Questões – MHS

1. Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x = 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. a) Quais são a freqüência angular, a freqüência e o período do movimento resultante?b) Qual é a amplitude das oscilações?c) Qual é a velocidade máxima do bloco e onde ele se encontra quando tem essa velocidade?d) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco?e) Qual é a constante de fase do movimento?f) Qual é a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola?Resolução:

a)

b) A = xmáx = 11 cmc) v=-Asen(t + ) vmáximo = A vmáximo = 0,11.9,78 =1,1 m/sd) a = -A2cos(t +) amáximo = A2 amáximo = 0,11. 9,782 = 11 m/s2

e) x = Acos(t +) 0,11 = 0,11cos (.0 +) cos () =1 = 0 radf) x = 0,11cos (9,8t)

2. Em t = 0 o deslocamento x(0) do bloco de um sistema massa-mola é -8,5 cm. A velocidade do bloco v(0) nesse instante é – 0,920 m/s e a aceleração a(0) é +47 m/s2.a) Qual a freqüência angular do movimento?b) Quais são os valores da constante de fase e da amplitude?Resolução:a) a = - 2x 47 = -2.(-0,085) 2 = 47/0,085 = 23,5 rad/sb)

x = Acos(t +) -0,085 = Acos (2) v=-Asen(t + ) -0,92=-A23,5sen() Multiplicando (1) por 23,5, elevando (1) e (2) ao quadrado e somando-as, temos:

(-0,085.23,5)2 +(-0,92)2 = A2.23,52(sen2 +cos2) 3,99 + 0,85 = A2. 552,25 A 0,094 m Substituindo essa amplitude em (1), temos:

-0,085 = 0,094cos cos - 0,9 1550.

3. Considere um sistema massa-mola composto por grande bloco de 2,72.105 kg que tenha sido projetado para oscilar em um trilho horizontal lubrificado com freqüência de 10 Hz e amplitude de 20 cm.a) Qual é a energia mecânica total desse sistema?b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?Resolução:a) E = (1/2) kA2 = (1/2).m.2.A2 = (1/2).m.(2)2.A2 = (1/2).2,72.105. (210)2.0,22 2,1.107 Jb) v=-Asen(t + ) vmáximo = A = 0,2. (2) = 12,56 m/s

4. (a) Mostre que x = Asen (t + ) é solução da equação d2x/dt2 = - (k/m)x. (b) Determine a relação entre na expressão acima e na equação x = Acos (t + ).Resolução:a)

(1) x = Asen (t + ) (2) dx/dt = Acos(t + ) (3) d2x/dt2 = -A2sen(t + ) Substituindo (1) e (3) na equação diferencial:

-A2sen(t + ) = - (k/m). Asen (t + ) solução satisfeita para = (k/m)1/2 b) Asen (t + ) = Acos (t + ) sen = cos = + 900 , ou seja e são ângulos complementares.

5. Dada a figura dessa questão:(a) Considere duas molas iguais de constante elástica 7580 N/m ligadas a um bloco de massa 0,245 kg. Qual é a freqüência de oscilação no piso sem atrito?

Licenciatura em FísicaFenômenos Ondulatórios (FEOZ3)Professor Osvaldo Canato Júnior – 1º semestre de 2011

(b) Considere duas molas diferentes, de modo que (i) se a mola da esquerda é removida, o bloco oscila com uma freqüência de 30 Hz e (ii) se a mola da direita é removida, o bloco oscila com uma freqüência de 45 Hz. Com que freqüência o bloco oscila se as duas molas estão presentes?Resolução:a)

O bloco está sujeito a duas forças elásticas de mesmo valor e sentido. Assim: ma = -2kx a = -2(k/m)x 2 = 2(k/m) = 2(7580/0,245) 248,75 rad/s 248,75/2 39,6 Hz

b) Nesse caso, as duas forças elásticas não têm o mesmo valor, embora estejam vinculadas a um mesmo valor de deslocamento,

x. Assim: ma = -k1x-k2x a = -(k1+k2/m)x 2 = (k1+ k2)/m 2 = (1

2/m+ 22/m)/m

2 = 12+ 2

2 2 = 1

2 + 22 = 302 + 452 =

(2)2 = m2 = m = 42m2 (k1 + k2)/m 54,1 Hz 6. Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude xm, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? (c) Com qual deslocamento, em termos de amplitude, a energia do sistema é metade cinética e metade potencial?Resolução:a) e b)

x = Acos (t + ) A/2 = Acos (t + ) cos (t + ) = 0,5 b) U = (1/2)kx2 = (1/2)k [Acos (t + )]2 = (1/2)kA2.0,52 = 0,25 [(1/2)kA2] = 1/4 E a) K = E – U = E – (1/4)E = 3/4 E

c) U = (1/2)kx2 = (1/4)kA2 x2 = A2/2 x = A.2-1/2

7. A figura mostra, para três situações, os deslocamentos x(t) de um par de osciladores harmônicos simples (A e B) que são iguais em tudo, exceto na fase. Pra cada par, qual o deslocamento de fase (em radianos e em graus) necessário para deslocar a curva A e fazê-la coincidir com a curva B? Das várias respostas possíveis, escolha o deslocamento com o menor valor absoluto. Resposta:a) A = 1800 = rad b) B = 900 = /4 rad c) B = -900 = -/4 rad

8. A figura mostra as curvas x(t) obtidas em três experimentos fazendo um certo sistema bloco-mola oscilar em um MHS. Ordene, em ordem decrescente, as curvas de acordo com (a) a frequência angular do sistema, (b) a energia potencial da mola no instante t = 0, (c) a energia cinética do bloco no instante t = 0, (d) a velocidade do bloco no instante t = 0 e (e ) a energia cinética máxima do bloco. Resposta:a) 1= 2 = 3 b) U3 > U2 = U1

c) K1 > K2 > K3 = 0d) v1 > v2 > v3 = 0e) Kmáx1 > Kmáx3 > Kmáx2

9. Você deve completar a figura da esquerda de modo a representar o gráfico da velocidade v em função do tempo t do oscilador bloco-mola mostrado na figura da direita em t = 0. (a) Na figura da esquerda, em qual dos pontos indicados por letras ou em que região entre os pontos o eixo vertical deve interceptar o eixo t? (Por exemplo, ele deve interceptar o eixo t no ponto A, ou, talvez, na região entre os pontos A e B?) (b)

Se a velocidade do bloco é dada por v = - vmsen (ωt + φ), qual é o valor de φ? Suponha que é positivo e se não puder especificar um valor (como + π/2 rad) , forneça uma faixa de valores (como 0,φ <π/2).Resposta:a) Entre D e Eb) 3/2 < φ < 2