Lógica

Prof.: Rodrigo Carvalho

LÓGICA


É a ciência do raciocínio e da demonstração. Compreende o estudo das proposições.

PROPOSIÇÕES SIMPLES: São frases declarativas afirmativas.

MODIFICAÇÃO NEGAÇÃO (~) Para indicar que uma proposição p está sendo negada, anotamos ~ p (não p).

p ~p

V

F

F

V

Notação: p, q, r, s, etc. Exemplos:p: = 2.q: Feira de Santana é a capital da Bahia.

Toda vez que negamos uma proposição ela muda de valor lógico (se p é verdadeira, então ~p é falsa e vice-versa).

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CONCEITO


ATENÇÃO!

I. ~ (~p) = p, ou seja, uma dupla negação equivale a uma afirmação.

II.

OPERADOR NEGAÇÃO


PROPOSIÇÃO COMPOSTA: É uma proposição formada por duas ou mais proposições simples, ligadas entre si por elementos chamados de conectivos.

1. Conjunção: Proposições simples ligadas pelo conectivo “e”, representando simbolicamente pelo sinal “^”.

Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p ^ q: Vou passar em física e matemática.

Tabela - Verdade

p q pΛq

V V

V F

F V

F F

~ (pΛq) ~p v ~q

VFFF

Regra: V = V V


2. Disjunção: Proposições simples ligadas pelo conectivo “ou” representando simbolicamente pelo sinal “v”.

Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p v q: Vou passar em física ou matemática

Tabela - Verdade

p q p v q

V V

V F

F V

F F

~ (p v q) ~ p Λ ~ q VVVF

Regra: F = F F


*OBS: Disjunção exclusiva: Proposições simples ligadas pelo conectivo “ou ...ou” representando simbolicamente pelo sinal “v”..

Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p v q: Ou vou passar em física ou em matemática .

p q p v q

V V

V F

F V

F F

FVVF

Tabela - Verdade

.

Regra: F = V V ou F F


3. Condicional: Proposições simples ligadas pelo conectivo “se...então”, representando simbolicamente pelo sinal “”.

Exemplo: p: O pássaro canta. q: O pássaro está vivo. p → q: Se o pássaro canta, então está vivo.

Tabela - Verdade

p q p → q

V V

V F

F V

F F

~ (p → q) p Λ ~q

FV

VV

Regra: F = V F


4. Bicondicional: Proposições simples ligadas pelo conectivo “...se somente se...”, representada simbolicamente pelo sinal “ ↔”.

Exemplo: p: Juarez está vivo. q: Juarez respira. p ↔ q: Juarez está vivo se, somente se, respira.

Tabela - Verdade

p q p↔q

V V

V F

F V

F F

~ (p ↔ q) p ↔ ~ q

ou

~ (p ↔ q) ~ p ↔ q V

V

FF Regra: V = V V ou F F


PROPOSIÇÃO COMPOSTA

SIMBOLOGIA SIGNIFICADO REGRA NEGAÇÃO

CONJUNÇÃO Λ “e” V = V V ~ p v ~ q

DISJUNÇÃO V“ou”

F = F F ~ p Λ ~ q

CONDICIONAL → “se..., então” F = V F p Λ ~q

BICONDICIONAL ↔“... se, e somente

se...”

V = V V

ou

V = F F

p ↔ ~ q

ou

~ p ↔ q

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS


OBSERVAÇÕES:

1ª) Quando uma sentença é sempre verdadeira, dizemos que há uma TAUTOLOGIA;

2ª) Quando uma sentença é sempre falsa, dizemos que há uma CONTRADIÇÃO;

3ª) Quando não há uma tautologia nem uma contradição, dizemos que existe uma CONTINGÊNCIA.


01) Monte as tabelas–verdades a seguir, e classifique-as em TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO ou CONTINGÊNCIA.

a) (p ^ ~p) (q v p)

p q ~ p p Λ ~ q q v p (p Λ ~ p) → (q v p)


b) (p v ~ q) ↔ (~ p Λ q)

p q ~ p ~ q (p v ~ q) (~ p Λ q) (p v ~ q) ↔ (~ p Λ q)

c) (~ q ~ p)

p q ~ p ~ q (~ q ~ p)


IMPLICAÇÃO

Quando uma CONDICIONAL é TAUTOLÓGICA, dizemos que há uma IMPLICAÇÃO.

qpEQUIVALÊNCIA

Quando uma BICONDICIONAL é TAUTOLÓGICA, dizemos que há uma EQUIVALÊNCIA.

qp


QUESTÕES DE VESTIBULARES

01) (UCS) Sejam as proposições p, q e r, tais que p e q são verdadeiras e r é falsa. Nessas condições, qual entre as proposições seguintes é verdadeira?

a) p ^ rb) ~p v rc) p ~qd) r ↔ qe) ~q p

02) (UFA) Considere as sentenças:

p: 144 é múltiplo de 3q: 7 é divisor de 82

Nessas condições, a sentença.

a) p ^ q é verdadeirab) p v q é falsac) p ↔ ~q é verdadeirad) ~p q é falsae) ~p ^ q é verdadeira


03) (FACCEBA) “Se uma função é ímpar, então é injetora.” A negação da proposição anterior é

a) Uma função não é ímpar e é injetora.b) Uma função não é ímpar e não é injetora.c) Se uma função não é ímpar, então não é injetora.d) Uma função é ímpar e não é injetora.e) Se uma função não é injetora, então é ímpar.

04) (MEDICINA – ABC) A negação de “O gato mia e o rato chia”é:

a) “O gato não mia e o rato chia”.b) “O gato mia ou o rato chia”.c) “O gato não mia ou o rato não chia”.d) “O gato e o rato não chiam nem miam”.e) “O gato chia e o rato mia”.


SENTENÇA ABERTA: São sentenças que não possuem valor lógico definido.

Exs.: a) “x é um número par.” b) “x + 2 = 5.”

c) “O homem se chama Pedro.”

QUANTIFICADORES: São símbolos utilizados para estabelecermos valores lógicos às sentenças abertas.

Quantificador Universal ( ) : Esse símbolo pode ser lido das seguintes formas: “Para todo”, “Para qualquer”, “Qualquer que seja”, “Todo”, etc.

Exs.: a) par. número um éx R;x b) Todo homem se chama Pedro.


Quantificador Existencial ( ) : Esse símbolo pode ser lido das formas: “Existe”, “Existe algum”, “Há”, etc.

Exs.: a) 5.2xZ;x

b) Existem homens que se chamam Pedro.

*OBS.: Derivam ainda do quantificador existencial:

- “Existe apenas um”, ”Existe um único”, etc.

- “Não existe”.

Exs.: a) 5.7xN;x

b) 9.xZ; x 2


NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Para negar uma proposição quantificada, devemos trocar o quantificador universal pelo existencial(ou vice-versa) e negar a sentença. p: Todo homem se chama Pedro.

~ p: Existe homem que não se chama Pedro.

5.2xZ;x 5.2xZ;x

r:

~ r:

*OBS.: Também podemos negar uma sentença quantificada negando o quantificador e conservando a sentença.

p: Todo homem se chama Pedro.~ p: Nem todo homem se chama Pedro.

5.2xZ;x r:5.2xZ;x ~ r:


05) (FDC) A negação da implicação: “Se um quadrilátero tem todos os lados iguais, então é um quadrado”é:

a) Se um quadrilátero não é um quadrado, então não tem todos os lados iguais.b) Se um quadrilátero não tem todos os lados iguais, então não é um quadrado.c) Um quadrilátero não tem todos os lados iguais, e não é um quadrado.d) Um quadrilátero tem todos os lados iguais e não é um quadrado.e) Um quadrilátero tem todos os lados iguais, ou não é um quadrado.

06) (FDPL) A negação de “Todo aluno estudioso é aprovado no vestibular “ é

a) Existe aluno estudioso que não é aprovado no vestibular.b) Todo aluno estudioso não é aprovado no vestibular.c) Todo aluno aprovado no vestibular é estudioso.d) Existe aluno estudioso que é aprovado no vestibular.e) Existe aluno aprovado no vestibular que é estudioso.


ARGUMENTOS Denomina-se argumento à relação que associa um

conjunto de proposições P1, P2, P3, ..., Pn, chamadas de premissas do argumento, a uma proposição C, chamada de conclusão do argumento.

*OBS.: Os argumentos que só possuem duas premissas são chamados de silogismos.

Ex.: P1: Todos os artistas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gostam de flores. C: Todos os artistas gostam de flores.

NOTAÇÃO: P1, P2, P3, ..., Pn Q


ARGUMENTO VÁLIDO Dizemos que um argumento é válido quando sua conclusão é consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.

No processo de verificação da validade de um argumento, adotaremos os seguintes critérios:

a) Admitiremos suas premissas como verdadeiras;

b)Não adotaremos previamente que a conclusão seja verdadeira. Não estamos interessados em analisar a veracidade da conlusão, e sim se ela decorre de suas premissas;

c)O argumento será válido se, através da Lógica ou das propriedades de conjuntos, for possível concluirmos que a conclusão decorre das suas premissas.


Observe que, se um argumento

P1, P2, P3, ..., Pn Q

é válido, então temos a implicação

. QP...PPP n321

*OBS.: Dizemos que um argumento é inválido, também chamado de falácia ou sofisma, quando a verdade das premissas é insuficiente para garantir a verdade da conlusão.


Exercícios de aplicação

Julgue os argumentos a seguir em válido ou inválido.

a) P1: Todos os rapazes adoram xadrez. P2: Nenhum enxadrista gosta de óperas. C: Nenhum rapaz gosta de óperas.

b) P1: Todos os alunos do curso passaram. P2: Maria não é aluna do curso. C: Maria não passou.

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