AMF - Antonio Meneghetti Faculdade

SIN007 Matemtica Discreta 2013

Lista de Exerccios 2Prof. Cristiano De Faveri Verso: 0.1

1. Quais das seguintes relaes sobre o conjunto S = {1, 2, 3, 4} so reflexivas, simtricas, anti-simtricas outransitivas?

(a) {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)}No reflexiva, pois no possui {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} simtricaNo anti-simtrica, pois possui (1, 3) e (3, 1) e 1 6= 3No transitiva, pois possui, por exemplo (1, 3), (3, 1) mas no (1, 1)

(b) {(1, 3), (2, 4)}No reflexiva, pois no possui {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}No simtrica, pois possui, por exemplo, (1, 3) mas no h (3, 1) anti-simtricaNo transitiva, pois no possui os pares (3, 1)e(4, 2) para continuidade da regra transitiva

(c) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)} reflexiva simtricaNo anti-simtrica, pois possui (1, 3) e (3, 1) e 1 6= 3.Igualmente para (2, 4) e (4, 2) transitiva

(d) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} reflexiva simtrica anti-simtrica transitiva

(e) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)} reflexiva simtricaNo anti-simtrica, pois possui (2, 3) e (3, 2) e 2 6= 3.Igualmente para (3, 4) e (1, 2)No transitiva, pois existe (1, 2) e (2, 3) e no h (1, 3). O mesmo para (2, 3) e (3, 4), (4, 3) e (3, 2),(3, 2) e (2, 1)

2. Seja

A = {1, 2, 3, 4} eR1 AA = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 2), (3, 4), (4, 3)} eR2 AA = {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (4, 3), (4, 4)}.

2-1

2-2

Calcule R1 R2 e R2 R1. A composio das relaes comutativa?Resp: O exerccio pede para verificar se a composio R1 R2 comutativa, ou seja, se a inverso R2 R1mantm a mesma relao de composio. A Figura 2.1 mostra o diagrama de Venn para as composiesR1R2eR2 R1. O diagrama mais acima, resulta na composioR1 R2 = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 1)},de acordo com a regra de composio, ou seja, os elementos do primeiro conjunto A se conecta os elementosdo terceiro conjunto A passando pelos elementos do conjunto do meio. Por exemplo, o elemento 1 (primeiroconjunto) se conecta com 3 (conjunto do meio) que se conecta com 1 (terceiro conjunto), dando origem ao par(1,1). O diagrama de baixo resulta na composio R2 R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 3)}.Vemos que as composies R1 R2 e R2 R1 so diferentes, portanto no so comutativas.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A A A

R1 R2

1 2 3 4

1 2 3 4

A

R2

A 1 2 3 4

A

R1

R1 R2

R2 R1

Figure 2.1: Diagrama de Venn

3. Calcule para cada uma das relaes do exerccio 1, o fecho reflexivo, o fecho simtrico e o fecho transitivo.Reflexivo(R1) = R1 {(1, 1), (3, 3), (4, 4)}Simetrico(R1) = R1 {(2, 1), (3, 1), (4, 2)}Transitivo(R1) = R1 {(2, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 1)}

Reflexivo(R2) = R2 {(2, 2), (3, 3)}Simetrico(R2) = R2 {(2, 1), (1, 3), (3, 4)}Transitivo(R2) = R2 {(2, 1), (1, 3), (3, 3), (3, 2), (4, 1)}

4. Para as seguintes relaes, determine quais so reflexivas, simtricas, transitivas e de equivalncia.

(a) Seja S uma relao no conjunto R tal que para todo x, y R, xSy x < y(b) Seja T uma relao no conjunto Z dos nmeros inteiros tal que m,n Z, mTn 3 | (m n)

2-3

Uma relao uma relao de equivalncia se for reflexiva, simtrica e transitiva. Resp: a) A relao < no reflexiva, por para todo par (x,y), nunca haver x = y, visto que a lei da relao obriga que x < y. A relaono simtrica pois dado um par (x, y), sendo x < y, implica em ter um par (y,x), sendo que no existe paresem que x < y e y < x. uma relao transitiva, pois para cada par (x, y), sendo x < y e (x, y), sendo x = x,implica que x < y ento existir um par (x, y). No uma relao de equivalncia por definio.

b) A lei da relao descreve que existe um (m,n) sempre que 3 dividir (m n). A relao reflexiva porsempre que m = n ocorrer 0(m n) e 3 divide 0. A relao simtrica pois sempre que 3 dividir (m n),tambm dividir (nm).Por exemplo, considere o par (6, 3). Temos que 6-3=3 ento 3 divide 3. Invertendo oselementos do par, temos (3, 6) e 3-6=-3 que tambm dividido por 3. A relao transitiva pois se temos que3 divide (m,n) e 3 divide (n,m) ento 3 dividir (m,m) pois resultar em m m = 0. A relao portanto de equivalncia, por definio.

5. Dado o seguinte diagrama de Venn,

a b c d

1 2 3 4 5

x y z

B C A

Figure 2.2: Diagrama de Venn

Determine:

(a) Os conjuntos A, B e C em forma de extenso. A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {x, y, z}(b) A relao R : A B {(a, 1), (b, 3), (b, 4), (d, 5)}(c) A relao S : B C {(1, x), (2, y), (5, y), (5, z)}(d) A relao de composio R S {(a, x), (d, y), (d, z)}

6. Descreva o conjunto R, sendo R a relao em A, sendo A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.Resp: R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}

7. Sejam dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2} e C = {4, 5, 6}.(a) Descrever em extenso os conjuntosAB,BA eAC. AB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

B A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}A C = {(a, 4), (a, 5), (a, 6), (b, 4), (b, 5), (b, 6), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}

(b) Dar exemplos de relaes de A para B e de B para A com quatro elementos. Qualquer subconjunto comquatro elementos do produto cartesiano so relaes, portanto, podemos ter:R : A B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}S : B A = {(1, b), (1, c), (2, a), (2, b)}

(c) Dar um exemplo de uma relao simtrica emC com trs elementos. K : C C = {(4, 5), (5, 4), (5, 5)}

2-4

8. Seja A = {1, 2, 3}. Para cada uma das relaes R indicadas a seguir, determinar os elementos de R, o domnioe o contradomnio de R e, finalmente, indicar as propriedades que possui R.

(a) R a relao < em A. A relao < indica que dado um par (a, b), sendo a, b A , temos que a < bPortanto, podemos descrever a relaoR = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. O domnio determinado pelo conjuntocontendo os primeiros elementos de cada par, ou seja, Dom(R) = {1, 2} e o contradomnio so oselementos disponveis para compor a relao, ou seja, {1, 2, 3}. Propriedades: No reflexiva, no simtrica, anti-simtrica, no transitiva

(b) R a relao em A. A relao indica que dado um par (a, b), sendo a, b A, temos que a bPortanto, podemos descrever a relao R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2)}. O domnio de-terminado pelo conjunto contendo os primeiros elementos de cada par, ou seja, Dom(R) = {1, 2, 3} eo contradomnio so os elementos disponveis para compor a relao, ou seja, {1, 2, 3}. Propriedades: reflexiva, no simtrica, anti-simtrica, transitiva

9. Seja R uma relao de A para B e S uma relao de B para C. Ento a relao composta S R a relaoconstituda por todos os pares ordenados (a, c) tais que (a, b) R e (b, c) S. Sendo A = {p, q, r, s}, B ={a, b}, C = {1, 2, 3, 4}, R = {(p, a), (p, b), (q, b), (r, a), (s, a)} e S = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)}, determinarRS.Resp: Perceba que o exerccio colocou que a composio S R dada por pelos pares (a, c) tais que (a, b) Re (b, c) S, ou seja, o formato inverso que estamos trabalhando na definio de composio. Dessa forma,a composio R S dada pelos pares(a, c) tal que (a, b) S e (b, c) R. Como podemos observar acomposio R S o conjunto vazio ()

10. Seja R a relao no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} definida por (a, b) R (a b) divisvel por 4.Determinar R e R1.

Temos que buscar para compor a relao R, os pares (a, b) que obedeam a lei a b divisvel por 4. Temosportanto os seguintes pares na relao R: R = {(5, 1), (6, 2), (7, 3)}, ou seja, 5 1 = 4, 6 2 = 4 e 7 3 = 4resultam em 4 que divisvel por 4. A relao inversa se d pela inverso dos elementos nos pares, ou seja,R1 = {(1, 5), (2, 6), (3, 7)}.

11. Quais das relaes que se seguem so equivalncias? Considere que so relaes em A, definido como A ={1,2,3,4}?

(a) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (3, 1)}(b) S = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}(c) T = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}

Uma relao uma relao de equivalncia se for reflexiva, simtrica e transitiva. Portanto, se observarmosessas trs propriedades nas relaes dadas, elas so relaes de equivalncia.

A relao R reflexiva, simtrica e transitiva, logo de equivalncia.

A relao S no reflexiva, no simtrica e no transitiva, portanto no de equivalncia.

A relao T reflexiva, simtrica e transitiva, portanto de equivalncia.

12. Sejam A = {1, 2, 3} eB = {2, 4, 7}, o conjunto {(1, 2), (2, 4), (2, 7)} formado por elementos deAB, logo uma relao binria de A para B. Para cada uma das relaes binrias definidas a seguir em N, decida quaisentre os pares ordenados dados pertencem a .

(a) xy x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)Resp: O par (3, 2) pertence relao pois 3=2+1

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(b) xy x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)Resp: Os pares (2, 4) e (2, 6) pertencem relao pois 2 divide 4 e 2 divide 6

(c) xy x impar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)Resp: Os pares (3, 4) e (5, 6) pertencem relao pois 3 e 5 so mpares

(d) xy x > y2;(1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)Resp: O par (2, 1) pertence relao pois 2 > 12.Os outros pares no satisfazem a lei da relao.

13. Para cada uma das relaes binrias emR abaixo, desenhe uma figura que mostre que regio do plano ela define:

(a) xy y 2(b) xy x = y 1(c) xy x2 + y2 = 16(d) xy x y

Respostas nos planos da Figura 2.3.

x

y

2

x

y

x

y

4

4

-4

-4

x

y

a) b)

c) d)

Figure 2.3: Diagrama de Venn

14. Seja R a seguinte relao em A = {a, b, c, d}:

R = {(a, b), (a, d), (c, b), (c, c), (c, d)}

(a) Ache a matriz MR de R

(b) Ache R1

(c) Ache a relao composta R R(d) Ache o domnio e a imagem de R

(e) Desenhe o grafo orientado de R

2-6

Resp: a) Figura 2.4Resp: b) R1 = {(b, a), (d, a), (b, c), (c, c), (d, c)}Resp: c) R R = {(c, b), (c, c), (c, d)}Resp: d) Dom(R) = {a, c}, Im(R) = {b, c, d}Resp: e) Figura 2.5

R a b c d

a 0 1 0 1

b 0 0 0 0

c 0 1 1 1

d 0 0 0 0

Figure 2.4: Matriz Mr de R

a

c b

d

Figure 2.5: Grafo de R

15. Descreva um modelo de grafo que represente um sistema de trens em uma grande cidade.

16. Seja A = {1, 2, 3, 4, 6} e seja R a relao em A definida por "x divide y, escrita por x|y. Note que x|y somenteexiste se existe algum inteiro z tal que xz = y.

(a) Escreva R como um conjunto de pares ordenados

(b) Desenhe seu grafo orientado

(c) Ache a relao inversa R1 de R. R1 pode ser descrita em palavras?

(d) Ache R R17. Sejam A,B,C e D conjuntos dados. Provar ou dar contra-exemplos para as seguintes conjecturas:

(a) A (B C) = (AB) (A C)(b) A (B C) = (AB) (A C)(c) (AB) (Ac B) = (d) A (B C) = (A B) (A C)(e) A (B C) = (A B) (A C)

18. Determine os fechos reflexivos, simtricos e transitivos da relao R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (5, 4)} em A ={1, 2, 3, 4, 5}.

19. Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}, represente as relaes a seguir como uma matriz:

(a) : A A(b) B,=(c) C,

2-7

(d) R : C C tal que R = {(0, 2), (2, 0), (2, 2)}(e) : P (A) P (B)

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