Lógica Proposicional 3

FEUP/LEIC Teoria da Computao II 2001/2002

Cristina Ribeiro/Gabriel David 1 - Condicionais

1

Lgica Proposicional-3

Condicional e BicondicionalProvas informais e formais com condicionais

Referncia: Language, Proof and LogicJon Barwise e John Etchemendy, 1999

Captulos: 7-8


Condicional

Implicao ou condicional material: P Q P antecedente e Q consequente

Linguagem natural se P ento Q

Se a Ana est na sala ento a Rita est na bibliotecaNaSala(ana) NaBib(rita)

P s se Q [condio necessria]O Vasco aprovado s se assistir a 75% das aulasAprovado(vasco) Assiste75%(vasco)

Q se P [condio suficiente]O Lus bom aluno se tiver mdia de 15Media15(luis) BomAluno(luis)




Traduo Q sempre que P, Q quando P, Q dado P

Chove sempre que vou praiaNaPraia(eu) Chove

P implica Q [valor de verdade, no causalidade]A Otlia andar chuva implica que fica molhadaAndarChuva(otilia) Molhada(otilia)

Combinado com negao: P Q Q a menos que P; a no ser que P, Q

A Clara vai praia a menos que chovaChove aPraia(clara) [se chover no se sabe...]

Em frmulas quantificadas: expresses mais naturaisTodos os As so Bs

Para todo o x (A(x) B(x))


: Semntica e Regra do jogo

P Q verdadeiro se e s se P falso ou Q verdadeiro

P Q P QV V VV F FF V VF F V

significado P Q

Quando falso: antecedente verdadeiro e consequente falso No aumenta a potncia da linguagem mas torna-a mais

natural e fcil de entender Tarskis World: P Q abreviatura de P Q

no jogo: substitui e usa regra para




Verdade lgica e consequncia lgica

Importncia do condicional: reduzir consequncia lgica a verdade lgica

Q consequncia das premissas P1, Pn se e s se impossvel todas serem verdadeiras e Q falso

Ento a frmula(P1 Pn) Q no pode ser falsa

logicamente verdadeira


Bicondicional

Equivalncia ou bicondicional material: [condio necessria e suficiente] LN: se e s se s no caso em que...

n par sse n2 parPar(n) Par(n2)

Propriedades: P e Q logicamente equivalentes se e s se o bicondicional P Q logicamente verdadeiro

P Q sse; abreviatura; no smbolo da FOLP Q conectiva; logicamente verdadeiro; smbolo da FOL

Exemplo: lei de DeMorgan (P Q) (P Q) logicamente verdadeira

P se Q P Q

P s se Q P Q

sse




: Semntica e Regra do jogo

P Q verdadeiro se e s P e Q tm o mesmo valor de verdade

P Q P QV V VV F FF V FF F V

significado (PQ) ( PQ)

Tarskis World: P Q substitudo por (P Q) (Q P) no jogo: substitui e usa regra para


LN: o que decorre de uma frase?

Ao traduzir LN para LPO: questo do que ou no consequncia da frase

A Rita est na sala quando o Rui no est na sala? NaSala(rui) NaSala(rita)? NaSala(rui) NaSala(rita) Na frase em LN: decorre de alguma maneira que se o Rui estiver na

sala, ento a Rita no estar

Distino a fazer: condies de verdade de uma afirmao outras coisas que decorrem da afirmao

H.P. Grice: introduz noo de decorrncia conversacional




Decorrncia Conversacional

Frase F, e concluso C se C faz parte do significado de F: no pode ser cancelada

por afirmaes subsequentes8 A Rita e o Rui esto na sala mas o Rui no est na sala

O Rui est na sala parte do significado: no pode ser cancelado se C mera decorrncia de F: pode ser cancelada por

afirmaes subsequentes9 A Rita est na sala quando o Rui no est na sala mas quando

o Rui est na sala no sei onde est a RitaNaSala(Rita) NaSala(Rui) no faz parte do significado da

afirmao: pode ser cancelado na afirmao seguinte sem contradio


Mtodos de prova usando e

Estritamente: podem usar-se s as regras para , e Provas mais naturais: usam regras prprias para e Passos de prova: Modus ponens ou eliminao do condicional

tendo estabelecido PQ e P pode inferir-se Q Eliminao do bicondicional

tendo estabelecido QR ou RQ, tendo Q pode inferir-se R Equivalncias

PQ Q PPQ P Q(PQ) P Q

PQ (PQ) (QP)PQ (P Q) (P Q)

contrapositiva




Mtodo de prova condicional Para provar P Q :

Assumir P como premissa Provar Q

Exemplo: A C consequncia de A B e B C Assumindo A: de AB, por modus ponens infere-se B De B e BC , por modus ponens infere-se C Provou-se C tendo assumido A, provou-se AC

Exemplo: Par(n2) Par(n) Assumindo Par(n2), e fazendo prova por contradio

n mpar, n= 2m + 1 n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1 donde n2 mpar Contradiz a premissa, logo n par

Par(n2) Par(n) infere-se por prova condicional


Provas com

Prova condicional: para provar P Q Assumir P e provar Q Assumir Q e provar P

Para provar Q1, Q2, Q3 todos equivalentes:

Expresso em LPO:Q1 Q2Q2 Q3Q1 Q3

Em vez de 6 provas condicionais: provar um ciclo

Q1 Q2Q2 Q3Q3 Q1




Exemplo

As condies seguintes nos nmeros naturais so todas equivalentes:(1) n par(2) n2 par(3) n2 divisvel por 4

Provando (3) (2) (1) (3) Assumindo (3): se n2 divisvel por 4, divisvel por 2, logo (2) (2) (1) por contrapositiva: se n mpar, pode escrever-se

n= 2m + 1 n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1 mpar

(1) (3) evidente


Regras de inferncia para

Eliminao do condicional( Elim)

P QPQ

Introduo do condicional( Intro)

PQ

P Q

Prova condicionalModus ponens

> >




nas provas formais1. (A B) C

2. A3. A B Intro: 24. C Elim: 1,3

5. A C Intro: 2-4

1. A 2. A3. Intro: 1,2

4. A Intro: 2,35. A A Intro: 1-4

Usar prova de A a partir de Apara provar o condicional

A A(sem premissas)


Regras de inferncia para Eliminao do bicondicional

( Elim)P Q (ou Q P )PQ

Introduo do bicondicional( Intro)

PQ

QP

P Q

Dupla prova condicional

>

>




nas provas formais

1. (P Q)2. P Q Teor Prev(Teorema 2): 1

3. P Q4. (P Q) Teor Prev(Teorema 3): 3

5. (P Q) (P Q) Intro: 1-2, 3-4


Esquemas teis

Modus ponens De A B e Inferir

Modus tollens De A B e B Inferir A

Cancelamento De A B e B Inferir A

Reforo do antecedente De B C Inferir (A B) C

Enfraquecimento do consequente De A B Inferir A (B C)

Dilema construtivo De A B , A C, B D Inferir C D

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