Q1. Construa a tabela verdade para ¬p ∨ q e veri�que que ela coincide coma tabela de p→ q.

Q2. Compute a tabela verdade completa da fórmula

(a) ((p→ q)→ p)→ p

(b) p ∨ (¬(q ∧ (r → q)))

(c) (p ∧ q)→ (p ∨ q)(d) ((p→ ¬q)→ ¬p)→ q

(e) (p→ q) ∨ (p→ ¬q)(f) ((p ∨ q)→ r)→ ((p→ r) ∨ (q → r))

(g) (p→ q)→ (¬p→ ¬q).

Q3. Seja ∗ um novo conectivo lógico tal que p∗q não vale sse p e q são ambosfalsos ou ambos verdadeiros.

(a) Escreva a tabela verdade para p ∗ q.(b) Escreva a tabela verdade para (p ∗ p) ∗ (q ∗ q).

Q4. Utilize indução matemática no itens a seguir:

(a) Prove que

(2 · 1− 1) + (2 · 2− 1) + (2 · 3− 1) + · · ·+ (2 · n− 1) = n2

por indução matemática em n ≥ 1.

(b) Sejam k e l números naturais. Dizemos que k é divisível por l seexiste um número natural p tal que k = p · l. Por exemplo, 15 édivisível por 3 porque 15 = 5 · 3. Use indução matemática paramostrar que 11n − 4n é divisível por 7 para todo número naturaln ≥ 1.

(c) Use indução matemática para mostrar que

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n · (n+ 1) · (2n+ 1)

6

para todo natural n ≥ 1.

(d) Prove que 2n ≥ n + 12 para todo número natural n ≥ 4. Aqui ocaso base é n = 4. A a�rmação vale para algum n < 4?

(e) Suponha que uma agência dos correios só venda selos de R$0,02 eR$0,03. Mostre que qualquer carta de R$0,02 ou mais pode ser pagautilizando somente esses selos. Dica: use indução matemática emn, onde n é o valor da postagem em centavos. No passo de induçãoconsidere duas possibilidades: primeira, n pode ser paga utilizandosomente selos de R$0,02. Segunda, para pagar n é necessário utilizarpelo menos um selo de R$0,03.

1

(f) Prove que para todo pre�xo de uma fórmula bem formada da lógicaproposicional o número de parênteses abrindo é maior ou igual aonúmero de parênteses fechando.

Q5. Os números de Fibonacci são muito úteis na modelagem de crescimento

populacional. Nós de�nimo-os por F1def= 1, F2

def= 1 e Fn+1

def= Fn+Fn−1

para todo n ≥ 2. Mostre que F3n é par por indução matemática em n ≥1. Note que essa a�rmação diz que a sequência F3, F6, F9, . . . consiste sóde números pares.

Q6. Considere a função rank, de�nida por

rank(p)def= 1

rack(¬φ) def= 1 + rank(φ)

rank(φ ◦ ψ) def= 1 +max(rank(φ), rank(ψ))

onde p é uma fórmula atômica, ◦ ∈ {→,∧,∨} e max(n,m) é n se n ≥ mem caso contrário. Lembre-se do conceito de altura de uma fórmula. Useindução matemática na altura de φ para mostrar que rank(φ) não é nadamais que a altura de φ para todas fórmulas φ da lógica proposicional.

Q7. Aqui está um exemplo do porque nós devemos nos assegurar do casobase para a indução matemática. Considere a a�rmação "O númeron2 + 5n+ 1 é para para todo n ≥ 1."

(a) Prove o passo de indução da a�rmação.

(b) Mostre que para o caso base não vale.

(c) Conclua que a a�rmação é falsa.

(d) Utilize indução matemática para mostrar que n2 + 5n + 1 é ímparpara todo n ≥ 1.

Q8. Para a prova do teorema da correção:

(a) Explique porque nós não pudemos usar indução fraca, mas tivemosque apelar para indução forte.

(b) Dê justi�cativas para todas as inferências que terminaram com "Porquê?"

(c) Complete a análise de casos, fazendo a prova para as regras de provarestantes. Olhe lista de regras de prova da dedução natural parasaber quais casos estão faltando. Você precisa incluir as regras de-rivadas?

Q9. Mostre que os seguintes sequentes não são válidos através de uma valo-ração em que os valores verdade das fórmulas à esquerda de ` são V eo valor verdade da fórmula à direita de ` é F.

(a) ¬p ∨ (q → p) ` ¬p ∧ q(b) ¬r → (p ∨ q), r ∧ ¬q ` r → q

2

(c) p→ (q → r) ` p→ (r → q)

(d) ¬p, p ∨ q ` ¬q(e) p→ (¬q ∨ r),¬r ` ¬q → ¬p

Q10. Para cada um dos seguintes sequentes não válidos, dê exemplos de sen-tenças declarativas em linguagem natural para o átomos p, q e r taisque as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa.

(a) p ∨ q ` p ∧ q(b) ¬p→ ¬q ` ¬q → ¬p(c) p→ q ` p ∨ q(d) p→ (q ∨ r) ` (p→ q) ∧ (p→ r).

Q11. Encontre uma fórmula da lógica proposicional φ que contém somenteátomos p, q e r e que é verdadeira somente quanto p e q são falsos, ouquando ¬q ∧ (p ∨ r) é verdadeira.

Q12. Use indução matemática em n para prova o teorema ((φ1 ∧ (φ2 ∧ (. . . ∧φn) . . .)→ ψ)→ (φ1 → (φ2 → (. . . (φn → ψ) . . .)))).

Q13. Prove a validade dos seguintes sequentes necessários para assegurar oresultado da completude da lógica proposicional:

(a) φ1 ∧ ¬φ2 ` ¬(φ1 → φ2)

(b) ¬φ1 ∧ ¬φ2 ` φ1 → φ2

(c) ¬φ1 ∧ φ2 ` φ1 → φ2

(d) φ1 ∧ φ2 ` φ1 → φ2

(e) ¬φ1 ∧ φ2 ` ¬(φ1 ∧ φ2)

(f) ¬φ1 ∧ ¬φ2 ` ¬(φ1 ∧ φ2)

(g) φ1 ∧ ¬φ2 ` ¬(φ1 ∧ φ2)

(h) ¬φ1 ∧ ¬φ2 ` ¬(φ1 ∨ φ2)

(i) φ1 ∧ φ2 ` φ1 ∨ φ2

(j) ¬φ1 ∧ φ2 ` φ1 ∨ φ2

(k) φ1 ∧ ¬φ2 ` φ1 ∨ φ2.

Q14. Veri�que se � φ vale para os φ abaixo. Por favor, justi�que sua resposta.

(a) (p→ q) ∨ (q → r)

(b) ((q → (p ∨ (q → p))) ∨ ¬(p→ q))→ p.

Q15. Mostre que uma fórmula φ é válida sse > ≡ φ, onde > é uma abreviaçãode uma instância p ∨ ¬p do TE.

Q16. Quais dessas fórmulas são semanticamente equivalentes a p→ (q ∨ r)?

(a) q ∨ (¬p ∨ r)

3

(b) q ∧ ¬r → p

(c) p ∧ ¬r → q

(d) ¬q ∧ ¬r → ¬p.

Q17. Um conjunto adequado de conectivos para a lógica proposicional é umconjunto tal que para cada fórmula da lógica proposicional existe umafórmula equivalente em que ocorrem somente conectivos daquele con-junto. Por exemplo, o conjunto {¬,∨} é adequado para a lógica propo-sicional, pois qualquer ocorrência de ∧ e → pode ser removida pelo usodas equivalências φ→ ψ ≡ ¬φ ∨ ψ e φ ∧ ψ ≡ ¬(¬φ ∨ ¬ψ).

(a) Mostre que {¬,∧}, {¬,→} e {→,⊥} são conjuntos adequados de co-nectivos para a lógica proposicional. (No último caso, nós tratamos⊥ como um conectivo zero-ário)

(b) Mostre que, se C ⊆ {¬,∧,∨,→,⊥} é adequado para a lógica propo-sicional, então ¬ ∈ C ou ⊥ ∈ C. (Dica: suponha que C não contém¬ nem ⊥ e considere o valor verdade de uma fórmula φ, formadautilizando apenas conectivos em C, para uma valoração em que cadaátomo recebe valor V.)

(c) {↔,¬} é adequado? Prove a sua resposta.

Q18. Utilize a correção ou completude para mostrar que o sequente φ1, φ2, . . . , φn `ψ tem uma prova sse φ1 → φ2 → . . .→ φn → ψ é uma tautologia.

Q19. Mostre que a relação ≡ é

(a) re�exiva: φ ≡ φ vale para todo φ

(b) simétrica: φ ≡ ψ implica ψ ≡ φ e

(c) transitiva: φ ≡ ψ e ψ ≡ η implica φ ≡ η.

Q20. Mostre que, com respeito a ≡,

(a) ∧ e ∨ são idempotentes:

i. φ ∧ φ ≡ φ

ii. φ ∨ φ ≡ φ

(b) ∧ e ∨ são comutativas:

i. φ ∧ ψ ≡ ψ ∧ φii. φ ∨ ψ ≡ ψ ∨ φ

(c) ∧ e ∨ são associativas:

i. φ ∧ (ψ ∧ η) ≡ (φ ∧ ψ) ∧ ηii. φ ∨ (ψ ∨ η) ≡ (φ ∨ ψ) ∨ η

(d) ∧ e ∨ são absortivos:

i. φ ∧ (φ ∨ ψ) ≡ φ

ii. φ ∨ (φ ∧ ψ) ≡ φ

4

(e) ∧ e ∨ são distributivos:

i. φ ∧ (ψ ∨ η) ≡ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ η)ii. φ ∨ (ψ ∧ η) ≡ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ η)

(f) ≡ permite dupla negação: φ ≡ ¬¬φ e

(g) ∧ e ∨ satisfazem as regras de De Morgan:

i. ¬(φ ∧ ψ) ≡ ¬φ ∨ ¬ψii. ¬(φ ∨ ψ) ≡ ¬φ ∧ ¬ψ.

Q21. Construa uma fórmula na CNF com base em cada uma das seguintestabelas verdade

(a)

p q φ1

V V FF V FV F FF F V

(b)

p q r φ2

V V V VV V F FV F V FF V V VV F F FF V F FF F V VF F F F

(c)

r s q φ3

V V V FV V F VV F V FF V V FV F F VF V F FF F V FF F F V

Q22. Escreva uma função SEM_IMPL que requer uma (árvore de parse de uma)fórmula proposicional como entrada e produz uma fórmula equivalentesem implicações como saída. Quantos casos tem seu algoritmo? Lembre-se da de�nição 2.27

Q23. Compute CNF(NNF(SEM_IMPL(¬(p→ (¬(q ∧ (¬p→ q))))))).

Q24. Porquê as funções CNF e DISTR preservam NNF e porquê isso é impor-tante?

Q25. Para uma chamada CNF(NNF(SEM_IMPL(φ))) em uma fórmula φ da lógicaproposicional, explique porque:

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(a) sua saída é sempre uma fórmula na CNF

(b) sua saída é semanticamente equivalente a φ

(c) essa chamada sempre termina.

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