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Probabilidade

A histria da teoria das probabilidades, teveincio com os jogos de cartas, dados e de roleta.Esse o motivo da grande existncia de exemplosde jogos de azar no estudo da probabilidade. Ateoria da probabilidade permite que se calcule achance de ocorrncia de um nmero em umexperimento aleatrio.

Experimento Aleatrio aquele experimento que quando repetido em

iguais condies, podem fornecer resultadosdiferentes, ou seja, so resultados explicados aoacaso. Quando se fala de tempo e possibilidadesde ganho na loteria, a abordagem envolve clculode experimento aleatrio.

Espao Amostral

o conjunto de todos os resultados possveis de

um experimento aleatrio.Representar o espao amostral pela letra S ou .

Exemplos:i) Lanando uma moeda: = { cara, coroa}ii) Lanamento de um dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento

qualquer subconjunto de um espao amostral.Vamos representar o conjunto evento pela letra E.

Exemplo: No lanamento de um dado o conjuntodos nmeros primos.

E = {2, 3, 5}

Conceito de probabilidade

Se num experimento aleatrio as possibilidades soigualmente provveis (espao amostralequiprovvel), ento a probabilidade de ocorrer umevento E :

de resultados favorveis ( )( )

( )de resultados possveis

o

o

n n Ep E

nn

Exemplo:

Qual a probabilidade de no lanamento de um dadoao acaso, ocorrer um nmero mpar?Resoluo: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E = {1, 3, 5}3 1

( ) ou 50%6 2

P E

Propriedades Importantes:

i) Se e EE so eventos complementares, ento:

( ) ( ) 1 p E p E

ii) A probabilidade de um evento sempre umnmero entre 0 (probabilidade de eventoimpossvel) e 1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realizao de um experimento, necessrio, que j tenha alguma informao sobreo evento que se deseja observar. Nesse caso o

espao amostral se modifica e o evento tem a suaprobabilidade de ocorrncia alterada.

( )( / )

( )

p A Bp A B

p B

Eventos independentes

So eventos nos quais a probabilidade deocorrer um deles no depende do fato de ter ou noocorrido o outro.

( ) ( ). ( ) p A B p A p B

Probabilidade da unio de eventos

( ) ( ) ( ) ( ) p A B p A p B p A B

Obs.: Se dois eventos A e B so mutuamenteexclusivos, significa que ( ) 0p A B

Logo P(E1 ou E2ou E3ou ... ou En) = P(E1) + P(E2)+ ... + P(En)

COLGIO PEDRO II CAMPUS DUQUE DE CAXIASDATA Junho de 2015Disciplina: MATEMTICA 2 Srie: 2 ano Turma: ________Coordenador Pedaggico: BRAULINO DE MATTOS REIS NETOProfessor(es): ALEXANDRE / ANDERSON / BRAULINO / GEOVANE / JOONome: _______________________________________________ N. ______

Lista de Exerccios Probabilidade

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Atividades

Exerccio 1. Uma urna contm 6 bolas pretas, 2bolas brancas e 8 bolas verdes. Uma bola escolhida ao acaso desta urna. Qual aprobabilidade de que:

(i) a bola no seja verde?(ii) a bola no seja nem branca nem verde?

Exerccio 2. Peo a uma pessoa que escolha umaletra da palavra CADERNO. Qual a probabilidadedela escolher uma vogal?

Exerccio 3. Numa empresa trabalham 11funcionrios, sendo 6 mulheres e 5 homens. Adiretoria resolveu presentear 3 deles com umaviagem. Feito o sorteio, qual a probabilidade dos

felizardos serem 2 homens e 1 mulher?Exerccio 4. Numa rifa foram vendidos bilhetesnumerados de 1 a 50. Qual a probabilidade donmero sorteado ser:a) par?b) mltiplo de 6?c) mltiplo de 30?

Exerccio 5. Retirando-se aleatoriamente uma cartade um baralho comum (com 52 cartas), qual aprobabilidade da carta retirada ser:

a) de espadas?b) um rei?c) uma dama de ouros?

Exerccio 6. No lanamento de 2 dados honestos,qual a probabilidade de se obter soma dos pontosinferior a 6?

Exerccio 7. Um casal pretende ter 3 filhos.Supondo que a probabilidade seja a mesma paraambos os sexos, qual a probabilidade dos 3 filhosserem do mesmo sexo?

Exerccio 8. Considere todos os nmeros de 5algarismos distintos que podem ser formados,utilizando-se os algarismos 1, 2, 4, 5 e 9.Sorteando-se aleatoriamente um desses nmeros,qual a probabilidade dele ser:a) par?b) mltiplo de 3?c) mltiplo de 5?d) mltiplo de 9?

Exerccio 9. Em uma urna h 6 nmeros positivose 8 negativos. Escolhem-se, sem reposio, 2nmeros dessa urna e multiplica-os. Qual aprobabilidade de que o produto seja positivo?

Exerccio 10. Um nmero inteiro x (1 x 100) escolhido ao acaso. Calcular a probabilidade deque ele seja divisvel por 3 ou por 5.

Exerccio 11. Um grupo de 50 moas classificado de acordo com a cor dos cabelos e dos

olhos de cada moa, segundo a tabela:

Azuis CastanhosLoira 18 8

Morena 6 12Negra 4 2

Se voc marca um encontro com uma dessasgarotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidadedela ser morena outer olhos azuis?

Exerccio 12. Escolha aleatoriamente 2 objetos deum lote contendo 12, dos quais 4 so defeituosos.Considere os eventos:A: ambos os objetos escolhidos so defeituososB : ambos os objetos escolhidos so perfeitos

Encontre P(A) e P(B)

Exerccio 13. Duas cartas so escolhidas aoacaso de um baralho comum de 52 cartas. Qual aprobabilidade de que:

a) ambas sejam de espadas?

b) uma seja de espadas e a outra de copas?

Exerccio 14. Uma cidade tem 1000 famlias e 3jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinio revelaque:

470 famlias assinam A;420 famlias assinam B;315 famlias assinam C;110 famlias assinam A e B;220 famlias assinam A e C;140 famlias assinam B e C;75 famlias assinam A, B e C.

Qual a probabilidade de que uma famlia,escolhida ao acaso:

a) no assine nenhum dos jornais?b) assine apenas um jornal?c) assine pelo menos dois jornais?

Exerccio 15. Em uma caixa h 5 bolinhasnumeradas de 1 a 5. Retirando-se sucessivamente2 bolinhas, a primeira para algarismo das unidadese a segunda para algarismo das dezenas, qual a

probabilidade de que aparea o nmero 43, se aretirada :a) sem reposiob) com reposio

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Exerccio 16. Uma urna contm 3 bolas azuis, 4amarelas e 5 vermelhas. Retirando-se, uma aps aoutra, 4 bolas da urna, qual a probabilidade desarem, nesta ordem, amarela, azul, vermelha eamarela?

Exerccio 17. Duas pessoas praticam tiro ao alvo.A probabilidade da primeira atingir o alvo P(A)=1/3 e a probabilidade da segunda atingir oalvo P(B)=2/3. Admitindo-se A e B independentes,se os dois atiram, qual a probabilidade de:a) ambos atingirem o alvo ?b) ao menos um atingir o alvo ?

Exerccio 18. Em uma amostra de 500 peas,existem exatamente 4 defeituosas. Retirando-se,ao acaso, uma pea dessa amostra, aprobabilidade dela ser perfeita de:

a) 99,0% b) 99,1% c) 99,2% d) 99,3% e) 99,4%

Exerccio 19. Jogando-se ao mesmo tempo doisdados honestos, qual a probabilidade do produtodos pontos ser 12?a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9 d) 1/12 e) 1/15

Exerccio 20. (ENEM) A tabela indica a posiorelativa de quatro times de futebol na classificaogeral de um torneio, em dois anos consecutivos. Osmbolo significa que o time indicado na linhaficou, no ano de 2004, a frente do time da coluna. Osmbolo * significa que o time indicado na linhaficou, no ano de 2005, a frente do indicado nacoluna. A probabilidade de que um desses quatrotimes, escolhidos ao acaso, tenha obtido a mesmaclassificao no torneio, em 2004 e 2005, igual a:

a) 0,00b) 0,25c) 0,50d) 0,75e) 1,00

Exerccio 21. (UERJ) Com o intuito de separar olixo para fins de reciclagem, uma instituio colocouem suas dependncias cinco lixeiras de diferentescores, de acordo com o tipo de resduo a que sedestinam: vidro, plstico, metal, papel e lixoorgnico. Sem olhar para as lixeiras, Joo joga emuma delas uma embalagem plstica e, ao mesmotempo, em outra, uma garrafa de vidro. Aprobabilidade de que ele tenha usado corretamentepelo menos uma lixeira igual a:

a) 25%b) 30%c) 35%d) 40%

Exerccio 22. (UERJ) Numa sala existem cincocadeiras numeradas de 1 a 5. Antnio, Bernardo,Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestascadeiras. A probabilidade de que nem Carlos sesente na cadeira 3, nem Daniel se sente na cadeira4, equivale a:

a) 16% b) 54% c) 65% d) 96%

Exerccio 23. (UERJ) Um pesquisador possui emseu laboratrio um recipiente contendo 100exemplares de Aedes aegypti, cada um delescontaminado com apenas um dos tipos de vrus, deacordo com a seguinte tabela:

Retirando-se simultaneamente e ao acaso doismosquitos desse recipiente, a probabilidade de quepelo menos um esteja contaminado com o tipo DEN3 equivale a:

a)8

81 b)

10

99 c)

11

100 d)

21

110

Exerccio 24. (UERJ) Um RNA sinttico foiformado apenas pelas bases citosina e guanina,dispostas ao acaso, num total de 21 bases. O

esquema abaixo mostra o RNA mensageiro,formado a partir da introduo dos cdons deiniciao AUG e de terminao UAA nasextremidades do RNA original. Nesse esquema, Brepresenta as bases C ou G.

Sabe-se que: os cdons correspondentes ao aminocidoarginina so: AGA, AGG, CGA, CGC, CGG e CGU;o aminocido metionina correspondente ao cdon

de iniciao AUG removido do peptdeosintetizado pela traduo desse RNA mensageiro. Aprobabilidade de que a arginina aparea pelomenos uma vez na estrutura final deste peptdeo de:

a)7

11

3

b)

71

8

c)7

31

4

d)

71

4

Exerccio 25. (UERJ) A maioria dos relgiosdigitais formada por um conjunto de quatrodisplays, compostos por sete filetes luminosos.

Para acender cada filete, necessria umacorrente eltrica de 10 miliampres. O 1 e o 2displays do relgio ilustrado abaixo indicam ashoras, e o 3 e o 4 indicam os minutos.

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Admita, agora, que outro relgio, idntico,

apresente um defeito no 4 display: a cada minutoacendem, ao acaso, exatamente cinco filetesquaisquer. Observe, a seguir, alguns exemplos deforma que o 4 display pode apresentar com cincofiletes acesos.

A probabilidade de esse display formar, pelomenos, um nmero em dois minutos seguidos igual a:

a)

13

49 b)

36

49 c)

135

441 d)

306

441

Exerccio 26. (UERJ) Uma pesquisa realizada emum hospital indicou que a probabilidade de umpaciente morrer no prazo de um ms, apsdeterminada operao de cncer, igual a 20%. Setrs pacientes so submetidos a essa operao,qual a probabilidade de:

a) todos sobreviverem.b) apenas dois sobreviverem.

Exerccio 27. Uma mquina produziu 8 peasaparentemente iguais, mas duas delasapresentaram defeitos (as outras estavamperfeitas). Escolhendo-se duas peas ao acaso, aprobabilidade de que uma delas seja perfeita, e aoutra, defeituosa, de:

a)1

2 b)

1

3 c)

3

7 d)

2

5 e)

4

9

Exerccio 28. Para disputar a final de um torneiointernacional de natao, classificaram-se 8 atletas:

3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japons, 1francs e 2 brasileiros. Considerando que todos osatletas classificados so timos e tm iguaiscondies de receber uma medalha (de ouro, prataou bronze), a probabilidade de que pelo menos umbrasileiro esteja entre os trs primeiros colocados igual a:a) 5/14 b) 3/7 c) 4/7 d) 9/14 e) 5/7

Exerccio 29. Em uma sala, encontram-se dezhalteres, distribudos em cinco pares de coresdiferentes. Os halteres de mesma massa so da

mesma cor. Seu armazenamento denominadoperfeito quando os halteres de mesma cor socolocados juntos. Nas figuras abaixo, podem-seobservar dois exemplos de armazenamento

perfeito. Arrumando-se ao acaso os dez halteres, aprobabilidade de que eles formem umarmazenamento perfeito equivale a:

a)5040

1

b) 9451

c)252

1

d)210

1

Exerccio 30. (UERJ) Observe as informaes eresponda:

Uma mquina contm pequenas bolas de

borrachas de 10 cores diferentes, sendo 10bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda namquina, uma bola expelida ao acaso.Observa a ilustrao.

a) Para garantir a retirada de 4 bolas deuma mesma cor, o menor nmero demoedas a serem inseridas na mquinacorresponde a:

a) 5 b) 13 c) 31 d) 40

b) Inserindo-se 3 moedas, uma de cada vez, aprobabilidade de que a mquina libere 3 bolas,sendo apenas duas delas brancas, aproximadamente de:

a) 0,008 b) 0,025 c) 0,040 d) 0,072

GABARITO

1) i) 12

ii) 38

2) 37

3) 411

4) a) 12

b) 425

c) 150

5) a) 14

b) 113

c) 152

6) 518

7) 14

8) a) 25

b) 1 c) 15

d) 0

9) 4391

10) 47100

11) 45

12) 1 14e11 33

13) a) 351

b) 13204

14) a) 19100

b) 49100

c) 81100

15) ) a)120

b) 125

16) 166

17) ) a) 29

b) 79

18) C 19) C 20) A 21) C

22) C 23) D 24) C 25) A 26) a) 51,2% b) 38,4%27) C 28) D 29) B 30) a) C b) B