Lógica de Predicados

Semântica

Interpretações mais elaboradas do que as da Lógica Proposicional

De novo, associar significados a símbolos sintáticos

Como fica isso, com variáveis, quantificadores, predicados, funções??

H=(x)(y)p(x,y) De que depende a interpretação da

fórmula acima?

Interpretações em Lógica de Predicados - Predicados

Em 1º. lugar, do predicado p Se I[p]= < (“menor que”), então

I[p(x,y)]=T I[x]<I[y] xI < yI Interpretando informalmente os

quantificadores, temos que I[H]= “para todo xI”, “existe um yI” tal que xI<yI

I[H] é verdadeira ou falsa??

Interpretações em Lógica de Predicados - Domínios Ainda não dá pra determinar...

Quais os xI e yI a ser considerados? Ou seja, que domínio U de xI e yI?

Se U =[0,) então I[H]=T “para todo xI”, xIU, “existe um yI”,

xIU, tal que xI<yI E a interpretação J, com U=(-,0],

J[p]= < , J[H]=???

Interpretações

Falsa! Porque se xJ=0, não existe yJ tal que xJ,yJ U e xJ<yJ

Não é preciso ter as interpretações de xJ e yJ para se ter I[H] e J[H]

Por quê??

Interpretações e símbolos livres

Porque x e y não são símbolos livres em H

Só precisamos definir a interpretação do símbolo livre p

E se G=(x)p(x,y), J[G]=???

Interpretações e símbolos livres (cont.)

Para determinar J[G]... dependemos de J[p] e J[y] y é um símbolo livre

Se J[p] = e J[y]=-5 => J[G]= F “para todo xJ”, xJ(-,0], xJ-5

Porém, se yJ=0 => J[G]=T

... Dependemos do Domínio de interpretação Valor das interpretações dos símbolos

livres

Formalizando: Interpretação de váriáveis e funções

Extensão da interpretação proposicional Há interpretações para termos e expressões Se U é um conjunto não-vazio, uma

interpretação I na Lógica de Predicados é uma função tal que: O domínio de I é o conjunto de símbolos de

função, predicados e expressões Para toda variável x, se I[x]=xI, então xIU Para todo símbolo de função n-ário f, se I[f]=fI,

então fI é uma função n-ária em U fI: U**n U

Interpretação de predicados, constantes e símbolos

Analogamente, para todo símbolo de predicado n-ário p, se I[p]=pI, então pI é um predicado n-ário em U

pI: U**n {T,F} A interpretação de um predicado zero-

ário é igual à interpretação de seu símbolo Se I[P] = PI, então PI {T,F}

A interpretação de uma função zero-ária é igual à interpretação de uma constante Se I[b] = bI, então bI U

Interpretação de fórmulas –não-quantificadas

Se E é uma expressão, I uma interpretação sobre o domínio U. I[E] é dada por: Se E=false, I[E]=I[false]=F (o mesmo com

true) Se E = f(t1,t2,...,tn) (um termo), então

I[E]= I[f(t1,t2,...,tn)]=fI(tI1,tI2,...,tIn), onde I[f]=fI e para todo ti, I[ti]=tIi

Se E = p(t1,t2,...,tn) (um átomo), então I[E]= I[p(t1,t2,...,tn)]=pI(tI1,tI2,...,tIn), onde I[p]=pI e para todo ti, I[ti]=tIi

Interpretação de fórmulas –não-quantificadas (cont.)

Se H é uma fórmula e E=H, então I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T

Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F

Interpretação de Expressões

Dados H=(p(x,y,a,b)) r(f(x),g(y)) e G= p(x,y,a,b) (q(x,y)^r(y,a))

A interpretação I, onde U=[0,) I[x]=3,I[y]=2,I[a]=0,I[b]=1 I[p(x,y,z,w)]=T xI*yI>zI*wI I[q(x,y)]=T xI<yI, I[r(x,y)]=T sse xI>yI I[f(x)]=xI+1, I[g(x)]=xI-2,

Lembrar que I[x]=xI o objeto xI é o significado de x em I e xIN

Interpretação de Expressões – Tabela verdade

Sintaxe x y a b p(x,y,a,b)

f(x) g(y)

q(x,y) r(y,a)

H G

Semântica

3 2 0 1 T 4 0 F T T F Observe que I[x]=3,..., I[H]=T,I[G]=T As interpretações de f e g são elementos

do domínio de I (N) As interpretações de H e G e dos átomos

p(x,y,a,b), q(x,y) e r(y,a) são valores de verdade

Domínio de Interpretação Seja I uma interpretação sobre N onde

I[a]=25, I[b]=5, I[f(x,y)]=xI/yI I interpreta a constante a como 25 I interpreta f como a função divisão Então I[f(a,b)]=5, pois I[f]=fI, onde fI: U*U U

Porém, se I[c]=0, I[f(x,c)] não está definida! Então o domínio de f é NxN* Q (racionais)

=> Se o domínio de I for N, I[f] não pode ser a função divisão

E para raiz quadrada??

Interpretação de fórmulas –quantificadas Se H é uma fórmula, x uma variável

e I uma interpretação sobre U I[(x)H]=T dU;<x <- d>I[H]=T I[(x)H]=F dU;<x <- d>I[H]=F I[(x)H] =T dU;<x <- d>I[H]=T I[(x)H] =F dU;<x <- d>I[H]=F

Onde <x <- d> significa “interpretação de x como d” ou <x <- d>I[x]=d

Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas I é uma interpretação sobre o conjunto

de alunos do CIn (aluno-CIn) tal que I[p(x)]=T xI é inteligente

H1= (x)p(x). O que é I[H1]=T? I[H1]=T I[(x)p(x)]=T

daluno-CIn; d é inteligente daluno-CIn;pI(d)=T daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=T

daluno-CIn, se x é interpretado como d Então p(x) é interpretado como T

Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[H1]=F? I[H1]=F I[(x)p(x)]=F

daluno-CIn; d é burro daluno-CIn;pI(d)=F

daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F Nem todo aluno-CIn é inteligente

daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F daluno-CIn, se x é interpretado como

d Então p(x) é interpretado como F

Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas

H2= (x)p(x). O que é I[H2]=T? I[H2]=T I[(x)p(x)]=T

daluno-CIn; d é inteligente daluno-CIn;pI(d)=T

daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=T daluno-CIn, se x é interpretado

como d Então p(x) é interpretado como T

Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[H2]=F? I[H2]=F I[(x)p(x)]=f

daluno-CIn; d é burro daluno-CIn;pI(d)=F

daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F Não existe aluno-CIn inteligente

daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F daluno-CIn, se x é interpretado como

d Então p(x) é interpretado como F

Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas

Se I uma interpretação sobre N, tal que I[x]=3,I[a]=5, I[y]=4,I[f]=+,I[p]=< G=(x)p(x,y) “Todo natural é menor que 4”

Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.)

I[G]=F I[(x)p(x,y)]=F dN;<x <- d>I[p(x,y)]=F dN;d<4 é F, que é verdadeiraI[G]=F é verdadeira A interpretação de G segundo I é

falsa Não foi usada I[x]=3,

E sim a versão estendida <x <- d>

Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas

E=(x) (y)p(x,y) “Para todo natural x, existe outro natural y

tal que y>x” I[E]=T I[(x)(y)p(x,y)]=T dN;<x <- d>I[(y)p(x,y)]=T dN, cN;<y <- c><x <- d>I[p(x,y)]=T “dN, cN; d<c é verdadeiro”, que é

verdadeiraI[E]=T é verdadeira

Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.)

I[E]=F I[(x) (y)p(x,y)]=F dN;<x <- d>I[(y)p(x,y)]=F dN, cN;<y <- c><x <- d>I[p(x,y)]=F dN, cN; d<c é falso dN, cN; d>=c é verdadeira, que é

falsa! (não existe um no. maior que todos!)I[E]=F é falso I[E]=T

Ordem A ordem das extensões é o inverso da

ordem dos quantificadores sintáticos na fórmula

A ordem dos quantificadores semânticos é a mesma dos sintáticos

Não é preciso usar as interpretações I[x]=3 e I[y]=4, pois x e y são ligadas Usa-se a interpretação estendida

<y <- c><x <- d>I[p(x,y)] que não usa I[x] ou I[y]

Interpretação de conjunções de fórmulas quantificadas

E1=E^G anteriores I[E1]=F, pois I[G]=F e I[E]=T

Resolve-se I[E] e I[G] primeiro

Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas

I em Q* (racionais, exceto o zero) I[a]=1,I[b]=25,I[x]=13,I[y]=77,I[f]=/,I[p]=<

H1= (x)p(x,y) I[H1]=T I[(x)p(x,y)]=T dQ*<x <- d>I[p(x,y)]=T “dQ*, d<77 é verdadeiro”,

ou “d<77 é verdadeiro dQ*”, que é falsa! I[H1]=T é falsa I[H1]=F

Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.)

I[H1]=F I[(x)p(x,y)]=F dQ*<x <- d>I[p(x,y)]=F “dQ*, d<77 é falso”,

ou “d<77 é falso para algum dQ*”, que é verdadeira!

I[H1]=F é verdadeira I[H1]=F

Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas

H2= (x)p(x,y) I[H2]=T I[(x)p(x,y)]=T dQ*<x <- d>I[p(x,y)]=T “dQ*, d<77 é verdadeiro”,

ou “d<77 é verdadeiro dQ*”, que é verdadeira!

I[H2]=T é verdadeira I[H2]=T

Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.)

I[H2]=F I[(x)p(x,y)]=F dQ*<x <- d>I[p(x,y)]=F “dQ*, d<77 é falso”,

ou “d<77 é falso para todo dQ*”, que é falsa!

I[H2]=F é falsa I[H2]=T

Exemplo 7 de Interpretação de fórmulas quantificadas

G=(x)(y)p(x,y) p(b,f(a,b)) Para provar que I[G]=T por absurdo I[G]=F I[(x)(y)p(x,y) p(b,f(a,b))]=F I[(x)(y)p(x,y)]=T e I[p(b,f(a,b))]= F Mas I[p(b,f(a,b))] sse (25<(1/25)) que é falsa E I[(x)(y)p(x,y)]=T dQ*, <y <-c><x <- d>I[p(x,y)]= T dQ*, dQ*; d<c, que é verdadeira I[(x)(y)p(x,y)]=T realmente Então I[G]=F realmente Não usamos I[x] e I[y] já que x e y estão ligadas em

G

Exemplo 8 de Interpretação de fórmulas quantificadas

H=(x)(y)p(x,y) p(f(a,b),b) Para provar que I[H]=T por absurdo I[H]=F I[(x)(y)p(x,y)

p(f(a,b),b)]=F I[(x)(y)p(x,y)]=T e I[p(f(a,b),b)]= F Mas I[p(f(a,b),b)] sse ((1/25)<25) que é

verdadeira e contradiz I[p(f(a,b),b)]= F que contradiz I[H]=F. Então I[H]=T

Exemplo 9 de Interpretação de fórmulas quantificadas

H3= (x)(y)p(x,y) p(x,y) Só há variáveis livres de em H3 (x

e y) É preciso usar as interpretações

I[x]=13 e I[y]=77

I[p(x,y)]=T => I[H3]=T

Exemplo 10 de Interpretação de fórmulas quantificadas H4= (x)((y)p(x,y) p(x,y)) Só y é livre em H4

É preciso usar a interpretação I[y]=77 I[H4]=F I[(x)((y)p(x,y) p(x,y))]=F dQ*<x <- d>I[(y)p(x,y)]=T e

<x <- d> I[p(x,y))]=F dQ*,cQ*<y <-c><x <- d>I[p(x,y)]=T e

<x <- d>I[p(x,y))]=F dQ*,cQ*(d<c) é verdadeiro e (d<77)

falso I[H4]=F realmente

Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas

E=(x)(y)p(x,y) p(f(a,b),x) Note que xI tal que (1/25)<xI

I[p(f(a,b),x)]=T e I[E]=T Para provar que I[E]=T por absurdo I[E]=F I[(x)(y)p(x,y)

p(f(a,b),x)]=F Mas I[(x)(y)p(x,y)]=T (exemplo anterior) e I[p(f(a,b),x)] equivale a (1/25)<xI

Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas - Conclusão

Nos casos em que (1/25)<xI I[p(f(a,b),x)]=T, e temos uma contradição

(era F) I[E]=T

Nos casos em que (1/25)>=xI I[E]=F

Façam os exercícios do livro!!