PROFESSOR: HAMILTON BRITO

1ª EDIÇÃO

1- FUNÇÕES Sendo dois conjuntos A e B, chama-se função f de A em B à relação f:A B, onde a cada elemento de A corresponde um, e somente um, elemento de B.

Na função f:A B, o conjunto A é o domínio e B é o conjunto imagem.

FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função do 1º grau é toda função da forma y=f(x)=ax+b, com a≠0. Ex: y=2x-3 y=4-x Diz-se que um número a é o zero(ou raiz) da função do 1º grau se ele anula a função, isto é, se f(a)=0.

Ex: o zero da função f(x)=3x-18 é 6, pois f(6)=3.6-18=18-18=0 Para calcular o zero da função, fazemos y=0 e resolvemos a equação.

Ex: Calcule o zero da função y=4-2x. Solução: Temos que fazer y=0.Logo: y=4-2x 0=4-2x 2x=4 x=4/2 x=2 GRÁFICOO gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.

y y a >0 a<0

x x

Exercícios Resolvidos 1ª)Sendo a função do 1º grau y=f(x)=3-5x, calcule: a)f(0)

b)f(-2) Solução:

a) f(x)=3-5xf(0)=3-5.0= 3-0=3

b) f(x)=3-5xf(-2)=3-5.(-2)f(-2)=3+10=13

2ª)Calcule o zero de cada função abaixo:a) y=4x-8b) y=-7x-21Solução:Para calcular o zero(ou raiz) de uma função, teremos que fazer y=0.Logo:a) y=4x-8

0=4x-8-4x=-8 (-1) Multiplica-se por -1 pois o nº na frente de x é negativo.Se fosse x=8/4 positivo a gente não multiplicaria. x=2

b) y=-7x-210=-7x-21

7x=-21 x= -21/7 x= -3

3ª)Um corpo percorre uma trajetória dada pela função S=25-5t.Responda:

a) Qual a distância percorrida pelo corpo no instante t=4 s?Solução:Fazemos t=4 e calculamos o valor de s.Assim:S=25-5tS=25-5.4S=25-20S=5m

b) Em que instante o corpo vai passar pela origem das posições?

Solução: O instante em que ele passa pela origem é o valor do zero da função.Assim, teremos que calcular o zero da função,ou seja, fazer s=0.S=25-5t0=25-5t5t=25t=25/5t=5s. No instante t=5s o corpo passa pela origem das posições.

2- Função Quadrática(ou do 2º grau) É toda função da forma y=ax2+bx+c

Zeros da Função: f(x)=0 x= -b±√Δ , onde Δ=b2-4ac 2. a

Obs:1) Se Δ>0, a função tem duas raízes reais diferentes. 2) Se Δ=0, a função tem duas raízes reais iguais 3) Se Δ<0, a função não tem equações reais. ( as raízes são complexas ou imaginárias)

Dependendo do valor de “a” e “Δ”, o gráfico pode ter as seguintes formas:

y y y a>0 a>0 a>0 Δ>0 Δ=0 Δ<0

x1 x2 x x1=x2 x x y y y a<0 a<0 a<0 Δ>0 Δ=0 Δ<0

x1 x2 x1=x2 x x x

Nos gráficos, x1 e x2 são os zeros da função. No gráfico, podemos calcular pontos importantes, que são chamados de vértices da função.Esse ponto é dado por: P(xv, yv) xv= -b yv= -Δ 2.a 4. a O valor de yv é o menor(ou maior) valor que a função pode assumir, dependendo do valor de a.Se a>0, então yv é mínimo.Se a<0, então yv é máximo.

A soma das raízes da função é S= -b e o produto é P= c. Assim, a função pode ser escrita por:y=f(x)=x2-Sx+P a a Ex:Sendo as equações abaixo, calcule a soma e o produto das raízes.

a)y=2x2-8x-16Solução:Aplicando a fórmula, teremos:a)a=2 S=-b P= c b=-8 a a c=-16 S=-(-8) P=-16 2 2 S=4 P=-8Ex:Sendo as raízes de uma função quadrática iguais a -2 e -4, monte essa função. Solução:Como foram dadas as raízes, então teremos que calcular a soma e o produto, e montar a função usando a fórmula y=f(x)=x2-Sx+P. S= -2-4= -6 y=f(x)=x2-Sx+P P=(-2).(-4)=8 y=f(x)=x2-(-6)+8 y=f(x)=x2+6x+8

Ex1: Sendo a função quadrática y= -x2+x+6, calcule o que se pede:a)As raízes.b)As coordenadas do vértice.a)Solução:Para calcular as raízes(ou zeros) da função, teremos que usar a fórmula de Bháskara.Ao usar a fórmula, encontraremos como raízes os números x’=3 e x’’= -2.b)Solução:Para calcular as coordenadas do vértice, basta usar a fórmula de xv e yv, ou seja:a= -1; b=1 e c=6Δ=b2-4ac = 12-4.(-1).6 =1+24=25 Δ=25xv= -b yv= -Δ 2a 4axv= -1 yv= -25 2.(-1) 4.(-1)xv= -1 yv= -25 -2 -4xv= 1 yv=25 2 4

Ex2: Sendo a função quadrática y= 2x2+2x+(k-5), calcule o valor de k para que a função:a)Tenha duas raízes reais diferentes.b)Tenha duas raízes reais iguais.c)Tenha raízes complexas.a)Solução:Para problemas que envolvam esse tipo de questão, teremos que trabalhar sempre com o valor de Δ.Assim, pelo que foi dito anteriormente, para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais diferentes, devemos ter Δ>0.Assim, vem: a=2, b=2 e c= k-5 Δ=b2-4ac Δ>0 b2-4ac>0 22-4.2.(k-5)>0 4-8.(k-5)>0 4-8k+40>0 -8k+44>0 -8k>-44 (-1) Temos que multiplicar por -1, pois o número na frente de x é negativo. 8k<44 A gente inverte o sinal de desigualdade pois a gente multiplicou a inequação por -1. k<44 8 k<11 4b)Solução:A gente procede de forma semelhante como na questão anterior.Mas nesse caso, como queremos que a equação tenha duas raízes reais iguais, faremos então Δ=0, mas a resolução é parecida com a letra a.c)Solução:A gente procede de forma parecida com a letra a,mas teremos que fazer Δ<0, pois queremos que a equação

tenha duas raízes imaginárias, mas a solução é parecida.Mas atenção:se você multiplicar a inequação por -1, não esqueça de inverter o sinal da desigualdade, ou seja, nesse caso, o sinal de menor(<) passará a ser o sinal de maior(>).

Ex3: Sendo a função y=3x2-2x+14, calcule:a)f(1)b)f(-2)c) o valor de x quando y= 22a) Solução:Para calcular f(1), basta substituirmos o número entre parênteses, no caso o número 1, na equação, isto e, onde tiver x na equação a gente vai substituir por 1.Ou seja: y=3.12-2.1=14 y=3-2+14 y=15b)Solução:Faremos da mesma forma que na questão anterior, mas agora o valor de x será igual a -2.Lembre-se:ao substituir x por um número negativo,sempre coloque o valor entre parênteses. Ao resolver, você deverá achar y=22.c)Solução:Como foi dado o valor de y, então a gente quer calcular o valor de x.Assim, deveremos colocar y=22 onde houver y na função, e depois resolvera equação do 2º grau que resultar, isto é: y=3x2-2x+14 22=3x2-2x+14-3x2+2x+22-14=0-3x2+2x+8=0 Resolvendo essa equação -3x2+2x+8=0, calculamos as soluções do problema que são: x’=-4 e x’’=2. 3

FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMICAFunção Exponencial

f(x)=ax, com a>0 e a≠1.........a é a base e x é o expoente.Propriedadesa0=1a1=aa-n= 1 an

am.an=am+n

am:an=am-n

(am)n=am.n

n m

√am=an

Ex: 5-2= 1 = 1 52 25

Equações Exponenciais Resolução: Para resolver uma equação exponencial, temos que tornar os dois membros da equação com bases iguais.Em seguida, aplica-se as propriedades devidas, elimina-se as bases , trabalhando-se com os expoentes e resolve-se a equação resultante.Para colocar os membros na mesma base, temos que fazer a simplificação dos valores, como se fossemos calcular o MMC. Ex: Calcule x na equação 7x=49Solução:Temos que transformar 49 na base 7.Para fazer isto, teremos que dividir 49 por 7 sucessivas vezes, até obter o número 1, como se fôssemos retirar o MMC.Assim, temos que 49=72. 7x=49 7x=72 Elimina-se as bases e trabalha-se com os expoentes. x=2 Muitas vezes, é preciso fazer uma substituição de variáveis.

Ex: Resolva a equação 5x+1+5x+2=30 Solução:Vamos ter que desmembrar a equação, aplicando as propriedades da potenciação.Vejamos: 5x+1+5x+2=30 5x.51+5x.52=30 Podemos fazer 5x=y, obtendo: y.51+y.52=30 5y+25y=30 30y=30 Agora que calculamos o valor de y, teremos que calcular o valor de x,.Substituindo y=1 na expressão 5x=y, obtemos: y=1 5x=y 5x=1 Lembre-se que 1 é qualquer número elevado a zero.Assim, podemos fazer 1=50 e obter: 5x=50

x=0

Gráficos1º Caso: a>1 y

Função Crescente 1

0 x2º Caso: a<1

yFunção Decrescente

1 0 x Ex:Construa o gráfico das funções y=2x e y=( 1 )x

2

Função Logarítmica Dados dois números a e b, chama-se logaritmo de b na base a ao

número x, tal que log ab=x, sendo que ax=b.A condição de

existência é b>0, a>0 e a≠1 Ex: log 2

8=3, pois 23=8 log 4

16=2, pois 42=16 log 10

0,01= -2, pois 10-2=0,01

Conseqüências e Propriedades da definição*log a

1=0, pois a0=1

*log aa=1, pois a1=a

*log ab+log a

c=log a(b.c)

*log ab- log a

c=log a(b/c)

*log abk=k.log ab

*alog a b=b

k

* log ab = log a√b k* -log a

b = log a1/b

Exercícios 1ª)Resolva as equações exponenciais:

Se você ver o símbolo ln k, então estaremos trabalhando com o sistema de base “e”.Obs:ln e=1elnk=k

Obs: *Se log ab=log ac, então b=c *Quando não aparecer a base, então fica subentendido que a base é 10.

a)11(x-2)=1b)3x(x+2)=27c)2x= 1 4 4

d)49x=√343e)22x-3.2x+2=0f)4x-9.2x+8=02ª) Resolva as equações:a)log 3(2x-1)=4b)log x(x+6)=2

3ª)Calcule o valor de cada logaritmo:a)log 93b)log 4√2c)3. log x=2.log84ª)Resolva as equações abaixo:a) log (x-5)=2.log(11-x)b) log 4 x = log 2

x

24ª)Resolva as equações, sendo ln 2=2,7; ln 3=1,1.a) ex=4b)6x=ea)Solução:Vamos ter que aplicar ln aos dois membros e aplicar as propriedades de logaritmo.Mas antes teremos que fazer as devidas transformações.Por exemplo, a gente sabe que 4=22.Assim, teremos:

ex=4 ex=22 ln ex=ln 22 Aplicando-se a propriedade do expoente que vai passar multiplicando, teremos:x.ln e=2.ln 2 Lembre-se que ln e=1

x.1=2.0,7x=1,4b)Solução:Fazendo como na questão anterior mas lembrando que 6=2.3, teremos: 6x=e ln 6x=ln e x.ln 6=lne x.ln2.3=ln e Aplicando-se a propriedade do logaritmo do produto que passa a ser a soma dos logarit- mos, tem-se: x.(ln 2+ ln 3)=ln e ln e=1 x.(0.7+1,1)=1 x.1,8=1 x= 1 1,8 x≈0,555ª) x(t)=C.ekt

NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

1) Números Complexos. Podem ser escritos por: z=a+bi. Ex: z=2-i; z=3-4i, etc. Relação Fundamental: ; i3= -i, i4=1

i= √-1 ,de onde vem i2= -1

Essa relação será usada daqui em diante. Operações Fundamentais.1-Adição e Subtração. Somamos ou subtraímos as partes real com real e imaginaria com imaginaria. Ex: (2+i)+(1-2i)=(2+1)+(i-2i)=3-i2-Multiplicação; Multiplicamos normalmente, mas usamos a relação fundamental. Ex: (5-2i).(4-i)=20-5i-8i+2i2= 20-13i+2.(-1)= lembre-se:i2= -1 20-2-13i=18-13i3-Divisão*Conjugado.Sendo um número complexo z=a+bi, damos o nome de conjugado de z ao número z ,tal que

z = a-bi Ex.:Sendo z = 3-2i,o conjugado de z é z = 3+2i*Definição da divisão:Sendo z1 e z2 dois números complexos, a divisão z1/z2 é um número z3, tal que z3 é obtido multiplicando-se z1

pelo conjugado de z2.Veja: Ex:Dividir 2+i por 1-4i.

2) Função Polinomial e Equações Polinomiais Polinômio é a função dada por f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...anxn, onde a0,a1,a2,a3,...an sãos coeficientes.Ex: f(x)=1+2x+3x2-x3

g(x)= 14-x5

h(x)=2+x-4x8

Quando o polinômio for incompleto ( ou seja, tiver algum termo igual a zero), devemos torná-lo completo, isto é, acrescentar zero(0) onde for preciso. Ex: f(x)=1+2x2+3x3(incompleto, pois o termo em x é zero)

f(x)=1+0x+2x2+3x3(completo)Para dividir um polinômio por um binômio ax+b=0, calculamos a raiz do binômio e fazemos P( r), sendo r a raiz do binômio.Ex:Divida o polinomio P(x)=x3+8x-4=0 pelo binomio 5x-10. Solução:para dividir, temos que resolver a equação 5x-10=0 e calcular sua raiz, ou seja, x=2 e fazer P(2), isto é:P(2)=23+8.2-4=8+16-4=203-Resolução de equações polinomiais.*Multiplicidade de uma raiz Uma raiz de uma equação é múltipla, se ela se repetir varias vezes.Assim , ela terá multiplicidade 2 se for repetida duas vezes, multiplicidade 3 se for três vezes, e assim sucessivamente. Ex:Na equação x3+9x2+27x+27=0, o número -3 é uma raiz tripla, pois ela é a única raiz da equação, isto é, o conjunto-solução da equação é S={-3,-3,-3}. Ex: Na equação (x-2)3.(x-5)8, qual a multiplicidade das raízes?*Raízes complexas. “Se um número complexo é raiz do polinômio, então o seu conjugado também é.”Propriedade:*Se a soma dos coeficientes é 0, então o número 1 é uma das raízes da equação.*Dispositivo de Briott-Ruffini Ajuda a resolver equações de qualquer grau. Para aplicá-lo, deveremos sempre usar o polinômio completo.Fazemos o seguinte:*Colocamos como 1º número a raiz que foi dada.*Em seguida, escreve-se os coeficientes do polinômio completo, em ordem decresente.*Na parte de baixo, conserva-se o 1º valor do coeficiente do polinômio, sendo que este será o quociente da divisão e é também um polinômio de grau igual a uma unidade a menos.Veja o esquema:Se o valor a for uma raiz da equação f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a0, devemos fazer:

a an an-1 an-2 ............... a0

an a1 a2 ………… 0 Note que:*O polinomio abaixo da linha(anxn-1+a1xn-2+a2xn-3+...) tem um grau a menos que o polinOmio original, e o seu 1º termo é igual ao 1º termo do polinômio original.*O último número a partir do polinômio de baixo deve ser sempre igual a zero.*Todos os termos, a partir de a1, a2 etc deve ser encontrada multplicando-se o coeficiente anterior pela raíz e em seguida deve ser somado ao valor imediatamente aimca, no polinômio superior, isto é: a1=an.a+an-1

a2=a1.a+an-2

Ex:1-Resolva a equação 6x3+7x2-14x-15=0, sabendo-se que -1 é uma das raízes. Solução:Foi dada uma raíz.Logo, vamos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini. -1 6 7 -14 -15

6 1 -15 0 O polinômio resultante fica com um grau a menos, isto é, ele passa a ser do 2º grau e pode ser escrito como:6x2+x-15=0 Agora basta resolver essa equação do 2º grau e achar as soluções da equação do 3º grau que foi dada.Assim, temos: S={-1; -5/3; 3/2}

2-Qual a solução da equação x4+2x3-3x2-7x+6=0? Solução:notemos que a soma dos coeficientes é igual a 0.Assim, temos que pela propriedade que 1 é raiz da equação.Então basta usar o dispositivo de Briot-Ruffini, sendo que 1 é uma das raízes.

3-Qual a solução da equação x4+x3+5x2+4x+4=0, se i é raiz da equação?Solução:Se o número comnplexo i é raiz, então seu conjugado( -i) também é raiz.Basta usar o dispositivo de Briot-Ruffini duas vezes, uma vez para i e outra vez para –i.Relações de Girard.Equação do 3º Grau. Sendo a equação do 3º grau igual a ax3+bx2+cx+d=0 e r1, r2 e r3 as suas raízes, temos as seguintes relações:r1+r2+r3= -b ar1.r2+r1.r3+r2.r3= c ar1.r2.r3= -d aEx:Sendo m, n e k as raízes da equação x3-27x2+8x-14=0, calcule as relações de Girard.

Exercícios:1ª)Resolva as equações:a)x2+9=0b)x2+4=0c)x2+4x+5=0d)x2+6x+13=02ª)Monte a equação cujas raízes são 2, -1 e 3.3ª)Qual a equação de menor grau que apresenta como raízes os números complexos i e 2i?4ª)Determine a multiplicidade das raízes de cada equação e determine o grau da equação.a)(x-2)3.(x+4)5

b)(x+1)7.(x-3)4.x5ª)(UFRS)Se os números -3, a e b são as raízes da equação x3+5x2-2x-24=0, então o valor a+b é:

a)-6 b)-2 c)-1 d)2 e)66ª)(PUC-RJ)Sobre as raízes da equação x3-x2+3x-3=0, podemos afirmar:a)Nenhuma é realb)Há uma raiz real e duas imaginárias.c)Há 3 raízes reais cuja soma é 3d)Há 3 raízes reais cuja soma é 1.e)Há 3 raízes reais cuja soma é -3.7ª)A partir da equação x3+4x2-8x+16=0, calcule o valor das seguintes expressões, sendo m, n e k suas raízes.a) 1 + 1 + 1 m n kb)(m+n+k)2-2.(mn+kn+km)

8ª)As raízes da equação x3-10x2+31x-31=0 são dadas por m, n e k.Se elas representam a altura, largura e o comprimento de um paralelepípedo, então, o volume e a área total do sólido é:a)62 e 62 b)31 e 31c)31 e 62d)10 e 31e)10 e 629ª)Resolva as equações abaixo.a)4x3-20x2+33x-18=0, sendo que uma das raízes é 2.b)x3-9x2+23x-15=0, sendo uma das raízes é 3.c)x3-10x2+31x-30=0, sendo que uma raiz é a soma das outras duas.d)x3-x2-18x+12=0, sendo que uma das raízes é -3e)x3-5x2+2x+2=0.f)x3+5x2-6=010ª)(UFPA-2006-Adaptada) O polinômio P(x) de menor grau, de coeficientes reais, que tem 3 e (2 – i) como raízes, sendo i a unidade imaginária, terá o resto de sua divisão por (x – 1) igual a:

a)-4 b)-2 c)-1 d)2 e)411ª)Divida o polinômio P(x)=x4+2x3-8x+14=0 pelo binômio 2x+8

Anexo

VITAMINA FONTES PRINCIPAIS FUNÇÕES DEFICIÊNCIAA (RETINOL) LATICÍNIOS,GEMA DE OVO,

FÍGADO, HORTALIÇAS VERDES, TOMATE, CENOURA,ETC.

PROTEGE OS TECIDOS EPITELIAIS E ATUA NA VISÃO

PELE ÁSPERA E SECA,CEGUEIRA NOTURNA,XEROFTALMIA,ETC.

D (ERGOCALCIFEROL) FÍGADO, ÓLEO DE PEIXE,LATICÍNIOS.É FABRICADA NA PELE PELOS RAIOS SOLARES.

FACILITA A ABSORÇÃO DE CÁLCIO E DE FÓSFORO PARA A FORMAÇÃO DOS OSSOS.

OSSOS FRACOS E DEFORMADO (RAQUITISMO).

E (TOCOFEROL) CEREIAS, HORTALIÇAS VERDES, ÓLEOS VEGETAIS, GEMA DO OVO.

PROTEGE AS PARTES DAS CÉLULAS CONTRA RADICAIS LIVRES.

EM ANIMAIS, ESTERI-LIDADE,ANEMIA,LESÕES MUSCULARES E NERVOSAS.

K (QUINONA) LATICÍNIOS,FÍGADO,CARNES, FRUTAS, HORTALIÇAS.

AUXILIA NA COAGULAÇÃO DO SANGUE.

HEMORRAGIAS E DIFICULDADE DE COAGULAÇÃO.

B1(TIAMINA) FEIJÃO, FRUTAS, FIGADO, CARNES, LEGUMES.

COENZIMA NA PRODUÇÃO DE ENERGIA PELA RESPI-RAÇÃO CELULAR.

INFLAMAÇÃO DOS NERVOS,PARALISIA,BERIBÉRI(ATROFIA MUSCULAR)

B2 (RIBOFLAVINA) OVOS, LATICÍNIOS, FÍGADO, HORTALIÇAS.

COENZIMA NA RESPIRAÇÃO CELULAR.

RACHADURA NOS CANTOS DA BOCA, LESÕES NA PELE E SISTEMA NERVOSO.

B6 (PIRIDOXINA) BANANA, VERDURAS, CARNES, FÍGADO,OVOS.

COENZIMA NO METABOLISMO DOS AMINOÁCIDOS.

LESÕES NA PELE, NERVOS E MÚSCULOS.

B12 (COBALAMINA) CARNE,FIGADO, OVO, LATICINIOS

FORMAÇÃO DAS HEMACIAS E METABOLISMO DOS ÁCIDOS NUCLÉICOS

ANEMIA E LESÕES NOS NERVOS

C (ÁCIDO ASCÓRBICO) GOIABA, CAJU, HORTALIÇAS E FRUTAS EM GERAL

SÍNTESE DE COLÁGENO, PROTEGE A CÉLULA CONTRA RADICAIS LIVRES.

TECIDOS CONJUNTIVOS E CAPILARES FRACOS,ESCORBUTO(INCHAÇOS NAS GENGIVAS)