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Estruturas Isostáticas – DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil

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CAPÍTULO VI SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA I. INTRODUÇÃO Vimos até aqui que quando existe um sistema de cargas ativas atuando em um corpo são desenvolvidas cargas externas reativas, capazes de manter o equilíbrio do corpo, que calculamos com a aplicação das equações fundamentais da estática. Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento espacial : ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣMx = 0 ΣΣΣΣFy = 0 ΣΣΣΣMy = 0 ΣΣΣΣFz = 0 ΣΣΣΣMz = 0 Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento plano: ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣFy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 De uma maneira geral podemos dizer que: 1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios. 2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio , onde as deformações param de aumentar(são impedidas internamente), gerando solicitações internas. 3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações). Pretendemos analisar quais os efeito que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. Para tanto, suponhamos o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Se cortarmos este corpo por um plano qualquer (π), rompemos o equilíbrio pois destruimos sua cadeia molecular, na seção "S" de interseção do plano com o corpo.


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Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou seja, resultante de força (

�R ) e

resultante de momento (�

M ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão também representadas. �R - Resultante de forças da parte retirada �

M - Resultante de momentos da parte retirada

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. � �R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.


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Determinação dos esforços em uma seção: Quando queremos saber o que acontece em uma seção S de uma peça, devemos cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ) e podemos dizer que no centro de gravidade esta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio. Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo. II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES Os esforços estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas. Sabemos também que um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções que escolhermos e adotaremos 3 direções perpendiculares entre si no espaço (x,y,z). Vamos decompor os vetores resultantes

� �R e M segundo estas tres direções escolhidas e teremos:

Observe que escolhemos 3 direções perpendiculares entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte. Denominamos as componentes da seguinte maneira: N - Esforço Normal Q - Esforço Cortante M - Momento Fletor Mt - Momento Torsor Cada solicitação conforme já vimos tem associada à si uma deformação:


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Esforço Normal (N) : Podemos definir esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal),ou seja, todas as forças de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x.

.

Representando duas seções infinitamente próximas entre si, o efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distancia que separa as seções, que permanecem planas e paralelas. As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de encurtamento. Esforço Cortante (Q) : Podemos definir esforço cortante em uma seção de referência como a soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada. Não é usual entretanto, trabalharmos com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois eixos de referência contidos pela seção, podendo resultar em 2 esforços (Qy e Qz) obtidos pela soma algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções.

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma secão sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.

N = ΣΣΣΣ Fx ext

Qz = ΣΣΣΣFzext Qy = ΣΣΣΣ Fyext


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Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à direita forem contrários aos eixos. Momento Fletor (M) : Podemos definir momento fletor em uma seção de referência como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da referência em relação aos eixos contidos pela seção de referência (eixos y e z). Não é usual entretanto trabalharmos com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos momentos em relação aos eixos y e z, tranformando a soma em algébrica.

O efeito do momento fletor é provocar o giro a seção tranversal em torno de um eixo contido pela própria seção. As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).

O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura. Momento Torsor : Podemos definir momento torsor em uma seção de referência como a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x).

O efeito do momento torsor é o de provocar o giro da seção em torno do eixo longitudinal da peça, torcendo-a ou deslocando-a angularmente em relação à seção visinha.

My = ΣΣΣΣmyext Mz = ΣΣΣΣ mzext

Mt = ΣΣΣΣ mxext


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A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo da seção de referência (regra da mão direita). III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL E PLANO. A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral). Netes casos as cargas estão se desenvolvendo em todas as direções do espaço, e portanto temos componentes de força e momento em todas as direções também.

Esforços desenvolvidos:


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B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO Cargas contidas em um único plano, por ex: plano x , y (caso mais comum)

Esforços desenvolvidos:

IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS - MÉTODO DAS EQUAÇÕES A. CONVENÇÕES: Conforme já vimos, se cortarmos uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas). Vamos tratar de estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣΣΣΣFx), o esforço cortante Qy (ΣΣΣΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de uniformizarmos a nossa representação vamos representar graficamene as convenções para o sentido positivo destas solicitações.


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B. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA Se desejarmos calcular a solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, usamos o método das seções: Cortamos a peça na seção desejada e isolamos um dos lados do corte (qualquer um). Na seção cortada devems ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. Exemplo: Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.

VA = VB = q l.2

Cortando e isolando um dos lados do corte:

Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ Q q l q l−−−− ++++ ====. .2 2

0 ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ M q l l q l l++++ ��

��

�� −−−− ��

��

��

�� ====

. . . .2 4 2 2

0

Ms = q l. 2

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Supondo que quisessemos as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, repetiriamos o procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas. Ao efetuarmos esta sucessão de cortes, observamos que as equações de equilíbrio formadas são as mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência. Poderíamos generalizar este procedimento,criando uma variável, por exemplo "x", que representasse esta distancia de uma forma genérica.

onde 0 ≤ x ≤ l marcando os limites de validade da variável x.

Então: Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 Qq l q x−−−− ++++ ====. .2

0 ∴ Q q xq l==== −−−− ++++.

.2

Σ MS = 0 M q x x q l x++++ −−−−. . . .2 2

Mq l x q x x==== −−−−. . .2 2

2

Esta representação se contitui o que se chama de método das equações C. PONTOS DE TRANSIÇÃO Vamos iniciar com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 da viga abaixo:

VA = Pb/l VB = Pa/l


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S1: 0 ≤ x1 ≤ a

Σ Fx = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l Σ M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1 S2 : a ≤ x2 ≤ l

Σ Fx = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P Σ M = 0 M + P (x2 - a) - Pb/l . x2= 0 M = Pb/l . x2 - P(x2 - a)

Constatamos que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na 2ª não entra a carga P) e então podemos chama-los genericamente de x e distinguir os trechos de validade dos mesmos. 1o trecho 2o trecho 0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤ l equações válidas para o primeiro trecho equações válidas para o segundo trecho Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a) No exemplo acima intuitivamente nós identificamos um ponto de transição, que seria o ponto de aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação. Conforme foi visto há a necessidade de analizarmos um trecho antes e outro depois deste ponto de transição. Podemos generalizar o acima dizemos que sempre que houver um ponto de transição devemos proceder desta maneira. Podemos definir ponto de transição, de maneira análoga, como todo o ponto em que há alteração no carregamento:


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-Ponto de força aplicada

- Ponto de momento aplicado

- Ponto de troca da taxa de carregamento(descontínua)

De acôrdo com o que foi visto, podemos calcular as solicitações como funções da variável x, com trecho de validade pré-estabelecido, obtendo assim equações gerais para as mesmas, com validade nos diversos trechos vistos. Quando quisermos o valor da solicitação em uma seção em especial , de ordenada x conhecida, basta substituirmos nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada. Em geral nos interessa o valor das solicitações em toda a estrutura e não apenas em pontos específicos da mesma, e estas são representadas por suas equações. Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples. Dado o esquema estrutural da peça (vínculos,cargas ativas e vãos): 1. Cálculo das reações externas 2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição genérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos. 4. Supomos em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo. 5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então as equações desejadas. 6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo:


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OBS: As cargas distribuidas não mais podem ser substituidas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados. EXEMPLOS: Determine o diagrama das Solicitações Internas das vigas abaixo,usando o método das equações: 1.

VA = 20 kN VB = 10 kN HA = 17,32 kN

2.

VA = 31 kN VB = 14 kN


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D. RELAÇÕES DIFERENCIAIS Suponhamos uma estrutura sujeita à um carregamento que varia com a função q(x) e consideremos duas seções infinitamente próximas (S1 e S2)

Cortamos a estrutura nestas seções e isolamos o trecho entre elas. Em cada uma das seções estarão representados os efeitos da parte da estrutura retirada. O cortante Q em S1 será a soma de todas as forças verticais até a seção, e na seção S2 será Q+dQ pois dQ representa o acréscimo de cargas verticais que atuam em dx. O mesmo se dará com as outras solicitações.

Q + dQ = Q - q(x).dx ou dQ = -q(x).dx ou ainda

Analogamente: M + dM = M- q(x).dx dx/2 + Q dx ou dM = Q.dx - q(x). dx2/2 q(x).dx2/2 é um infinitézimo de 2ª ordem e será despresado

-q(x) = dQdx


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Daí resulta: dM = Q.dx ou ainda

Percorrendo o caminho inverso:

OBS:Estas relações foram deduzidas para x variando da esquerda para a direita,portanto quando x variar da direita para esquerda as relações trocam de sinal. CONCLUSÕES: 1. À partir de q(x) podemos determinar Q(x) e M(x) 2. Ao efetuarmos as integrais não podemos esquecer as constantes de integração, que podem ser determinadas utilizando-se condições de contorno próprias da estrutura. 3. De acordo com o cálculo diferencial o máximo de uma função ocorre quando sua primeira derivada é nula portanto o momento máximo de uma estrutura ocorre quando seu cortante for nulo. Sempre que estivermos estudando uma estrutura com o fim de projetá-la vai nos interessar o ponto e o valor deste momento máximo pois representa a pior situação da mesma. 4. À partir do conhecimento das relações diferenciais e fazendo uma análise matemática dos casos podemos afirmar que os diagramas apresentam características próprias nos pontos de transição. a. Cargas verticais concentradas: 1. Descontinuidade no diagrama de cortante igual ao valor da carga 2. Ponto anguloso no diagrama de momento fletor b .Carga uniformemente distribuida 1. Diagrama de cortante é uma reta inclinada 2. Diagrama de fletor é uma parábola (segundo grau) com a concavidade voltada para a carga c. Carga com distribuição triangular 1. Diagrama de cortante é uma parábola de segundo grau com concavidade a ser analizada 2. Diagrama de momento é uma curva de terceiro grau com a concavidade voltada para a carga

Q = dMdx

Q(x) = −−−−�� q x dx( ).

M(x) = Q x dx q x dx( ). ( ).==== −−−−��


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d. Carga Momento 1. Descontinuidade no diagrama de momentos igual ao valor do momento aplicado e. Carga concentrada com componente na direção do eixo da peça 1. Descontinuidade no diagrama de esforço normal igual ao valor da componente no eixo 5. Nos pontos extremos das barras em estudo somente haverá solicitação se nestes pontos houverem cargas ou momentos aplicados: a. Se houver carga vertical aplicada, o diagrama de cortante inicia com o valor desta carga (sinal conforme convenção) b. Se houver momento aplicado o diagrama de momentos inicia com o valor deste momento c. Se houver carga aplicada na direção do eixo o diagrama de esforços normais começa com o valor desta carga. E. CÁLCULO DOS MOMENTOS MÁXIMOS O cálculo do momento máximo desenvolvido em uma estrutura ou em um trecho de uma estrutura tem grande importancia nos casos de projetos de peças pois normalmente representa a pior situação da peça devendo por isso ser analisada. Podemos exemplificar este procedimento em: 1. Trecho com carregamento uniforme (carga retangular) a. Com valores à esquerda do ponto:

Σ Fy = 0 Qn-1 - q.xo = 0

b. Com valores à direita do ponto:

Σ Fy = 0 Q

n-1 - q.xo = 0

2. Trecho com carga triangular:

xo = Q

qn -1

xo = Q

qn + 1


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a. Com valores à esquerda do ponto Σ Fy = 0

Qn-1 - q xo.

2 = 0

como qol

qxo

=

então

q = qo xo

l.

substituindo "q" na expressão:

Qn-1 - qo xo

l..2

= 0 ou

b. Com valores à direita do ponto:

Σ Fy = 0

Qn-1 - q xo.

2 = 0

como qol

qxo

=

então q = qo xo

l.

logo:

Qn-1 - qo xo

l..2

= 0 ou

xo = 2 1. (n ). lQ

qo−−−−

xo = 21Q

qo(n ). l−−−−


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QUADRO RESUMIDO


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V. MÉTODO DIRETO NO TRAÇADO DOS DIAGRAMAS OU MÉTODO DOS PONTOS DE TRANSIÇÃO. A. ASPECTOS GERAIS Foi visto o método das equações onde as solicitações internas são expressas por funções relativas à posição genérica do ponto representada por x, tendo cada função validade em um trecho pré estabelecido. O método das equações nos permite calcular a solicitação desejada em qualquer ponto, bastando substituir a variável x pela ordenada do ponto desejado. O estudo matemático do método das equações nos permite também determinar características de forma e comportamento dos diagramas em presença do carregamento do trecho e do ponto de transição correspondente. Ex: - carga vertical concentrada: diagrama de esforços cortantes ........................ descontinuidade no diagrama no valor da carga diagrama de momentos fletores ........................ angulosidade no ponto da carga. Este conhecimento nos permite fazer o traçado da linha de fechamento dos diagramas mesmo não sendo conhecida a equação do trecho em questão, e então poderemos agilizar o traçado dos diagramas donde surge a idéia do método direto. B. PRINCÍPIOS TEÓRICOS Seja uma estrutura sujeita a um carregamento qualquer e em equilíbrio. Se isolarmos desta estrutura um elemento de comprimento "l" o mesmo deve permanecer em equilíbrio.

Supondo conhecidos os esforços em um ponto anterior (n-1), vejamos como calculávamos os esforços pelo método das equações e como calcularemos pelo método direto no ponto que nos interessa (n).


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Método das Equações: Σ Fx = 0 ( )+ Nn - Nn-1 + H1 = 0 Nn = Nn-1 - H1 ΣΣΣΣFy = 0 ( ) + -Qn + Qn-1 - q.l - P1 = 0 Qn = Qn-1 - q.l - P1 ΣΣΣΣMn = 0 ( ) + Mn - Mn-1 - Qn-1.l + q.l2/2 + P1.l1 - M1 Mn = Mn-1 + Qn-1 .l - q.l2/2 - P1.l1 + M1

Método Direto: Nn = Nn-1 - H1 Nn = Nn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fxext Qn = Qn-1 - q.l - P1 Qn = Qn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fyext Mn = Mn-1 + Qn-1 . l - q.l2/2 - P1. l1 + M1 Mn = Mn-1 + Qn-1.l ±±±± ΣΣΣΣ Fyiext.li ±±±± ΣΣΣΣ Miext

Observa-se que no método direto calcula-se diretamente os valores dos esforços nos pontos de transição e, utilizando-se os conhecimentos adquiridos no método das equações traçamos o fechamento dos diagramas de esforços internos. Note-se que por estarmos calculando diretamente o valor dos esforços o sinal dos mesmos segue a convenção anteriormente estudada, ou seja, se as solicitações estiverem sendo calculadas com os valores à esquerda do ponto o sentido positivo é dado pelo lado esquerdo do elemento e se forem calculadas por valores à direita do ponto as convenções serão dadas pelo lado direito do elemento.

Conhecemos também as relações diferenciais: dM x

dx( )

= Q(x) M x Q x dx( ) ( ).==== ��

Como a integral representa um somatório de um ponto genérico (n-1) para o próximo ponto (n) , tem-se que M = Q x dx( ).�� é igual a área do diagrama de esforços cortantes no trecho considerado.


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Podemos então generalizar:

Nn = Nn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fxext Qn = Qn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fyext Mn = Mn-1 + área do diagrama de cortante entre (n-1) e (n) Observações: 1. Quando somamos ao momento as áreas do cortante elas devem entrar com os sinais do diagrama 2. As linhas de fechamento dos diagramas devem seguir as conclusões matemáticas do método das equações 3. O acima deduzido foi feito ao percorrermos a estrura da esquerda para a direita. Se invertermos o caminho os sinais são trocados Qn = Qn-1 - ΣΣΣΣ forças verticais de n-1 à n Mn = Mn-1 - área do diagrama de cortante entre n-1 e n. 4. As convenções devem ser observadas com cuidado 5. O momento em um determinado ponto P só pode ser calculado se conhecermos a área do diagrama de esforços cortantes no trecho considerado. Isto não acontece quando o trecho contiver uma carga triangular, pois o diagrama de cortante é delimitado por uma parábola de 2º grau de área desconhecida. Neste caso ou se calcula neste trecho o momento pelo método das equações ou se utiliza a equação:

6. Os valores das solicitações à direita e à esquerda dos pontos de transição devem ser calculados pois dependendo do tipo de ponto de transição há descontinuidade nos diagramas. Se for uma carga vertical concentrada aparecerá descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, de mesmo valor da carga,no seu ponto de aplicação; se for um momento concentrado aparecerá descontinuidade no diagrama de momentos fletores, de mesmo valor do momento, em seu ponto de aplicação. 7. Com a prática podemos agilizar o cálculo dispensando o estudo à direita e à esquerda do ponto de transição .

Mn = Mn-1 + Qn-1.l ±±±± ΣΣΣΣ Fyiext.li ±±±± ΣΣΣΣ Miext


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8. As vigas gerber tanto podem ser calculadas pelo método das equações como pelo método direto. O cálculo das mesmas pode ser executado sobre toda a estrutura ou desmembrando-se a mesma em partes. Observe-se que a rótula é um ponto de transmissão de cargas verticais e horizontais não transmitindo momento, logo o momento nas rótulas deve ser nulo. Quando executamos os diagramas pelo método direto a rótula pode servir como uma referência para a confirmação da correção dos cálculo. Exemplos Determinar o diagrama das solicitações internas das vigas abaixo, usando o método direto. 1.

] VA = 10,64 kN VB = 8,86 kN HB = 2,61 kN

2.

VB = 50 kN VD = 23,3 kN HD = 20 kN VE = 16,67 kN

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