Disciplina: Cálculo I Prof. Rogério Dias Dalla Riva

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Lista de Exercícios - Problemas de otimização

1) Que número positivo x minimiza a soma de x e seu inverso?

1S x

x= +

1S x x−= +

2

11

dSdx x

= −

2

11 0

x− =

2

11

x=

2 1x = 1x =

2) Um fazendeiro dispõe de 200 m de cerca para cer car dois currais

adjacentes. Quais devem ser as dimensões para que a área cercada seja máxima?

4 3P x y= +

x x

y

-15

-10

-5

0

5

10

15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

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4 3 200x y+ = 200 4

3x

y−=

2A xy=

200 42

3x

A x− = ⋅

2400 83 3

A x x= −

400 163 3

dAx

dx= −

200 43

xy

−=

400 160

3 3x− =

200 4 253

y− ⋅=

16

3

400

3x =

1003

y m=

16 400 25x x m= ⇒ =

3) Deseja-se fazer uma caixa aberta com uma peça qu adrada de material de 6 polegadas por 6 polegadas cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Ache o volume da maior caixa que pode ser feita desta maneira.

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

6

6 – 2x x x

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Domínio viável: 6 2 0 3

0 30

x xx

x

− > ⇒ < ⇒ < <>

2(6 2 )V x x= − ⋅

2(6 2 ) 1 2 (6 2 ) ( 2)

dVx x x

dx= − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

2 236 24 4 24 8dV

x x x xdx

= − + − +

212 48 36dV

x xdx

= − +

212 48 36 0x x− + =

21 24 3 0 1 3x x x e x− + = ⇒ = =

O valor x = 3 não convém, pois acarretaria uma base igual a zero.

Portanto, x = 1 é o valor que maximiza o volume.

( )2 36 2 1 1 16V pol= − ⋅ ⋅ =

4) Uma quadra para prática de educação física consi ste em uma região retangular com um semicírculo em cada extrem idade. O perímetro da quadra deve ter 200 m. Ache as dimensõ es que maximizem a área da região retangular.

Domínio viável: 0 0x e y> >

0

4

8

12

16

20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

x

y

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2 22y

P x π= + ⋅ A xy=

2P x yπ= + 200 2x

A xπ−= ⋅

2 200x yπ+ = 2200 2A x x

π π= ⋅ − ⋅

200 2x

yπ−=

[ ] 2200 2d dA x x

dx dx π π = ⋅ − ⋅

200

π4

π− 0x⋅ =

200 4dAx

dx π π= − ⋅ 4 200 50x x m= ⇒ =

200 2 200 2 50 100x

y y mπ π π− − ⋅= = ⇒ =

5) Uma viga de madeira tem seção transversal de alt ura h e largura w.

A resistência da viga é diretamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua altura. Quais são as dimensões da v iga mais resistente que pode ser cortada de uma tora de seçã o circular de 24 polegadas de diâmetro. (Sugestão: S = kh2w, onde k é uma constante de proporcionalidade.)

w

h 24

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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Domínio viável: 0 0w e h> >

2 2 2 224 576w h h w+ = ⇒ = − 2S kh w=

( )22576S k w w= −

( )2576S k w w= − 3576S kw kw= −

2576 3

dSk kw

dw= −

576 k 3 k− 2 0w = 2576 3 0w− =

23 576w = 2 192 8 3 .w w pol= ⇒ =

2576h w= −

( )2

576 8 3h = −

576 192h = −

384 8 6 .h h pol= ⇒ =

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25