2 - Probabilidade

Nós estamos prontos para iniciar nosso estudo sobre a teoria da probabilidade. Algumas das

primeiras aplicações da teoria da probabilidade ocorreram no século XVII. Um nobre francês que

naquela época estava interessado em vários tipos de jogos existentes nos cassinos de Monte Carlo: ele

tentou sem sucesso descrever matematicamente a proporção relativa de que certas apostas poderiam

ser ganhadoras. Ele conhecia dois dos melhores matemáticos de seu tempo, Pascal e Fermat e

mencionou suas dificuldades a eles. Esse fato iniciou uma troca de cartas entre esses dois matemáticos

resultando na correta aplicação da matemática para medir a freqüência relativa de ocorrências em

simples jogos de azar. Historiadores geralmente atribuem a essa troca de cartas o início da teoria da

probabilidade como nós a conhecemos.

Por muitos anos a freqüência relativa foi a definição de probabilidade, era tudo que ambos

conheciam e em um certo sentido era tudo que era necessário. Essa definição continuou

aproximadamente como será descrito. Suponha que um experimento esta para ser realizado (alguma

operação na qual o resultado não pode ser previsto antecipadamente); então existem vários resultados

possíveis que podem ocorrer quando o experimento for realizado. Se um evento A ocorre com m

desses resultados, então a probabilidade de A ocorrer é a razão de m/n, onde n é o total de números de

possíveis resultados. Então se um experimento consiste em lançar um dado honesto e A é a ocorrência

de um número par, m = 3, n = 6 e a probabilidade de A é 3/6.

Existem muitos problemas para os quais essa definição é apropriada, mas uma aproximação

heurística não é conducente para um tratamento matemático da teoria da probabilidade. Os avanços

matemáticos em teoria da probabilidade ficaram relativamente limitados e existia uma dificuldade de

estabelecer uma base firme, até que o matemático russo A. N. Kolmogorov deu um simples conjunto

de três axiomas ou regras que a probabilidade teria de obedecer. Desde o estabelecimento dessa base

axiomática, grandes passos foram dados na teoria da probabilidade e no número de problemas práticos

na qual ela se aplica.

Nesse capitulo nós iremos ver quais são esses três axiomas e porque nós podemos

razoavelmente adotar e seguir essas regras da probabilidade. Os axiomas não dão nenhum valor único

que a probabilidade de um evento deva ter; antes elas expressam regras que fornecem consistência em

nossa arbitraria designação de probabilidade. A definição de probabilidade como uma freqüência

relativa já mencionada anteriormente, é apenas um caminho para o cálculo de probabilidade; ela será

discutida mais amplamente na Sessão 2.3 e como mostrado não satisfaz os axiomas. A definição de

freqüência relativa tem construído dentro dela certos pressupostos sobre resultados de um

experimento que não são sempre apropriados. Então esse arbitrário caminho de encontrar uma

probabilidade não é sempre aplicável.

Será útil discutir brevemente a noção de modelo de probabilidade. Um experimento é uma

operação física que, que pode gerar um ou mais possíveis resultados. Por exemplo, se nós jogamos um

par de dados uma vez, os dois números que nós podemos observar podem ir de um par de uns até um

par de seis. Ou se uma particular pessoa vai correr 100 metros o mais rápido que ela puder, o tempo de

quando ela iniciou a corrida até que ela finalize a corrida pode ser algo entre de 9 e 30 segundos. Ou se

uma pessoa vive de maneira sedentária e adotando alguns vícios, o seu tempo de vida depois que

completa 20 anos pode ir de algo entre 0 (zero) anos até 100 anos. Em cada um desses casos, o

resultado particular que nós podemos observar não pode ser previsto antecipadamente, mas a coleção

total de resultados possíveis nós conhecemos (um desses resultados ocorrerá quando o experimento for

realizado). Quando construímos um modelo de probabilidade para um experimento, nós estaremos

preocupados em especificar: (1) qual a coleção de possíveis resultados e (2) a freqüência relativa da

ocorrência desses resultados, baseado na analise do experimento. Nós estamos de alguma forma

idealizando uma situação física, já que estamos restringindo o conjunto dos possíveis resultados;

porém o tamanho dessa idealização não afeta a freqüência relativa dos eventos de interesse, nós

podemos com proveito usar os resultados de nossos cálculos para descrições do experimento físico. O

modelo de probabilidade então consiste em assumir uma coleção de possíveis resultados e atribuir

freqüências relativas ou probabilidades a esses resultados. Os axiomas são utilizados para assegurar

consistência a essas atribuições de probabilidades.

Na segunda metade desse livro, nós iremos estudar problemas e métodos de inferência

estatística. A teoria da probabilidade é essencialmente de natureza dedutiva; dos fatos conhecidos

sobre um experimento alguém quer deduzir a probabilidade de ocorrência de um evento de interesse.

Como veremos, estatística é mais naturalmente indutiva. Observando o que é verdade em uns poucos

casos, o estatístico está interessado em realizar generalizações ou inferência sobre o que pode também

ser verdade em casos não observados. Estatísticos podem por exemplo, observar os resultados de um

experimento uma ou mais vezes e então perguntar se essas observações são consistentes com uma ou

outro tipo de distribuição de probabilidade. Ou ele pode observar algo que já aconteceu, uma

quantidade, como o preço de um estoque, ou a produção de árvores frutíferas em anos anteriores e

então perguntar qual será a quantidade esperada no futuro. Ou nas ciências como genética ou física,

uma lei cientifica pode prever o que será observado quando certo experimento for realizado;

observando esse experimento o estatístico está interessado em decidir se essa “lei” é correta. Em cada

caso uma inferência esta para ser realizada, a teoria da probabilidade mostra-se muito útil para que os

estatísticos coparem diferentes caminhos ou métodos para realizar essa inferência.

2.1 – Espaço Amostral; Eventos

Como já foi mencionado a moderna teoria da probabilidade teve origem no estudo de jogos de

azar. Nós também utilizaremos esse tipo de mecanismo em algumas ilustrações, porque exemplos com

jogos simples são fáceis de entender e de analisar. Nós iremos contudo, tentar mostrar exemplos de

aplicações que serão de ordem pratica.

Nós iremos utilizar a palavra experimento para representar genericamente algum tipo de

operação na qual o resultado não pode ser previsto antecipadamente com certeza. Então lançando uma

moeda e observando qual das faces ficará para cima, plantando um certo hibrido de feijão em uma

determinada parcela do terreno e observando o seu rendimento, escolhendo um local em Saturno para

observar seus anéis, todos esses caem dentro de nossa definição de experimento. A teoria dos

conjuntos é útil para definir espaço amostral de um experimento, a qual nós vamos definir agora.

Definição 2.1.1. O espaço amostral para um experimento é o conjunto de todos os possíveis

resultados que podem ser observados. ∎

Espaços amostrais não são únicos para um experimento e podem ou não ser simples de

descrever. Nós vamos examinar alguns exemplos.

Exemplo 2.1.1 Nós rolamos um dado uma vez. Então o experimento é o lançamento do dado.

Um espaço amostral para esse experimento poderá ser

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

onde cada um dos inteiros de 1 a 6 é usado para representar a face que possui manchas

voltadas para cima, quando o dado para de rolar. ∎

Exemplo 2.1.2. Suponha que uma cidade possui 500 eleitores cadastrados. Nós

selecionamos um desses eleitores aleatoriamente (o experimento); por ser “aleatória” a escolha, cada

um dos 500 eleitores tem a mesma chance de ser selecionado. Se a lista de nomes e endereços dos

eleitores registrados é avaliada, essa poderá claramente ser utilizada como o nosso espaço amostral.

Ou se essas pessoas tiverem sido numeradas de 1 a 500, nós poderemos equivalentemente usar

S = {1, 2, 3, . . ., 500} ∎

Exemplo 2.1.3. Raquel compra um relógio digital que tem um contador de segundos.

Ela sincroniza ao meio dia o seu relógio com a estação de rádio local, exatamente uma semana depois

e ao meio dia, ela escuta o rádio na mesma estação e observa os dígitos fornecidos pelo contador dos

segundos. Um espaço amostral para esse experimento é simplesmente a lista dos valores dos segundos

que podem estar mostrados no display do relógio quando a estação de rádio fornecer as horas.

S = {00, 01, 02, . . ., 59} ∎

Freqüentemente a realização de um experimento, naturalmente fornece mais que uma

parte de informação que nós queremos observar. Se observarmos duas partes de informação quando o

experimento é realizado, nós podemos razoavelmente querer um espaço amostral que é uma coleção

de 2-uplas, as duas posições correspondentes para as duas partes de informações. Ou se nós

observarmos três partes de informações, nós poderemos querer um espaço amostral de 3-uplas. Ou

mais genericamente, se nós observarmos r partes de informações, nós poderemos querer um espaço

amostral com r-uplas. Em cada um dos três exemplos dados, uma simples parte de informação foi

gerada quando realizamos o experimento; então cada um desses espaços amostrais tem um 1-upla (ou

escalar) como elemento. Os próximos três exemplos discutem experimentos nos quais mais que uma

parte de informação é observada.

Exemplo 2.1.4. Suponha que nosso experimento consiste em rolar dois dados, um

vermelho e outro verde. Um razoável espaço amostral para esse experimento poderá ser a coleção de

todas as possíveis 2-uplas (x1, x2) que poderá ocorrer onde o número da primeira posição de uma das

2-uplas, corresponde ao número no dado vermelho e o número na segunda posição, corresponde ao

número fornecido pelo dado verde. Então nós poderemos usar como nosso espaço amostral

S = D X D

Em que D = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

∎

Exemplo 2.1.5. Daniel, João e Hugo possuem cada um uma moeda. O experimento

consiste em eles lançarem cada um uma moeda totalizando três moedas lançadas. Um razoável espaço

amostral para esse experimento é o conjunto de 3-uplas, cada um dos quais tem C (cara) ou K (coroa)

em todas as posições. A primeira posição na 3-upla corresponde a face voltada para cima da moeda de

Daniel, a segunda posição a face da moeda de João e a terceira posição a face da moeda de Hugo. Esse

espaço amostral S pode ser escrito como

S = C X C X C

Onde C = {C, K}:

∎

Exemplo 2.1.6. Se 10 eleitores são selecionados dos 500 registrados na pequena

cidade mencionada no exemplo 2.1.2, nós poderemos usar o espaço amostral S cujos os elementos são

10-uplas, o primeiro componente de cada uma das 10-uplas representa a primeira pessoa selecionada,

o segundo componente a segunda pessoa selecionada e assim por diante. Utilizando a numeração

fornecida a cada eleitor anteriormente, então,

.

Esse conjunto é o produto cartesiano do conjunto de 1 a 500 com ele próprio, 10

vezes, porque nós não selecionamos o mesmo eleitor mais que uma vez. ∎

O espaço amostral é assumido para ser a lista de todos os possíveis resultados que

podem ser observados quando o experimento é realizado. Depois que o experimento é realizado, nós

iremos observar a ocorrência de um dos resultados (elemento de S ). Como nós sabemos, existem

muitos subconjuntos de S, cada um dos quais contém algum particular elemento de S. Na linguagem

da teoria da probabilidade, esses subconjuntos de S são chamados eventos. Garantindo que um

particular elemento de S, chamaremos ele de a, ocorreu, nós diremos que um evento (subconjunto) que

tem a como elemento ocorreu. Sendo esse conceito completamente básico para a seqüencia dos

estudos, nós iremos resumir essa discussão com a definição

Definição 2.1.2. Um evento A é um subconjunto de um espaço amostral S, A ⊂ S. Um evento

é dito que ocorreu se um de seus elementos é o resultado observado. ∎

O espaço amostral usado para o exemplo 2.1.1 era

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Então cada um dos conjuntos

A = {1}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6}, D = {4, 5, 6}, E = {1, 3, 4, 6} são eventos (esses

não são os únicos eventos, desde que eles não são os únicos subconjuntos de S). Esses são todos

distintos (diferentes) eventos, porque nenhum deles é igual. Se nós estivermos realizando um

experimento (rolando um dado) e o resultado for um (1), Então os eventos A, B e C são ditos que

ocorreram desde que cada um deles tem como elemento o número 1. Os eventos C e D não ocorreram,

desde que 1 ∉ C e 1 ∉ D. Se o dado tivesse dado o resultado 4 quando nós rolamos ele, nós podemos

afirmar que os eventos C, D e E ocorreram já que 4 é um elemento de cada um deles. Note que não

importa qual resultado nós observamos quando o experimento foi realizado, muitos diferentes eventos

ocorreram (como nós veremos, exatamente metade dos possíveis eventos ocorrem para algum

particular resultado).

Resolvendo problemas de probabilidade, nós necessitamos geralmente pegar palavras

descrevendo um evento e colocar isso dentro de um subconjunto do espaço amostral. Com

experiência, esse passo não é particularmente difícil, mas freqüentemente isso é enfadonho quando

iniciamos o estudo de probabilidade. Por exemplo, no exemplo 2.1.4 um par de dados é lançado uma

vez. O espaço amostral S é o conjunto de 2-uplas

.

Os eventos:

A: A soma dos dois dados é 3

B: A soma dos dados é 7

C: Os dois dados mostram o mesmo número.

São os subconjuntos,

.

Suponha que no exemplo 2.1.5 Daniel, João e Hugo estão jogando um jogo chamado

de “perde o diferente” que consiste em, se apenas duas das moedas lançadas tiverem as faces iguais,

aquele que lançou a face que ficar diferente perde o jogo. O espaço amostral é

,

onde a primeira posição corresponde a moeda de Daniel; a segunda posição a moeda de João e

a terceira a moeda de Hugo. Defina os eventos:

A : Daniel perde.

B: Daniel não perde.

C: João perde.

D: Não existe perdedor.

Então escrevendo como subconjuntos, teremos

A = {(C,K,K), (K,C,C)}

B = {(C,C,K), (C,K,C), (C,C,C), ((K,K,C), (K,C,K), (K,K,K)}

C = {(K,C,K), (C,K,C)}

D = (C,C,C), (K,K,K)}.

Exemplo 2.1.7. Suponha que nosso experimento consiste em uma corrida de 100

metros entre quatro colegios. Esta claro que existem muitas facetas no experimento nas quais

poderíamos estar interessados, o nome do vencedor, o colégio campeão, a ordem em que os quatros

colégios cruzaram a linha de chegada, o colégio do segundo colocado, ou o tempo gasto na corrida

pelo terceiro colocado. A faceta de interesse é que indicará qual será o espaço amostral que iremos

utilizar. Por exemplo, se nós estivermos interessados apenas no tempo do primeiro colocado em

segundos, nós poderemos usar

Ou se nós estivermos interessados nos tempos do primeiro e do segundo colocados,

nós poderemos usar

.

Nesse ultimo caso t1 é o tempo do vencedor e t2 é o tempo do segundo colocado: então

temos o requerimento t2 > t1. Para esses espaços amostrais poderemos definir o evento A: o tempo do

vencedor está entre 9,45 e 9,65 segundos; usando o S1 nós teríamos

.

E usando S2, nós teríamos

.

Novamente, então, o espaço amostral não é único. Se A é o único evento de interesse, nós

poderemos incontestavelmente decidir usar o S1 no lugar do S2 desde que aquele requer apenas a

anotação de um único tempo que é o tempo do vencedor (um trabalho a menos). ∎

EXERCÍCIOS 2.1

1. Especifique um espaço amostral para o experimento que consiste em retirar uma bola

de uma urna que contém 10 bolas das quais 4 são brancas e 6 são vermelhas. (assuma que as bolas são

numeradas de 1 a 10).

2. Especifique um espaço amostral para o experimento que consiste em retirar 2 bolas

com reposição da urna contendo 10 bolas (A primeira bola retirada é devolvida a urna e depois a

segunda bola é retirada).

3. Especifique um espaço amostral para o experimento que consiste em retirar 2 bolas

sem reposição da urna contendo 10 bolas (A primeira bola retirada não é recolocada mais na urna, e

então uma segunda bola é retirada). Assuma que elas são numeradas.

4. Para o espaço amostral dado no exercício 2.1.1, defina os eventos (como

subconjuntos)

A: Uma bola branca é retirada

B: Uma bola vermelha é retirada.

5. Para o espaço amostral dado no exercício 2.1.2, defina os eventos (como

subconjuntos):

C: A primeira bola é branca

D: A segunda bola é branca

E: As duas bolas são brancas.

Verifique se ?

6. Uma companhia de fabrica de cigarros tem cinco tipos diferentes de marca, a, b, c, d e

e. Suponha que você compre duas caixas de cigarros de uma dessas marcas. Qual é um bom espaço

amostral para esse experimento que resultará em uma dupla idiotice cometida pelo uso das duas

caixas.

7. Suponha que todos os residentes de uma certa pequena cidade são carecas ou tem

cabelos castanhos ou tem cabelos negros. Além disso, cada um dos residentes tem olhos azuis ou

castanhos. Nós selecionamos um residente aleatoriamente. Dê um espaço amostral S para esse

experimento e defina, como subconjuntos os seguintes eventos:

A: O residente selecionado é careca

B: O residente selecionado tem olhos azuis

C: O residente selecionado tem cabelos castanhos e olhos castanhos.

8. Três garotas, Maria, Sandy e Tina, entram em um concurso de beleza entre elas.

Prêmios serão oferecidos para a primeira e segunda colocada. Especifique um espaço amostral para o

experimento que consiste em escolher as duas vencedoras. Defina em forma de subconjuntos os

eventos:

A: Maria vence

B: Maria ganha o segundo prêmio

C: Tina e Sandy ganham os prêmios.

9. Três cartas são retiradas aleatoriamente e sem reposição de um baralho que contém 3

cartas vermelhas, 3 azuis, 3 verdes e 3 pretas. Crie um espaço amostral para esse experimento e defina

os seguintes eventos:

A: Todas as cartas são vermelhas

B: Uma carta é vermelha, uma é verde e a outra é azul

C: Ocorrem três diferentes cores

D: Todas as quatro cores ocorrem.

10. Uma pequena cidade possui três supermercados (chamaremos eles de 1, 2 e 3). Quatro

senhoras residentes nessa cidade escolhem aleatoriamente e independentemente um desses

supermercados para efetuar suas compras semanais. Crie um espaço amostral para o experimento que

consiste em selecionar os supermercados nos quais as senhoras efetuaram suas compras e defina os

eventos:

A: Todas as senhoras escolheram o supermercado 1

B: Metade das senhoras escolheram o supermercado 1 e a outra metade escolheram o

supermercado 2

C: Todos os supermercados foram escolhidos (por pelo menos uma das senhoras).

11. Nove cavalos entraram em uma corrida (numerados de 1 a 9). Prêmio em dinheiro será

dado ao vencedor, e apresentação em uma exposição de animais para (O primeiro, segundo e terceiro

colocados respectivamente). Crie um razoável espaço amostral para esse experimento e em forma de

subconjuntos defina os eventos:

A: O cavalo número 5 ganha a corrida

B: O cavalo número 5 é apresentado na exposição

C: O cavalo número 5 não recebe nenhum dinheiro.

12. Duas lâmpadas são colocadas em um teste, até que ambas falhem. Assuma que cada

lâmpada ficará acessa no máximo por 1600 horas. Defina um razoável espaço amostral para esse

experimento e descreva como subconjuntos os seguintes eventos:

A: As duas lâmpadas falham em menos de 1000 horas

B: Nenhuma das duas lâmpadas falham em menos de 1000 horas

C: O menor tempo de falha entre as duas lâmpadas é 1000 horas

D: O maior tempo de falha entre as duas lâmpadas é 1000 horas.

13. Um vendedor de jornais todo dia vende-os na mesma esquina; ele todo dia leva apenas

30 jornais para vender. Em um determinado dia o número de jornais que ele consegue vender é

desconhecido. Defina um razoável espaço amostral para o experimento que consiste no número de

vendas naquele dia determinado. Defina os eventos:

A: Ele vende menos que cinco jornais

B: Ele vende mais que cinco jornais

C: Ele vende exatamente cinco jornais

14. Considere o experimento que consiste no número de vendas que o jornaleiro irá

realizar em dois dias consecutivos (Referindo-se ao exercício 2.1.13). Crie um razoável espaço

amostral para o experimento e defina os eventos:

A: Ele vende menos que cinco jornais no primeiro dia

B: Ele vende menos que cinco jornais no segundo dia

C: Ele vende menos de cinco jornais nos dois dias.

15. Uma grande loja varejista de rádios e televisões recebe um carregamento de 50 rádios,

todos da mesma marca e modelo. Cada um dos rádios pode funcionar bem ou não. Um funcionário

verifica as condições de cada um dos rádios, aceitando-o se estiver bom ou devolvendo-o se estiver

com defeito. Qual seria um razoável espaço amostral para esse experimento? Defina os eventos:

A: Todos os rádios trabalham corretamente

B: Nenhum dos rádios trabalha corretamente

C: Os dois primeiros rádios testados não trabalham corretamente, porém o resto sim.

2.2 Axiomas da Probabilidade

Se um meteorologista em sua cidade, diz que a probabilidade de chover nessa cidade amanhã é

de 0,4, sua pretensão é a seguinte: se você souber que em um grande número de dias do passado que

tinham condições iguais ao dia de hoje, e sabendo que em 40% desses dias, nos dias seguintes a esses,

ocorreram chuvas, obviamente em 60% dos dias seguintes não ocorreram chuvas. Sendo assim a

probabilidade de que chova amanhã é mensurada para ser 40% ou 0,4.

Dado um experimento que poderá resultar em muitos resultados diferentes, a probabilidade é

usada para medir a chance de ocorrência desses diferentes resultados ou, mais geralmente, ela é usada

para medir a probabilidade de ocorrência de diferentes possíveis eventos (subconjuntos do espaço

amostral). Probabilidades são (concebidos) números reais que são associados com eventos. Então a

função probabilidade (regras atribuídas a probabilidade) é um exemplo de uma função de valor real,

como foi mencionado no capitulo 1. Nessa sessão nós iremos estudar os axiomas de Kolmogorov para

a função probabilidade, são regras que a probabilidade deve seguir para assegurar consistência em

suas atribuições.

Vamos primeiro discutir as razões por trás dos axiomas antes de os listarmos. Eles surgiram

seguindo as propriedades da freqüência relativa. Primeiro, a freqüência relativa de um evento que

certamente ocorrerá é igual a um (1), porque ele deverá ocorrer em 100% das vezes: a probabilidade é

chamada de uma medida limitada por causa dessa requisição, como nós veremos mais adiante.

Segundo, a freqüência relativa da ocorrência de um evento não pode nunca ser negativa: assim nós

iremos insistir que a probabilidade nunca deve ser negativa. A única propriedade que ficou faltando é

a da aditividade. Essa diz que se dois eventos não poderem ocorrer simultaneamente (porque eles são

subconjuntos disjuntos), a probabilidade do evento definido pela união dos dois é igual a soma da

probabilidade de cada um dos eventos individualmente. Na linguagem da probabilidade, dois eventos

que não podem ocorrer simultaneamente são chamados de mutuamente exclusivos (o subconjunto são

chamados disjuntos, os eventos são chamados mutuamente exclusivos).

Formalmente, a função probabilidade é uma função conjunto de valor real definida na classe

de todos os subconjuntos do espaço amostral S; o valor que é associado com um subconjunto A é

denotado por P(A). A atribuição da probabilidade deve satisfazer as seguintes regras (lembrando que a

função conjunto pode ser chamada de função probabilidade):

1. P(S) = 1

2. P(A) 0 para todo

3. .

Esses são os três requerimentos a pouco discutidos. Se S realmente é a lista de todos os

possíveis resultados para um experimento, algum desses elementos certamente irá ocorrer. A

probabilidade deve ser não negativa e a probabilidade da união de dois eventos mutuamente

exclusivos´é a soma de suas probabilidades. O espaço amostral S faz o papel do conjunto universo;

alguns dos complementos tomados são em respeito a S. Em trabalhos com probabilidades, lembre, eles

são números reais, então devem seguir as regras para números reais.

Muitas conseqüências ou teoremas podem ser derivados da função probabilidade. Vamos dar

uma olhada em alguns deles agora. Recorde que . Então nossa medida de probabilidade fornecer

algum número para esse evento. O número que deve sempre ser usado para o conjunto vazio Ø é zero,

como está provado no teorema 2.2.1.

Teorema 2.2.1. P(Ø) = 0 para qualquer S.

Prova: e então pelo axioma 1. Mas assim

pelo axioma 3. Então 1 + P(Ø) = 1; o que dá P(Ø) = 0. ∎ Uma segunda conseqüência dos axiomas assumidos é pelo teorema 2.2.2. existem muitas

instancias nas quais ele livra de um grande trabalho em cálculos de probabilidades. Teorema 2.2.2. , onde é o complemento de A com relação a S. Prova: assim , pelo axioma 1. Mas e então

pelo axioma 3. Então nós estabelecemos que , do qual resulta imediatamente o teorema 2. ∎

O axioma 3 nos diz que, se dois eventos A e B não possuem elementos em comum, então

a probabilidade da união dos dois é igual a soma de suas probabilidades individuais. O teorema

2.2.3 fornece um resultado preliminar que é usado para estabelecer o teorema 2.2.4, em relação a quando A e B possuem elementos em comum.

Teorema 2.2.3. . Prova: Referindo-se a figura 2.2.1 nós podemos ver que

.

Então . Em relação a, ; então

, e nós estabelecemos que

do qual o resultado desejado segue imediatamente. ∎ Teorema 2.2.4. . Prova: referindo-se a figura 2.2.1, nós podemos ver também que

, e então Em relação a assim temos que

Figura 2. 2.1

Pelo teorema 2.2.3. então

. ∎ O Axioma 3 pode ser extendido para a união de algum número de eventos mutuamente

excludentes. Suponha que nós temos um experimento com um espaço amostral simples e os eventos A1, A2, . . ., Ak são mutuamente excludentes (então ). Então,

claramente, e Ak são mutuamente excludentes, sendo assim

pelo axioma 3. Repetindo esse raciocínio com k – 2 e assim por diante, estabeleceremos o seguinte teorema.

Teorema 2.2.5. Se A1, A2, . . ., Ak são eventos mutuamente excludentes então

,

para qualquer k = 2, 3, 4, . . .

É importante perceber que os axiomas não dão apenas uma única contribuição para a

probabilidade de eventos: preferencialmente os axiomas simplesmente clareiam o relacionamento entre as probabilidades que nós nomeamos de forma que ela estará consistente com a nossa noção intuitiva de probabilidade. Por exemplo, se um foguete é escolhido para levar um homem a lua, então o experimento consiste em acionar o foguete e levar o homem a lua pode ser considerado como tendo dois possíveis resultados: sucesso e insucesso. Sucesso será a chegada do homem a lua, e insucesso qualquer outro resultado diferente desse. Então os axiomas não indicam que a probabilidade do evento {sucesso} deve ser ½ ou ¾ ou 0,99 ou algum outro particular valor. Se nós denotamos essa probabilidade por p, isso indica que a

e que a probabilidade do evento {insucesso} deve ser 1 – p . Além disso, p não esta especificado.

As atuais especificações do valor de p devem vir de considerações analíticas da realização do experimento e do mecanismo que o envolve. Para o exemplo do foguete anteriormente mencionado, isso consistirá de detalhado exame do desenho do foguete e das condições nas quais ele será lançado, somado a testes de lançamentos anteriormente realizados, além da avaliação dos dados envolvidos nesse experimento. Geralmente, considerações de dados a priori e suas implicações em relação ao valor de p caem dentro do campo da estatística, e é o tópico na última metade desse volume.

EXERCÍCIOS 2.2 1. Dados S = {1, 2, 3}, A = {1}, B = {3}, C = {2}, P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, determine

a) P(C) b) P(C) c) d) e) f)

2. Sejam S, A, B e C definidos no exercício 2.2.1, porém agora seja P(A) = ½, P(B) = 1/5, calcule as probabilidades perguntadas nas letras do primeiro exercício. 3. Sejam S, A, B e C definidos no exercício 2.2.1 e sejam P(A) = 1, calcule as probabilidades perguntadas nas letras do primeiro exercício. 4. Defina S = {a, b}, B = {b}. Atribua três diferentes probabilidades para os suconjuntos de S. 5. Prove usando os axiomas, que as probabilidades são monótonas: . 6. Prove, usando os axiomas, que para todo A. 7. Dado um experimento em que P(A) = ½, P(B) = ½ e , calcule

a) b) c) d) e) f) g) h)

8. Dado um experimento com P(A) = ½, P(B) = 1/3, , calcule.

a) b) c) d) e) f)

9. É possível se atribuir as probabilidades P(A) = ½, , P(B) = ¼, para subconjuntos associados ao mesmo espaço amostral ?

10. Se nós sabemos que e , é possível determinar

P(A) e P(B)? 11. O espaço amostral S para um experimento é S = {a, b, c}. é possível que as

probabilidades assumam os seguintes valores

P({a, b}) = 2/3 P({a, c}) = 1/3 P({b, c}) = 1/3?

Porque sim ou porque não?

12. Um memorando (endereçado a duas pessoas) é enviado pelo chefe. Assuma que ele será eventualmente recebido por 0, 1 ou 2 (duas) das pessoas a quem foi enviado, e que a probabilidade de que seja recebido pelo menos por um dos endereçados é 0,9; enquanto que a probabilidade de que seja recebido por mais de uma pessoa é 0,8. Quais são as probabilidades de que sejam recebidos por exatamente a) 0 b) 1 c) 2? 13. Com o fim de um ano fiscal, o livro caixa de uma corporação pode ter um valor menor do que no ano anterior (chamaremos a isso de -1), ele pode ser igual ao ano anterior (chamaremos de 0) ou ele pode ser maior que o ano anterior (chamaremos de 1). Podemos então olhar para a folha de balanço dessa corporação no último ano como sendo um experimento com

S = {-1, 0, 1}.

É possível que as medidas de probabilidade nesse espaço amostral sejam

P({-1, 1}) = 0,6 P({0, 1}) = 0,9 P({-1, 0}) = 0,5?

Porque sim ou porque não? 14. Dado um experimento em que ; )=0,4;

; calcule a) P(A) b) P(B) c) d) 15. Uma família dirige um trailer atravessando o Brasil. Suponha que o número de vezes que o pneu fura é 0, 1 ou duas vezes. Também assuma que a probabilidade de que mais que um pneu fure é 0,9; e que a probabilidade de pelo menos um fure é 0,2. Calcule a probabilidade de que o número de pneus furados tenha sido a) 0 b) 1 c) 2. 2.3 – Espaços Amostrais Finitos

Em muitos casos o espaço amostral será usado em um experimento que terá um

número finito de elementos. Por número finito queremos dizer que irá existir um número inteiro que é tão grande quanto o número de elementos de S por outro lado, S é finito se ele é significativo quando podemos usar o método da listagem para especificar os elementos que pertencem a S. A lista de possíveis resultados tem um fim, porém ela pode consumir muito tempo para ser construída.

Exemplo 2.3.1. Suponha como no exemplo 2.1.3, que Raquel comprou um relógio digital que tem um contador de segundos, e como antes, ela ajusta ele com a estação de rádio local exatamente ao meio dia e volta a verificar o contador dos segundos sete (7) dias depois. O valor que ela observará deve ser um dos seguintes elementos de

S = {00, 01, 02, . . ., 59),

o qual é um espaço amostral com 60 distintos elementos e portanto é finito. ∎ Exemplo 2.3.2. o baralho padrão tem 52 cartas com 4 naipes e 13 cartas com valores em cada uma delas. No jogo de bridge cada jogador recebe 13 dessas cartas. Suponha que você esta jogando bridge e realiza um “experimento” de observar as 13 cartas que você recebe em um mão. O espaço amostral pra esse experimento então consiste da lista da possível coleção de 13 cartas que você recebe. O número de elementos nesse espaço amostral é muito grande, de fato é 635.013.559.600 aproximadamente o debito (em dólares) do governo americano. Esse é novamente um espaço amostral finito, desde que existe um fim para a lista de seus elementos. (vefa o exemplo 2.4.5 para verificar o número de elementos nesse espaço amostral). ∎ A especificação da função probabilidade para algum espaço amostral com número finito de elementos é realizada simplesmente por definir a probabilidade de ocorrência para todos os eventos simples (subconjuntos unitários) que possuem apenas um elemento pertencente a eles. Claramente, se S tem k distintos elementos, existem exatamente k distintos (e mutuamente excludentes) eventos com um simples elemento. Algum elemento com dois ou mais elementos (subconjuntos de S) deve ser a união dos eventos com um simples elemento, e imediatamente, do teorema 2.2.5, a probabilidade para cada união é dada pela soma das probabilidades de cada um dos eventos com um simples elemento. Então a se a regra descrita dá a probabilidade de cada um dos eventos com um simples elemento, as probabilidades para todos os outros eventos são também especificadas. Obviamente, se A1, A2, . . . , Ak são distintos eventos simples unitários, onde S tem k elementos, então assim . Então é realmente apenas necessário especificar o valor par k – 1 dos eventos simples unitário; a probabilidade para do elemento que faltou deve ser calculada fazendo a soma de todos ser igual a 1. Exemplo 2.3.3. Um dado é construído de maneira que a probabilidade da face que ficar voltada para cima quando ele para de rolar é proporcional a i, i = 1, 2, 3, . . . ,6. (se você pensar sobre isso, verá que não é fácil de se construir um dado com essas características), encontre a probabilidade para cada um dos possíveis eventos simples desse experimento. O espaço amostral para esse experimento então é S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, os elementos representando o número de pontos na face que ficou para cima quando o dado parou. Existem, naturalmente, seis distintos eventos com elementos simples,

Ai = {i}, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Seja p = P(A1). Então o fato de que probabilidade de ocorrência será proporcional ao número de pontos na face voltada para cima, podemos afirmar que

P(A2) = 2p, P(A3) = 3p, . . . P(A6) = 6p. O requerimento é que a soma das probabilidades desses eventos simples deve ser igual a 1, então temos

P + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1, Resolvendo ficaremos com p = 1/21 ficando assim a função probabilidade completamente especificada. ∎ A função probabilidade para jogos de azar, são geralmente baseadas na hipótese de que todos os eventos simples tem iguais chances de ocorrer (eventos equiprováveis) isso se um correto espaço amostral for usado. Certamente, esse tipo de hipótese foi tacitamente feito nas correspondência já anteriormente citadas entre Fermat e Pascal. Se S tem k elementos e ele assume que os seus eventos simples possuem iguais probabilidades, a probabilidade comum a cada um deles deve ser 1/k . Obviamente que, se um evento qualquer resulta da união de eventos simples, então a probabilidade de algum evento

é dada pela razão entre o número de elementos de A (o número de elementos simples que formaram essa união) e o número de elementos do S. Por isso nós usamos a seguinte regra

para A ⊂ S,

onde n(A) é o número de elementos em A (veja o exemplo 1.3.2 no capitulo 1). Que é a regra que satisfaz os três axiomas dados na sessão 2.2 e que será provada no próximo teorema.

Teorema 2.3.1. Se S tem k elementos, a regra

Satisfaz os três axiomas para a função probabilidade. Prova: Se S tem k elementos, então n(S) = k.

Assim o axioma 1 é satisfeito. Se A é algum subconjunto de S, ele contém um número não negativo de elementos; que é para todo A ⊂ S. Então

para todo A ⊂ S

e o axioma 2 é satisfeito. Se , então A e B não possuem nenhum elemento em comum e . Então

que é,

. ∎

Então para alguns problemas nos quais nos justificamos e assumimos que os eventos simples são equiprováveis, nós agora temos uma regra que nos habilita a calcular a probabilidade de ocorrência de qualquer evento. Exemplo 2.3.4. Suponha que nós rolemos um dado honesto uma vez. Qual é a probabilidade de dar um número par? Qual é a probabilidade de dar um número maior que 4? Nosso espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Desde que o dado é honesto, nós assumimos que os eventos simples tem a mesma chance de ocorrer; cada um deles tem a probabilidade igual a 1/6 de ocorrência. Seja A ser o evento que tem a ocorrência de números pares e B ser o evento que nos da números maiores que 4. A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}, n(A) = 3, n(B) = 2, n(S) = 6, e nós temos P(A) = 3/6, P(B) = 2/6. ∎

Exemplo 2.3.5. Nós rolamos um par de dados honestos uma vez. Qual é a probabilidade de que a soma dos dois números seja 2? e 7? e 11?

Nosso espaço amostral é S = {(x1, x2): x1 = 1, 2, . . ., 6; x2 = 1, 2, . . ., 6}. Desde que o primeiro dado dar um número de 1 a 6, e que independentemente o segundo dado pode também ter os números de 1 a 6, nós deduzimos que existem 6.6 = 36 elementos pertencentes ao S (ou nós simplesmente listamos todos eles). Então n(S) = 36. Seja A o evento que a soma é 2, B é o evento que a soma é 7 e C é o evento que a soma é 11. Então

A = {(1, 1)} B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} C = {(5, 6), (6, 5)},

E nós vemos que n(A) = 1, n(B) = 6 e n(C) = 2, então desde que nós assumimos

que o dado é honesto, P(A) = 1/36, P(B) = 6/36 e P(C) = 2/36. ∎

Exemplo 2.3.6. Assuma que quatro pessoas entram em um torneio; o jogo a ser

disputado é do tipo em que não pode haver empate (como tênis, voleibol etc). As pessoas chamam-se Daniel, Jonas, Hugo e Ramos. O torneio será por eliminação simples: da seguinte forma, Daniel e Jonas jogam um com o outro (partida 1) e o perdedor irá ser eliminado. Simultaneamente ou subsequentemente, Hugo e Ramos irão jogar um com o outro (partida 2) e o perdedor será eliminado. Os dois vencedores então jogam entre si (partida 3); o vencedor dessa partida será é o campeão do torneio. Qual é a probabilidade que Ramos seja o campeão? Vamos então criar um razoável espaço amostral para esse experimento. Desde que três partidas são disputadas e os vencedores das partidas são importantes para encontrar as probabilidades, vamos adotar um espaço amostral no qual os elementos são 3-uplas. A primeira posição anota o vencedor da partida 1, a segunda posição anota o vencedor da partida 2 e a terceira posição anota o vencedor da partida 3 (o campeão do torneio). Então nós iremos usar

S = {(Daniel, Hugo, Daniel), (Daniel, Hugo, Hugo), (Jonas, Hugo, Jonas), (Jonas, Hugo, Hugo), (Daniel, Ramos, Daniel), (Daniel, Ramos, Ramos), (Jonas, Ramos, Jonas), (Jonas, Ramos, Ramos)}.

Para responder as perguntas sobre quem irá ser o campeão do torneio, nós devemos atribuir valores para a probabilidade de ocorrência de um evento simples. Se os jogadores possuem todos a mesma qualidade, para cada evento simples nós poderemos atribuir a probabilidade 1/8. Baseado nessa hipótese

P(Ramos ser campeão) = P({(Daniel, Ramos, Ramos), (Jonas, Ramos, Ramos)}) = P({(Daniel, Ramos, Ramos)}) + P({(Jonas, Ramos, Ramos)}) = 2/8 = ¼.

Nenhuma surpresa, com essa hipótese, nós também temos que P(Daniel ser campeão) = P(Jonas ser campeão) = P(Hugo ser campeão) = ¼. ∎ Muitos problemas importantes possuem eventos simples equiprováveis. Como vimos, cálculos de probabilidades nesses casos reduzem-se a contar o número de elementos em S e o número de elementos no evento de interesse. A probabilidade é dada pela divisão dessas quantidades. Então porque contar o número de elementos pertencentes a um evento de interesse representa um papel importante em muitos problemas práticos, a próxima sessão será voltada para as técnicas de contagem. EXERCÍCIOS 2.3

1. Para o dado discutido no exemplo 2.3.3 calcule a probabilidade de que a face voltada para cima será (como o dado lançado uma única vez) a) Um número par b) Maior que 4 c) Entre 2 e 5, inclusive os dois.

2. Uma moeda viciada será lançada uma vez. A probabilidade de dar cara é três vezes maior do que a probabilidade de dar coroa. Qual é a probabilidade para os dois eventos simples?

3. Uma técnico em TV é sempre chamado para consertar TVs produzidas por quatro diferentes fabricantes. Eles serão chamado de M1, M2, M3 e M4: então a próxima chamada para concerto que ele receber irá requisitar que ele concerte uma TV de um desses fabricantes, de experiências anteriores ele sabe que é duas vezes mais provável que o fabricante M1 o chame do que o fabricante M2 e que uma chamada do M2 é três vezes mais provável do que uma chamada do M3 e que a chance de uma chamada do M4 é igual a uma chamada do M1. Qual é a probabilidade de que o próximo concerto requisitado seja do fabricante M1? M2? M3?

4. Se duas moedas honestas são lançadas, qual é a probabilidade de que as duas faces sejam diferentes?

5. Se retirarmos uma carta aleatoriamente de um baralho padrão com52 cartas, qual é a probabilidade de ela seja vermelha? Qual a probabilidade de que o naipe seja de ouro? Qual é a probabilidade de que seja um ás? Qual é a probabilidade de que seja um ás de ouro?

6. Cinco tigelas plásticas de diferentes cores, porém com o mesmo alimento para cães são colocadas enfileiradas. Se um cão escolhe de forma aleatória uma tigela para comer, qual é a probabilidade de que ele escolha a tigela azul? Se um segundo cão é usado, qual é a probabilidade de que escolha a tigela azul? Qual é a probabilidade de que ambos escolham a tigela azul?

7. Um para de dados é lançado, calcule a probabilidade de que a soma dos dois seja doze?

8. Se uma moeda tem pintado o número um no lado da cara e o número dois no lado da coroa, se nós jogarmos três moedas com o mesmo aspecto que essa, qual é a probabilidade de que a soma das três faces voltadas para cima seja 6?

9. Quarenta pessoas estão viajando no mesmo ônibus. Dessas 5 são irlandesas vestindo casacos azuis, 2 são irlandeses com casacos verdes, 1 é um irlandês com casaco preto, 7 são norueguesas com casacos marrons, 2 são noruegueses com casacos azuis, 6 são noruegueses com casacos pretos, 4 são homens alemães com casacos verdes, 3 são mulheres alemães com casacos pretos, 5 são mulheres alemães com casacos azuis e cinco são homens alemães com casacos pretos. Se nós selecionarmos uma pessoa aleatoriamente desse ônibus, qual é a probabilidade de que a pessoa selecionada seja homem? E qual a probabilidade de esta vestindo um casaco verde? E esta vestindo um casaco marrom? De ser norueguês? De ser alemão? E de ser alemão e esta vestindo um casaco verde?

10. Para o torneio definido no exemplo 2.3.6, mantenha os elementos do espaço amostral na ordem exata em que foi descrito. Em vez de assumir que eles são equiprováveis, assuma que as probabilidades para seus eventos simples são respectivamente, 4, 8, 1, 5, 4, 2, 1 e 2, cada um desses números dividido por 27. Calcule a probabilidade para cada um dos participantes de ser o campeão do torneio?

11. Usando as probabilidades fornecidas no exercício 2.3.10, calcule a probabilidade para cada um dos participantes perder logo no primeiro jogo?

12. Assuma que oito jogadores de igual habilidade entrem no torneio de eliminação simples (igual ao descrito no exemplo 2.3.6), qual a probabilidade para cada um dos participantes de ser o vencedor do torneio? Qual a probabilidade do jogador 1 ganhar seu primeiro jogo e perder o jogo final? (cada jogador jogará no máximo 3 partidas). 2.4 – Técnicas de Contagem Quando assumimos eventos simples equiprováveis, isso é feito para espaços

amostrais finitos, a probabilidade de ocorrência de algum evento A é dada pela divisão do número de elementos pertencentes a A pelo número de elementos pertencentes ao espaço amostral S. Para cada caso é útil saber o número de elementos pertencentes a cada um dos conjuntos (o evento de interesse e o espaço amostral). Nós iremos estudar alguns métodos apropriados para esse tipo de problema de contagem nessa sessão. O leitor fica avisado que problemas de contagem são fáceis de definir, mas podem ser difíceis de resolver. Nenhuma grande especialização na resolução de problemas de contagem é requerida para ser obter êxito no estudo do material aqui apresentado.

Uma técnica muito simples de contagem que é freqüentemente útil na resolução de problemas é chamada de principio da multiplicação. Esse principio pode ser anunciado como segue.

Definição 2.4.1 Se uma primeira operação pode ser realizada de n1 maneiras e um

segunda operação pode ser realizada de n2 maneiras, ambas podem ser realizadas juntas (a segunda imediatamente seguinte a primeira) de n1 . n2. ∎

Por exemplo, se nós podemos viajar da cidade A para a cidade B por três estradas

diferentes, e podemos viajar da cidade B para a cidade C por quatro estradas diferentes, nós poderemos viajar de A para C através de 3 . 4 = 12 maneiras diferentes. Ou se a operação de lançar um dado fornece os possíveis resultados de 1 a 6 e a operação de

lançar um segundo dado também fornece os possíveis resultados de 1 a 6, então a operação de lançar um par de dados fornece 6 . 6 = 36 possíveis resultados.

Exemplo 2.4.1. Suponha que um conjunto A tem n1 elementos e um segundo

conjunto B tem n2 elementos. Então o produto cartesiano A X B (veja a definição 1.2.6) tem n1n2 elementos. O produto cartesiano A X A tem n12 elementos e B X B tem n22 elementos. ∎

Essa definição pode imediatamente estendida para qualquer número de operação. A operação de lançar uma moeda três vezes dá 23 = 8 possíveis resultados. A operação de rolar um dado cinco vezes fornece 65 = 7776 possíveis resultados. Se o conjunto Ai tem ni elementos, i = 1, 2, . . ., k, o produto cartesiano A1 X A2 X . . .X Ak tem n1n2 . . .nk elementos diferentes.

O diagrama da árvore pode ser freqüentemente útil. Ele é essencialmente uma expressão gráfica do principio da multiplicação. As operações que podem ser realizadas são representadas por nós (pequenos círculos) e o número de meios de realizações da operação por ramos (ou linhas). O número final de ramos desenhados é o número total de meios nos quais a operação pode ser realizada. A figura 2.4.1 apresenta o diagrama da árvore para contar o total de possíveis resultados quando três moedas são lançadas, as operações correspondem as moedas separadamente.

Definição 2.4.2. Uma disposição de n símbolos em uma ordem definida é chamada de permutação de n símbolos. ∎

Nós iremos freqüentemente querer conhecer quantas diferentes n-uplas podem ser construídas usando n diferentes símbolos para cada uma delas (quantas permutações são possíveis). O principio da multiplicação irá imediatamente dar-nos a resposta. Nós podemos contar o número de n-uplas raciocinando da seguinte maneira. Listando todas as possíveis n-uplas, que nós podemos construir. Primeiro nós iremos colocar a posição da n-upla o mais a esquerda possível dentro da ordem, depois nós devemos colocar a segunda posição o mais a esquerda, depois a terceira posição e assim por diante. Desde que nós pudermos colocar algum dos n elementos dentro da posição mais a esquerda possível, essa operação poderá ser realizada de n maneiras diferentes.

Figura 2.4.1

Depois que nós colocamos um dos n possíveis caminhos na última posição a esquerda, vamos agora colocar um dos possíveis n-1 caminhos na segunda posição mais a esquerda, agora vamos colocar os n-2 remanescentes caminhos na terceira posição mais a esquerda e assim por diante até ficarmos com o último e único possível caminho a ser colocado na posição mais a direita que existir.e queremos contar o número total de diferentes caminhos possíveis, que é dado pelo produto do número de caminhos em cada uma das posições. Então o número de diferentes n-uplas é

n(n-1)(n-2) . . . 2.1 que pode ser escrito n! (é lido como n fatorial). Então 4! = 4.3.2.1 = 24, e 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320, o aumento de n tende a aumentar muito em grandeza o valor de n!. Desde que n(n-1) = n! quando n = 1 essa equação fica 1.0! = 1! e 1! é naturalmente 1. Então nós iremos definir que 0! = 1. Exemplo 2.4.2 Suponha que cinco 5 pessoas estacionem seus carros toda a noite no mesmo lado de uma estrada e todos os carros próximos uns dos outros. De quantas diferentes maneiras podemos estacionar os carros? As diferentes ordens que os carros podem ser estacionados, podem ser representadas por 5-uplas com 5 elementos distintos; então se nós pudermos contar o número de diferentes uplas possíveis, então nós podemos também conhecer o número possíveil de ordens de estacionamento na estrada. O número de 5-uplas possíveis é naturalmente 5! = 5.4.3.2.1 = 120; então essas cinco pessoas podem estacionar seus carros em ordens diferentes durante quatro meses durante toda a noite. ∎ Definição 2.4.3. O número de r-uplas que nós podemos construir com (r ), usando n diferentes símbolos, é chamado de número de permutações de n coisas com r – vezes e é denotado por nPr. ∎ Como nós podemos calcular o valor de nPr.? Cada r-upla tem exatamente r posições. A posição mais a esquerda poderá ser ocupada por algum dos n símbolos: a segunda posição logo a seguir por n – 1 dos símbolos remanescentes e assim por diante. Pelas vezes que nós estamos colocando as posições resta a r-ésima posição, nós já usamos (r – 1) símbolos restando apenas n – (r – 1) símbolos, que nós poderemos usar na r-ésima posição. Então o total do número de r-uplas que nós podemos construir é n(n – 1) . . . (n – r + 1) e nós temos

nPr = n(n – 1)(n – 2) . . . ( n- r +1). Se nós multiplicarmos esse número por (n – r)! /(n – r)!, nós certamente não iremos alterar o valor original, então temos que

Exemplo 2.4.3. (a) Quinze carros entram em uma corrida. De quantas maneiras diferentes podem ser declarados o campeão, o segundo e o terceiro colocado? Essa resposta é simplesmente 15P3 = 15!/12! = 2730 desde que a questão é equivalente a perguntar quantas permutações existem de 15 objetos três a três? (b) }Quantas das 3-uplas devem conter o carro de número 15 na primeira posição? Essa pergunta pode ser respondida por dois caminhos. Primeiro , nós podemos pensar que existem 14P2 = 14!/12! = 182 maneiras nas quais as duas últimas posições poderão ser listadas, tendo já colocado o carro de número 15 na primeira posição nas 3-uplas.

Alternativamente, deve existir obviamente igual número de 3-uplas (na totalidade de todas as possibilidades) tendo 15 carros na primeira posição como assim também 14 carros na segunda posição, 13 carros na terceira posição e assim por diante. Então se dividirmos o total número de 3-uplas por 15, nós conseguiremos o número que contém o carro 15 na primeira posição; isso dá 2730/15 = 182, a mesma resposta. Exemplo 2.4.4. (a) quantas “palavras” com 3 letras podem ser formadas usando as letras w, i, n, t, e, r (sem repetir letras)? (uma palavra é um arranjo de letras, lembre que um arranjo qualquer de letras pode ser uma palavra existente na linguagem javanesa, por exemplo) a resposta é naturalmente 6P3 = 6!/3! = 120. O número de palavras com quatro letras é 6P4 = 6!/4! = 360, e assim por diante. (b) Suponha que as letras possam ser repetidas. Para construir palavras com 3 letras usando as letras w, i, n, t, e, r. De quantas maneiras diferentes poderíamos formar palavras? A resposta é 6.6.6 = 63 = 216, desde que nós agora podemos colocar em cada posição qualquer uma das 6 letras. Para construir palavras com 4 letras teríamos como resposta 6.6.6.6 = 1296. (c) Quantas palavras com 3 letras existem com uma ou mais letras repetidas? Quantas palavras com 4 letras existem com uma ou mais repetições de letras? Nós sabemos que existem 216 palavras de três letras quando usamos repetições, e sabemos que existem 120 palavras com três letras quando não é permitido repetições. Então existem 216 – 120 =96 palavras com uma ou mais de uma repetição de letras. Analogamente, existem 1296 – 360 = 936 palavras de quatro letras com uma ou mais repetições de letras. ∎ Definição 2.4.4. O número de subconjuntos distintos, de tamanho r, que podem ser construídos de um conjunto com n elementos é chamado de número de combinações de n

r a r vezes: esse número é representado por .

∎

Para calcular lembre que conjuntos não são ordenados e que r diferentes símbolos

podem ser usados para construir r! diferentes r-uplas. Então desde que é o número de

diferentes coleções (subconjuntos) de tamanho r que podem ser gerados de um conjunto com n elementos, cada um dos quais conduz a r! r-uplas, então é verdade que

;

que é,

.

Então se um conjunto tem, digamos, n = 4 elementos (seja o seguinte conjunto {1, 2, 3, 4}),

ele tem subconjuntos de tamanho 1 ({1}, {2}, {3}, {4}) e os

subconjuntos com 2 elementos cadas ({1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}). Lembre que a ordem é ignorada na contagem do número de combinações que podem ser construídas e que a ordem é contada na determinação de permutações. A parte mais difícil de muitos problemas de contagem é decidir quando a ordem importará ou não. Exemplo 2.4.5. (a) quantas mãos de cinco cartas diferentes podemos retirar de um baralho com 52 cartas? Desde que não existe diferença se você recebe uma mão de carta exatamente igual a outra porém em ordem diferente, a resposta é

.

(b) quantos distintas 13 cartas poderemos retirar de um baralho de 52 cartas?

(c) suponha que 10 garotos querem formar um time de basquetebol (um time de basquete tem 5 jogadores) de quantas maneiras diferentes eles poderão formar esse time?

.

∎

Esse é o número de diferentes coleções de subconjuntos de 5 garotos que poderão ser escolhidos entre os 10 existentes. Se diferentes posições (funções) no time são anotadas como sendo diferentes times, então existem

5!(252) = 30.240 = 10P5

diferentes times.

(d) um dos garotos do time de basquetebol é chamado de João. Quantos daqueles 252 diferentes times possíveis inclui João como jogador? Se nós queremos contar apenas aqueles times que incluem João, então nós precisamos contar apenas de quantas maneiras podemos selecionar os outros 4 membros do time, já que João obrigatoriamente faz parte dele. Isso é

.

∎ Se você comparar a letra (c) com a (d) do exemplo 2.4.5, notará que os times que contém João como jogador é exatamente a metade dos times possíveis (o qual é igual a r = 5 dividido por n = 10). Esse resultado geralmente é verdadeiro. Suponha que nós definimos

S = {1, 2, . . ., n}; Então nós sabemos imediatamente que o total de subconjuntos de S, que possuem r

elementos é, . Raciocinando como no exemplo 2.4.5, nós encontramos que o

número desses subconjuntos que tem um elemento como membro é dado pelo número de caminhos que podemos selecionar r – 1 outros elementos dos n – 1 elementos restantes:

. então a proporção do tamanho de r, onde já esta determinado um

dos membros é

.

O número ocorre em muitas aplicações da matemática e é freqüentemente

chamado de coeficiente binomial. É fácil de calcular usando uma calculadora. A melhor

maneira de fazer o cálculo é possivelmente misturando operações de

multiplicação e divisão alternadamente para evitar que a conta fique muito grande

(dependendo do tamanho de n e de r). É fácil ver que para qualquer n; se

um conjunto tem n elementos, ele tem exatamente um subconjunto nenhum elemento (conjunto vazio) e um conjunto contendo n elementos (S). Também é fácil de ver que

e que , como é facilmente verificado escrevendo a

representação fatorial dos dois; toda a seleção de um subconjunto de tamanho r permite também um subconjunto de tamanho n – r, assim deve ser igual o número de subconjuntos com esses dois tamanhos. Novamente assuma que S tem n elementos e que nós estamos interessados em contar o número de subconjuntos de S que contém r elementos (o qual naturalmente é

). O número desses subconjuntos que tem 1 (ou algum elemento especifico)

pertencente a ele é e o número desses subconjuntos que não tem 1 pertencente a

ele é ; então deve ser verdade que , como é facilmente

verificado escrevendo os coeficientes binomias na sua forma fatorial e os adicionando

e . Essa identidade é a base para o que é conhecido como o triângulo de

Pascal, um simples esquema por onde o valor para um coeficiente binomial pode ser

encontrado através do conhecimento de que . A figura 2.4.2 da um pequeno

exemplo do triângulo de Pascal. Os dois números inteiros na primeira linha são os valores

para e ;

1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 Figura 2.4.2

os três inteiros na segunda linha são os valores para , , e assim por diante. Cada

linha subseqüente é iniciada e terminada com um 1, e cada número dentro é a soma dos

dois valores imediatamente acima dele. Nós podemos então encontrar dessa maneira

porém com uma maquina de calcular é muito mais fácil realizar esse cálculo.

Como é evidente da figura 2.4.2, com n fixado, o valor para inicia com 1 para r

= 0, aumenta para um máximo com r = n/2, se n é par, ou para n = (n-1)/2, se n é impar, e decresce simetricamente voltando para 1. Quando n é par, existe um único máximo para

, dado por r = n/2 e quando n é impar, os dois termos do meio, com r = (n-1)/2 e r =

(n+1)/2, ambos são iguais e ambos são os máximos de .

Vamos agora iniciar o teorema binomial, o qual já deve ser familiar da álgebra vista no ensino secundário, no mínimo para alguns valores de n. Esse resultado é útil em um

surpreendente número de diferentes problemas, entre eles o nosso estudo, será útil para

descrever variáveis aleatórias. Essa é também a razão porque é chamado de

coeficiente binomial. Teorema 2.4.1. Se x e y são alguns dois números reais e n é um inteiro positivo, então

.

Esse resultado é útil para avaliar certos tipos de somas, por exemplo,

24 + (4)(2)3 (3)+ (6)(2)2(3)2 + (4)(2)(3)3 + 34

= .

O teorema binomial é também útil para aproximar o valor de certos números (esse tipo de problema era talvez um dos mais interessantes antes do advento da máquina de calcular, mas as vezes ele ainda é útil). Por exemplo, do teorema 2.4.1, nós temos

.

Se x é “muito pequeno” então x elevado a grandes potencias se torna cada vez menor, especialmente quando os termos na precedente soma alternam em valores, tanto para somar como para diminuir, poderá ser visto razoavelmente que podemos usar 1 – nx como uma aproximação para (1 – x)n. Então, por exemplo, (0,995)5 poderá ser aproximado para 1 – 5(0,005) = 0,975 e (0,99)10 é aproximadamente 1 – 10(0,01) = 0,9. O teorema binomial também é útil para resolver problemas de contagem. O exemplo 2.4.6 discute dois desses casos. Exemplo 2.4.6. Seja S = {1, 2, . . . , n} e nós queremos saber o número de subconjuntos que S possui. Nós sabemos que o número de subconjuntos de

tamanho r é e então o total de números de subconjuntos de S é

.

Um conjunto com n = 5 elementos tem 25 = 32 subconjuntos, considerando que um conjunto com n = 10 elementos tem 210 = 1024 subconjuntos. O número total de subconjuntos aumenta rapidamente com n. Nós podemos facilmente avaliar o número de subconjuntos que tem algum particular elemento, digamos, 1,

pertencente a ele: existem , r = 1, 2, . . . , n, subconjuntos de tamanho r que

tem 1 como elemento, e portanto o número total de subconjuntos de S que tem 1 como um elemento é

.

Então algum particular elemento pertence exatamente a metade (1/2) de todos os subconjuntos de S. ∎ Até agora em nossa discussão nós temos assumido que os objetos com os quais estamos trabalhando são todos distinguíveis ou diferentes uns dos outros. Se esse não é o caso, nossas formas que envolvem ordem (permutações) tem que ser modificadas apropriadamente. Suponha que nós temos n objetos, n1 dos quais são idênticos, n2 também são idênticos, porém diferentes de todos os outros, e assim por diante, até chegar em nk os quais da k-éssima maneira. Note então que

. Suponha que nós queremos saber o número de diferentes permutações, ou arranjos em uma lista que são possíveis com esses n objetos. A resposta não é um número maior que n!, desde que esse itens que são parecidos são indistinguíveis e poderão ser permutados entre eles sem modificar o arranjo. Então a resposta deve ser menor que n!. Nós podemos escolher alguma n1 das n posições dentro das quais colocamos o primeiro objeto. Essa operação pode ser

realizada de maneiras. Desde que para os objetos do primeiro tipo foram

escolhidos suas posições, alguns das remanescentes n – n1 posições podem ser escolhidas para o segundo tipo de objeto; essa operação pode ser realizada de

maneiras; similarmente, o terceiro tipo de objeto pode ser colocado nas

posições de maneiras diferentes. Então nós podemos ver que o

número total de permutações é

Por causa do cancelamento que ocorre de um termo para o próximo (e recorde que

). Essa quantidade é freqüentemente chamada de coeficiente multinomial

e é denotada por . Que é

.

Exemplo 2.4.7. A palavra estatística tem 11 letras, das quais 2 são s, 3 são t, 2 são i, 2 são a e 1 é e. O número de diferentes palavras de 11 letras que podem ser escritas com essas letras então é

consideravelmente menor que 11! = 39.916.800, o número de resultados possíveis se todas as letras fossem diferentes. EXERCÍCIOS 2.4

1. De quantas maneiras diferentes três livros podem ser colocados lado a lado em uma estante?

2. Se um produto é vendido por uma maquina de vendas, custando exatamente R$ 1,00, de quantas maneiras diferentes podemos pagar esse produto, se a maquina só aceita moedas de R$ 1,00, ou de R$ 0,50 ou de R$ 0,25 ?

3. Seis pessoas estão para entrar em uma caverna em fila. De quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada?

4. Uma caixa contém, 1 bola de gude vermelha, 1 preta e 1 verde. Eu aleatoriamente retiro uma bola é anoto a sua cor. Eu então reponho a bola na caixa, balanço a caixa e retiro aleatoriamente outra bola e anoto a sua cor. A segunda bola é então recolocada na caixa e uma terceira bola é aleatoriamente retirada e sua cor anotada. De quantas maneiras diferentes amostras de 3 cores podem ocorrer?

5. Em um formigueiro existem formigas vermelhas e formigas pretas. Em um determinado local desse formigueiro as formigas só conseguem passar uma de cada vez, de quantas maneiras podemos anotar as cores de quatro formigas que irão passar nesse caminho uma atrás da outra (uma formiga preta é indistinguível da outra, assim como também as vermelhas)?

6. Uma particular cidade irá distribuir 3 prêmios para pessoas que não são naturais do local, mas residem na cidade, se apenas 4 pessoas podem receber esse prêmio e um prêmio não poder ser dado a mais de uma pessoa, de quantas maneiras diferentes esses prêmios podem ser distribuídos entre essas 4 pessoas?

7. Se um conjunto tem 3 elementos, quantos subconjuntos ele tem? 8. Podemos definir um conjunto que possui exatamente 9 subconjuntos? 9. Quantas seleções de 5 dominós podem ser feitas de um jogo padrão que

contém 28 peças de dominós? 10. De quantas maneiras 2 times podem ser escolhidos dentro de uma

federação que possui 8 times? E quantos jogos são necessários se cada time tiver que jogar com todos os outros exatamente uma vez? Quantas partidas são necessárias se cada time tiver que jogar com todos os outros exatamente seis vezes?

11. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser escolhidas de um grupos que tem 10 pessoas?

12. Quantas patrulhas com 5 homens podem ser formadas de uma companhia que possui 20 homens?

13. Dado um conjunto com 15 pontos em um plano, quantas linhas são necessárias para conectar todos os possíveis pares de pontos?

14. Um gráfico completo em 3-D (três dimensões) é dado para que se conecte 3 pontos de todas as maneiras possíveis. Se 15 pontos são ligados de todas as maneiras possíveis, quanto gráficos completos de ordem 3 (três dimensões) podem ser incluídos? E de ordem k =4, 5, 6, . . . , 15?

15. Dada uma caixa com 2 lâmpadas de 25 W, 3 de 40 W e 4 de 100 W, de quantas maneiras diferentes 3 lâmpadas podem ser selecionadas da caixa, assumindo que cada uma das lâmpadas é diferente uma da outra?

16. Referindo-se as lâmpadas do exercício 2.4.15, quantas dessas seleções de três lâmpadas incluem as duas lâmpadas de 25 W?

17. Quantas lâmpadas selecionadas definidas no exercício 2.4.15 podem incluir exatamente uma de cada das três voltagens?

18. Muitos países usam placas de automóveis com três letras e três números. (a) Assumindo todas as possíveis combinações que podem ser usadas,

quantas diferentes placas podem ser construídas? (b) Se 196 combinações das três letras forma palavras não muito agradáveis

aos ouvidos e portanto, não poderão ser usadas, quantas placas então são possíveis construir?

(c) Assuma agora que uma placa deve ter seis posições e obrigatoriamente 3 devem ser letras e 3 devem ser números (não é necessário começar com letras e depois vir os números, eles podem vir em qualquer ordem) de quantas maneiras podemos construir placas diferentes?

19. Uma pequena cidade possui 100 eleitores, 60 dos quais contribuem voluntariamente com a escola local. A receita federal irá pegar uma amostra de apenas 10 eleitores dessa cidade. (a) Quantas seleções de 10 diferentes eleitores podem ser feitas? (b) Quantas dessas seleções incluem 6 ou mais eleitores voluntários da

escola? (c) Quantas dessas seleções não incluem 6 ou mais pessoas voluntarias?

20. Se n é algum número par, mostre que

+

(dica. Considere a expansão binomial de (1-1)n.) 21. Aproxime o valor de

(a) (0,999)10 (b) (0,95)5 (c) (1,99)6 (lembre que 2(0,995) = 1,99.

22. Uma comissão de três pessoas será escolhida entre quatro casais. (a) Quantas diferentes comissões podem existir? (b) Quantas comissões incluídas na letra (a) contém duas mulheres e um

homem? (c) Quantas comissões existem de forma que nenhum dois membros da

comissão sejam casados um com o outro? 23. Vinte automóveis entram em uma corrida. Oito são do fabricante A, sete do

fabricante B e o restante é do fabricante C. Levando em conta apenas os fabricantes de quantas maneiras diferentes os carros podem cruzar a linha final?

24. (a) De quantas maneiras o arranjo listado no exercício 2.4.23 tem um dos carros na primeira posição? (b) De quantas maneiras o arranjo listado no exercício 2.4.23 tem carros do fabricante A nas duas primeiras posições?

25. De quantas maneiras diferentes podemos escrever palavras de 11 letras com as letras da palavra Mississippi? Quantas dessas começam com M e terminam com i?

26. Conte o número de diferentes 4 letras que podem ser feitas usando as letras da palavra Mississippi. 2.5 Alguns problemas particulares de probabilidade

Nessa sessão nós iremos ver uns poucos problemas que precisaram da ajuda das técnicas de contagem e suas aplicações em problemas de probabilidade. O número de elementos de A ⊂ B será denotado por n(A). Exemplo 2.5.1. Uma caixa contém 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Se retirarmos essas quatro bolas aleatoriamente uma após a outra, qual a probabilidade de que as duas bolas finais sejam brancas? Qual a probabilidade de que as duas últimas não sejam ambas brancas? Qual a probabilidade de que as bolas brancas saiam uma imediatamente após a outra? Por conveniência nós vamos assumir que as bolas brancas são numeradas com os número 1 e 2 e que as bolas vermelhas são numeradas de 3 até 6. Então nós podemos adotar como nosso espaço amostral S a coleção 6! = 720 permutações seis a seis; que é

S = {(x1, x2, . . . , x6): xi = 1, 2, 3, . . . , 6, para todo i e xi xj para i j}. Se as bolas são aleatoriamente colocadas em uma lista, então cada uma dessas 6-uplas é igualmente provável de ocorrer e nós podemos usar nossas formulas para eventos equiprováveis para calcular as probabilidades. Defina A como sendo o evento em que a primeira e a última bolas são brancas (a coleção de 6-uplas com as bolas 1 ou 2 no inicio e 1 ou 2 no final) e o evento B como sendo aqueles em que as bolas 1 e 2 saem uma junto da outra. Então o número de elementos de A é

n(A) = 2.4! = 48 (as bolas brancas podem ser no fim de duas maneiras, para um ou outra dessas maneiras as bolas vermelhas podem ser arranjadas de 4! Maneiras diferentes). Nós também calculamos

n(B) = 5.2.4! = 240. (Existem 5 posições lado a lado para as bolas brancas ocuparem, nominalmente, 1ª2ª, 2ª3ª, 3ª4ª, 4ª5ª, 5ª6ª; quando umas dessas posições ocorrer, as bolas brancas podem ocupar o par selecionado de duas maneiras e as vermelhas podem ser permutadas nas posições restantes de 4! Maneiras). Como nós previamente mostramos

n(S) = 6! = 720 e nós temos

e

Um espaço amostral alternativo para esse problema pode ser construído da seguinte maneira. Se nós pretendemos que as bolas saiam em ordem uma depois da outra, então todos os possíveis resultados do experimento podem ser anotados em duas posições, as posições que as bolas brancas ocupam; todas as outras posições são naturalmente, ocupadas com bolas vermelhas. Todos os possíveis pares são equiprováveis se as bolas são retiradas aleatoriamente. Então

S = {(x1, x2): x1 = 1, 2, . . . , 5 : x2 = 2, 3, . . . , 6 : x1 < x2} Note que S lista todos os possíveis pares de posições que nós podemos selecionar para as bolas brancas e que cada elemento é único. O número de elementos pertencentes a S é igual ao número de subconjuntos de tamanho 2 que um conjunto com 6 elementos tem, que é

.

Se nós definirmos A e B como anteriormente, exatamente 1 desses subconjuntos consiste do maior e um do menor elemento de S e exatamente 5 deles consistem de pares consecutivos. Então

n(A) = 1, n(B) = 5 e como mostramos,

. ∎

Em muitos problemas em que o espaço amostral é possível de ser construído equiprovável; quando usados corretamente irão dar a resposta para o problema de interesse. Exemplo 2.5.2. Suponha que nós selecionamos um número qualquer entre 100 e 999, inclusive. Qual é a probabilidade que ele tenha como menor número o algarismo 1? Qual é a probabilidade que ele tenha exatamente dois algarismos 3? Para espaço amostral trabalharemos com

S = {x : x = 100, 101, . . . , 999}. Então n(S) = 900 e desde que o número é escolhido aleatoriamente, nós assumimos que todos os eventos simples são equiprováveis. Defina os eventos: A : o número selecionado tem como menor algarismo o 1. B : o número selecionado tem exatamente dois algarismos 3.

Nós iremos encontrar facilmente , então usar ele para calcular , e finalmente usar o teorema 2.2.2 para calcular . Nós iremos calcular n(B) diretamente. O evento será a coleção dos números de 3 dígitos que não possuem nenhum algarismo 1. A primeira posição pode ser ocupada por 8 algarismos diferentes (desde que o primeiro algarismo não pode ser 0 (zero) nem o algarismo 1) e cada uma das duas posições sucessivas pode ser ocupada por qualquer um dos 9 algarismos (desde que 1 não pode ocorrer nem na segunda nem na terceira posição). Então

e

. Para calcular n(B), nós podemos raciocinar da seguinte maneira. Se o primeiro algarismo é 3, então um dos algarismos sucessivos deve ser um 3 e os outros qualquer um dos 9 algarismos restantes. Esses dois algarismos sucessivos podem ocorrer de duas maneiras, assim existem 9.2 = 18 números com 3 algarismos tendo um 3 na primeira posição e cada um deles contém exatamente dois 3. Se o primeiro algarismo não é um 3, então essa posição pode ser ocupada por 8 algarismos diferentes (nem 0 nem 3 podem ser usados). As duas últimas posições devem ambas ter o algarismo 3. Então

n(B) = 18 + 8 = 26 e

.

∎ Exemplo 2.5.3. Suponha que n pessoas estão em uma sala. Se nós fizermos uma lista de suas datas de nascimento (mês e dia do mês), qual é a probabilidade de que exista uma ou mais repetições na lista? (o que é a probabilidade de duas ou mais pessoas terem a mesma data de nascimento?). Nós iremos fazer a suposição de que existem apenas 365 dias possíveis para cada data de nascimento (ignorando os anos bissextos, quanto fevereiro tem 29 dias) e que cada um desses dias tem a mesma probabilidade de ocorrer para uma data de nascimento individual. (essa pode ser de fato a pior das hipóteses que nós podemos adotar relativa a esse problema; pode ser que alguns dias em Março ou outro mês qualquer seja mais provável de ocorrer nascimentos, então a probabilidade de um ou mais dias de nascimento se repetirem é maior do que se todos os dias são igualmente prováveis). Nosso espaço amostral é a coleção de todos as possíveis n-uplas que podem ocorrer os dias de nascimento, numerando os dias do ano seqüencialmente de 1 a 365. Então

S = {(x1, x2, . . . , xn) : xi = 1, 2, . . . , 365 : i = 1, 2, . . . , n} A primeira posição em cada n-upla da a data de nascimento da primeira pessoa; a segunda posição da a data de nascimento da segunda pessoa e assim por diante. Assumindo que todos os dias do ano são igualmente prováveis de ocorrer para cada uma das pessoas, implica que cada uma dessas n-uplas é igualmente provável. Usando as técnicas de contagem apresentadas na sessão 2.4, nós vemos que

n(S) = 365n Defina A como sendo o evento onde existe uma ou mais repetições do mesmo dia de nascimento dentro das n-uplas. Então é a coleção de n-uplas que não possui repetição dos dias de nascimento; nós podemos ver facilmente que (com n 365)

, o qual nos dá

.

Novamente do teorema 2.2.2,

. A tabela 2.5.1 dá os valores da e para vários valores de n. Ela mostra algo surpreendente tal como que a probabilidade de repetição nas datas passa de ½ para apenas umas poucas 23 pessoas na sala e que para 60 pessoas é praticamente certo que haverá repetição. ∎

n 10 0,871 0,129 20 0,589 0,411 21 0,556 0,444 22 0,524 0,476 23 0,493 0,507 24 0,462 0,538 25 0,431 0,569 30 0,294 0,706 40 0,109 0,891 50 0,030 0,970 60 0,006 0,994

Exemplo 2.5.4. Suponha que Srª Rita afirma ser uma clarividente.

Especificamente ela afirma que se for apresentado a ela 8 cartas das quais 4 são

vermelhas e 4 são azuis, ela irá corretamente identificar a cor de no mínimo 6 delas sem precisar virar as cartas. Se ela tem essa habilidade especial qual é a probabilidade de que ela identifique corretamente no mínimo 6 das 8 cartas apresentadas a ela? (ela irá identificar 4 cartas como vermelhas e 4 com pretas). Nós arbitrariamente decidimos apresentar a ela primeiro 4 cartas vermelhas uma após a outra e em seguida apresentar as 4 cartas pretas. O espaço amostral para o experimento é o conjunto de todas as possíveis ordens que ela poderá dar para as cartas; que é

S = {(x1, x2, . . . , xn) : xi = V ou P, para qualquer i : exatamente 4 xis são V}

Se ela for advinha, então os eventos simples são equiprováveis. Desde que cada uma das 8-uplas pertencentes a S contém exatamente 4 V e exatamente 4 P, nós podemos calcular n(S) contando de quantas maneiras nós podemos selecionar 4 posições dentro de 8 nas quais as quatro posições são V; então

.

Defina

A : ela identifica no mínimo 6 cartas corretamente. B : ela identifica exatamente 6 cartas corretamente. C : ela identifica todas as 8 cartas corretamente.

Desde que ela irá chamar 4 cartas de vermelhas e 4 cartas de preta, não é possível que ela acerte exatamente 7 cartas; então

e desde que

, .

Claramente n(C) = 1 assim P(C) = 1/70. Se B ocorreu, ela deve ter identificado exatamente 3 das 4 cartas vermelhas corretamente e exatamente 3 das 4 cartas pretas corretamente. Ela pode ter errado uma entre as vermelhas e uma entre as pretas. Então o número de 8-uplas contendo 1 V nas primeiras 4 posições e P nas últimas 4 posições é

n(B) = 4.4 = 16 e nós temos

.

Então

;

se ela apenas advinha, existe aproximadamente uma chance de 1 em 4 de que ela consiga realizar o que ela afirma ser capaz. ∎ Espaços amostrais equiprováveis devem ser escolhidos com cuidado. Ocasionalmente, o que pode parecer razoavelmente equiprovável não o é. O exemplo 2.5.5 apresenta um caso simples desse tipo. Exemplo 2.5.5. Inadvertidamente, dois tabletes de menta e dois de aspirina foram colocados na mesma caixa, para quem olha os tabletes parecem idênticos, Douglas e Hugo escolheram cada um deles um tablete de dentro da caixa (aleatoriamente, Douglas e depois Hugo). Já que existe dois tabletes para cada um deles dentro da caixa, é possível que ambos tenham pego os tabletes de menta ou que ambos tenham pego os tabletes de aspirina ou que cada um tenha pego um tipo diferente de tablete. Então nós podemos usar o seguinte espaço amostral

S = {aa, am, ma, mm}, onde a representa o tablete de aspirina e m o tablete de menta e a seleção de Douglas é feita primeiro; baseado no fato de que as seleções são aleatórias, nós podemos também fazer a hipótese de equiprováveis. Seja D o evento em que Douglas seleciona um tablete de menta, e H ser o evento onde Hugo seleciona um tablete de menta, então é o evento em que ambos selecionam tabletes de menta. Então D = {ma, mm}, H = {am, mm}, , e com a hipótese de equiprováveis nós temos P(D) = P(H) = ½, P( = ¼. Tendo visto já a precedente discussão e analise, considere a seguinte próxima alternativa. Assuma que os tabletes são numerados de 1 a 4 com os número 1 e 2 representando os tabletes de aspirina. O espaço amostral é

S = {(x1, x2) ; xi = 1, 2, 3, 4, i = 1, 2, x1 x2} e então a hipótese de equiprováveis é assumida (novamente, a primeira posição corresponde a escolha de Douglas e as segunda posição corresponde a escolha de Hugo). Então o número de elementos de S é 4.3 =12 e definindo os eventos D e H da mesma maneira anteriormente mostrada,

n(D) = 2.3 = 6, n(H) = 3.2 = 6 , e nós temos

,

Diferente do ¼ conseguido anteriormente. Porque diferentes respostas foram obtidas para e qual das duas abordagens parece correta para você? ∎ EXERCÍCIOS 2.5

1. Cinco bolas brancas e três vermelhas são colocadas em uma fila

aleatoriamente. Qual é a probabilidade que as duas últimas bolas sejam brancas? E de que uma delas seja vermelha e a outra branca?

2. Para a situação mostrada no exercício 2.5.1, qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas estejam juntas? E qual a probabilidade de que todas as bolas brancas estejam juntas?

3. Um número de 5 dígitos é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que ele não contenha o algarismo 5? Qual a probabilidade de que ele contenha exatamente um algarismo 5?

4. Para a seleção descrita no exercício 2.5.3, qual é a probabilidade de todos os dígitos sejam iguais? E de que todos os dígitos sejam diferentes?

5. Dez pessoas são candidatas a formar uma chapa de três pessoas. Se todos os grupos de 3 pessoas tem a mesma probabilidade de vencerem, qual é a probabilidade de que uma particular pessoa irá esta participando da chapa vencedora? Qual a probabilidade de que um particular par de pessoas façam parte da chapa vencedora?

6. Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente para serem soltas de uma prisão com uma população de 100 presos. Qual é a probabilidade de que o prisioneiro mais velho seja um dos dois selecionados? Qual a probabilidade de que o mais novo e o mais velho sejam exatamente o par sorteado?

7. Um particular item é estocado em 3 diferentes tamanhos. Uma ordem de retirada é recebida pedindo dois itens, porém os tamanhos não são especificados. O carregador olha a ordem e arbitrariamente (ou na sorte) simplesmente seleciona dois itens e os embarca para entrega. (a) Qual é a probabilidade de que os dois itens estejam exatamente como

desejados pelo comprador? (b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois itens esteja corretos?

8. A, B e C participam de uma corrida. Qual é a probabilidade de que A finalize na frente de C, dado que todos estão igualmente preparados (e que não pode haver empate)? Qual é a probabilidade que A finalize na frente de B e de C?

9. 5 pessoas são testadas para que distinguir o sabor entre sorvete de baunilha comum e o gosto do sorvete de baunilha francês (cada um recebe uma pequena porção dos dois e são perguntadas quem é quem em relação aos sabores). Se todas as 5 pessoas estão adivinhando, qual é a probabilidade de que todas identifiquem corretamente os sabores? Se todas estão adivinhando qual é a probabilidade de que pelo menos 4 identifiquem corretamente os sabores?

10. Calcule a probabilidade que um grupo de 5 cartas retiradas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas contenham (a) Exatamente dois pares (b) 3 cartas do mesmo tipo e 2 de outro tipo (c) Todas as 5 do mesmo naipe (d) 5 cartas em sequencia (iniciando com ás, ou dois, ou três, . . . , dez)

11. n pessoas estão em uma sala. Calcule a probabilidade de que pelo menos 2 tenham o mesmo mês de nascimento. Calcule essa probabilidade para 3, 4, 5, 6 pessoas.

12. Três pilotos usam 3 aviões para vôos em dois dias consecutivos, o avião para cada um dos pilotos é sorteado em cada dia. (a) Qual é a probabilidade de que todos os pilotos peguem o mesmo avião

nos dois dias consecutivos? (b) Qual é a probabilidade de que cada um dos pilotos peguem aviões

diferentes nos dois dias consecutivos? 13. Dez homens vão pescar salmão em um barco pesqueiro. Quando o barco

retorna, você vê que 3 salmões foram capturados. Assuma que as chances dos pescadores são iguais de pescarem um salmão. (a) Qual a probabilidade de que todos os três salmões tenham sido

pescados por diferentes pescadores? (b) Qual é a probabilidade de que todos os três salmões tenham sido

pescados pelo mesmo homem? 14. A uma pessoa são apresentadas 3 cartas vermelhas e 3 brancas em uma

seqüencia aleatória. Ele sabe que existem 3 de cada cor; então ele irá identificar 3 cartas com sendo da mesma cor. Se ele estiver adivinhando, qual é a probabilidade de que ele identifique corretamente todas as 6 cartas? E de identificar corretamente 5 cartas? E de exatamente 4?

15. No exemplo 2,5,4, qual é a probabilidade de que a senhora Rita identifique exatamente 4 cartas corretamente?

2.6 Probabilidade Condicional

Existem aplicações nas quais nós iremos informar que um evento B já ocorreu e nós queremos saber qual a probabilidade do evento A ocorrer, condicionado a informação de que o evento B já aconteceu. Por exemplo, uma fabrica de computadores recebe chips de três diferentes fornecedores; dado que um lote de chips chegou e que eram do fornecedor, digamos fornecedor 1, (evento B ocorreu), o fabricante poderá esta interessado na probabilidade de que a proporção de chips defeituosos seja menor que, digamos, 3% (evento A). Ou dado que uma pessoa selecionada aleatoriamente em uma pesquisa de opinião declarou ser filiada ao PMDB, (evento B), nós podemos estar interessados n probabilidade de que ela vote em um candidato do PMDB nas próximas eleições. Ou garantido que uma pessoa escolhida aleatoriamene tem um histórico familiar de diabetes (evento B), é de interesse saber a probabilidade de que ela também tenha diabete. Essa probabilidade condicional para A, dado que B ocorreu, irá ser denotada por P(A B) para distinguir da probabilidade incondicional da ocorrência de A. Como poderemos então definir P(A B)? Claramente, se o evento B ocorreu, ele ou ocorreu com junto com o evento A (então A ocorreu) ou ele ocorreu sozinho, sem que o evento A tenha ocorrido (então o evento ocorreu). Podemos ver que para P(A B) temos

que é a freqüência relativa dada pela proporção de vezes que A ocorreu em relação a B para a proporção de vezes que B ocorreu (com ou sem a ocorrência de A). Percebendo que , o precedente denominador é simplesmente P(B) e nós temos a seguinte definição para P(A B).

Definição 2.6.1. A probabilidade condicional da ocorrência de A, dado que B ocorreu é

em que P(B) > 0. ∎ A probabilidade condicional para A pode ser menor, igual ou maior que a probabilidade incondicional para A. Exemplo 2.6.1. Nós rolamos um par de dados uma vez e é verificamos que os dois números que ocorreram não são iguais. Calcule a probabilidade de que a soma seja 7 ou que a soma seja 4 ou que a soma seja 12. Defina os eventos:

A : os dois números que ocorrem são diferentes. Então nós sabemos que o evento A ocorreu. Vamos também definir os seguintes eventos:

B : a soma é 7. C : a soma é 4. D : a soma é 12.

. Então assumindo que os eventos simples são equiprováveis, nós encontramos que P(A) = 5/6, P(B) = 1/6, P(C) = 1/12, P(D) = 1/36,

,

e agora nós temos que

. ∎

Exemplo 2.6.2. Uma fabrica de carros produziu 500.000 veículos de um

modelo popular em um determinado ano. Para diminuir os custos, a fábrica só os construiu utilizando quatro cores: vermelho, amarelo, preto e branco. O número de carros pintados com essas cores foram 100.000, 150.000, 175.000 e 75.000

respectivamente. Seis meses depois todos os carros estavam vendidos e foi encontrado um sério erro de fabricação que poderá acarretar em acidente em 75.000 desses carros, então os carro foram chamados para um recall (chamados de volta para serem corrigidos os erros). Dos 75.000 que apresentaram defeitos, 10.000 eram vermelhos, 10.000 azuis, 30.000 amarelos e o restante eram verdes. Suponha que um dos carros verdes desse modelo é escolhido aleatoriamente (eu comprei ele), qual é a probabilidade de que seja necessário um recall nesse car? Para responder essa questão, nós iremos usar um espaço amostral S em que os elementos são 2-uplas. O primeiro elemento de cada 2-upla identifica a cor do carro (v, a, p, b) e o segundo elemento identifica se o carro esta ou não com defeito. (d para defeituoso e n para os não defeituosos). Então

S = {(v,d), (v,n), (a,d), (a,n), (p,d), (p,n), (b,d), (b,n)}

As informações dadas então permite identificar que

E que

Das quais é então possível especificar a função probabilidade para S. Agora defina B como sendo o evento um carro verde é selecionado e seja A o evento o carro

apresenta defeito. Então , e assim diretamente podemos calcular

a probabilidade de recall para qualquer carro de outra cor. ∎

Um dos mais freqüentes uso para a probabilidade condicionada é para fornecer um fácil procedimento para encontrar a probabilidade da intersecção de eventos. Desde que

Então é verdade que

,

E revertendo a ordem de A e B na probabilidade condicionada, ficamos com

. Esse tipo de resultado é facilmente expandido por indução. Por exemplo,

O que dá imediatamente

E desde que ,

. Então probabilidades para intersecções de eventos podem estar embutidas recursivamente dentro de probabilidades incondicionais e condicionais. Exemplo 2.6.3. Nós selecionamos 2 bolas aleatoriamente e sem reposição de uma urna que contem 4 bolas brancas e 8 pretas. (a) calcule a probabilidade de que ambas sejam brancas. (b) calcule a probabilidade de que a segunda bola seja branca.

(a) Defina

A : a primeira bola é branca B : a segunda bola é branca C : ambas as bolas são brancas.

Então

e ,

(b) Claramente, e

.

Então

.

Note que a probabilidade de retirar a segunda bola branca (e a primeira retirada não sendo reposta) é 1/3, a mesma probabilidade de que a primeira bola retirada seja branca. Podemos mostrar que isso é um caso generalizado. P(B) é uma probabilidade incondicional e, como indicado nos cálculos anteriores, P(B) é uma proporção de duas probabilidades condicionadas e . ∎ Exemplo 2.6.4. A caixa 1 contém 4 lâmpadas defeituosas e 16 perfeitas. A caixa 2 contém uma lâmpada defeituosa e uma perfeita. Nós rolamos um dado uma vez. Se o dado der os números 1 ou 2, então nós selecionamos uma lâmpada aleatoriamente da caixa 1. Qualquer outro resultado do dado, nós selecionamos aleatoriamente uma lâmpada da caixa 2. Qual a probabilidade de que a lâmpada selecionada seja defeituosa? Defina

A : nós selecionamos uma lâmpada da caixa 1 B : a lâmpada selecionada é defeituosa.

Então Desde

que

e

nós temos

.

∎ Os eventos E1, E2, . . . , En são chamados de partição do espaço amostral S se

. Então uma partição divide

o espaço amostral em pedaços que são mutuamente excludentes. A figura 2.6.1 da um diagrama de Venn com n = 7 eventos na partição.

Se A ⊂ S é algum evento e E1, E2, . . . , En é uma partição de S, então E1, E2, . . . , Em também partem A; que é

,

Figura 2.6.1

Figura 2.6.2

e naturalmente, para todo i j. A figura 2.6.2 mostra esse particionamento do evento A, novamente com n = 7 eventos na partição, sendo assim podemos escrever

, chamamos a esse resultado de teorema da probabilidade total. Esse resultado foi usado anteriormente no exemplo 2.6.4 e será ilustrado mais uma vez no exemplo seguinte. Exemplo 2.6.5. Um fabricante de maquinas de calcular, compra o mesmo circuito integrado de três diferentes fornecedores, vamos chama-los de I, II e III. De experiências passadas, o fabricante sabe que 1% dos circuitos fornecidos por I são defeituosos, 3% dos fornecidos por II são defeituosos e do fornecedor III, 4% são defeituosos. Numa grande compra onde 30% dos circuitos são fornecidos por I, 50% por II e 20% pelo fornecedor III, nós podemos usar o teorema da

probabilidade total para calcular a probabilidade de que um particular circuito integrado, quando checado não possa definitivamente ser colocado em uma calculadora. Então seja A o evento em que o chip é defeituoso e sejam E1, E2 e E3 os eventos nos quais o chip selecionado foi fabricado pelos fornecedores I, II e III respectivamente, e nós temos então P(E1) = 0,3, P(E2) = 0,5, P(E3) = 0,2,

. Então assim

P(A) = 0,003 + 0,015 + 0,008 = 0,021

∎ O teorema da probabilidade total pode ser usado para facilmente estabelecer o Teoremas de Bayes chamado depois de Teorema do Reverendo Bayes; o resultado é comumente atribuído como sendo publicado pela primeira vez postumamente em 1764. Ele é usado extensivamente em métodos Baysianos de inferência estatística, alguns dos quais são discutidos no capítulo 11. Teorema 2.6.1. Sejam E1, E2, . . . , En ser uma partição de S. então para algum evento A ⊂ S

Prova: Por definição

e desde que ,

,

Percebe-se imediatamente o resultado. ∎ Exemplo 2.6.6. Assuma que a probabilidade de que um júri selecionado para julgar um caso criminal chegue a um veredito apropriado seja de 0,95. Ou seja, se um verdadeiro culpado for a julgamento o júri tem uma probabilidade de 0,95 de julgar ele como verdadeiro culpado, e no outro caso, se um inocente for a julgamento o júri tem uma probabilidade de 0,95 de mandar solta-lo como inocente que é verdadeiramente. Suponha que a policia do local é extremamente criteriosa e competente, e que em 99% dos casos que ela consegue levar a julgamento uma pessoa, a pessoa é verdadeiramente culpada. Nós vamos calcular a probabilidade de que um réu levado a julgamento seja verdadeiramente inocente, dado que o júri o considerou inocente e o mandou soltar. Seja G o evento em que o

réu é culpado e seja J o evento onde o júri considera o réu culpado. Então nós temos que e nós queremos calcular . G e formam a partição do espaço amostral, assim do teorema de Bayes

Então existe 1 chance em 6 de que ele verdadeiramente seja inocente já que foi declarado inocente pelo júri e 5 chances em 6 de que ele seja verdadeiramente culpado já que o júri o declarou inocente. Similarmente, a probabilidade de que ele seja inocente já que o júri o considerou culpado é de 0,0005 e a probabilidade de que ele seja verdadeiramente culpado quando o júri o condenou é de 0,9995. ∎ Não é fácil a primeira vista compreender o teorema de Bayes. Note que ele dá a probabilidade de ocorrência de Ei, um dos eventos da partição, dado que o evento A ocorreu. Vimos isso de uma maneira não muito rigorosa. Alguns desses originais usos foram concernidos como E1, E2, . . . , En os quais representam varias teorias mutuamente excludentes tais como, de que maneira o universo foi criado, ou como o universo chegou no estado atual; os valores de P(Ei) são chamado de probabilidade a priori. O evento A representa algum evento que sabemos que já ocorreu, como o registro histórico de um dado acontecimento ao longo do tempo. O teorema de Bayes então mostra como calcular a ), a probabilidade condicional da teoria i é correta (chamada de probabilidade posteriori), dado que A já ocorreu. Ele é bem ajustado para se adaptar a esquemas que usam dados ou experiências para modificar crenças já estabelecidas. Criticas ao procedimento Baysiano geralmente concentram-se na hipótese de que as P(Ei) e tem que ser necessariamente conhecidas. Se elas não o são, naturalmente não é possível empregar o teorema. Exemplo 2.6.7. Vamos assumir a mesma situação do exemplo 2.6.5: 30% dos circuitos integrados são fornecidos pelo fornecedor I, 50% pelo fornecedor II e 20% pelo fornecedor III, e as probabilidades de defeitos desses fornecedores são

. Agora suponha que uma caixa sem nenhuma indicação desses circuitos integrados é aberta; e sabe-se apenas que todos os circuitos vêm do mesmo fornecedor e que esse é desconhecido. Sem que seja testado nenhum dos circuitos é razoável assumir que a probabilidade de que a caixa venha de cada um dos fornecedores é

, respectivamente, porque essas são as proporções de compra que o fabricante efetua para cada um dos fornecedores. Se um circuito é selecionado da caixa e testado, o teorema de Bayes pode ser usado para calcular uma nova probabilidade de que a caixa venha de um determinado fornecedor em particular, dado a informação sobre o resultado do teste do circuito. Se, por exemplo, o circuito é testado e verifica-se ser defeituoso, então o evento A, o circuito é defeituoso, ocorreu e nós temos

Por outro lado, se o circuito é testado e verifica-se que ele esta perfeito, então o evento , o circuito é perfeito, ocorreu e nós então teremos

Então a probabilidade a posteriori que a caixa era do fornecedor I, II ou III são substituídas de seu valor da probabilidade incondicional inicial pela informação de que o circuito testado estava defeituoso para as novas probabilidades condicionadas conseguidas anteriormente. O teorema de Bayes pode ser utilizado mais de uma vez. Se um circuito já foi selecionado, testado e verificado de que é defeituoso a probabilidade de que a caixa tenha vindo dos fornecedores I, II e III são (com uma pequena mudança na notação, assim nós podemos aplicar o teorema de Bayes novamente sem confusão)

. Se um segundo item é selecionado e verifica-se que ele é defeituoso, nós temos

Essas são as probabilidades de que a caixa venha de cada um dos três fornecedores em particular, dado que dois circuitos foram testados e que os dois estavam defeituosos. ∎ EXERCÍCIOS 2.6

1. Uma urna contém 4 bolas numeradas 1, 2, 3 e 4. Duas bolas são retiradas sem reposição. Seja A o evento definido como a soma das duas bolas é igual a 5 e Bi o evento em a primeira bola tem o i nela, i = 1, 2, 3 e 4. Calcule a probabilidade , i = 1, 2, 3 e 4, e , i = 1, 2, 3 e 4.

2. Suponha que as duas bolas do exercício 2.6.1 são retiradas com reposição. Sejam A e Bi serem os mesmos eventos já definidos anteriormente no exercício 2.6.1, calcule a probabilidade e , i = 1, 2, 3 e 4.

3. Uma moeda honesta é rolada 4 vezes. Qual a probabilidade de que o quarto lançamento seja uma cara, dado que o terceiro lançamento foi uma cara?

4. Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de que o quarto lançamento seja uma cara, dado que já ocorreram três caras anteriormente? Dado que 2 caras ocorreram nos quatro lançamentos?

5. A urna 1 contém 2 bolas vermelhas e 4 azuis, a urna 2 contém 10 bolas vermelhas e 2 azuis. Se uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada dessa urna, qual a probabilidade de que a bola retirada seja azul? De que seja vermelha?

6. Suponha que no exercício 2.6.5, em vez de selecionarmos uma das urnas aleatoriamente, nós rolássemos um dado e selecionássemos a urna 1 se o dado desse o número 1 como resultado, se desse algum dos outros números selecionaríamos a urna 2. Qual a probabilidade de que a bola selecionada fosse azul? De que fosse vermelha?

7. Cinco cartas são selecionadas aleatoriamente e sem reposição de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que todas sejam vermelhas? Que elas sejam de ouro?

8. Uma urna contém 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 2 azuis. Duas bolas são retiradas aleatoriamente sem reposição. Calcule a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha

9. Uma urna contém 2 bolas pretas e 5 marrons. Uma bola é retirada aleatoriamente. Se a bola retirada é marrom, ela é reposta e colocamos mais duas outras bolas marrons dentro da urna. Se a bola retirada for preta, ela não é recolocada na urna e não colocaremos mais nenhuma bola dentro da urna. Uma segunda bola é retirada de dentro da urna. Qual a probabilidade de que seja marrom?

10. O segundo estagio do experimento descrito no exercício 2.6.9 foi realizado e a segunda bola retirada era marrom. Qual a probabilidade de que a primeira bola selecionada tenha sido marrom?

11. Suponha que um teste medicinal consegue um acerto de 95% no diagnostico de câncer, tanto quando em casos afirmativos como em casos negativos. Se 0,5% da população atual tem câncer, calcule a probabilidade de que um indivíduo em particular ter câncer dado que o teste afirmou que ele tem câncer.

12. Em uma grande escola 1% dos estudantes participam do corpo atlético da escola, 10% desses alunos participantes tem uma nota escolar geral entre 3 e 4, sendo 3 inclusive e o 4 excluido (3 nota < 4), sabe-se também que 20% dos estudantes que não participam do corpo atlético tem a mesma faixa de nota geral 3 nota < 4. Qual a proporção de alunos dentro da escola que possuem nota geral na faixa de 3 nota < 4? Suponha que um aluno seja selecionado aleatoriamente dentro da escola, e verifica-se que sua nota geral é de 3,12. Qual a probabilidade de que ele participe do corpo atlético?

13. Dois diferentes fornecedores, A e B, abastecem a um fabricante com o mesmo tipo de peças. Todas as peças são guardadas em um grande armazém. De informações passadas, o fabricante sabe que 5% das peças fornecidas por A, são defeituosas e que 9% das peças fornecidas por B também são defeituosas. O fornecedor A entrega quatro vezes mais peças do que o fornecedor B. Suponha que você entre no armazém escolha uma peça aleatoriamente, e verifique que ela é perfeita. Qual a probabilidade de que ela tenha sido entregue pelo fornecedor A?

14. Dois dados honestos são rolados de uma vez. Dado que a soma dos dois foi no mínimo 7, calcule a probabilidade de que a soma tenha sido i, i = 7, 8, 9, 10 ,11 ou 12.

15. Assuma que dentre as famílias com duas crianças, existem iguais números de famílias com (menino, menino), (menino, menina), (menina, menina) e (menina, menino) onde a ordem na 2-upla indica a ordem de nascimento. Nós selecionamos uma família com duas crianças aleatoriamente. (a) Qual a probabilidade de que a família tenha 2 meninos, dado que ela tem

pelo menos um menino? (b) Suponha que você tenha casado recentemente e que você já tem uma

criança, um menino. Vocês estão esperando o seu segundo filho. Claramente, desde que vocês terão duas crianças, vocês terão no mínimo um menino. A resposta para o item (a) é a probabilidade de que seu segundo filho seja um menino?

16. Dezesseis times entram em um torneio de simples eliminação, jogando partidas que não podem terminar empatadas. Então um total de quatro rodadas é necessário para se determinar o vencedor. Assuma que a probabilidade de que seu time ganhe o primeiro jogo é de 0,9 e de que a probabilidade de que ele ganhe os jogos seguintes é de 0,8; 0,7 e 0,6 respectivamente. Dado que ele ganhou os três jogos precedentes antes da final, (a) qual é a probabilidade de que ele seja o campeão do torneio? (b) Qual é a probabilidade de que seu time seja eliminado na terceira

partida? Na segunda partida? E na primeira partida? 17. Toda vigésima quinta pessoa que entrar em um certo brinquedo em um

parque de diversão receberá um prêmio.

(a) Qual a probabilidade de que você receba um prêmio quando você entrar no parque?

(b) Dado que você esperou e observou que nove das quinze pessoas que entraram antes de você receberam um prêmio, qual a probabilidade de que você receba um prêmio?

18. Assuma que dois circuitos são selecionados de dentro de uma caixa, descrita no exemplo 2.6.7, e ambos estão perfeitos. Calcule a probabilidade de que a caixa venha de cada um dos fornecedores três fornecedores. 2.7 Eventos Independentes

O conceito de eventos independentes é muito importante e será usado freqüentemente no material seguinte. Dizer que os eventos A e B são independentes, é afirmar que o conhecimento da ocorrência ou não do evento B, não altera a probabilidade de ocorrência do evento A; iniciando com uma maior precisão, nós diremos que os eventos A e B são independentes se

Se a probabilidade incondicional da ocorrência de A é igual a e , então nós não sabemos de mais nada sobre a ocorrência de A depois de nos é dado a informação de que B ocorreu (ou de que B não ocorreu) do que o que já sabíamos antes dessa informação. Sendo

Segue que , se A e B são independentes. Nós iremos utilizar essa equação para nossa definição de independência entre os eventos A e B, dada na seguinte definição Definição 2.7.1. Dois eventos A e B são independentes se e somente se

. ∎ Independência é uma relação simétrica. Se , então

e ; você também pode verificar que se A e B são independentes, então também o são A e , e B, assim como também e .

Exemplo 2.7.1. Assuma que os números dados na tabela 2.7.1 da as probabilidades de indivíduos selecionados aleatoriamente.

Canceroso Não canceroso

Fumante 0,5 0,2 Não fumante 0,1 0,2

Seja A o evento de que o individuo selecionado é fumante e B seja o evento de que o individuo selecionado seja canceroso, então

; ; E

. Desde que

;

Nós vimos que , assim A e B não são independentes. ∎ Exemplo 2.7.2. Se 2 dados honestos são rolados uma vez, mostre que os 2 eventos

A : A soma dos dois dados é 7. B : Os dois dados tem o mesmo número.

Não são independentes. Como visto anteriormente, ; ,

assim , a qual não é . Então os 2 eventos não são independentes.

∎ A definição de independência e de eventos mutuamente excludentes são freqüentemente confundidas. Os dois conceitos não são a mesma coisa, como nós poderemos ver no seguinte teorema. Teorema 2.7.1. Assuma que e . Então isso implica que A e B são independentes e não são mutuamente excludentes, e A e B mutuamente excludentes implica que A e B não são independentes. Prova: Suponha que A e B são independentes. Então

, desde que e . Então eles não são mutuamente excludentes. Agora suponha que A e B são mutuamente excludentes. Então e . Mas desde que e ,

então eles não são independentes. ∎ A independência de três eventos é definida a seguir. Definição 2.7.2. A, B e C são independentes se e somente se:

1. 2. 3.

4. . ∎

Muitos exemplos podem ser dados para mostrar que as três primeiras condições satisfeitas, não implica que a quarta condição o será, e vice versa. O seguinte exemplo satisfaz as três primeiras condições mas não a quarta. Exemplo 2.7.3. assuma que um dado honesto é lançado duas vezes e defina os três seguintes eventos.

A : Cara no primeiro lançamento. B : Cara no segundo lançamento C : Mesma face em ambos os lançamentos.

Então nós podemos facilmente ver que P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 e que

, assim as equações 1, 2, e 3 da definição 2.7.2

são satisfeitas; A, B e C são chamados de eventos independentes par a par. Mas desde que

,

A equação (4) não é satisfeita e então os eventos não são independentes. ∎ Os n eventos são inteiramente mutuamente independentes se e somente se para dois eventos quaisquer, e

para três eventos quaisquer, e assim por

diante até que Então para provar a independência de n eventos nós temos que verificar

equações separadamente. O uso real da

independência de eventos na probabilidade é para a área de intersecção entre os eventos. Garantido que n eventos são independentes, a probabilidade de intersecção de alguns deles é dada pelo produto das probabilidades incondicionais dos eventos envolvidos na intersecção.

Exemplo 2.7.4. De acordo com uma tabela de mortalidade em 1958, a probabilidade de que uma pessoa com 20 anos naquele ano viver até os 65 anos (ou mais) era de 0,704. Se nós assumirmos que três amigos de 20 anos, cada, irão alcançar a idade de 65 anos (ou não) independentemente, nós poderemos calcular a probabilidade de algum evento definido como sendo, os três ou alguns dos três amigos alcançam ou não a idade de 65 anos (ou mais). Talvez o caminho mais imediato para a solução seja adotar um espaço amostral S com 3-uplas como elementos, as três posições correspondendo aos 3 amigos; onde cada elemento de cada 3-upla é sim y ou não n (para pessoa que vivem 65 anos ou mais o y, e para as que não vivem o n). Então nós assumimos que a probabilidade de y ocorrer para cada pessoa separadamente é 0,704 e a probabilidade de n ocorrer para uma pessoa separadamente é 1 – 0,704 = 0,296; a hipótese de independência nos leva a calcular a probabilidade de cada uma das 3-uplas de S, multiplicando as probabilidades de cada um dos componentes da 3-uplas. Então

e assim por diante. Note que varias das 3-uplas estão fornecendo a mesma probabilidade de ocorrência. A probabilidade de que exatamente dois dos três estejam vivos nos seus aniversários de 65 anos é

e a probabilidade de que apenas um esteja vivo no seu aniversario de 65 anos é

∎

O método utilizado para atribuir as probabilidades no exercício 2.7.4 é usado freqüentemente em muitas aplicações. Note que nós podíamos ter definido

como o espaço amostral para cada individuo, y indicando que a pessoa esta viva com a idade de 65 anos e n indicando que ela não esta viva. Nosso espaço amostral para os três indivíduos é o produto cartesiano de :

Além disso, poderíamos muito bem definir a função probabilidade para cada um dos três individuais

espaços amostrais e então a função probabilidade para é dada por para todo . A função probabilidade para os eventos simples pertencentes a S é o produto dos valores da função probabilidade para os eventos simples de . Esse trabalho é realizado, naturalmente, porque nós assumimos que o mesmo espaço amostral era apropriado para cada um deles, e que cada um deles poderia ou não ultrapassar a idade de 65 anos independentemente. Esse é um exemplo de um experimento com ensaios independentes com mesma função probabilidade. Não é necessário que a mesma função probabilidade seja usada para cada um dos indivíduos, como será mostrado na definição seguinte. O aspecto importante é que a multiplicação é apropriada para encontrar a probabilidade para cada um dos eventos simples. Definição 2.7.3. Um experimento com espaço amostral S consiste de n ensaios independentes se e somente se

(a) S é o produto cartesiano de n conjuntos

(b) A probabilidade de cada evento simples {( é o produto da probabilidade dos apropriados eventos simples definidos em ; que é

onde são as probabilidades para , respectivamente. ∎

Nota-se imediatamente que um experimento que consiste de n ensaios independentes tem n-uplas como elementos desse espaço amostral. Além disso, as probabilidades de eventos simples são encontradas de uma maneira especial; essa maneira especial de fato é dada por um método fácil de se calcular muitas probabilidades. Exemplo 2.7.5. Uma rede varejista de rádio e televisão recebe uma encomenda de cinco rádios de um fabricante. Sabe-se de experiências passadas que 90% dos rádios recebidos desse fabricante funcionam corretamente quando testados na primeira vez; e que 10% deles necessitam de algum reparo depois de algum tempo trabalhando corretamente. Vamos discutir um experimento que consiste em checar quantos dos cinco rádios trabalham corretamente. Nós assumiremos que cada radio esta perfeito (chamaremos de n) ou defeituoso d. Então um simples experimento que consiste em checar os rádios individualmente poderá ter o seguinte espaço amostral

Baseado nas informações históricas dadas, nós podemos assumir que

O experimento que consiste em checar os cinco rádios poderá ter o espaço amostral

. Além disso, os rádios são individualmente separados como entidades físicas que são, então é razoável que a ocorrência ou não de defeitos serão independentes. Ou seja, nós temos um experimento que consiste de ensaios independentes. Então usando a lista mencionada na definição 2.7.3, nós podemos encontrar a probabilidade dos eventos simples de S simplesmente multiplicando as probabilidades de observações nos resultados do experimento individualmente. Por exemplo,

e assim por diante. Desde que as probabilidades dos eventos simples sejam conhecidas, naturalmente, nós poderemos calcular as probabilidades de algum outro evento de interesse. ∎ Exemplo 2.7.6. Uma prova é anunciada de surpresa no inicio de uma aula de uma turma de psicologia. A prova tem 10 questões. As seis primeiras são do tipo verdadeiro ou falso, assim apenas duas escolhas podem ser feitas. As demais

questões são do tipo múltipla escolha, cada uma das questões tem quatro opções (a, b, c, ou d). Suely chega na aula completamente despreparada para a prova, ela não tinha tido tempo de estudar e não sabe nada de nada. Se nós considerarmos o “experimento” definido como sendo o resultado que Suely conseguirá nesse teste, nós podemos definir

Onde c representa a resposta certa e e representa a resposta errada, então o espaço amostral é simplesmente

. Além do mais, se ela esta despreparada para todas as questões, nós teremos

porque ela tem igual chance de selecionar alguma das possíveis respostas. Igualmente, se ela esta despreparada, quando ela acerta ou erra em alguma questão isso não afeta o resultado de uma outra questão qualquer, assim a probabilidade de um evento simples pertencente a S é o produto das probabilidades dos dez números, sendo essa a resposta apropriada para a probabilidade da 10-upla considerada. Por exemplo, a probabilidade de que todas

as 10 questões estejam certas é , e a probabilidade de que ela erre as 10

questões é . A probabilidade de que ela acerte todas as questões pares e

erre as impares é . Suponha que ela só passe na

matéria se ela acerta no mínimo 5 questões da seis primeiras (verdadeira ou falsa) e 3 questões de múltipla escolha. Então a probabilidade de que ela passe é a união de quatro eventos mutuamente exclusivos A1 : acertar 5 questões verdadeiro-falso e 3 múltiplas escolhas A2 : acertar 6 questões verdadeiro-falso e 3 múltiplas escolhas A3 : acertar 5 questões verdadeiro-falso e 4 múltiplas escolhas A4 : acertar 6 questões verdadeiro-falso e 4 múltiplas escolhas Você pode verificar (use as técnicas de contagem que você aprendeu) que

Então a probabilidade de ela passar é

Ela poderia ter uma maior probabilidade de passar se estudasse e estivesse preparada para suas provas. ∎ EXERCÍCIOS 2.7

1. Uma moeda honesta é lançada 2 vezes. São os 2 eventos

A: uma cara ocorre no primeiro lançamento B: uma cara ocorre no segundo lançamento

independentes?

2. Uma moeda honesta é lançada duas vezes. Seja A o evento uma cara ocorre no primeiro lançamento e seja B o evento onde a mesma face não ocorre nos dois lançamentos. São A e B eventos independentes?

3. Uma urna contem 4 bolas numeradas 1, 2, 3 e 4. Duas bolas são retiradas sem reposição. Seja o evento A a primeira bola é 1 e seja o evento B a segunda bola é 1. São A e B eventos independentes?

4. No exercício 2.7.3, se as bolas forem retiradas com reposição, os eventos A e B são independentes?

5. Um par de dados é lançado uma vez, seja o evento A o primeiro dado é o número 1 e seja o evento B o segundo dado é 6 e seja C o evento a soma dos dados é 7. São os eventos A, B e C independentes?

6. Uma moeda honesta é lançada três vezes. Seja o evento A ocorre cara no primeiro lançamento, seja o evento B pelo menos 2 coroas ocorrem e seja o evento C exatamente uma cara ocorre ou então ocorre coroa, cara, cara. Mostre que esses três eventos satisfazem a equação 4 da definição 2.7.2, mas não satisfazem as equações 1, 2 ou 3.

7. Prove que se A e B são independentes, também serão independentes . 8. O problema de que um certo jogador de futebol tenha probabilidade de 0,7

em fazer um gol em uma cobrança de pênalti. Se em uma seqüencia de 15 penaltis, calcule a probabilidade que ele faça 14 gols. Que hipótese você pode usar para seu calculo de probabilidade?

9. Três jogadores, A, B e C de ping-pong participam de um torneio onde cada um deles jogará uma partida contra o outro (cada jogador jogará apenas duas partidas, o vencedor do torneio é o jogador que vencer as duas partidas, se existir um vencedor) assuma que não pode existir empate em uma partida. Vamos assumir as seguintes probabilidades

Assuma independência entre os eventos, calcule as probabilidades

(a) A é o campeão (b) B é o campeão (c) Ninguém vence o torneio.

10. No exemplo 2.7.5, assuma que 10 rádios são recebidos.

(a) Que espaço amostral você poderia usar para esse experimentos? (b) Qual a probabilidade de que todos eles trabalhem corretamente? (c) Qual é a probabilidade de que pelo menos 9 trabalhem corretamente?

11. Uma loja de departamentos tem em exposição para a venda 1000 lâmpadas, 10 delas são defeituosas. (a) Se você compra 20 dessas lâmpadas, qual é a probabilidade de que

nenhuma delas seja defeituosa? (b) Se você compra 20 dessas lâmpadas, qual a probabilidade de que

exatamente uma seja defeituosa? 12. Em uma manhã um vendedor de livros consegue visitar 16 casas. Se a

probabilidade de que ele realize uma venda em uma casa é 0,1, qual é a probabilidade de que ele realize exatamente uma venda durante a manhã?

13. Um estudante esta cursando 4 disciplina em uma faculdade, e que a probabilidade de que ele consiga um média final maior que 8,0 é 0,2; 0,5; 0,1 e 0,7 respectivamente para cada curso. (a) Qual a probabilidade de que ele tire média maior que 8,0 em todos os

cursos? (b) Qual a probabilidade de que ele tire média maior que 8,0 em exatamente

3 desses cursos? Você pode fazer alguma critica na maneira que você usou para resolver esse problema?

14. Para cada um desses três estudantes é dado o mesmo problema para que eles resolvam separadamente João, Hugo e Raquel. A probabilidade de que cada um deles responda o problema é 0,8; 0,7 e 0,6 respectivamente. (a) Qual a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema? (b) Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? (por um ou mais

de um deles) (c) Garantido que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que

tenha sido resolvido apenas por Raquel?

2.8 Espaço Amostrais Discretos e Contínuos

Em muitos casos os elementos do espaço amostral são números reais. por exemplo, se nosso experimento consiste em uma corrida de 100 metros com seis corredores competindo, os elementos de nosso espaço amostral poderiam ser o tempo que o vencedor da corrida levou para completar a prova. Ou se nós rolarmos um par de dados uma vez, os elementos de S poderiam ser os possíveis valores da soma dos dois dados. Se um estudante faz uma prova de probabilidade os elementos do espaço amostral poderá ser a nota que ele tira. Nós somos forçados a distinguir entre dois tipos diferentes de elementos de um espaço amostral com números reais, isso porque eles necessitam de dois métodos diferentes para que se encontre a probabilidade de eventos associados ao

espaço amostral. O primeiro tipo que nós iremos discutir é chamado de espaço amostral discreto. Definição 2.8.1. Um espaço amostral S é chamado de discreto se nenhum intervalo de tamanho finito na linha dos reais contiver um número infinito de elementos de S ∎ Exemplos de espaços amostrais discretos são

Um espaço amostral discreto pode conter um número finito ou infinito de elementos. Os elementos de um espaço amostral discreto são pontos isolados na linha dos reais; existem outros pontos na linha real, entre dois dos elementos de S, porém eles não pertencem a S. Existem, conjuntos de pontos que possuem essa propriedade, porém eles não estão incluídos em nossa definição de um conjunto discreto, por exemplo os conjuntos que contém seqüencias convergentes. Então o

conjunto consiste de pontos isolados na linha dos reais, mas

não é discreta porque o intervalo de 0 até 1 inclui um infinito número desses elementos. É possível que um evento A seja formado por uma união infinita de eventos mutuamente excludentes (geralmente de varias maneiras), quando trabalhamos com espaços amostrais infinitos. Para evitar possíveis ambigüidades no cálculo de probabilidades para um evento, nós ampliar o axioma 3, dizendo

Esse é chamado de axioma da aditividade contável, declarando que se A é a união de um infinito número de eventos mutuamentes excludentes, então

, o valor de P(A) deve ser o limite da soma parcial da série infinita .

Espaços amostrais discretos são bastantes significativos para especificar as probabilidades de eventos simples. Probabilidades para algum outro evento (subconjunto de S) então são dados pela soma das probabilidades dos eventos simples que unidos o compõem. Naturalmente se S tem um infinito número de elementos, nós seremos forçados a usar algum tipo de lista que especifique as probabilidades dos eventos simples para um , isso porque nós não podemos construir uma tabela infinita listando as probabilidades individuais. Então deve ser verdade que .

Um tipo de cálculo de probabilidade para eventos simples que frequentemente ocorre é um onde é empregado séries geométricas, ou a derivada da série. Recorde que

,

e então se ,

Então, se ,

O qual nós escreveremos como

Subtraindo o primeiro termo dessa série (o qual é 1), nós temos

Agora calculando a derivada dessa série; que é,

A qual deve ser a mesma da derivada de

Então nós temos

Igualando a k-ésima derivada de com a k-ésima derivada de 1/(1-r) podemos mostrar que

Isso para . Essa série geométrica será muito útil em nosso estudo. O seguinte exemplo usa essa série geométrica para calcular a probabilidade dos eventos simples.

Exemplo 2.8.1. Uma moeda honesta é lançada até que ocorra um cara. Como espaço amostral nós usaremos

S = {1, 2, 3, 4, . . . } O conjunto dos inteiros positivos, onde fornece o número de lançamentos necessários até o que tenha ocorrido a primeira cara (1 significa que a cara ocorreu logo no primeiro lançamento, 2 que a cara só ocorreu no segundo lançamento e assim por diante). Garantido que a moeda é honesta, podemos

admitir que 1})= , o evento {2} ocorre se e somente se uma coroa tiver

ocorrido no primeiro lançamento e a cara tiver ocorrido no segundo lançamento. Assumindo que os resultados dos lançamentos são independentes, podemos

calcular , da mesma maneira o evento {3} só ocorre se tiver

ocorrido uma coroa no primeiro lançamento e uma coroa no segundo lançamento e

uma cara no terceiro lançamento; assim podemos calcular que ,

O padrão parece ser claro. O fato de que a moeda é honesta e que os lançamentos são independentes leva para o seguinte raciocínio

Fazer essa afirmação satisfaz ao axioma 1? Recordando a série geométrica discutida anteriormente,

E nós podemos ver que o axioma 1 foi satisfeito. Probabilidades de eventos são novamente encontradas somando probabilidades de eventos simples. Então se A é o evento definido como, são necessários no máximo 4 lançamentos para que ocorra a primeira cara e B é o evento a primeira cara ocorre com um número par de lançamentos, nós temos

∎

Exemplo 2.8.2. Suponha que nós selecionamos um número aleatório de inteiros positivos. Qual é a probabilidade de que ele seja par? O espaço amostral para esse experimento é

Assim S é discreto. Se nós selecionarmos um inteiro aleatoriamente, então cada evento simples terá a mesma probabilidade. Obviamente, não poderemos calcular a probabilidade para cada evento simples. Não importa o quanto seja pequeno o valor dessa probabilidade, a soma das probabilidades dos eventos simples é infinita. Suponha que nós afirmemos

Então

E essa soma diverge, não importa o quão p esteja próximo de zero. Dessa forma pode parecer que não existe nenhum caminho no qual nós possamos descrever satisfatoriamente esse experimento. Essa conclusão esta correta porque, depois de uma pequena reflexão, nós podemos admitir que verdadeiramente não existe nenhuma maneira de realizarmos esse experimento. É impossível selecionar um inteiro aleatoriamente do conjunto de inteiros positivos. O experimento em sua própria realização não faz nenhum sentido; isso porque nós não podemos descreve-lo. A despeito do que foi dito anteriormente, é razoável dar como sendo ½ a probabilidade de selecionarmos um número par levando em conta que o total de números seja par. Essa conclusão baseia-se no seguinte raciocínio, se nós vamos selecionar aleatoriamente um inteiro do conjunto {1, 2, 3, . . . , M} onde M é muito grande, a probabilidade de que um número seja par é ½ ser M for par e ½ - [1/(2M)] se M for impar. Em um ou outro caso a resposta é ½, como M cresce e cresce, ele caminha para ser ½ (para M par ou para M impar ambos são ½). ∎ O segundo tipo de espaço amostral com números reais frequentemente usado é chamado de contínuo. Nós iremos defini-lo da seguinte maneira. Definição 2.8.2. Um espaço amostral S que tem como elementos todos os pontos em um intervalo, ou todos os pontos na união de intervalos na linha dos reais é chamado contínuo. ∎ Conjuntos como

São chamados de contínuos. Um espaço amostral contínuo sempre tem um número infinito de elementos. Além disso, se , então todos os pontos entre x e y também pertencem a S. Existem “mais” pontos em algum intervalo contínuo do que existem inteiros. Então para um espaço amostral contínuo é dito que ele

contém um incontável ou não enumerável número de pontos. Consequentemente, nós somos forçados a afirmar que a probabilidade de ocorrência de um ponto individual em S é zero; se nós não assim o fizermos, não será possível satisfazer o primeiro axioma, P(S) = 1. Então em espaços amostrais contínuos nós em geral não estaremos aptos a calcular a probabilidade de um evento A através da soma das probabilidades dos eventos simples (pontos) que são os subconjuntos de A. O que, então, devemos fazer para especificar a probabilidade de eventos quando nós temos espaços amostrais contínuos? A medida chamada de tamanho de uma linha usada em geometria é um familiar exemplo do que conceitualmente poderíamos dizer que é similar a função probabilidade de um espaço amostral S. Recorde que o tamanho de uma linha é uma lista com números associados a ela (chamada de tamanho de uma linha) através de intervalos na linha dos números reais. Recorde também que o tamanho de um único ponto na linha dos reais é igual a zero, então o tamanho do intervalo entre 0 e 1, não é obtido através da soma dos tamanhos dos pontos individuais entre 0 e 1. Da mesma maneira que a medida tamanho, a função probabilidade para espaços amostrais contínuos S irá ser uma lista de números associados (chamados de probabilidades) a intervalos que são subconjuntos de S. Em espaços amostrais discretos, finitos ou infinitos, todos os subconjuntos de S são eventos e nós podemos consistentemente calcular a probabilidade de qualquer evento pela soma dos eventos simples. Se S é contínuo, existem razões técnicas que não permitem que todos os subconjuntos de S sejam eventos. Todos os intervalos que são subconjuntos de S, e algumas uniões e intersecções desses intervalos, são eventos (e nós podemos encontrar a probabilidade deles), assim essas restrinções técnicas realmente não irão limitar ou nossa capacidade de resolver problemas práticos. Existem naturalmente, muitos caminhos de atribuirmos números para intervalos que irão satisfazer os axiomas e podemos então usar as funções probabilidades. Um das mais simples maneiras de fazer isso é simplesmente usar o tamanho dos intervalos. Por exemplo, suponha que nosso espaço amostral consiste de todos os pontos no intervalo entre a e b incluídos, onde a < b; a e b, um ou outro ou ambos, podem ser números negativos ou positivos. Então nós temos

Seja L(A) representar o tamanho do intervalo A onde e se A é a união de intervalos que não se interceptam e que são subconjuntos de S, temos que L(A) é a soma dos tamanhos dos intervalos. Então a regra

Satisfaz os axiomas para uma função probabilidade. É fácil verificar a verdade

dessa afirmação; essa regra dar que , assim o primeiro axioma é

satisfeito. Porque o tamanho de qualquer intervalo é sempre positivo, nós temos

Assim o axioma 2 foi satisfeito. Se são intervalos que não se interceptam e cada um deles é um subconjunto de S. nós definimos que

E então

assim o axioma 3 é também satisfeito. Desde que o tamanho de um ponto é zero, essa regra também fornece que P(A) = 0 se A = {x}, , sendo A um evento simples. É muito útil pensar geometricamente através dessa regra para encontrarmos as probabilidades por meio dos intervalos.

, assim o divisor da razão é b – a. Definimos a função de uma variável real

O gráfico da função esta mostrado na figura 2.8.1 com 0 < a < b, como foi dito anteriormente a ou b, ou ambos podem ser negativos. Então a área total entre f(x) e o eixo x é (b – a)[1/(b – a)] = 1, que pode ser descrita como a área total abaixo de f(x) e que é 1. Agora seja algum intervalo, como o mostrado na figura 2.8.2, onde a < c < d < b. então a área abaixo de f(x) sobre o intervalo A é de fato (d – c)/(b – a) = L(A)/L(S) = P(A). Essa regra que encontra as probabilidades para os intervalos, de acordo com os tamanhos desses intervalos, também pode ser pensada como probabilidades encontradas calculando-se a área sobre o intervalo e abaixo da função constante f(x) = 1/(b – a). (naturalmente são equivalentes, porque a área abaixo da função constante é 1/(b – a) vezes o tamanho do intervalo). A área total abaixo de f(x) deve ser 1 já que P(S) = (b – a)/(b – a) = 1.

f(x)

1/(b – a)

a b x

Figura 2.8.1

f(x)

1/(b – a)

a c d b x

Figura 2.8.2

A regra para calcular a P(A) por , tem uma propriedade

interessante. Se é duas vezes maior que , então , isso implica naturalmente em ; o que é dizer que o evento B é duas vezes mais provável de acontecer do que o evento A. Isso também é verdade para os espaços amostrais discretos equiprováveis. Se S é equiprovável (e então S deve ser finito) e o evento contém duas vezes mais elementos do que o evento , então é verdade para essa regra que . Por essa razão um experimento com um espaço amostral contínuo tem função probabilidade definida por

e é frequentemente chamado (de forma descuidade) de “resultados igualmente prováveis” (também é chamado de lei da probabilidade uniforme). Em casos contínuos isso é mais acertadamente chamado de espaço amostral com intervalos igualmente prováveis, com a probabilidade que é encontrada para o intervalo depender apenas de seu tamanho e não de onde ele encontra-se dentro de S.

Exemplo 2.8.3. Douglas é um menino de 2 anos de idade. Do histórico de sua família torna-se plausível assumir que sua altura quando ele ficar adulto será algo em torno de 1,75 m e 1,88 m. Fazendo essa hipótese, qual é a probabilidade de que ele tenha no mínimo 1,83 m quando estiver adulto? Qual é a probabilidade de que quando estiver adulto sua altura esteja entre 1,78 m e 1,80 m?

Nós vamos usar como espaço amostral

onde pela nossa hipótese essas seriam as alturas mínimas e máximas quando o menino se torna-se adulto. Vamos definir

Então

e nós temos

∎ Exemplo 2.8.4. Assuma que você pegou o metrô próximo a sua casa na estação Mangueira com destino a estação Rodoviária. Esses trens têm os seguintes horários de partida 7:00 hs., 7:13 hs., 7:20 hs., 7:25 hs., 7:32 hs., 7:45 hs. e 7:55 hs. Você tem como hábito pegar o primeiro trem que chegar na estação após você nela se encontrar. Para chegar a estação do metrô você pega um ônibus que o leva até ela, devido ao trafégo e aos seus caprichos, você sempre chega ao metrô entre 7:15 hs. e 7:45 hs. Em um determinado dia, qual é a probabilidade de você espere menos que 5 minutos na estação? E menos que 10 minutos? Suponha que entre 7:25 hs. e 7:45 hs. os trens são expressos. Qual a probabilidade de que você pegue um trem expresso em um dia qualquer? Vamos por conveniência, formar nosso espaço amostral

Onde os elementos de S são os minutos depois das 7:15 hs. que você leva até chegar a estação. (veja a figura 2.8.3.) vamos definir os seguintes eventos

A: você espera menos que 5 minutos B: você espera menos que 10 minutos C: você pega um trem expresso.

Então

f(x) 1/30

0 10 20 30 x P(A)

f(x) 1/30

0 10 20 30 x P(B)

f(x) 1/30

0 10 20 30 x P(C)

Figura 2.8.3 e

então

∎ Como iremos ver no capitulo 3, probabilidades para eventos definidos em espaços amostrais contínuos, são encontradas calculando-se as áreas abaixo da função f(x) acima do intervalo em que a probabilidade esta sendo avaliada. Não é necessário naturalmente, que f(x) seja constante para todo valor de . Se ele não é constante, então as probabilidades de eventos (intervalos) de iguais tamanhos não são necessariamente iguais. As circunstancias nas quais controlamos o experimento realizado é que ditam o tipo de função que será usada para calcular as áreas acima dos intervalos. Na realidade, naturalmente, todos os instrumentos de medição tem uma precisão finita, o que é a mesma coisa de verdadeiramente não podermos distinguir todos os pontos separados na linha dos números reais. Por exemplo, se nós temos que S é o espaço amostral para o tempo do vencedor, digamos, de uma corrida de 100 metros rasos entre seis corredores, cada um deles representando uma universidade, então

Com as medições feitas em segundos, podemos certamente medir o tempo do vencedor. Com toda tecnologia existente hoje em dia, o tempo pode ser medido até em centésimos de segundos (é discutível se essa medição é bastante acurada), então o tempo do vencedor pode ser, digamos 9,47 segundos ou então 9,48 segundos, mas nenhum dos tempos possíveis entre esses dois números poderá ser medido (como sendo o tempo do vencedor). Portanto alguém pode sugerir que o espaço amostral para esse experimento poderia ser S = {5,00; 5,01; 5,02; 5,03; . . .

14,98; 14,99; 15,00}, usando assim as 1001 possíveis posições (cada 1 segundo dividido em 100 partes) que podem ser lidas entre 5 e 15 segundos. Isso de fato pode ser feito, porém é consideravelmente fácil idealizar a situação em que todos os pontos do intervalo podem ocorrer e então usar técnicas contínuas (probabilidades representadas por áreas) para definirmos a função probabilidade. Ainda mais que, além da facilidade do uso das técnicas contínuas, sua aproximação pode ser feita tão acurada quanto nós assim desejarmos, isso se comparada com o espaço amostral discreto sugerido que é limitado pela acuracia dos dispositivos de medição utilizados para contar o tempo. EXERCÍCIOS 2.8

1. Um dado honesto é lançado até que ocorra o número 1. Calcule a probabilidade de que: (a) Dez lançamentos sejam necessários (b) Menos que 4 lançamentos sejam necessários (c) Um número impar de lançamentos sejam necessários.

2. Um par de dados honestos é lançado até que o número 7 ocorra (a soma dos dois dados). calcule a probabilidade de que (a) Dois lançamentos sejam necessários (b) Um número para de lançamentos sejam necessários.

3. Você atira com um rifle em um alvo até que você acerte o alvo. Assuma que a probabilidade de acertar o alvo é de 0,9 para cada tiro, e que cada tiro é independente um do outro. Calcule a probabilidade de que: (a) Mais que dois tiros sejam necessários (b) O número de tiros seja um múltiplo de 3.

4. Hugo faz uma prova escrita para tirar carteira de motorista, ele irá repetir essa prova até que ele passe nela. Assuma que a probabilidade de que ele passe em uma prova é de 0,1; e que as provas são independentes uma das outras. Calcule a probabilidade de que: (a) Ele realize mais de 4 tentativas (b) Que ele realize mais de 10 tentativas.

5. Um semáforo na rota que você percorre todo dia volta a ficar verde depois de quatro minutos, fica vermelho por 1 minuto e retorna ao verde novamente (então ele fica verde durante 3 minutos e vermelho durante 1 minuto e continua assim durante o dia todo), com o vermelho iniciando nas horas fechadas em todas as horas (0:00; 1:00; 2:00; . . . ; 23:00; 24:00.). (a) Se você chega a um sinal em um instante aleatório entre 7:55 hs. e 8:05

hs. qual a probabilidade de que você tenha que parar no sinal? (b) Se você chegar ao sinal no horário aleatório entre 7:54 hs e 8:04 hs. qual

a probabilidade de que você tenha que parar no sinal? 6. A tomada de um relógio elétrico é puxada em algum instante

aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que o mostrador dos segundos na segunda casa decimal estivesse entre 4 e 5 segundos? Entre 1 e 2? E entre 1 e 6?

7. Um ponto é escolhido aleatoriamente entre 0 e 1 no eixo dos x em um plano cartesiano (x,y). Um círculo centrado na origem (0,0) é desenhado no plano, com o raio determinado pelo ponto escolhido. Calcule a probabilidade de que a área do circulo seja menor que 𝜋/2.

8. Uma régua de 30 cm é quebrada em dois pedaços em um ponto aleatório. Qual é a probabilidade de que o pedaço maior seja no mínimo duas vezes maior do que o pedaço menor?

9. O jogo do diferente perde, é jogado por 3 pessoas, cada uma delas lança uma moeda simultaneamente, se uma das faces for diferente das outras o jogador que lançou aquela moeda perde o jogo. (a) Qual a probabilidade de que exista um perdedor em uma rodada,

assumindo que as três moedas são honestas? (b) Se não existe um diferente no primeiro lançamento, as moedas são

jogadas novamente, até que ocorra um perdedor. Qual é a probabilidade de que um número par de lançamentos seja necessário para se determinar um perdedor?

10. Responda o exercício 2.8.9 assumindo que quatro pessoas estão jogando (aqui três pessoas devem igualar e uma ser diferente).

11. Responda o exercício 2.8.9 assumindo que n pessoas estão jogando (n-1 devem igualar). Esse jogo parece ser viável com um n muito grande?

12. Para um espaço amostral contínuo discutido no exemplo 2.8.3, assuma que as probabilidades são dadas para os intervalos pelas áreas entre f(x) e o eixo dos x, onde f(x) esta desenhado a seguir. Responda as questões feitas no exemplo, para esse caso.

f(x)

2/5

0 69 71,5 74 x

13. Para o espaço amostral contínuo discutido no exemplo 2.8.4, assuma que as probabilidades são determinadas para os intervalos pela área entre f(x) e o eixo dos x, onde f(x) está desenhado na figura seguinte. Responda as questões do exemplo 2.8.4 para esse caso.

f(x)

1/15

0 15 30 x

2.9 Sumário Espaço amostral: coleção de todos os possíveis resultados de um experimento Evento: um subconjunto do espaço amostral Eventos mutuamente excludentes: Probabilidade de um evento: número real associado com o evento para representar a freqüência relativa de ocorrência do evento. Axiomas da probabilidade

1. 2. para qualquer evento 3.

Conseqüências:

Evento Simples: um evento com apenas um elemento Regra para igualmente prováveis:

Número de permutações de n, r a r

.

Teorema binomial:

Probabilidade condicional:

Partição:

Teorema de Bayes:

Eventos independentes: Espaço amostral discreto: espaço amostral com elementos reais em que nenhum intervalo de tamanho finito contenha um infinito número de elementos. Séries geométricas:

Derivadas das séries geométricas:

Espaço amostral contínuo: possui todos os pontos dentro de um intervalo, ou uniões de intervalos dentro da linha dos reais.