Localização de Raizes (Zeros de Função)

Edgard Jamhour

Definições

• Um número real r é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x)=0 se f(r)=0.

• Etapas para o cálculo de raízes:

– Localização ou isolamento das raízes:

• obter um intervalo que contém a raíz

– Refinamento:

• reduzir o intervalo sucessivamente até se obter uma aproximação para a raíz dentro de uma precisão ɛ prefixada.

Exemplos

Exemplos

Exemplo

Exemplo

Teorema de Bolzano

• Se f(x) assume valores de sinais opostos no intervalo [a,b], isto é, f(a)*f(b)<0, então existe ao menos uma raíz no intervalo.

Exemplo

• A) Isolar as raízes de f(x)=x3-9x+3:

Se f’(x) mantiver o sinal, só existirá uma raíz no intervalo

Métodos Gráficos

• A) Plotar a função f(x) e localizar as absisas dos pontos onde a curva intercepta o eixo 0x.

• B) Re-escrever a função f(x)=0 no formato g(x)=h(x). Plotar as funções g(x) e h(x) no mesmo eixo, e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam.

Exercícios

Refinamento

• Um método iterativo consiste em um conjunto de instruções repetidas em ciclos. – Iteração: execução de um ciclo

• Cada iteração utiliza resultados das interações anteriores e efetua um teste de convergência ou parada.

• A convergência acontece quando o método não consegue aumentar significativamente a precisão com novas iterações.

Refinamento Iterativo

Critério de Parada

• Seja ze o valor aproximado da raiz z de f(x). Pode-se afirmar que ze é uma aproximação de z com precisão ɛ se:

– |ze - z| < ɛ ou z ϵ [a,b] e (b – a)< ɛ

– |f(ze)| < ɛ

Método da Bisseção

• Pré-Requisitos: – f(x) contínua no intervalo [a,b]

– f(a)*f(b) < 0

• Estratégia de refinamento: – Escolher um ponto c dentro do intervalo [a,b]

– Definir um novo intervalo: • [a , c]: se f(a)*f(c) < 0

• [c , b]: se f(c)*f(b) <0

– Zero estimado estimada: ze = (a+b)/2

– Parada: |f(ze)| < ɛ

Método da Bisseção

Estimativa do Número de Iterações

• 𝑘 >log 𝑏0−𝑎0 −log 𝜀

log 2

• Exemplo:

– 𝑓 𝑥 = 𝑥 log 𝑥 -1

– Intervalo [2 3]

– Precisão: 𝜀=0.01->k=7

– Precisão: 𝜀=10-3->k=10

– Precisão: 𝜀=10-10->k=33

Método da Posição Falsa

• f(x)=x3-9x+3, Intervalo: [0 1], f(0)=3 e f(1)=-5. – A raiz deve estar mais próxima a 0 do que de 1.

• Similar ao método de bisseção, mas utiliza a reta secante (a,f(a)) e (b,f(b)) para definir o zero estimado.

Método de Newton-Raphson

• O zero estimado é calculado a partir da reta tangente à função em um ponto de partida.

Exemplo

• Forma iterativa: xk+1=xk-f(xk)/f’(xk)

• Função: f(x)=x3-9x+3

• Derivada: f’(x)= 3x2-9

• Ponto inicial: x0=0

• x1 = 0 – f(0)/f’(0)=0.333

• x2 = x1 – f(x1)/f’(x1)=0.3337607

• X3=4.5.10-12

Método da Secante

• Utilizar uma representação simplificada de f’(xk):

• 𝑓′ 𝑥𝑘 =𝑓 𝑥𝑘 −𝑓 𝑥𝑘−1

𝑥𝑘−𝑥𝑘−1

• Função iterativa:

• 𝑥𝑘+1=𝑥𝑘 −𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘−𝑥𝑘−1

𝑓 𝑥𝑘 −𝑓 𝑥𝑘−1

• 𝑥𝑘+1=𝑥𝑘−1𝑓 𝑥𝑘 −𝑥𝑘𝑓 𝑥𝑘−1

𝑓 𝑥𝑘 −𝑓 𝑥𝑘−1