Otimização Estática
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Transcript of Otimização Estática
Otimizacao Estatica
Versao Preliminar. Sujeita a alteracoes.
Fabio Augusto Reis Gomes
March 28, 2005
Abstract
Nestas notas apresentamos metodos de otimizacao estatica, considerando prob-
lemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revisao de
calculo e algebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizacao sem
restricao e com restricoes de igualdade e de desigualdade.
Contents
I Revisao 5
1 Calculo de uma variavel 6
1.1 Algumas Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Regras Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Identificacao de Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Crıtico . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20
1.5.4 Funcoes cujo Domınio e um Intervalo Fechado Finito . . . 20
1.6 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Algebra Linear 29
2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
3 Calculo de Varias Variaveis 34
3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Funcoes de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Representacao Geometrica das Funcoes . . . . . . . . . . 36
3.3 Calculo de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43
3.4 Funcao Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Curvas de Nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II Otimizacao Estatica 49
4 Formas Quadraticas e Matrizes Definidas 50
4.1 Formas Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Formas Quadraticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Teste para Classificar uma Matriz Simetrica . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Otimizacao Irrestrita 58
5.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Condicoes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Condicoes Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.2 Condicoes Necessarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2
5.4 Maximo Global e Mınimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.1 Maximizacao do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68
5.5.4 Concorrencia Perfeita: Producao de dois Bens . . . . . . . 70
5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71
5.6 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Otimizacao Restrita I 84
6.1 Restricoes com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Duas Variaveis e uma Restricao de Igualdade . . . . . . . 84
6.1.2 Varias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.4 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Restricoes de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 Caso com varias restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.4 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Otimizacao Restrita II 116
7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.1 Uma Restricao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.2 Varias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.3 Restricoes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118
3
7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 Problemas sem restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.2 Problemas com restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4
Chapter 1
Calculo de uma variavel
1.1 Algumas Definicoes
Definition 1 Uma funcao � e estritamente crescente se
�� � �� � � ���� � � ����
Example 1 Examine se a funcao � ��� � �� � � e estritamente crescente. Tome
�� e �� tais que �� � ��. Entao queremos verificar se
� ���� � � ����
��� � � � ��� � �
�� � ��
Obviamente, tal funcao e estritamente crescente.
Definition 2 Uma funcao � e estritamente decrescente se
�� � �� � � ���� � � ����
6
Example 2 Examine se a funcao � ��� � ��� e estritamente decrescente. Tome
�� e �� tais que �� � ��. Entao queremos verificar se
� ���� � � ����
���� � ������� � ���
�� � ��
Obviamente, tal funcao e estritamente decrescente.
Observe que se uma funcao � passa de decrescente para crescente em ��, isto
implica que ���� � ����� e um mınimo local desta funcao, isto e, � ���� � � ���
para todo � na vizinhanca de ��. Por outro lado, se uma funcao passa de crescente
para decrescente em ��, isto implica que ���� � ����� e um maximo local desta
funcao, isto e, � ���� � � ��� para todo � na vizinhanca de ��.
Definition 3 Se uma funcao e derivavel em cada ponto �� de seu domınio �,
dizemos que tal funcao e derivavel ou diferenciavel.
Definition 4 Se a funcao � ��� possui derivadas de ordem �� �� ���� � e se a � ���� derivada de �
� ��� ����
������
e uma funcao contınua, nos dizemos que � e � vezes continuamente diferenciavel
ou � � �� para abreviar.
Remark 1 Para � � � ao inves de � vez continuamente diferenciavel dizemos
apenas continuamente diferenciavel.
7
1.2 Regras de Derivacao
1.2.1 Regras Basicas
Seja � � � ���, � � � ��� e � uma constante.
1. Constante
��� �
2. Multiplicacao por uma constante
�� ���� � ����
3. Soma (subtracao)
�� ��� �� � �������
4. Multiplicacao
�� ���� � ���� � ����
5. Divisao
��
���
������� ����
��
1.2.2 Regra da Cadeia
A regra da cadeia e usada para derivar funcoes formadas pela composicao de
outras funcoes. Se � e � sao funcoes no ��, a funcao � obtida pela aplicacao da
funcao � ao resultado de � ��� e chamada funcao composta das funcoes � e �, de
modo que
� ��� � � � ���� ou � ��� � �� � �� ���
A regra da cadeia e usada para derivar funcoes compostas e estabelece que
�
��� �� ����� � �� �� ���� �� ���
8
1.2.3 Outras Regras
1. Potencia
���� � ��������
2. Exponencial
��� � ����
�� � � � � � ����
3. Logaritmo
�� � ��� ��
����
�� ���� ��� ��
� � ���
4. Trigonometricas
��� ��� � ��� ������
�� ��� ��� � �� ������
���� ��� � ���� ������
�� ��� ��� � � ���� ������
�� ��� ��� � ��� ��� �� ������
�� ��� ��� � � ��� ��� ��� ������
����� ��� �
��� ��
���
�� ����� ��� �
���� ��
���
������ ��� �
�
� � �����
�� ����� ��� �
�
��� � �
���
9
Example 3�
��
� �� � ��� �
�� � �� �
Example 4
�
��
���� � ��� �
� ��� � ��
��� ���� ��
��� � ��
����� � ��� �
� ���� � �
�
Example 5
�
��
��� � �
�� � �
��
��
�� � ����� � �
� ��
��� � ���
��� ��� � ��� �� ��� � ��
��� � ���
Example 6
�
��
��� � ��� � �
�� ���� � ��� � �
� ���� � ��
�
Example 7�
��
������ � ����
�� ������ � ����
Example 8
�
��
����� � ��
���������� � ��
�� ���� � �
�
Example 9�
��
���� ��
Example 10�
��
��
�
� ���� ��
�
� ����
Example 11�
��� � �� � � � �� �
�
�
10
Example 12�
��
�� ��
��
�
���� �
�
�
Example 13�
��
��� ���
�� �� � ��
�
��
� � �
�
Example 14
�
��
�����
�� ��� � ���� ���� � ��� ��� ��
Example 15
�
��
�� ��� � ��� �
���
�
�� � ��� ����� ��
Example 16�
����� � �� �� ��
1.3 Derivada Primeira
Usando a derivada primeira podemos examinar se uma funcao e crescente ou de-
crescente. Esta informacao esta contida no sinal da derivada primeira.
Theorem 1 Seja � uma funcao continuamente diferenciavel em ��. Entao:
1) se � � ���� � , existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e crescente�
2) se � � ���� � , existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e decrescente.
Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e analogo). Como � e
diferenciavel
������
� ��� � ��� � �����
� � � ���� �
11
Logo se � e pequeno e positivo � ��� � ��� � ���� � . Seja �� � �� � �, entao
para � pequeno e positivo
�� � �� � � ����� � ���� �
E, portanto, � e crescente na vizinhanca de ��.
O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.
Theorem 2 Seja f uma funcao continuamente diferenciavel no domınio � ��.Com isso,
1) se � � � no intervalo � � �� �, entao � e crescente em � � ���
2) se � � � no intervalo � � �� �, entao � e decrescente em � � ���
3) se f e crescente em � � ��, entao � � � em � � ���
4) se f e decrescente em � � ��, entao � � � em � � ���
A derivada primeira e usada tambem para encontrar pontos crıticos de uma
funcao � .
Example 17 Examine em quais regioes a funcao e crescente
� ��� � ��� �
Derivada primeira
� � ��� � �
Portanto, � � ��� � em todo domınio. Ou seja, a funcao e crescente em todo
domınio.
Example 18 Examine em quais regioes a funcao e crescente
� ��� � �� � ��
Derivada primeira
� � ��� � ��� � �
12
Portanto, � � ��� � quando
��� � �
�� � �
Ou seja, a funcao e crescente quando � � �� ou � � �.
Example 19 Examine em quais regioes a funcao e crescente
� ��� � � �� �
em que � � . Derivada primeira
� � ��� � ���� �
Portanto, � � ��� � quando
��� � �
� � �
Ou seja, a funcao e crescente quando � � � �.
Example 20 Examine em quais regioes a funcao e crescente
� ��� ��� � �
em que � � . Derivada primeira
� � ��� ��
������ � �
�
Portanto, � � ��� � quando
�
������ �
�
�
���� � �
� � �
Ou seja, a funcao e crescente quando � � �.
13
Definition 5 Os pontos nos quais � � ��� � ou � � ��� nao e definido sao chama-
dos pontos crıticos.
Example 21 Encontre os pontos crıticos
� ��� � �� � ��� � � ��� � ��� � � � � � � ��
Example 22 Encontre os pontos crıticos considerando que � � .
� ��� � � �� �� � � ��� � ���� � � � � � �
Note � � ��� nao esta definido para � � . Porem este ponto foi excluıdo inicial-
mente.
Example 23 Encontre os pontos crıticos considerando que � �
� ��� ��� � �� � � ��� �
�
������ � �
�� � � � �
Note � � ��� nao esta definido para � � . Porem estes pontos foram excluıdos
inicialmente.
1.4 Derivada Segunda
Em muitas situacoes gostarıamos de saber mais do que se uma funcao e crescente
ou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se � � ��� e crescente ou decres-
cente. Para tanto e preciso computar a derivada segunda, � �� ���. Caso � �� ��� �
a derivada primeira e crescente na vizinhanca de �. Se � �� ��� � a derivada
segunda e decrescente na vizinhanca de �.
Definition 6 Seja � � ��. Se � �� ��� � no intervalo � , entao � e denominada
concava (concava para baixo) em � . Se � �� ��� � no intervalo � , entao � e
denominada convexa (concava para cima) em �.
14
Existe tambem uma definicao para funcoes concavas e convexas baseada no
seguinte argumento. Observando o grafico de uma funcao concava, notamos que
a reta secante ligando dois pontos quaisquer do grafico da funcao fica acima deste
grafico. Para uma funcao convexa, a reta secante fica a baixo do grafico. Para
chegarmos a esta definicao alternativa e preciso aprsentar alguns conceitos.
Para dois pontos e �, � �, o conjunto de pontos entre e � e dado pelo
conjunto ��� � � �� de todas as combinacoes convexas de e �:
��� � ���� �� � ��� � � � ��
Assim, o grafico de � em ��� e o conjunto de pontos
���� �� � ��� � ���� �� � ��� � � � � ��
Por outro lado, a reta secante ligando os pontos � � � � �� e ��� � ���� no grafico
de � e dada por
��� �� � � � � �� � � ��� � ���� � ���� �� � ��� ��� �� � � � � �� ����
para � � � ��.
Definition 7 Uma funcao � e concava (concava para baixo) no intervalo � se e
somente se
� ���� �� � ��� � ��� �� � � � � �� ��� (1.1)
para todo , � � � e para todo � � � ��. Uma funcao � e convexa (concava para
cima) no intervalo � se e somente se
� ���� �� � ��� � ��� �� � � � � �� ��� (1.2)
para todo , � � � e para todo � � � ��
Esta definicao e mais geral porque se aplica a funcoes nao diferenciaveis. No
entanto a condicao (1.1) ������ e equivalente a � �� ��� � � �� ��� � � no inter-
valo ��� para funcoes ��.
15
Example 24 Verifique se a funcao � � �� e convexa, no intervalo ��� � � ��.
Pela definicao, tal funcao e convexa se
���� �� � ���� � ��� �� � � ���
��� ��� � � �� ��� �� �� ���� � ��� �� � � ���
�� ��� �� � ��� ��� ��� � ��� ��
� � �
���� � �
���
�� ��� �� � � ��� ���� ��� �� � �� � � ���
�
� � � � � ��
� � � � �� ��
� � � ���
Portanto, fica claro que tal funcao e convexa no intervalo ���. Usando a nocao de
derivada terıamos
�� � ��
��� � � �
Fica claro que a funcao e convexa em todo seu domınio.
Example 25 Verifique se a funcao � � ��� e concava, no intervalo ��� � � ��.
Pela definicao, tal funcao e concava se
� ���� �� � ���� � � ��� �� � � ���
���� �� � ���� � ��� �� � � ���
Como vimos no exemplo acima, esta ultima desigualdade e satisfeita. Usando a
nocao de derivada terıamos
�� � ���
��� � �� �
Fica claro que a funcao e concava em todo seu domınio.
16
Example 26 Analise a concavidade da funcao
� ��� � �� � ��
Derivada primeira e segunda
� � ��� � ��� � �
� �� ��� � ��
Portanto,
� �� ��� � quando � �
� �� ��� � quando � �
E, quando � � a funcao e convexa e quando � � a funcao e concava.
Example 27 Verifique a concavidade da funcao densidade da distribuicao nor-
mal padrao
� ��� ������
���
Derivada primeira
� � ��� ������
��� ����
� � ������
���
Derivada segunda
� �� ��� � � ���
��
��� � ������ ����
� � ���
��
��� � �������
���
���
��
��� � �
�
17
Como ����� � ,
� �� ��� � �� � � � � � ��
Portanto,
�� � � � ��� � �� ��� � � convexa
�� � � � ��� � �� ��� � � concava
�� � � � ��� � �� ��� � � convexa
A derivada segunda e usada tambem para encontrarmos pontos crıticos de
segunda ordem e pontos de in�exao.
Definition 8 Os pontos nos quais � �� ��� � sao chamados pontos crıticos de
segunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles sao
chamados pontos de in�exao.
1.5 Maximos e Mınimos
1.5.1 Identificacao de Maximos e Mınimos
Os resultados acima sao utilizados para encontrarmos pontos de maximo ou mınimo
de uma funcao � no ��.
1. A funcao � apresenta um maximo local em �� se � ��� � � ���� para cada
� em algum intervalo aberto contendo ��.
2. A funcao � apresenta um maximo global em �� se � ��� � � ���� para cada
� no domınio de � .
3. A funcao � apresenta um mınimo local em �� se � ��� � � ���� para cada
� em algum intervalo aberto contendo ��.
18
4. A funcao � apresenta um mınimo global em �� se � ��� � � ���� para cada
� no domınio de � .
Seja � uma funcao cujo domınio e ���. Entao um maximo ou mınimo podem
ocorrer na borda (fronteira) do intervalo ���, isto e, em ou �, ou no interior
do intervalo. No primeiro caso, temos um maximo ou mınimo de fronteira. No
segundo caso temos um maximo ou mınimo interiores. Para o caso interior o
seguinte teorema se mostra bastante util.
Theorem 3 Se �� e um maximo ou mınimo interior de � , entao �� e um ponto
crıtico de � .
Proof. fazer grafico
Caso �� seja um ponto crıtico de � como saberemos se �� e um maximo ou
mınimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de � em ���, como
segue.
Theorem 4
1) se � � ���� � e � �� ���� � , entao �� e um maximo de � �
2) se � � ���� � e � �� ���� � , entao �� e um mınimo de � �
3) se � � ���� � e � �� ���� � , entao �� pode ser um maximo, um mınimo ou nenhum dos dois�
Proof. fazer grafico
Em muitas situacoes gostarıamos de saber se um maximo local e um maximo
global, ou se um mınimo local e um mınimo global. Em tres casos, tal investigacao
se torna bastante simples:
1. Quando � tem apenas um ponto crıtico em seu domınio�
2. Quando � �� � ou � �� � em todo o domınio de � �
3. Quando o domınio de � e um intervalo fechado e limitado.
19
1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Crıtico
Theorem 5 Suponha que
1) o domınio de � e um intervalo � ��
2) �� e uma maximo local de � ,
3) �� e o unico ponto crıtico de � em �
Entao, �� e um maximo global de � em � .
Proof. ....
1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero
Theorem 6 Se � e uma funcao �� cujo domınio e � e se � �� nunca e zero em � ,
entao � tem no maximo um ponto crıtico em � . Este ponto crıtico e um mınimo
global se � �� � e uma maximo global se � �� � .
Proof. ....
1.5.4 Funcoes cujo Domınio e um Intervalo Fechado Finito
O teorema de Weierstrass estabelece que uma funcao contınua cujo domınio e um
intervalo fechado e limitado � �� possui um maximo global e um mınimo global
em seu domınio.
Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de maximo ou mınimo
interior de � e um ponto crıtico desta funcao. Os outros candidatos para maximo
oum mınimo sao os limites do intervalo: � � e � � �. Portanto, se estamos
procurando por um maximo (mınimo) global de uma funcao � � �� de domınio
� �� nos precisamos somente de:
1. encontrar os pontos crıticos de � , resolvendo � � ��� � para � � � � ���
20
2. calcular � nesses pontos crıticos e nos pontos e ��
3. escolher dentre esses pontos aquele que da o maior (menor) valor de ��
Example 28 Considere a funcao
� ��� � ��� � ���� � ��� �
Encontre o valor de � que maximiza esta funcao no intervalo � ��. Primeira-
mente obtemos os valores crıticos.
� � ��� � ��� � ��� � �
�� � ���� � �
� ����
���� �
��
��� �
��
�
��
�
Entao calculamos � ��� nos pontos crıticos, � e � e nas fronteiras, e �.
� �� � �, � ��� � ����, � ��� � � e � ��� � ����
Assim, o maximo global ocorre quando � � � e o mınimo global ocorre quando
� � .
Example 29 Ache os pontos crıticos da funcao
� ��� � �� � ���� � ���� �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Primeiro
obtemos a sua derivada
� � ��� � ��� � ���� ��
Igualando a zero
��� � ���� �� �
�� � ��� �� �
21
Cuja solucao e dada por
� ���
��� ��
�
� ��� �
�
� �
�
��
�
Como nao existe � tal que � � ��� nao esta definido, os pontos crıticos sao � e �.
Note que � ��� � � e � ��� � �, o que sugere que � e um ponto de maximo e � e
um ponto de mınimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos.
� �� ��� � ��� ��
� �� ��� � ��� � � concavo � maximo local
� �� ��� � �� � � convexo � mınimo local
Example 30 Ache os pontos crıticos da funcao custo medio
�� � � ��� � �� � ��� �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Derivando
� � ��� � ��� �
Igualando a zero
��� � � � � � ���
Como nao existe � tal que � � ��� nao esta definido, o unico ponto crıtico e ���.
Calculamos a derivada segunda.
� �� ��� � � �
� �� ����� � � � � convexo � mınimo local
22
E facil notar que este mınimo local e um mınimo global. Uma razao simples e
que a funcao apresenta apenas um ponto crıtico. Outra razao e que a funcao e
convexa em todo domınio (� �� ��� � , independente de �)
Example 31 Ache os pontos crıticos da funcao
� ��� � ��� � �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Derivando
� � ��� � ��� �
Igualando a zero
��� � � � � ��
�
Como nao existe � tal que � � ��� nao esta definido, o unico ponto crıtico e ���.
Calculando a derivada segunda
� �� ��� � �
� �� ����� � � � � convexo � mınimo local
Novamente, observe que temos apenas um ponto crıtico e que a funcao e convexa
em todo domınio.
Example 32 Ache os pontos crıticos da funcao
� ��� � �� � ��� � �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Derivando
� � ��� � ��� � ��
Igualando a zero
��� � �� �
�� � �� �
� ��� �� �
23
Logo, � � e � � � sao os pontos crıticos. Como nao existe � tal que � � ��� nao
esta definido, o unicos pontos crıticos sao e �. Note que � �� � � enquanto
� ��� � ��. Calculando a derivada segunda
� �� ��� � ��� �
� �� �� � �� � � concavo � maximo local
� �� ��� � � � � convexo � mınimo local
1.6 Funcao Inversa
Para qualquer funcao � � � � ��, em que o domınio � de � e um subconjunto
do ��, nos dizemos que a funcao � � � � �� e uma inversa de � se:
1) � �� ���� � � para todo � no domınio � de � � e
2) � �� �!�� � ! para todo ! no domınio � de �.
Example 33 Considere a funcao de demanda pelo bem �
� �"� � �� �" (1.3)
em que " e o preco. Isolando o preco
" ��� ��
���� �� (1.4)
Para verificar se (1.4) e a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima.
� �" ���� � �� �
��
���� ��
�� �� � � � � �
" �� �"�� ��
��� ��� �"�� �
�
���� � � �"� � "
24
Suponha que � seja uma inversa de uma funcao � qualquer, de modo que,
� ���� � �� � ���� � ��
Suponha agora que � �!�� � ��, em que !� �� ��. Entao � precisa ser tal que
� ���� � !�. Ou seja, ao mesmo tempo temos � ���� � �� e � ���� � !�, o que
e impossıvel. Portanto, observamos que, para � possuir uma inversa e necessario
que � nao associe o mesmo ponto na imagem a diferentes pontos de seu domınio,
isto e,
�� �� �� � � ���� �� � ���� (1.5)
Ou equivalentemente,
� ���� � � ����� �� � �� (1.6)
Definition 9 Uma funcao � que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e de-
nominada injetora, neste intervalo .
Example 34 Considere a funcao � � � ��� � ��. Como uma funcao definida em
todo ��, � nao e injetora pois � � e � � � geram � ��� � �. Logo, nao
existe uma fincao inversa. Contudo, se restringirmos o domınio a ��� entao a
funcao � passa a ser injetora e sua inversa e � ��� �� com domınio ���.
Theorem 7 Uma funcao � definida no intervalo do �� possui uma inversa
bem definida no intervalo � � � se e somente se � e monotonamente crescente ou
monotonamente decrescente em todo intervalo .
Note que, se � e monotonamente crescente ou descrescente automaticamente
�� �� �� � � ���� �� � ����. Para funcoes diferenciaveis este teorema pode ser
reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma funcao possui
inversa.
25
Theorem 8 Uma funcao � � �� definida no intervalo do �� e injetora e,
portanto, invertıvel em se � � ��� � para todo � � ou � � ��� � para todo
� � .
O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes.
Theorem 9 (Teorema da Funcao Inversa) Seja � uma funcao �� definida no
intervalo � do ��. Se � � ��� �� para cada � � � entao:
1) � e invertıvel em � ,
2) sua inversa � e uma funcao �� no intervalo � ��� e
3) para todo ! no domınio da funcao inversa �, vale
�� �!� ��
� � �� �!��
Note que � �� �!�� � !, logo aplicando a regra da cadeia � � �� �!�� �� �!� � �
e com isso �� �!� � ��� � �� �!��.
Example 35 A inversa de � � � ��� � �� e � � � ��� � ���. Observe que
�� ��� ��
�
Pelo Teorema da Funcao Inversa,
�� ��� ��
� � �� �����
�
� � ����
�
�
Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade � de modo a max-
imizar a receita, levando em conta a funcao de demanda� �"� � �.
����
"� � � ���
� �"� � �
Assuma que � ��� � �� e que a funcao de demanda e linear� �"� � ��", em que
�� � �� � . O domınio de " e dado pelo intervalo � � �����. Como � �"� e
26
monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa existe.
No caso,
� � � �"� " �
�� �
�
Substituindo no problema do consumidor, temos
����
"� � ��
" � ��� �
�
Equivalendo a
����
�� ��
� � ��
����
� �� ��� � ��
�
Pontos crıticos:
�
��
�� �� ��� � ��
�
��
� �� ��� �
�
��
�� ��
�
� �� ��
�
�� ��
�
Concavidade (derivada segunda):
�
��
� �� ��� �
�
�
� ��
��
Pois � � . Portanto a funcao e concava em todo domınio e �� e um ponto de
maximo global.
Example 37 No exemplo anterior assuma que � ��� � �� e � �"� � �"��, em
que �� �� #�� . O domınio de " e dado pelo intervalo � � �����. Como� �"�
27
e monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa
existe. No caso,
� � �"�� � " ����
�� �
�
Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior.
28
Chapter 2
Algebra Linear
2.1 Norma e Produto Interno
2.1.1 Norma
Definition 10 Seja � � ���� ���� ��� � ��. O numero nao negativo ��� ����� � � � �� ��� e chamado norma ou comprimento do vetor �.
Definition 11 Se ���� ���� ��� e ���� ���� ��� sao as coordenadas de � e �, respecti-
vamente, no espaco euclidiano n-dimensional, entao a distancia entre � e � e
� ��� �� � ��� ��
�
���� � ���� � � � �� ��� � ����
Definition 12 Um vetor � tal que ��� � �, e chamado de vetor unitario.
Example 38 O comprimento do vetor � � ������ �� e dado por
������� ��� �
��� � ����� � ��
���
29
Portanto, o vetor � � ���� e unitario. Pois,
����
����������
���
����� �
�����
���
� ����
���
����
��
�
��
���
�
���
�
��
� �
Example 39 Seja � � ��� �� ����� e � � ��� �� �� ��. Entao
��� ��
�� � �� � �� � ����� ���
��� ��� � �� � �� � �� �
�
Logo, o comprimento de � e�� enquando o comprimento de � e
�. A
distancia entre � e � e
��� �� �
���� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ���� ���
�
������ � �� � �� � �����
���
Theorem 10 �#�� � �#� ��� para todo # � �� e � � ��.
Proof.
�#�� � �# ���� ���� ����
� ��#��� ���� #����
�
��#���
� � � � �� �#����
��#������
� � � � �� ������
� # ���
30
2.1.2 Produto Interno
Definition 13 Seja �� � � ��. Entao o produto interno euclidiano de � e �, de
modo que � � � e o numero
� � � � ���� � � � �� ����
Example 40 Seja � � ������ �� e � � ��� ����� entao
� � � � ��� �� �
� ��
Example 41 Seja � a quantidade demandada do bem �, entao � � ���� ���� ���
constitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e
nao-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e dada por
����� ���� ��� � �� � � ���� �� � �
que denominamos espaco de mercadorias. Seja " o preco da mercadoria �. Entao
o custo de uma cesta � e
" � � � "��� � � � �� "���
Dada uma renda � o conjunto orcamentario e formado por todas as cestas tais
que
" � � � �
Example 42 Considere uma firma que utiliza � insumos. A quantidade utilizada
de cada insumo e $ � � � �� ���� �. O custo unitario de cada insumo e dado por
% � � � �� ���� �. Entao o custo total torna-se
$ � % � �$�� ���� $�� � �%�� ���� %��
� $�%� � � � �� $�%�
31
Example 43 Considere � � ���� ���� ��� um portfolio de um investidor qualquer,
em que � representa a fracao da riqueza investida no ativo �. Obviamente estas
fracoes devem somar �. De modo que a restricao orcamentaria e
� � � ����� ���� ��� � ��� ���� �� � �� � � � �� �� � �
Seja #� o retorno do ativo � no estado da natureza . Entao, o vetor de retornos
no estado da natureza e
#� � �#��� ���� #���
Um portfolio � e livre de risco se o seu retorno e o mesmo em todos os estados &
da natureza, isto e,
#� � � � #� � � � � � � #� � �
O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno.
Theorem 11 Seja �� �� % � �� e # � ��. Entao
1) � � � � � � �2) � � �� � %� � � � � � � � %3) � � �#�� � # �� � �� � �#�� � �4) � � � �
5) � � � � implica que � �
6) ��� �� � ��� �� � � � �� � �� � �� � � � �
Remark 2 Note que
� � � � ��� � � � �� ���
��� �� � ��� �� � ��� � ��� ���� �� � ��� � ��� � ��� ���� �� � ���
� ��� � ���� � � � �� ��� � ����
32
Logo,
��� ����� � � � �� ���
�� � �
��� �� �
���� � ���� � � � �� ��� � ����
��
��� �� � ��� ��
O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores �� � � �� e o
angulo ' entre eles, sendo util na discussao de problemas geometricos.
Theorem 12 Seja �� � � �� e ' o angulo entre eles. Entao,
� � � � ��� ��� ��� '
Example 44 Seja � � ��� � � e � � ��� �� ��, entao
��� ' �� � ���� ��� �
������ � �� � ��
���
Example 45 Seja � � ��� � � �� e � � �� �� � ��, entao
��� ' �� � ���� ��� �
����
�
�
Portanto, ' � ��.
33
Chapter 3
Calculo de Varias Variaveis
3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos
Em muitos casos queremos analisar a vizinhanca de um ponto � do ��. Nestes
casos, as seguintes definicoes mostram-se uteis.
Definition 14 Seja ! � �� e ( um numero positivo. A bola aberta de raio ( em
torno de � e o conjunto
)� �!� � �� � �� � ��� !� � (�
Definition 15 Um conjunto & �� e aberto se para cada � � & existe uma
bola aberta de raio ( em torno de � completamente contida em &:
� � & � existe um ( � tal que )� ��� &
Um conjunto aberto contendo o ponto � e chamado uma vizinhanca aberta
de �. O termo aberto tem conotacao de sem fronteira: de qualquer ponto pode-
mos nos movimentar um pouco em qualquer direcao que ainda permanecemos no
conjunto.
34
Example 46 O intervalo
�� �� � �� � � � � � � ��
e um conjunto aberto. Se � e um ponto neste intervalo, entao � �� e � �� �. O
numero ��� esta mais proximo de do que �, e ainda pertence a �� ��. Enquanto
� � ��� �� �� esta mais proximo de � do que �, e ainda pertence a �� ��. Se
( � �� ����� ��� �� ���, entao o intervalo ��� (� �� (� e um intervalo aberto
em torno de � contido �� ��.
Definition 16 Um conjunto & �� e fechado se, sempre que ������� e uma
sequencia convergente completamente contida em &, seu limite tambem esta em
&.
Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira,
que e exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos.
Theorem 13 Um conjunto & �� e fechado se, e somente se, seu complementar
&� � �� � & e aberto.
Lembre-se que um conjunto & �� e limitado se existe um numero ) tal
que ��� � ) para cada � � &, ou seja, & esta contido em alguma bola de ��.
Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou uniao finita de
intervalos de ��, exceto aqueles que tem �� ou �� como extremidades.
Definition 17 Um conjunto & �� e compacto se, e somente se, e fechado e
limitado simultaneamente.
35
3.2 Funcoes de Varias Variaveis
3.2.1 Definicao
Definition 18 Uma funcao de um conjunto * em um conjunto ) e uma regra
que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso,
escrevemos � � *� ).
O domınido de uma � � * � ) e o conjunto * dos elementos nos quais �
esta definida� o conjunto ) no qual � assume seus valores e denominado con-
tradomınio, ou espaco-alvo. Seja � � *, entao dizemos que � � � ��� e a
imagem de � por � . O conjunto de todos os � ���, com � no domınio de � , e
denominado imagem de � .
Example 47 Considere a funcao
� ��� �� � �� � ��
O domınio de � e todo ��, o contradomınio de � e o �� e a imagem de � e o
conjunto de todos os numeros reais nao-negativos.
3.2.2 Representacao Geometrica das Funcoes
Para construir o grafico de uma funcao do �� em �� precisamos de tres di-
mensoes. Seja ! � � ��� ��. Para cada valor ��� �� no domınio calculamos �
em ��� �� e marcamos o ponto ��� �� � ��� ���.
Example 48 Pagina 289 - Figura 13.1
� ��� �� � �� � ��
Example 49 Pagina 289 - Figura 13.2
� ��� �� � �� � ��
36
Existe uma outra maneira de visualizar-se uma funcao de �� em ��, que so
requer esbocos bidimensionais - o estudo de curvas de nıvel no plano. Para cada
��� �� novamente calculamos � ��� �� para obter, digamos, !�. Agora, esbocamos
no plano ��, o lugar geometrico de todos os outros pares ��� �� nos quais � toma
o mesmo valor !�. Este conjuno, que e em geral uma curva, e denominado curva
de nıvel de � .
Example 50 Pagina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a funcao
� ��� �� � �� � ��
Comece com o ponto �� ��, no qual � vale �. Agora encontre todos os demais
pontos nos quais � vale �. Isto e o conjunto ���� �� � �� � �� � ��, um cırculo de
raio � em torno da origem. Tambem denotamos esta curva de nıvel por ��� ���.
No caso de ��� �� temos
��� ��� ����� �� � �� � �� � �
�
um cırculo de raio� em torno da origem.
Uma vez feita as curvas de nıvel, fica mais facil visualizar o grafico no espaco
tridimensional. Temos no espaco bidimensional as curvas de nıvel de � ��� ��
no plano ��, visualize os eixos coordenados de ��, de tal modo que os eixos
� e � estejam no plano da pagina e o eixo ! parta da pagina em sua direcao.
Considerando o exemplo anterior, pegamos a curva de nıvel ��� ��� e puxamos
para cima ate o plano �! � ��. Portanto, para cada � � , puxe ��� ��� e ate
o plano �! � ��. Com este procedimento passarıamos do grafico 13.7 para o
grafico 13.1.
Example 51 Considere a funcao de producao
� � ��
37
em que � e � sao insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con-
juntos de nıveis de uma funcao de producao sao chamados isoquantas. A iso-
quanta para � � � e
�� � �� � ��
�
Ou seja, temos uma funcao � � � ��� de uma variavel, cujo grafico foi rotulado
� [pagina 295, grafico 13.10]. Para o consumidor o analogo seria as curvas de
indiferenca.
3.3 Calculo de Varias Variaveis
3.3.1 Definicoes
Definition 19 Seja � � �� � �. Entao, para cada variavel � em cada ponto
�� � ����� � � � � ���� do dominio de � , a derivada parcial de � em relacao a � e
dada por
+�
+�
����� � � � � �
��
�� ���
���
� ����� � � � � �� � �� � � � � �
���� � ����� � � � � �� � � � � � �����
se este limite existir. Somente a i-esima variavel muda, as outras sao tratadas
como constantes.
A derivada parcial mostra como uma funcao varia em direcoes paralelas aos
eixos coordenados.
Example 52 Considere a funcao
� ��� �� � ����� � ���� � ��
Entao,+�
+�� ���� � ��
38
Observe que tratamos � como uma constante. E ainda,
+�
+�� ���� � ����� � �
Observe que tratamos � como uma constante.
Outra nocao importante e a de diferencial total. Considere a funcao , ���� ���� ���
de � variaveis na vizinhanca de algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���, entao
a diferencial total de , em �� e dada por
�, �+,
+������ ��� � � � ��
+,
+������ ���
3.3.2 Regra da Cadeia
Definition 20 Uma funcao � � �� � � e continuamente diferenciavel (ou ��)
em um conjunto aberto - �� se, e somente se, para cada �, a derivada parcial
�+��+� � ��� existe em cada � de - e e contınua em �.
Example 53 (Regra da Cadeia) Considere a funcao de producao:
� � �.���/���
Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros,
. ��� #� ����
#e / ��� #� � ��� � ��#
Dai,
+�
+��
+�
+.
+.
+��+�
+/
+/
+�
���.����/���
����
#
���.���/����
������
� ��
#
�/
.
����� ���
�.
/
����
39
3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes
Definition 21 Considere a funcao , ���� ���� ��� de � variaveis na vizinhanca de
algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���. Entao a derivada de , em �� na
direcao de � (derivada direcional) e dada por
�,�� � � ��
�����
���� � � � �����
�����
�
����
��...
��
�
����
�+,
+������ �� � � � ��
+,
+������ ��
A derivada direcional mede a taxa a qual , aumenta ou diminui quando saımos
de �� na direcao de �.
Example 54 Seja � � �, entao
�,�� � � ��
�����
���� �����
���� � � � �����
�����
�
�������
�
...
�
�������
�+,
+������
Ou seja, obtemos a derivada , na direcao de ��, que e a derivada parcial com
respeito a ��. Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo ��.
Example 55 Considere a funcao de producao
� � , �.�/� � �.���/���
40
em que �.�/� � ��� ����. Entao,
+,
+.��� ���� � �
�/
.
����
� �
����
�
����
� �
��
�
�
� �� �
+,
+/��� ���� �
�.
/
����
�
��
�
��
� �
A derivada de , em ��� ���� na direcao ��� �� e, simplesmente
+,
+.��� ����� � �
+,
+/��� ����� � � �� �� � � �� �
� �� �
Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseria
a producao se aumentassemos . e / a mesma taxa? Como nao sabemos a mag-
nitude da variacao e so a sua direcao, usamos o vetor unitario����� ��
��
na
direcao ��� ��. A taxa de variacao de , na direcao de����� ��
��
e
���� ��� �� �
��
�� ��� �� ����
Definition 22 Seja � � , ���� ���� ��� e considere o seguinte vetor de derivadas
no ponto ��:
�, ���� �
�
����
�����
����...
�����
����
�
����
Tal vetor e denominado vetor gradiente de , em ��.
41
Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,
na direcao de �, pois
�, ���� � � �
�
����
�����
����...
�����
����
�
�����
�
����
��...
��
�
����
���
�
+,
+� ���� �
As caracterısticas importantes de um vetor sao:
1. Comprimento
2. Direcao
3. Sentido
Vamos nos concentrar primeiro na direcao e sentido, de modo que fazemos
��� � �. Por se equivalente a derivada direcional,�, ���� � � mede a taxa a qual
, aumenta ou diminui quando saımos de �� na direcao de �. Pela propriedade
conhecida do produto interno, a derivada de , na direcao de � e
�, ���� � � � ��, ����� ��� ��� '
� ��, ����� ��� '
pois ��� � � e ' e o angulo entre os vetores�, ���� e � no ponto base �� (Pagina
333 - Figura 14.9).
E natural perguntar: em qual direcao a funcao , cresce mais rapidamente?
Como �� � ��� ' � �, �, ���� � � e maior quando ��� ' � �, ou seja, quando
' � �, ou seja, quando � aponta na mesma direcao e sentido de�, ����.
Theorem 14 Seja , � �� � � uma funcao ��. Em cada ponto � do domınio
de , em que�, ���� �� , o vetor gradiente aponta na direcao em que , cresce
mais rapidamente.
42
Example 57 Considere mais uma vez a funcao de producao
� � , �.�/� � �.���/���
em que �.�/� � ��� ����. Se quisermos saber em quais proporcoes devemos
acrescentar . e / a ��� ���� para aumentar a producao mais rapidamente,
calculamos o vetor gradiente
�, ��� ���� �
�
� �� �
�
�
�
e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporcao de �� � para �.
(pagina 334, Figura 14.10)
3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana
Seja � � � ���� ���� ���. Entao a matriz hessiana de � e denotada por ��� ��� ou
����:
��� ��� �
�
�������
������
�
���������
� � � ���������
���������
������
�
� � � ���������
...... . . . ...
���������
���������
� � � �������
�
�������
Se todas estas �� derivadas de segunda ordem existem e sao funcoes contınuas
de ���� ���� ���, dizemos que � e duas vezes continuamente diferenciavel (ou ��).
Remark 3 Notacao+��
+� +��� ����� � � � � � ��
Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que � � � ���� ���� ��� � �� numa
regiao aberta 0 de ��. Entao, para cada � de 0 e para cada par de ındices � e 1,
+��
+� +����� �
+��
+��+� ���
Portanto, para funcoes �� a matriz ��� ��� e simetrica.
43
3.4 Funcao Implicita
Em geral trabalhamos com funcoes do seguinte modo
� � , ���� ���� ���
em que a variavel endogena e uma funcao explıcita das variaveis exogenas. No
entanto, em problemas de maximizacao, as vezes, as condicoes de primeira ordem
tem variaveis exogenas misturadas com variaveis endogenas, como em
2 ���� ���� ��� �� �
Se para cada ���� ���� ���, a equacao acima determinar um valor � correspon-
dente, diremos que tal equacao define a variavel � como uma funcao implıcita das
variaveis exogenas ��� ���� ��. Muitas vezes nao e possıvel tornar � uma funcao
explıcita de ��� ���� ��, no entanto, ainda assim gostarıamos de saber como uma
pequena variacao em uma das variaveis exogenas afeta a variavel endogena.
Example 58 Considere a funcao demanda:
� � �"��� � �"
���
Facilmente, obtemos a derivada de � em relacao a ":
��
�"� �#� �"����� � #� �"�����
Porem, nao e possıvel escrever " como funcao de �. Nesta secao vamos desen-
volver uma forma simples para calcular �"���.
Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A funcao de producao
� depende de um unico insumo �, o custo de cada unidade de insumo e %, e seja
o preco " o preco de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o
lucro e o problema da firma e
����"� ���� %�
44
Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos:
"� � ���� % �
Para cada valor das variaveis exogenas " e % a firma escolhera um valor otimo
de � que satisfaca a condicao de primeira ordem. Dependendo do formato de � ,
nao e possıvel escrever � como uma funcao explıcita de " e %, mas ainda assim
queremos computar ����" e ����%. Alem disso, queremos saber se ha multiplas
solucoes para a condicao de primeira ordem e se existe um maximo global.
Uma nota de cautela e necessaria. O simples fato de podermos escrever uma
funcao implıcita 2 ��� �� � � nao significa que esta equacao define � como uma
funcao de �. Por exemplo,
�� � �� � � (3.1)
Quando � � � nao existe � que satisfaca (3.1). No entanto, em geral comecamos
com uma solucao especıfica ���� ��� da equacao implıcita 2 ��� �� � � e pergun-
tamos se e possıvel encontrar � proximo de �� que satisfaca a equacao quando
� esta proximo de ��. Considere � � e � � �, note que tais pontos satis-
fazem a equacao implıcita. Variando � um pouco podemos encontrar um unico
� ��� �� perto de � � � que corresponde ao novo �. (Figura 15.1 - Pagina
347)
Contudo, iniciando em � � � e � � , nao existe tal relacao funcional. Se
aumentarmos � um pouco, digamos � � �� (, entao nao existe � correspondente
tal que �� � (� �� resolva (3.1). (Figura 15.2 - Pagina 348) Para ficar claro, como
( � , nao existe � resolva
�� � (�� � �� � �
� � �(� (� � �� � �
�� � ��(� (�
45
O seguinte teorema responde a duas questoes basicas, a saber:
1. A equacao 2 ��� �� � � determina � como uma funcao contınua de � para
� perto de �� e para � perto de ��?
2. Neste caso, como sao os � correspondentes afetados por variacoes em �?
Theorem 16 (Teorema da funcao implıcita) Seja 2 ��� �� uma funcao �� numa
bola em torno de ���� ��� em ��. Suponha que 2 ���� ��� � � e considere a
expressao
2 ��� �� � �
Se �+2�+�� ���� ��� �� , entao existe uma funcao � � � ��� definida num inter-
valo � em torno do ponto ���� ��� que e �� e tal que:
a) 2 ��� � ���� � � para qualquer � em �
b) � ���� � ��
c) �� ���� � �����������
����������
Remark 4 Considere uma funcao implıcita 2 ��� �� � � em torno de ���� ���.
Supondo que exista uma funcao � � � ��� � �� que e solucao da equacao
2 ��� �� � �, ou seja,
2 ��� � ���� � �
Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equacao com respeito a � em ��:
+2
+����� � �����
��
���+2
+����� � �����
��
������ �
+2
+����� � ����� �
+2
+����� � ����� �
� ���� �
Portanto,
�� ���� � �����
���� � ���������
���� � �����
46
Example 60 Vamos retomar a discussao de
�� � �� � �
Note que,
�� ��� � �����
���� �������
���� ���
� ���
��
No primeiro caso consideramos ���� ��� � �� ��, neste caso
+2
+����� ��� � ��� � � �� e �� ��� � �
��
Porem, no caso ���� ��� � ��� �
+2
+����� ��� � ��� �
e as condicoes necessarias para se aplicar o teorema da funcao implıcita nao se
aplicam
Example 61 Considere
�� � ��� � �� � � �
Queremos calcular ����� em � � � e � � �. Primeiramente vamos verificar se
+2
+���� �� ��
Calculando esta derivada e avaliando em ��� ��,
+2
+���� �� � ���� ��� � ��� � �� � �� ��
Aplicando o Teorema da Funcao Implıcita:
��
����� �� � �
����
��� ������
��� ��� � ��� ��
���� ���� ���
���
�
��
47
Theorem 17 (Teorema da funcao implıcita) Seja2 ���� ���� ��� �� uma funcao ��
numa bola em torno de ����� ���� ���� �
��. Suponha tambem que ����� ���� ���� �
�� sat-
isfaz ambos
2 ����� ���� ���� �
�� �
+2
+������ ���� �
��� �
�� ��
Entao, existe uma funcao ��, � � � ���� ���� ��� definida numa bola aberta ) em
torno de ����� ���� ���� tal que:
a) 2 ���� ���� ��� � ���� ���� ���� � � para qualquer ��� ���� �� � )b) �� � � ����� ���� �
���
c)Para cada ındice i: �����
����� ���� ���� � �
�����
���������������� ������������
3.5 Curvas de Nıvel
p342
48
Chapter 4
Formas Quadraticas e Matrizes
Definidas
Seja � � � ���, � � ��. Se �� e um ponto crıtico de � , entao a segunda
derivada � �� ���� da uma condicao necessaria e suficiente para determinar se ��
e um maximo ou mınimo (ou nenhum dos dois). A generalizacao do teste da se-
gunda derivada para � � � ���, � � �� envolve avaliar se a matriz de derivadas
segunda de � ��� (Hessiano) e definida positiva, definida negativa ou indefinida
num ponto crıtico de � . Por exemplo, � � � ���, � � �� e concava (convexa)
em uma dada regiao se a sua matriz de derivadas segunda e semidefinida negativa
(positiva) para todo � nesta regiao.
4.1 Formas Quadraticas
Um funcao quadratica bastante simples e a seguinte � ��� � ���.
Definition 23 Uma forma quadratica em �� e uma funcao real da forma
� ���� � � � � ��� ��
��
�� ��
50
na qual cada termo e um monomio de grau dois.
A forma quadratica� pode ser representada por uma matriz simetrica* como
segue
� ��� � ��*�
Example 62 Caso bidimensional:
� ���� ��� � ����� � ������ � ���
��
Que pode ser reescrita como
��� ��
��
� ���� ��
�� �� ��
�
�
�
� ��
��
�
�
Example 63 Caso tridimensional:
� ���� ��� ��� � ����� � ���
�� � ���
�� � ���
�� � ������ � ������ � ������
Que pode ser reescrita como
��� �� ��
�
�
����
���� ��
�� ��
�� �� ��
�� ��
�� ��
�� �� ��
�
����
�
����
��
��
��
�
����
Theorem 18 A forma quadratica geral
� ���� ���� ��� ���
��
�� ��
pode ser escrita na forma matricial como
��� �� � � � ��
�
�
�������
���� �� � � � �
� ��
�� �� �� � � � �
� ��
...... . . . ...
�� ��
�� �� � � � ��
�
�������
�
�������
��
��...
��
�
�������
isto e ��*� em que * e uma matriz simetrica (unica).
51
4.2 Formas Quadraticas Definidas
A forma quadratica geral de uma variavel e � � ��. Se � , entao �� �
para todo �, sendo nula apenas quando � � . Logo, tal forma e chamada de
definida positiva� � � e seu mınimo global. Se � , entao �� � para
todo �, sendo nula apenas quando � � . Neste caso, temos uma forma definida
negativa� � � e seu maximo global. Note que, determinar a classificacao de
�� e equivalente a determinar se � � e um maximo ( � ) ou um um mınimo
( � ).
De forma geral, se � ���� � � � � ��� � para todo � �� , entao � e definida
positiva. Se � ���� � � � � ��� � para todo � mas existe � �� tal que � � ,.
entao� e semidefinida positiva (nao-negativa). De forma analoga, se� ���� � � � � ��� �
para todo � �� , entao � e definida negativa. Se � ���� � � � � ��� � para todo
� e � � mas existe � �� . tal que � � , entao � e semidefinida negativa
(nao-positiva).
Portanto, determinar a classificacao de uma forma quadratica � e equivalente
a determinar se � � e um maximo, um mınimo ou nenhum dos dois para a
funcao real�. Assim, � � e o unico mınimo global da forma quadratica� se, e
somente se, � e positiva definida. Similarmente, � � e o unico maximo global
da forma quadratica � se, e somente se, � e negativa definida.
4.3 Matrizes Simetricas
Uma matriz simetrica e chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida
negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadratica a ela associada,
� ��� � ��*�, e definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou
semidefinida negativa, etc.
52
Definition 24 Seja� uma matriz �� � simetrica e � � ��. Entao� e
1) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �2) semidefinida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �3) definida negativa se ��*� � � para qualquer � �� �4) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �5) indefinida se ��*� � � para alguns � e ��*� � � para outros �
Remark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e automaticamente semidefinida
positiva (negativa)
4.4 Teste para Classificar uma Matriz Simetrica
Nesta secao apresentamos um simples teste para determinar a classificacao de uma
forma quadratica ou de uma matriz simetrica. Primeiramente vamos introduzir
algumas definicoes.
Definition 25 Seja * uma matriz � � �. Uma submatriz principal de ordem
� de * e uma submatriz de tamanho � � � formada a partir de * suprimindo
� � � colunas, digamos, as colunas ��� ��� ���� ���� e as mesmas � � � linhas, ou
seja, as linhas ��� ��� ���� ���� O determinante de uma submatriz principal � � � e
denominado um menor principal de ordem � de *.
Definition 26 Seja * uma matriz �� �. A submatriz principal de ordem � de *
obtida ao se eliminar as ultimas ��� colunas e linhas de *, *�, e denominada a
submatriz principal lıder de ordem � de*. Seu determinante, �*��, e denominado
menor principal lıder de ordem � de *.
53
Example 64 Considere a matriz�
����
�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
�
����
Entao
�*�� � � ��� , �*�� �
������
�� ��
�� ��
������e �*�� �
���������
�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
���������
O proximo teorema fornece um algorıtimo direto que utiliza os menores prin-
cipais lıderes para determinar a classificacao de uma matriz dada.
Theorem 19 Seja * uma matriz simetrica �� �. Entao,
1. * e definida positiva se, e somente se, todos os seus � menores principais
lıderes sao (estritamente) positivos.
�*�� � , �*�� � , �*�� � , . . .
2. * e definida negativa se, e somente se, os seus � menores principais lıderes
alternam de sinal do seguinte modo:
�*�� � , �*�� � , �*�� � , . . .
Ou seja, �*�� deve ter o mesmo sinal de �����.
3. Se algum �*�� e nao-nulo mas nao encaixa em nenhum dos dois casos
padroes de sinal acima, entao * e indefinida.
Se uma matriz nao e definida, ela pode ser ou nao semidefinida. Para conferir
se uma matriz e semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principal
de *, como descrito no teorema abaixo.
54
Theorem 20 Seja* uma matriz ��� simetrica. Entao* e semidefinida positiva
se, e somente se, todos os seus menores principais sao � � * e semidefinida
negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ımpar sao � e
os seus menores principais de ordem par sao � .
Example 65 Seja * uma matriz simetrica �� �, entao:
1. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e definida positiva.
2. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e definida negativa.
3. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e indefinida.
4. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e indefinida.
Example 66 Considere
* �
�
� � �
� �
�
� e ) �
�
� � �
� �
�
�
Entao, �*�� � � e �*�� � ���� � � e * e definida positiva. Alem disso, �)�� � �
e �)�� � ��� �� � �� e ) e indefinida.
4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas
Como foi dito, determinar a classificacao de uma forma quadratica � e equiva-
lente a determinar se � � e um maximo, mınimo, ou nenhum dos dois para a
funcao real �. Por exemplo, � � e o unico mınimo (maximo) global da forma
quadratica� se, e somente se,� e definida positiva (negativa). Nesta secao vamos
incluir nesta discussao restricoes lineares, ja que em muitas aplicacoes e comum
haver tal tipo de restricao.
55
Theorem 21 Para determinar a classificacao da forma quadratica� ��� � ��*�,
� � ��, sujeita a � equacoes lineares )� � , ) e � � �, contrua a matriz
simetrica orlada
3�� ����� ��
�
�
� )
)� *
�
�
Confira os sinais dos ultimos ��� menores principais lıderes de3 , comecando
com o determinante de 3 mesmo.
1. Se �3� tem o mesmo sinal de ����� e se estes ultimos ��� menores prin-
cipais lıderes alternam de sinal, entao � e definida negativa no conjunto-
restricao )� � e � � e um maximo global estrito de� neste conjunto-
restricao.
2. Se �3� e estes ultimos ��� menores principais lıderes tem todos o mesmo
sinal de �����, entao � e definida positiva no conjunto-restricao )� �
e � � e um mınimo global estrito de � neste conjunto restricao.
3. Se ambas as condicoes � e � sao violadas por menores principais lıderes
nao-nulos, entao � e indefinida no conjunto-restricao )� � e � � nao
e nem um maximo nem um mınimo de � neste conjunto-restricao.
Example 67 Para conferir a classificacao de
� ���� ��� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����� � �����
no conjunto-restricao
�� � �� � �� �
�� � ��� � �� �
56
construa a matriz orlada
3� �
�
�������������
� � �
� �� �
� � ��� �� �� �
� � �
� � �� �
�
�������������
Como este problema tem � � � variaveis e� � � restricoes, precisamos conferir
as ultimas ��� � � submatrizes principais lıderes de 3�: a propria 3� e
3 �
�
����������
� �
� ��
� �
� �� �� �
� � �
�
����������
Como � � � e ����� � �, precisamos de �3�� � e �3� � para verificar se
� e definida positiva. Por outro lado, como � � � e ����� � �, precisamos de
�3�� � e �3� � para verificar se � e definida negativa. Como �3�� � �� e
�3� � ��, concluımos que � e definida positiva no conjunto-restricao e � � e
um mınimo de � restrita ao conjunto-restricao.
57
Chapter 5
Otimizacao Irrestrita
Adiantamos que os principais resultados para funcoes multivariadas sao analogos
aos resultados unidimensionais, isto e:
1. Uma condicao necessaria para �� ser um maximo interior de ! � , ��� e
que as derivadas primeiras de , avaliadas em �� sejam zero�
2. Se incluirmos uma condicao apropriada sobre a derivada segunda de , ,
entao esta condicao necessaria torna-se tambem suficiente.
5.1 Definicoes
Seja , � - � �� uma funcao real de � variaveis, cujo domınio e um subconjunto
de ��. Entao,
1. �� � - e um maximo global de , em - se , ���� � , ���, para cada
� � - �
2. �� � - e um maximo global estrito se �� e um maximo e , ���� � , ���
para cada � � - , � �� ���
58
3. �� � - e um maximo local de , se existe uma bola )� ���� em torno de
�� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - �
4. �� � - e um maximo local estrito de , se existe uma bola )� ���� em
torno de �� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - , � �� ���
Invertendo as desigualdades nas quatro definicoes acima, obtemos as definicoes
de mınimo global, mınimo global estrito, mınimo local e mınimo local estrito, re-
spectivamente.
5.2 Condicoes de Primeira Ordem
A condicao de primeira ordem para um ponto �� ser um maximo ou mınimo de
uma funcao � de uma variavel e que � � ���� � , ou seja, �� seja um ponto crıtico
de � . Esta condicao requer que �� esteja no interior do domınio de � . A mesma
condicao vale para uma funcao , de � variaveis, considerando as � derivadas
parciais +,�+� em ��, para � � �� � � � � �. Neste caso, �� e um ponto interior do
domınio de , se existir uma bola )� ���� em torno de �� contida no domınio de
, .
Theorem 22 Seja , � - � �� uma funcao �� definida no subconjunto - de��.
Se �� e um maximo local ou mınimo local de , em - e se �� e um ponto interior
de - , entao+,
+� ���� � para � � �� � � � � �
Proof. ....
Example 68 Seja , ��� �� � �� � �� � ���.
+,
+�� ��� � �� � � � � ��
�
�
59
+,
+�� ���� � �� �
Logo,
�����
�
�
��� �� �
��� � ��� �
���� � ��
��
As solucoes sao � � e � � �. Substituindo em � � �����, obtemos � � e
� � ��. Logo, �� � e ������ sao candidatos a maximo local ou mınimo local
de � .
5.3 Condicao de Segunda Ordem
Definition 27 Um ponto n-dimensional �� e um ponto crıtico de uma funcao
, ���� � � � � ��� se �� satisfaz
+,
+� ���� � para � � �� � � � � �
Assim, no exemplo anterior, os pontos crıticos de , ��� �� � ��������� sao
�� � e ������. Para determinar se algum destes pontos crıticos e um maximo ou
um mınimo, precisamos usar as derivadas segunda de , , supondo que , � ��.Construımos entao a matriz � � � de derivadas parciais de segunda ordem de ,
denominada Hessiana:
��, ���� �
�
����
������
�
���� � � � ���������
����... . . . ...
���������
���� � � � �������
����
�
����
Como derivadas parciais cruzadas de funcoes �� sao iguais, ��, ���� e uma
matriz simetrica.
60
5.3.1 Condicoes Suficientes
Theorem 23 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto
aberto - ��. Suponha que �� e um ponto crıtico de , , isto e, �����
���� �
para � � �� � � � � �.
1. Se��, ���� e uma matriz simetrica definida negativa, entao �� e um maximo
local estrito de , �
2. Se��, ���� e uma matriz simetrica definida positiva, entao �� e um mınimo
local estrito de , �
3. Se ��, ���� e indefinida, entao �� nao e nem um maximo local nem um
mınimo local de , �
Definition 28 Um ponto crıtico �� de , para o qual ��, ���� e indefinida e
chamado ponto de sela.
Theorem 24 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto
aberto - ��. Suponha que
+,
+� ���� � para � � �� � � � � �
e que os � menores principais lıderes de ��, ���� alternam de sinal em �� do
seguinte modo
�,���� � � ,
������
,���� ,����
,���� ,����
������� ,
���������
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
���������
� , � � �
Entao, �� e uma maximo local estrito de , .
61
Theorem 25 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto
aberto - ��. Suponha que
+,
+� ���� � para � � �� � � � � �
e que os � menores principais lıderes de ��, ���� sao todos positivos em ��:
�,���� � � ,
������
,���� ,����
,���� ,����
������� ,
���������
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
���������
� , � � �
Entao, �� e uma mınimo local estrito de , .
Theorem 26 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto
aberto - ��. Suponha que
+,
+� ���� � para � � �� � � � � �
e que alguns dos menores principais lıderes nao-nulos de ��, ���� violam o
padrao de sinais dos dois teoremas anteriores. Entao, �� e um ponto de sela
de , � nao e um maximo local nem um mınimo local de , .
5.3.2 Condicoes Necessarias
(melhorar o texto, pagina 412) As condicoes de segunda ordem necessarias para
um maximo ou um mınimo de uma funcao sao mais fracas do que as condicoes su-
ficientes. De fato, ao inves de avaliarmos se a matriz Hessiana e definida positiva
ou definida negativa, nos avaliamos se tal matriz e semidefinida negativa (maximo
local) ou semidefinida positiva (mınimo local).
Theorem 27 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto
aberto - ��. Suponha que �� e um ponto interior de - e que �� e um maximo
(mınimo) local de , . Entao, �, ���� � e ��, ���� e semidefinida negativa
(positiva).
62
Theorem 28 Seja , � - � �� uma funcao �� de � variaveis. Suponha que �� e
um ponto interior de - .
1. Se �� e um mınimo local de , , entao �����
���� � para � � �� � � � � � e
todos os menores principais da Hessiana��, ���� sao � .
2. Se �� e um maximo local de , , entao �����
���� � para � � �� � � � � �
e todos os menores principais de ordem impar da Hessiana ��, ���� sao
� e todos os menores principais de ordem par da Hessiana��, ���� sao
� .
Example 69 Seja , ��� �� � �� � �� � ���.
+,
+�� ��� � �� � � � � ��
�
�
+,
+�� ���� � �� �
Logo,
�����
�
�
��� �� �
��� � ��� �
���� � ��
��
As solucoes sao � � e � � �. Finalmente, substituindo em � � ����� obtemos
�� � e ������.
+�,
+��� ��,
+�,
+�+�� �,
+�,
+�+�� � e
+�,
+��� ���
��, ���� �
�
� �� �
� ���
�
�
Os menores principais sao,
���� � ��
63
������
�� �
� ���
������� ����� � ��
Em �� � obtemos e ��� respectivamente, sendo �� � um ponto de sela. Em
������ obtemos �� e ���, entao ��, ������ e definida positiva e ������ e um
mınimo local estrito.
5.4 Maximo Global e Mınimo Global
Na secao anterior discutimos as condicoes suficientes de primeira e segunda or-
dem para encontrarmos todos os maximos e mınimos locais de uma funcao difer-
enciavel cujo domınio seja um conjunto aberto em ��. Nesta secao discutimos
condicoes suficientes para um extremo local ser um maximo global ou um mınimo
global de uma funcao real em ��.
Theorem 29 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto
convexo aberto - ��.
1. As tres condicoes a seguir sao equivalentes
� , e uma funcao concava em - �
� , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - �
� ��, ��� e semidefinida negativa para qualquer � � - .
2. As tres condicoes a seguir sao equivalentes
� , e uma funcao convexa em -�
� , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - �
� ��, ��� e semidefinida positiva para qualquer � � - .
64
3. Se , e uma funcao concava em - e �, ���� � para algum �� � - ,
entao �� e um maximo global de , em - .
4. Se , e uma funcao convexa em - e�, ���� � para algum �� � - , entao
�� e um mınimo global de , em - .
(O esboco da prova e interessante, pagina 414-415)
5.5 Aplicacoes
5.5.1 Maximizacao do Lucro
Suponha que uma firma usa � insumos, � � ��, para gerar um unico produto,
� � 2 ��� � ��. O preco de venda e ". A receita e dada por � ��� � "2 ���, e o
custo e representado por uma funcao � ��� � ��. A firma maximiza o lucro
, ��� � "2 ���� � ���
Assumindo que a firma usa quantidades positivas de todos os insumos (� pertence
ao interior do �� ), entao no ponto de lucro maximo, ��, temos
+, ���
+� � � "
+2 ���
+� �+� ���
+� para � � �� � � � � �
Ou seja, a receita marginal e igual ao custo marginal para cada insumo � . Suponha
que
� ��� ���
�
% �
Entao, a condicao de receita marginal igual a custo marginal torna-se
"+2 ���
+� � % �
+2 ���
+� �%
"para � � �� � � � � �
A condicao necessaria de segunda ordem para que �� seja um maximo local e
que ��, ���� seja semidefinida negativa. No caso de custo marginal constante, e
necessario entao que ��2 ���� seja semidefinida negativa.
65
Example 70 Considere uma firma que produz o bem ! usando dois insumos, � e
�. Os precos sao dados. O preco de venda e ��, enquanto o preco do insumo � e
� e o do insumo � e �. A funcao de producao da firma e dada por:
! ��
��
���� � ��� ��� � � �� � ���
�
Assim a funcao lucro tem a seguinte expressao:
� ��� �� � ��! � ��� ��
� ��� �� � ��� � ��� ��� � � �� � ��� � ��� ��
CPO:
�� � �� ��� ��� � �
� �� � � � �
� �� � �
�� � ��� �� � ��� � �
� � �� � �� � � �
� �� � �� � � �
� �� ���
�
CSO:
��� � ��, ��� � ��� � , ��� � ���
3 �
�
� ��
���
�
�
�3�� � �� � , �3�� � ��� �
Portanto, a estrategia de producao ��� ����� maximiza o lucro.
66
5.5.2 Monopolista Astuto
Suponha que um monopolista produz um unico bem e atua em dois mercados
distintos e separados (um mercado domestico e outro externo, por exemplo). Seja
� a quantidade demandada no mercado �, 4 � 2 �� � a funcao de demanda
inversa no mercado �, de modo que a receita neste mercado e dada por
� �� � � 4 � � 2 �� ��
Suponha que o custo de producao � dependa da soma � � �� � ��, isto e,
� ��� ����. Entao o lucro torna-se
� ���� ��� � 2� ������ �2� ������ � � ��� ����
Se soubermos que a firma ira produzir quantidades positivas em cada mer-
cado, e que a funcao lucro seja concava, o nosso problema e calcular os pontos
de maximo da funcao lucro � no interior do quadrante positivo. Esses maximos
satisfazem:
+�
+��� � + 2� �������
+��� � � ��� ����
+�
+��� � + 2� �������
+��� � � ��� ����
A receita marginal em cada mercado deve igualar-se ao custo marginal de producao.
Example 71 No modelo acima considere as seguintes especificacoes:
4� ���� � �� ���
4� ���� � �� ���
� ��� � � � ��
67
em que � � �� ���. Com isso, a funcao lucro torna-se
� ���� ��� � ��� ������ � ��� ������ � � � � ��� �����
� ��� � ���� � ��� � ���� � �� ��� � ���
� ��� � ���� � ��� � ���� � �
Condicao de primeira ordem:
+�
+��� � �� ��� � � �� � �
+�
+��� � �� ��� � � �� � �
Condicao de segunda ordem:
+��
+���� ��,
+��
+���� ��,
+��
+�����
+��
+�����
3 �
�
� ��
��
�
�
Portanto, �3�� � �� e �3�� � �, o que implica que � ���� ��� e uma funcao
concava e a estrategia de demanda ��� �� maximiza o lucro.
5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos
Considere um monopolista que produz dois bens distintos, � e �� e quer maximizar
seu lucro A funcao demanda de cada bem e tal que
"� � ��� ��
"� � �� ��
A funcao custo do monopolista e a seguinte:
� ��� �� � �� � ��� � ���
68
Observe que a producao dos bens e interligada, pois o custo possui o temo ���. A
funcao lucro e dada por
� ��� �� � "� ����� "� ��� � � � ��� ��
� ��� �� � ���� ����� ��� ��� � ���� � ��� � ���
�
� ��� �� � ���� ��� � �� � ��� � ���
CPO:
�� � ��� ��� �� �
� ��� � � ��
�� � �� ��� � �� �
� �� �� � �
� � � �� ��
Resolvendo o sistema:
� ��� ��� � � � ��
�� ��� � � � ��
�� � �
�� � �� ��� � �
CSO:
��� � ��, ��� � ��� � ��, ��� � ���
3 �
�
� �� ���� ���
�
�
�3�� � �� � , �3�� � ��� �
Portanto, a estrategia de producao ��� �� maximiza o lucro.
69
5.5.4 Concorrencia Perfeita: Producao de dois Bens
Considere uma firma que produz dois bens sob concorrencia perfeita, de modo
que os precos sao dados. A funcao receita e dada por
� ���� ��� � 4��� � 4���
Supomos que a funcao custo tem o seguinte formato
� ���� ��� � ���� ����� � ����
A funcao lucro pode ser escrita como
� ���� ��� � 4��� � 4��� � ���� ����� � ����
Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que a
firma ira produzir quantidades positivas em cada mercado, e que a funcao lucro
seja concava, o nosso problema e calcular os pontos de maximo da funcao lucro
� no interior do quadrante positivo. As condicoes necessarias de primeira ordem
sao:
+� ���� ���
+��� � 4� � ��� ��� �
+� ���� ���
+��� � 4� ��� � ��� �
Temos um sistema.
��� ��� � 4�
�� � ��� � 4�
�
!�� �
�4� � 4���
e �� ��4� � 4�
��
Portanto, se 4� � �� e 4� � ��, �� � � e �� � �.
Condicao de segunda ordem:
+��
+���� ��,
+��
+���� ��,
+��
+�����
+��
+����� ��
70
3 �
�
� �� ���� ��
�
�
Portanto, �3�� � �� e �3�� � �� � � � ��, o que implica que � ���� ��� e
uma funcao concava e a estrategia de demanda ��� �� maximiza o lucro quando
4� � �� e 4� � ��.
5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos
Considere um monopolista que produz dois bens substitutos, com as seguintes
funcoes de demanda:
�� � �� �4� � 4� (5.1)
�� � �� � 4� � 4� (5.2)
Observe que o aumento no preco de uma mercadoria aumenta a demanda da outra.
Queremos expressar 4� e 4� como funcao das quantidades para construir a funcao
lucro que dependa somente das quantidades. Note que (5.1) implica
4� � �� � � � �4� (5.3)
Substituindo em (5.2) obtemos:
�� � �� � 4� ��� � �� �4�
�� � ����� � 4�
4� � ����� ���
Substituindo em (5.3) obtemos:
4� � �� � � � � ������ ����
4� � �� � � � ��� ��� � ���
4� � ���� � ���
71
A receita da firma pode ser escrita como:
� ���� ��� � 4� ���� ����� � 4� ���� �����
� ������ ������ � ����� � ������
� ���� ���� ����� � ��� ����� � ����
� ���� ���� � ����� � ��� � ����
A funcao custo total e dada por
� ���� ��� � ��� ����� ����
Como o custo marginal de �� depende de �� e, vice-versa, as duas mercadorias
sao tecnicamente relacionadas na producao.
A funcao lucro torna-se:
� ���� ��� � � ���� ���� � ���� ���
� ���� ���� � ����� � ��� � ���� ����� ����� ��
��
�
� ���� � ���� � ����� � ��� � ����
Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que
a firma ira produzir quantidades positivas em cada mercado, o nosso problema
torna-se calcular os pontos de maximo da funcao lucro � no interior do quadrante
positivo. As condicoes necessarias de primeira ordem sao:
+� ���� ���
+��� � ��� ��� � ��� �
+� ���� ���
+��� � ���� � �� ��� �
Temos um sistema.
��� � ��� � ��
��� � ��� � �
�
!�� � � e �� �
��
�
72
Condicao de segunda ordem:
+��
+���� ��,
+��
+���� ��,
+��
+�����
+��
+����� ��
3 �
�
� �� ���� ��
�
�
Portanto, �3�� � �� e �3�� � ��� � � ��, o que implica que � ���� ��� e uma
funcao concava e a estrategia de demanda ��� ����� maximiza o lucro.
5.6 Exercıcios de Fixacao
Questao 1) Analise se as funcoes abaixo possuem pontos de maximo local e/ou
mınimo local.
a) ���� �� � �� � �� � ��� ��
CPO:
�� � ��� � � � � � ��
�� � ��� � � � � � � �
CSO:
��� � �
��� � ��� �
��� � ��
3 �
�
� �
��
�
�
�3�� � � � �3�� � �� �
Assim ���� �� e um ponto de sela.
73
b) ���� �� � � �� � � � � �� ��
CPO:
�� ��
�� � � � � � �
�� ��
�� � � � � � �
CSO:
��� � � �
��
��� � ��� �
��� � � �
��
3 �
�
� � ���
� ���
�
�
3 ��� �� �
�
� ��
���
�
�
�3�� � �� � �3�� ��
��
Assim, ��� �� e um ponto de maximo.
c) � ��� �� � �� ��� � �� � ��� � ��, em que � �� �� �� � .
CPO
�� � � ���� � � � � �� � ���
�� � �� ��� � � �
Resolvendo o sistema:
�� ��
�� � ���
�� � �
�� � �� ����� �� � �� � ���
�� � � �� �
�� �� �� �� � ���
74
�� � � � �
�
�� �� �� � ���
�
CSO
��� � ��
��� � ��� �
��� � ��
3 �
�
� ��
��
�
�
�3�� � �� �3�� � ���� �
Assim, ���� ��� e um ponto de maximo se:
�� � � �
���� � � ��� � �
Note que, como � e negativo, ��� � , se e somente se � � . Por outro lado,
���� ��� e um ponto de mınimo se:
�� � � �
���� � � ��� � �
Note que, como � e positivo, ��� � , se e somente se � � .
d) � ��� �� !� � ��� � �� � !� � �� � �!CPO
�� � ���� � � � �� � �
�� � ��� � �� ! �
�� � ��! � � � � �! � �
75
Logo,
� ��
�� !
Substituindo,
��� � �� ! �
��� � �
���
��
� �
Obtemos �� � �.
CSO
��� � ��� ��� � �� ��� �
��� � �� ��� � ��� ��� � �
��� � � ��� � �� ��� � ��
3 �
�
����
�� �
� �� �
� ��
�
����
�3�� � �� �
�3�� � �� � � � �
�3�� � ��� ���� �� � �� �
Logo, �� � � e um ponto de maximo.
e) � �.�/� � .���/��� �. � ��/�
CPO
�� ��
�.����/��� � � �
��/
.
� �
�
� �� /
.� �� / � �.
76
�� ��
�.���/���� � / �
��.
/
����� �/� .
/� �/� � . � �/�
Portanto,
. � � ��.��
. � ����.�
�
. � ���.�
.� ��
���
.� ��
��� /� �
�
�
CSO
��� � ��
�.����/���
��� � ��� ��
�.����/����
��� � ��
�.���/���� � �
3
��
����
�
��
�
� ���
����
�� �
�
���
� �� �
�
����
�� �
�
���
�� �
�
��
����
�� �
�
���
�� �
� ���
����
� ��
���
�� �
� � �
�
�
3
��
����
�
��
�
� ���� ��� �
���� �� �
��� �� � ��
�� �
�� �� �
�
�
3
��
����
�
��
�
� �� �
� ���
�
�
�3�� � �� � �3�� � ��� � � � �
Portanto, ������ ���� e um ponto de maximo.
f) � ��� �� !� � 5 � �� 6 � � � 7 � ! � �� � � !, em que 5� 6� 7 � .
77
CPO
�� �5
�� � � � � � 5
�� �6
�� � � � � � 6
�� �7
!� � � � ! � 7
Encontramos �5� 6� 7�.
CSO
�� � � 5��
�� � � 6��
�� � � 7!�
As demais derivadas de segunda ordem sao nulas. Entao,
3 �
�
����
� ���
� ���
� ��
�
����
3 �5� 6� 7� �
�
����
� ��
� ��
� �
�
����
�3�� � � �
5�
�3�� ��
56�
�3�� � � �
567�
E, �5� 6� 7� e um maximo local.
g) � ��� �� � �� � �� � �� � ��� �
78
CPO:
�� � ��� � � � �
�� � �� �� �
Logo, � � ���, e
� ����� � � � � �
��� � � � �
�� � ��
O que implica que �� � �.
CSO:
��� � �, ��� � ��� � �, ��� � �
3 �
�
� � �
� �
�
�
�3�� � � � , �3�� � � �
Assim, ������ e um ponto de mınimo.
h) � ��� �� � �� � � ��� � ���
CPO:
�� � � � ��
�� � ��� � �� � �� �
��
�
�� � �� ��
�� � ��� � �� � �� �
��
�
Dai,��
��
��
�� �� � ��
79
Portanto, se � � sabemos que � � � . Substituindo nas condicoes de
primeira ordem:
�� � �� ���
�
��� ���
�
�� � �
Mas, �� �� � � �, entao � � � � � ou � ��. Portanto, obtemos
��� �� e �������.CSO:
��� � ��
�
�� � ��� ��
��� � ������
�
���� � � ��� � ���
��� � ����
��� � ��
�
�� � ��� ��
��� � ������
�
���� � � ��� � ���
��� � ����
��� � ���
� � ���
��� � �����
� � ����
��� � ���
3 ��� �� � 3 ������� �
�
� �
�
�
�
�3�� � , �3�� � �� �
Portanto, ��� �� e ������� sao pontos de sela.
80
i) � ��� �� � � � �� � ��
CPO:
�� � �� � � � �
�� � ��� � � � �
CSO:
��� � �, ��� � ��� � , ��� � ��
3 �
�
� �
��
�
�
�3�� � � , �3�� � �� �
Portanto, �� � e um ponto de sela.
j) � ��� �� !� � ���� � ���� � ���� � ���� � ��� � �
CPO:
��� � ��� � �� � �� �
��� � �� � ��� � � �� � ��
���
��� � �� � ��� � � �� � ��
���
Logo,
��� ��
��� ��
�
��� �
�� �
� �� � �� �
81
CSO:
3 �
�
����
� � �
� �
� �
�
����
�3�� � � �
�3�� � ��� � � �� �
�3�� � ��� �� � �� � �� �
Portanto, �� � � e um ponto de mınimo.
k) � ��� �� !� � ���� � ����� � ��� � ��� � ����
CPO:
��� � ����� � ��� �
��� � �� ��� � � �� � �
��� � ��� � ��� � � �� � ���
Logo,
�� ������ � ��� �
����� � �� �
�� ����� � �� �
�
�
��� � � �� �
�� ���� � �� �
��
Portanto, obtemos os pontos �� �� � e ����� �� ����
82
CSO:
3 �
�
����
���� �
��
� ��
�
����
�3�� � ����
�3�� � ����
�3�� � ����� � �����
Considerando, �� �� �, temos �3�� � , �3�� � e �3�� � �� � , nao
sendo possıvel concluir se este ponto e um ponto de maximo local, mınimo local
ou sela. Considerando, ����� �� ����, temos �3�� � �� � , �3�� � � � e
�3�� � ��� � , e trata-se de um ponto de maximo.
83
Chapter 6
Otimizacao Restrita I
O problema tıpico estudado neste capıtulo e a maximizacao de uma funcao obje-
tivo sujeita a algumas restricoes.
� � � ���� � � � � ��� , ���� � � � � ��� � ��
sujeito a
�
��� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ���� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
A funcao � e denominada funcao objetivo, enquanto as funcoes ��� � � � � �� e
��� � � � � �� sao denomiadas funcoes restricao. As funcoes ��� � � � � �� sao restricoes
de desigualdade e as funcoes ��� � � � � �� sao restricoes de igualdade.
6.1 Restricoes com igualdade
6.1.1 Duas Variaveis e uma Restricao de Igualdade
(Motivacao: p423 (teoria do consumidor) e p 426 (gradiente))
Theorem 30 Seja � e � funcoes�� de duas variaveis. Suponha que �� � ����� ����
e a solucao do problema
� � � ���� ���
84
sujeito a � ���� ��� � �
Suponha tambem que ����� ���� nao e um ponto crıtico de � (qualificacao de restricao).
Entao, existe um numero real 8� tal que ����� ���� 8
�� e um ponto crıtico da funcao
lagrangeana
/ ���� ��� 8� � � ���� ��� � 8 �� � ���� ����
Ou seja, em ����� ���� 8
��
+/
+��� ,
+/
+��� ,
+/
+8�
Remark 6 A conclusao do teorema anterios vale tanto para maximizacao quanto
para minimizacao no conjunto-restricao.
Example 72
� � ���� (6.1)
sujeito a �� � ��� � ��
Portanto,
/ ���� ��� 8� � ���� � 8 ��� �� � ����
+/
+��� �� � 8 � � 8 � �� (6.2)
+/
+��� �� � �8 � � 8 �
���
(6.3)
+/
+8� ��� �� � ��� � (6.4)
Temos tres equacoes e tres variaveis. Igualando (6.2) e (6.3) obtemos
�� ����
(6.5)
Substituindo em (6.4):
�� � �����
�� ��� �� � � (6.6)
85
As equacoes (6.2), (6.5) e (6.6) implicam que �� � 8 � �. Note que ���� ��� �
��� �� nao e um ponto crıtico de �, sendo atendida a qualificacao de restricao.
Portanto, teorema anterior afirma que o unico candidato a solucao do problema
(6.1) e ���� ��� � ��� ��.
Example 73
� � ����� (6.7)
sujeito a ���� � ��� � �
Para verificar a qualificacao de restricao calculamos os pontos crıticos de � ���� ��� �
���� � ���.
+� ���� ���
+��� ��� � � �� �
+� ���� ���
+��� ��� � � �� �
Portanto, ���� ��� � �� � e o unico ponto crıtico de � ���� ��� e, claramente, nao
pertence ao conjunto-restricao. Podemos, entao, formar o lagrangeano
/ ���� ��� 8� � ����� � 8��� ���� � ���
�
Condicoes de primeira ordem:
+/
+��� ����� � �8�� � ��� ��� � �8� � (6.8)
+/
+��� ��� � �8�� � (6.9)
+/
+8� �� ���� � ��� � (6.10)
A equacao (6.8) fornece �� � ou �� � �8. Se �� � , entao a equacao (6.10)
implica que �� � ��, usando a equacao (6.9) obtemos 8 � . Portanto,
���� �
e���
�� �
86
sao duas solucoes do sitema formado pelas equacoes (6.8), (6.9) e (6.10). Se
�� �� em (6.8), entao ���� � 8. Substituindo em (6.9) obtemos ��� � ���, e
usando (6.10) temos ���� � � ou seja, �� � ��. Se �� � �, 8 � �� e �� � ��.
Por outro lado, se �� � ��, 8 � �� � e �� � ��, assim
��� �� ��� e ���� �� ��� e ���������� e �����������
6.1.2 Varias Restricoes de Igualdade
Considere o problema:
� � � ���� � � � � ��� , ���� � � � � ��� � ��
sujeito a �� � �� � ���� � � � � ��� � �� ��� � �� � � � � �� ��� � ��
A qualificacao de restricao significa que (para o caso de 1 restricao):�+��+��
���� � � � � �+��+��
����
��� �� � � � � �
Para generalizar a qualificacao de restricao para o caso de � � � restricoes
usamos a derivada Jacobiana das funcoes restricao:
�� ���� �
�
�������
������
���� � � � ������
����
������
���� � � � ������
����... . . . ...
�����
���� � � � �����
����
�
�������
Em geral, um ponto �� e chamado um ponto crıtico de � � ���� � � � ��� se o posto
da matriz �� ���� e menor do que �. Assim, a generalizacao da qualificacao
de restricao e que o posto da matriz �� ���� seja �, o maior possıvel. Mais
formalmente, nos dizemos que ���� � � � ��� satisfaz a qualificacao de restricao
nao-degenerada (QRND) em �� se o posto da matriz jacobiana �� ���� em �� e
�.
87
Theorem 31 Sejam �� ��� � � � � �� funcoes �� de � variaveis. Considere o prob-
lema de maximizar (ou minimizar) � ��� no conjunto-restricao
�� � �� � ���� � � � � ��� � �� ��� � �� � � � � �� ��� � ��
Suponha que �� � �� e que �� e uma maximo (local) ou mınimo (local) de �
em ��. Suponha ainda que �� satisfaz a condicao QRND acima. Entao, existem
8��� � � � � 8�� tais que ����� � � � � �
��� 8
��� � � � � 8
��� � ���� 8�� e um ponto crıtico do
lagrangeano
/ ��� 8� � � ��� � 8� � � �� ���� � � � �� 8� � � �� ����
Ou seja,
+/
+������ 8�� � � � � � �
+/
+������ 8�� �
+/
+8����� 8�� � � � � � �
+/
+8����� 8�� �
Example 74
� � ��!
sujeito a �� ����� �� !� � �� � �� � �� � � � � �� ! � �
�
Matriz Jacobiana
�� ��� �� !� �
�
������
�����
�����
�����
�����
�����
�
�
�
�
� �� ��
� �
�
�
Seu posto e menor do que � � � se, e somente se, � � � � . Como qualquer
ponto com � � � � violaria a primeira restricao, todos os pontos no conjunto-
restricao satisfazem a QRND. Formamos o lagrangeano,
/ ��� �� !� 8�� 8�� � ��! � 8���� �� � ��
�� 8� �� �� !�
88
Condicoes de primeira ordem:
+/
+�� �! � �8��� 8� �
+/
+�� �! � �8�� � � 8� �
�!
��
+/
+!� �� � 8� � � 8� � ��
+/
+8�� �� �� � �� � � �� � �� ��
+/
+8�� �� �� ! � � ! � �� �
Substituindo a segunda e a terceira equacoes na primeira,
�! � �
��!
��
��� �� �
��! � ��! � ��� � (6.11)
Substituindo as duas ultimas equacoes em (6.11) obtemos:
��� ��
���� ��� �� ��� ��� �
��� ��
��
Uma solucao e � � �, que implica � � ! � . Para obter solucoes diferentes,
podemos dividir esta expressao por �� �,
��� ��� ��� ���� �
� �� ��� ���� �
� ���� �� �� � ���� �
�
���� ��
�� �� � � �� � �� �
�� � �� � �� � �� �� �
��� � �� � �
Logo,
� ����
� � ��
�����
��
�
89
Com isso obtemos
� ��� �
��
�
� � �
"
#��$�� �
��
�
%�&
'
�
�
! � �� �� ���
�
E,
� ����
��
�
� � �
"
#��$���
��
�
%�&
'
�
�
! � �� �����
�
6.1.3 Aplicacoes
Maximizacao da Receita
Considere uma firma cujo preco de venda e unitario, e sua funcao de producao e
a seguinte:
� � .���/���
Suponha que o objetivo desta firma e maximizar a receita, sujeita a ter um custo
�, isto e,
�����
.���/���
#. � %/ � �
Como � �.�/� � #.�%/ tal funcao nao possui ponto crıtico e a qualificacao
de restricao e claramente atendida. Podemos, entao, formar o lagrangeano
� � .���/��� � 8 �� � #. � %/�
90
+�
+.�
�
�.����/��� � 8# � � 8 �
�
�#
�/
.
����
+�
+/�
�
�.���/���� � 8% � � 8 �
�
�%
�.
/
����
+�
+8� � � #. � %/ � � #. � %/ � �
Portanto,
�
�#
�/
.
�����
�
�%
�.
/
����
/ �#
%.
#. � %� #%.�
� �
�#. � �
.� ��
�#
/� �#
%
��
�#
���
�%
Minimizacao do Custo
Considere uma firma cujo preco de venda e unitario, e sua funcao de producao e
a seguinte:
� � .���/���
Suponha que o objetivo desta firma e minimizar o custo, sujeita a produzir �, isto
e,
�� ��
#. � %/
� � .���/���
Como � �.�/� � .���/���, esta funcao e sempre crescente em . e / nao
possuindo pontos crıticos. Podemos, entao, formar o lagrangeano
� � #. � %/� 8� � �.���/���
�
91
+�
+.� # � �
�8.����/��� � � 8 �
�#
.����/���
+�
+/� % � �
�8.���/���� � � 8 �
�%
.���/����
+�
+8� � �.���/��� � � � � .���/���
Portanto,
�#
.����/����
�%
.���/����
#.���
/���� %
/���
.���
/ �#
%.
� � .���/���
� � .���� #%.����
� � .� #%
����
.� � ��%#
����
/ �#
%.�
/ �#
%
� ��%#
�����
/ � �#
%
� #%
�����
/� � �� #%
����
Geracoes Sobrepostas
��������
� ���� � 6 � ����
�
��� � � 9�
�� � 9� ��
92
Formando a matriz jacobiana, obtemos
�� ���� ��� �
�
�������
������
�����
������
������
�����
�
�
�
�
� � �
� ��
�
�
Tal matriz possui posto igual a � � �, sendo atendida a QRND.
/ � � ���� � 6 � ���� � 8� �9� � �� � � � 8� �9� ��� ���
+/
+���
�
��� 8� � � 8� �
�
��+/
+���
6
��� 8� � � 8� �
6
��+/
+� �8� ��8� � � 8� � �8�
Portanto,
�
��� �
6
���� � 6���
Atuacao do Governo
�� !"
�� � ��� ��- � -
��� �
� � �# � ��- � -
�� � �
Assim, � ���-� � � � �- , nao possuindo ponto crıtico. Logo, passando ao
lagrangeano
/ � �� � ��� ��- � -
��� 8��# � �
�- � -
�� ��
93
+/
+�� � �� � ��� 8 � � 8 � � �� � ��
+/
+-� �
�- � -
�� �8 � � 8 �
�
�
�- � -
�
+/
+8� �# � �
�- � -
�� � � � � � �# � �
�- � -
�
Logo,
� �� � �� ��
�
�- � -
�
� �� � �� � - � -
Assim,
� � �# � � � �� � ���
� � �# � ��� � �� ��� � ��
�� � �# � �� �
�� ��
� � ����# � �� �
�
-� � - � �
��
� � ����# � �� �
�� �
�
Observacao: se �# � �, entao o governo alcanca as metas.
�� ��
� � ��� � � �� �
�
�� � �
-� � - � � � � ��
-� � -
Intuicao: se �# � � a restricao se torna
� � �# � ��- � -
�
� � � � ��- � -
�
� � � � ���- � -
�
94
Substituindo na funcao objetivo:
�� !"
�� � ��� ��- � -
��� �
� �� !"
����- � -
�����- � -
��� �
� �� "
���- � -
����- � -
��� � � �
� �� "
�� � ��
� �- � -
��� � � �
Fica claro que o governo escolhe - � - , para minimizar sua perda. Voltando
na restricao, - � - implica � � �.
Maximizacao da utilidade sujeita a restricao orcamentaria
Suponha que a funcao utilidade seja - � �� e que "� � ��, "� � � e renda igual
a ��.
�����
��
���� �� � ��
Note que � ��� �� � ��� � ��, nao possuindo pontos crısticos. Formando o
lagrangeano
/ � �� � 8 ���� ���� ���
+/
+�� � � ��8 � � 8 �
�
��
+/
+�� �� �8 � � 8 �
�
�
+/
+8� � ���� �� � ��
Logo,�
����
�� � � ��
95
���� � ���� � ��
�� � ��
�� � �
�� � ��
Vamos considerar agora outra funcao utilidade, precos e renda, de modo que
o problema do consumidor torna-se
�����
��� � ��
��� �� � ���
Note que � ��� �� � �� � ��, nao possuindo pontos crıticos. Formando o
lagrangeano
/ � ��� � ��� 8 ����� ��� ���
+/
+�� �� � �� �8 � � 8 �
�� � �
�+/
+�� ��� � �8 � � 8 �
��
�
+/
+8� � ��� �� � ���
Logo,
�� � �
��
��
�
��� � � � ��
� ���� � �
�
�
���� � �
�
�� �� � ���
��� � � � ��� � ����
���� � ���� � � �
��� � ��� � � �
96
� ����
��� � ��
�
� ���� ��
�
� �
�
��
���
Portanto,
�� � �
�� �� ���� � �
�� ��
Producao de dois bens com funcao custo-conjunta
A fabrica produzd dois tipos de maquinas - � e � - com funcao custo-conjunta
� ��� �� � �� � ��� � ��
A firma quer minimizar o custo sujeita a produzir pelo menos � maquinas.
�� ��
�� � ��� � ��
�� � � �
Note que � ��� �� � � � �, nao possuindo pontos crıticos. Formando o la-
grangeano
/ � �� � ��� � �� � 8 ��� �� ��
+/
+�� ��� � � 8 � � 8 � ��� �
+/
+�� �� � �� 8 � � 8 � �� � �
+/
+8� �� �� � � � �� � � �
97
Assim,
��� � � �� � �
�� � ��
� ��
��
��
��
�� � � �
�� � �� � ��
�� � �
�� ��
�� � � �
6.1.4 Exercıcios de Fixacao
Questao 1) Ache candidatos a maximo e mınimo.
a) � ��� �� � ��� � ��� � ��, a restricao e �� �� � ��.
Assim, � ��� �� � � � ��, nao possuindo pontos crıticos. Contruindo o la-
grangeano
/ � ��� � ��� � �� � 8 ���� �� ���
+/
+�� ��� � � 8 � � 8 � ��� �
+/
+�� ��� � �� �8 � � 8 �
��� � ��
+/
+8� ��� �� �� � � �� �� � ��
Logo,
��� � ���� � �
�
��� �� � ��� � �
��� � ���
� ��
��
98
��
��
�� �� � ��
�� � �� � ��
�� � �
�� ��
���� � �
b) � ��� �� � ���� � ��� � ��, a restricao e �� � � ��.
Assim, � ��� �� � � � �, nao possuindo pontos crıticos. Contruindo o la-
grangeano
/ � ���� � ��� � �� � 8 ���� �� ��
+/
+�� ��� � ��� 8 � � 8 � ��� � ��
+/
+�� ���� �� � 8 � � 8 � ���� ��
+/
+8� ��� �� � � � �� � � ��
Logo,
��� � �� � ���� ��
��� � ���
� ��
��
��
��
��
�� ��
��� �� � ���
�� � �
�� � �
Questao 2) Ache candidatos a maximo e mınimo de � ��� �� !� � � � � � !�
sujeito a �� � �� � !� � � e � � .
99
Ora, mas � � , a funcao objetivo torna-se � ��� !� � � � !� e a restricao
�� � !� � �. Formando a matriz jacobiana, obtemos
�� ��� !� ��
�����
�����
�
��
�� �!�
Seu posto e menor do que� � � se, e somente se, � � ! � . Como o ponto com
� � ! � violaria a restricao �� � !� � �, todos os pontos no conjunto-restricao
satisfazem a QRND. Formamos o lagrangeano,
/ ��� !� 8� � �� !� � 8��� �� � !�
�
Condicoes de primeira ordem:
+/
+�� �� �8� � � � �
�
�8
+/
+!� �! � �8! � � ! ��� 8� �
+/
+8� �� �� � !� � � ! � �
�� ��
Portanto, se 8 � �, � � ��� e ! � ����. Se 8 �� �, entao ! � , e pela ultima
derivada parcial � � ��. Obtemos, considerando �,$�
�� �
�
�
%
�
$�
�� ���
�
%
� ��� � � � ���� � �
Questao 3) Ache candidatos a maximo e mınimo de � ��� �� !� � �! � �!
sujeito a �� � !� � � e �! � �.
Ora, mas se �! � �, a funcao objetivo torna-se � ��� !� � �!� �. Formando a
matriz jacobiana, obtemos
�� ��� !� ��
�����
�����
�
��
�� �!�
100
Sabemos que no conjunto restricao � �� ou ! �� , o que ja garante que o
posto e igual � � � e todos os pontos no conjunto-restricao satisfazem a QRND.
Formamos o lagrangeano,
/ ��� !� 8� � �! � � � 8��� �� � !�
�
Condicoes de primeira ordem:
+/
+�� ! � �8� � � �8 �
!
�
+/
+!� � � �8! � � �8 �
�
!+/
+8� �� �� � !� �
Logo,!
���
!� !� � ��
Na restricao
�!� � �
! � � ��� �
Usando a restricao �! � �, obtemos
� � ���
Por fim, obtemos����
�����
��
����
���� �
�
��
������ �
����
��
������ �
��� �
�
�
6.2 Restricoes de desigualdade
A maioria dos problemas em economia tem suas restricoes definidas por desigual-
dades:
�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
101
6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade
[Motivacao p436 (restricao ativa e inativa)]
Theorem 32 Suponha que � e � sao funcoes �� em �� e que ���� ��� maximiza
� no conjunto-estricao � ��� �� � �. Se � ���� ��� � �, suponha que
+�
+����� ��� �� ou
+�
+����� ��� ��
Em qualquer caso, construa o lagrangeano:
/ ��� �� :� � � ��� �� � : �� � ��� ���
Entao, existe um multiplicador :� tal que:
1) ����
���� ��� :�� �
2) ����
���� ��� :�� �
3) :� �� � ���� ���� �
4) :� �
5) � ���� ��� � �
Example 75 Ache candidatos a maximo e mınimo de � ��� �� � �� sujeito a
�� � �� � �. O unico ponto crıtico de � ocorre em �� �, ou seja, fora do
conjunto-restricao. Assim a qualificacao de restricao esta satisfeita em qualquer
candidato a solucao. Forme o lagrangeano
/ ��� �� :� � �� � :��� �� � ��
�
Condicoes de primeira ordem
+/
+�� � � �:� � � : �
�
��, para � ��
+/
+�� �� �:� � � : �
�
��, para � ��
102
:��� �� � ��
��
: �
�� � �� � �
Logo,
: ��
����
��� �� � ��
Primeiro observe que se : � , das duas primeiras condicoes implicam que � �
� � . Observe que �� � � satisfaz todas as restricoes. Se : �� , entao pela
terceira equacao sabemos que �� � �� � � e usando �� � ��,
��� � �� � � � ��
��� � �� � � � ��
Assim, combinando os casos de � e � obtemos :, pois : � ����.�
�������
�
��
�� �
��� �
���
�
��
����� �
����
�
��
�� �
�������
�
�
Como os dois ultimos candidatos envolvem um multiplicador negativo, eles sao
descartados. Portanto, temos tres candidatos
�� � � �
��������
�
��
�� �
��� �
���
�
�
6.2.2 Caso com varias restricoes
Theorem 33 Suponha que � � ��� � � � � �� sao funcoes �� de � variaveis. Suponha
que �� � �� e um maximo de � no conjunto-restricao definido pelas � desigual-
dades
�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
Para facilitar a notacao, assuma que as primeiras �� restricoes sao ativas e que
as ultimas � � �� sao inativas. Suponha que a seguinte qualificacao de restricao
103
nao-degenerada seja satisfeita em ��. O posto em �� da matriz jacobiana
�� ���� �
�
�������
�$����
���� � � � �$����
����
�$����
���� � � � �$����
����... . . . ...
�$����
���� � � � �$����
����
�
�������
das restricoes ativas e ��. Entao, forme o Lagrangeano:
/ ���� � � � � ��� :�� � � � � :�� � � ��� � :� �� � �� ���� � � � �� :� �� � �� ����
Entao, existem multiplicadores :��� � � � � :�� tais que:
1) �����
���� :�� � para � � �� � � � � �
2) :�� �� � �� ����� � para 1 � �� � � � � �
3) :�� � para 1 � �� � � � � �
4) �� ���� � �� para 1 � �� � � � � �
Example 76 Considere o problema de maximizar a utilidade - ��� �� !� � ��!
no conjunto restricao dado pelas desigualdades
�� � � ! � �, � � , � � , ! �
O preco de cada bem e � e a renda e �. A primeira coisa a fazer e escrever todas
as restricoes como no teorema acima
�� � � ! � �, � � � , � � � , � ! �
A matriz jacobiana das funcoes restricao e�
�������
� � �
��
��
��
�
�������
104
Como as colunas sao linearmente independentes, seu posto e tres. Como no
maximo tres das quatro das quatro restricoes podem ser ativas em qualquer ponto,
a QRND vale em qualqer candidato a solucao. Forme o lagrangeano
/ � ��! � :� ��� �� � � !� � :� ��� � :� ��� � :� �!�
Condicoes de primeira ordem
+/
+�� �! � :� � :� � � :� � �! � :�
+/
+�� �! � :� � :� � � :� � �! � :�
+/
+!� �� � :� � :� � � :� � �� � :�
:� ��� �� � � !� � � :�� � � :�� � � :�! �
:� � � :� � � :� � � :� �
�� � � ! � �, � � , � � , ! �
Logo,
:� � �! � :� � �! � :� � �� � :�
Vamos examinar dois casos: :� � e :� � . Se :� � temos
� �! � :�
� �! � :�
� �� � :�
Porem, como os multiplicadores nao-negativos, :� � :� � :� � , e
�! � �! � �� �
As equacoes levam a um conjunto de candidatos a solucao nos quais duas variaveis
sao nulas e a terceira e qualquer numero no intervalo � ��. Por exemplo, se
105
� � ! � , garantimos que �! � �! � �� � e usando �� � � ! � � e � � ,
obtemos � � � �. Isto e, � � � ��. Vejamos o caso com :� � . Como
:� ��� �� � � !� � � �� � � ! � �
Pelo menos uma dessas variaveis e nao-nula. Suponha que � � . Entao
:� � �! � :� � �! � :� � �� � :�
:� � �! � :� � :� � :�
� :� � :� � :� �
Porem, :�� :� � implicam que � � ! � . Ou seja, � � � � ! � , con-
tradizendo a restricao �� �� ! � �. Como a hipotese � � leva a contradicao,
concluımos que � � . Analogamente, �� ! � . Com isso, :�� :�� :� � , e
�! � :� � �! � :� � �� � :�
�! � �! � ��
�
(((�
(((�
�! � �! � � � �
�! � �� � ! � �
� � � � � !
Usando a retricao
�� � � ! � �
� � � � ! ��
�
6.2.3 Aplicacao
Maximizacao da utilidade
��� - ���� ���
�
�"��� � "��� � ��� � , �� �
106
Por ora vamos ignorar as restricoes de nao-negatividade. Hipoteses:
- ���� ��� � ��
-�� � +-
+���
-�� � +-
+���
Supomos que exista nao-saciedade. O lagrangeano torna-se
/ � - ���� ��� � : �� � "��� � "����
Condicoes de primeira ordem
+/
+��� -�� � :"� � � : �
-��
"�
+/
+��� -�� � :"� � � : �
-��
"�
: �� � "��� � "���� �
: �
"��� � "��� � �
Ja observe que no maximo : nao pode ser zero pois isto implicaria-�� � -�� � .
Logo, : � , e a terceira equacao implica que
� � "��� � "��� �
Portanto, o consumidor gasta toda sua renda. Note ainda que
: �-��
"��-��
"�� -��
-��
�"�"�
Example 77 FAZER WEBER, pagina 367, exercıcios 15 e 17
��� �����
�
���� � ��� � ��� � , �� �
107
6.2.4 Exercıcios de Fixacao
a)
�����
� ��� �� � ���� � ��� � ��
� � �� � � ��
Note que
� ��� �� � �� ��+� ��� ��
+��+� ��� ��
+�
�� ��� �� �� �� �
Logo, podemos contruir o lagrangeano.
/ � ���� � ��� � �� � : ���� �� ��
+/
+�� ��� � ��� : � � : � ��� � ��
+/
+�� ���� �� � : � � : � ���� ��
: ���� �� �� �
: �
�� � � ��
Se : � , entao
��� � �� � � � ��
��
���� �� � � � � ��
��
�� � �� � � � � �
E temos, � � � � : � .
Se : �� , entao
: ���� �� �� � � �� � � ��
108
E ainda,
��� � �� � ���� ��
��� � ���
� ��
��
Logo,
���
�� � ��
�� � �
�� � �
Note que
� ��� �� � ���� � ��� � ��
� �� � �
� ��� �� � ��� �� �� � ���� � ����
� ��� �� � ���� ���� ��
� ��� �� � ���
b)
�����
� ��� �� � ���� ��� � ��� � ���
� � �� � � ��
Note que
� ��� �� � �� ��+� ��� ��
+��+� ��� ��
+�
�� ��� �� �� �� �
Logo, podemos contruir o lagrangeano.
/ � ���� ��� � ��� � ��� � : ���� �� ��
109
+/
+�� ��� ��� : � � : � ��� ��
+/
+�� ��� �� � : � � : � ��� ��
: ���� �� �� �
: �
�� � � ��
Se : � , entao
��� �� � � � � �
��� �� � � � � �
Note que �� � � � � ��, sendo atendidas todas as restricoes.
Se : �� , entao
: � ��� �� � ��� �� � � � � ��
��
: ���� �� �� � � �� � � ��
Entao,�� �
�
��
�� � � ��
�
�� � �
� � �
� � ��� �
� � �
Portanto, para : � , obtemos ��� �� e para : �� obtemos ��� ��.
� ��� �� � ���� ��� � ��� � ���
110
� ��� �� � ��� � � ��� �� � ���� � � ����
� ��� �� � �� � ��� ��� ��
� ��� �� � ��
� ��� �� � ��� � � ��� �� � ���� � � ����
� ��� �� � ��� � ��� ��� ��
� ��� �� � ��
c)
�����
� ��� �� � ��� � ��� � ��� � ��
� � �� � � ��
Note que
� ��� �� � �� ��+� ��� ��
+��+� ��� ��
+�
�� ��� �� �� �� �
Logo, podemos contruir o lagrangeano.
/ � ��� � ��� � ��� � ��� : ���� �� ��
+/
+�� �� � ��� �� : � � : � �� � ��� �
+/
+�� ��� ��� � : � � : � ��� ���
: ���� �� �� �
: �
�� � � ��
Se : � , entao
�� � ��� � � � ��� �� � �
��� ��� � � �� � ���
111
Logo,
������ �� � �
� � �
� � ��
Note que �� � � �� � ��, nao sendo atendida a restricao do problema.
Se : �� , entao
�� � ��� � � ��� ���
��� � ��� �
E ainda,
: ���� �� �� � � �� � � ��� � � ��� �
Entao,
��� � � ���� ��� �
��� � ��� �� � �
��� � ��
� � �
� � ��� �
� � �
Portanto, para : �� , obtemos ��� ��:
� ��� �� � ��� � ��� � ��� � ��
� ��� �� � �� ��� ��� � ��
� ��� �� � ���
112
d)
�����
� ��� �� � �� � ��� � ���
� � ��� �� � ��
Note que
� ��� �� � ��� ���+� ��� ��
+��+� ��� ��
+�
�� ��� �� �� �� �
Logo, podemos contruir o lagrangeano.
/ � �� � ��� � ��� � : ���� ��� ���
+/
+�� ��� �� � �: � � : � ��
�
��
+/
+�� ��� �� � �: � � : �
�
��� �
��
: ���� ��� ��� �
: �
��� �� � ��
Se : � , entao
���
�� � � � � ��
��
�
��� �
�� � � � �
�
��
� ��
�� �
�
�� � � � � � �
Note que �� � � � ��, sendo atendida a restricao do problema.
Se : �� , entao
���
�� �
�
��� �
��
��� ��� � ��� ���
��� � ��
� ��
���
113
E ainda,
: ���� ��� ��� � � ��� ��� �� �
Entao,
��� ��� �
��
���
��
����� ���� ��� �
� � ��
��� � ����� �� �
��� �� �
� � �
Portanto, para : � obtemos �� � e para : �� , obtemos ���� ��:
� ��� �� � �� � ��� � ���
� �� � �
� ���� �� � ��� � ��� ��
� ���� �� � ����
6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade
Theorem 34 Suponha que � � ��� � � � � ��� ��� � � � � �� sao funcoes�� de � variaveis.
Suponha que �� � �� e uma maximo local de � no conjunto-restricao definido
pelas � desigualdades e � igualdades:
�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
114
Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras �� restricoes de desigual-
dade sao ativas e que as demais � � �� restricoes de desigualdade sao inativas
em ��. Suponha que a seguinte qualificacao de restricao nao-degenerada esta
satisfeita em ��. O posto em �� da matriz jacobiana
�� ���� �
�
�������������������
�$����
���� � � � �$����
����
�$����
���� � � � �$����
����... . . . ...
�$����
���� � � � �$����
����
������
���� � � � ������
����
������
���� � � � ������
����... . . . ...
�����
���� � � � �����
����
�
�������������������
de derivadas das restricoes de desigualdades ativas e das restricoes de igualdade
e �� ��. Entao, forme o lagrangeano:
/ ���� � � � � ��� :�� � � � � :�� 8�� � � � � 8�� �
(((�
(((�
� ����
:� �� � �� ���� � � � �� :� �� � �� ���� �8� � � �� ���� � � � �� 8� � � �� ����
Entao, existem multiplicadores :��� � � � � :��� 8
��� � � � � 8
�� tais que:
1) �����
���� :�� 8�� � para � � �� � � � � �
2) :�� �� � �� ����� � para 1 � �� � � � � �
3) �� ���� � �� para � �� � � � � �
4) :�� � para 1 � �� � � � � �
5) �� ���� � �� para 1 � �� � � � � �
Example 78 18.10 (exercıcio)
115
Chapter 7
Otimizacao Restrita II
7.1 O Multiplicador
Veremos nesta secao que os multiplicadores desempenham um papel muito im-
portante na analise economica, pois eles medem a sensibilidade do valor otimo da
funcao objetivo a variacoes nos recursos escassos em problemas de maximizacao
economica.
7.1.1 Uma Restricao de Igualdade
Considere o problema:
�����
� ��� ��
� ��� �� �
Vaos considerar como um parametro que muda de problema a problema.
Para cada valor fixo de , �� � �, �� � � e 8� � � denotam asolucao deste prob-
lema. Assim, � ��� � � � �� � �� e o valor otimo da funcao objetivo. Vamos mostrar
que, sob certas condicoes, 8� � � mede a taxa de variacao do valor otimo de � em
relacao ao parametro .
116
Theorem 35 Sejam � e � funcoes �� de duas variaveis. Para qualquer valor fixo
do parametro , seja ��� � � � �� � �� a solucao do problema
�����
� ��� ��
� ��� �� �
com multiplicador correspondente 8� � �. Suponha que ��, �� e 8� sao funcoes
�� de e que a ��;� vale em ��� � � � �� � � � 8� � ��. Entao,
8� � � ��
� � ��� � � � �� � ��
Proof. O lagrangeano do problema e
/ ��� �� 8� � � � ��� �� � 8 � � � ��� ���
Para cada a condicoes de primeira ordem implica que
�+/
+���� � � � �� � � � 8� � � � �
�+�
+���� � � � �� � � � 8� � � � �� 8� � � +�
+���� � � � �� � � � 8� � � � �
�+/
+���� � � � �� � � � 8� � � � �
�+�
+���� � � � �� � � � 8� � � � �� 8� � � +�
+���� � � � �� � � � 8� � � � �
Alem disso, como � ��� � � � �� � �� � , temos
+�
+����� ���
���
� � � �
+�
+����� ���
���
� � � � �
Portanto, usando a Regra da Cadeia e os resultados acima,
�
� � ��� � � � �� � �� �
+�
+���� � � � �� � ��
���
� � � �
+�
+���� � � � �� � ��
���
� � �
� 8�+�
+���� � � � �� � ��
���
� � � � 8�
+�
+���� � � � �� � ��
���
� � �
� 8��+�
+���� � � � �� � ��
���
� � � �
+�
+���� � � � �� � ��
���
� � �
�
� 8� �
� 8�
117
7.1.2 Varias Restricoes de Igualdade
.....
7.1.3 Restricoes de Desigualdade
......
7.1.4 Interpretando o Multiplicador
Considere o problema do consumidor
�����
- ��� ��
"��� "�� �
Em que e a renda do consumidor. Entao,
�
� - ��� � � � �� � �� � 8� � �
mede o quanto o valor otimo se altera quando a renda se altera. Ou seja, o multi-
plicador representa a variacao na utilidade otima resultante da disponibilidade de
uma unidade a mais da renda. As vezes, o multiplicador e chamado preco-sombra,
no caso da renda.
7.2 Teorema do Envelope
Os teoremas da envoltoria nos dizem como o valor otimo da funcao objetivo num
problema de otimizacao parametrizado se altera quando um dos parametros se
modifica.
118
7.2.1 Problemas sem restricao
Theorem 36 Seja � ��� � uma funcao �� de � � �� e do escalar . Para cada
escolha do parametro , considere o problema sem restricoes
����
� ��� �
Seja �� uma solucao do problema. SUponha que �� e uma funcao �� de . Entao
�
� � ��� � � � � �
+
+ � ��� � � � �
Proof. Pela regra da cadeia
�
� � ��� � � � � �
��
�
+�
+� ��� � � � �
��� �
�+�
+ ��� � � � �
�
�
�+�
+ ��� � � � �
Pois, �����
��� � � � � � para � � �� ���� � pelas condicoes de primeira ordem.
Este teorema e bastante util porque a derivada parcial no lado direito e bem
mais facil de calcular do que a derivada total no lado esquerdo.
Example 79 Considere o problema de maximizar
� ��� � � � ��� � ���� � ��� � ��
em torno de � �. Como � e um polinomio com coeficiente lıder negativo quando
� �, temos � ��� � �� quando �� ��. Lofo, � possui um maximo global
finito �� � � para cada valor de perto de �. Pelo teorema,
�
� � ��� � � � � �
+
+ � ��� � � � �
�+
+
�� � ����� � �� ����� � � ����� � ��
�
� �� � ����� � � �����
119
que e negativo em e cada � �� . Assim, mesmo sem resolver o problema
para �� � � otimo, podemos dizer que � ��� � � � � e uma funcao decrescente de
quando cresce para alem de .
Example 80 Qual sera o efeito o aumento de uma unidade de sobre o valor
maximo de � ��� � � ��� � � � � � �, qaundo maximizamos � em relacao a
� para cada ? Inicialemte calculamos a resposta diretamente. A condicao de
primeira ordem implica que
� � ��� � ���� � � � �� � � �
Logo, colocando este valor em � ��� � obtemos
� ��� � � � � � � � � �
� � � � � � � � �
� � �
que aumenta a uma taxa de � quando cresce. Se, ao inves disso, tivessemos
aplicado o Teorema do Envelope, poderıamos obter rapidamente
�
� � ��� � � � � �
+
+ � ��� � � � �
�+
+
�� ����� � � �� � � �
�
� ��� � �
� �
pois �� � � � .
Example 81 Considere uma firma que produz o bem �, em um mercado com-
petitivo, com custo � ���, �� ��� � e ��� ��� � . Suponha que ��� 5�! da
producao esta com esta com defeito. O lucro da firma depende de
� �"� 5� � ����
"5� � � ����
120
Como 5 afeta o lucro otimo?
��
�5�
+
+5�"5�� � � �����
� "�� �
Como esperavamos, quanto maior 5 (proporcao da producao nao defeituosa)
maior e o lucro. Observe que nao precisamos calcular �� para chegar a esta
conclusao.
7.2.2 Problemas com restricao
Theorem 37 Sejam �� ��� ���� �� � �� � �� � �� funcoes ��. Seja �� � � �
���� � � � ���� ��� � �� a solucao do problema de maximizar � �� � ��� � no conjunto-
restricao
�� ��� � � � ���� �� ��� � �
para qualquer escolha do parametro . Suponha que �� � � e os multiplicadores
de Lagrange 8� � � � ���� 8� � � sao funcoes �� de e que vale a ��;�. Entao,
�
� � ��� � � � � �
+/
+ ��� � � � 8 � � � �
em que / e o lagrangeano natural deste problema.
Example 82 Considere o problema
�����
��
�� � �� � �
Logo, o lagrangeano fica
/ ��� �� :� � � �� � :��� �� � ��
�
121
Aplicando o Teorema do Envelope,
�
� � ��� � � � � �
+/
+ ��� � � � �� � � � 8 � � � �
�+
+
����� � :
��� ����� � �����
��
� �: �����
Como ����� � e : � , podemos concluir que o valor otimo decresce quando
aumenta.
7.3 Condicao de Segunda Ordem
Vamos analisar o caos duas variaveis e uma restricao de igualdade. Como estu-
damos anteriormente, se o problema tem � � � variaveis e � � � restricoes, logo
basta conferir o sinal de �� � � � ultimo menor principal, isto e, o determinante
da propria hessiana orlada. Entao, se "�� �3� tem o mesmo sinal de ����� � �,
entao se trata de um maximo local. Como veremos no teorema a seguir, se "�� �3�
tem o mesmo sinal de ����� � ��, entao se trata de um mınimo local.
Theorem 38 Sejam � e � funcoes�� em��. Considere o problema de maximizar
� no conjunto-restricao �� � ���� �� � � ��� �� � ��. Forme o lagrangeano
/ ��� �� 8� � � ��� �� � 8 �� � ��� ���
Suponha que ���� ��� 8�� satisfaz:
�+/
+�� �
+/
+�� �
+/
+8� em ���� ��� 8�� , e
�� "��
�
����
����
����
����
������
�������
����
������
������
�
����� em ���� ��� 8��
Entao, ���� ��� e um maximo local de � em ��.
122
Theorem 39 Sejam � e � funcoes�� em��. Considere o problema de maximizar
� no conjunto-restricao �� � ���� �� � � ��� �� � ��. Forme o lagrangeano
/ ��� �� 8� � � ��� �� � 8 �� � ��� ���
Suponha que ���� ��� 8�� satisfaz:
�+/
+�� �
+/
+�� �
+/
+8� em ���� ��� 8�� , e
�� "��
�
����
����
����
����
������
�������
����
������
������
�
����� em ���� ��� 8��
Entao, ���� ��� e um mınimo local de � em ��.
Example 83 No problema de maximizar � ���� ��� � ����� no conjunto-restricao
� ���� ��� � �������� � � encontramos seis solucaoes das condicoes de primeira
ordem:
���� ��� 8� �
�
����
���
�� �
���� �� ��������������
Vamos usar a condicao de segunda ordem para avaliar quais destes pontos sao
maximos e quais sao mınimos locais. A matriz hessiana orlada e:
3 �
�
����
��� ���
��� /���� /����
��� /���� /����
�
����
�
�
����
��� ���
��� ��� � �8 ���
��� ��� ��8
�
����
Nos pontos ����������� �
3 �
�
����
�� �
�� ��� �� �
�
����
123
e o "�� �3� � ��� � , de modo que os dois pontos sao mınimos locais. Nos
pontos ���� �� ��� �
3 �
�
����
�� �
�� ��� �� ��
�
����
e o "�� �3� � �� � , de modo que os dois pontos sao maximos locais. Nos
pontos���
�� ��
3 �
�
����
���
���
���
�
����
Para ���� ��� �����, temos "�� �3� � ���
� � de modo que este e um
mınimo local. Para ���� ��� ����
��, temos "�� �3� � ��
� � de modo
que este e um maximo local.
124