capítulo 5,

almejamos resgatar os momentos que ocorreram durante a investigação,

apresentando, inclusive, os obstáculos enfrentados no decorrer deste trabalho,

OZONI-REIS, 2007, p. 46).

105

CAPÍTULO 4 - O CONTEXTO E OS SUJEITOS

4.1 A Instituição de Ensino

4.2 O Curso e a Disciplina

4.3 O Desenho do Instrumento

4.4 O Início da Coleta de Dados

4.5 O Perfil dos Alunos

4.6 O Perfil do Pesquisador

106

CAPÍTULO 4

O CONTEXTO E OS SUJEITOS

ao ar e, onde quer que ela caia, pintar um

Homer Adkins24

Neste capítulo, descrevemos o contexto em que ocorreu a coleta de dados

de nossa pesquisa.

Conforme descrito no Capítulo 3, para registrarmos os dados coletados,

lançamos mão de instrumentos como diário de campo, fotografias, vídeos,

gravações, e das atividades escritas produzidas pelos alunos na resolução dos

problemas. A partir do diário de campo desenvolvemos reflexões e buscamos fatos

relevantes ocorridos no decorrer da coleta de dados; das gravações, pinçamos

algumas falas e diálogos dos e com os alunos ao percebermos questionamentos e

afirmações curiosas ocorridas no transcorrer das aulas; e as atividades escritas

desenvolvidas pelos alunos, um rico material para análise, complementamos com

imagens de fotografias e vídeo.

Para Lüdke e André (1986), é necessário gerar o confronto entre os dados,

as evidências, os elementos coletados e o conhecimento teórico. Assim, via de

regra, quanto mais amplo for esse conhecimento do pesquisador, melhores serão

suas condições para a análise dos dados.

Grande parte do conteúdo aqui apresentado foi obtida na fase inicial do

projeto, e partiu de aspectos mais gerais para atingir os mais específicos. Neste

texto, são trazidos alguns dados considerados relevantes para caracterizar o

contexto em que foi realizada esta pesquisa: a instituição de ensino, os cursos, a

24 Químico americano (1892 1949), num artigo publicado na revista Nature.

107

disciplina, o perfil dos alunos participantes e o ambiente onde ela ocorreu.

4.1 A Instituição de Ensino

A coleta de dados ocorreu em uma instituição privada de Ensino Superior

(IES) da cidade de São Paulo, onde o pesquisador é professor. A referida instituição

possui uma boa infraestrutura física e experimentou um crescimento muito rápido,

seguindo a expansão do Ensino Superior do Brasil nos últimos anos.

Nesse quadro, inserem-se os cursos da área de Tecnologia, dos quais, por

possuírem uma procura muito grande, e por inclusão, foram as turmas pesquisadas

para realizarmos a coleta de dados.

4.2 O Curso e a Disciplina

Para a realização da pesquisa, foi necessário agendar com antecedência

uma reunião com o diretor da área de Tecnologia e Informática da instituição, para

solicitar a permissão. Optamos por não divulgar o nome da instituição, o que agilizou

o início dos trabalhos da pesquisa de campo, implementada a partir do primeiro

semestre de 2010. Um experimento piloto foi realizado nesse período.

Os cursos de Tecnologia em Redes de Computadores (TRC) e Formação

Específica em Gestão de Ambientes Internet e Redes de Computadores (FEGAIRC),

onde a pesquisa foi realizada, possuem um currículo estruturado em 5 e 4

semestres, respectivamente.

A disciplina em que trabalhamos é oferecida apenas no terceiro semestre,

com uma carga horária de 80 horas, sendo ministrada durante quatro horas aula por

semana. A coleta de dados ocorreu efetivamente no segundo semestre de 2011. No

anexo A, encontra-se o programa da disciplina, que pode ser útil para melhor

compreender os fatos ocorridos durante a coleta, dentre os quais alguns foram

selecionados e serão apresentados e analisados no próximo capítulo.

O grupo observado era composto por 109 alunos que participaram da coleta,

distribuídos em quatro turmas, uma em cada campus, realizada em dias diferentes.

Em todos os campi, as turmas de TRC e FEGAIRC incluíam alunos dos dois cursos

108

de Tecnologia. Através do Quadro 2 descrevemos a quantidade de alunos de cada

curso e campus, bem como o período das aulas.

Quadro 2 Quantidade de alunos por curso e campus.

CAMPUS I VLM

CAMPUS II VRG

CAMPUS III STO

CAMPUS IV MM

FEGAIRC 3 6 0 3

TRC 36 4 25 32

PERÍODO NOTURNO DIURNO DIURNO DIURNO

Fonte: Dados de pesquisa do autor.

Os alunos estavam distribuídos pelos quatro campi da instituição, sendo três

turmas no período da manhã e uma no período da noite. As aulas das turmas

trabalhadas pela manhã tinham início às 7 horas e 50 minutos e encerravam às 11

horas e 30 minutos, com intervalo de 20 minutos. No período noturno, as aulas

iniciavam às 19 horas e 15 minutos, com término às 22 horas e 50 minutos, com

intervalo de 20 minutos.

É importante ressaltar que em geral, os alunos desses cursos não tinham

afinidade com disciplinas que envolvem Matemática, possuindo, inclusive,

dificuldades em lidar com as calculadoras científicas que foram utilizadas durante a

resolução dos problemas propostos.

4.3 O Desenho do Instrumento

Considerando o programa da disciplina, o tempo disponível, e até retomando

atividades já utilizadas pelo professor pesquisador em outras ocasiões em que

ministrou a disciplina, foi feito o primeiro desenho do instrumento empregado na

coleta de dados. Ele consiste de uma série de cinco problemas envolvendo

conceitos matemáticos e, em alguns, também de Física, problemas do cotidiano,

alguns com solução única e outros com diversas soluções.

Para preparação desse instrumento, apoiamo-nos nos diferentes tipos de

problemas propostos por Krulik e Rudnick (2001). Cada problema envolveu uma

109

situação potencialmente geradora de algum conteúdo matemático que compunha o

programa da disciplina, que abrangeu também alguns conteúdos conceituais

abordados no Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio.

No primeiro semestre de 2011, realizamos um experimento piloto com esse

instrumento com o intuito de verificar se os problemas estavam bem dimensionados

em relação ao tempo e com linguagem acessível. Assim, foi possível testar o

instrumento para ajustes apropriados, bem como confirmar a aceitação de outra

metodologia de ensino por parte dos alunos. Essa primeira versão do instrumento foi

aplicada a uma sala com 30 alunos do terceiro semestre.

Com a conclusão da fase de teste do instrumento com os alunos-piloto, os

ajustes adicionais foram feitos e foi elaborada uma versão final do instrumento

(APÊNDICE B), que foi aplicado na efetiva coleta de dados da pesquisa, em outras

turmas, no semestre seguinte, já que o ingresso do aluno é semestral.

4.4 O Início da Coleta de Dados

Ser o professor da disciplina de Infraestrutura Elétrica facilitou o trabalho de

coleta. Assim, logo no início do segundo semestre de 2011, na primeira aula com

cada turma, e após as apresentações, pessoais e da disciplina, os alunos foram

informados com relação às intenções de realizar a pesquisa em algumas aulas,

expondo a eles a ideia do projeto de doutorado e convidando-os a participar. Foi-

lhes esclarecido que seria um trabalho diferente para eles e para o professor

pesquisador, mas que em nenhum momento, eles deveriam se sentir obrigados a

participar, que não precisavam se sentir pressionados por atribuições de nota, já que

o objetivo não era avaliação, mas pesquisa.

Para aqueles que desejassem participar, seria um momento importante, pois

estariam promovendo algumas rupturas com relação à metodologia com que

estavam acostumados nas aulas. Em um primeiro momento, os alunos se

mostraram apreensivos por se tratar de uma disciplina que envolve conhecimento

matemático e de Física, e estaria acontecendo uma pesquisa, sendo eles parte

integrante desse projeto. Assim, após ser apresentada a Metodologia de Ensino-

aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas e de que forma

110

ocorreriam os trabalhos, foi-lhes solicitado que se manifestassem com relação a

alguma dúvida.

Eles foram informados de que as aulas não sofreriam perda de qualidade,

tampouco o conteúdo que deveria ser tratado no semestre. As tarefas seriam

desenvolvidas estritamente no horário das aulas e com os conteúdos do curso. Foi

então indagado se a turma estaria disposta a realizar esta pesquisa, e foi uma grata

surpresa quando todos os alunos presentes se colocaram à disposição. O convite foi

oficializado a todos os alunos, que assinaram o termo de consentimento (APÊNDICE

A). Nos quatro campi, houve aceitação unânime. Dessa forma, demos início à coleta

dos dados, orientando-nos pelo cronograma que havia sido preparado para a

aplicação das tarefas.

No quadro a seguir, apresentamos esse cronograma.

Quadro 3 - Cronograma de Aplicação do Instrumento.

Fonte: Dados de pesquisa do autor.

Com relação aos problemas geradores, buscamos sempre aqueles que

abordassem temas inerentes à realidade e à formação profissional dos alunos,

DATA CAMPI CONHECIMENTOS PRÉVIOS CONTEÚDO OBJETIVO

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

PROBLEMAS GERADORES

01/ago IV

Possuir conhecimentos sobrepotenciação na base 10, saberunidades de medida.

Conversão de unidades de medida e utilização de prefixos.

Saber expressar-se corretamente na linguagem matemática, identificando grandezas matemáticas que correspondem ás situações do cotidiano, utilizando de prefixos, sendo capaz de relatar os resultados de uma leitura técnica.

03/ago III

10/ago

Saber utilizar as operações básicas, conhecer as teorias físicas de carga elétrica, corrente elétrica, diferença de potencial, resistência (1ª Lei de Ohm) e potência.

1ª Lei de Ohm, corrente eletrica, tensão e potência.

Compreender e utilizar leis e teorias

aparelhos eletro-eletrônicos em geral.

24/ago III

24/ago I

01/set II

22/ago IV

Saber interpretar e relacionar o texto com a criação de perguntas.

Conhecer a 1ª lei de Ohm, montagem de questões relacionadas ao texto.

Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões), procurar, selecionar e interpretar informações relativas aos problemas.

24/ago III

24/ago I

Tomar conhecimento da 2ª Lei de Ohm e relacionar com a 1ª Lei.

Articular o conhecimento físico com conhecimentos de outras áreas do saber cientifico.

21/set III

21/set I22/set II

19/set IV

Possuir conhecimento teórico da 1ª e 2ª Lei de Ohm.

Saber interpretar gráficos e porcentagem, relacionar o texto com a criação de perguntas.

Relacionar potência e consumo de energia .

Observar, estimar ordens de grandeza e compreensão do conceito.

26/out III

26/out I

27/out II

PROBLEMA 0

PROBLEMA 4

24/out IV

01/set II

22/ago IV

I

17/ago II

111

presumindo que isso seria propício para criar um ambiente de motivação e de

desafio que envolvesse os alunos nas atividades de resolução de problemas. Esses

problemas foram trabalhados com os alunos levando em consideração a

Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas, dedicando o tempo de

3 horas/aula para desenvolvermos cada um dos 5 problemas.

4.5 O Perfil dos Alunos

A maioria dos alunos de TRC e FEGAIRC está na faixa etária de 21 a 32

anos, estudam em um período do dia e trabalham em outro. Alguns alunos há muito

tempo não frequentavam uma instituição de ensino por motivos diversos. Em sua

grande maioria, são solteiros e ainda não trabalham na área na qual estão se

formando. Em geral, são egressos das escolas públicas da rede estadual, alguns

frequentando a universidade com bolsa de estudos institucional ou com auxílio do

ProUni. Muitos desses alunos são os primeiros, em suas famílias, a frequentar os

bancos de uma universidade, sendo isso motivo de orgulho. Para reduzir os custos e

o tempo de deslocamento, buscam estudar na unidade mais próxima de sua casa ou

no caminho entre o trabalho e a residência.

As observações do pesquisador sobre os alunos são de que eles não

possuem tempo para estudar, apresentam muitas lacunas de conteúdos básicos de

Matemática (tanto do Ensino Fundamental quanto do Médio), gerando alguns erros

tidos como comuns, o que poderá ser constatado no capítulo de Análise de Dados.

4.6 O Perfil do Pesquisador

Considero que alguns aspectos relativos à minha condição de pesquisador e

professor tenham condicionado a configuração das diversas situações

experimentadas no transcorrer da coleta de dados. Minha formação foi

essencialmente tradicional; entretanto, venho sendo movido pelas reflexões e

estudos orientados, do curso de pós-graduação da Universidade Cruzeiro do Sul, a

promover mudanças visando melhorar minha prática docente. Segundo Allevato

(2008), o professor norteia sua prática partindo de seus conhecimentos,

reconhecendo o perfil e as necessidades de seus alunos. Dessa forma, assim como

os alunos, o professor executa atividades condicionadas à estrutura escolar

112

(organização, recursos, ideologias), às particularidades da disciplina e às reflexões e

estudos que realiza. A pesquisa se torna, assim, um processo interativo com a

história, modificado pelo perfil das pessoas que dele fazem parte.

No próximo capítulo, Delimitação da Análise dos Dados, apresentaremos as

atividades realizadas, os dados coletados e as análises dos dados da pesquisa que

foi desenvolvida no contexto aqui descrito.

113

CAPÍTULO 5 DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS

5.1 A Análise dos Erros

5.2 Aplicando a Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas

5.2.1 O Problema 0 O que você faria?

5.2.2 O Problema 1 Que número faz sentido?

5.2.3 O Problema 2 Que questões você pode criar e responder?

5.2.4 O Problema 3 Que número está errado?

5.2.5 O Problema 4 Qual é a questão se você sabe a resposta?

5.3 Dialogando com a Literatura sobre a Resolução de Problemas

5.4 A Organização e Preparação para Análise das Resoluções dos Problemas Aplicados

5.4.1 Categoria 1 - Erros ligados à linguagem natural.

5.4.2 Categoria 2 - Erros ligados a cálculos incorretos

5.4.3 Categoria 3 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento matemático prévio.

5.4.4 Categoria 4 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento físico prévio.

5.5 Dialogando com a Literatura sobre Análise de Erros

114

CAPÍTULO 5

DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS

Quando uma ciência está desenvolvida em uma tal magnitude, ela não pode se dar ao luxo de rever seus erros, mas sim precisa tratá-los profilaxicamente.

A. Adler (1928)

Este capítulo apresenta o desenvolvimento das atividades realizadas e a

descrição e análise dos dados construídos na pesquisa, abordando a Análise de

Erros na Resolução de Problemas de Física Elétrica.

Nossa procura por compreender os erros cometidos pelos alunos dos cursos

de Tecnologia, na resolução de problemas envolvendo a Matemática aplicada em

problemas de Física, levou-nos a indagar sobre quais erros são cometidos.

Pretendemos expor neste capítulo descritivamente os dados construídos,

destacando os elementos que nos propusemos a compreender, a fim de

respondermos ao nosso problema de pesquisa:

Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da


Apresentaremos as análises das diferentes respostas fornecidas pelos

alunos aos problemas propostos, com as respectivas interpretações, emergentes da

pesquisa de campo. Desse modo, esses erros foram organizados em sessões que

expressam as categorias de análise dos dados. O processo de construção dessas

categorias de análise se deu pela convergência dos dados recolhidos por meio dos

documentos, ou seja, os problemas resolvidos entregues pelos alunos, e que são

expressas nas questões parciais elaboradas para esta investigação, mas também é

inspirado pelas diversas leituras realizadas sobre o tema.

115

O trabalho de campo contou com um instrumento de pesquisa composto por

cinco problemas geradores, especialmente preparados/elaborados para desenvolver

os conteúdos das aulas, indicados no plano e no cronograma estipulado pela

universidade. Os problemas foram propostos e resolvidos durante as aulas

ministradas pelo professor pesquisador, nas turmas onde desenvolveu a disciplina

de Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores.

Foram trabalhados nesses problemas dois tipos de conteúdos: os de

Matemática função de primeiro grau, potência de base 10 e suas propriedades,

unidades de medida e suas transformações; e os de Física carga elétrica, 1a e 2a

Leis de Ohm, DDP - diferença de potencial (tensão), corrente elétrica, resistência

elétrica, potência elétrica. Com relação aos conteúdos, é importante ressaltar que

certos tópicos supostamente são de conhecimento de alguns alunos, por fazerem

parte dos conteúdos do Ensino Básico. Essa disciplina visa, portanto, aprofundar e

ampliar esses conteúdos matemáticos e físicos com o propósito de abordar noções

de eletricidade para o uso seguro e compreender as funcionalidades de

equipamentos e redes de computadores.

Para a organização das falas e dos problemas aplicados, foram designadas

siglas para identificar o professor pesquisador e preservar a identidade dos alunos.

Utilizamos PE para o professor pesquisador e AL para aluno; para os grupos de

alunos, adotamos G1, G2, G3, e para identificar os campi, utilizamos C1, C2, C3...

Ao analisarmos as resoluções dos problemas, não temos interesse apenas

pela solução, mas pelo processo de resolução apresentado pelos grupos de alunos,

visando analisar o modo como solucionaram o problema, buscando desvendar suas

estratégias, detectando dificuldades e tecendo inferências sobre os erros. Dessa

maneira, a análise de erros transforma-se num recurso para a melhoria da

aprendizagem, aceitando que o professor realize intervenções didáticas com o intuito

de revisar os conteúdos em que os alunos se mostram deficitários, desafiando-os a

procurar, refletir sobre e compreender seus erros, e ampliar conhecimentos.

116

5.1 A Análise dos Erros

As análises desenvolvidas foram organizadas em duas seções:

a) Descrição e análise dos erros cometidos pelos alunos para resolver

problemas propostos e seu tratamento durante a implementação da metodologia de

Ensino através da Resolução de Problemas, apresentados na seção 5.2.

b) Categorização dos erros apresentados nos registros escritos dos alunos,

realizada após o encerramento da coleta de dados e de acordo com as categorias

descritas na seção 5.4 deste capítulo.

Essa categorização dos erros se apoia no material coletado: resoluções

escritas entregues pelos grupos de alunos para a descrição dos erros emergidos das

respostas dadas; procedimentos realizados pelos alunos; comentários e

esclarecimentos obtidos por meio da aplicação dos problemas. A partir das

resoluções escritas foi possível sistematizar os resultados dos problemas aplicados,

realizando as interpretações dos erros cometidos pelos alunos, categorizando-os a

partir das respostas fornecidas pelos grupos de alunos aos problemas propostos,

congregando os erros em classes (categorias), empregando um critério de

semelhança.

Após cada uma dessas seções, realizamos o diálogo dos dados analisados

com os autores estudados neste trabalho.

5.2 Aplicando a Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas

A observação e análise dos dados apresentados nas resoluções dos

problemas indicam erros cometidos por alguns grupos de alunos. Para a análise

desses erros, examinamos o conteúdo das respostas apresentadas no material

escrito recolhido quando da aplicação do problema. Na verdade, ainda que tenham

sido discutidos esses erros com os alunos, por ocasião das plenárias em sala de

aula, registramos análises mais sistemáticas desenvolvidas após o encerramento da

coleta de dados. Essa análise é de grande importância para compreender com mais

profundidade o que os alunos fizeram, e o que erraram, ao resolverem os

problemas. Para essa análise, guiamo-nos pelas categorias descritas na seção 5.4

117

deste capítulo.

Na implementação das atividades em sala de aula, seguimos as orientações

da metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas, de acordo com

Onuchic e Allevato (2009): (a) preparação do problema; (b) leitura individual; (c)

leitura em conjunto; (d) resolução do problema; (e) observação e incentivo; (f)

registro das resoluções na lousa; (g) plenária; (h) busca do consenso; e (i)

formalização do conteúdo. Os problemas eram distribuídos em folhas impressas e

era solicitado aos alunos que fizessem a leitura individual. Em seguida, os alunos

agrupavam-se em trios e em algumas poucas duplas para a releitura em grupo e

para resolverem o problema. Logo apareciam os problemas secundários, isto é,

aqueles que não estavam descritos no problema. Eram dificuldades que os alunos

manifestavam quanto ao enunciado ou à resolução e que não eram diretamente

vinculadas ao objetivo central do problema. Eram, então, orientados quanto às

dúvidas. Nos primeiros encontros, eles insistiam para que o professor pesquisador

resolvesse os problemas para eles, ou que comentasse mais detalhadamente o que

era para fazer. O professor pesquisador transitava entre os grupos, olhava,

incentivava e convocava-os a participar mais. Pedia que todos os integrantes do

grupo fizessem suas colocações, e esclarecia que as resoluções seriam discutidas

em plenária e todas as dúvidas seriam esclarecidas.

Na aplicação do problema zero, que será detalhadamente analisado na

seção 5.2.1, por ser a primeira vez que estavam trabalhando com essa metodologia,

houve certa desconfiança e desorganização na sala. Diversos grupos conseguiram

acabar antes do tempo estipulado, que foi de 40 minutos, o que gerou certo

desconforto na turma pelas conversas paralelas e pelo ruído gerado por aqueles que

haviam terminado.

A classe foi indagada, antes de sair para o intervalo, se o trabalho em grupo

estava sendo produtivo, e eles responderam que mais ou menos. Então, foram

indagados se estavam achando fácil ou difícil resolver os problemas por essa

metodologia; responderam que, até o momento, estava fácil. Assim que todos

terminaram, uma resolução escrita de cada grupo foi recolhida e fomos para o

intervalo.

118

A Figura 9 a seguir mostra os alunos em trios em um dos campi, discutindo e

realizando a tarefa solicitada:

Embora o trabalho em grupo fosse difícil para os alunos, especialmente nas

primeiras experiências, era de grande importância essa parte inicial das atividades,

abrindo espaço para que os alunos pudessem ler, interpretar e discutir os

enunciados dos problemas com seus pares, aceitando, com isso, expandir suas

compreensões e também discutir os processos pensados por cada aluno para

resolver os problemas propostos.

Por isso, nesse primeiro trabalho, o tempo necessário para que todos os

grupos trabalhassem no problema foi maior do que havia sido previsto, justamente

por ser um processo novo para os alunos e para o professor pesquisador. No

retorno, o professor pesquisador segmentou a lousa em diversas partes e solicitou

que um integrante de cada grupo se dirigisse à lousa para escrever como haviam

Figura 10 Grupos trabalhando no problema

Fonte: Próprio autor.

119

resolvido o problema.

Assim, fomos discutindo as resoluções (início da discussão plenária) e

verificando as respostas que eram mais parecidas entre os grupos, as razões das

diferenças, e buscando a solução correta. Conseguimos, juntos, chegar a um

consenso sobre todas as resoluções, sobre o que estava certo e o que estava

errado. Fizemos as correções necessárias para, só então, encaminharmos a

discussão para os conceitos envolvidos no problema.

Com relação aos outros problemas, não houve tanto desconforto por terem

entendido o funcionamento da metodologia. Passamos, então, a descrever os

enunciados dos problemas aplicados, objetivos, análise ligada à metodologia e a

inserção da resposta correta fornecida pelos grupos.

Figura 11 Segmentação da lousa e algumas resoluções dos grupos.


120

5.2.1 O Problema 0 (Zero) O que você faria?

Este problema se apresentou em uma situação em que o aluno o resolveria

baseado em sua vivência, conhecimento da situação e de suas preferências

individuais que pudessem ajudá-lo a solucionar o problema. O enunciado do primeiro

problema aplicado é exposto a seguir:

O objetivo deste problema era que os alunos tivessem oportunidade de se

expressar na linguagem matemática, identificando grandezas matemáticas que

correspondessem às situações do cotidiano na área de tecnologia da informação.

Para isso, neste problema, os alunos precisavam utilizar e compreender prefixos,

Determinada empresa pública, seguindo a legislação em vigor - Lei Federal nº 8.666/93 - LEI DE LICITAÇÕES E CONTRATOS ADMINISTRATIVOS na modalidade tomada de preços para compra de equipamentos de informática, publicou em seu sítio e no Diário Oficial o edital de licitação. Esse edital é composto, dentre outros suprimentos de informática, da aquisição de 530 notebooks, com as seguintes características técnicas:

Clock: 1,3 Ghz; Cache: 3MB; Memória: 3 GB Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM

Dentre as empresas que se apresentaram para fornecer os notebooks, duas foram pré-selecionadas por estarem com toda a documentação da empresa, que é exigida por lei, em ordem, apresentando as seguintes características técnicas:

EMPRESA 1 EMPRESA 2 Clock: 1,3 GHz Clock: 1300 MHz

Cache: 3MB Cache: 3000 KB

Memória: 3GB Memória: 3000 MB

Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM


Na abertura dos envelopes o representante da empresa 1 se posicionou pela desclassificação da empresa 2, alegando que as especificações não estavam de acordo com a licitação. Como organizador da licitação você acataria ou não a solicitação da empresa 1? Descreva sua(s) justificativa(s).

Problema 0 (Zero): Compra de Notebooks

121

sendo solicitados a relatar os resultados de uma leitura técnica, uma inspeção,

manifestando, nesse contexto, seus conhecimentos. Eles foram incentivados a

mostrar seus conhecimentos prévios sobre potenciação na base 10 e suas

propriedades, sobre as unidades de medida, juntamente com seus prefixos

(múltiplos e submúltiplos).

Embora esses conteúdos possam ser considerados básicos, ou mesmo

demasiadamente simples para os alunos do Ensino Superior, a atividade, de fato,

configurou-se como um problema para eles.

Observamos que os alunos tiveram dificuldades nesse tipo de trabalho, ou

seja, com a metodologia aplicada, diferente da que eles estavam habituados a

utilizar para resolver os problemas e para aprender Matemática e/ou Física. Este fato

indica como o trabalho foi importante para lhes possibilitar realizar raciocínios

diferenciados, fugindo dos automatismos. Diversos tipos de problemas requerem a

utilização e ampliação das diferentes habilidades de pensamento e de suas práticas

de reflexão para resolvê-los.

Em particular neste problema, os alunos perceberam a importância dos

prefixos e sua valoração, entenderam as relações e os padrões que existem entre

eles. Realizaram conversão entre os prefixos, percebendo em que momento são

equivalentes. Refletiram sobre outras aplicações desse conteúdo no cotidiano e em

outras áreas do conhecimento.

Desse modo, segue a apresentação de uma resolução correta, apresentada

pelos alunos.

Figura 13 - Protocolo 1: Resolução correta do Problema 0

Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.

122

5.2.2 O Problema 1 Que número faz sentido?

Neste problema, o aluno foi exposto a uma situação em que as informações

numéricas estavam dispersas em uma lista de números que eram disponibilizados,

da qual o aluno teria que escolher os adequados. Após alguns cálculos, deveria

inserir os números na lacuna correta para que o texto tivesse sentido.

Na aplicação deste segundo problema, o professor pesquisador fez um

breve comentário sobre alguns conceitos de Física Elétrica, a saber: carga elétrica,

tensão elétrica, corrente elétrica e potência elétrica, na aula que antecedeu a

aplicação do problema. O objetivo era saber se os alunos, tendo contato com os

conceitos de forma isolada, como foram abordados na aula anterior, conseguiriam,

pelo Ensino através da Resolução de Problemas, resolver um problema em que

esses conceitos são aplicados e estão relacionados.

Outro objetivo deste problema era que os alunos compreendessem

enunciados envolvendo códigos, símbolos físicos e matemáticos, que estão

presentes em manuais de instalação e utilização de aparelhos eletrônicos, e que

também compreendessem e utilizassem leis e teorias físicas. Os conhecimentos

prévios necessários envolviam saber utilizar as operações matemáticas básicas e a

conversão de prefixos, conhecer as teorias físicas de corrente elétrica, diferença de

potencial (tensão), resistência elétrica (1ª Lei de Ohm) e potência elétrica.

Seguindo os passos propostos pela metodologia de Ensino através da

Resolução de Problemas, no início das atividades, ocorreu que os alunos queriam

que o professor pesquisador respondesse suas perguntas. Eles foram orientados

para que lessem e buscassem discutir, inicialmente, dentro do grupo; depois disso,

Um estudante do 3º semestre do curso de tecnologia de uma universidade, comprou um

potência de entrada é de__________W. Esse estudante sabendo que o custo de /dia, considerando que o KWh custa

R$_______, ele terá um custo mensal de R$__________.

31, 311456 440 4 8 110 0, 29651

Problema 1: Calculando a conta de energia

123

sendo necessário, o professor pesquisador os auxiliaria a compreender o problema

para que tentassem resolver. Essa atitude causou certo desconforto nos alunos. Os

grupos se sentiam inseguros quando arguidos ou desafiados a resolver problemas

para os quais o imediatismo da resposta não lhes era oferecido.

O professor pesquisador deixou os grupos discutirem bem esse Problema 1,

e algumas dúvidas foram levantadas com respeito à forma de iniciar a resolução.

Chamou a atenção o fato de que parte dos grupos foi jogando os valores

sem se preocupar em descrever por escrito como estavam procedendo. Foi difícil

fazê-

justamente por tentarem resolver tudo de cabeça. O professor observou que este

problema gerou dúvidas e ansiedade nos alunos para encontrar as respostas certas;

eles demonstraram dificuldade em relacionar os valores sugeridos no problema para

que houvesse coerência.

Alguns grupos começaram a buscar informações em outros grupos, exigindo

do professor pesquisador uma postura mais firme no sentido de lhes mostrar que o

importante era tentar resolver e apresentar uma solução para ser discutida, e que

não haveria qualquer valor de nota (avaliação) a ser atribuída ao que estavam

fazendo. Outro fato foi que alguns grupos solicitavam a presença do professor

pesquisador para confirmar se os raciocínios estavam certos e deixavam de fazer a

tarefa proposta, aguardando o professor pesquisador se manifestar. Isso demonstra

o hábito de esperar que primeiro o professor resolva o problema, e depois ele, aluno,

copie, prática muito utilizada no ensino pautado pelo modelo tradicional.

O professor pesquisador frisou que naquele instante, ele necessitava

entender como era o raciocínio deles para resolver o problema, e que os erros

seriam importantes para verificar suas compreensões e suas deficiências; e ele

continuou insistindo para, de início, não se preocuparem com o certo ou o errado.

Um fato interessante ocorrido foi que no dia da aplicação do problema, um

aluno estava com sua conta de luz e, motivado pelo problema, resolveu analisá-la.

Segundo o aluno, nunca ele havia feito aquilo. Conseguiu melhor interpretar as

informações e identificar alguns itens que estavam contemplados naquele problema

gerador, em particular que o custo do KWh indicado em sua conta era o mesmo

124

contido no problema.

Após o registro na lousa, os grupos discutiram as resoluções, mas foi

observado que uns poucos não conseguiram estabelecer uma relação lógica entre

os valores para que o texto ficasse correto.

Assim, consideramos que o objetivo deste problema foi atingido: os alunos

tiveram oportunidade de realizar conexões, expressando seu conhecimento em

Física Elétrica, utilizando expressões matemáticas (fórmulas) e identificando

grandezas físicas que correspondem às situações do cotidiano na área de tecnologia

da informação. Dessa maneira, os alunos utilizaram conceitos de Física Elétrica

(potência elétrica, tensão elétrica, corrente elétrica), e também mobilizaram seus

conhecimentos para calcular o valor a ser pago pelo consumo de energia elétrica

durante o mês, utilizando a operação de multiplicação e depois a divisão para

converter no prefixo indicado junto à unidade de medida:

Figura 14 Resolução na lousa pelos grupos


125

5.2.3 O Problema 2 Que questões você pode criar e responder?

Neste problema gerador, os alunos foram convidados a vivenciar uma

situação em que havia dados numéricos ou respostas para as quais eles

necessitariam criar perguntas que pudessem ser respondidas por meio dos dados

fornecidos.



Um grande fabricante de eletroeletrônicos, que se utiliza de monitores de raios catódicos, decidiu reduzir a produção desse tipo de produto. Tal medida se deu pelo relatório apresentado pelo seu diretor de tecnologia. Dentre as diversas informações contidas no relatório estavam as seguintes:

Descrição técnica

Corrente elétrica num feixe de elétrons 200 A

Tempo em que os elétrons demoram a atingir a tela 1 segundo

Número de elétrons que golpeiam a tela 125.1013 elétrons

DDP 110 - 220 Volts ~

Que questões podem ser criadas com as informações dadas?

Problema 2: Descrição técnica do monitor

126

As orientações fornecidas para este problema foram: criar uma lista de

questões (mínimo 3) que pudessem ser respondidas, baseadas nas informações do

problema, e desenvolver ao menos uma resposta completa para uma das questões.

Assim, os objetivos do problema eram, a partir da compreensão do

enunciado, procurar, identificar, selecionar e interpretar informações relativas ao

problema utilizando seus saberes, e relacionar essas informações com a criação de

perguntas. As questões e respostas necessitavam de alguns conhecimentos de

Física Elétrica, conversão de prefixos e operações matemáticas básicas. O professor

percebeu que os alunos se sentiram mais à vontade e, pelas discussões em sala,

ficou evidente que haviam preparado questões de ordem técnica, simples e

objetivas.

Chamou a atenção um aluno que disse que preferia a outra metodologia,

pois ele aprendia melhor. Ele não permitiu que gravasse sua fala.

Outra fala foi:

AL: - É muito complicado, eu não sei o que fazer, pois não entendi. Como

assim, fazer questões? Prefiro esperar as respostas.

Entendemos que alguns alunos tiveram receio de se expor, inclusive por ter

que escrever na lousa as respostas preparadas pelo grupo. Isso continua

evidenciando sua insegurança diante da metodologia, em que é relevante partir do

que o aluno sabe e pode oferecer. Eles não estão habituados a isso. De qualquer

modo, a maioria dos grupos apresentou suas resoluções.

Após a discussão da plenária, ficou para o professor pesquisador esclarecer

a forma de operar com potência de base 10 (mais uma vez), e esclarecer dúvidas

quanto ao posicionamento da vírgula nas operações com os números racionais na

forma decimal. Muitos alunos, por estarem habituados a utilizar a calculadora,

esquecem, ou mesmo não sabem, que o ponto que aparece nas calculadoras

separa a parte inteira da parte decimal do número. Esse fato ocorre com grande

frequência por essas calculadoras estarem configuradas para o sistema

americano/britânico, e não para o sistema brasileiro.

A seguir, apresentamos uma resposta correta, desenvolvida por um grupo

de alunos:

127



5.2.4 O Problema 3 O que está errado?

Neste caso, o problema gerador apresentado estava resolvido, entretanto,

de forma incorreta. O erro poderia ser de conceito, de interpretação ou mesmo de

cálculo.

Problema 3: Compra de cabos para rede local - LAN25

25 LAN: Local Area Network Rede Local de Computadores.

Klauss possui um fio de comprimento 4m, com diâmetro de 6 mm e uma resistência de 15 m . Uma diferença de potencial de 23 V é aplicada entre as suas extremidades. Klauss necessita saber a corrente no condutor e também a resistividade do material do fio. Ele desenvolveu os seguintes cálculos:

1. Existe(m) alguma(s) coisa(s) errada(s) com o raciocínio do Klauss? 2. Mostre como você resolveria esse problema; 3. Caso o item 1 seja sim, então explique o erro cometido por Klauss.

128

A intenção era que os alunos identificassem os erros, apresentassem as

soluções do problema de maneira correta e, por fim, justificassem caso houvesse

erros. A orientação para o problema era identificar o erro e encontrar a solução

correta.

Os objetivos eram que os alunos: expressassem-se em linguagem

matemática, analisando e identificando erros envolvendo a utilização das operações

matemáticas básicas; aprimorassem a compreensão dos conceitos físicos (teorias

físicas da 1ª e 2ª Leis de Ohm); estimassem sem ordens de grandeza de medidas

que estão presentes em situações do dia a dia na área de tecnologia da informação,

em particular daqueles que trabalham com infraestrutura de redes computacionais.

Desse modo, neste problema, os alunos precisariam utilizar e compreender prefixos

para aplicar corretamente os valores nas fórmulas, manifestando, então, seus

conhecimentos para a resolução de um problema técnico. Os alunos foram

estimulados a manifestar seus conhecimentos prévios sobre potenciação na base 10

e suas propriedades, e sobre unidades de medida, juntamente com seus múltiplos e

submúltiplos, a analisar dados fornecidos e também a utilizar conhecimentos prévios

de Física Elétrica.

O professor pesquisador verificou que os alunos expressaram suas

dificuldades e apreensão neste outro tipo de problema, especialmente pela

quantidade de informações contidas e pela quantidade de conceitos que deveriam

ser mobilizados. Assim, o importante era possibilitar-lhes realizar raciocínios

diferenciados, evitando a mecanização das tarefas. Nessa aula, os alunos

perceberam a importância de possuir uma boa fundamentação teórica dos conceitos

físicos, conectados aos conceitos matemáticos básicos. Conjecturaram a respeito de

aplicações desse conteúdo no cotidiano e em outras áreas do conhecimento.

Apresentamos, a seguir, uma resposta correta, desenvolvida por um grupo

de alunos:

129



5.2.5 O Problema 4 Qual é a questão se você sabe a resposta?

A finalidade de trazermos este problema gerador foi visando que os alunos

pudessem desenvolver suas habilidades de análise, fazer estimativas acerca de

ordens de grandeza, de aplicação de conceitos e conteúdos matemáticos básicos na

resolução de problemas aplicados. Neste problema, também era importante para os

alunos saberem interpretar gráficos e realizar operações envolvendo porcentagens,

conteúdo bastante utilizado na área de infraestrutura de instalações elétricas.

130

Este problema apresentado aos alunos possuía instruções sobre o que era

para ser feito. As informações fornecidas tinham dois objetivos específicos: (1)

propiciar a aplicação dos temas físicos trabalhados na disciplina potência elétrica;

e (2) que o aluno pudesse interpretar e relacionar o texto com a criação de

perguntas. O desenvolvimento do trabalho seguiu o processo de ensino através da

Resolução de Problemas sugerido por Allevato e Onuchic (2009).

Para resolver este problema os alunos precisariam ainda: ler um gráfico; ler

números inteiros e racionais; analisar, interpretar e realizar cálculos com os valores

fornecidos em porcentagem.

Observamos que os alunos expressaram suas dificuldades neste problema

exatamente no tratamento das porcentagens. Mesmo sendo uma forma de

expressão de grandezas estampada em várias mídias, os alunos apresentaram

dificuldades.

Orientação: problemas que contêm dados, mas não as questões. São fornecidas respostas específicas para as quais os alunos devem elaborar questões apropriadas.

O gráfico de barras apresenta o histórico de consumo de energia elétrica de uma residência na cidade de São Paulo, durante os últimos 6 meses:

1. Qual é a pergunta se a resposta é 57? 2. Qual é a pergunta se a resposta é 150? 3. Qual é a pergunta se a resposta é 75,44%? 4. Qual é a pergunta se a resposta é 7,04%? 5. Qual é a pergunta se a resposta é 337%?

Problema 4: Análise da conta de energia elétrica

131

Na sequência, apresentamos o Protocolo 5, com uma resposta correta

apresentada pelos alunos, ou seja, em que a solicitação do problema foi atendida:

No próximo tópico, discorreremos sobre a preparação e as análises dos

dados.

5.3 Dialogando com a Literatura sobre Resolução de Problemas

Nesta seção, pretendemos expandir as análises realizadas, comparando as

evidências coletadas com o referencial teórico da pesquisa, ou seja, aquela literatura

que trata de Resolução de Problemas na Educação Matemática. Romberg (1992)

destaca que

pesquisador poderá expressar os resultados de seu trabalho de maneira ampliada,

por meio de um novo prisma, alargando as perspectivas para melhor perceber seus

dados.

Estaremos retomando os trabalhos discutidos no capítulo 1, que foram fonte

de orientação e inspiração em cada etapa desta pesquisa. Salientamos que algumas

referências foram adicionadas após a coleta de dados e o exame de qualificação,

visto que apareceram novos aspectos a serem considerados.



132

No semestre em que ocorreu a coleta de dados, a dinâmica das aulas foi

diferente, pois implementamos uma nova metodologia com alunos adultos,

acostumados a aulas tradicionais, em que o professor trabalha a teoria, apresenta

alguns exemplos de aplicações e, na sequência, insere uma lista de tarefas que

seguem o mesmo modus operandi, mecanizando a resolução de tais tarefas. Em

nosso caso, expusemos para os alunos o processo que utilizaríamos para algumas

aulas, sem nos distanciarmos do cronograma estipulado pela instituição de ensino.

Seria desafiador realizar as aulas com a metodologia de ensino de Matemática

através da Resolução de Problemas, pois, a partir da resolução e discussão de um

problema gerador e com base nos conhecimentos prévios dos alunos é que são

apresentados conteúdos novos e construídos os conceitos, tal como sugerem

Onuchic (1999); Allevato (2005) e Onuchic e Allevato (2011), e as orientações do

NCTM, especialmente os Standards 2000 (NCTM, 2000).

Ao optarmos por essa metodologia, passamos a perceber aspectos que nos

ajudaram a relacionar os dados alcançados com nossa questão problema da

pesquisa: Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao

resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da


Uma das questões norteadoras ligadas à questão problema é: como a

Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas atua na mudança de

postura dos alunos?

Ao realizarmos uma retrospectiva dos fatos na coleta de dados, merecem

destaque as dúvidas, receios e as dificuldades dos alunos com relação a essa nova

forma de trabalhar em sala de aula, aspectos que são descritos por Lampert (2001)

como manifestações de conhecimentos não bem compreendidos, que devem ser

retomados com os alunos, alterando sua postura no desenvolvimento desse novo

modo de trabalhar em sala de aula, para uma atitude de busca, compartilhamento e

troca de ideias com o objetivo de superação das dificuldades e esclarecimento de

dúvidas.

Para os alunos participantes desta pesquisa, as situações em que foram

inseridos eram diferentes daquelas com que comumente se defrontavam em seu

133

cotidiano de aulas na universidade. A mudança a que eles foram submetidos tornou-

os mais participativos no decorrer das atividades, florescendo em cada um a

confiança em si mesmo, e também no grupo, no momento de discutir as resoluções

construídas para os problemas propostos. Percebemos que alguns alunos se

tornaram mais participativos, buscando se aprofundar nos conceitos discutidos em

aula e expressar mais naturalmente suas dificuldades, sem receio de mostrar aos

colegas a ausência de conhecimentos sobre conceitos básicos de Matemática, pois

viam que quase todos tinham dificuldades parecidas.

Além disso, Carrilo (2000a) e Rigelman (2007) indicam que na resolução de

problemas, os alunos percorrem caminhos diferentes para obter aquilo de que

necessitam, em situações que exigem deles interpretações e aplicações,

possibilitando utilizar o empirismo por meio de acertos e erros, dedução, intuição e

formulação de ideias. Conforme recomendam Vale e Pimentel (2004), Krulik e

Rudnick, (2001) e Allevato (2005), essa abordagem foi trabalhada nessas aulas,

promovendo o questionamento e a reflexão acerca dos problemas geradores, antes

da conceituação realizada pelo professor pesquisador.

Assim como Cai e Lester (2012) destacam, foi importante para os alunos

buscarem o significado e interpretarem as soluções dos problemas, que realmente

foram problemáticos. Trabalhar através da Resolução de Problemas foi um desafio

interessante, pois a descoberta e a construção de novos conhecimentos, a partir de

conhecimentos anteriores, não são simples de serem executadas, em especial para

alunos habituados com o modelo de ensino tradicional. Esses alunos necessitaram

melhorar suas habilidades de observar, avaliar, concentrar-se e explorar, e ajustar

sua linguagem para resolver os problemas nessa metodologia.

Outros aspectos positivos comentados por D´Ambrosio (2006) e Van de

Walle (2009) referem-se a trazer à tona a criatividade dos alunos e sua habilidade de

resgatar em ensinamentos anteriores estratégias e significados de que necessitam

para resolver os problemas.

No ensino tradicional, em que o professor é o condutor do processo de

resolução das tarefas, os alunos seguem, em geral, incondicionalmente, suas

orientações, abandonando sua própria criatividade. Mas, quando o aluno assume o

134

comando das atividades, desenvolvendo um trabalho mais independente, aparecem

características interessantes em suas resoluções, variadas, diferentes daquelas

comumente aconselhadas pelo professor, além de deficiências que precisam ser

consideradas e superadas.

Ressaltamos que, embora os alunos tivessem estudado os conteúdos de

Física Elétrica, isso não bastou para lhes dar segurança na resolução dos problemas

aplicados envolvendo corrente elétrica, DDP (tensão elétrica), potência elétrica, 1ª e

2ª Leis de Ohm. O professor era questionado pelos alunos a todo o momento e por

quase todos os grupos. Mas esses conceitos foram mais bem compreendidos no

decurso das atividades, o que possibilitou avanços conceituais e,

consequentemente, na resolução dos problemas.

No decorrer das outras aulas, alguns grupos continuaram com essa

dificuldade, mas ela foi sendo visivelmente minimizada no desenvolvimento das

outras atividades propostas, o que sugere que estavam refletindo e tentando atribuir

um sentido ao que faziam. A partir de suas resoluções, especialmente durante as

plenárias, inclusive notações e representações eram debatidas e aprimoradas.

Onuchic e Allevato (2011) registram que esse é, de fato, um momento muito rico, e

talvez aquele em que a aprendizagem melhor se realiza.

Em nossas leituras, encontramos algumas acepções de Resolução de

Problemas, que se fazem presentes nesta tese. Entre as opções definidas por

Carrillo (2000a), a que melhor expressa o cerne da nossa pesquisa é a investigativa,

definida pelos autores como aquela que visa à aquisição de conceitos,

desenvolvimento de procedimentos e promoção de atitudes positivas com relação ao

contexto escolar, proporcionando ao aluno instrumentos que lhe deem autonomia

para aplicar os conceitos em diferentes contextos do cotidiano. Nesta concepção, os

problemas, em geral, não possuem processo e solução únicos, e são propostos para

ampliar o conhecimento já existente do aluno. Os problemas geradores propostos

tiveram fortemente essas características.

Outra acepção que também foi forte em nosso trabalho é dada por

Mendonça (1999), do problema como ponto de partida, funcionando como recurso

pedagógico, exposto no início do processo da aprendizagem e sendo seu objetivo a

135

construção de conhecimentos pelo aluno.

Alguns trabalhos aos quais tivemos acesso nos apresentaram alguns tipos

de problemas, tendo sido um dos aspectos que nortearam nossa pesquisa.

Procuramos não ficar presos a um só tipo. Identificamo-nos com os sugeridos por

Krulik e Rudnick (2001). Os autores associam a cada tipo de problema mencionado

um aspecto peculiar dentro do processo de resolução de problemas, e os diferentes

tipos indicados por eles foram utilizados em nosso estudo: Problema 0 O que você

faria?; Problema 1 Que número faz sentido?; Problema 2 Que questões você

pode criar e responder?; Problema 3 Que número está errado?; Problema 4 Qual

é a questão se você sabe a resposta? Essa variação nos tipos de problemas

propostos, diferentemente do que os alunos estavam habituados a resolver, impôs

dificuldades que configuraram aquelas atividades como verdadeiros problemas.

Autores, como Cai e Lester (2012), Onuchic e Allevato (2005), Van de Walle

(2009), D´Ambrósio (2006), NCTM (1989, 2000) e Carrillo (2000b), mostram que

uma das vantagens de ensinar e aprender através da Resolução de Problemas é

que há uma avaliação contínua dentro do processo, ou seja, o professor e os alunos

conseguem identificar, durante as atividades, o que ocorre em relação à

aprendizagem. Isso pode ser constatado nas resoluções escritas dos alunos e

durante as plenárias, onde a voz do aluno e as condições são respeitadas,

permitindo ao professor auxiliar os alunos a eliminarem dúvidas, o que não ocorre

em uma simples avaliação somativa periódica do tipo prova. Certamente, esses

aspectos estiveram fortemente presentes na experiência aqui relatada e analisada.

Expostos esses aspectos e destacadas as análises construídas a partir da

aplicação dos problemas geradores na metodologia indicada por Onuchic e Allevato

(2011), os dados sugerem que os resultados foram positivos em relação à

construção de conhecimento de Física Elétrica pelos alunos dos cursos de

Tecnologia.

136

5.4 A Organização e Preparação para Análise das Resoluções dos Problemas Aplicados

Ao relatarmos os fatos ocorridos durante a implementação da Metodologia

de Ensino e Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas

(seção 5.2), adotamos sua consideração construtiva e criativa dentro dos processos

de ensino-aprendizagem. Nesta seção 5.4, para analisarmos os erros cometidos

pelos alunos nas resoluções escritas, adotamos a perspectiva do erro com enfoque

de pesquisa Reafirmamos que a análise de erros pode ser entendida como um

processo de ensino ou como um método de pesquisa, sendo que ambos foram

adotados neste trabalho.

A organização dos problemas aplicados para a análise fez jus a uma série

de providências. O material escrito, inicialmente recolhido durante as intervenções,

foi armazenado em envelopes separados, correspondentes ao tipo de problema, e

separados por campus. Todos os campi foram codificados, recebendo, cada

problema, a indicação formada por uma letra e um número. Assim, G1C1 indicava

que era o primeiro grupo originário do campus 1.

Inicialmente, realizamos a leitura de todos os problemas aplicados

entregues, efetivando registros de acordo com campus, data da coleta, total de

grupos participantes, quantidade de acertos e de erros cometidos.

Para a análise aqui desenvolvida, foram considerados apenas os problemas

que apresentaram erros, sendo agrupados independentemente dos campi. Fizeram-

se necessárias sucessivas leituras como forma de detectar os erros de acordo com

os objetivos estipulados para cada problema e para a pesquisa.

As leituras a respeito de Análise de Erros sugerem categorizar os erros

pelos padrões existentes neles, podendo ser: individual, quando as pessoas

mostram regularidade no modo de resolver tarefas similares; e coletivo, quando

pessoas distintas cometem os mesmos erros em determinadas etapas das tarefas.

Devido a essa regularidade, diversos autores têm elaborado classificações de erros

na aprendizagem da Matemática como forma de melhor estudá-los. Utilizamos essa

sugestão dada pelos diferentes autores que estudamos, conduzindo-nos a construir

as categorias após analisarmos os erros cometidos pelos grupos, e a verificar suas

137

regularidades. Assim, as categorias surgiram a posteriori da aplicação do

instrumento de pesquisa.

Após essa primeira exploração realizada em todos os problemas, e com

categorias novas que surgiam a cada releitura, o material permaneceu em suspenso

por um algum tempo enquanto se faziam outras atividades. Ao relê-los, foi como

utilizar outros olhos, pois se tornou necessário refazer a categorização,

considerando aspectos novos que foram percebidos.

Nessa abordagem indutiva, as categorias não foram, como se vê, definidas

de antemão, mas resultaram dos dados, emergindo das resoluções dos problemas

aplicados.

Embora não tenhamos feito uma pré-categorização de erro, visto que as

categorias foram emergentes dos dados, não podemos descartar que a sua

construção foi condicionada pelas categorias identificadas nas pesquisas

consultadas sobre o assunto. Neste trabalho, destacamos os erros mais

significativos contidos no material coletado. Dessa maneira, a seguir, estão

desenvolvidas as análises dos problemas, que aparecem em ordem crescente (0 a

4) dentro de cada categoria.

5.4.1 Categoria 1 - Erros ligados à linguagem natural

Em nossa sociedade, a convivência com expressões que denotam a

linguagem da Física é muito mais comum do que se pensa. As pessoas, em geral, e

nossos alunos, em especial, comentam ou discutem (lâmpada de 100W, carregador

bivolt, a resistência do chuveiro, entre outras) no seu dia a dia situações envolvendo

conteúdos físicos/elétricos, sem necessariamente terem consciência do seu

significado.

Assim, para os alunos participantes desta pesquisa, essa categoria surgiu

para responder à seguinte questão parcial: Como os alunos percebem os conteúdos

de Eletricidade na resolução de problemas ligados ao seu próprio cotidiano?

Dessa forma, concentramos nessa categoria aqueles erros causados por

uma compreensão incorreta de símbolos e vocabulário matemático, ou ligados a

138

situações descritas em linguagem natural (linguagem cotidiana) a serem convertidas

à linguagem matemática ou física, ou vice-versa.

Algumas das respostas fornecidas pelos grupos de alunos aos problemas

propostos, e que, em nosso entendimento, enquadram-se nessa categoria, foram

selecionadas. Relembramos que o trabalho de resolução dos problemas nos grupos

sempre era registrado por escrito e entregue ao professor pesquisador. A seguir,

apresentamos alguns protocolos de resolução dos problemas selecionados para

análise.

O protocolo da Figura 17 corresponde à resposta ao Problema 0, escrito

pelo grupo 1 do campus 1:

Notamos que nessa resposta, o grupo demonstrou desconhecer a valoração

dos prefixos. As grandezas matemáticas são expressas por valores associados às

unidades, que, quando arroladas no sistema internacional de unidades, são

reescritas em função desses prefixos. Eles possuem nome, símbolo, referência em

potência de base 10 e representação decimal equivalente, como apresentado no

quadro 4.

Figura 19 - Protocolo 6: Resposta de G1C1 para o Problema 0.


139

Quadro 4 - Prefixos para potências de dez

Fonte: Adaptado de Young (2008, p. 412).

De fato, o prefixo giga é diferente do prefixo mega; o mega é diferente do

kilo, e assim por diante; entretanto, ao multiplicarmos o valor de 1 mega por 1.000

(103), chegaremos à conclusão de igualdade, ou seja, 1 giga é igual a 1.000 x 1

mega ou (109). A resposta apresentada no Protocolo 6 (Figura 9) fornece indícios de

que esse grupo conhece os prefixos: que giga é diferente de mega e mega é

diferente de kilo. Entretanto, desconhece as equivalências entre os prefixos por

ignorar o valor numérico do prefixo na base 10.

O grupo de alunos que deu essa resposta cometeu, assim, um erro,

informando que iria acatar a solicitação da empresa 1, desclassificando a empresa 2.

Esses aspectos estão ligados à conversão de um texto em linguagem natural

(enunciado do problema) para a linguagem matemática e física, necessária à sua

resolução. Ao pedir justificativas, o problema oferece ainda a oportunidade aos

alunos de voltarem para a linguagem natural para explicarem sua resolução.

Ressaltamos que no Ensino Básico, os alunos aprendem sobre algumas

unidades de medidas lineares, em geral, tendo como referência o metro; são

trabalhados também os conceitos de múltiplos e submúltiplos (prefixos).

Outra resolução para o problema 0, que nos chamou a atenção, foi

apresentada pelo grupo de alunos G4C3, no Protocolo 7 (Figura 10):

PREFIXO SÍMBOLOS POTÊNCIA DE DEZ EQUIVALENTE DECIMAL

Pico p 10-12 0,000000000001

Nano n 10-9 0,000000001

Micro µ 10-6 0,000001

Mili m 10-3 0,001

- - 100 1

Quilo k 103 1.000

Mega M 106 1.000.000

Giga G 109 1.000.000.000

Tera T 1012 1.000.000.000.000

140

Figura 20 - Protocolo 7: Resposta do G4C3 para o Problema 0


Aqui, consideramos que também se faz presente o aspecto da linguagem

escrita, em particular o da linguagem/notação matemática. Entendemos que esse

da compreensão do conceito de prefixo, poderiam escrever matematicamente, de

maneiras diferentes e sem alterar o valor matemático inicial, os fenômenos descritos

no problema.

No problema 2, apesar de a maioria dos grupos ter completado a tarefa de

forma positiva, outros mostraram suas dificuldades em expressar seus pensamentos

e escrevê-los de forma razoável a partir do que foi solicitado:

141



Como mostra o Protocolo 8 (Figura 19), notamos que o grupo trabalhou as

perguntas e respondeu a uma delas (1), mas de forma desconexa com o solicitado

pelo problema. O grupo formulou a segunda pergunta também fora do que havia

sido solicitado pelo problema; e por fim, o que deveria ser a terceira pergunta

restringiu-se a um parágrafo também sem vínculo com o solicitado. Nesse caso, o

erro pode ter sido causado por dificuldades de leitura e interpretação do texto do

problema.

Ainda com relação ao problema 2, temos a resposta fornecida pelo G3C3:

Figura 22 - Protocolo 9: Resposta do G3C3 para o Problema 2.


142

O grupo escreveu quatro itens e, em seguida, apresentou uma única

pergunta. A questão elaborada é confusa, referencia a unidade de medida e fornece

como resposta a conversão para potência na base 10. Entendemos que a pergunta

foi elaborada de forma equivocada, por não fazer sentido. Supomos que esse grupo

quis fazer a seguinte pergunta: podemos reescrever esses valores de forma

equivalente sem alterar o valor numérico da questão, empregando outra unidade de

medida? O mesmo ocorreu com o item 3, que parece expressar a mesma linha de

pensamento do item 1. Nele, os alunos expressaram corretamente os valores

numéricos, mas cometeram um erro de conceito. Esse erro será descrito na

categoria 4, assim como as respostas 2 e 4.

A resposta fornecida pelo grupo G1C1 por meio do Protocolo 10 (Figura 21)

nos mostra outro erro:



Nesse protocolo, o grupo apresentou somente uma questão, a qual foi

respondida com erro, deixando de formular as outras duas. O grupo descreveu o

raciocínio utilizado, inserindo corretamente a fórmula para responder à questão;

entretanto, deixou de acrescentar o valor numérico 106 do prefixo µ que acompanha

a corrente elét -6 A). Com esse erro cometido, temos

uma diferença no valor de 1.000.000 de vezes a mais. O mesmo é válido para a

outra operação apresentada pelo grupo. Esse protocolo nos dá pistas de que esses

alunos, como outros, não consideraram o valor numérico do prefixo.

Encontramos uma resposta no Problema 3 que caracteriza falta de

entendimento do problema proposto, e está exposta no Protocolo 11 (Figura 22):

143

Os alunos responderam à primeira pergunta com base no desenvolvimento

do item 2; entretanto, não fizeram exatamente o que lhes foi perguntado. Isso mostra

a relevância desses problemas diferenciados, propostos aos alunos, que os ajudam

a ter um raciocínio melhor e a elaborar respostas diferentes daquelas a que estão

habituados.

No problema 4, encontramos erros dessa categoria em dois itens da

resposta apresentada pelos alunos do G10C1:

Ao observarmos a primeira e a segunda perguntas do Protocolo 12 (Figura

23), percebemos que esse grupo não entendeu o texto do problema, que descreve o

histórico do custo de energia elétrica em uma residência, na forma de gráfico de

barras verticais, modelo esse utilizado pelas concessionárias de energia no Brasil.

Essa resposta sugere que esse grupo não montou sua questão de acordo com o

texto do problema. Percebemos que nesses itens, esse grupo não conseguiu

traduzir na linguagem usual uma informação fornecida em linguagem matemática.





144

5.4.2 Categoria 2 - Erros ligados a cálculos incorretos

Para essa categoria, procuramos responder à seguinte questão parcial: Que

tipos de erros matemáticos os alunos apresentam nas resoluções dos problemas?

Nessa categoria, reunimos aqueles erros que ocorrem quando cada passo

na realização do problema está correto ou responde à lógica interna do

procedimento esperado, entretanto, o resultado final não corresponde à solução

desejada em virtude de erros de cálculo apresentados na efetivação de operações

básicas, ou causado pela transferência equivocada de símbolos e números

envolvidos na situação.

Iniciamos por analisar a resolução do problema gerador 2, que o grupo

G3C3 apresentou:



Para essa categoria de análise, o foco será colocado no item 4. O grupo

apresentou a fórmula correta e inseriu o valor do numerador corretamente;

entretanto, ao selecionar o valor a ser inserido no denominador, considerou o valor

220. Neste caso, o grupo pode ter pegado novamente a tensão elétrica, que era de

220 V, ao invés de inserir o valor correto da corrente elétrica, que era de 200µA.

Esse erro pode ter sido a expressão de um mero engano na tomada de valores ou

de confusão entre conceitos de tensão e corrente elétrica.

145

Ainda utilizando o problema gerador 2, encontramos no Protocolo 14 (Figura

25) apresentado pelo grupo G7C4 a seguinte resposta:



Nesse protocolo, analisaremos inicialmente o item 4, pois, a partir desse

erro, existe um desencadeamento de erros nos itens 2 e 3. Pelo que podemos

observar, com relação ao item 4, o grupo realizou a conversão de 200µA para

200.10-6A e escreveu o número 200.10-6 na forma decimal como 0,002A. O correto

seria 0,0002ª; portanto, houve erro no momento de dividir 200 por 1.000.000.

Encontramos no problema 3 um protocolo em que o grupo descreveu todos

os passos para uma resolução adequada, mas cometeu um erro ao final.



Nesse protocolo, salientamos a resolução do item 2, na qual o grupo realizou

as operações necessárias aos dois subitens, I e II, do problema. Na primeira linha da

resolução, está o subitem I do problema, que mostra que o grupo não inverteu o

146

sinal do expoente (- 3) que acompanha a base 10 ao efetuar a operação de divisão

entre os números 23 e 15.10-3.

O erro ocorreu por não dominarem as operações e as propriedades relativas

à potenciação, em que o sinal de menos (-), neste caso, indica o valor inverso da

potência, ou seja, 10-3 = (103)-1 = Então, .

Por fim, na última passagem da resolução desse item 2, tentando justificar a

resposta do subitem II do problema, indicaram o cancelamento dos expoentes no

numerador e denominador, e acabaram por somá-los, fornecendo novos indícios de

não conhecerem as operações com potenciação, ou não pensarem nelas.

Ainda dentro dos protocolos do problema gerador 3, o grupo G9C4

apresentou a seguinte resposta:

147

Nesse protocolo, vamos nos ater ao cálculo efetuado pelo grupo para

determinar o valor da área da circunferência do fio, apresentado à direita, logo após

o enunciado. O grupo indicou os cálculos e procedimentos de forma correta, mas

deixou de efetuar a potência 32

Desse modo, os erros de cálculo observados nos protocolos são referentes,

especialmente, ao conteúdo potenciação e números racionais.

Já o Protocolo 17 (Figura 28) apresenta a resposta fornecida pelo grupo

G3C3 ao problema 4, mostrando erro de estimativa e de cálculo de porcentagem no

item 3:

Figura 29 - Protocolo 16: Resposta do G9C4 para o Problema 3.


148

Ao escolherem os meses de agosto e setembro para elaborarem a pergunta,

eles devem ter realizado alguns cálculos, pelo menos mentais, visto que os escritos

não aparecem.

Para a resolução do problema de forma correta, os alunos deveriam ler o

gráfico e, em seguida, analisar as respostas propostas, comparando-as com o

gráfico. Com base em conhecimentos anteriores porcentagem e leitura de gráficos

, os alunos passariam, então, a preparar questões que pudessem ser respondidas

pelas respostas fornecidas.

5.4.3 Categoria 3 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento matemático prévio

Essa categoria visa responder a outra questão parcial: Quais conteúdos

matemáticos da Educação Básica são manifestados nos erros cometidos pelos

alunos?

A construção dessa categoria de erros se deu devido à recorrência de dados

manifestando aprendizagem incorreta ou incompleta de fatos, procedimentos,

algoritmos e conceitos matemáticos da Educação Básica que interferem no

processamento adequado da informação dada ou na resolução do problema

proposto.

O Protocolo 18 (Figura 29) refere-se ao problema gerador 1, em que o grupo

introduziu os valores possuindo o conhecimento físico teórico previamente abordado

em aula. O grupo G5C4 também apresentou resolução com fatos interessantes que

valem nosso olhar:



149

Apesar de ter havido uma aula em que foi apresentada a teoria física

relacionada a este problema, a resposta fornecida por esse grupo indica que os

alunos não conseguiram obter uma expressão que descrevesse o quanto teriam de

pagar para a companhia de eletricidade para ter o no break funcionando.

Supostamente, este problema não deveria apresentar dificuldades em sua

X número de horas dia X número de dias do mês X o valor do kWh; a unidade de

potência Watt deveria ser convertida para kiloWatt, envolvendo resolução simples de

operações básicas trabalhadas no Ensino Fundamental.

Encontramos outro protocolo para a resolução do problema gerador 1,

apresentado pelo grupo G2C1, com a seguinte resolução:



150

Neste protocolo, o que chamou atenção foi o fato de o grupo ter inserido os

valores nas lacunas pertinentes, mas nas operações matemáticas efetuadas para

inserir tais valores, não houve coerência entre os resultados que seriam obtidos e os

valores selecionados. O registro das operações realizadas pelo grupo sugere que a

escrita está errada. Ao montar a operação de divisão, o grupo inverteu a posição do

dividendo e do divisor. Esse grupo ainda procurou resolver operações para encontrar

o valor final a ser pago, cometendo erro ao indicar o resultado 0,00029651 como

resultado da divisão de 0,29651 por 1000. Embora os alunos tenham escrito

(incorretamente) 0,0029651, todos os cálculos foram feitos com base no valor

correto e possivelmente utilizaram a calculadora. Entretanto, não souberam registrar

corretamente no papel o que a calculadora fez. Podemos questionar se eles não

sabiam empregar o cálculo em seu cotidiano.

Assim, esse grupo nos deu indícios de que há ausência do embasamento

matemático que envolve as operações básicas. Possivelmente o que ocorreu foi que

o grupo fez todo o cálculo na calculadora, mas não conseguiu escrever a construção

das operações de forma correta.

Figura 32 Protocolo 19: Resposta do G2C1 para o Problema 1


151

Em outro protocolo, do problema gerador 2, o grupo mostrou o seguinte:

O grupo não preparou questões a serem respondidas, conforme foi

solicitado. Realizaram algumas aplicações de fórmulas, mas não é possível saber se

as aplicações dessas fórmulas foram feitas para responder a perguntas pensadas no

grupo.

Entretanto, ao considerarmos os cálculos realizados, podemos ver alguns

erros cometidos com relação à utilização de conceitos matemáticos.

Para melhor entender nossa análise para este protocolo, vamos iniciar pela

utilização da fórmula da 1ª Lei de Ohm na primeira linha da resolução,

em que o grupo substituiu os valores de forma correta. Mas os erros ocorreram em

cadeia, iniciando por não indicar com o sinal (-) no expoente da base 10 ao efetuar a -6,

porém foi indicado pelo grupo como 103. Ainda, ao efetuar a multiplicação de 0,55

por 103 de forma errônea, indicou como resultado um valor 100 vezes menor.

Ressaltamos que esse grupo representou o número zero como é utilizado na

área de tecnologia (o zero cortado na diagonal - Ø), de forma inadequada para esse

contexto, que desenvolve um raciocínio matemático na resolução de um problema



152

de Física Elétrica; essa notação remete à simplificação de valores, que não foi

realizada por esse grupo.

Na resolução do Protocolo 20 (Figura 31), mais uma vez os alunos utilizaram

do tempo); porém, realizaram a operação da multiplicação de 200 por 1 e

escreveram 20 como resultado, desconsiderando o prefixo micro (µ = 10-6), que

acompanha o número 200. Na sequência, escreveram a fórmula para o cálculo de

carga elétrica (Q) a partir do número de elétrons e da carga elementar (e), mas ao

efetuarem a divisão de 20 por 125x103, mais uma vez desconsideraram o valor 103.

O grupo demonstrou não ter habilidade para efetuar operações aritméticas e

mostrou dificuldades em potenciação e suas propriedades. Esses erros relacionados

com conteúdos de Aritmética nos dão indícios da ausência de conhecimentos acerca

das operações matemáticas básicas.

Encontramos no problema 3 um protocolo em que o grupo descreveu todos

os passos para uma resolução adequada, mas cometeu um erro no final.

Neste protocolo, salientamos a resolução do item 2, no qual o grupo realizou

as operações necessárias aos dois subitens, I e II do problema. Olhando para a

última linha do item 2, notamos que o grupo iniciou a resolução selecionando a

fórmula correta e no momento seguinte, reescreveu a fórmula efetuando



153

a substituição dos fenômenos físicos, que estão em lados opostos na igualdade (R e

), desconsiderando as operações matemáticas envolvidas no 2º membro dessa

igualdade. Ou melhor, deixou transparecer que não utilizou as regras de

multiplicação para o outro lado da igualdade como divisão, e a divisão como

multiplicação; um erro muito comum nas aulas, em que os alunos substituem as

variáveis pelos valores numéricos fornecidos pelo problema e isolam a variável que

o problema solicita.

Apresentamos outro protocolo com a resolução do problema gerador 3, pelo

grupo G5C4:

Neste protocolo, nos itens 2 e 3, o grupo respondeu que havia um erro

relativo à não conversão de unidade de área (6 mm); ocorre que mm não é unidade

de área. Ainda no item 2, no momento em que substituíram as variáveis por seus

valores numéricos, utilizaram o valor do diâmetro (6 mm) dividido por dois, ou seja,

empregaram o valor do raio e o substituíram na fórmula como sendo a área. Essa

situação indica que o grupo possui deficiências de conhecimento acerca de

conceitos básicos de unidades de medidas de área e elementos de geometria

elementar, conhecimento nem sempre trabalhado na escola básica.



154

5.4.4 Categoria 4 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento físico prévio

Essa categoria visa responder a outra questão parcial: Quais são as

dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos na aplicação da 1ª e 2ª

Leis de Ohm através da resolução de problemas?

A construção dessa categoria de erros atende à convergência de passagens

registradas nas resoluções dos problemas, manifestando aprendizagem incorreta ou

incompleta de fatos, procedimentos, algoritmos e conceitos físicos que interferem na

obtenção da solução do problema.

Dessa forma, o protocolo 23 (Figura 34) se refere ao problema gerador 1,

em que o grupo G5C4 introduziu alguns valores:

O grupo, em sua escrita, afirmou que apenas três dos seis números

propostos possuíam relação com o problema. A resposta fornecida por esse grupo

nos mostra que houve dificuldade em transpor os conceitos de DDP (tensão

elétrica), corrente elétrica e de potência elétrica para uma aplicação do cotidiano de

um profissional da área de tecnologia, uma vez que não conseguiu calcular os

valores que são ma



155

No próximo protocolo, Figura 35, o grupo nos forneceu outras informações

sobre o problema 1, que pensamos ser importantes para este estudo:

No caso desse grupo, também enxergamos dificuldades em relacionar os

conhecimentos da teoria da Física com a realidade, não conseguindo analisar os

valores que deveriam ser dispostos nas lacunas. Destacamos o fato de os alunos

terem indicado o valor de 440A para a corrente elétrica, que é demasiadamente

grande para a situação descrita no problema.

Os indícios emergem do fato de o grupo de alunos não ter analisado as

relações existentes entre corrente elétrica, tensão elétrica e potência elétrica. Para

obter a potência, eles deveriam ter multiplicado o valor da corrente pelo valor da

tensão; isso realmente não foi cogitado pelo grupo, como é mostrado na resolução

apresentada.

Também, ao inserir o valor de R$ 1,18604 para o custo, o grupo demonstrou

que não compreendeu o significado de kWh (kilo Watt por hora), pois o valor

indicado se refere ao custo de operação por 4 horas, e não por 1 hora somente.

Desconsiderou, assim, o que foi comentado previamente em aula, antes da

aplicação desse problema, sugerindo falta de conhecimento de Física Elétrica por

parte desse grupo.

O protocolo 25 (Figura 36) apresenta a resposta fornecida pelo G3C4 ao

problema gerador 1.



156

Observamos neste protocolo que o grupo aparentemente introduziu os

valores sem se utilizar do conhecimento físico teórico previamente comentado em

afirmação esteja correta para este problema, o grupo não empregou a relação

física P = U. i para obter a potência, indicada erroneamente como 31,311456, o que

sugere falta de conhecimento teórico de Física Elétrica.

Com relação ao problema gerador 2, o grupo G3C3 apresentou a seguinte

resposta:





157

Ressaltamos que neste protocolo, vamos analisar o item 3, em que o grupo

realizou uma reescrita dos valores na base 10, acreditando que desse modo seria

ou melhor, consideraram que o número de elétrons poderia ser fornecido em C, que

representa a unidade de carga, sugerindo falta de conhecimento sobre esses

conceitos e suas respectivas unidades de medida.

Assim, o erro pode ser visto como uma valiosa fonte de informações, um

sinal, nem sempre muito claro, de que ele pode redirecionar o processo de ensino-

aprendizagem. Há a possibilidade de ser também uma fonte de motivação, uma

oportunidade para os alunos refletirem, argumentarem, discutirem e reverem seus

conhecimentos para uma melhor compreensão e uma maior familiaridade com o

raciocínio lógico, matemático e físico.

Pensamos que essas alternativas de categorização dos erros vão além de

diagnosticar, permitindo refleti-los como parte da construção de novos conceitos

matemáticos e físicos, ou de sua revisão, assim como da compreensão da natureza

e dos métodos da Matemática e da Física.

Tendo desenvolvido tais análises acerca dos dados, vamos considerar, na

seção a seguir, a literatura relacionada a esses aspectos.

5.5 Dialogando com a Literatura sobre Análise de Erros

Na seção anterior, referimo-nos aos erros que os alunos cometeram ao

responderem os problemas propostos. Foram necessárias algumas intervenções por

parte do professor pesquisador para que os alunos respondessem sem receio sobre

a forma como eles estavam enxergando cada problema proposto. Nossa intenção

era mostrar a importância de o professor dar ao aluno oportunidade para ele se

expressar, a necessidade de valorizar sua fala e, principalmente, de observar como

os alunos desenvolvem seu raciocínio ao registrarem as respostas dos problemas,

aproveitando o erro cometido como uma fonte da qual se podem extrair novos

conhecimentos e auxiliar os alunos a transporem barreiras de conhecimentos.

Assim, sentimos a necessidade de definir o erro para não ficarmos no senso

comum. Japiassu e Marcondes (1999) e Torre (2007) nos fornecem esse conceito,

158

que nos fez refletir sobre as implicações de considerar o erro dentro do contexto da

Educação e do nosso trabalho, conforme já explicitamos.

Seguindo a linha da Análise de Erros, Torre (2007), Cury (2006, 2007), Cury

e Viali (2009, 2011), Cury e Konzen (2006), Pochulu (2005), Radatz (1979), Rico

(1995) e Borasi (1985,1987) têm estudado as dificuldades e os erros cometidos

pelos alunos na aprendizagem de Matemática em geral, classificando e discutindo

essas dificuldades.

Em nossa pesquisa em particular, alguns dos erros cometidos pelos alunos

envolvem a Álgebra. Os erros cometidos e as dificuldades que esses alunos

possuem nessa área do conhecimento matemático, que apareceram nos problemas

resolvidos e entregues por eles, sugerem que tais dificuldades estejam associadas à

complexidade dos elementos que dão sentido à Álgebra, como a sintática e a

semântica envolvidas nos processos associados aos pensamentos oriundos da

própria natureza da Álgebra.

Com os alunos participantes desta pesquisa, verificamos também, em

algumas resoluções, erros que, como sugerem Buriasco e Silva (2005), relacionam-

se à leitura dos problemas propostos, envolvem Matemática e, podemos acrescentar

também, a Física, trazendo informações acerca de onde o aluno tem dúvida, do que

ele não soube interpretar, apesar de terem sido abordados em vários anos de sua

vida escolar os conteúdos de Matemática Básica.

Com frequência encontramos, em nossos protocolos e nas tarefas

trabalhadas em sala de aula, erros que são causados pela criação de novas regras

de transposição de termos a partir dos termos que são fornecidos pelas tarefas,

quando necessitam resolver uma equação. Essas situações são apontadas nos

estudos de Borasi (1985), Cury et al. (2009).

Nessas associações ou inferências, exemplificamos pela expressão

, em que o aluno entende que muda o sinal e inverte a operação

matemática; nesta outra expressão, temos . Por desconhecer o

processo da igualdade em inserir valores que não alterem o teor da igualdade,

, e então, obtém . Esse aspecto foi descrito por

159

Corral (apud TORRE, 2007), esclarecendo que o erro de compreensão ocorre

quando não se conhecem claramente as regras.

Os erros e as dificuldades em Matemática ocorrem, em geral, por expressiva

quantidade de regras de transformação utilizadas nas equações e que não têm

validade geral. Por outro lado, enquanto as regras válidas para determinada situação

são poucas, é também verdade que os alunos tendem a sobrecarregar a memória

com muitas delas, aplicando-as mecanicamente, pois nem sempre as entendem.

dividindo; se está somando, passa subtraindo; se está como potência, passa como

-nas sem saber que são versões simplificadas das operações

aplicadas a igualdades elementares, e se perdem em várias transposições de

termos e cálculos quando têm que resolver equações ou expressões, conforme

descrito nos tipos de erros fornecidos por Torres (2007), Cury (2006), Pochulu

(2005) e Rico (1995).

Outra área da Matemática em que os alunos têm apresentado dificuldades,

neste tipo de pesquisa, é a Geometria, por envolver uma diversidade de conteúdos,

entre eles: perímetros, áreas, volumes e projeções. Complementando, alguns

estudos apontam para a proporcionalidade, o Teorema de Thales e o Teorema de

Pitágoras, por exemplo.

Um desses estudos foi realizado por Leiva e Cury (2010), em que são

apresentados dados relevantes a respeito do ensino de Geometria, e se questionam

do mesmo modo como também o fazem outros autores: será que a Geometria está

efetivamente presente nas salas de aula, principalmente na Educação Básica? Por

esse e outros trabalhos, notamos as deficiências dos alunos em Geometria. Na

pesquisa que desenvolvemos, o conceito de área e diâmetro aparece na 2ª Lei de

Ohm, em que pudemos verificar as deficiências acerca desse conteúdo matemático

nos protocolos entregues pelos alunos. Ao utilizarmos a análise de erros para

analisarmos as resoluções do problema 3, verificamos que a falta de domínio desses

conceitos continua nos alunos, mesmo quando ligados a novos conteúdos,

deixando, dessa forma, lacunas em cadeia. Em nosso caso, utilizamos conceitos de

área, diâmetro e raio.

160

Assim, para Cury e Cassol (2004), é importante um trabalho especial com a

pois, em muitos casos, os alunos não os dominam de modo suficiente para a

compreensão do novo conteúdo a ser ensinado.

Borasi (1985) aponta que os erros dos alunos são causados pelas

dificuldades de aprendizagem deles e/ou de falha nas técnicas de ensino.

Entretanto, se o aluno sequer compreende o que um problema deseja, seus erros

serão sistemáticos, ou melhor, ocorrerão em situações análogas, por não se sentir

desafiado a compreender os conceitos matemáticos envolvidos na atividade

proposta.

Peduzzi et al. (1992) concluíram que os alunos, após fazerem a leitura de

um texto referente à história da Física Mecânica, tiveram um bom desempenho na

resolução dos problemas envolvidos na avaliação, sugerindo que os alunos tenham

direcionado seus esforços para superar os erros cometidos anteriormente e as

dificuldades inerentes aos problemas e à disciplina.

Do que foi analisado, uns poucos erros em conteúdo de Aritmética foram

detectados, os quais são estudados pelos alunos dos anos iniciais, como

relacionado por Cury e Silva (2008), Pochulu (2005) e Borasi (1987). Podemos

perceber que os erros cometidos pelos alunos desta pesquisa decorreram de

dificuldades relacionadas à regra de sinais e operações com números decimais.

Torre (2007), Cury e Konzen (2006), Pochulu (2005) e Rico (1995) apontam

para alguns tipos de erros melhor discutidos e descritos por nós no capítulo 2.

Inspirados por esses estudos, também nós estabelecemos categorias de erro,

procurando agrupar aqueles que mais predominaram nos protocolos entregues pelos

alunos, estabelecendo laços entre esses documentos produzidos por eles e as

reflexões derivadas das leituras realizadas. Esse processo serviu para que

pudéssemos entender e levantar hipóteses a respeito dos erros cometidos nas

resoluções dos problemas. Com relação à análise do erro, foram percebidas

algumas dificuldades em adotá-la como um processo de pesquisa, e o estudo do

erro na aprendizagem tem sido um ponto de interesse permanente ao longo dos

últimos tempos, como descrevem Radatz (1979), Rico (1995), Pochulu (2005) e Cury

161

(2007).

Para nossas análises, consideramos, dentro das categorias, os erros que

identificamos nas resoluções escritas dos problemas resolvidos por alunos do 3º

semestre de cursos tecnológicos com relação aos diferentes conteúdos matemáticos

abordados no Ensino Fundamental, no Ensino Médio e no próprio Ensino Superior.

Para Torre (2007) e Cury (2007), o erro somente possui valor se for seguido de uma

reflexão, permitindo estabelecer uma aproximação com as possíveis causas que

levam esses alunos a cometê-lo sistematicamente. Em nossa pesquisa, procuramos

refletir sobre cada protocolo entregue pelos grupos de alunos, observando se e onde

é necessário cuidar para que haja evolução na aprendizagem. Cury e Silva (2008)

comentam que o erro também está ligado aos processos de ensino e aprendizagem,

sinalizado pelas dificuldades apresentadas pelos alunos, e que professores, ao

utilizarem estratégias de ensino inadequadas, não auxiliam esses alunos a

superarem essas dificuldades.

Tal como Allevato e Onuchic (2009), consideramos problema gerador a

tarefa que os alunos deveriam desenvolver; e o professor pesquisador

intencionalmente propôs problemas direcionados à área de tecnologia da informação

envolvendo conteúdos de Física Elétrica, gerando novas questões e acarretando

implicações positivas para a Resolução de Problemas. Especificamente nesta

pesquisa, observamos outras linguagens além da usual e da matemática,

coexistindo e emergindo nos problemas trabalhados pelos alunos.

Esta característica ocasionou para esses problemas a necessidade de

considerar a linguagem técnica específica dessa área da tecnologia, que também

consideramos como linguagem usual, que seria traduzida em linguagem matemática

para interpretar a realidade. Surgiu também, em nosso caso, a linguagem da Física,

pelo fato de configurar os problemas desenvolvidos pelos alunos e por fazer parte do

ambiente em que convivem.

Para Carvalho et al. (1992), dentro do ensino de Física, os problemas, ao

invés de se tornarem um veículo metodológico para construir e aprofundar

conhecimentos, têm se tornado uma forma de reforço dos erros. Os autores

ponderam sobre as muitas análises realizadas a respeito de problemas resolvidos

162

nos livros texto ou pelos professores, em que se verifica o operativismo, ou seja, é

feito um tratamento superficial dos conceitos. Em nossa pesquisa em particular,

procuramos fazer o inverso do que esses autores apontam em seu trabalho, pelo

fato de tomarmos consciência das deficiências apresentadas nas aulas, procurando,

através da resolução de problemas, mostrar a importância da Física, em especial, a

Física Elétrica.

Houve dificuldades na interpretação, algo que acontece com uma parte dos

alunos de cursos da área de Ciências Exatas, expondo o quanto foi difícil para eles

transcreverem para a linguagem matemática as sentenças propostas em linguagem

usual dos contextos de aplicação inseridos nos problemas geradores.

Supostamente, tais dificuldades evidenciam falhas no entendimento de conteúdos de

Matemática do Ensino Fundamental, bem como de conteúdos de Física Elétrica do

Ensino Médio.

Em nossa pesquisa, observamos que em alguns momentos, os alunos se

apresentavam um pouco tensos ao resolverem os problemas. O envolvimento de

duas disciplinas (Matemática e Física) das quais, em geral, esses alunos têm muito

medo, pode ter contribuído para essa tensão. Nikerson, Perkins e Smith (apud

TORRE, 2007) informam sobre erros cometidos por alunos relacionados às atitudes

afetivas e emocionais, os quais, para eles, tornaram-se objeto de estudo. Os

pesquisadores sugerem que as dificuldades associadas com atitudes afetivas e

emocionais constituem fatores importantes a serem considerados.

Lampert (2001) explica que alguns erros são decorrentes da crença,

presente nos alunos e em muitas outras pessoas de dentro e de fora do ambiente

escolar, de que a Matemática da escola é diferente e mais difícil do que a

Matemática presente no cotidiano. Disso resulta que na resolução de problemas

aplicados, os alunos cometem erros por não associarem o conteúdo escolar em

questão à situação prática à qual ele se relaciona. Os protocolos analisados nesta

presente pesquisa ilustram esse aspecto.

Finalmente, devemos reconhecer que muitos dos erros que os alunos

cometem em Matemática não são devidos, especificamente, ao assunto que está

sendo desenvolvido, mas sim, às lacunas de conhecimentos prévios que são

163

movidos para o novo conteúdo a ser abordado, e descrito por Torre (2007) como

categoria didática. Esse aspecto se fez fortemente presente nos dados construídos

na pesquisa relatada na presente tese.

165

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Resolução de Problemas

Como se apresenta a Análise de Erros na pesquisa

166

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O que está agora provado foi uma vez imaginado.

William Blake26

Conforme foi narrado na Introdução, esta pesquisa nasceu a partir de

inquietações acerca dos erros e dificuldades dos alunos com relação à Matemática

aplicada em aulas de Física, que, neste caso, foi no campo da eletricidade, surgida

durante minha trajetória profissional como educador. Por este motivo, nosso trabalho

teve a intenção de aprofundar os estudos sobre Análise de Erros.

Agregamos às análises dos erros uma metodologia que auxiliasse no

desenvolvimento das atividades, a Metodologia de Ensino através da Resolução de

Problemas. Desse modo, o embasamento teórico no qual está apoiada esta

pesquisa abrange dois eixos temáticos: a Análise de Erros e a Resolução de

Problemas.

A pesquisa foi desenvolvida com alunos do 3º semestre de dois cursos de

nível superior de Tecnologia, na área de redes e Internet, em uma universidade

privada da cidade de São Paulo.

O que nos motivou e orientou nesta pesquisa foi a pergunta geral: Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da Resolução de Problemas?

Escolhemos a metodologia de pesquisa qualitativa e utilizamos pesquisa

participante, observação participante e análise de documentos. Os dados estão

registrados em diário de campo, fotografias, audiogravações e nos documentos

analisados, que são os registros escritos dos problemas geradores resolvidos pelos

alunos.

26 (1757-1827), poeta inglês, no livro The Marriage of Heaven and Hell.

167

Para a realização da pesquisa de campo, foi considerada a ementa da

disciplina a ser cumprida no decurso das aulas que utilizamos na aplicação do

instrumento de pesquisa. Para tal, criamos problemas geradores de Física Elétrica,

aplicados ao cotidiano dos alunos. Os problemas foram aplicados seguindo a

perspectiva da metodologia de ensino através da Resolução e Problemas. Ela

permitiu aos alunos saírem do estado passivo, de meros espectadores ou

aplicadores de algoritmos (fórmulas) que lhes eram repassados, para se tornarem

mais ativos, mobilizando conhecimentos prévios e libertando-se do mecanicismo.

Muitas vezes, as salas de aula possuem um número significativo de

alunos com elevado grau de rejeição e/ou frustração com a Matemática. Muitos a

veem como uma ciência fria e austera, que dá pouco espaço para a criatividade.

Expressões como "isto não é para mim", "muito difícil", "eu nunca vou entender

essas coisas", entre outras, são conhecidas por diversos professores de Matemática.

Esses sentimentos podem resultar de uma falta de confiança em seu próprio

desempenho, o que leva o aluno a desistir antes mesmo de começar. Desse modo,

com nossa pesquisa, criamos um canal de comunicação mais aberto, dando voz ao

aluno e mostrando que ele é capaz de tomar para si a responsabilidade pela

construção de novos conhecimentos, valendo-se de seu saber prévio e de sua

experiência, e transitando entre a linguagem usual e a linguagem matemática.

A metodologia que adotamos é diferente da que usualmente é proposta nas

salas de aula, em que o professor expõe o conteúdo, apresenta alguns exemplos, e,

em seguida, os alunos reproduzem o que lhes foi apresentado, desconsiderando a

capacidade dos alunos de refletir, interpretar, criar e concluir por si mesmos sobre o

conteúdo desenvolvido. Desse modo, um dos intuitos de nossa pesquisa foi

entender como o aluno trabalha em sala de aula com uma metodologia de ensino

que, por meio de problemas, ajuda-o a analisar alternativas, conhecidas ou não,

para solucionar problemas com seus conhecimentos prévios, construindo, assim,

novos conhecimentos.

Procuramos desenvolver nas aulas um clima cooperativo de investigação, de

exploração e descobertas entre os alunos, mostrando que mais importante que

acertar as resoluções dos problemas era que apresentassem o raciocínio e

estratégias utilizadas no desenvolvimento, para que pudéssemos, caso houvesse

168

algum erro, analisar e discutir com a classe e obter uma ou mais soluções acertadas.

Isso nos possibilitou perceber que o trabalho em grupo gerou a mobilização e a

produção de novos conhecimentos, tanto relativos aos conteúdos físicos envolvidos,

abrindo a oportunidade de arquitetar e compreender outras estratégias que foram

consideradas pelos colegas, como para corrigir e entender os erros cometidos no

momento em que buscavam diferentes alternativas.

O pouco tempo que tivemos para desenvolver esse trabalho possivelmente

não foi suficiente para sanar, por parte dos alunos, as lacunas existentes com

relação a alguns tópicos matemáticos do Ensino Básico. Notamos avanços e boa

aceitação, por parte dos alunos observados, durante as resoluções e plenárias dos

problemas propostos. A postura dos alunos no decorrer desta pesquisa foi mudando,

e eles se tornaram mais participativos na medida em que eles passaram a confiar

mais em si mesmos, e no grupo ao qual estavam inseridos, no dia em que

aplicávamos os problemas e realizávamos as plenárias. Muitos alunos passaram a

falar mais de suas dificuldades, o que fez florescer erros conceituais de Matemática

e de Física Elétrica, anteriormente estudadas nos Ensinos Fundamental e Médio.

Nossas aulas foram dinâmicas ao trabalharmos com a metodologia de ensino

através da Resolução de Problemas, proporcionando maior interação entre os

alunos no momento em que eram desafiados e motivados a resolver os problemas,

partindo sempre de seus conhecimentos prévios, gerando, dessa forma, um

ambiente de aprendizagem mais acessível e expressivo. De acordo com relatos dos

alunos, alguns poucos acharam difícil estudar com essa metodologia de ensino.

Entretanto, houve outros que aprovaram essa nova forma de se trabalhar em sala de

aula.

O fato é que desenvolver um trabalho com essa metodologia de ensino não é

algo simples; demanda maturidade e abertura a novas ideias por parte do professor

para esboçar os problemas de acordo com o conteúdo e o objetivo que se pretende

atingir, exigindo um tempo maior para sua preparação.

Nossos alunos falam e discutem conceitos físicos e matemáticos

diariamente sem perceber. No entanto, em nossa coleta de dados, quando havia a

necessidade da formalização para resolver um problema, percebemos a dificuldade

169

que os alunos possuíam para extrair da linguagem natural as informações

necessárias para estruturar na linguagem matemática e/ou física a resolução aos

problemas propostos, mostrando fragilidade em compreender e aplicar conceitos

matemáticos e físicos. Alguns dados mostraram que os alunos, mesmo possuindo

coerência na estruturação do problema, cometeram erros de cálculos, não atribuíram

sentido aos números, não consideraram um sinal, entre outras constatações.

Verificamos ainda que os alunos possuem uma formação básica

matemática deficitária, inclusive em alguns conceitos matemáticos do Ensino

Fundamental que estavam inseridos nos problemas. Assim, alguns conteúdos se

tornaram uma barreira para alguns grupos resolverem os problemas, como foi o

caso das propriedades de potenciação, regras dos sinais, operações algébricas na

resolução de equações de acordo com o princípio de equivalência de igualdades,

porcentagem e conteúdos de Geometria.

Também testemunhamos que os alunos convivem com a Física Elétrica

em seu cotidiano, mas possuem deficiências em lidar com algumas leis que são

importantes para sua vida profissional. É o caso da 1ª e 2ª Leis de Ohm, que se

apresentaram nos problemas e fizeram emergir a dificuldade que esses alunos

possuem com esse conteúdo, mesmo tendo aprendido no Ensino Médio. As

unidades de medida são também parte das dificuldades ou das carências de

conhecimentos dos alunos, que se mostraram pelos dados coletados. Com base nos

dados recolhidos, inferimos que eles manifestaram dificuldades na interiorização dos

conceitos de Física Elétrica, bem como na compreensão do próprio processo de

resolução dos problemas envolvendo Matemática. Ressaltamos ainda que os dados

apontaram que os alunos possuem dificuldades em fazer associação da realidade

com a Matemática e com a Física, e isso está presente e se faz necessário em seu

cotidiano. Consideramos que essas dificuldades estão ligadas à atribuição de

significado aos conteúdos trabalhados em sala de aula. Nesse sentido, a experiência

realizada para o desenvolvimento da presente pesquisa representou relevante

contribuição com o Ensino através da Resolução de Problemas aplicados.

A partir desta pesquisa, consideramos importante diagnosticar e tratar com

mais seriedade as situações escolares que envolvem o erro, dedicando um tempo

maior para saber como os alunos pensam, discutindo com eles a respeito de suas

170

concepções erradas e mostrando-lhes situações matemáticas que os ajudem a

reajustar seus conceitos e ideias. Desse modo, para o aluno adquirir um novo

conhecimento, supõe-se que haja um significado para esse aluno. O ensino deve

considerar perguntas que ele mesmo se faça, buscando por alguns conhecimentos

que já possua, assumindo a responsabilidade da construção de novos saberes,

considerando os problemas como seus, e não do professor.

Hoje, percebemos que o conhecimento a respeito dos erros, por parte dos

professores, é importante para que lhes forneça subsídios, auxiliando-os a

compreender a forma como os alunos interpretam e utilizam procedimentos

diferentes para resolverem os problemas, e a aplicar melhores estratégias de

correção das tarefas. Temos nos erros uma fonte geradora de novos conhecimentos,

ajudando os professores, também, a organizarem estratégias gerais e específicas

para melhor conduzirem o ensino e aprendizagem da Matemática, insistindo em

aspectos que geram maiores dificuldades.

Ao recordarmos os momentos vivenciados durante a aplicação dos

instrumentos, parece-nos óbvio que é fundamental aceitar a complexidade das

dificuldades dos alunos na aprendizagem de Matemática e de Física Elétrica. Tais

dificuldades se apresentam nos erros cometidos pelos alunos, tendo suas causas

nas mais diversas situações de aprendizagem. Isso reforça nossa convicção de que

o ensino deve possuir elementos de análise desses erros.

Mesmo com muitas intercorrências e dificuldades, o conhecimento adquirido

no processo de vivenciar esta pesquisa foi muito enriquecedor. Pudemos observar

em nossa pesquisa que, ao adotarmos uma metodologia de ensino diferente, a partir

da aplicação de problemas geradores, os alunos tiveram a oportunidade de

conhecer um caminho novo para aprender Matemática e Física, e perceberam,

durante as atividades propostas em sala de aula, que o início para o ensino, a

aprendizagem e a formalização de conteúdos novos, ou mesmo a retomada de

conteúdos anteriores, podem ser baseados em problemas. E que, depois de

resolvidos pelos alunos, se forem constatados erros, os problemas se tornam aliados

importantes para que possam transpor esses erros.

171

Este trabalho, então, se distingue de outros quando destaca as análises dos

erros manifestados pelos alunos durante a resolução de problemas. Os alunos

demonstraram estranheza e houve um conflito gerado pela necessidade do registro

escrito e do raciocínio desenvolvido passo a passo para obterem as soluções. Mas

isso foi essencial para que, posteriormente, a interpretação alcançada pela análise

se constituísse em um processo legítimo para apurar e discutir algumas das causas.

A base deste trabalho está na comunicação, reflexão e no diálogo com e entre

os alunos, elementos fundamentais tanto para a compreensão da metodologia de

ensino e aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas, quanto

para a construção das categorias de análise de erros. Enfatizamos, enfim, que este

trabalho propõe metodologias de ensino alternativas, possíveis de serem aplicadas

em sala de aula, utilizando o conteúdo programático da instituição escolar, nas aulas

de Física ou mesmo de Matemática, para aqueles professores dispostos a repensar

suas práticas.

Nossa expectativa é que essas ideias sejam expandidas por meio de outras

pesquisas, que tratem de questões que ficaram sem resposta no desenrolar da

nossa, e que deixamos como sugestões:

Como aproveitar os erros como elementos fundamentais para desenvolver

uma disciplina?

Qual é a natureza dos erros matemáticos apresentados pelos alunos?

Como empregar o erro como parte do processo de construção de conceitos

matemáticos?

Pensamos que as sugestões sejam relevantes à Educação Matemática e

desejamos que o presente trabalho impulsione a realização de futuras pesquisas

visando aperfeiçoar, ou mesmo inovar e ampliar o ensino de Matemática, para que

possamos auxiliar os alunos a aprenderem, por meio da compreensão significativa,

os conceitos matemáticos desejados, minimizando o ensino mecanizado, largamente

praticado em nossas escolas (Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior) por

professores que insistem em ensinar Matemática como um conjunto de fórmulas e

regras.

172

Nossa pesquisa aponta para um ensino de Matemática que não se restringe à

formação de alunos que saibam apenas memorizar, classificar e manipular fórmulas,

como coadjuvantes do processo de ensino e aprendizagem, mas que forma

cidadãos críticos, criativos e que sabem resolver problemas.

Assim, esperamos que esta pesquisa possa contribuir e permitir a reflexão

sobre a prática docente, da mesma forma que me proporcionou um acentuado

amadurecimento como educador ao repensar as minhas atitudes e os meus ideais

em relação à docência. Também me levou a compreender as reais

responsabilidades e os compromissos de me tornar um pesquisador. Essas

mudanças me fizeram acreditar que pesquisar não é apenas um ato ilustre para

cumprimento de uma exigência acadêmica, mas uma questão de cidadania.

Pesquisar me proporcionou conhecer diversos trabalhos, entender melhor a

importância do embasamento teórico e ter consciência do valor de um trabalho

acadêmico. Além disso, esta pesquisa me trouxe um verdadeiro fascínio pela vida

acadêmica, levando-me a participar de palestras, encontros e congressos locais,

regionais, nacionais e internacionais, o que me permitiu estar próximo de renomados

autores e novos pesquisadores, possibilitando a troca de experiências e

conhecimentos com os meus pares.

O contato com a metodologia de ensino e aprendizagem de Matemática

através da Resolução de Problemas e da Análise de Erros se deu como professor e

pesquisador, permitindo trabalhar em sala de aula com duas vertentes que sempre

apreciei, mesmo antes de conhecer autores e trabalhos. Fica um sentimento de

alívio, misturado com felicidade, por ter agora rumos bem fundamentados e dirigidos,

sabendo que não estou só neste caminho.

Entendemos que as instituições de ensino possuem uma ementa pré-

estabelecida e que necessita ser cumprida e, via de regra, já vem estabelecida na

programação das aulas. Assim, nem sempre é possível trabalhar em todas as aulas

utilizando essas metodologias. Entretanto, é viável trabalhar alguns tópicos

utilizando a resolução de problemas e discutir os erros apresentados pelos alunos,

mesmo que para isso haja a necessidade de sacrificar alguns itens do plano de

ensino da instituição.

173

De certo modo, mais relevante do que cumprir uma formalidade, a elaboração

desta tese pretende oferecer a outros a possibilidade de refazerem o nosso caminho

e, assim, terem a oportunidade de avaliar com mais segurança as observações que

fizemos. Apesar das dificuldades, este empreendimento revelou-se sempre

instigante e desafiador.

Por fim, sinto-me profundamente realizado e grato por ter tido o privilégio de

investigar, aprender, aplicar e rever meus conceitos sobre o papel do professor e

sobre minhas concepções de ensino e aprendizagem utilizando a Análise de Erros e

a Resolução de Problemas.

175

REFERÊNCIAS

ABDELMALACK, A. O Ensino-aprendizagem-avaliação da Derivada para o curso de Engenharia através da Resolução de Problemas. 2011. 175 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, 2011.

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185

APÊNDICES

186

APÊNDICE A

187

Aos alunos dos cursos de Tecnologia de Redes de Computadores e FEGAIRC da

Universidade.

TERMO DE CONSENTIMENTO

Este termo de consentimento pretende esclarecer aos alunos dos cursos de Tecnologia de Redes de Computadores e FEGAIRC - 3º semestre - da Universidade _________ os procedimentos adotados em minha pesquisa de doutorado, que está sendo desenvolvida na Universidade Cruzeiro do Sul, e a forma de utilização dos dados que serão coletados. Tem o objetivo de deixar o mais transparente possível à relação entre os envolvidos e o tratamento e uso das informações que serão colhidas.

O contexto da pesquisa será a realização de uma sequência didática prevista em oito aulas para alunos dos cursos supracitados, prevista para o segundo semestre de 2011.

A pesquisa será realizada pelo pesquisador e as atividades, bem como as impressões do pesquisador serão gravadas, fotografadas e transcritas, assim como os trabalhos escritos realizados pelos alunos serão analisados. Estes dados servirão como material para uma pesquisa que procura entender melhor a aprendizagem do estudo dos conceitos de corrente elétrica, diferença de potencial, resistência e potencia por meio de resolução de problemas bem como a análise dos erros matemáticos cometidos nas tarefas que envolvem tais tópicos. Os registros serão feitos preservando-se a identidade dos sujeitos em sigilo através de pseudônimos.

As informações provenientes das análises desses dados poderão ser utilizadas pelo pesquisador em publicações, eventos científicos e texto da tese e divulgadas a todos aqueles que se interessem pela pesquisa na forma acima indicada.

_________________________________________________

Pesquisador: Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos

_____________________________________________________________

Nome do Aluno:________________________________________________

RA:____________________Campus_______________________________

Pseudônimo pelo qual deseja ser identificado:________________________

188

APÊNDICE B

189

Roteiro de Atividades para Coleta de Dados 2011 2º Semestre

Eleger a estratégia da pesquisa é uma etapa bem importante para que a coleta de dados se dê de maneira coerente e objetiva. Desenvolvendo Diferentes Habilidades de Pensamento por Meio da Resolução de Problemas Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores 2011 -2º semestre.

Objetivo do Problema: Saber expressar-se corretamente na linguagem matemática,

identificando grandezas matemáticas que correspondem ás situações do cotidiano na área

de tecnologia da informação, utilizando de prefixos, sendo capaz de relatar os resultados de

uma leitura técnica, uma inspeção, uma entrevista com um especialista, descrevendo no

contexto conhecimentos adequados.

Pré-requisitos: Possuir conhecimentos sobre potenciação na base 10, saber unidades de

medida.

Datas da aplicação: MM (matutino) 01/08 # STO (matutino) 03/08 # VLM (noturno)

10/08 # VRG (matutino) 17/8

PROBLEMA 0 O QUE VOCÊ FARIA? Determinada empresa pública, seguindo a legislação em vigor - Lei Federal nº 8.666/93 - LEI DE LICITAÇÕES E CONTRATOS ADMINISTRATIVOS na modalidade tomada de preços para compra de equipamentos de informática, publicou em seu sitio e no Diário Oficial um edital de licitação. Esse edital se trata da aquisição, dentre outros suprimentos de informática, de 530 notebooks, com as seguintes características técnicas:

Clock: 1,3 Ghz; Cache: 3MB; Memória: 3 GB Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM

Dentre as empresas que se apresentaram para fornecer os notebooks, duas foram pré-selecionadas por estarem com toda a documentação da empresa que é exigida por lei, em ordem, apresentando as seguintes características técnicas:

EMPRESA 1 EMPRESA 2 Clock: 1,3 GHz Clock: 1300 MHz Cache: 3MB Cache: 3000 KB Memória: 3GB Memória: 3000 MB Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM


Na abertura dos envelopes o representante da empresa 1 se posicionou pela desclassificação da empresa 2, alegando que as especificações não estavam de acordo com a licitação. Como organizador da licitação você acataria ou não a solicitação da empresa 1?

Descreva sua(s) justificativa(s).

190

PROBLEMA 1 - QUE NÚMERO FAZ SENTIDO?

Objetivo do Problema: Compreender enunciados que envolvam códigos e símbolos físicos, que estão presentes em manuais de instalação e utilização de aparelhos eletrônicos. Compreender e utilizar leis e aparelhos eletroeletrônicos em geral. Pré-requisitos: Saber utilizar as operações básicas, conhecer as teorias físicas de carga elétrica, corrente elétrica, diferença de potencial, resistência (1ª Lei de Ohm) e potência. Datas da aplicação: MM (matutino) 22/08 # STO (matutino) 24/08 # VLM (noturno) 24/08 # VRG (matutino) 01/9

Um estudante do 3º semestre do curso de tecnologia de uma universidade, comprou um de_________A de uma rede de__________V, em

que a potência de entrada é de__________W. Esse estudante sabendo que o custo de /dia, considerando que o KWh custa

R$________, ele terá um custo mensal de R$__________ 31, 311456 440 4 8 110 0, 29651

191

PROBLEMA 2 - QUE QUESTÕES VOCÊ PODE CRIAR E RESPONDER?

Criar uma lista de questões (mínimo 3) que podem ser respondidas, baseado nas

informações do problema e fornecendo pelo menos uma resposta completa para

uma das questões.

Objetivo do Problema: Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões), procurar, selecionar e interpretar informações relativas aos problemas. Pré-requisitos: Saber interpretar e relacionar o texto com a criação de perguntas. Datas da aplicação: MM (matutino) 22/08 # STO (matutino) 24/08 # VLM (noturno) 24/08 # VRG (matutino) 01/9

Uma grande fabricante de eletroeletrônicos, que se utiliza de monitores de raios catódicos, decidiu reduzir a produção desse tipo de produto. Tal medida se deu pelo relatório apresentado pelo seu diretor de tecnologia. Dentre as diversas informações contidas no relatório estavam às seguintes:

Descrição técnica

Corrente elétrica num feixe de elétrons 200 A

Tempo em que os elétrons demoram a atingir a tela 1 segundo

Numero de elétrons que golpeiam a tela 125.1013 elétrons

DDP 110 - 220 Volts ~

Que questões podem ser criadas com as informações dadas?

192

PROBLEMA 3 O QUE ESTÁ ERRADO?

Identificar os erros e encontrar a solução correta.

Objetivo do Problema: Observar, estimar ordens de grandeza e compreensão do conceito. Pré-requisitos: Saber utilizar as operações básicas, conhecer as teorias físicas da 1ª e 2ª Lei de Ohm. Datas da aplicação: MM (matutino) 19/09 # STO (matutino) 21/09 # VLM (noturno) 21/09 # VRG (matutino) 22/9

Klauss possui um fio de comprimento 4m, com diâmetro de 6 mm e uma resistência de 15 m . Uma diferença de potencial de 23 V é aplicada entre as suas extremidades. Klauss necessita saber a corrente no condutor e também a resistividade do material do fio. Ele desenvolveu os seguintes cálculos:

1. Existe(m) alguma(s) coisa(s) errada(s) com o raciocínio do Klauss? 2. Mostre como você resolveria esse problema; 3. Caso o item 1 seja sim, então explique o erro cometido por Klauss.

193

PROBLEMA 4 - QUAL É A QUESTÃO SE VOCÊ SABE A RESPOSTA?

São fornecidas respostas específicas para as quais os alunos devem elaborar questões apropriadas.

Objetivo do Problema: Articular o conhecimento físico com conhecimentos de outras áreas do saber científico. Utilizar e compreender tabelas, gráficos, e relações matemáticas gráficas para a expressão do saber físico. Pré-requisitos: Saber interpretar gráficos e porcentagem, relacionar o texto com a criação de perguntas. Datas da aplicação: MM (matutino) 24/10 # STO (matutino) 26/10 # VLM (noturno) 26/10 # VRG (matutino) 27/10

O gráfico de barras apresenta o histórico de consumo de energia elétrica de uma residência na cidade de São Paulo, durante os últimos 6 meses:

1. Qual é a pergunta se a resposta é 57?

2. Qual é a pergunta se a resposta é 150?

3. Qual é a pergunta se a resposta é 75,44%?

4. Qual é a pergunta se a resposta é 7,04%?

5. Qual é a pergunta se a resposta é 337%?

195

ANEXOS

196

ANEXO A

197

PROGRAMA OFICIAL DAS DISCIPLINAS DOS CURSOS 2011/2º CURSO: Tecnologia em Redes de Computadores

DISCIPLINA: Infraestrutura elétrica para redes de computadores CÓDIGO:

POSIÇÃO NA GRADE DO CURSO: 03 CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 80 h/a

EMENTA:

Noções e conceitos fundamentais em eletricidade; Perturbações e falhas na energia elétrica;

Instalações elétricas; Interferência eletromagnética e técnicas de proteção; Dispositivos para

condicionamento e fornecimento autônomo de energia; Ruído elétrico e qualidade da energia;

Aterramento elétrico; Proteção elétrica; Interferências em redes sem fio; Projeto de sistema

elétrico de redes de computadores; Normas para instalação elétrica para redes de

computadores.

OBJETIVOS:

Aprender as noções de eletricidade para garantir uso seguro e perfeito funcionamento dos

equipamentos e redes de computadores. Analisar e dimensionar projetos de comunicação de

dados seguindo as normas técnicas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: CRONOGRAMA

SEMANA CONTEÚDO SEMANA CONTEÚDO

1º

Apresentação do professor;

Apresentação da disciplina;

Metodologia de avaliação;

Conceituação básica; Medidas de 1º

socorros. Geração de energia.

11º

Elaboração de um projeto elétrico

completo.

2º

Modelo atômico; Conceitos

elementares de energia; Conceitos de

Tensão, Corrente, Resistência. 12º

Aterramento: Conceitos, Descargas

Atmosféricas, Necessidade do

sistema de proteção, Tipos de

aterramento. (baseado na NBR

5410 e ANSI/EIA/TIA 607).

3º

Revisão de Potência. Conceituação da

Lei de ohms; Cálculos de circuitos:

Série, Paralelo, Misto. Cálculos de:

resistência total, queda de tensão,

divisão de correntes.

13º

Sistema de ininterrupto de energia.

Conceituação de No-break

Conceituação de estabilizadores

Conceituação de Grupo Gerador

4º Exercícios de fixação de circuitos

série, paralelo, misto. 14º

Dimensionamento de No-break e

banco de baterias

198

5º

Efeito Joule. Fontes de alimentação -

Corrente Alternada e Contínua

15º

Qualidade de energia: ruídos.

Perturbações e falhas na energia

elétrica: Perturbações

Eletromagnéticas, Harmônicos,

Diafonia, Distúrbios

Eletromagnéticos, Subtensos e

Sobretensões, Falhas na Rede

Elétrica, Variações de Frequência;

6º

Introdução a NBR 5410 NB 3

Conceituação da normativa referente

à quantidade de tomadas de TUG

(tomadas de uso geral); TUE

(tomadas de uso específico); TI

(tomadas de iluminação). Fator de

Potencia

16º

Interferências em redes sem fio:

Modularidade e Facilidades de Uso,

Condições de Interferência,

Planejamento de Frequências;

7º

Barramentos (trifásico, bifásico e

monofásico). Barramentos: Terra e

Neutro

Divisão da instalação em circuitos,

Quadros de Distribuição (tipos,

dimensionamento, localização).

17º

Elaboração de um projeto

computacional: distribuição

elétrica, ramal alimentador, queda

de tensão, quantidade de tomadas

elétricas, quadros de distribuição,

sistema No-Break.

8º

Introdução aos condutores elétricos

Capacidade de condução de corrente

dos cabos e fios elétricos; Codificação

de cores para cabos elétricos

computacionais; Queda de tensão.

18º

Projeto computacional: lista de

materiais com valores de mercado

dos produtos.

9º

Dispositivos de proteção: Fusíveis

(NH; Diazed; NEOZED; SITOR;

SILIZED; MINIZED). Disjuntores

termomagnéticos: (NEMA, NORMA

DIM; CURVA DE DESARME).

Disjuntores diferenciais. Quadros de

distribuição.

19º

Introdução a Iluminância.

10º

Condutos.

Simbologia Elétrica.

Interpretação de um projeto elétrico.

20º

Projeto Luminotécnica.

199

CURSO: Tecnologia em Redes de Computadores

DISCIPLINA: Infraestrutura elétrica para redes de computadores CÓDIGO:

METODOLOGIA DE ENSINO:

Aulas expositivas, estudos de casos, exercícios simulando situações problemas.

SISTEMA DE AVALIAÇÃO:

O critério de avaliação deverá ser composto por 03 instrumentos de avaliação (A1, A2 e A3).

A média da disciplina curricular será composta pela média aritmética das duas maiores

notas descartando-se a menor nota. Para cada nota utilizar instrumentos diversificados de

avaliação.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA:

CAVALIN, G. CERVELIN, S. Instalações elétricas prediais: conforme Norma NBR 5410:2004. 20ª ed. São Paulo: Erica, 2009. COTRIM, A.A.M.B. Instalações Elétricas, 5ª Ed. São Paulo, Prentice-Hall, 2009. CREDER, H. Instalações elétricas. 15ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

CAPUANO, F. G.; MARINO, Maria Aparecida Mendes. Laboratório de eletricidade e eletrônica. 24.ed. São Paulo : Érica, 2009. LIMA FILHO, D. L. Projetos de Instalações elétricas prediais. 11ª Ed. São Paulo: Érica, 2009. MAMEDE FILHO, João. Instalações elétricas industriais: exemplo de aplicação; projeto. 7. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2007. RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física . Rio de Janeiro: LTC, 2008. 4 V. TIPLER, P. Física, vol.2. 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

YOUNG, Hugh D. Sears e Zemansky Física. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2006. v

PROFESSOR RESPONSÁVEL:

DATA: ASSINATURA:

APROVAÇÃO:

COORDENADOR:

DATA: ASSINATURA:

VISTO DA DIREÇÃO:

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