Péricles Brasiliense Fusco

ESTRUTURAS DE CONCRETO SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS

Esforços Solicítantes

Forças Cortantes

Torção

Tensões em Regime Elástico

Seções Abertas e Seções Fechadas

Analogias de Treliça

Oimensionamento em Regime de Ruptura

Peças de Concreto Armado

Peças de Concreto Protendido

Lajes com e sem Armadura de Cisalhamento

Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco

E n p n l i e i r o Ciwit • Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2

Engenhei ro N a v a ! - EPUSP - 1 9 6 0

Doutor e m E n g e n h a r i a - EPUSP - 1 9 6 8

Livjre-Do cento - EPUSP - 1 9 7 5

Professor t i tu lar - EPUSP - 1 9 8 0

Coordenador das áreas "Sistemas Estruturais de Concreto" e "Análise Exper imental de Estruturas" do Departamento de Engenharia e Estruturas e Fundações da EPUSP

Fundador e D i re to r do Labora tá rio de Estruturas e Mater ia is Estruturais da EPUSP

Or ientou 19 dissertações de mestrado c 17 do doutorado.

Pro je t is ta de e s t r u t u r a s cie c o n c r e t o , tendo participado do projeto de grandes obras rea lçadas no País durante os últ imos 2 5 anos, nas áreas de edifícios altos, indústrias pesadas, pontes e usinas.

ESTRUTURAS UE CONCRETO SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

Estruturas de concreto: solicitações tangenciais

©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA.

Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida,

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP> (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Fusco, Péricles Brag iliensí? Estruturas de concreto : solicitações

tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco,

ISBN 979-85-7266-208-6

1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas 3, Estruturas de concreto armado I, Título,

08-06331 CDD-624,1334

índice para catáloga sistemático: 1. Estruturas de concreto armado : Solicitações

tangenciais : Engenharia estrutural 624 ,1834

Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha Díagramação: Maurício Luiz Aires Revisão: Andréa Marques Camargo

Editora Píni Lida, Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427 www.piniweb.com - manuals@plni,com.br 1» edição 1a tiragem; 2.000 exemplares, set/2GG8

Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concre-to estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças cortantes e momento de torção.

Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diago-nais comprimidas de concreto e por armaduras transversa-is tracionadas, e, no caso da torção, também por armadu-ras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas de concreto usualmente devem atravessar regiões fissur-adas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma aleatória a resistência do concreto à compressão. É por essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o co-lapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade de ocorrência de estados limites últimos de solicitações tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de estados limites últimos de solicitações normais, devidos a escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem provocar físsuração Suficientemente intensa para servir de advertência da proximidade de possíveis situações de eminência de colapso.

A resistência adequada aos esforços tangenciais depende essencialmente de um correto detalhamento das armadu-ras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação das quantidades de armaduras necessárias para essa re-sistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do deta-lhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini,

Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o entendimento completo das coisas somente é obtido pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida com as estruturas das sociedades humanas, em todos os seus sentidos.

P É R I C L E S B R A S t L I E N S E F U S C O P r o f e s s o r T i t u l a r d a E s c o l a P o l i t é c n i c a d a U n i v e r s i d a d e d e S ã o P a u l o

São Paulo 30/5/2008

1" PARTE - C O N C E I T O S B Á S I C O S S O B R E C I S A L H A M E N T O

CAPÍTULO 1

TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO 12

1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 12

1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 14

1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 19

1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 26

1.5 Tensões principais 29

1.6 Natureza simplificada da teoria 31

CAPÍTULO 2

FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS 34

2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 34

2.2 O conceito cie força cortante reduzida 39

2.3 Cisalhamento na flexão composta 42

24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado... „„„„„„.47

2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 51

2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido 54

2.7 Vigas protendides com cabos inclinados. 57

CAPÍTULO 3

ANÁLISE ESTRUTUAL - DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES -EXEMPLOS 64

3.1 Critérios de classificação das ações ....64

3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 68

3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas;

FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma

natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço .71

3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas;

Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c

duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas

fundamentais e duas combinações de serviço 74

3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com

carregamento alternado , 77

3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida

a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis 80 3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão

simples c composta; Combinação principal e combinação secundária 85

3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida

a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado; Combinação principal e combinação secundária 9C

CAPÍTULO 4 VIGAS DE CONCRETO ARMADO 96

4.1 Modelo resistente de treliça 96

4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça 99

4.3 Modos de ruptura 102

4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais 106

4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais 108

4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça .. 108

4.7 Funcionamento de estribos inclinados 112

4.8 Funcionamento de barras dobradas 113

CAPÍTULO 5

ANALOGIAS DE TRELIÇA 116

5.1 Analogia da treliça clássica 116

5.2 Treliça clássica com armadura vertical 120

5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada 127

5.4 Analogia generalizada da treliça 133

5.5 Tensões na armadura transversal 135

5.6 Tensões nas bielas diagonais 138

5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão 139

CAPITULO 6

PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO 142

6.1 Tensões na armadura transversal 142

6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido, 144

6.3 Tensões nas bielas diagonais 146

6.4 Eficiência dos estribos inclinados 150

6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas 151

6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas 153

6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão 15®

6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 161

6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,, 16?

CAPÍTULO 7 PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO 170

7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento ..170

7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento 174

7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,, 180

7.4 Outra s i nvestigações experimentais 191

7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,... 194

7.6 Cisalhamento na flexo-tração .199

7.7 Cisalhamento na flexo-compressão 202

CAPÍTULO 8

PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO 206

8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais 206

8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido 210

8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos 214

8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento, 215

8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal 222

8.6 Vigas com cabos Inclinados ........ 226

CAPÍTULO 9 REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO . . 230

9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento 230 9.2 Peças com armadura de cisalhamento . 232

» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O

CAPÍTULO 10

TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA 246

10.1 Garras de seção circular 246

10.2 Analogia da membrana .„... . . . 249

10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 251

10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas ,..,, 256

10.5 Seções abertas de parede delgada 256 10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas 260 10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria 261

10.8 Exemplo importante 263

10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer 265

CAPÍTULO 11

TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 268

11.1 Tensões .. 268

11.2 Rigidez 272

11.3 Analogia da membrana 274

11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada.... 276

11.5 Exemplo 282

11.6 Seções parcialmente fechadas 287

11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada 289

11.8 Seções multicelulares 290

11.9 Exemplo de seção multicelulsr., 293

CAPÍTULO 12

TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL . 298

12.1 Torção em peças de concreto armado 298

12.2 Analogia da treliça espacial .,,.301

12.30 modelo de treliça espacial - .....303

12.4 Rigidez à torção 309

12.5 Torção de peças de concreto protendido 312

CAPÍTULO 13 TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA ,,,..314

13.1 Torção pura - 314

13.2 Tensões nas bielas diagonais .....317

13.3 Tensões na armadura transversal 320

13,4Tensões na armadura longitudinal 322

13.5 Torção composta .....324

13.6 Flexo-torção 326

Ia PA R T E CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO

CAPÍTULO 1 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO

1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples

Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e forças cortantes V Fig. (1.1 -a).

O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig. (1.1-b), deve obedecer às seguintes condições:

lU± = v dx (1.1-1)

dx (1.1-2) ESTRUTURAS W COUCRETO

donde dlM dV

dx dx (1.1-3)

t t t t

M V

M + dM

V + dV

dx Condições tio equilíbrio

Figura (J, J-b)

Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo posi-tivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo.

A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação (1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra.

Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição

já dA = 0 (1.1-4)

em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não impor-tando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento, pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal, como mostra a expressão (1 .1-4).

De fato, como é mostrado na Fig. (1 .1 -c), sendo r a resultante das tensões de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção trans-versal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se

Rc0 +

e, analogamente, na seção de abscissa x+dx ,

(R CQ+d R co ) + (R to +dR (Q.) = 0

estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra.

crc+ dac

i > -, dx

Rco Rco ^ d^o C

6 L —

Rlo+dRt*)

N

dx

Condições ele equilíbrio Figura {). 1-cj

1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante

Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas tre-chos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a).

Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais nas faces de corte longitudinal do elemento.

Vigas da Soçáo Constante Figuro (1,2-o)

Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, im-põe necessariamente as condições

Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se indife-rentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante dessa subdivisão.

Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como

«/k, = <//?,

onde Í!R{ a d | aihi Ay

sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção longitu-dinal considerada, resultando

(IV =cí f <TíIA

* \

Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao lon-go da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se

dV =xbcíx X

logo

I d i =

b dx - jatíA (12-1)

Cisalhamento no piitno longitudinal de corte Figura (12-b)

A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se

ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, por-tanto, desprezável.

A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h depende da forma da seção transversal.

De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das compo-nentes de cisalhamento T e r„„ que agem perpendicularmente à aresta comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b),

Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano longitudi-nal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal.

As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisa-das adiante.

De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso de flexão normal, resulta

1 d cM I d (M t = —y-dA = — - —-5,

bdx j I ' bdx{ I y)

onde / é o momento de inércia da seção transversal e

Sy = | ydA

o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos la-dos do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessas duas áreas parciais. Deste modo, tem-se

/

l

s y d ( SY

f dx 1 / (1.2-2)

No caso em que as seções transversais tenham Sy / / constante ao longo do eixo da barra, resulta

(1,2-3) hl

Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r proporcionalmente a Sy/h. INIos trechos em que a largura b for constante, a variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de uma seção duplo T.

Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T.

Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contor-no imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudi-nal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento

paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda, admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura da aba.

De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalha-mento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que usualmente a função Sy/b assume seu valor máximo. Como exceção impor-tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b ocorre à meia altura da seção.

Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde y = 0, tem-se

JL ~ v ~ V (1-2-4>

sendo

Z~SÜ (1.2-5)

Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x constante ao longo da largura h da fibra considerada.

1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento

Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obri-gatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas a componente de cisalhamento tangente ao contorno.

mm 1 9

Cisalhamento na periferia da saçãa transversal

Figura fI.3-«)

Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes,

Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas ao eixo Y.

Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III - V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha média do elemento,

No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal, essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adian-te apresentado.

Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora an-terior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior que a altura da seção.

Figura (1,3 b)

Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente para-lela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo dessa componente.

Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão (1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado.

Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incóg-nita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas.

Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V),

No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse aberta no eixo de simetria.

No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princí-pio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os de força cortante.

Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é deter-minado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se consi-derar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado no exemplo da Fig. (1.3-c).

Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto figuro (?,3-c)

Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da se-ção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo o momento estático Sy a eles correspondentes.

Figura fl.S-d)

É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados.

Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as ten-sões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as componentes paralelas à linha média do perfil.

Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil Figura (1.3-o)

A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cru-zamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais res-ponsáveis pela ligação da alma à mesa.

As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g).

Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tra-ção ou de compressão, essa distorção tende a zero, pois, no cruzamento da alma com as faces externas da mesa, a tensão t i : é obrigatoriamente nular

em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g),

Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do cru-zamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h). Verifica-se então que as tensões t ; í atuantes no plano longitudinal de corte da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longi-tudinais de corte das abas da mesa.

Note-se que a composição vetorial das tensões zx. e tvv mostradas na Fig. (1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser trans-ferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estru-turas de concreto,

Md 25

Figura f! ,3-g)

t 1 £

t 122

"^xz

Figura (1,3-ty

1.4 Cisalhamento em barras de seção variável

Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser emprega-da a expressão geral (1,2-2), pois nesse caso Syjl varia em função de x ,

Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável, usualmen-te são estudadas apenas as tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2) tem-se

T b A / — f — 0 0 I dx[l ,

logo

Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da seção, admite-se que seja

donde

ou seja

Z=Qt

_V_ A / j / f O V__M_ I dh CA~z + C ttc[h) z C, fr dx

I (y_M_dh^

h dx j baz (1.4-1)

V,

Viges do altura variável Figura ít^-oj

Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a), tem-se

— =—L + — - 3 tany, + tan = tan (V, + lan^ dx dx dx

logo

1 („ M. Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4), atu-ando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por

(1.4-2)

(1.4-3)

sendo então

t 0 = ^ L (1.4-4)

IMa passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas.

Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b).

Influência do variação da seção Figura (J.4-Ò)

Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equi-librar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no trecho de comprimento Ax.

No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um mo-mento fletor constante M , sendo , será Rtl * Rc2, surgindo assim uma componente AH{, embora V = dMjdx = 0 .

Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver* sal, Fig. (1.4-b).

Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que de-termina o valor da força cortante reduzida Vrft!, é tomado o sinal menos {-) quando \M\ e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando cres-cem em sentidos opostos.

1.5 Tensões principais

Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções trans-versais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendi-culares ao plano de tensão nula.

Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig. (1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da ten-são principal menor em relação ao eixo na direção ao qual atua a tensão designada por a v . Nessa figura também é mostrada a determinação das ten-sões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular corrente em que <rh. = 0.

tan a a^-cr, CJ, - Cl

tá h

Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por a J ( e a maior ten-são de compressão por <s„ .

Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn e <sjfk, e os valores de cálculo por Gjd e a„(í, respectivamente.

Estados múltiplas da tvnsóas Figura (!.5-i>)

Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, sub-metida à flexão simples.

Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo longitudinal da peça.

Além disso, na linha neutra, A, = T5, e também O^ = TFL.

TENSÕES PfllNCIPfllS TENSAS PRINCIPAIS

Distribuição dos tansàos principais Figuro (f,5b)

Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da tensão principal e a tensão principal terá uma inclinação et <45 .

1.6 Natureza simplificada da teoria

E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos re-sultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas,

Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas.

Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distri-buição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na

teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana.

De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento in-troduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na equação (1.2-2).

Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que em virtude das distorções y-\jG seguirem necessariamente um andamento análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravi-dade da seção e distorções nulas em suas extremidades.

r -VS v - i ~bj G AX q>=IA<p.

\ T0 / /

" ri i i i i 1

n, ' • -X. i tp = IAíJ}j

/ f /

/

ii i X

fp = 1 Aifh,

Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto Figura (t.6-o)

Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência da força cortante, necessariamente deixa de ser plana.

CAPÍTULO 2 Forças cortantes reduzidas

2.1 A resultante das tensões de cisalhamento

Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada pela expressão

ys X = JF

em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t,

Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção transversal em relação a um eixo baricêntrico,

Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calcula-da pela expressão anterior corresponderá ao valor médio da componente de cisalhamento atuante paralelamente à força cortante.

Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalha-mento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada.

Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção trans-versal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria força cortante.

Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale

(2.1-1)

em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por meio da qual se calcula i ,

fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento Figura (5. J-o)

C5THUTUnAS DC CONCRETO

Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se

ou seja

\s(y)dy~-)yds(y) yi >1

uma vez que são nulos os momentos estáticos S ) e correspon-dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos como resultado

>•• (2,1-2)

Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estáti-co vale

S(y)= jbz-dz

ou seja

V >1 $ (y ) = - Jfe • d" + J/>Z • dz

A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo

portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior sob a forma

A expressão do diferencial dS(y) a ser introduzido na integral da equação (2,1-2), que é definida por

pode então ser escrita sob a forma

íty

>

-jbz-dz + Sq dv

Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se

dS(y) = -[bzl-dy = -bydy

Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se

(2.1-3)

\s(y)dy = -\y(-by)dy

resultando, finalmente,

\S(y)dy=]byldy = I (2.1-4)

Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que

(2.1-5)

Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de ci-salhamento são dadas por

, « 4 vsv d

I dx

( c

t

e sua resultante, pelo que já foi visto, vale

\x(y)bdy = V+ fM J-f ^ \dy

Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se

A Vj V

dy

Por outro lado, de

'r d f c-

f - ^ 4> = M ' J dx 7

integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se

\S?<*y = [ s M - S ( y 2 ) y \ y - d S y = I

ou seja, resulta

1 dA ! J y - M l . I

* d x \ I s O

concluindo-se que em qualquer caso

R(t)mV

2.2 O conceito de força cortante reduzida

O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por

1 í,v M . \

Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por

r, M

chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr.

O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia. Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais transmite toda a força cortante apenas por sua alma, Fig. {2.2-a) e Fig. [2.2-b),

M ' T

S c t g V y t

V g V s

M + AM

Força corta/lio rttduiida - (Vr<V) Ftgura (2,2-o)

Força cortante redunda -(Vr<Vf Figuro (2.2-bf

Em virtude da inclinação dos banzos da peça, as forças Rt e Rt, resultan-tes das tensões normais que agem nos planos das seções transversais, são acompanhadas pelas componentes transversais /?. tan\|/r e R, tan v|/f, que são paralelas à força cortante V.

Desse modo, Fig. (2.2-a), quando M e h crescem no mesmo sentido, a re-sultante /?(T) das tensões de cisalhamento na alma deve equilibrar apenas a força

Vr -V-Rc tan v|/£. - Rt tany,

Nesse caso,sendo

Z

obtém-se

Vt-V - — (tan + taiH|>,) z

Fazendo-se, então,

tan v|/c + tan _ tani|/, + tan\j/2 ^ tanvp

z h h

resulta

., ,, M » f - —tany

h (2.2-1)

que é a mesma expressão (1.4-3) já obtida anteriormente com o modelo de viga de alma cheia.

De forma análoga, Fig. (2,2-b), quando M e h crescem em sentidos contrários, tem-se

Vr - R tan - Rf tan yf = V

ou seja

Vr-V + Rr tan + R, tan

resultando assim

r r w M V = V -t-—tan 4/ A (2.2-2)

Verifica-se, portanto, que o conceito de força cortante reduzida é bem ade-quado às vigas de altura variável, quando nas seções transversais pode-se admitir a existência de um banzo comprimido e um banzo tracionado reunidos pela alma, com direções quase paralelas às faces superior e inferior da peça, fazendo-se de conta que a força cortante seja resistida apenas pela alma.

2.3 Cisalhamento na flexão composta

Nesse estudo, é considerado apenas o caso usual em que se pode admitir uma força normal constante, sendo desprezada a influência sobre o cisalha-mento de eventuais variações de N ao longo da peça.

Nas barras de seção constante, em regime elástico, não se alteram os resul-tados obtidos anteriormente, pois a presença de tensões normais, devidas a forças normais iguais em duas seções adjacentes, não altera o equilíbrio de forças longitudinais. De modo geral, as máximas tensões de cisalhamento continuam existindo na fibra que contém o centro de gravidade da seção transversal, embora por ela não mais passe a linha neutra, em virtude da exis-tência de uma força normal não nula.

Nas barras de seção variável, Fig. (2.3-a), as tensões tangenciais são dadas pela expressão geral (1.2-1), ou seja

T = I i - íadA b dx }

donde

hdx \ , r a ) •

obtendo-se, no centro de gravidade da seção, o valor

C/stffiammto na ftoxào composta Figura 12.3-a)

Por essa expressão, é nula a influência de uma força normal constante em barras em que \ j A é constante ao longo do eixo da barra. Isso acontece es-sencialmente nas barras em que a seção transversal é simétrica em relação à linha neutra da flexão simples, Fig. (2.3-b), pois, nesses casos, a simetria dos banzos da peça anula a possível influência da força normal sobre a resultante das tensões de cisalhamento.

Mo caso geral, deve-se admitir que o banzo comprimido e o tracionado te-nham inclinações diferentes em relação ao eixo da barra. Nessa situação, é necessário raciocinar como se a força normal fosse decomposta em duas parcelas, kt.N e k,N, resistidas respectivamente pelo banzo comprimido e pelo banzo tracionado, Fig. (2.3-c).

Seçíto çgm Aa j A constante Figuro (2.3-b)

Viga com banzos do inclitmçõos difcrânios Figura 12.3-cí

O equilíbrio de forças axiais impõe a condição

kc+k,= 1

e para que não se altere o momento fletor M relativo ao centro de gravida-de da seção, deve-se ter

k,e(.=k,e,

donde

ou seja

logo

k, e,

L = L e, e,

K _ e< k(. + k, e,+et.

Desse modo, sendo o braço de alavanca z dos esforços internos (na flexão composta) dado por

z = et, +t>,

têm-se

z [2.3-2}

- (2.3-3}

Conforme é mostrado na Fig. (2.3-d), a força cortante reduzida vale então

^ ( tan - M . ^ —+k.N

\ z J t a n %

(2.3-4)

com N > 0 de tração.

Força CürtunlO roduridú na ftcxüQ composto Figuro (2.3-d)

2.4 Forças cortantes reduzidas em peças de concreto armado

Preliminarmente, observe que para a determinação das tensões normais que agem na seção transversal das peças fletidas, a consideração de que o mo-mento de flexão seja referido ao centro de gravidade da seção é apenas uma convenção que facilita os cálculos no caso de peças de material elástico line-ar. Nada impede, porém, que o momento dos esforços internos seja referido a qualquer outro ponto da seção transversal da peça.

Nas peças de concreto armado, a possibilidade de fissuração do concreto tra-cionado e a pseudoplastificação do concreto comprimido eliminam qualquer vantagem que poderia existir na consideração do momento de flexão referido ao centro de gravidade da seção geométrica da peça.

Desse modo, sempre que o cisalhamento for verificado com a hipótese de que na peça haja um banzo tracionado e um banzo comprimido, será admitida a fissuração do banzo tracionado e, ao invés do momento fletor M e da for-ça normal N serem aplicados no centro de gravidade da seção, os esforços serão referidos ao centro de gravidade da armadura de tração, Fig. (2.4-a}. Nesse caso, em lugar de M, aplica-se o momento , dado por

Ma = M - N • ys ( 2 . 4 - 1 )

considerando-se como positiva a força normal N de tração e negativa a de compressão.

Cissthamentú nus poças com um bamo tracionado o outro comprimido Figura f2.4 o)

Note-se que a consideração dos esforços solicitantes referidos ao centro de gravidade da armadura de tração não altera as resultantes /?, e R, das ten-sões normais na seção transversal, porquanto de acordo com as expressões [2.3-2) e [2.3-3), sendo

têm-se

= v,

er+e, =s

R N'e> M-N-ya Af,

T T

„ M N-ee M-N-y( N(er+ys) M R, - — + — +————-—2- + N

Considerando a expressão geral (2.3-4), pela qual

tan y -M . .. —+k,N

K z tan

verifica-se que o momento referido ao centro de gravidade da armadura de tração corresponde à decomposição com os valores

kc= 0 e *,m\

obtendo-se para a força cortante reduzida a expressão

M M = V - tan tan - N lan

(2.4-2)

Finalmente, admitindo-se as simplificações

tani|/,. tany 2 ~ d

e

obtém-se a expressão geral da força cortante reduzida na flexão composta

Observe que em lugar da força normal ter sido transportada para o centro de gravidade da armadura de tração, isso é, para o ponto de aplicação da resul-tante das tensões de tração, ela poderia ter sido transportada para qualquer outro ponto da seção e, em particular, para o ponto de aplicação da resultante das tensões de compressão.

De fato, Fig. (2.4-b), para que na equação geral (2,3-4) não se altere o valor do momento fletor, na expressão

de acordo com {2.3-2) e {2.3-3), devem ser introduzidos os valores

(2.4-3)

> (M \ -kt,N turnj^- — \ - k : N tanvfí,

) \ s )

e . =£zl±=>L

(2.4-4)

cstuutuhas pc ggNCFiETo mm 4 9

Raduçèo dos momentos fletorcs ao banzo comprimido Figuro {2,4-b)

Tomando-se as primeiras definições de kc e kt contidas no par de expressões (2.4-4), resulta

t a n y t -M z — yt

N \ -

tan

ou seja

Vm, = V - — ( t a n y (1 + t a n y , ) + — — ( t a n + t a n i [ f , ) - N t a n

resultando então

ym, = V _ (tan y , + tan y J - N tan vj/,

que é a mesma expressão (2.4-2) correspondente ao transporte de N ao cen-tro de gravidade da armadura de tração, pois

M - N • yx = Ms

De forma análoga, empregando-se as segundas definições de kc e k, conti-das no par de expressões (2,4-4), tem-se

j tany, - M y ' , \ — + — N tari . z z )

isto é

= r ( t a n + M

c

resultando

que corresponde ao transporte de N para a posição da resultante das tensões normais no banzo comprimido.

2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado

No caso das peças de concreto armado em que a variação da seção corres-ponde apenas a uma inclinação do banzo comprimido, Fig, (2.5-a), para a aplicação das expressões do item anterior, têm-se

e

resultando de (2.4-3) a expressão simplificada

, jr JV/ ti (2.5-1)

na qual o duplo sinal decorre dos sentidos de variação de d e de M (.

Mas peças submetidas à flexão simples será sempre M} = M .

R B F / 2

ÚV-^-lfl^ F/2

Vigas com inclinação do banzo comprimido Figura (2,S-aj

A expressão anterior também pode ser posta sob a forma

(2,5-2)

admitindo sempre que /gy > o, que a força normal é positiva [A' >0) quan-do de tração, e que h e \m\ crescem no mesmo sentido. Essa expressão é válida quando existe inclinação apenas do banzo comprimido, Caso con-trário, deve ser empregada a expressão geral (2,4-2).

Mote-se que quando não há simetria na inclinação dos dois banzos, como por exemplo quando apenas o banzo comprimido é inclinado, surge a dificuldade suplementar de se entender o que seja o eixo da peça, Fig. (2,5-b), Todavia, conforme é mostrado nesta figura, qualquer que seja o eixo adotado, a redu-ção a ser feita na força cortante é praticamente a mesma.

Figura (25 b)

Finalmente, observa-se que a determinação separada das tensões normais devidas à flexão e das tensões tangenciais devidas â força cortante é uma simplificação grosseira do problema, É dessa simplificação que surge a idéia de que nas vigas de seção constante possam ser imaginados dois banzos paralelos ao eixo longitudinal da peça. Na Fig. (2.5-c) estão mostradas as tra-jetórias das tensões, em regime elástico, determinadas por métodos precisos e pela teoria usual de flexão.

ÍSTnUTUnAS OC CQNCFICTO

Trujatórias cia esforços Figuro (2.5-c)

Verifica-se, portanto, que mesmo nas vigas de altura constante existe de fato uma certa inclinação da trajetória das tensões nos apoios, ou seja, existe efe-tivamente uma certa inclinação do que poder-se-ia entender como o banzo comprimido da peça. Nos apoios, essa inclinação pode afetar sensivelmente a determinação das armaduras de cisalhamento das peças de concreto arma-do, como se a viga de fato tivesse um banzo comprimido inclinado.

2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto protendido

O estudo do cisalhamento na flexão composta das peças de concreto pro-tendido é feito correntemente da mesma maneira que nas peças de concreto armado clássico, Entretanto, para isso, há a necessidade de um claro enten-dimento do que seja flexão composta no concreto protendido, uma vez que o próprio processo de protensão introduz tensões axiais nas seções transver-sais da peça.

Ma Fig. {2.6-a} estão mostradas as diferentes forças axiais que agem nas seções transversais das peças pertencentes a estruturas isostáticas de concreto pro-tendido, submetidas a ações diretas que provocam apenas flexão simples,

Observe-se que a resultante Rc das tensões de compressão no concreto será sempre igual à resultante Rt das tensões de tração nas armaduras, qualquer que seja a fase considerada de carregamento.

Com as mesmas hipóteses, na Fig. {2.6 b) estão mostradas as resultantes de ten-sões que agem nas seções transversais das vigas pretendidas hiperestáticas.

A idéia de que a pretensão corresponde a uma flexão composta é válida ape-nas para a seção transversal da qual é excluída a própria armadura de preten-são. Quando se considera a totalidade da seção transversal da peça, formada pelo concreto e pelas armaduras passivas e de protensão, os esforços soli-citantes não dependem da protensão, exceto nas estruturas hiperestáticas, onde podem surgir os chamados esforços hiperestáticos de protensão, de-correntes da inibição de deslocamentos provocados pela própria protensão.

Assim, tanto nas peças de concreto protendido, quanto nas peças de qualquer outro material, somente haverá flexão composta se realmente houver força normal externa atuante, a qual somente poderá existir como decorrência de ações aplicadas à estrutura e de esforços hiperestáticos de protensão.

Observe-se que, de início, no ato da protensão, admitindo que não seja mo-bilizada parcela alguma do peso próprio, os esforços internos são auto-equi-librados e não dependem das ações diretas g e q, que ainda não atuam na estrutura. Nesse estágio, as resultantes de tensões Rrl e /?„ são iguais em módulo e, nas estruturas isostáticas, elas atuam segundo a mesma linha de ação, pois Rcl e R„ devem formar um binário de momento nulo, Nas estrutu-ras hiperestáticas, no estado inicial de protensão, Rrj e Rü devem estar afas-tadas entre si a uma distância zt tal que elas formem um binárío de momento igual ao valor M M mobilizado no próprio ato da protensão.

Carregando-se a estrutura progressivamente, ao se atingir o estado limite úl-timo de solicitações normais, a resultante das tensões na armadura de pro-tensão estará praticamente limitada ao valor de escoamento À/Ifyj!. Nessa situação, o funcionamento do concreto protendido é exatamente o mesmo que o do concreto armado comum, devendo o binário formado pelas resul-tantes Rt,(l e Rltl equilibrar o momento externo M[f,ltj)ll das ações diretas, somando-se a ação direta Mi>m, , quando ela existir

ESTRUTURAS GE CONCRETO I -

r

H : H-o /

ü , 1 P Z 4 )

M "O

t (RU - Rci>

ía). PROTENSÃO

iM r

g +q

(b>. ESTÁDIO I

^c (p + g + q í R ^ 1 — Rcn ^ — T

Mn

<cd -—

-T ; ! H t r " W

( c ) , ESTÁDIO H

M

Jí

tRtd - <W td). ESTADO LIMITE ULTIMO

Fhxáo simples de estruturas pretendidas isostáticas Figuro (Z.G-oj

r*

\h i—

R t l t -

c d r

\M p.hip

Md

>

Í W p + V q ) « í

(Ru - Rci » (d). PROTENSÃO

R t d * R c d

(b>. E S T A D O L I M I T E ÚLTIMO

ffexéo simples do estruturas pretendidas hiporestáticas Figuro f2,6-b)

Desse modo, a força P de protensão não deve ser interpretada como uma força normal para efeito de determinação das forças cortantes reduzidas, também não deve ser considerada como uma força normal para o dimen-sionamento à flexão da seção transversal. Uma força normal somente pode ser criada por ações diretas, inclusive por efeitos hiperestáticos da própria protensão, que também são efeitos diretos.

Nessas condições, nas peças de concreto protendido submetidas à flexão com-posta, a força cortante reduzida continua sendo dada pelas expressões (2.4-1) até (2.5-2), nas quais agora

M = M + M p M l ) (2.6-1)

(2.6-2)

Na verdade, nas peças de concreto protendido, para cálculo da força cortante reduzida, ainda deve ser considerada a influência de eventuais cabos de pro-tensão inclinados, conforme é analisado a seguir

2.7 Vigas protendidas com cabos inclinados

Nas vigas pretendidas com cabos inclinados, a força cortante a ser resistida sofre ainda urna outra redução, devida à inclinação da força de protensão, Fig. (2.7-a)

ÍSTNUTUNAS OC CQNCFICTO

ftgura (2.7-{>l

Mo caso geral, a força cortante reduzida Vmt pode ser escrita

V^V-AV^-AV,,

onde V é a força cortante efetiva, é a redução devida à seção transversal variável, e AVp è a redução correspondente à existência de cabos inclinados de protensão.

Mo caso de vigas protendídas com cabos curvos, considerando a ação de o concreto sobre o cabo, Fig. (2.7-b), como o cabo é perfeitamente flexível, o trecho considerado de cabo está em equilíbrio sob a ação das forças Pt e P que atuam nas extremidades desse trecho, e da pressão transversal Pt exer-cida entre o cabo e o concreto. Desprezando-se o atrito, as forças Pt e P são iguais em módulo, pois são forças análogas às que são transmitidas ao longo de um cabo flexível enrolado sem atrito em torno de um tambor. No caso real, em que existe atrito, sempre será P< Pt.

Considerando a ação do cabo sobre o concreto, Fig. £2.7-c), em virtude do cabo ser flexível, a ação conjunta da força de protensão P aplicada na seção inicial de um dado trecho e das forças transversais P, atuantes ao longo desse trecho

Açüo tio concroto sobro OS Cubos Curvos Figuro (2.7-b)

é esteticamente equivalente à ação de uma força de módulo P aplicada, com a inclinação a do cabo, na seção da outra extremidade do trecho considerado,

Figura (2.7- C)

Desse modo, a redução Àí^da força cortante devida à presença de cabos curvos vale

e no caso usual em que os cabos podem ser admitidos com forma parabólica de equação

y = cx2

cuja inclinação em relação ao eixo da viga é dada por

dy „ tan a = — = 2o:

dx

sendo

sin a = tan a = 2cx

resulta uma variação linear de AFJt ao longo do trecho curvo da cabo, como se mostra na Fig. (2.7-c).

IMa presença de vários cabos curvos, Fig. (2.7-d), a redução AVp é obtida por superposição das reduções correspondentes a cada um dos cabos conside-rados isoladamente.

Figura (2.7-d)

Para efeito de dimensíonamento, é preciso considerar que o desconto áVfI de-vido à força de protensão pode inverter o sentido da força cortante reduzida.

Por essa razão, no projeto é preciso considerar tanto a situação de solicita-ções máximas quanto a de solicitações mínimas, Nos casos usuais, são consi-deradas as forças médias Pm lmftj e Pm f.Q , respectivamente, como mostrado na Fig. (2.7-e),

SOLICITAÇÕES M A X M A S : V ( Í T Q ) ( J

SOLICTTFTÇÕEÂ MÍNIMAS : V

(USUALMENTE U M ÚNICO

ri.

£J

r d,

I

1 V, ÍTlO* [o +

m s V

min gl,<f

q)d p,t«»

AV

F O R Ç A S

p,t»o

F O R Ç A S

C O R T A N T

C O R T A N T

S E R Á CONSIDERADO VALOR P B P M )

E S

E S

M A X I M A S

M Í N I M A S

Forças cortantes reduzidas do cálculo Figura (2.7-0)

CAPÍTULO 3 Análise estrutural - Determinação dos esforços solicitantes - exemplos

3.1 Critérios de classificação das ações

De modo geral, as ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas de acordo com diferentes critérios, como os indicados na Tabela (3,1-a),

Tabela (3.1-a)

C R I T É R I O S D E C L A S S I F I C A Ç Ã O T I P O S D E A Ç Õ E S

Variação no Tempo Ações Permanentes Ações Variáveis Ações Extraordinárias

Variação no Espaço Ações Fixas Ações Livres (Móveis ou Removíveis)

Natureza Mecânica Ações Estáticas (Acelerações Desprezíveis) Ações Dinâmicas (Acelerações Significativas}

Para o projeto, também se consideram como permanentes as ações cujas va-riações sejam desprezíveis em relação ao seu valor médio. As ações variáveis são consideradas conforme os critérios indicados na Tabela (3,1-b).

A variabilidade das ações permanentes é considerada em relação a um con-junto de construções de mesma natureza.

A variabilidade das ações variáveis é considerada em relação ao tempo de utilização da construção.

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS TIPOS DE AÇÕES VARIÁVEIS

Tempo de Permanência Ações de Longa Duração Ações de Curta Duração

Freqüência de Atuação Ações Repetidas Ações Não Repetidas

Em face da multiplicidade de condições de carregamento que podem ocorrer durante a vida útil das construções, torna-se necessário convencionar quais as situações de carregamento a considerar na verificação da segurança das estruturas, da seguinte maneira:

a) Situações permanentes

Entendem-se como permanentes, as situações de carregamento correspon-dentes à utilização normal da construção, As situações permanentes englo-bam as ações permanentes e as ações variáveis usuais, tendo duração da mesma ordem de grandeza que o período de referência admitido para a vida útil da construção.

b} Situações temporárias

Entendem-se como temporárias, as situações cuja duração é muito menor que o período de referência da vida útil da construção. A situação temporária é considerada como transitória quando nela ocorrem ações variáveis especiais, como é a situação de construção. A ação temporária será extraordinária quan-do ocorrerem cargas extraordinárias que até podem levar a estrutura à ruína.

Ma elaboração do cálculo estrutural, para as ações, são adotados determinados valores considerados como representativos (F ) para o caso considerado. Esses valores representativos podem ser determinados com os seguintes critérios:

I) Ações permanentes

Em princípio, as ações permanentes podem ser consideradas com dois va-lores diferentes: um valor característico superior correspondente ao quantil de 95% da distribuição de valores associados à população de estrutu-ras semelhantes, e um valor característico inferior, G k M f correspondente ao quantil de 5% dessa distribuição.

Usualmente esses dois valores característicos são substituídos por valo-res representativos nominais, fixados de modo convencional da seguin-te maneira:

1- Peso próprio das estruturas

Em virtude de a pequena variabilidade do peso próprio, adota-se um único valor nominal Gk, calculado a partir dos desenhos de projeto e dos pesos espe-cíficos médios dos materiais.

2- Peso dos elementos não estruturais

Em princípio, são adotados dois valores nominais, um máximo e um mínimo, levando-se em conta todas as variações que possam ser razoavelmente pre-vistas. Usualmente o valor mínimo é considerado igual a zero.

3- Empuxos de terra

Adota-se o valor máximo para o empuxo ativo e o valor mínimo para o em-puxo passivo.

4- Forças de protensão

Os efeitos da protensão são determinados a partir de dois valores caracterís-ticos da força de protensão, um valor máximo Ph e um valor mínimo Pkml(i

ou, em muitos casos, a partir de um valor médio Pm.

5- Outras ações

As deformações impostas pelo método construtivo, por recalques de apoio, por diferenças de temperatura e pela retração, bem como as forças decorren-tes de um nível d'água praticamente constante são representados por valores nominais únicos.

II) Ações variáveis

Para as ações variáveis são considerados os seguintes valores representativos:

1- Valor característico {Ffc}

É o valor básico de referência estabelecido pelos regulamentos normalizadores.

2- Valor de combinação }

É o valor de uma ação secundária que acompanha uma outra ação variável considerada como principal, na verificação da segurança em relação a esta-dos limites últimos.

3- Valor freqüente (y,/^ )

E o valor significativo para a consideração da ocorrência repetida da ação, ou ações de média duração, na verificação da segurança em relação a estados I irrites de serviço.

4- Valor de longa duração ( y ^ )

É o valor da ação variável quase permanente, que pode atuar durante perío-dos de tempo suficientemente longos para que sejam considerados os efeitos da permanência ao longo do tempo, na verificação da segurança em relação a estados limites de serviço.

Os valores usuais dos fatores de combinação (4^) e dos fatores de utili-zação ( >}'!© V;) especificados por normas brasileiras são os indicados na Tabela (3.1-c)."

•na 67

Tabela (3.1-c) Fatores de combinação e de utilização

AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES Vi

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3

Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0

CARGAS ACIDENTAIS EM EDIFÍCIOS ¥0 Vi

Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas

0,4 0,3 0,2

Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,6 0,4

Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS Vo

Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2

Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2

Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,6 0,6 0,4

3,2 Combinações de cálculo e critérios de segurança

A- Estados limites últimos

m

Combinações últimas normais F<T = C!FCIII + 7, »

II - Combinações últimas especiais ou de construção

rrj

' I >-2

III - Combinações últimas especiais

jtJ ri

M

B- Estados limites de serviço tti tt

I - Combinações de longa duração FÍKM. = £FGKK + 2 í-i /.i

MT tl II - Combinações freqüentes F<IFRF = Y FA I + + X ^ A

M /«I

C- Coeficientes de ponderação

Tabela (3.2-a) Ações permanentes de pequena variabilidade

C o m b i n a ç õ e s y K p a r a e fe i tos ( * } C o m b i n a ç õ e s D e s f a v o r á v e i s Favoráve is

Normais te - 1 , 3 r . * 1 ,0

Especiais ou de Construção yK = i .a y, = 1,0

Excepcionais y , = ™ ys = 1,0

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos yM ou y a

Tabela (3.2-b) Ações permanentes de grande variabilidade

Combinações y para efeitos (*} Combinações Desfavoráveis Favoráveis

Normais yK - 1,4 y, - 0,9

Especiais ou de Construção V, - 1,3 y, - o-s

Excepcionais yK = 1,2 y* = 0,9

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos y ou ya

Tabela (3.2-ç) Ações permanentes indiretas

Combinações yK para efeitos (*) Combinações Desfavoráveis Favoráveis

Normais yK = 1,2 y« = 0

Especiais ou de Construção y« - 1,2 = 0

Excepcionais = 0 Y* = 0

[*) podem ser usados indiferentemente os símbolos Y ou Yo

Tabela (3.2-d) Ações variáveis

Combinações Ações variáveis em geral incluindo as cargas móveis D

Efeitos da temperatura

Normais 7, = 1.4 Yc= 1.2

Especiais ou cie Construção 7 , = 1.2 y, = i-o

Excepcionais T,, = 1.0

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos ou

3.3 EXEMPLO N°1:

- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; - Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma natureza; - Combinação última fundamental e combinação de serviço.

Q=100k N | q = 20 k N ,' m

. _ _ _ L l g »10 k NI m aJí A S O —•

L =0,0 m

Figura (3.3-s)

8.3 Modos de ruptura e estados limites últimos

Analisando o comportamento de vigas de concreto protendido até a ruptura sob a ação de forças cortantes, verifica-se que não há diferenças essenciais entre elas e as vigas de concreto armado clássico quanto aos modos de rup-tura e, conseqüentemente, quanto aos estados limites últimos ao serem con-siderados no método de verificação da segurança.

IMa Fíg. (8.3-a) estão mostrados os dois modos básicos de ruptura de vigas protendidas de alma fina na presença de forças cortantes; ruptura força cor-tante tração e ruptura força cortante compressão3.

RUPTURA " FORÇA C O R T A N T E - TRAÇÃO "

kl H ^ V J . L . L L \ ' 1 J .

J '

i â L U t ^ J RUPTURA " F O R Ç A CORTANTE COMPRESSÃO"

Modos básicos th ruptura tlc vigas protendidas de alma fino Figura (8.3-a)

Note que o real risco de ocorrência da ruptura força cortante-traçáo somente existe na zona C.

I E S T R U T U R A S O-li C O K C R E T O

Figuro (8.3-h)

"Mnnuirí efc c t r t o / í í í f l o r f !rc<Khnn!-tort<an." C F S Bufaltn ífMomrtl/en Por i * 1973

Na zona AB, Fig. (8,3-b), a fissuração da atma é pouco desenvolvida. Nessa zona, o risco real é de ruptura força cortante compressão.

No caso de vigas protendidas de alma nâo excessivamente finas, quando na peça atuarem cargas concentradas muito intensas, surge também o risco de ruptura força cortante flexão. Esse é o modo de ruptura mostrado na Fig. (8.2-b), cujo grau de protensâo é de apenas 10%.

Analogamente ao que acontece com as vigas de concreto armado, também com as vigas protendidas esse modo de ruptura é causado pelo aumento das tensões de compressão no banzo comprimido junto a cargas concentradas, conforme foi analisado no item 6.8.

Em face da analogia de comportamento das vigas protendidas com o das vigas de concreto armado clássico sujeitas à flexo-compressão, nos métodos de di-mensionamento é dado um tratamento unificado a esses dois problemas.

8.4 Influência da força normal longitudinal sobre o cisalhamento

Como se mostra no item (8.2), à medida que aumenta a força de protensâo, expande-se a zona AB, na qual a eventual fissuração aparece diretamente na alma da viga.

Quando se dá a expansão da zona AB pelo aumento das tensões longitudi-nais de compressão, ocorrem alterações na distribuição dos esforços inter-nos da peça, Fig. (8,4-a).

ÍSTUUTUnAS PC CGNÇFIETQ

Figuro (8.4-tt)

Junto aos apoios de extremidade das vigas, o aumento da força de protensão permite que o equilíbrio desses nós se faça com bielas diagonais menos in-clinadas, Em igualdade das reações de apoio Rtl, com o aumento das forças de protensão, podem existir bielas com menor inclinação, em virtude da pre-sença das maiores forças longitudinais de ancoragem dos cabos de proten-são. Dessa maneira, podem ser equilibradas forças Ret> que possuem maiores componentes longitudinais RT.

IMa zona C, que na condição de cálculo é admitida com intensa fissuração do banzo tracionado, a armadura transversal pode ser determinada de manei-ra equivalente à do concreto armado não protendido, por meio da analogia

generalizada da treliça, mas considerando também a presença dos esforços longitudinais de compressão, que aumentam a parcela Vc correspondente aos mecanismos resistentes alternativos.

Na zona C, Fig. (8.4-a), o mecanismo resistente de treliça é plenamente operante.

Ao longo de um trecho àx da viga, com um comprimento igual ao braço de alavanca z dos esforços internos de flexão, a armadura transversal transmi-te , do banzo tracionado para o banzo comprimido, uma parte da força Vml

, que é indicada por Vítv. Na situação de cálculo, essa força tem intensidade indicada apenas por Vsw, evitando-se o índice </ pelas razões adiante dis-cutidas. Essa parcela da força cortante deve complementar a que não con-segue ser transmitida pelos mecanismos resistentes alternativos, os quais transmitem a outra parcela Vt, de VKl,, de maneira que se obtenha a força cortante resistente total, que é indicada nas peças com armadura transver-sal por VK<t}

devendo ser

+ K (B.4-1)

V < V vS'i-y*d 3 (8.4-2)

Observe que na equação (8.4-1) os diferentes termos são considerados com seus valores de cálculo. Todavia a NBR 6118 não emprega o índice d nos símbolos V„, e VV . Essa omissão do índice d é justificável, porque a parcela Vt, correspondente aos mecanismos resistentes alternativos não é determina-da inicialmente com um valor característico que depois é ponderado para se chegar ao valor de cálculo, A determinação de já é feita diretamente com seus valores de cálculo, pois ela é resultante de diferentes efeitos resistentes que não podem ser individualizados,

Na Fig. (8.4-a) foi explicitada a força Ve] correspondente à inclinação do banzo comprimido, embora não se conheça o valor que deveria ser a ela atribuído, porque F também depende do engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal de flexão.

«•3THUTURAS Ot CONCRETO

Mo concreto protendido os esforços longitudinais de compressão permitem que se possa considerar um aumento da parcela Vc e, conseqüentemente, uma redução da parcela Vsw, em relação aos valores que se adotam no concreto armado nâo protendido em flexão simples,

Todavia, é preciso alertar-se para o perigo de uma excessiva compressão da alma da viga, em decorrência da protensâo, particularmente nas vigas de alma muito fina,

Ma Fig, (8.4-bJ mostra-se que, na zona B, onde existem fissuras que aparecem diretamente na alma da viga, as tensões efetivas de compressão diagonal são significativamente maiores que os valores teóricos calculados no centro de gravidade da peça não fissurada. Este fato deve ser considerado na fixação dos valores de K a serem adotados no dimensionamento das estruturas.

Tensões diagonais de compressão Figura {8.4-bj

Ma avaliação da possível influência da força de protensâo sobre a redução da quantidade de armadura de cisalhamento, durante algum tempo pensou-se em relacionar o aumento da parcela Vc da força cortante resistida pelos mecanis-mos alternativos diretamente ao aumento da intensidade da força normal Ntf

de compressão, fosse uma força normal externa ou uma força de protensâo.

Essa idéia foi seguida pelas Recomendações Internacionais CEB-FIP/1970'1 e as regras dai decorrentes foram incorporadas à Norma Brasileira NB1/78S. no item dedicado às peças de concreto armado sujeitas à flexo-compressão.

Os raciocínios que conduzira m a tais regras decorriam da análise das tensões nos estribos de vigas que diferiam entre si tão somente pelo grau de compressão.

Na Fig. (8.4-c) estão mostrados resultados de investigações dessa natureza13. Observe-se que à medida que aumenta a intensidade das cargas aplicadas, vão desaparecendo as diferenças entre as tensões nos estribos em função dos diferentes graus de protensão aplicados.

Figura (3,4-cj

'CÍ8-F1P- " Wíwri,Hí/MÍMftíU InlenittieiMtol pour le Ç/itciiíet rsurtmmtilíi Ouvrut>6* U" BHOn" tSTnUTUHAS Ot CONCRETO iiiihtm tfifífomwtlen rt* 82, ftjrw, Í97Í. 'A8NF Protelou üxogoçíq t.h ohrtti tjti contrato êrma^j- N 'LEQMÍAttai F„ KQCK, fí. .fíOSTÀSY, F, S - Setmt/wm/che iimiSusiinlmloitirA^em. Üt'tiHshtr Au$ietuit* h" Si/UHtKHtm, Htk SA W. Smttò ÍWm íertin, 1973.

Figura (8.4-d}

Ma Fig. {8.4-d) estão apresentados os resultados de pesquisas dessa natureza, em que as vigas foram levadas até o estado final de ruptura.

Observe que as vigas IP-1 e IP-3 são as mesmas mostradas nas Figs. (8.2-a) e (8.2-b). Essas vigas são praticamente iguais em tudo, exceto no grau do estiramento inicia! da armadura de protensâo. A viga IP-3 é praticamente uma peça de concreto armado não protendido,

Na Fig, (8.4-d) são mostradas as tensões medidas em um estribo situado em posições homólogas nas três vigas que só diferiam pelo grau de protensâo, Esse estribo está situado na zona C das vigas, do lado com a menor taxa de armadura transversal, correspondente a 11 = 0,54

Esses resultados mostram que somente existem diferenças apreciáveis entre as tensões medidas na armadura transversal, em função do grau de proten-sâo, enquanto a fissuração ainda é muito diferente de uma viga para outra.

Assim, na viga com grau de protensâo 100%, (VIGA IP-1), tanto para a carga convencional de serviço (F=930 kN) , quanto para a correspondente carga convencional de cálculo (F=1390 kN), são razoavelmente reduzidas as ten-sões medidas no estribo considerado. Nessa viga, o maior grau de protensâo garante, para essas cargas convencionais, a permanência da contribuição do engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal de flexão na resistência a forças cortantes,

Todavia, considerando os reais carregamentos últimos das três vigas ensaia-das, Figura (8.4-d), constata-se que as cargas últimas das três vigas são prati-camente iguais entre si. Apenas a viga IP-3, (P = 10%), que é praticamente uma viga de concreto armado comum, mas armada à flexão com aço para proten-sâo, rompeu-se por efeito da força cortante, com uma carga 5% inferior ao previsto para a ruptura por flexão

Conclui-se, portanto, que a influência do grau de protensâo sobre as ten-sões na armadura transversal, ao se chegar à ruptura por flexão, é muito menor do que faz supor a análise de resultados afastados da situação última de ruína efetiva.

Desse modo, pela Fig. (8.4-c), se o dimensionamento da armadura transversal fosse feito a partir dos resultados experimentais correspondentes a carrega-mentos afastados da carga última de ruina efetiva, haveria a falsa conclusão de que seria possível praticar uma redução da armadura transversal à medida

•Irow/AHIJT, f. in Sllttf iVr tilittm tlrvetuftf, M CCB Ba/trtm iflntoimatíon n® 116. P m » 197$,

C S T U U T U H A S CC C O N C R E T O

que se aumenta o grau de protensâo. Com Isso, estaria sendo criada a pos-sibilidade de se chegar à ruptura força cortante flexão, que é não avisada, por decorrer da ruptura prematura por compressão do banzo comprimido da peça, vtolando-se assim o princípio fundamental de segurança das estruturas de concreto.

A relativa insensibilidade das tensões na armadura transversal da zona C em função do grau de protensâo, na efetiva situação de ruína por flexão, é ex-plicável pela análise das resultantes das tensões normais de compressão que atuam nas seções transversais das peças protendidas quando se evolui até o estado limite último, como se analisou no item (2.6),

Na Fig, (2.6-a) ou (8.1-a), no estado limite último de solicitações normais em peças protendidas em que não haja forças normais hiperestáticas de preten-são, a resultante Ri d das tensões normais no banzo comprimido da peça não depende da existência de uma eventual protensâo. Desse modo, o grau de protensâo nâo pode afetar a parcela de desconto Vci devida à inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido, não podendo, portanto, afetar a parcela Vm. a ser transmitida pela armadura transversal.

Conclui-se, desse modo, que a redução da armadura transversal em função da protensâo nâo esté relacionada diretamente à resultante das tensões nor-mais de compressão na seção transversal da peça.

8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal

Conforme foi analisado no item (8.4), a protensâo permite que haja um au-mento do desconto Vt. da força cortante que deve ser transmitida pela arma-dura transversal. Nas peças protendidas, pode ser empregada uma armadura transversal menor do que seria necessária se não houvesse protensâo.

Todavia, na zona C, esse aumento da parcela Vr não decorre de uma maior inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido, decorrendo do conjunto de efeitos dos mecanismos resistentes alternativos.

As investigações realizadas mostram que a influência da protensâo longitu-dinal se faz sentir pelo aumento da colaboração do concreto na resistência ès forças cortantes. Essa maior colaboração da protensâo decorre de sua

capacidade de retardar o aparecimento da fissuração no banzo tracionado por flexão.

Desse modo, a influência da protensão pode ser medida pela relação entre o momento fletor de formação de fissuras e o momento solicitante último da seção transversal.

Por simplicidade, substitui-se o estado limite de formação de fissuras pelo estado limite de descompressão. A influência da protensão é, então, con-siderada em função da relação M0/MSli entre o momento fletor de descom-pressão da seção transversal e o momento fletor solicitante último nela atu-ante, tomando-se essa relação como uma medida relativa do possível grau de fissuração da peça8.

Com isso, a diferença das armaduras transversais das peças protendidas em relação às peças de concreto armado comum não é muito grande nas zonas C, onde a fissuração no estado limite último de solicitações normais também é muito intensa, como mostrado nas Figs. do item (8.2).

<Jp ( M P A )

2000 r 1

1000

1500

500

-í | M H (-2 5 10 15 20 25

6 PV S E G U N D O T H Ü R L I M A M M

Características usuais fias armaduras do concreto estrutura! figura (8.5-a)

• T>IWtlMAfilM O. r/r "Shiriir Slrimn/r oI HtUnfárevtl ímf Prtf WitMti Corttwtv U m ' Cffl Bulal/n litnfarrmHhm ri" I1& Farim IS7&

Í 3 T R U T U R A S PC C O N C R E T O

Tonsóos nos estribos refatio na dos às tensões na horda tf acionada do concreto Figura fS-5-bJ

Isso ocorre porque, quando se atinge realmente o estado limite último de solicitações normais, a fissuração das vigas protendidas não é muito dife-rente do que ocorre com as vigas de concreto armado comum. Segundo Thurlimann, Fig. (8,5-a), essa circunstância decorre do fato de que, com os materiais empregados, a tensão a,, na armadura de protensâo, no estado limite de descompressão, freqüentemente é de tal intensidade que o acrés-cimo ACJ , necessário para se atingir o escoamento fpyl é da mesma ordem de grandeza que a resistência de escoamento fty das armaduras passivas de alta resistência.

A Fig, (3.5-b) mostra a relação entre a tendência à fissuração da borda tracio-nada de uma viga, avaliada pelas tensões normais de tração calculadas no estádio I, e as tensões de tração medidas nos correspondentes estribos de uma viga pretendida.

Conforme também está mostrado no capítulo 7 para as lajes sem armadura de cisalhamento, o efeito benéfico da compressão longitudinal do concreto decorre do retardamento no aparecimento da fissuração no banzo tracíona-do. Enquanto essas fissuras nâo existem, os mecanismos resistentes alter-

nativos garantem a segurança da peça. Somente após a fissuração do banzo tracionado é que começa a se manifestar o mecanismo resistente de treliça, com a mobilização de esforços significativos na armadura transversal.

A Fig, (8.5-b) confirma que as tensões de tração nos estribos somente apa-recem significativamente após a descompressão da seção transversal cor-respondente, Observe, nessa figura, que a redução das tensões nos estribos situados nas proximidades da carga externa aplicada, decorre do efeito loca-lizado do cisalhamento junto a cargas concentradas, como foi analisado no capítulo 6.

Considere-se agora uma viga pretendida submetida a um carregamento ex-terno que na situação de cálculo produz momentos fletores solicitantes MStí

variáveis ao longo do comprimento da peça, cujo valor máximo é expresso por MBwm, Fig. (8.5-c).

Seja M0 o momento fletor devido a eventuais forças normais externas e ao efeito ísostático de protensão. Esse momento produz compressão na bor-da da seção que vai ser tracionada pelos momentos fletores MSx por causa das cargas externas.

Mo exemplo da Fig. (8.5-c) esse momento M é constante ao longo de todo o comprimento da viga, Essa situação é a mesma que foi conside-rada no caso de lajes sem armadura transversal, conforme foi mostrado na Fig. (7.7-a).

Enquanto for MSx á M0, não haverá tensões normais de tração na borda da viga. Na seção em que M&x - JW„i , o concreto estará submetido à tensão normal longitudinal nula. Essa seção estará no estado de descompressão, e nas seções onde MSx 2 Ma haverá tensões normais de tração.

Mos trechos de comprimento a entre os apoios de extremidade e as cargas externas concentradas F, a força cortante Vx é constante e igual a F,

Í3TRUTURAS QC CONCRETO

a

h 3

<• , »

V ep N,

ponto nuclear superior

R —1_ AR=AV

AV

Vo

EIXO DA VIGA

M0lg*p[ Müx,s=AV-a

— ! ^ a i M. Sx

M Su

M SJ, mo*

Efoita da protensâo Figura (8,5-c)

Mo caso mostrado na Fig. (3,5-c), o momento fletor M0x de descompressão da seção genérica de abscissa x é constante e igual ao momento Mlt de descom-pressão da seção em que atuam os máximos momentos fletores decorrentes das cargas transversais que produzem forças cortantes.

8.6 Vigas com cabos inclinados

Mas vigas protendidas com cabos inclinados, há três diferentes efeitos da pro-tensâo a considerar em relação à ação de forças cortantes.

O primeiro deles é o efeito de compressão longitudinal do concreto, que retar-da ou mesmo elimina a fissuração do banzo tracionado da peça, aumentando assim a colaboração dos esquemas alternativos resistentes ao cisalhamento, como foi estudado nesse capítulo.

O segundo efeito é a redução das forças cortantes, como analisado no capítulo 2.

O terceiro efeito corresponde ao aparecimento de tensões suplementares de tração no concreto em virtude da tendência à retificação dos trechos curvos dos cabos protendidos.

Figura (9, S-a)

ÍSTnUTUnAS OC CQNCFICTO

Além disso, existem condições construtivas que devem ser obrigatoriamente respeitadas para que os cabos inclinados de protensâo produzam realmente os efeitos que deles se esperam, sem que surjam outras conseqüências que levem a peça à ruína prematura.

Nesse sentido, o aspecto mais importante a ser considerado é o equilíbrio dos nós de apoio de extremidade das vigas. Conforme está mostrado na Fig. (8,6-a), deve haver uma suficiente armadura longitudinal de tração até o apoio, onde deve estar adequadamente ancorada, para que possa ser garantido o equilíbrio da biela diagonal que transmite a reação de apoio.

O equilíbrio do nó sobre o apoio exige que uma parte da armadura do banzo tracionado seja prolongada até o apoio e aí eficientemente ancorada. Essa ar-madura que vai até o apoio pode ser formada apenas por cabos de protensâo, ou apenas por armadura passiva.

Quando a armadura de equilíbrio do apoio for constituída apenas por cabos de protensâo, ainda assim sempre será necessária uma armadura passiva complementar para o controle da fissuração.

Quando a armadura longitudinal de tração for insuficiente para garantir o equilí-brio do nó de extremidade, a segurança da peça pode ficar seriamente compro-metida, Na Fig. (8.6-a) está mostrado o caso extremo em que na extremidade da face inferior do banzo tracionado praticamente não há armadura longitu-dinal. Nesse caso, o nó de extremidade da treliça vai se localizar no ponto de encontro da vertical da reação de apoio com o eixo dos cabos Inclinados.

Note que nesse caso, mesmo com forças cortantes reduzidas VH, muito bai-xas, a força RTÍI pode ser muito alta, com sério risco de ruptura da biela dia-gonal comprimida.

Além disso, a ausência de armadura longitudinal significativa que garanta o equilíbrio do nó traz consigo o sério risco de ruptura catastrófica da viga, por efeito das tensões de tração devidas à flexão localizada da região do apoio, ou por ações horizontais devidas a estados de coação decorrentes da retração do concreto ou a quedas de temperatura, ou por cargas externas horizontais que devam ser equilibradas por reações do apoio.

C A P Í T U L O 9

REGRAS DE DIMENSIONAMENTO

9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento

A resistência a forças cortantes de lajes sem armadura de cisalhamento, ao longo das peças fora das zonas de ancoragem das armaduras de flexão, é determinada pela condição

v <v * SJ a " Rú I

onde é o valor de cálculo da força cortante solicitante e FflJl é o valor de cálculo da força cortante resistente determinada em função dos mecanismos resistentes alternativos do concreto armado, sendo dado por

V — T h ci f Rill fí ti} w

De acordo com as investigações experimentais de Hedman e Losberg, ana-lisados no item (7.3), têm-se os seguintes valores:

a) Cargas diretas em linha paralelas ao apoio, afastadas dele

t J W l - 0 , 0 7 0 . * o J 7 T sendo

com

k =l,6-í/£l,0

d = altura útil da peça, em metros

= CSTRUTgnAS on COfíCRfTO 230

e

onde

é a taxa da armadura longitudinal de flexão no trecho considerado,

b) Cargas distribuídas

com os mesmos significados de k e a,

c) Cargas diretas em linha paralelas ao apoio, próximas dele

A favor da segurança, admite-se o fenômeno de redução das forças cortantes efetivas, por meio da regra prática mostrada na Fig, [7,2-f}

V =—V ~ . 'StÁxf

adotando os mesmos valores de resistência correspondentes a cargas afastadas dos apoios.

d} Ancoragem e decalagem da armadura de flexão em função do cisalhamen-to, Fig, (9.1-a).

a = l + 5 0 p ,

p - — í - < 2 % bd

I5TrUTUnAS PC CQNCFII-TO

Figura (9.1-a)

9.2 Peças com armadura de cisalhamento

Tendo em vista os inconvenientes Intrínsecos do emprego de estribos incli-nados e de barras dobradas na armadura passiva, é recomendável que as armaduras de cisalhamento das peças de concreto armado não protendido sejam constituídas apenas por estribos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça. No caso de vigas protendidas, o emprego de cabos curvos é prática freqüentemente empregada.

I - Analogia da treliça clássica,

a) Verificação da resistência do concreto à compressão, MBR 6118 • bielas in-clinadas a 45".

Nesse caso, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante compressão seja dada pela condição

onde VXtt é o valor de cálculo da força cortante solicitante, e VH(I2 ê o valor de cálculo da força cortante resistente determinada em função das tensões de compressão nas bielas diagonais, dado por

sendo

onde

a y l = 250

com f . em MPa

f — / ' i . Jui ~ ..

Lembrando que para estribos perpendiculares ao eixo da peça, ct =2 — , y ' K z

e admitindo resulta v niz2,2-—-<2>2THll

Fazendo y( =1,4, a Tabela (9.2-a) apresenta alguns valores de i/id2 corres-pondentes a valores usuais de fti

TABELA (9.2-a) VALORES DE xRd2 CORRESPONDENTES A y, =1,4

fã {MPa) 20 25 30 35 40 50

xRd2 (MPa) 3,5 4,3 5,1 5,8 6,5 7,7

u* {MPa)

7,8 9,5 11,2 12,8 14,3 17,0

CSTUUTUHAS PC GGNCFIETO

b} Verificação da resistência à tração da armadura de cisalhamento . NBR6118 - bielas inclinadas a 45 .

Considerando que além do mecanismo de treliça também existem mecanis-mos resistentes alternativos, conforme exposto no item 4,4, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante tração seja dada pela condição

sendo

V <, V

V = V + V ' HJÍ tf ILP ~ ' c

onde VíW é a parcela resistida pela armadura de cisalhamento que compõe a treliça resistente e Vc é a parcela correspondente aos mecanismos resistentes alternativos. O valor da parcela de força cortante resistida pela armadura é, portanto, apenas de Vtw = VSií - Vr.

A parcela Vt resistida pelos mecanismos alternativos pode ser admitida com os seguintes valores:

1) Vt =0 em peças tracionadas com a linha neutra fora da seção transversal;

2) Vc = Vi0 em peças submetidas à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção transversal, sendo

onde a resistência de cálculo do concreto à tração fcltl ê dada por

r __ fi-)k.\nf

J r " = y,

em função do valor inferior da resistência característica do concreto à tração, que é dado por

fetkM — ^ffitm

= ' E S T R U T U R A S DE C O K C R F T O 234

sendo a resistência média do concreto á traçáo ftm estimada por

/ f , „ = < U / c f

resultando o valor

Ko = 0, 6 X x 0 , 3 J f X b j = ^ X y ; f X ^ r , T,

que corresponde a uma redução

y,

F da tensão tangencial solicitante de cálculo, expressa por { = ™

A Tabela (9.2-b) apresenta alguns valores de xr(l correspondentes a y = 1,4

TABELA (9.2-b) VALORES DE te0 CORRESPONDENTES A y(. = 1.4

20 25 30 35 40 50

T,D {MPa) 0 0,66 0,77 0,S7 0,96 1,05 1,22

(*)t,„ já são valores de cálculo

3) K = Ko \ Mt.

á 2F,0 em peças submetidas á flexo-compressão, sendo 'Si/,nu* j

A/0 o momento fletor que anula as tensões normais de compressão na bor-

CSTUUTUHAS PC GGNCFIETO

da que é tracionada pelo momento MSíl mií, provocadas pelas diferentes for-ças normais que agem concomitantemente com a força cortante VSd, sendo calculadas com yf =1,0 e 7^=0*9.

No cálculo dessa tensão de compressão a(. não devem ser considerados os momentos fletores das forças normais externas aplicadas, decorrentes de diferentes origens, nem os momentos fletores devidos às ações diretas ou hiperestáticas de protensão, considerando-se apenas os momentos fletores isostáticos de protensão, Fig. (9.2-a),

exi

i J / i f

exi r - ' "

P P . P P . i

P P .

Tf = tO

Yp-0,9

I I I I M • i

'P

Tensões da compressão CT(. o considerar para o cálculo do Figura (9.2-e)

O valor A/fjAmall é o do maior momento fletor de cálculo que atua no semitra-mo considerado, decorrente das ações diretas e de momentos hiperestáticos de protensão.

A parcela Vf lt resistida pela armadura perpendicular ao eixo da peça (a = 00°), admitindo-se bielas diagonais inclinadas a 0 = 45° em relação a esse eixo, é dada por

v,.,= ^I^uv/lw Para (a = 90') onde:

£ = Ü,9f/ representa um comprimento A,v Igual ao braço de alavanca dos es-forços de flexão, sendo {d) a altura útil da peça; (A) O espaçamento entre os estribos, medido ao longo do eixo da peça; (Aw ) é a área da seção transver-sal de um estribo, considerados todos os seus ramos perpendiculares ao eixo da peça1; ( / w ) é o valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura de cisalhamento.

No caso de emprego de armaduras transversais inclinadas, com o ângulo (a * 90 ), tem-se, de acordo com o item (5.3),

s / Am.ffw (sin a+cos a ) com (a * 90°).

II • Analogia generalizada da treliça.

M É T O D O RÜORÍIO DE CALCULO

u b f - J

• * •

1

•—

( a l m a e s p e s s a )

v a l o r e s e l e v a d o s

30°í e «36°

( o l m o f i n o )

~ = valor «a baixos

Modelos do funcionamento do analogia generalizada da treliça Figura 19.2-b)

'thtonaqutéprttorfvnt o símbolo A •>" tímtwtn A{ potíitimit o primeiro frxfíeo devo tu referir CSTUIJTUHAS DC CQNCRCTQ spmprc (to rnntoriet o os restante? As cO* K/rçòpj de seu pnwrvt/o.

Verificação da resistência do concreto. NBR 6118 - bielas inclinadas entre 45 e 30°. *

Admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante compressão seja dada pela condição

V <, V Y $<i -1 v Kit:

onde VStt é o valor de cálculo da força cortante solicitante e VNil2 é o valor de cálculo da força cortante resistente em função das tensões de compressão nas bielas diagonais, que é dada por

sendo, neste caso,

onde

Ai = 0 *5 4

' a

vl ftd S Í

"2 0

' C O t

a , j =

f f \

1—"M com f. em MPa 250 )

f

J " V,

A Tabela (9.2-c) apresenta alguns valores de T ^ correspondentes a valores usuais de , admitindo 30° £ 0 <45° e ^ = 1,4,

TABELA (9.2-c) VALORES DE t^, CORRESPONDENTES A y, =1,4

L (MPa) 20 25 30 35 40 50

0 = 30" 3,05 3,73 4,4 4,99 5,57 6,63

0 = 34C) 3,29 4,02 4,7 5,38 6,00 7,16

0 = 38" 3,44 4,21 4,9 5,63 6,29 7,48

0 - 42Y 3,53 4,32 5,1 5,77 6,45 7,67

0 = 45Ü 3,55 4,34 5,1 5,81 6,48 7,71

Verificação da resistência da armadura de cisalhamento, NBR S118 - bielas inclinadas 30° £ 0 £45° .

Nesse caso, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante tração seja dada pela condição

V <,V . r $tl — * UJJ

sendo

^Rdí - K lê+ K

onde Vxw é a parcela resistida pela armadura de cisalhamento que compõe a treliça resistente e Vt é a parcela correspondente aos mecanismos resistentes alternativos, O valor da parcela de força cortante resistida pela armadura êt

portanto, apenas de Vm - VSil-Vt .

A parcela V. resistida pelos mecanismos alternativos é dada pelos seguintes valores:

1) Vc =0 em peças tracionadas com a linha neutra fora da seção transversal;

K ~ K\ ern peças submetidas à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção transversal, sendo

K, = Kc = OAL, - M c i u a n d o vs<* * Ko <

Í3TRUTURAS PC CONCRETO

caso em que a força cortante pode ser resistida, toda ela, pelos mecanismos resistentes alternativos, e

K, =0 quando VSc/ - VRdJ

permitindo-se a interpolação linear para valores intermediários de VSt,,

O valor V<, = 0 é adotado quando se admite que toda a resistência do concreto seja esgotada pelo mecanismo resistente de treliça, não cabendo atribuir ao concreto uma outra colaboração com os mecanismos resistentes alternati-vos.

No caso de se adotar í , =V,n, as restrições são as mesmas que as especifi-cadas para o emprego da treliça clássica, considerando-se a resistência de cálculo do concreto è tração fcfd, dada por

f frllM

em função do valor inferior da resistência característica do concreto à tração, cujo valor é dado por

ft tkMí = ^ 7 Ji-tm

sendo a resistência média do concreto à tração, estimado por

resultando assim o valor

Kc = 0 . 6 x H x 0 . 3 f f xbj = x f f *hj T,. Vf

que corresponde a uma redução

V

da tensão tangencial solicitante expressa por — b. d

A Tabela (9.2-d) apresenta os mesmos valores de xf0 referentes à treliça clás-sica, contidos na Tabela (9.2-b), correspondente a y( = 1,4

TABELA (9.2-d) VALORES DE r,„ CORRESPONDENTES A T< = L4

./;, (MPa) 20 25 30 35 40 50

TE0 (MPa) 0,66 0,77 0,87 0,95 1,05 1,22

3} K ~ K\ V

< 2V,t em peças submetidas à flexo-compressão, sendo

Mn o momento fletor que anula a tensão normal de compressão, na borda tracionada pelo momento MSl/mxl provocada pelas diferentes forças normais que agem concomitantemente com a força cortante VStl e calculada com Y / - 1 . 0 e yp = 0,9.

No cálculo dessa tensão de compressão tí( não devem ser considerados os momentos fletores das forças normais externas aplicadas decorrentes de diferentes origens, nem os momentos fletores devidos às ações diretas ou hiperestáticos de protensâo, considerando-se apenas os momentos fletores isostáticos de protensâo, Fig. (9.2-c).

í 5THUTUHAS OC CONCRETO :

Tcnsóos do campressáa f j . o considerar poro o cálculo do Mc

Figuro (9.2-c)

O valor MSlJ nax é o do maior momento fletor de cálculo que atua no semitra-mo considerado, decorrente das ações diretas e de momentos hiperestáticos de protensão.

A parcela VfW resistida pela armadura perpendicular ao eixo da peça (cc = 90°), admitindo-se bielas diagonais com inclinação de 30° <, 0 £45° em relação a esse eixo, é dada por

com (a -90°) onde: LV

V ^

(zzQ,9d) representa um comprimento i r igual ao braço de alavanca dos esforços de flexão, sendo {d) a altura útil da peça; (s) ê o espaçamento entre os estribos, medido ao longo do eixo da peça; (4» ) ® a área da seção trans-versal de um estribo, considerados todos os seus ramos perpendiculares ao eixo da peça; ( / l W ) é o valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura de cisalhamento.

No caso de emprego de armaduras transversais inclinadas com o ângulo a?s45 , admitindo-se bielas diagonais inclinadas a (30° £ 0 £45°) em rela-ção a esse eixo , de acordo com o item (5.3), tem-se

F = - A ^ f ^ (cot go. + cot gÕ)sin a com (a * 90*

III - Decalagem do diagrama de forças no banzo tracionado

Conforme foi analisado anteriormente, nos itens 5.2, 5.3 e 5.4, em virtude da fissuração oblíqua da alma das vigas submetidas a forças cortantes, a for-ça na armadura de tração em uma seção de abscissa ,v é proporcional ao momento solicitante em uma seção vizinha situada na abscissa .Y + ÍJ, , sendo conforme as indicações abaixo:

a = 45 ' 2 2

segundo (5,2-10) 0 = 45

a *45"

a, = —(1 - c o t a ) + : - t

2y / 2 segundo (5.3-7) 0 = 45

a = 45' segundo {5,4-4} 0 = 45"

Esse fato aumenta a intensidade dos momentos solicitantes de cálculo Mv Stt

a considerar no dimensionamento em relação às solicitações normais. Essa alteração pode ser levada em conta por meio da decalagem do diagrama de momentos fletores solicitantes conforme os valores acima indicados.

A Figura (9,2-d) mostra o cálculo das forças na armadura no banzo tracionado, no caso geral de Ôí 45 e a * 45 .

C 5 T H U T U n A S DC CgNCFlCTO

A Fig. (9.2-e) indica as duas formas com que se pode fazer a decalagem do diagrama de forças da armadura do banzo tracionado.

M Y

4X • z cotg 9 Z c o t g ot

A L" (cotg 9 * cotg ot)

K + iX

11 eotQ a • cotg úc, ) ' $ t l sBn ct 2 J

' M U Ot1

" r t .

ztcotga + cotg ot)-a t

A L 3 z { c o t g a t c o t g c x . )

ifcotq e t-cotg oc

Cálculo das torças na armadura no banzo tracionado. Caso gerai Figura {9,2-d}

Docaiagam do diagrama dtt brças na armadura do banzo tracionado Figura W.2-o)

I 5 T H U T U H A S CC CQNCFIETO

y PARTE C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O

C A P Í T U L O 1 0

TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA

10.1 Barras de seção circular

Analogamente ao que ocorre com as peças de concreto armado submetidas a forças cortantes, também no caso de solicitações de torção há a necessidade de conhecimento do comportamento das peças não fissuradas, em regime elástico, bem como o das peças fissuradas, funcionando com esquemas re-sistentes assimiláveis a modelos de treliça.

No estudo da torção devem ser considerados dois casos distintos: o da tor> ção uniforme, também dita torção circular, e o da torção com empenamento.

Na torção uniforme, o fluxo das tensões de cisalhamento que agem nas se-ções transversais formam circuitos fechados. Na torção com empenamento, isso não acontece.

Em regime elástico, a torção uniforme é dita torção de SainfVenant.

Para o estudo da torção uniforme, considere-se inicialmente, por simplici-dade, uma barra de seção transversal circular submetida ã torção pura, Fig. (10.1-a),

Torção puro da seçõo circular Figura (10.1-a)

Admita-se que a barra tenha comportamento elástico e que as seções trans-versais sejam indeformáveis em seu próprios planos. Desse modo, em virtu-de da simetria de revolução do sistema, as seções transversais mantêm sua forma circular, embora haja uma rotação relativa entre seções adjacentes.

Na deformação que ocorre por torção, no caso da seção circular, a distorção ocorre em planos perpendiculares ao raio que une os pontos considerados ao centro da seção.

Sendo muito pequeno o ângulo de distorção y, pode-se escrever

ydx = ic/B

logo

Sendo elástico o material, tem-se

x, = yG = Gr—f- (10.1-1) c/x

onde G é o módulo de deformação transversal.

Por outro lado, o momento de torção T pode ser obtido pela expressão

T = [ y -dA-G— f r • rd& dr = G—i dx\ dx *

ou seja

G — n — (10.1-2) dx /,.,

onde ífi é o momento polar de inércia da seção transversal da barra,

Comparando as expressões (7.1-1) e (7.1-2), obtém-se a tensão x, de torção pela expressão

T , = j - r (10.1-3)

e da equação (7.1-2) decorre o valor da rotação relativa entre duas seções afastadas de dx , dada por

^ = (10,1-4) dx G/..

que permite o cálculo dos deslocamentos angulares da barra,

Para o cálculo do momento de torção T admitiu-se que a tensão de cisalha-mento sempre tivesse a direção da perpendicular ao raio r que une o ponto considerado ao centro de gravidade da seção transversal. Isto é verdadeiro apenas no caso particular da seção transversal circular, em virtude da simetria de revolução então existente, Fig. (10.1-a).

10.2 Analogia da membrana

Quando se submete à torção uma barra de seção transversal não circular, a lei de distribuição das tensões de cisalhamento não tem a mesma simplicidade que no caso da seção circular.

O estudo da torção uniforme de barras de seção nâo circular pode ser feito por meio da analogia de Prandtl, usualmente chamada de analogia da membrana, que decorre da analogia formal existente entre as equações diferenciais que regem, respectivamente, a deformação por torção das barras e o equilíbrio de membranas flexíveis submetidas a pressão transversal*.

Para aplicação dessa analogia, considera-se uma membrana sem rigidez à fle-xão, formada por uma película de um líquido viscoso como uma bolha de sa-bão, fixada a um contorno rígido, com o mesmo formato que o da seção trans-versal da barra submetida à torção, Fig. (10.2-a),

A membrana flexível é submetida a uma pressão transversal uniforme de in-tensidade p, daí surgindo uma tração uniforme n por unidade de comprimen-to, igual à tensão superficial do líquido empregado.

4-

i f s K

•V X ^ 1

t \ , / ti

' , ) r i

ÍÍTTHTTTík >

Analogia do membrana figura (WJ-of

'fifAOAI.A, Trwvrf af fíow vnl irtKlint útiOHt/t, WtirNt f. Ctiiüuh J f MatOrtífHÍH. Htw Wwí . Í Í J f f .

Admitindo que seja satisfeita a condição numérica

— = (10.2-1) n dx

prova-se que existe a seguinte analogia entre os elementos da membrana deformada e os esforços tangenciais na seção submetida è torção:

1a- A tangente a uma curva de nível em um ponto da membrana tem a mesma direção que a tensão de cisalhamento no ponto homólogo da seção transver-sal;

2a- A declividade máxima da membrana em um ponto da membrana é nume-ricamente igual ao módulo da tensão de cisalhamento no ponto homólogo da seção transversal;

3a- O dobro do volume compreendido entre a superfície da membrana e o plano de seu contorno é numericamente igual ao momento de torção que solicita a seção.

Além de permitir a determinação experimental das tensões de torção, a ana-logia da membrana também pode ser usada para a obtenção de resultados qualitativos sobre a distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais de forma qualquer.

Assim, por exemplo, considerando a seção transversal retangular da Fig. (10.2-a), conclui-se que as tensões de torção t, serão máximas nos pontos A, pontos médios dos lados maiores da borda da seção.

Analogamente, nos pontos C, vértices da borda da seção, são nulas as tensões de cisalhamento pois, nos cantos salientes, a superfície da membrana tangencia o plano da base de seu contorno.

Na tabela seguinte2, estão apresentados alguns valores dos coeficientes a e (A que permitem a determinação das tensões tangenciais nos pontos médios A e B dos lados das seções transversais retangulares, Fig. (10.2-a), por meio das expressões

ESTRUTURAS DE CONCRETO 'T/MQSHCNKO, 5. "PvfifMnçút íAtj Mnminif" AoLtvrú Tiemea: fíio <fa Janeiro, t$CT-

atrh (b<h) (10.2-2)

(10.2-3)

h/b 1,0 1,5 2,0 4,0 8,0 00

a 0,208 0.231 0,246 0,282 0,307 0,333

1,000 0,859 0,795 0,745 0,742 0,742

Observe que a tensão máxima tA pode ser calculada de modo aproximado pela expressão

10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas

No caso particular de seções abertas de parede delgada, a analogia da mem-brana permite a determinação analítica das tensões de cisalhamento.

Considerando seções retangulares delgadas, Fig. (10.3-a), nas regiões afas-tadas dos lados menores do retângulo, a superfície da membrana pode ser admitida como cilíndrica. Isso permite estudar o equilíbrio da membrana considerando-se apenas uma faixa de largura unitária, perpendicular ao lado maior da seção.

Pelo fato da membrana ser flexível, é nulo o momento fletor em todos os seus pontos. Assim, à distância z da borda, tem-se

Sôçôas retangulares delgadas Figura (10,3-e)

ph » 2 M. - — z - p í ícosa- w= 0

2 2

Admitindo flechas pequenas, tem-se cosot = I, daí resultando w n{ 2 2 J

A flecha máxima \vmn ocorre na linha média da seção, onde z = h/2, valendo

í 1 0 - 3 " 1 *

Em qualquer ponto da seção transversal, a declividade máxima da membrana ocorre no plano perpendicular à linha média do perfil, valendo

íhv _ p i h (10.3-2)

Essa declividade máxima varia linearmente ao longo da espessura da seção. Na linha média do perfil ela é nula e, nas bordas, ela é máxima, valendo

(hA

d-

íhv It :mhj 2

- ± £ Í L n 2

De acordo com a analogia da membrana, a tensão de cisalhamento T, em um ponto qualquer da seção transversal submetida à torção é dada pela de-clividade máxima da membrana no ponto homólogo correspondente, des-de que seja respeitada a condição expressa pela equação (10.2-1), ou seja, desde que

n dx (10.3-3)

Deste modo, sendo

de (10.3-2} e (10.3-3) resulta, Fig. (10.3-b),

As tensões de cisalhamento t, têm portanto distribuição antimétrica ao longo da espessura h da seção, Fig. (10.3-b), podendo ser consideradas como para-lelas ao lado maior do retângulo,por ser esta a direção das curvas de nível da membrana ao longo dos lados maiores da seção.

—1

h J _

í h J _

í

T t

Distribuição antimétrica do tonsôos Figura (JQ.3-b)

As máximas tensões de cisalhamento ocorrem nas bordas dos lados maiores da seção, valendo

dx (10.3-5)

Pelo fato do momento de torção aplicado à seção ser numericamente igual ao dobro do volume delimitado pela membrana e pelo plano da base, tem-se a expressão

T = 2Lh'—\\\ 3 "

da qual, introduzindo (10.3-1), obtém-se

r - i u ü t 3 8/i

e, substituindo (10.3-3), resulta

T = G f/0 Ltí

dx 3

Deste modo, tem-se

cdB_ T

dx ~ Lh*/3 (10.3-6)

que substituída em (10.3-5) fornece

(10.3-7)

A expressão (10.3-6) fornece o valor da rigidez à torção da barra, definida por

T =GU,' efQ/dx 3

podendo, então, definir-se o momento de inércia à torção /, , por meio da expressão

Neste caso particular, da seção retangular delgada, tem-se

Observe-se que não há analogia entre a expressão (10.3-10) e aquela que forne-ce as tensões normais na flexão, No caso presente, a expressão (10,3-10) não

{10.3-9}

podendo, deste modo, escrever-se

(10.3-10)

fornece a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da espessura da peça. Ela simplesmente fornece o valor da tensão máxima.

10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas

O caso da seção trapezoidal delgada, Fig. (10.4-a), pode ser resolvido de modo análogo ao da seção retangular, No caso, a espessura genérica h da seção pode ser expressa por

h = k +kzA (10.4-1)

Seções irapwaidais delgadas Figura (JO.&af

De acordo com a analogia da membrana, o momento de torção resistido pela faixa elementar de largura tíy vale

dT = 2 M v |vvy nm

Desse modo, respeitando-se a condição (10.2-1), expressa por — = 2G—, e sendo a flecha " ílx

ph^ í/0 máxima dada por (10.3-1) , com iv,mt = £ — , obtém-se dT = G -dy, daí

"" 8íí dx 3

resultando

Assim, com a definição de momento de inércia a torção, dada por (10.3-8), pela qual

dQ/dx

obtém-se

I = \2

I i = L ( h ^ h 2 ) ( % * h \ ) (10.4-2)

resultando, em cada seção de abscissa y

T z = — h

ítirtiix»^' / it

(10.4-3)

onde a espessura genérica h é expressa por (10.4-1),

10.5 Seções abertas de parede delgada

As expressões deduzidas no caso da torção uniforme da seção retangular del-gada também podem ser aplicadas, de modo aproximado, a outros formatos de seções transversais delgadas, Fig. (10.5-a).

Sdfdes abertos (to parado delgada Figura (10,5-0/

As seções transversais mostradas na figura são assimiláveis a uma compo-sição de retângulos cujos comprimentos são determinados pelo desenvolvi-mento da linha média do perfil em cada um dos trechos considerados,

Para a aplicação da analogia da membrana, a seção total é decomposta em diversos retângulos de comprimentos L, e espessuras hr Desprezando-se a influência dos lados menores em cada um dos retângulos, a declividade da membrana dentro de cada retângulo, de acordo com (10.3-2), é dada por

sendo

M _ PÍ f± dz ti l 2

— = 2G— e w, I , / , I !HIK ( j , n dx

Deste modo, conforme (10.3-4), para cada um dos retânguios em que ficou decomposta a seção, tem-se

" dz, dx togo

Tí/,HUX ^ 'h (10.5-1)

De acordo com a analogia da membrana, o momento de torção que solicita a seção formada por m retânguios é dado por

r - 2 S U ^ - ^ Ç t

ou seja

dx y, Lfí L 3 i-i

daí resultando para o momento de inércia à torção a expressão

e para a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos retânguios o valor

W - f * C10'5"3» V

Quando na seção houver trechos formados por trapézios delgados, para es-ses elementos, em lugar da parcela L, hf/3, deve tomar-se, de acordo com (10.4-2), a expressão

(10.5-4)

10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas

Conforme foi visto no capítulo 1, nas seções compostas por elementos delga-dos, as tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes têm a direção da linha média do perfil,

Na Fig. (10.6-a) estão Indicadas as tensões de cisalhamento decorrentes de forças cortantes aplicadas segundo as direções dos eixos de simetria de uma seção transversal duplamente simétrica.

| y

l _ _ i* > , - r ^ T ^ v

C Z —.D-, > f - X i

M l j j J > "

tVy

Tensões devidas a forças cor tontos am seção duplamanto simétrica Figura flO.S-a)

Quando se aplica à força cortante Vy paralela à alma da viga, as tensões t i ;

que atuam nas mesas são auto-equilíbradas. A força cortante Vy é equilibrada apenas pelas tensões Tm que agem na alma,

De forma análoga, a força cortante é equilibrada apenas pelas tensões que agem nas mesas. As tensões Tu que agiriam na alma seriam auto-equi-libradas. No caso em questão, essas tensões são nulas em virtude da alma estar situada sobre o eixo de simetria.

Entende-se por centro de cisalhamento da seção transversal o ponto de pas-sagem das forças cortantes que agem sobre a seção.

Desse modo, quando há dupla simetria, o centro de cisalhamento coincide com o próprio centro de gravidade da seção.

Quando em uma seção, a resultante do carregamento externo passa pelo cen-tro de cisalhamento, não existem esforços de torção, como é o caso mostrado na Fig. (10.6-a), Observe que a não existência de torção decorre do fato da resultante do carregamento passar pelo centro de cisalhamento. Como será visto adiante, o fato da resultante passar pelo centro de gravidade da seção não é condição suficiente para que não haja torção. Essa idéia não decorre das hi-póteses básicas gerais da Resistência dos Materiais, que define o eixo da barra como o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais.

Quando se lida com problemas de torção, o eixo da barra é o lugar geométri-co dos centros de cisalhamento de suas seções transversais.

10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria

Considere-se agora a seção indicada na Fig.n0.7-a}, simétrica apenas em re-lação ao eixo z. Trata-se de uma seção H funcionando com duas almas de dimensões diferentes.

CISALHAMENTO SEM TOftCÍJO CISALHAMENTO COM TOflÇBO

Svçfto H com cftms aímus difarontos Fitftm (10.7-a)

Aplicando-se um carregamento externo paralelo ao eixo y da seção, há uma força cortante Vy que deve ser equilibrada pelas tensões tangenciais que agem nas duas almas da seção, de larguras bw1 e b^ respectivamente, sendo des-prezível a colaboração da mesa que as une,

Para que essa seção transversal esteja isenta de torção, ela não deve sofrer rotações, isto é, devem ser iguais os deslocamentos transversais das duas almas. Considerando-se apenas os deslocamentos devidos à flexão, para que as duas almas tenham os mesmos deslocamentos paralelos ao eixo y, elas devem resistir a quinhões de carga V, e V2, respectivamente proporcionais aos seus próprios momentos de inércia à flexão l1f e \2/, ou seja,

2 L . 2 L tu ' l i

sendo

A resultante das forças V e V? passa pelo ponto C, determinado pela igual-dade de momentos estáticos estabelecida por

Vx cí, = V2a2

ou seja

í,at = ha2

O ponto C de passagem da resultante das tensões de cisalhamento não coinci-de, em principio, com o centro de gravidade G da seção considerada. Messas condições, se o plano de flexão, isto é, se o plano do carregamento externo contém o centro gravidade G, não passando pelo ponto C, na seção atua um binário formado por duas forças paralelas: a força externa Vy passando por G, e a força interna equilibrante V]+V2 = Vy passando por C.

Desse modo, para que não haja torção, o plano de carregamento deve conter o ponto C, chamado de centro de cisalhamento ou centro de torção da seção transversal.

Quando o plano de carregamento passa pelo centro de gravidade G, e esse não coincide com o centro de cisalhamento C, na seção atua um momento de torção dado por

T = Vy-e1

10.8 Exemplo importante

Como outro exemplo de determinação do centro de cisalhamento de uma seção com uma única simetria, considere-se o caso importante do perfil C mostrado na Fig. (10.8-a).

Exemplo importante Figuro (10.8-aj

Trata-se agora de uma seção com uma única alma, possuindo mesas de tra-ção e compressão paralelas ao eixo de simetria.

Em virtude da simetria existente, o centro de cisalhamento está localizado sobre o eixo Gz. Resta, portanto, determinar a linha de ação da resultante das tensões de cisalhamento decorrentes da aplicação de uma força cortante Vy

paralela à alma, admítindo-se que a torção seja nula.

A máxima tensão de cisalhamento nas mesas vale

VS y :

V -J L . b h / ± J J ! ± hfl. 1 2 21.

logo

H t = H : = bh, Vj?d_

4/.

sendo desprezíveis as tensões x(k que atuam nas mesas, A força cortante Vv é resistida apenas pelas tensões que atuam na alma, sendo então V, = Vy.

Nessas condições, para que a resultante das tensões de cisalhamento passe pelo ponto C, deve ser nula a soma dos momentos das forças H,, H2 e Vt em relação a esse ponto, ou seja, tem-se

Vleí"Hld = 0

donde

vx v

y

resultando

b2dl

— (10.8-1) Ai. f

10.9 Centro de cisalhamento de seções abertas de forma qualquer

Embora o centro de cisalhamento possa ser determinado em caráter geral por meio de outras propriedades geométricas da seção que não as consideradas pela Resistência dos Materiais elementar3, os raciocínios aqui formulados são suficientes para o estudo aproximado das seções usuais que maior interesse apresentam para as estruturas de concreto,

De modo geral, o centro de cisalhamento pode ser entendido como o ponto de passagem da resultante das tensões de cisalhamento, quando na seção age apenas força cortante, sem que simultaneamente exista torção.

Admitindo-se então uma certa distribuição de tensões correspondentes à ação isolada de uma força- cortante, pode ser determinada a linha de ação de sua resultante, Apücando-se o raciocínio em duas direções diferentes, deter-mina-se o centro de cisalhamento.

Na Fig. (10.9-a) está ilustrado esse raciocínio.

Soçócs abertas do elementos dstgodos Figura (10,9-ai

O duplo T simétrico, figura I, por ter dois eixos de simetria, apresenta os pon-tos C e G coincidentes, No caso da figura II, em que há apenas um eixo de simetria, os pontos C e G são distintos e se localizam sobre o eixo de simetria. Nas seções das figuras III e IV, o centro de cisalhamento está localizado no ponto de encontro das linhas médias das duas abas que compõem o seção, Isso é facilmente estabelecido, considerando-se a aplicação sucessiva de for-ças cortantes paralelas a cada uma das abas.

'WjISSOV fií. Pn/Wf íimyuvr fff" YOilvsrniuçt>t íTruií . O, S M I R N 0 F F Í Eyrgü ío - PWIu S9S2, C=5Tf iUTUnAS PC C O N C R E T O

Em principio, quando uma barra é submetida a cargas transversais, nela po-dem existir forças cortantes e momentos de torção.

Quando o plano de carregamento contiver o centro de cisalhamento, não ha-verá torção. As seções transversais sofrerão deslocamentos, mas não haverá rotação em seus próprios planos

Nos casos mais elementares, da seção circular e da seção retangular delgada, a teoria da torção uniforme admite as hipóteses de que a seção transversal da peça seja indeformável em seu próprio plano e que, além disso, a seção plana permaneça plana.

No caso de seções delgadas de forma qualquer, a teoria da flexo-torção de Vlassov abandona a hipótese da manutenção da forma plana da seção transversal, mantendo apenas a hipótese da indeformabilidade da seção em seu próprio plano. Nesse caso, admite-se que a torção provoque o empe-namento da seção transversal. A origem desse empenamento está ilustrada na Fig. {10.9-b).

Ftexo-torçSo do barras do parede delgada Figura iW,9-b)

Nessa figura, a barra de seção duplo T está solicitada por uma força concen-trada F em uma das extremidades da mesa inferior da seção.

A ação dessa força F é estaticamente equivalente aos quatro carregamentos parciais indicados. Três dos carregamentos parciais reproduzem o efeito da força normal N e dos momentos fletores M yeM í a que está submetida a barra em questão.

Note-se que a equivalência dos carregamentos parciais ao carregamento ori-ginal somente existe quando se acrescenta o quarto carregamento parcial que, embora estaticamente nulo, evidentemente produz a flexão local das mesas do perfil, em sentidos contrários, o que faz com que a seção transver-sal deixe de ser plana.

Em peças estruturais de grande porte das construções de concreto, os esforços associados aos empenamentos podem ser significativos. Todavia, nesses casos, como por exemplo nas caixas de elevadores dos edifícios muito altos, a teoria das barras de parede delgada também pode nâo ser suficientemente precisa.

Nesses casos, em face da atual facilidade de processamento das estruturas por meio do método de elementos finitos'3, não se justifica o emprego de teo-rias aproximadas que admitam a indeformabilidade da seção em seu próprio plano. Nesses casos, é preferível, e mais prudente, considerar o elemento estrutural como sendo composto por um conjunto de cascas, e processa-lo por métodos computacionais.

Nos casos em que se pode considerar a existência tanto de torção uniforme quanto de flexo-torção, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de torção, ou então, uma dessas formas pode ser desprezada quando se admite uma capacidade adequada de acomodação plástica da estrutura, e que o meca-nismo desprezado não tenha rigidez superior ao mecanismo considerado como o resistente.

De acordo com a NBR 6118 (item 17.5-2), os valores de rigidez devem ser calculados considerando-se os efeitos da fissuração, podendo ser adotados 0,15 da rigidez elástica no caso da torção uniforme e 0,50 no caso da flexo-torção, para a qual se pode admitir a validade do método simplista admitido pela norma brasileira, que é analisado no capítulo 13 dessa publicação.

•SAP ioog NommArt CSTUUTUnAS DC CONCRETO

CAPÍTULO 11 SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA

11.1 Tensões

No estudo da torção de seções fechadas de parede delgada, admitem-se as hipóteses de que as tensões de cisalhamento sejam uniformes ao longo da espessura dos elementos delgados, e que essas tensões tenham a direção da tangente à linha média do perfil, Fig. {11.1-a}.

Com essas hipóteses, as tensões de cisalhamento de torção podem ser deter-minadas diretamente a partir da condição de equilíbrio à rotação.

Seções fechadas de parede delgada Fig, nt.ho)

O problema é, portanto, tratado isostaticamente. Todavia, isso somente é pos-sível quando não há a superposição de tensões devidas a forças cortantes,

que não podem ser determinadas independentemente das tensões de torção, como acontece nas seções que não têm um eixo de simetria na direção da força cortante aplicada.

Por simplicidade, quando não houver possibilidade de confusão, a tensão de cisalhamento devida à torção poderá ser indicada simplesmente por x, omi-tindo-se o índice representativo da torção.

Considerando o equilíbrio longitudinal de um elemento de parede de lados A.v e dx, obtém-se

ou seja, a força unitária de cisalhamento I> = T/J é constante ao longo do perí-metro da seção, A resultante dessas forças de cisalhamento é nula, pois elas formam um polígono fechado.

Igualando o momento das tensões de cisalhamento ao momento de torção aplicado à seção, tem-se

Vi dx = xJh dx

logo, em qualquer ponto da seção, tem-se

~ t j / f j = xfi = v = c o n s t a n t e (11.1-1)

onde o pólo 0 de redução dos momentos é um ponto qualquer do interior da seção transversal Sendo constante o valor de v = xh, obtém-se

T = vá rafo = 2 vA

sendo A a área da figura plana delimitada pela linha média do perfil Nessas condições, resulta a chamada fórmula de Bredt:

Essa expressão é válida desde que seja verdadeira a hipótese de distribui-ção uniforme das tensões ao longo da espessura da parede. Essa validade existe desde que o raio de curvatura interno da parede seja maior que a própria espessura da parede. Caso contrário, existe uma concentração de tensões que não pode ser ignorada, sendo a tensão máxima efetiva então existente dada por

s

onde, Fig. (11.1 -b),

CoriesntfBçóo da tonsiss Figura flí.í-b!

Nas seções celulares, é importante considerar o fluxo de tensões na passa-gem do cisalhamento da alma para a mesa da seção transversal,

Analogamente ao que foi visto na ligação alma-mesa das vigas submetidas a forças cortantes, também na torção a mudança de direção desse fluxo se faz com a colaboração do cisalhamento em diferentes planos longitudinais, Fig, (11.1-c) e Fig. (11.1 -d).

Ao longo do prolongamento da alma na espessura hf da mesa, a distorção yt. diminui até se anular na face superior da viga, Fig. (11.1-c). Nesse trecho, a ligação da mesa à alma da viga passa a depender das tensões xrs que atu-am nos planos verticais de corte da mesa, Fig. (11.1-d),

V xz

_ v _

Cisalhamento no trecho do l/gaçâo alma-mesa Figure ft í, 1'C)

lxz

Desvio do fhixo do tensões Figura (11.1-d)

11,2 Rigidez

Para o cálculo da rigidez à torção, iguala-se o trabalho realizado pelo momen-to de torção aplicado à energia de deformação acumulada na peça,

rf é/0 O trabalho realizado pela aplicação estática do momento T vale dU —-—, sendo c/0 a rotação relativa de duas seções afastadas de dx .

A energia de deformação de um segmento dx de barra, em função das ten-sões de cisalhamento vale

onde

logo

t

T = -2 Ah

dU = dxj> x2hds

2 G = dx-

8A2G 7 h

Igualando as duas expressões de energia, resulta

Td§ , Tl r ds

ou seja,

= d x l S õ H

e sendo Tj2A = th = constante, resulta

dO

dx

A rigidez da peça também pode ser expressa pela equação 01-2-1}, da qual

sendo

íIQ _ T

dx ~ Cl,

4A2

h

( 1 1 . 2 - 3 )

( 1 1 . 2 - 4 )

11,3 Analogia da membrana

Os resultados obtidos anteriormente também poderiam ter sido obtidos por meio da analogia da membrana, como é mostrado a seguir, Fig. (11.3-a).

Nas seções fechadas de parede delgada, admite-se que o contorno interno correspondente à seção seja fechado por uma placa rígida sem peso, que é obrigada a se deslocar paralelamente a si mesma, e que a membrana flexível fique situada entre o contorno interno CD e o contorno externo AB.

Analogia da membrana Figuro ( 7 7 . 3 - 0 /

Sendo pequena a espessura h da parede em relação às dimensões da seção transversal, admite-se como desprezível a curvatura da membrana e a sua declividade será então dada por w/h.

Essa é a mesma hipótese feita anteriormente, de que a tensão de cisalhamen-to seja constante ao longo da espessura da parede. Desse modo, tem-se

ou seja, o deslocamento w da membrana mede a própria força unitária v de cisalhamento.

Calculando o dobro do volume delimitado pela membrana, tem-se

T = 2Aw = 2Ahxí

que é a mesma expressão (11.1 -2), já obtida anteriormente, na qual A é a área da figura plana delimitada pela linha média do perfil.

Por outro lado, considerando o equilíbrio de forças perpendiculares à seção, tem-se

t, =

logo

T (113-1)

T' ~ 2Ah

Fazendo

vt1 sm a = taii a =

h

obtém-se

h

cstuutuhas pc ggncfieto

resultando

/ Í ' h

Empregando a hipótese básica da analogia da membrana, expressa por (10.2-1),

— = 2(7 —

e sendo

resulta finalmente

1 r , = — — 0 Tí/.V dx 2 AGJ (11.3-2)

que é a mesma expressão (11.2-2) já obtida anteriormente,

11.4 Centro de cisalhamento das barras de seçáo fechada

Nas barras prismáticas de parede delgada com seção transversal fechada, as ten-sões de cisalhamento devidas a forças cortantes são calculadas admitido-se as mesmas hipóteses das seções abertas, mas o problema agora é hiper está tico.

Considerando o equilíbrio longitudinal de um elemento de viga, Fig. (11.4-a), sendo .Rf a resultante das tensões normais no trecho de seção transversal de-finido pelo elemento considerado, tem-se

( t A - t A )dx = dR]

Cisaihamonto tiavido a forças cortantes Figuro (1 i.rt-n)

ou seja, repetindo o raciocínio feito no estudo das seções abertas, resulta

, , dRt VyS. í VS x h - xnhu = —= ± -7Í

dx /. /.. ( 1 1 . 4 - 1 )

Sendo fechada a seção transversal, para se isolar em elemento da barra são necessários dois cortes longitudinais. Existem assim duas incógnitas, t e x„ na equação de equilíbrio longitudinal (11.4-1), tratando-se, portanto, de um problema hiperestático.

Quando se sabe, a priori, que existe uma fibra longitudinal com tensão de cisalhamento nula, o problema fica simplificado. Escolhe-se essa fibra para um dos cortes longitudinais, restando apenas uma incógnita na equa-ção (11.4-1).

Com isso, a seção fechada passa a ser tratada como se fosse aberta, Esse é o caso quando a seção transversal possuir um eixo de simetria paralelo a direção da força cortante, pois no eixo de simetria é nula a tensão de cisalha-mento, Fig. {11.4-b).

Cisaihoma/itc do soçúcs fechadas simétricas Figura (11,4 b)

Quando a seção transversal não possuir eixo de simetria paralelo à força cor-tante, o problema deverá ser resolvido pelo emprego da equação (11.4-1}, escrevendo-se

x h = - í — - ± -í—t- +1 nh„ I.

(11.4-2)

sendo, então necessário determinara incógnita suplementar^.

Para essa determinação, corta-se arbitrariamente a seção em uma fibra longi-tudinal, Fig. (11.4-c), onde atua uma tensão incógnita xn, ou seja, onde atua a força de cisalhamento incógnita vb = xch0.

Com o corte arbitrário assim feito, determína-se a parcela de cisalhamento

V..S. ^ VS í. L

(11.4-3)

que difere do valor verdadeiro v = xh, pelo valor da tensão v0, atuante efetiva-mente na seção em que se praticou o corte arbitrário.

Desse modo, o cisalhamento unitário verdadeiro, expresso por

v = v, + v0 (11.4-4)

I k ©

CORTE, tfieiTUABÍO

u

H

©

LU TTTT

r m T T T TTTl í ! I T , *• * • H * * j

t

(£)• Knitantt 1 f 4 4 4 4 4

L (£)• Knitantt 1

f 4 4 4 4 4 —

M I M Mil M II1

« - V "o

v * th

unam dpffww trt Toigat gwiantw

solução com um

corte arbitra rio

V s V

I S

T

piiof a% f«m «tiani» w myfifftto dft torcõú - to

diferença v ro «ti» etoigf QtbUfJHO

üívo op<KiM urt morar-lo de torção t>

V - V , ' V 0

Cisottmmonto dc seçdáS /eí flútes nflo simétricas Figuro (11,4+c)

corresponde ao cisalhamento que existiria se a seção fosse efetivamente cortada onde se praticou o corte arbitrário, mais uma parcela constante v0 ao longo de todo o perímetro da seção, ou seja, tudo se passa como se a seção íntegra estivesse sujeita ao cisalhamento calculado por v,, mais o cisalhamen-to vü correspondente a um momento de torção Tü

Isso significa que as forças unitárias de cisalhamento calculadas com o corte arbitrário, correspondem às forças cortantes realmente aplicadas, mais um momento de torção (-T l, pois v, = v - v 0 .

Nessas condições, quando na seção atuarem simultaneamente v, e vot isto é, quando for obtida a solução real, será nulo o momento de torção atuante, Quando Isso ocorrer, será mínimo o trabalho de deformação devido às ten-sões tangenciais, pois só restará o trabalho de deformação decorrente do cisalhamento devido às forças cortantes,

Desse modo, sendo

ü = ^ _ h ± 1 = ± r 2 h á s

T 2 2 GJ

deverá ser

2 G t dx0

e como h é independente de tfl, pode-se escrever

õU 1 r õ(xh) , A , = 0 (11.4-5)

ÕXq G j ÕI,

Por outro lado, derivando-se a expressão (11.4-2) em relação a t„, resulta

ÕTa

e a expressão (11,4-5) assume a forma

j ) xh^ds = 0

ou seja

§tds = 0 (11.4-6)

— = H S T R U T U R A S W C O K C R E T O 280

Dessa forma, sendo

h h

tem-se a condição

ou seja, resulta finalmente

= (11.4-7)

Para o emprego dessa condição, é preciso respeitar os sinais da derivada d(T/í)/r?z0 contida na equação (11.4-5), Para isso, considerando que T0/r(1 é um valor constante, a função th será crescente quando v, e v0 tiverem o mes-mo sentido. Desse modo, adota-se arbitrariamente um sentido de circuítaçáo para v0 , admitindo que seja v0 > 0 . As forças unitárias v, serão então con-sideradas positivas quando tiverem o mesmo sentido que v0, e negativas em caso contrário. Na Fig. (11.5-b) do item seguinte está mostrado um exemplo de aplicação dessa regra.

De posse do valor da força unitária v0, ficarão conhecidas as tensões de ci-salhamento decorrentes das forças cortantes. Uma vez conhecidas as forças unitárias de cisalhamento, v=v, +v0, poderá ser determinado o centro de ci-salhamento da seção. Para isso, basta impor a condição de que seja nulo o momento das forças v em relação ao ponto C procurado, como mostrado mais adiante na Figura (11.5-c),

11.5 Exemplo

Como exemplo, considere a seção indicada na Fig. (11.5-a)

Dimens&íis s&çõa transverso Esforço óptica do I

£ o

8 OJ

S-3 0 c m

25 cm Ll . _

c r

õ—v,

i _ T" 300 cm 101

72,7 cm

»2

25 cm

_4

127,3 çm

3

Exemplo Figura f 11.5-a)

Cortando-se arbitrariamente a seção transversal ao longo da espessura que contém o ponto P0 situado sobre o eixo G?, Fig.(11.5-a), obtêm-se as forças unitárias v& e v , , Fig. (11,5-b).

0* Mit V (JfMirtffl tXfyJtXif adulada pwa ^

Seção com um corte arbitrário Figura (! t,$-b)

Em virtude da simetria em relação ao eixo y, sabe-se que o centro de cisalha mento C está situado sobre esse eixo. Para a determinação de sua posição imagína-se a seção submetida a uma força cortante V? arbitrária.

As forças de cisalhamento na seção com o corte arbitrário valem:

v , . = 2 5 x 7 2 , 7 x 1 5 0 — = 272,625^. I I y r

v,, = v.. + 30x150x75-^- = 610,125— 1.3 1,1 i i

VKi = VU

= 0

v u = - 2 5 x 1 2 7 , 3 x 1 5 0 - ^ -477.375-*-

= - 1 0 x 150 x 75 = -589.875 -yi

VI.T = VM

IMessas condições, sendo:

272.625 V. 12 J h 25 S

— X- = 396.397 2 / .

f>

Cl-, = j—tfc = — 2 j h 30

272.625 x 300+ j (610,125- 272,625 )x 300 V V — = 4,976,250—

= Jy às = a,

477.375 K J x 1273 ^ ü 25 L

as = \^Lds = ~ 477.375* 300 + ^(589.875-477.375 )x 300

resulta

<£ x,ds cj> ^ ds = ^ a, = -:1!3.233.000 -

De maneira análoga, tem-se

<£>— = - L 200 x 2+—300 + — 300 = 56 * h 25 30 10

logo, de acordo com a expressão {9.4-7}, resulta

<£t ,ds 13 233 000 V V Vn = = - ^ = 236.304

^ * 56 / , / ,

Obtém-se assim o resultado final r = t, + t0 ou, o que é equivalente, v = v, + v„ :

v0=vl>0 + v5 = 236,304^ ji

v, = v I i ( + v o b 5 0 8 . 9 2 9 ^ A'

Vj = V|_i + = 846.429 ty

Vj = v,j + vD = 508.929íi 'y

v4=vliJ+v„ =236.304-^ 'y

Vj = v I J+v0 =-241.071^-

V = Vi,6 + v0 = -353,57 ly-

,v

V7 = vl7 + v0 =-241.071^-

A Fig, (11,5-c) apresenta o diagrama final de forças de cisalhamento v , bem como a posição do centro de cisalhamento, calculada como adiante se indica,

Uma vez conhecidas as tensões de cisalhamento devidas à ação exclusiva de uma força cortante V;P é possível determinar a posição do centro de cisalha-mento, que marca a posição por onde deveria passar a linha de ação de V,.

De fato, não havendo momento de torção aplicado, deve ser nulo o momento das forças de cisalhamento em relação ao ponto C da Fig. (11,5-c).

cstuutuhas PC ggNCFiETo

Forças roais do cisathamcnto Figura {1 t.S-c)

Com essa condição, tem-se

^ X] 50 + y2-dc + y3 X150 -VA x150 - Vs (200- Í / c , y Vt X150 = 0

onde

L = 315,1x106 cm4

135 7 V V, = 508.929— = 0,1 10- V. 2 1.

V = 300 x 508.929+ 300 (846.429 -508.929) l i - = o, 699-K

V} = Vy

64,3 V. v, = ^ x 2 4 1 , 0 7 1 = 0,024 V. 2 /.,

— = 0,301 y, h

Desse modo, resulta

0, LI 0x2x150 + 0 , 6 9 9 - d c - 0 , 0 2 4 x 2 x 1 5 0 - 0 , 3 0 1 ( 2 0 0 - < / c ) = 0

ou seja

í/t. = 34,4 cm ,

11.6 Seções parcialmente fechadas

No estudo da torção de seções parcialmente fechadas, Fig. (11.6-a), admite-se que ffô tenha

dx um valor único para toda a seção considerada. O momento de torção T terá uma parcela Ta resistida pelos trechos abertos e uma parcela 7), resistida pelo trecho fechado, sendo T = Ttl + Th ,

Vf = 300 x 24 L07l + - j x 300(353.571-241.071)

I. ISO cm ' zoo cm 150 cm I ! T 1

Soçócs parcialmente fechadas Figuro (ft,6-a!

cstuutuhas pc ggNCFiETo

De acordo com os resultados já obtidos, equações (10.3-8) e (10.5-2), a par-cela T vale o

r ~ríBi

onde o correspondente momento de inércia à torção é dado por

s. I !r Z - i -> M

De forma análoga, a parcela Tb é dada pelas expressões (11.2-3) e (11.2-4), sendo

r - r c i d i dx

I • ds * h

Nessas condições, tem-se

T = C f (/,„ + /„)

logo

t/0 T

daí resultando

(11.6-1)

e

(11.6-2)

De modo geral, a parcela T resistida pela parte aberta da seção é desprezível, podendo fazer-se T = Th, uma vez que Ila é usualmente muito menor que ílh

11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada

A título de exemplo, considere-se a seção mostrada na Fig. {11.6-a}. Neste caso, têm-se

e

20

com

/ , = / , „ + / , , , = 2 8 8 , 8 x IO6 c m

logo

T„ = 0,00277 T

Admitindo que na seção atue um momento de torção

T - 4 0 0 k N - m = 4x l0 4 kN-cm

tem-se:

-trecho aberto

x „ _ = f M 1 Ü 2 7 7 x 4 , > < m 4 x20 = 0.003 kN/cnr = 0,03 MPa IK<1 " 0.8x10

e

-trecho fechado

T. 0.99723x4xL04 t, aüS - — = = 0 j 6 6 kN/cnr = 1,66 MPa

w 2 Ah, 2x200x300x20

11.8 Seções multicelulares

Mas seções multicelulares, a distribuição das tensões de cisalhamento de-vidas à torção é estaticamente indeterminada. Não se conhece de antemão o sentido das tensões de cisalhamento nos septos intermediários, Fig, (11.8-a). Sabe-se, apenas, que o equilíbrio longitudinal impõe, em cada nó, a condição

(11.8-1)

Condições dç equilíbrio Figura (1 r.S-a)

A aplicação da analogia da membrana é feita, nesse caso, com uma placa rígida em cada um dos vazamentos existentes na seção. Durante os deslo-camentos das membranas, as placas rígidas são mantidas paralelamente ao plano da seção, Fig, (11.8-b).

1 • 1 1 1 0 t ©

: i i i i

<D

1 i i i i

- i -L .i

PLACA FtiOOA -MEMBRANA

K m '

PLACAS RÍGIDAS MEMBRANA-- " ' 4

/ I • ^ / W 1 V 1 I

AplícsçSo do analogia t/t> membrana Figuro (!J.3-b)

Lembrando que os deslocamentos w; de cada membrana são as próprias for-ças unitárias v, de cisalhamento, resulta

T = 2(riivl + Â2v2 + /ÍjVj) (11.8-2)

onde A,tA: e/fj são as áreas delimitadas pela linha média do perfil de cada uma das células existentes na seção.

A expressão anterior também pode ser obtida pela consideração de cada uma das células isoladamente, às quais se aplica sucessivamente a fórmula de Bre-dt, equação (11.1-2), resultando

onde 7j , T? e T3 são as parcelas do momento de torção resistidas por cada uma das três células, respectivamente.

De modo geral, o número de incógnitas v, é igual ao número de células, ou seja, o grau de indeterminação hiperestática é igual ao número de septos In-termediários.

No exemplo da Fig, (11,8-b), há três incógnitas, v1f v2 e vy dispondo-se apenas de uma equação de equilíbrio, dadas pela expressão (11.8-2).

Neste caso, há duas incógnitas hiperestáticas, que são determinadas impondo-se

a condição de igualdade de — em todas as células, ou seja: dx

T = 7] + r., 4- 7, = 2 A, v, 4- 2A:\\ 4- 2A,v3

e (11,8-3)

cíQ Para o cálculo da rotação relativa específica — c a d a célula é considerada

rfx isoladamente» sendo, de acordo com (11.2-2),

rd0

v, dx 1 2 Afifyxtds (11.8-3)

CO

Observe-se que para o cálculo das expressões (11.8-3), nos septos interme-diários, são consideradas as verdadeiras forças de cisalhamento que aí atu-am, Fig. (11.8-c), que são as resultantes das duas forças de cisalhamento que agem nas células adjacentes.

*

l 1 V V ' v V

©

— *

d V »« I

Fórçus rouis do cisulhanientó Figura (tt.S-c)

11.9 Exemplo de seção multicelular

Seçáo muitica/ufar Figura (! 1.$-a)

Admita que na seção dessa figura atue o momento de torçãoT = 4000 kN-m. No caso, têm-se:

4 =/fj = 200x300 = IO4 cm2

A, =200x400 = Hx| O4 cnr

A condição de equilíbrio (10.3-1) fornece

7 = 2(A]vl + A2v2 + A3vj ) = (l 2v, +1 <5V2 +12 v} )• I O4

A rotação das diferentes céíulas é expressa por meio das condições (11.8-3), resultando, de acordo com o que está mostrado na Fig. (11,8-c) do item anterior

™(300 + 200 + 300)+ ^ 200 h h dx h 2 AGm

í|> tdS : 2 AG

j = <£Ttfr = {dx)2 2AiGl 2A2G

— (400 + 400) h

i+-v, -v.

200 + v, -v.

200

V dx = Sxds = —— — (300 + 200 + 300)+ ——— 200 2 AFIL 2A3G[hK > h J

Impondo a igualdade de rotação, condições (11,8-3), tem-se:

^dx) {

dQ*

. dx,

e sendo h constante em todas as células, resulta

— [800 • v, + 200 (v, - v2 ) ] = — [ 8 0 0 • v3 + 200 (v2 - v, )+ 200(v, - v>)] A, J,

ou seja

- 2 v 3 ) = ^ ( l 2 v 1 - 2 v l - 2vj )

Por outro lado, em virtude da simetria do sistema, tem-se v, = v3, reduzindo-se o número de incógnitas e, simultaneamente, o de equações, daí decorrendo que a expressão anterior reduz-se a

2,167'V, -1,833* v2 = 0

ou seja

v. = 0 , 8 4 6 - ^ 2,167 "

Considerando então o equilíbrio de momentos, obtém-se

T = (24-v, +16-v3)l04

donde, para

T = 4000 kN • m=4x IO5 kN-cm

resultam

v, =0,93 kN/cm c

v, = 1,10 kN/cm

que para a espessura h - 20 cm correspondem respectivamente a

x = x, =0,47 MPa

T , = 0,55 MPa

atuando nos septos transversais a tensão

t - = 0,ÜH MPa

como se mostra na Fíg. {11.9-b}.

T - = 0,0K MPa

0,47 0.47 1 ~1 -1

0,47 ílll •f!í ' i 1 T i O,OS \ r II., o.oa

Ull 0.47

0,17 0,33 0,-4 7

Tensões finais <lc cisalhamento (MPa) Figuro (11.9-bj

CAPÍTULO 12 TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL

12.1 Torção em peças de concreto armado

A torção de peças estruturais foi investigada experimentalmente desde os primórdios do concreto armado, como ilustram os exemplos da Fig. {12,1-a)r

que mostram a fissuração de peças de concreto armado e de peças de con-creto simples1.

Ensaios do Mürsch Figura (12. ha}

Como está ilustrado pela Fig, {10.1 -a), a torção provoca uma fissuração de-corrente de um estado de cisalhamento simples, no qual a tensão principal

: E S T R U T U R A S M C Ü K C R I i T O •MOflSCH f.

de tração CT, tem módulo igual a , estando inclinada a 45® em relação ao eixo da peça, Fig. (12.1-b).

Em princípio, a fissuração ocorrerá quando a tensão principal de tração, que tem módulo igual à tensão de cisalhamento tr devida à torção, for igual à resis-tência f a do concreto à tração, ou seja, a condição de fissuração é dada por

t , = X (12.1-D

De acordo com a expressão 110.2-2), no caso de seções retangulares cheias, de comprimento L e de seção transversal de comprimento b e espessura as má-ximas tensões tangenciais r, valem

^ = - 7 1 7 (b<h} (12,1-2)

lembrando que essa expressão não fornece o diagrama de tensões ao longo da espessura da peça, mas tão somente o valor máximo no meio do lado maior da seção. A tensão no meio do lado menor é dada por = JUT(1, sendo

h/b 1,0 1,5 2,0 4,0 8,0 00

a 0,208 0,231 0,246 0,282 0,307 0,333

1,000 0,859 0,795 0,745 0,742 0,742

IMo caso de seções abertas compostas por elemento retangulares, as expres-sões (10.5-2) e (10.5-3) mostram que no meio de cada um desses elementos atua a correspondente tensão máxima t , d a d a por

i.nux./ , " I

onde /;. é a espessura do elemento considerado, e /, é o momento de inércia à torção da seção, determinado aproximadamente por

"' l Ir f M

É importante assinalar que essas duas últimas expressões somente podem ser consideradas válidas desde que se possa admitir a seção transversal da peça como Indeformável em seu próprio plano.

Nas estruturas de concreto com seções abertas, sem diafragmas nem enrijecedo-res eficientes» a restrição dificilmente poderá ser obedecida. Além disso, como a fissuração acarreta uma significativa perda de rigidez do concreto» na concepção de estruturas de concreto deve ser evitada a consideração da segurança contan-do com a rigidez è torção de peças de seções abertas.

12.2 Analogia da treliça espacial

Tendo em vista o que já foi estudado em relação ao cisalhamento devido a forças cortantes, no caso de peças de seção celular submetidas à torção, é possível idealizar o seu comportamento assimilando-as a treliças espaciais, Na Fig. (12.2-a) mostram-se os estados de tensões que levam à concepção da treliça espacial.

Nas peças fissuradas, com fissuras inclinadas a 45° em relação a seu eixo longitudinal, os esforços resistentes são compostos por campos diagonais de compressão e por faixas tracionadas tanto longitudinais quanto transversais. Desse modo, as armaduras das peças torcidas podem ser formadas por estri-bos e barras longitudinais ou por barras helícoidais, Fig. (12.2-b). Todavia, di-ficuldades construtivas, particularmente de precisão no dobramento das bar-ras de aço, e a possibilidade de inversão do sentido da torção, praticamente eliminam o emprego de armaduras helícoidais.

Figura (12.2-a)

Figura (12.2-b)

Nas Figs, (12.2-c) e (12.2-d), é mostrada a idealização das treliças espaciais resis tentes á torção.

Na Fig. [12.2-c) é vista a treliça formada por diagonais comprimidas de con creto, etirantes de aço dispostos transversal e longitudinalmente

Na Fig. (12.2-d) aparece a treliça com armadura helicoidal.

Figura (12.2-c)

Figura (12.2-dj

Observe que para o funcionamento efetivo do comportamento de treliça es-pacial é indispensável que se possa admitir como indeformável a seção trans-versal da peça. Para isso é necessário que nas seções transversais de intro-dução dos momentos de torção haja um diafragma rígido de concreto, tanto nas extremidades da peça, quanto em seções intermediárias de introdução de esforços concentrados.

1 2 . 3 O modelo de treliça espacial

O modelo de treliça espacial, que é intuitivo na torção de peças com seção transversal celular, também pode ser admitido em peças de seção cheia, como se demonstra experimentalmente3, uma vez que, nas peças, a efetiva seção resistente de concreto é formada apenas por uma camada periférica, Figs. (12.3-a) e {12.3-b}.

}C£B - "Manuel de Cotcu!" Effori Trsnchant-Torsion. 1973. ÍSTUUTUnAS PC CONCRETO

Os resultados dos ensaios mostrados Figs. (12.3-a) e (12.3-b)4 demonstram que, na torção de peças de seção cheia, a parte resistente é constituída ape-nas por uma camada periférica de espessura efetiva

As investigações realizadas mostraram que a espessura efetiva h(. pode ser determinada pela expressão

(12.3-1)

onde A é a área total delimitada pela linha média do perfil e « é o comprimento desse perímetro.

Esses resultados também mostram que a armadura longitudinal deve ser dis-tribuída de modo equilibrado ao longo do perímetro da seção resistente, a fim de que todas as barras suportem iguais quinhões dos esforços longitudinais.

A distribuição equilibrada da armadura longitudinal pode ser feita de modo uniforme ao longo do perímetro da seção, ou então de modo concentrado, colocando em cada posição uma parcela da armadura total proporcional ao comprimento do trecho periférico que essa parcela deve equilibrar na extre-midade da peça, como mostrado nas Figs. (12.3-a e 12.3-b).

<fib CEB-Fffí Slrticlural Concreta - Vot. 2. Fig. 4.4-33. Lousoimo. 1999.

dimensões em centímetros

50

sL =16 <|)12 50

A st = <j> 16 cada 11

50

A s L = 1 6 * 1 2 5 0

Ast cada 11

8

50

A s L = 16 012 50

A t = 4*16 cada 11

AsL= 16*12 50

Ag t = *16 cada 11

• • *

« *

momentos de torção f kN m )

ruptura Tu = 129

Viga TI

ruptura Tu = 129

Viga T2

ruptura Tu = 115

Viga T3

ruptura Tu = 114

Viga T4

Ensaios ttò Lamport o Thuríimonn - CEB-FtP vot,2. Figura ft2.3~a)

í 5 T H U T U n A S P t CQNÇFIGTO

dimensões em centímetros momentos de torção { kN m )

32,4

A

^ s L = 1 2 ^ 6 3 2 4

s t = <t>6 cada 10

#•—f • i"

• • •

k - 3 2 ' 4 - 4

V = 1 2 ^ 6 3 2 4

Ast cada 10

* È • •

A s | _ ^ 2 4 4 ) 6 32,4 Agt = 4)6 cada 5

j. 32 ,4 , • • * • > • •

32,4 ^

A s L = 2 4 4 6 32,4

A cada5 st

« • • » * * *

8 +

8 • •

*

• * • •

ruptura Ty = 21

fissuração Tr = 13

ruptura Tu = 21

fissuração Tr = 12

ruptura Tu - 31

fissuração T, = 11

ruptura TtJ = 34

fissuração Tr = 12

Ensaios do Loonhardt o Schotting - CEB-FtP vol.2 Figura (12.3-b)

Os ensaios de Lampert e Thurlimann mostram claramente que a distribui-ção uniforme da armadura longitudinal assegura a máxima resistência da peça. Esses ensaios mostram que uma distribuição não uniforme causa o início precoce do escoamento de parte da armadura longitudinal

A Fig. (12.3-c) mostra como se dá o equilíbrio de forças que agem sobre os nós intermediários da treliça espacial. Nessa figura, as bielas diagonais estão indicadas com a inclinação (> = 45c em relação ao eixo da peça, mas os racio-

cínios são os mesmos com outras inclinações, que podem ser consideradas no Intervalo 30°<G<45°.

Equilíbrio tridimensional dos nós da trotiça Figura {12.3-c)

Observe-se que, em cada nó, as forças de compressão diagonais /í(.45 em faces adjacentes da treliça equilibram-se mutuamente na direção longitudinal e, na direção transversal, são equilibradas pelos esforços de tração Rf, nos estribos transversais.

O equilíbrio de forças exige a colaboração das barras longitudinais de canto, que servem de elemento de ligação que permite que as forças diagonais do concreto sejam equilibradas pelas forças transversais dos estribos, como in-dicado na Fig. (12,3-d).

Funcionamento deis barras do conto Figura (12.3-d)

As barras de canto estão, portanto, solicitadas à flexão local e, por isso, de-vem ter diâmetro compatível com essa função. No entanto, observe-se que as barras de canto não participam do equilíbrio de forças longitudinais dos nós intermediários da treliça.

De maneira análoga, nenhuma das barras longitudinais participam do equilí-brio local dos nós intermediários da treliça, como se mostra na Fig, (12.3-e),

Equilíbrio das borras longitudinais Figura (123-0)

Desse modo, as barras longitudinais, inclusive as barras de canto, participam apenas do equilíbrio longitudinal dos nós situados nas extremidades dos tre-chos de torção constante, onde ocorre a introdução dos esforços de torção, como são as extremidades da treliça. Os esforços nas barras longitudinais serão, portanto, constantes ao longo dos trechos em que os momentos de torção também forem constantes. Nas seções intermediárias em que sejam introduzidos esforços externos de torção, devem ser colocados diafragmas rígidos, a fim de evitar a flexão local da seção transversal das vigas vazadas.

12.4 Rigidez à torção

O comportamento típico de rotação das peças estruturais de concreto quan-do submetidas à torção está mostrado na Fig. (12.4-a).

Tmax

. \ f

I T (rriomenio de torção) peça não fissurada

peça fissurada *

t ruptura

Ty , escoamento da armadura

Tr | - l (estádio II) fissuração do concreto (estádio !)

do " dx

rotação relativa

i

Comportamento típico das peças submetidos ò torção Figuro (12.4-a)

Com a fissuração, a rigidez à torção diminui sensivelmente, tendendo a zero após o inicio do escoamento de suas armaduras.

Essa perda de rigidez após o início de escoamento da armadura faz com que sejam consideradas duas situações, a de torção de equilíbrio e a torção de compatibilidade, Fig. (12.4-b),

De modo geral, na concepção de estruturas de concreto, o emprego de sistemas estruturais cuja Integridade dependa da resistência e da rigidez de peças sub-metidas à torção, essas peças resistentes submetidas à torção são usualmente concebidas com seções celulares, particularmente nas estruturas protendidas.

Figura (12.4-0)

Quando a torção não for indispensável para a manutenção do equilíbrio, tem-se uma solicitação de torção de compatibilidade, em que a torção tende a desaparecer com a deformação das peças torcidas. Nesse caso, a torção poderá ser desprezada, se os elementos estruturais ligados às peças torcidas tiverem capacidade de acomodação plástica compatível com as rotações que serão sofridas pelas peças submetidas à torção.

Quando a torção for indispensável para o equilíbrio da estrutura, tem-se uma solicitação de torção de equilíbrio.

Na Fig. (12.4-c), apresentam-se dois ensaios cujos resultados mostram situa-ções de torção de compatibilidade em que, com o aumento do carregamento externo, ocorre a redistribuíção dos esforços solicitantes, em função da rela-ção entre a rigidez de flexão e a rigidez de torção das peças estruturais.

Observe que com o início da fissuração por torção, na estrutura em que a peça torcida CD tem a menor rigidez em relação à rigidez à flexão da viga AB, que suporta a carga externa, o aumento da carga não produz aumento sensível de torção. Trata-se de uma situação de torção de compatibilidade. Todavia, quan-

cstuutuhas PC ggNCFiETo

do ocorre o escoamento da armadura de flexão na seção em que se aplica a carga externa, a viga AB perde a capacidade de resistir a momentos fletores ainda maiores, e a situação de torção passa a ser de torção de equilíbrio, e o momento de torção volta à tendência de crescer.

O mesmo já não ocorre com a outra estrutura, pois aí a viga fletida é menos rígida, e aumento do momento de torção mostra que a torção continua sendo de equilíbrio.

Em casos análogos aos mostrados na Fig. (12.4-c), os trechos CB e BD sub-metidos à torção, quando tiverem comprimento menor ou igual ao dobro de sua altura [2h), devem ter a armadura mínima de torção e a força cortante atuante deve respeitar a condição Vm £

12.5 Torção de peças de concreto protendido

Em relação à resistência à torção, as peças de concreto protendido diferem das peças de concreto armado quanto às armaduras longitudinais de torção,

Na Fig, (12,5-a) está mostrada5 a comparação do comportamento de duas vi-gas equivalentes submetidas à torção, uma armada e outra protendida, com armaduras longitudinais com Igual resistência de início de escoamento.

Figure (12, $-,•>)

: estruturas otí cofcÇRrTo "Sepimto Ltmpu/t fí • CíU BULI FWi1 Ü W Q i T A M rim At S?,

Analisando esses resultados, verifica-se que as peças de concreto protendido podem ser tratadas como peças de concreto armado comum, submetidas à flexão simples. A ação de uma força normal somente pode ser considerada, de acordo com as regras do item 13.5, se houver uma força normal externa de natureza permanente, ou uma força normal hiperestática de protensâo.

CAPÍTULO 13 TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA

13.1 Torção pura

Com peças estruturais de seção geométrica convexa, admite-se o modelo resistente de treliça espacial com uma seção transversal vazada equivalente, A seção resistente equivalente de peças com seções transversais convexas cheias, ou vazadas com paredes de espessura efetiva h.f, è definida pela es-pessura hv da parede equivalente, sendo he á h.f, conforme mostrado na Fig, [13.1-a}» sendo:

(13.1-1)

h > 2c, (13.1-2)

onde A é a área total da seção cheia, u e o perímetro da seção convexa e C| é a distância entre o eixo da barra longitudinal de canto e a face lateral do elemento estrutural.

Seções convaxas cheios ou vaiados Figuro (13,1-9)

Com a seção resistente equivalente, admite-se o modelo de treliça generaliza-da, com bielas inclinadas de 30° a 45c em relação ao eixo da peça,

Com peças estruturais de seção geométrica aberta, composta por retângu-ios de lados a. e bf, com a( £6,, admíte-se o modelo resistente elástico de retânguios isolados, estudado no capítulo 10, distribuindo-se o momento de torção total de cálculo TSd pelos retânguios componentes em função da rigi-dez elástica de cada um deles, sendo

T 1 StU = T A (13.1-3)

Para que a peça submetida à ação isolada de um momento de torção TSil seja considerada segura, devem ser verificadas as seguintes condições:

T&j < TR(t i = resistência limite em função da compressão das diagonais de concreto;

TAi < TRíti - resistência limite em função da tração nos estribos perpendiculares ao eixo da peça;

T&l < Tj!(IA - resistência limite em função da tração nas barras longitudinais paralelas ao eixo da peça.

Na torção de equilíbrio, em que a torção é indispensável ao equilíbrio da es-trutura, as taxas mínimas de armadura transversal e de armadura longitudinal devem respeitar os limites mínimos de

Armadura longitudinal s a madura transversa! (Fig, (13.1-1})

13.2 Tensões nas bielas diagonais

De acordo com o que foi visto no capítulo 11, nas peças com seção transver-sal fechada de parede delgada, as tensões tangenciais t, na seção trans-versal devidas ao momento de torção T têm a direção da linha média do perfil, sendo dadas pela fórmula de Bredt, expressa por

(13.2-1)

onde v = T, é o valor constante da força de cisalhamento por unidade de comprimento ao longo da linha média do perfil, /?, é a espessura da parede resistente à torção, e 4,, por simplicidade no caso de estruturas de concreto, é considerada como a área total delimitada pela linha média da espessura resistente h, da seção transversal.

Na verificação da segurança em relação ã ruptura das bielas diagonais por compressão, é preciso lembrar que a resistência de cálculo ffíl=f(.Jyi. não considera o efeito deletério das cargas permanentes, que na flexão é considerado admitindo-se <t,(, ií511 = 0,85 flit. Nas vigas submetidas à torção, além desse efeito das cargas de longa duração, é preciso considerar que dificilmente as peças estarão solicitadas exclusivamente à torção, havendo normalmente a presença simultânea de momentos fletores e de forças cor-tantes. Por esses motivos, nos regulamentos normalizadores admitem-se valores reduzidos para a resistência à compressão do concreto.

Assim, a NBR 6118, na torção pura, admite para o concreto a resistência

c r < 1 M , = 0 , 5 0 a ( 1 3 . 2 - 2 )

onde

a , : = l - . / ; , / 2 5 0 ( 1 3 , 2 - 3 )

com 4, = fíif fyr em MPa.

De acordo com a fórmula de Bredt, na situação de cálculo, deve-se ter

Lt 2 A h .

T = í C T V - , , ~ 1 HJ2

e, de acordo com o que se mostra na Fig. (13.2-a),

T = 0tl(l4jÃt,í?sin45'COs45

donde

O...J =2T, (13.2-4)

ou seja

rif.lim S ^ - S t ^ (13.2-5)

isto é o /

^ = - ^ = 0,25 (13.2-6)

resultando

r . f l - 2 ^ (13.2-7)

Tcnsõos diagonais do comprassüo O = 4 5 c Figura f13.2-a)

No caso de bielas inclinadas do ângulo 0 em relação ao eixo da peça, Fig. (13.2-b), tem-se

= CT,.,^ (ocose)sin8

donde

2t, =

sin 26

ou seja

tun (13.2-8)

isto é

T, (13.2-9)

resultando

(13.2-10)

i 4

i i

/ ! T Tt

/ / '

/ t t

/ /

> /

/ /

V V Ç . í /

/ j - p y y .F VI V V/

> x c V 0C w0 1 ? / / / t

f t t 9

a cosO /

/ t t \ /

a t

/ /

Tensões diagonais do compressão 30° £(>£45° Figure (13,2-W

13.3 Tensões na armadura transversal

No caso de bielas inclinadas a 45", o equilíbrio dos nós intermediários da tre-liça espacial fornece a condição

sendo

(13.3-1)

"si ^stJswil

onde Aa é a área da seção transversal de 1 ramo do estribo, cujo afastamento entre eles é a distância s, resultando

Sl J tWti _ V

2 A

ou seja

2AJ: (13.3-2)

Tansóas na armadura trunsvonsu! Figura ft3,3*s)

No caso de bielas inclinadas pelo ângulo 0, a condição (13.3-1) transforma-se em

iiu - (h^s •sinÔ-)criCt-sin 0

com

2t , 0 , 0 sin 20

resultando

A . = ^ H / w cotg9

4,, = . , „ • ~-V (13.3-3)

Desse modo, a segurança em relação ao escoamento da armadura transver-sal é dada por

fs<i - I&n

sendo

T = ' Mi para G = 45( (13.3-4)

T = 1 Mi cot gQ no caso geral (13,3-5)

13.4 Tensões na armadura longitudinal

No caso de bielas inclinadas a 45°, Fig. (13,4-a), o equilíbrio de cada nó de extremidade é dado pela condição

ARciSco$45° = àRsl

da qual se obtém

N Ü V i

logo, conforme (13.2-4), sendo

Ah

resulta

tf = _ „ ,f 2A.

( 1 3 . 4 - 1 )

ou seja, na situação de cálculo tem-se

r 2 A - 4 T<t = AtpM ll

( 1 3 . 4 - 2 )

Tcnsõos no armadura longitudinal Figuro f173.4-3/

É importante observar que a armadura longitudinal deve ter uma distribuição equilibrada, Fig, (13.4-b), para que todas as suas barras tenham a mesma ten-são solicitante de tração.

Figura (13.4-b)

A condição de segurança TSd £ THitA pode então ser expressa pela equação

r < r - A / 1 Sii 1 RdA ^ n s i J s\ú (13.4-3)

onde Axl é a área total da seção transversal das barras da armadura longitudinal.

13.5 Torção composta

De acordo com a NBR 6118, para o dimensionamento são válidas as se-guintes regras para considerar a combinação da torção com outros esfor-ços solicltantes.

A r m a d u r a l o n g i t u d i n a l no b a n z o t r a c i o n a d o p o r f l e x ã o ,

Na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais, consideran-do-se em cada seção os esforços que agem concomítantemente.

A r m a d u r a l o n g i t u d i n a l no b a n z o c o m p r i m i d o p o r f l e x ã o

Na zona comprimida pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura ht, e no comprimento Au correspondente à barra ou feixe de barras consideradas,

Tensões no banzo comprimido por flexão.

Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, parti-cularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o valor 0,85/^.

Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de ten-sões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de fle-xão e da tensão tangencial de torção calculada por

^ = TJIAX

T e n s õ e s d e v i d a s à a ç ã o c o n c o m i t a n t e d e t o r ç ã o e f o r ç a - c o r t a n t e .

A inclinação das bielas da treliça plana resistente à força cortante, e a das bie-las da treliça espacial resistente à torção devem ser as mesmas.

T e n s õ e s d e c o m p r e s s ã o n a s b i e l a s d i a g o n a i s

A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atenden-do à expressão

V T

V T r fui 'HUI

onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção.

A r m a d u r a t r a n s v e r s a l d e t r a ç ã o

A armadura transversal pode ser determinada pela soma das armaduras cal-culadas separadamente para VSd e TS(l.

13.6 Flexo-torção

No caso de seções delgadas de forma qualquer, conforme foi analisado no item 10.9, admite-se que a torção provoque o empenamento da seção trans-versal.

A origem desse empenamento está ilustrada na Fig. (10,9-b).

Nos casos em que se pode considerar a existência simultânea tanto de tor-ção uniforme quanto de flexo-torção, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de torção, ou então, uma dessas formas pode ser desprezada quando se ad-mite uma capacidade adequada de acomodação plástica da estrutura, e que o mecanismo desprezado não tenha rigidez superior ao mecanismo conside-rado como o resistente.

A consideração de deformação por empenamento da seção transversal depen-de da rigidez à flexo-torçáo. Na falta de cálculo mais preciso, quando o perfil possuir paredes opostas paralelas ou aproximadamente paralelas que possam resistirá flexão em sentidos opostos, de acordo com a NBR 6118 {item 17.5-2) ela pode ser calculada pela expressão seguinte, referida à , Rg, (13.6-a):

T kml=— medido em [kN •mlrad),

sendo

onde

T = momento externo que provoca torção, suposto aplicado no meio do vão,

z - distância entre os eixos das paredes 1 e 2.

(} =

ü = rotação da seção, provocada pela flexão diferenciada das paredes 1 e 2.

t;, = flecha provocada pela flexão da parede 1 sob a atuação da força .F = T/z calculada com metade da rigidez elástica da parede.

eu = flecha provocada pela flexão da parede 2 sob a atuação da força F = T!z de sentido oposto à que se aplica à parede 1, calculada com metade da rigidez elástica da parede.

e b2 - larguras colaborantes na flexão das paredes 1 e 2, respectivamente, determinadas de acordo com os critérios usuais para a consideração das abas s allentes de peças fletidas.

De acordo com a NBR 6118, os valores de rigidez devem ser calculados con-siderando os efeitos da fissuração, podendo ser adotados 0,15 da rigidez elás-tica no caso da torção uniforme e 0,50 no caso da flexo-torção.

A resistência à flexo-torção do elemento estrutural pode ser calculada a partir da resistência à flexão das paredes opostas pela seguinte expressão

T =A F -s

sendo

^^t/.min = (j'üil ~ Jjnill

onde

Fkt, é a força transversal que esgota a resistência da parede isolada, sem o efeito de torção e FSlt é a parcela da força transversal total aplicada ao ele-mento estrutural, que cabe à parede isolada, sem o efeito da torção.

O valor AFfií,iniill é o menor entre as duas paredes consideradas.

Em toda sua generalidade, as construções feitas pelo homem são realizadas com diferentes elementos que precisam ser ligados entre si. A arte de construir estruturas adquiriu sua configuração atual com a invenção do rebite e do parafuso, que permitiu a união de partes metálicas, libertando com isso a criatividade dos construtores. O emprego dessas ligações exigiu o entendimento da distribuição de tensões de cisalhamento nas peças submetidas à flexão. Esse conhecimento somente surgiu em 1854, quando Jourawski apresentou seu clássico trabalho á Academia Russa cie Ciências.

Com o surgimento do concreto armado e posteriormente do concreto protendido, para garantir a segurança das estruturas foi necessário um pleno entendimento dos efeitos das solicitações tangenciais, forças cortantes e momentos de torção. Posteriormente, esse conhecimento precisou ser estendido a peças em regime de ruptura, para que fosse possível aplicar o método probabilista de segurança estrutural.

A criatividade dos construtores foi novamente desafiada pelos problemas de ligação das diferentes partes que compõem as estruturas. As construções agora exigem ligações de elementos tio mesmo material, aço e aço, concreto e concreto, e em todos os casos da construção civil, de materiais diferentes, aço e concreto. A solução tle todos esses problemas é obtida pelo entendimento dos efeitos das solicitações tangenciais.

Este livro aborda os principais aspectos cfesse tema em toda sua extensão, desde o regime elástico de materiais homogêneos, até os estados limites últimos de materiais heterogêneos.

08.1769-ECST