DISCIPLINA: Cálculo das Probabilidades e Estatística I

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

Parte 1: Estatística descritiva

1) Classifique as seguintes variáveis (Qualitativa ou Quantitativa / Nominal, Ordinal, Discreta ou Contínua):

a) Número de ações vendidas diariamente na bolsa de valores; R. Quantitativa Discreta

b) Religião dos moradores de um bairro; R. Qualitativa Nominal

c) Tempo de espera de um cliente em uma fila de caixa de uma agência bancária; R. Quantitativa Contínua

d) Grau de instrução dos pais de alunos de uma escola pública; R. Qualitativa Ordinal

e) Comprimentos de 1000 parafusos produzidos em uma fábrica; R. Quantitativa Contínua

f) Salários anuais de professores de um colégio. R. Quantitativa Discreta

2) O responsável por uma etapa de um processo produtivo decidiu analisar o tempo (em minutos) de execução

pela equipe do turno da manhã de uma determinada tarefa. Os tempos estão apresentados a seguir:

12, 26, 9, 15, 19, 28, 24, 20, 35, 15, 34, 30, 29, 23, 38, 26, 29, 14, 17, 10, 21, 31, 11, 19, 20,

25, 23, 14, 25, 29, 32, 36, 38, 27, 19, 29.

a) Organize esses valores em uma distribuição de frequência completa (frequências absolutas, relativas e

acumuladas) com seis classes de mesmo tamanho (Classes: 09 |-- 14, 14 |-- 19, 19 |-- 24, 24 |-- 29, 29 |--

34, 34 |--| 39);

b) Qual a proporção de funcionários com tempo de no mínimo 24 minutos? R. 52%

c) Se apenas 30% dos funcionários tiverem tempo igual ou superior a 29 minutos eles não precisarão fazer

hora extra. Os funcionários da manhã precisarão fazer hora extra?. R. Não precisarão fazer hora extra

(33%).

3) A tabela de frequência abaixo se refere às notas de uma turma.

Notas (Xi) Frequência

Absoluta (Fi)

0 |----- 2 4

2 |----- 4 8

4 |----- 6 12

6 |----- 8 8

8 |----- 10 4

Total 36

a) Considerando nota mínima para aprovação igual a 6. Qual foi o percentual de aprovados? R. 33%

b) A Escola considera o desempenho de uma turma satisfatório se pelo menos 60% das notas estiverem

distribuídas entre 4 (incluso) e 8 (excluso). A partir disso, podemos concluir que a turma teve um

desempenho satisfatório? Justifique sua resposta. R. Não.

4) Os dados abaixo se referem aos preços (em R$) de um determinado produto em 49 estabelecimentos

85,8 33,0 52,0 65,0 77,4 84,0 65,7 74,0 57,0

71,2 35,0 81,4 50,0 35,5 64,5 74,6 47,1 54,9 68,0

80,0 61,4 41,0 91,0 55,6 73,0 59,7 53,0 77,9 45,0

41,4 55,4 78,0 48,8 69,0 85,9 67,2 39,0 60,0 76,0

94,0 98,0 66,5 66,0 73,4 42,6 65,7 94,1 88,0 89,5

a) Construa uma tabela de distribuição de frequências (com as frequências absoluta, relativa e

acumuladas) considerando as seguintes classes: 33|--46; 46|--59; 59|--72; 72|--85; 85|--98.

b) Construa o histograma da distribuição, usando a frequência absoluta.

c) Calcule a média, mediana e moda. R. mediana: 66; 55,65X

5) Calcule a média e a mediana e escolha medida de tendência central mais recomendável para os valores

amostrais dados a seguir (JUSTIFIQUE):

1 33 35 37 39 39 40 40 41 42 42 43 43 43 44 759

R: A mediana

6) Foram realizadas 10 observações relativas ao tempo de fabricação de um produto por duas equipes,

trabalhando em idênticas condições. Os valores obtidos foram(em minutos):

Equipes Tempos observados

A 40 38 27 25 38 37 29 39 34 43

B 27 29 37 44 43 30 28 28 29 39

a) Comparar a eficiência média e a regularidade (em termos de dispersão) nos tempos de fabricação do

produto pelas duas equipes. R. Equipe A: 35X ; S=6,04; CV=17,26%. Equipe B: 4,33X ;

S=6,65; CV=19,91%. A eficiência média é melhor observada na Equipe B, visto que o tempo médio

de fabricação do produto é menor. Entretanto, no que diz respeito a regularidade a melhor equipe é

a A.

b) Foi estabelecida uma remuneração extra para a equipe que apresentasse, até 50% dos tempos observados,

inferiores a 30 min. Verifique se as duas equipes ganharam essa remuneração. Porque? R. Equipe A:

mediana: 37min; Equipe B: mediana: 29,5. Apenas a Equipe B ganhou a remuneração, pois o tempo

de execução foi inferior a 30 min.

7) Os dados abaixo se referem ao número de dias consecutivos sem chuva em algumas cidades de uma região

do sertão da Paraíba:

10-12-7-10-20-10-20-12-15-10

a) Calcule a média, mediana e moda. R. mediana: 11; moda: 10; 6,12X

b) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação. R. DP = 4,4; CV=34,94%.

8) Sabe-se que uma pessoa de uma comunidade é considerada de ESTATURA MÉDIA se sua altura estiver

dentro da faixa nSX / 96,1 a X S n1 96, / . Seis pessoas A, B, C, D, E e F da comunidade, foram

selecionadas e apresentaram as estaturas a seguir relacionadas, respectivamente: 1.64; 1.65; 1.72; 1.90; 1.52;

1.60. Cite aquelas pessoas que podem ser consideradas com ESTATURA MÉDIA usando a classificação

dada. R. 67,1X ; S=0,13; n=6. A faixa será entre 1,57 e 1,77.

Parte 2: Introdução a probabilidade

1) Dois dados são lançados. Sejam os eventos:

A: o primeiro número é maior que o segundo.

B: o primeiro número é igual ao dobro do segundo.

C: a soma dos dois números é maior ou igual a 8.

Calcule as seguintes probabilidades: P(A) , P(cB ), P( BA ) e P(

cCB )

Solução:

S = {(1, 1);(1, 2);(1, 3);(1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2); (3, 3);(3,

4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3);(4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5);(5, 6);(6, 1);(6,

2);(6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}

A = {(2, 1); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4);(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)}

B = {(2, 1); (4, 2); (6, 3)}

C = {(2, 6); (3, 5); (3, 6); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6);(6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}

(B CC)== {(2, 1); (4, 2)}

P(A) = 15/36 P( B

C) = 33/36

P(AC) = (15/36) + (15/36) – (6/36) = 24/36

P(B CC) = 2/36

2) Uma indústria automobilística possui 15.000 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo:

Idade Sexo

Masculino Feminino

Menos de 25 anos 3.000 500

25 à 45 anos 4.000 2.500

Mais de 45 anos 1.000 4.000

Se um empregado é selecionado ao acaso, calcule a probabilidade dele:

a) ter no mínimo 25 anos; R. 0,766

b) os eventos: “ter pelo menos 25 anos” e “ser do sexo masculino” são independentes? São mutuamente

exclusivos? Justifique. R. não/não

3) Descreva o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos:

a) Lançamento de um dado e de uma moeda; S = {(c, 1); (c, 2); (c, 3); (c, 4); (c, 5); (c, 6); (k, 1); (k, 2); (k,

3); (k, 4);(k, 5); (k, 6)}

b) Nascimento de três filhos (considerar a distribuição dos sexos); S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M);

(F, M, M); (F, F, M); (F, M, F); (M,F, F); (F, F, F)}

c) Um teste de múltipla escolha consta de três questões com quatro alternativas cada. Apenas uma das

alternativas é certa em cada questão. Uma pessoa sorteia uma alternativa em cada questão e marca.

Considere C (questão certa) e E (questão errada). A configuração das respostas do teste é observada; S =

{(C, C, E); (C, E, C); (E, C, C); (E, E, C); (E, C, E); (C, E, E); (C, C,C); (E, E, E)}

d) Lançamento de um dado até que a face 3 apareça pela primeira vez; S = {(3); (1, 3); (2, 3); ...; (6, 3); (1, 1,

3); (1, 2, 3); ....; (6, 6, 3); (1, 1, 1,3); ....}

e) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As peças

são inspecionadas e sua condição registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam

fabricadas, ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar.

S={(D,D);(D,P,D,D);(D,P,D,P)(D,P,P,D);(D,P,P,P);(P,P,P,P);(P,P,P,D);(P,D,P,P);(P,P,D,P);(P,P,D,D)

;(P,D,P,D);(P,D,D)}

4)Determine os seguintes eventos relacionados aos espaços amostrais da questão anterior.

a) Sair um número par e cara; R. E = {(c, 2); (c, 4); (c, 6)}

b) No máximo dois filhos do sexo masculino; R. E= {(M, M, F); (M, F, M); (F, M, M); (F, F, M); (F, M,

F); (M, F, F); (F, F,F)}

c) Acertar no mínimo duas questões; R. E = {(C, C, E); (C, E, C); (E, C, C); (C, C, C)}

d) O dado ser lançado duas vezes; R. E= {(1, 3); (2, 3); (4, 3); (5, 3); (6, 3)}

e) São fabricadas no mínimo duas peças perfeitas. R. E= {(D,P,D,P);(D,P,P,D);(D,P,P,P);(P,P,P,P);

(P,P,P,D);(P,D,P,P);(P,P,D,P);(P,P,D,D);(P,D,P,D)}

5)Uma urna contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Considere os eventos:

o A: retirada de bola com número par;

o B: retirada de bola com número múltiplo de 3;

o C: retirada de bola com número ímpar;

o D: retirada de bola com número múltiplo de 5.

Determine os seguintes eventos: cccc DCBADCBA ;;;;;;; )(,)(),(),(),(),( CBADADBCABADA cc

Solução:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

B = {1, 3, 6, 9, 12}

C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

D = {1, 5, 10}

AC = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

BC = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}

CC = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

DC = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12}

)( DA = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12}

(AB) = {6, 12}

)( CA

(C D)C = {2, 4, 6, 8, 12}

(Bc D) = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} (AB C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

6) Uma caixa contém fichas de duas cores sendo 4 vermelhas e 3 pretas. Uma outra caixa contém 2 vermelhas

e 4 pretas. Uma ficha é selecionada aleatoriamente da primeira caixa e colocada na segunda. Em seguida uma

ficha é retirada da segunda caixa. Qual a probabilidade dessa ficha ser vermelha? R. 0,367

7) Uma companhia de seguro de saúde analisou a freqüência com que 2000 de seus clientes usaram um

hospital A. Os resultados estão apresentados abaixo.

Criança Adulto Idoso

Usaram o Hospital A 80 120 200

Não usaram o Hospital A 700 350 550

Qual a probabilidade de que um cliente:

a) use o hospital A; R. 0,2

b) use o hospital A ou seja adulto; R. 0,375

c) seja criança ou idoso; R. 0,765

d) Não use o hospital e seja idoso; R. 0,275

e) seja criança considerando que ele não usou o hospital A. R. 0,4375

8) Uma indústria fabrica três modelos de turbinas. Os percentuais de fabricação para os três modelos são

respectivamente 40%, 30% e 30%. Os percentuais de vendas para cada modelo são: 90%, 80% e 95%,

respectivamente. Uma turbina é escolhida ao acaso na produção.

a) Qual a probabilidade dele ser vendida? R. 0,885

b) Se ela for vendida, qual a probabilidade de que ela seja do modelo 1? R. 0,4

c) Se ela não for vendida, qual é a probabilidade de que ela seja do modelo 2? R. 0,52

9) Para verificar o perfil de seus empregados o gerente de uma indústria coletou as seguintes informações:

Homens Mulheres

< 25 anos 20 8

>=25 e <= 40 anos 45 25

> 40 anos 18 42

Um empregado é selecionado ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) Ele seja homem ou tenha entre 25 e 40 anos de idade; R. 0,68

b) Tenha mais de 40 anos e seja homem; R. 0,11

c) Tenha menos de 25 anos, sabendo que é mulher; R. 0,106

Considere agora que dois empregados são selecionados ao acaso e sem reposição. Calcule a probabilidade de

que:

d) Ambos tenham menos de 25 anos R. 0,03

e) Exatamente 1 tenha mais de 40 anos. R. 0,47

10) No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. Um

estudante é escolhido aleatoriamente. Sabe-se também que 60% dos estudantes são homens. Sorteando-se

aleatoriamente um estudante, calcule a probabilidade de que ele:

a) esteja acima do peso; R. 0,038

b) seja mulher, sabendo que o mesmo está acima do peso. R. 0,21

11) Sejam A e B dois evento tais que P(A) = 0,4 e P(AB) = 0,7. Qual o valor de P(B), quando A e B forem;

a) Mutuamente exclusivos? R. 0,3

b) Independentes? R. 0,5

12) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a

probabilidade de

a) apenas o homem estar vivo; R. 0,15

b) apenas a mulher estar viva; R. 0,3

c) pelo menos um estar vivo; R. 0,9

d) ambos estarem vivos. R. 0,45

13) Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação. A chefia do departamento de

vendas de A estima que sua companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas

que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade

de A ou C obter o contrato. R. 0,6

14) Um lote A contém 10 peças, sendo 4 defeituosas e 6 perfeitas; outro lote B possui 15 peças, sendo 5

defeituosas e 10 perfeitas. Uma peça é escolhida, aleatoriamente, de cada lote. Calcule a probabilidade de:

a) pelo menos uma das peças escolhidas ser perfeita; R. 0,86

b) ambas as peças escolhidas serem defeituosas; R. 0,133

c) uma peça escolhida ser perfeita e a outra defeituosa. R. 0,46

15) Suponha que temos dois lotes nas seguintes condições: O primeiro com 200 peças, onde 10 tem defeito de

fabricação, e o segundo com 300 peças, onde 12 tem defeito de fabricação. Se uma peça for retirada de cada

lote, qual é a probabilidade de que:

a) nenhuma delas tenha defeito de fabricação? R. 0,912

b) Apenas a peça do primeiro lote tenha defeito de fabricação? R. 0,048

16) Numa cidade 20% dos carros são da marca K, 30% dos carros são táxis e 40% dos táxis são da marca K.

Se um carro é escolhido, ao acaso, determinar a probabilidade de:

a)ser táxi e ser da marca K; R. 0,12

b)ser táxi e não ser da marca K; R. 0,18

c)não ser táxi, sabendo-se que é da marca K. R. 0,4

d)não ser táxi e não ser da marca K; R. 0,62

e)não ser táxi e ser da marca K; R. 0,08

17) Em uma empresa a probabilidade de que uma nova política de mercado tenha sucesso (A) foi estimada em

0,6. A probabilidade de que a despesa para o desenvolvimento da estratégia seja mantida dentro dos limites do

orçamento previsto (B) é de 0,5. Admitindo que ambos os eventos A e B sejam independentes, determine a

probabilidade de que:

a)pelo menos um dos objetivos seja atingido; R. 0,8

b)somente A seja atingido; R. 0,3

c)somente B seja atingido. R. 0,2

18) Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam vôlei e 30% praticam natação. Dentre os que

praticam vôlei, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não pratica nenhum dos dois

esportes? R. 0,38

19) Em um lote de 12 lâmpadas das quais 4 são defeituosas três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente. Qual

a probabilidade de que:

a) nenhuma seja defeituosa; R. 0,25

b) exatamente uma seja defeituosa; R. 0,507

c) pelo menos uma seja defeituosa; R. 0,75

d) exatamente duas defeituosas extraídas. R. 0,145

20) Em uma festa beneficente para AACD serão sorteados um DVD e uma máquina fotográfica digital. São

vendidos 400 bilhetes para o primeiro prêmio e 200 para o segundo. Uma mulher compra 4 bilhetes para

concorrer a cada prêmio. Encontre a probabilidade de que:

a) Ela ganhe exatamente um prêmio; R. 0,0296

b) Ela ganhe alguma a coisa. R. 0,0297

21) Considere a seguinte tabela de probabilidades conjuntas:

a)Completar a tabela ao lado sabendo que: P(A1 | B1) = 0,30 e P(A1 | B2) = 0,70.

R.

A1 A2 Total

B1 0,12 0,28 0,40

B2 0,24 0,11 0,35

B3 0,04 0,21 0,25

Total 0,40 0,60 1,00

b)Verificar se os eventos A1 e B1 são independentes. R. não

22) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes. Dos pedidos de um tipo de

processamento cerca de 10% vem do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Caso o pedido

não seja feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente ocorrem os seguintes

percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2% do cliente D e

8% do cliente E.

a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? R. 0,02875

b) Sabendo-se que o processo apresentou erro calcule a probabilidade de que o processo tenha sido pedido

pelo cliente E. R. 0,556

23) Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso

e substituídas por três bolas azuis. Em seguida duas novas bolas são retiradas da caixa. Calcule a

probabilidade de que essas duas últimas bolas sejam da mesma cor. R. 0,2729

A1 A2 Total

B1

B2 0,35

B3 0,25

Total 0,40 1,00