1 Lógica de Predicados BCC101 Matemática Discreta I.

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Lógica de Predicados

BCC101 Matemática Discreta I

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O que é um Predicado?Predicado

Coleção parametrizada de proposições Exemplos:

P(x): x é parD(x,y): x é divisível por y

Tipicamente uma proposição diferente para cada xP(2) é True P(5) é FalseD(10,5) é True D(20,3) é False

Domínio (ou universo de discurso)Conjunto de valores que as variáveis podem

assumirDeve ser especificado explicitamente

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Conjunto verdade de um Predicado

Seja P(x) um predicadoe suponha que P(x) tem domínio D

O conjunto verdade de P(x) é o conjunto dos xD tais que P(x) é True

{ x D | P(x) }

ExemploP(x): 5<x<9 e D=Z

{ x D | P(x)} = {6,7,8}

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— Quantificador Universal, (para todo)x p(x)

É uma fórmula se p(x) é uma fórmula True se p(x) é True para cada valor de x no

Domínio False se existe algum valor de x no Domínio tal

que p(x) é FalseExemplo – P(x): x é primo

D = {2,5,11} - x P(x) é Truex P(x) significa P(2) P(5) P(11)

D = {3,6,9} - x P(x) é FalseContra-exemplos: P(6) e P(9)

D = N = {0, 1, 2, … } - x P(x) é Falsex P(x) significa P(0) P(1) P(2) …“” provê uma maneira de escrever fórmulas que teriam um número infinito de símbolos na Lógica Proposicional

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— Quantificador Existencial, (existe)x p(x)

É uma fórmula se p(x) é uma fórmula True se p(x) é True para algum valor de x no

Domínio False p(x) é False para todo valor de x no Domínio

Exemplo – P(x): x é primo D = {3,6,9} - x P(x) é True

x P(x) significa P(3) P(6) P(9)

D = {6,9,15,28} - x P(x) é Falsex P(x) significa P(6) P(9) P(15) P(28)

D = N = {0, 1, 2, … } - x P(x) é Truex P(x) significa P(0) P(1) P(2) …“” provê uma maneira de escrever fórmulas que teriam um número infinito de símbolos na Lógica Proposicional

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Universo Vazio

Qual o significado de x p(x) se o universo de discurso é vazio? x p(x) é True Isso é compatível com o fato de que o é

uma generalização do ∧ e a identidade do ∧ é true.

Qual o significado de ∃x p(x) se o universo de discurso é vazio? ∃x p(x) é False Isso é compatível com o fato de que o ∃ é

uma generalização do ∨ e a identidade do ∨ é false.

Exercícios

P(0) P(1) P(2) P(-1) P(y)

x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x)

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Seja P(x): x == x2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

Fórmulas com vários quantificadores

Seja N o domínio de discurso N = {0, 1, 2, 3, … }

e se R (x,y ) = “x < y ”.

Q1: O que significa x y R (x,y ) ? Todo número x admite um número

maior y Verdadeiro ou falso?

Q2: O que significa y x R (x,y ) ? Algum número y é maior que todo x Verdadeiro ou falso? 8

Inverter a ordem

dos quantificadores

e em uma

fórmula pode alterar

seu sifnificado

Fórmulas com vários quantificadores

x.y. p(x,y) é True se p(x,y) é True para todo par (x,y) em DxD Exemplo (D = N): xy y=x+1 -> x < y é True

x. y. p(x,y) é True se, para cada x∈D, é possível escolher um y∈D tal que p(x,y) é True Exemplos (D = N): x y y ≥ x é True

y.x. p(x,y) é True se existe um determinado y∈D, tal que p(x,y) é True, para todo x∈D Exemplo (D = N): y x y ≥ x é False

y. x. p(x,y) é True se existe um par (x,y) ∈ DxD tal que p(x,y) é True Exemplo(D = N): y x y ≥ x é True

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Exercícios

Q(1,1) Q(2,0) y Q(1,y) x Q(x,2) y Q(2,y) x Q(x,y)

x y Q(x,y) x y Q(x,y) x y Q(x,y) y x Q(x,y) y x Q(x,y)

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Seja Q(x,y): x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

Termos denotam objetos do domínio

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Termos

funções aplicadas a termos

x+2 (y+1

)2

constantes 25

variáveis xy

Domínio = N

2

53

6

449

Lógica de Predicados - semântica

Fórmulas denotam valores lógicos

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Fórmulas

x > y

(x > y) -> (y+1 = 3)

x x=3

Bool

T

F

Lógica de Predicados - semântica

x x+3=2y

A interpretação depende dos valores de x e y -- x e y são variáveis livresx=3, y=6

T ou F?

A interpretação não depende do valor de x!-- x é uma variável ligada

A interpretação não depende do valor de x, mas depende do valor de y!-- x é uma variável ligada e y é livre

Variáveis livres e ligadas

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variável ligada

variável livre

escopo de

x escopo de

x

escopo de

xocorrência ligada

ocorrência livre

Traduzindo para Lógica de Predicados

G(x,y): x gosta de y

1. João gosta de Maria

2. João gosta de todo mundo

3. Todo mundo gosta de João

4. Maria gosta de alguém

5. Maria não gosta de ninguém

6. Todo mundo gosta de alguém

7. Ninguém gosta de todo mundo

8. João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta

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G(João,Maria)

y G(João,y)

x G(x,João)

y G(Maria,y)

¬y G(Maria,y)

y ¬G(Maria,y)→G(João,y)

x y G(x,y)

x y ¬G(x,y)

ExercíciosTraduza a seguinte sentença para a

Lógica de Predicados:

Todo número par maior que 2 é a soma de 2 primos

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∀x. par(x) ∧ x>2 → ∃y.∃z. primo(y) ∧ primo(z) ∧ x=y+z

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