Logaritmos

Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.

Sendo:  , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.

Dependendo dos valores de a e b:

- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade Exemplo:

- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade

Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)

- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade Exemplo:

Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor

real c que satisfaça .

A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.

se, e somente se,

Onde b>0, e a>0

Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios.

Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.

a)

Resolução:

Notem que 3>0, e 9>0

b) 2³ = 8

Resolução:

c)

Resolução:

Notem que 10>0, e 100>0

Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te "pegar" neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.

Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes.

Uma curiosidade da Química:

Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra?

A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =

Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH<7.

Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em demais matérias.

Propriedades fundamentais de logaritmos:

1)

2)

3)

4)

Exemplos:

1)

2)

3)  

4)

Propriedades de logaritmos II

Para x>0, y>0, b>0 e , temos:

1)

2)

3)

Exemplos:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Propriedade - Mudança de base

Sendo x>0, b>0, , c >0 e

Exemplos:

1)

2) Dado que , determine

Resolução:

Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.

Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de Londrina - UEL, presente no nosso simulado.

Exercícios resolvidos:

Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:

a) log6

Resolução:

b) log9

Resolução:

c) log5

Resolução:

d)

Resolução:

(UEL) O valor de um automóvel (em unidades monetárias) sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40.000 unidades monetárias, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 unidade monetárias? Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log3.(a) 3(b) 6(c) 10(d) 15(e) 20

Resolução:Sendo x, o tempo em anos:

Dividindo ambos os membros por 8000:

x.(5.0,3 + 0,48 - 2) = 2.0,3 - 1

x.(-0,02) = -0,4

x = 20

Portanto, após 20 anos. Alternativa E.

A seção logaritmo, embora esteja no campo do ensino fundamental (por alguns colégios abordarem o assunto) foi desenvolvida abrangendo conteúdos do ensino médio.