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PME2100 - MECÂNICA A 2a LISTA DE EXERCÍCIOS - CINEMÁTICA

LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (Cap. 6 e 7) (FRANÇA, L. N. F.; MATSUMURA, A. Z. Mecânica Geral. Ed. Edgard Blücher, 2ª ed., 2004)

1) Os pontos A(1,2), B(2,1) e C(−1,1) pertencem a um mesmo sólido. Sabendo que jivA

rrr2−= e que jmivB

rrr += 3 , pedem-se: a) O valor de m. b) A velocidade Cv

rdo ponto C.

Respostas: a) 0=m b) jiVC

rrr63 −=

2) São dadas num determinado instante as posições dos pontos A(0,2,1), B(0,3,1), C(1,3,1) e D(0,3,2) e as velocidades jvA

rr = e kivD

rrr += 2 . Considere duas situações para

a velocidade de C: ivC

rr = e ivC

rr −= . Pede-se: a) Verificar se A, C e D podem pertencer a um mesmo sólido; considere as duas

situações do ponto C e justifique a resposta. b) Determinar a velocidade de B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo sólido; c) Determinar o vetor rotação Ω

r desse sólido.

Respostas: a) sim iVC

rr= b) kjiVB

rrrr++= c) kji

rrrr−+=Ω

3) A e B são dois pontos genéricos de um sólido em movimento qualquer. Demonstrar que:

a) ( )

dt

ABd − é ortogonal a ( )AB − .

b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais. c) A diferença de velocidades ( )AB vv

rr− é um vetor ortogonal a ( )AB − .

4) Mostre que se dois pontos P e Q de um mesmo corpo rígido têm, em um dado instante, a mesma velocidade, então: i) ( )QP − é paralelo ao vetor de rotação ωr ou ii) O corpo realiza, neste instante, um ato de movimento translatório puro.

2

5) Seja A um ponto de uma figura plana em movimento plano e Arr

o seu vetor de posição. Pede-se mostrar que: a) O vetor de posição Cr

r do centro instantâneo de rotação C é dado por

( ) 2/ωω AAC vrrrrrr ∧+= , onde ωr é o vetor de rotação da figura.

b) A aceleração do centro instantâneo de rotação C será nula se, para um ponto A: ( ) ( )AAA vva

rrr&

r ∧+= ωωω /

6) O chassi de um tanque de guerra (localizado entre as rodas A e B da figura) translada com velocidade iv

r (v > 0, constante). A roda de centro B e raio r é ligada à anterior por

uma esteira, não havendo escorregamento entre a esteira e as rodas. Não havendo escorregamento entre a esteira e o solo inclinado por onde anda o tanque, determinar por suas componentes na base ( )kji

rrr,, :

a) As velocidades 1vr

, 2vr

, 3vr

dos pontos P1, P2 e P3 indicados.

b) Os vetores de rotação Aωr e Bωr das roda de centro A e B, respectivamente.

c) A aceleração do ponto P indicado; (P - A) paralelo a i

r.

d) Trace a distribuição de velocidades do pontos do segmento de reta que vai de 1P a 2P .Obs.: todas as perguntas se referem ao movimento das rodas em relação ao solo.

Respostas:

a) 01

rr =v ; ivvrr

22 = ; 03

rr =v b) k

r

Rk

R

v ABA

rrrr ωωω −=−= e c) iRa AP

rr 2ω=

R

A B

P

jr

ir

ωA r

P1

P2

P3

3

7) O disco de centro A e raio R rola sem escorregar sobre um plano horizontal com velocidade angular constante ω. A barra CD de comprimento L é articulada em C e D. A luva em D pode deslizar ao longo da guia vertical. Na condição indicada na figura (φ = 45o), pede-se: a) Determinar a velocidade vetorial Cv

r do

ponto C, e o centro instantâneo de rotação I, da barra CD, indicando graficamente.

b) O vetor de rotação Ωr

, da barra CD. c) A velocidade Dv

r do ponto D.

d) A aceleração Car

do ponto C.

Respostas:

a) ( )jiRvC

rrr +−= ω b) k

L

R rr ω2−=Ω c) jRvD

rr ω2−= d) iRaC

rr 2ω=

8) Os discos da figura formam um corpo rígido, o qual gira sem escorregar sobre o trilho EF. A barra AB tem comprimento 2r e tem sua extremidade B arrastada sobre o trilho EF. Sabendo que o ponto O tem velocidade escalar v, aceleração escalar a, e que o conjunto se desloca na direção de i

r, determinar, em função de r, R, v e a:

a) O vetor de rotação ωr do disco. b) A aceleração Ca

r do ponto C.

c) A velocidade Avr

do ponto A. d) A velocidade Bv

r do ponto B.

e) O vetor de rotação ABωr da barra AB.

Resposta:

a)k

r

v rr−=ω

b)j

r

vaC

rr2

= c)

jr

RvivvA

rrr+=

d)i

r

RvvB

rr

+= 1 e)

kr

vRAB

rr

2=ω

φ = 45o R

A C

B O

D

L

jr

ir

ω

R A

B

O

jr

ir

r

C E F

4

9) O sistema indicado move-se no plano jiOrr

. A barra OA gira em torno de O, de

maneira que ϕ = ωt (ω > 0, constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo jO

r. Pedem-se:

a) A posição do CIR da barra AB. b) A velocidade Bv

r de B e a velocidade Av

r de A.

c) O vetor de rotação Ωr

da barra AB. d) A velocidade Mv

r, do ponto médio M da barra AB.

e) Os valores máximo e mínimo de Mvr

,

indicando para quais valores de ϕ eles ocorrem.

Obs. i) Admitir que o sistema possibilita 2

0πϕ ≤≤ .

ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ),,( kjirrr

.

iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável ϕ.

Resposta: b) jlvB

rr ϕω cos2= ; )cossen( jilvA

rrr ϕϕω +−= c) krr

ω−=Ω

d) )cos3sen(2

jil

vM

rrr ϕϕω +−= e) ωlvmáxM 2

3=r

; ωlvmínM 2

1=r

10) A extremidade A da barra AB move-se com velocidade horizontal v constante, conforme indicado na figura. Pede-se: a) As coordenadas do CIR em relação ao

sistema de coordenadas dado. b) A velocidade angular

da barra AB. c) O vetor velocidade do

ponto B.

Respostas: a) )(sin2 θh

yCIR = b)

kh

v rr )(sin2 θω −=

c) jh

vlvi

h

vlVB

rrr

+−= )cos()(sin)(sin 23 θθθ

ϕ

l

A

B

O

l jr

ir

ϕ

x

y

A

B

l

v θ h

5

θ A

B

C

O R

E F

D

jr

ir

v

11) Na figura está representado o esquema de uma guilhotina. A lâmina móvel L da guilhotina é acionada pelas alavancas AOB e BD. É conhecida a velocidade angular ω da alavanca AOB e as seguintes dimensões: OB = l; O1D = 8l, BD = 6l.

Determinar: a) O Centro Instantâneo de

Rotação (CIR) da alavanca BD. b) O vetor velocidade Bv

rdo ponto

B. c) O vetor de rotação BDωr da

alavanca BD. d) O vetor velocidade Dv

r do

ponto D. e) O vetor de rotação Lωr da

lâmina móvel L.

Resp.: b) jlVB

rr ω= c)

kBD

rr

10

ωω = d) jlilVD

rrrωω 64,048,0 += e)

kL

rr

10

ωω =

12) No mecanismo plano da figura, a barra EF é paralela ao eixo x e tem velocidade constante iv

r− . A barra AB é articulada em A, não havendo escorregamento entre o disco

e as barras EF e AB nos seus pontos de contato D e C. Pede-se determinar em função de v, R e θ: a) O centro instantâneo de rotação I do disco, assim como (I − O). b) Ov

r e o vetor de rotação dωr do disco.

c) Cvr

e o vetor de rotação bωr da barra AB.

d) A aceleração Oar

do ponto O.

e) Dar

, supondo que D pertença à barra EF.

Respostas:

a) jR

OIr

θcos=− b) i

vvO

rr

θcos1+−= ; ( ) k

R

vd

rr

θθω

cos1

cos

+−=

c)( )

θθθθ

cos1

cossensen

++−= jiv

vC

rrr

; ( ) kR

vb

rr

θθθωcos1cos

sen2

+−=

d)( ) i

R

vaO

rr

3

32

cos1cos

sen

θθθ

+−= ; e) 0

rr =Ea

ir

B

D

O

A O1

L

ω jr

6

13) A barra AB é articulada em A e o ponto B escorrega sobre o plano; o disco de centro O e raio R rola sem escorregar sobre o plano, com velocidade angular θω &= constante. Pede-se determinar: a) Graficamente o CIR do disco e o

da barra. b) A relação entre os ângulos ϕ e θ. c) O vetor de rotação Ω

r da barra.

d) A velocidade vetorial do ponto B.

e) A aceleração vetorial do ponto A.

f) Os valores de θ para os quais a barra tem um ato de movimento de translação.

Obs.: utilize os versores ir

, jr

e kr

indicados.

Resp.: b) ( )θϕ cos1sen += RL c)k

L

senR rr

ϕθω

cos−=Ω

d) ( )[ ]iLsenRvB

rr ϕθω Ω++= cos1

e) ( )jiRaA

rrr θθω cossen2 +−= f) 0=θ ou πθ =

14) Um disco de raio R e centro O rola, sem escorregar, com velocidade angular ω constante, conforme indica a figura. A barra AB tem comprimento L e está presa, em B, numa sapata deslizante e, em A, num pino a uma distância a do centro do disco. Pedem-se, em função de ω, a, L, e R, para a posição mostrada na figura: a) A velocidade Av

r do ponto A.

b) O CIR da barra AB. c) O vetor de rotação ABωr da barra AB. d) A velocidade Bv

r do ponto B.

Resp.: a) ( )iaRvA

rr += ω c) k

aR

aRAB

rr

−+= ωω

d)jaRLL

aR

aRvB

rr 22 )( −−

−+= ω

θ

R

A

B

O L

jr

ir

ω

ϕ

R

A

B

O

L jr

ir

ω

a

α

7

15) No sistema da figura os dois discos (O, r) e (O, R) são unidos entre si por um eixo em O, mas podem girar independentemente um do outro, sem atrito, em torno do eixo comum. O disco menor (O, r) rola sem escorregar sobre o plano horizontal com velocidade angular ω constante. A barra AC apóia-se no disco (O, R) e não há escorregamento no contato. Pedem-se em função de ω, r, R e ϕ usando os versores ( )kji

rrr,, :

a) A posição do CIR do disco (O, R). b) A velocidade angular Ω do disco (O, R). c) A velocidade angular ωb da barra AC. d) A aceleração Ba

rdo ponto B da barra.

Respostas:

a) j

ROCIR

r

ϕcos)( =−

b) k

R

r rr ϕω cos=Ωc)

krR

rB

rr

+−=

ϕϕωω

cos

sin2

d) [ ]

+++−

++−

+= j

rR

Rri

rR

rR

rR

raB

rrr

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕω

cos

coscos1

cos

cos

cos

sin)( 32

16) Os discos indicados (de raios R e r) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante o vetor de rotação do disco de centro O1 é

).,0(, jikkrrrrr

∧=>ΩΩ=Ω Nesse instante a barra AB, cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual A, B e O2 estão alinhados. Pedem-se nesse instante , em função das constantes. R, r e Ω, expressando os vetores na base :),,( kji

rrr

a) As velocidades Avr

e Bvr

dos pontos A e B.

b) O vetor de rotação ωr do disco de centro O2

Respostas: a) )33( jiRvB

rrr +Ω−= ;

)3( jiRvA

rrr +Ω−=

b) kr

R rrΩ= 2ω

R

A

B

O r

C

ω

jr

ir

ϕ

R

A

B

O1

r

jr

ir

O2

60o

8

17) Os discos de raios r, centros A e B rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio R. O movimento se dá no plano do sistema móvel jiO

rr indicado. Dado o vetor de rotação do disco de

centro A: kAA

rr ωω = , (ωA, constante, jikrrr

∧= ), determinar

por suas componentes na base ( )kjirrr

,, :

a) O vetor de rotação Ωr

da barra AB que está articulada aos centros dos discos.

b) O vetor de rotação Bωr do disco de centro B. c) A aceleração Ma

r do ponto médio M do segmento AB.

Respostas: a) k

rR

rA

rrω

+−=Ω

b) krR

rRAB

rr ωω

+−−=

c) ( )

+−+

+−= j

rR

rRi

rR

ra A

M

rrr

2

22ω

18) A haste rígida OA gira com velocidade angular constante ω, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine: a) O CIR da barra OA e do disco de centro A. b) A velocidade Av

r do ponto A.

c) O vetor de rotação Ωr

do disco de centro A. d) A velocidade Bv

r e a aceleração Ba

r do ponto B.

Respostas:

b) τω rrRvA 3=

c) krr

ω3=Ω

d) ( )uRvB

rrr−= τω3 ; τωω rrr 22 93 RuRaB −−=

O B

A ωA

x y

O

A

ω

ur

τr

R

2R

B

9

19) No sistema da figura a barra AB move-se com velocidade ivr

− de módulo constante. Não ocorre escorregamento no ponto K entre o disco de raio r e a barra OC. Utilizando a base ),,( ku

rrr τ , fixa em relação à barra OC, pede-se: a) Determinar graficamente o CIR do

disco. b) O vetor de rotação Ω

r do disco.

c) O vetor de rotação ωr da barra OC.

d) O vetor aceleração angular Ω&r

do disco.

e) Os vetores aceleração Kar

dos pontos K do disco e da barra OC.

Respostas:

a) τϕ rrrurACIR +=− tan)( b)

kr

v rr ϕω cos− c)

kr

v r&r

ϕϕ

cos

sin32

=Ω

d)

+−=

−

+

=

τϕϕϕ

ϕτϕ

ϕϕ

rrr

rrr

232

2

22

2

coscos

sin,

tancos

1cossin,

ur

va

ur

va

DK

BK

20) O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: AB = CD = L e AD = BC = 2L. As barras estão articuladas em A, B, C, D conforme a figura. O disco de raio r e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular constanteω . O ângulo entre as barras AB e AD segue a lei horária tΩ=θ (Ω = constante).

O ponto E de contato está situado na metade da barra BC e o ponto F está na periferia do disco e na vertical definida pelos pontos E e G. Pedem-se: a) a velocidade do ponto E ( Ev

r);

b) a velocidade do ponto F ( Fvr

); c) as coordenadas do centro instantâneo de rotação para o disco quando °=45θ ; d) a aceleração do ponto E pertencente ao disco.

Resp: a) )cossen( jiLvE

rrr θθ +−Ω= b) jLirLvF

rrr θωθ cos)2sen( Ω++Ω−=

c)

Ω−

Ω−+ωω

12

2,21

2

2LL d) jrLiLaE

rrr)sen(cos 222 ωθθ −Ω−Ω−=

ϕ B

C

O

K

r

A

ur

τr

jr

ir

v

θ

B C

r

A

jr

ir

D

E

F

G

ω

10

21) Na figura os discos concêntricos são solidários. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante v. Não há escorregamento em D. Um fio, flexível e inextensível, é enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2v como mostrado na figura. Adotando como referencial móvel a barra AB e utilizando os versores ),,( kji

rrr, pede-se:

a) A velocidade relativa (vD,rel) e absoluta (vD,abs) do ponto D.

b) O vetor de rotação absoluta (ωr ) dos discos.

c) O CIR dos discos. d) As acelerações relativa, de

arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto D do disco.

Resposta:

a) 0rrrr =−= D, relD v; ivv b)

kr

v=-ω

rr

4

3

c) ( ) j

rDI

r

3

4=−

d) jr

vaa; a; a D, relDD, corD, arr

rrrrrrr

16

2700

2

====

22) No guindaste ilustrado na figura, a velocidade de içamento do peso A é v, constante. A cabine e a lança BO do guindaste giram com velocidade angular ω, constante, em torno de um eixo vertical passando por O. Supondo AB sempre vertical e sendo a cabine o referencial móvel e o solo o referencial fixo, pede-se, usando ),,( kji

rrr:

a) A velocidade absoluta do ponto A, supondo α constante.

b) A aceleração absoluta do ponto A, supondo α constante.

c) A velocidade absoluta do ponto A, supondo Ω=α& constante.

Respostas:

a) kαbjvvA

rrrcosω−=

b) iαbaA

rrcos2ω−=

c) kαbjv)αb(iαbvA

rrrrcoscossen ω−+Ω+Ω−=

A B v D

C

E 2v jr

ir

r

3r

y

ω

A

B

h

b

x α

O

v

11

23) A plataforma circular mostrada na figura tem velocidade angular ω constante. A barra AO e o disco de raio a e centro A giram com a plataforma, permanecendo sempre

no plano Oyz do sistema de coordenadas (O, x, y, z) de versores ),,( kjirrr

solidário à

plataforma. O ângulo ϕ0 é constante. Pede-se em função de θθθ &&& , , e demais dados do problema: a) os vetores velocidade relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B, pertencente à periferia do disco; b) os vetores aceleração relativa, arrastamento e absoluta do mesmo ponto B.

Resp.: a) iθ)ωa-(lv) kθjθa(θv B, arrB, rel

rrrr&r

sencossencos 0 +=+= ϕ

b) kθ)aθθaθ(jθ)aθθaθ(aB, rel

r&&&

r&&&r

sencoscossen 22 +++−=

jθ)a(lωaB, arr

rrsencos 0

2 +−= ϕ iθaθωaB, cor

r&r

cos2−=

24) Um caminhão de bombeiros avança com velocidade vC constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O, com velocidade angular Ψ& . Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta sv &= . São dados s(t) e ψ(t), portanto também conhecidos Ψ, Ψ, vv, &&&& Obter em função dos dados:

a) Sendo a escada o referencial móvel, vrel, varr, v, do homem, usando os versores ),,( kji

rrr.

b) Idem, usando os versores ),,( kurrr τ .

c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, arel, aarr, a, usando os versores

),,( kurrr τ .

Respostas: a) jvivvrel

rrr ψψ sencos += ( ) jsisvv Carr

r&

r&

r ψψψψ cossen +−=

b) τψ)vsψ(uψ=vv Ccarr

r&

rrsencos −+ uvvrel

rr =

c) τv)ψsψ(us)ψ-v=(ar

&&&r

&&r

22 ++

O

s

vC ir

jr

ur

τr

vv &,

ψψψ &&& ,,

A a

B

O x

y

z

ϕ0

ω

θθθ &&&,,

l

12

25) O triedro (Oxyz) gira em torno de Oz, fixo, com velocidade angular ω1. O plano AOB gira em torno do eixo Oy com velocidade angular ω2, relativa ao triedro (Oxyz). O ângulo θ entre as barras AO e OB é constante. Na posição mostrada na figura, em que o plano AOB coincide com o plano Ozy, pede-se, utilizando como referencial móvel o triedro (Oxyz): a) As velocidades vetoriais relativa, de

arrastamento e absoluta do ponto B. b) As acelerações vetoriais relativa, de

arrastamento, complementar (Coriolis) e absoluta de B.

Resp.: a) iθ)lωθ(ωvabs

rrcossen 12 −=

b) kθlωjθ)lωθωω(iθ)lωθω(aabs

rrr&&

rsencossen2cossen 2

2212112 −−+−=

26) A figura mostra um sistema de captação de energia eólica composto por um rotor horizontal acionado por uma hélice de 3 pás e raio R. A carcaça do rotor AB pode girar em torno do eixo vertical Oz. Uma rajada de vento imprime rotação à hélice dada por

)(tϕ& e provoca um movimento de rotação do conjunto em torno de Oz dado por )(tθ& . Em

função de θθϕϕϕ &&&&&& , , , , e dos parâmetros geométricos, pede-se, expressando os resultados

na base móvel ),,( kjirrr

, solidária à carcaça AB: a) o vetor de rotação

absoluto da hélice ωr e a velocidade Bv

r do

ponto B; b) a velocidade vetorial

do ponto P da pá nº 1, situado em sua linha central a uma distância r de B;

c) a aceleração vetorial do ponto P;

d) a aceleração de Coriolis do ponto Q, na extremidade da pá.

Respostas:

a) kθ+jφωr

&r

&r = ; iθavB

r&r −=

b) ( ) ( ) ( ) kφrφjφrθiφrφaθvP

r&

r&

r&&r

coscossen −++−=

A

l

B

O

z

y

x

11,ωω &

22 ,ωω &

θ

R

r

P

Q

a ϕ&

θ&

x y

z

O

B

A

ϕ

13

27) O mecanismo da figura consiste de uma barra AO que gira em torno da extremidade O com velocidade angular ω constante. A extremidade A é presa por um pino no cursor (ver figura) que pode deslizar internamente ao garfo DB, articulado em D. Usando como referencial móvel o garfo DB, determine em função de ω, l, a e s para θ = 90º: a) A velocidade absoluta do ponto A. b) A velocidade relativa e de

arrastamento do ponto A. c) A velocidade angular Ω do garfo DB.

Resp.: b) i

s

aωlvA, rel

rr −= ;

js

lωvA, arr

rr2

−= c)

ks

ω.lΩ

rr

2

2

−=

28) No mecanismo da figura a barra OC apresenta movimento de rotação em torno de O, com velocidade angular ω constante. O anel A escorrega sobre a barra OC e a barra AB, articulada no anel, tem liberdade de movimento apenas na vertical. Pede-se calcular a velocidade relativa de A com respeito à barra OC.

Resp.: i

ωlvA, rel

rr

ϕϕ

2cos

sen= ϕ

C

O

B l

A

jr

ir

ω

s

l θ

ω

A

B

O

D

a

ir

jr