LógicaComputacional - ifrn.edu.brdiegonascimento/dokuwiki/lib/exe/fetch.php?media=... · Diego S....

Lógica Computacional

Diego Silveira Costa Nascimento

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do [email protected]

25 de julho de 2016

Ementa do Curso

1 Introdução

2 Lógica Proposicional

3 Construção de Tabelas-verdade

4 Implicação e Equivalência Lógica

5 Método Dedutivo

6 Inferência Lógica

7 Lógica de Predicados

Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 2 / 101

Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Motivações

O estudo desta disciplina faz o aluno adquirir ou aperfeiçoar seu raciocíniológico no intuito de desenvolverem programas e sistemas em umadeterminada linguagem de programação.

A Lógica é apresentada como uma técnica eficiente para:a organização de conhecimentos em qualquer área;raciocinar corretamente sem esforço consciente;interpretar e analisar informações rapidamente;aumentar a competência linguística (oral e escrita);adquirir destreza com o raciocínio quantitativo; edetectar padrões em estruturas (premissas, pressuposições, cenários,etc.)


Lógica

DefiniçãoÉ a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las à pesquisa eà demonstração da verdade.

Deriva do Grego (logos); eSignifica:

palavra;pensamento;ideia;argumento;relato;razãológica; ouprincípio lógico.


Origem da Lógica

A Lógica teve início na Grécia em 342 a.C.;Aristóteles sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica,elevando-a à categoria de ciência;Obra chamada Organon (Ferramenta para o correto pensar);Aristóteles preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir deconhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novosconhecimentos; eA partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica aformulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam àdescoberta de novas verdades.

Aristóteles Organon


Argumento Lógico

Em Lógica, o encadeamento de conceitos é chamado de argumento;As afirmações de um argumento são chamadas de proposições;Um argumento é um conjunto de proposições tal que se afirme queuma delas é derivada das demais;Usualmente, a proposição derivada é chamada de conclusão, e asdemais, de premissas; eEm um argumento válido, as premissas são consideradas provasevidentes da verdade da conclusão.


Exemplo de Argumento


Princípios Lógicos

A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais que permitemtodo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos dopensamento e do raciocínio. São eles:

Princípio da IdentidadeAfirma A = A e não pode ser B , o que é, é;Princípio da Não ContradiçãoA = A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser suanegação, ou seja, o ser é, o não ser não é; ePrincípio do Terceiro ExcluídoAfirma que Ou A é x ou A é y , não existe uma terceira possibilidade.


Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Proposição

Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo;As proposições transmitem pensamentos; eAfirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito dedeterminados entes.

ExemplosA Lua é um satélite da Terra;Sócrates é um homem;Eu estudo Lógica; ouNão está chovendo.


A Linguagem da Lógica Proposicional

Considere o conjunto de símbolos:A = {(, ),¬,∧,∨,→,↔, p, q, r , s, . . .}

A esse conjunto é chamado de alfabeto da Lógica Proposicional;As letras são símbolos não lógico (letras sentenciais); eO restante são símbolos lógicos (parênteses e conectivos lógicos);


Letras Sentenciais

As letras sentenciais são usadas para representar proposições elementaresou atômicas, isto é, proposições que não possuem partes que sejamtambém proposições.

Exemplosp = O céu é azul;Q = Eu estudo lógica;r = 2 + 2 = 4; ous = Sócrates é um homem.

ImportanteAs partes dessas proposições não são proposições mais simples, mas sim,componentes subsentenciais: expressões, palavras, sílabas ou letras.


Conectivos Lógicos

As proposições compostas são obtidas combinando proposiçõessimples através de certos termos chamados conectivos;A Lógica dispõe de cinco tipos de conectivos e seus operadores:

Não (Negação), ¬ ;E (Conjunção), ∧;Ou (Disjunção), ∨;Se – então (Condicional), →;eSe e somente se (Bicondicional), ↔.

ExemplosNão está chovendo;Está chovendo e está ventando;Está chovendo ou está nublado;Se choveu, então está molhado; ouSerá aprovado se e somente se estudar.


Operador de Negação: ¬

A característica peculiar da negação, tal como ela se apresenta na lógicaproposicional clássica, é que toda proposição submetida à operação denegação resulta na sua contraditória.

Exemplop = Está chovendo.Ler-se ¬p, como: “Não está chovendo.”

ImportanteO fato expresso por uma proposição não pode ocorrer ao mesmo tempo esob o mesmo modo e circunstância que o fato expresso pela negação dessamesma proposição.


Tabela Verdade: ¬

Se p é uma proposição, a expressão ¬p é chamada negação de p; eClaramente, a negação inverte o valor verdade de uma expressão.

Exemplo

p ¬pV FF V


Operador de Conjunção: ∧

A característica peculiar da conjunção está no fato de fórmulas conjuntivasexpressarem a concomitância de fatos. A fórmula (p ∧ q) expressa que ofato expresso por p ocorre ao mesmo tempo que o fato expresso por q.

Exemplop = Está chovendo.q = Está ventando.Ler-se p ∧ q, como: “Está chovendo e está ventando.”


Tabela Verdade: ∧

Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de pe q; eAs proposições p e q são chamadas fatores da expressão.

Exemplo

p q p∧qV V VV F FF V FF F F


Operador de Disjunção: ∨

A característica peculiar da disjunção consiste no fato de proposiçõesdisjuntivas expressarem que pelo menos um de dois fatos ocorre. A fórmula(p ∨ q) expressa que, dentre os fatos expressos por p e q respectivamente,pelo menos um deles ocorre.

Exemplop = Está nublado.q = Está chovendo.Ler-se p ∨ q, como: “Está nublado ou está chovendo.”


Tabela Verdade: ∨

Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunçãoinclusiva de p e q; eAs proposições p e q são chamadas parcelas da expressão.

Exemplo

p q p∨qV V VV F VF V VF F F


Operador Condicional: →

A característica peculiar dessa operação consiste em que um condicional(p → q) expressa que a ocorrência do fato expresso por p garantenecessariamente a ocorrência do fato expresso por q.

Exemplop = Choveu.q = Está molhado.Ler-se p → q, como: “Se choveu, então está molhado.”


Tabela Verdade: →

Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicionalde p e q;A proposição p é chamada antecedente, e a proposição q consequenteda condicional; eA operação de condicionamento indica que o acontecimento de p éuma condição para que q aconteça.

Exemplo

p q p→qV V VV F FF V VF F V


Operador Bicondicional: ↔

A característica peculiar dessa operação consiste em que um bicondicional(p ↔ q) assevera que os fatos expressos por p e q são interdependentes,isto é, ou os dois ocorrem juntos ou nenhum dos dois ocorrem.

Exemplop = Será aprovado.q = Estudar.Ler-se p ↔ q, como: “ Será aprovado, se e somente se estudar.”


Tabela Verdade: ↔

Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicionalde p e q; eA operação de bicondicionamento indica que p é uma condição paraque q aconteça, e vice-versa.

Exemplo

p q p↔qV V VV F FF V FF F V


Parênteses: (e)

A necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições se deveao fato de se evitar qualquer tipo de ambiguidade.

Exemplop = Estudar.q = Fazer a prova.r = Fazer o trabalho.s = Serei aprovado.Ler-se ((p ∧ q) ∨ r) → s, como:“ Se ((estudar e fazer a prova) ou fazer o trabalho), então será aprovado.”


Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Tabela-verdade de uma Proposição Composta

Dadas várias proposições simples p, q, r , . . ., podemos combiná-las pelosoperadores lógicos ∧,∨,→,↔ e construir proposições compostas:

ExemploP(p, q) = ¬p ∨ (p → q)Q(p, q) = (p ↔ ¬q) ∧ qR(p, q, r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ (p ↔ ¬r))

Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicasfundamentais já estudadas: ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q;É possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquerproposição composta; eA tabela-verdade exibirá exatamente os casos em que a proposiçãocomposta será verdadeira (V ) ou falsa (F ), admitindo-se que o seuvalor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples.


Ordem de Precedência dos Operadores

1 Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando asoperações de negação, na ordem em que aparecerem;

2 Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita,executando as operações de conjunção e disjunção, na ordem em queaparecerem;

3 Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executandodesta vez as operações de condicionamento, na ordem em queaparecerem; e

4 Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita,executando as operações de bicondicionamento, na ordem em queaparecerem.


Construindo a Tabela-verdade

Dada uma expressão proposicional composta, e dados os valores lógicos dasproposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência,calcular o valor lógico da expressão dada.

Expressão Proposicional CompostaP(p, q) = ¬(p ∧ ¬q)

Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duasproposições simples p e q. O total de linhas é igual a 2n, onde ncorresponde ao número de proposições simples.

Exemplo

p qV VV FF VF F


Construindo a Tabela-verdade (cont.)

Em seguida, forma-se a coluna para ¬q.

Exemplo

p q ¬qV V FV F VF V FF F V



Depois, forma-se a coluna para p ∧ ¬q.

Exemplo

p q ¬q p∧¬qV V F FV F V VF V F FF F V F



Por fim, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposiçãocomposta ¬(p ∧ ¬q).

Exemplo

p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q)V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V


Tautologia

DefiniçãoTautologia é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico ésempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposiçõessimples p, q, r , . . .

As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ouproposições logicamente verdadeiras.


Tautologia: Demonstração I

Proposição¬(p ∧ ¬p)

Exemplo

p ¬p p∧¬p ¬( p∧¬p)V F F VF V F V

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamenteverdadeira e falsa é sempre verdadeiro.


Tautologia: Demonstração II

Proposiçãop ∨ ¬p

Exemplo

p ¬p p∨¬pV F VF V V

Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempreverdadeiro.


Contradição

DefiniçãoContradição é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico ésempre falso, quais quer que sejam os valores lógicos das proposiçõessimples p, q, r , . . .

As contradições são também denominadas proposições contraválidas ouproposições logicamente falsas.


Contradição: Demonstração I

Proposiçãop ∧ ¬p

Exemplo

p ¬p p∧¬pV F FF V F

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira efalsa é sempre falso.


Contradição: Demonstração II

Proposiçãop ↔ ¬p

Exemplo

p ¬p p↔ ¬pV F FF V F


Contingência

DefiniçãoContingencia é toda a proposição composta que não é tautologia nemcontradição.

As contingências são também denominadas proposições contingentes ouproposições indeterminadas.


Contingência: Demonstração I

Proposiçãop → ¬p

Exemplo

p ¬p p→ ¬pV F FF V V


Contingência: Demonstração II

Proposiçãop ∨ q → p

Exemplo

p q p∨q p∨q → pV V V VV F V VF V V FF F F V


Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Implicação Lógica

DefiniçãoDiz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) implica logicamente umaproposição Q(p, q, r , . . .), se Q(p, q, r , . . .) é verdadeiro todas as vezes emque P(p, q, r , . . .) é verdadeiro.

NotaçãoP(p, q, r , . . .) ⇒ Q(p, q, r , . . .)

ImportanteEm particular, toda proposição implica uma tautologia e somente umacontradição implica uma contradição.


Propriedades da Implicação Lógica

É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições utiliza-sedas propriedades reflexiva (R) e transitiva (T).

Exemplo(R) P(p, q, r , . . .) ⇒ P(p, q, r , . . .)(T) Se P(p, q, r , . . .) ⇒ Q(p, q, r , . . .) e

Q(p, q, r , . . .) ⇒ R(p, q, r , . . .), entãoP(p, q, r , . . .) ⇒ R(p, q, r , . . .)


Demonstração de Implicação Lógica I

Proposiçõesp ∧ q, p ∨ q e p ↔ q

Exemplo

p q p∧q p∨q p↔qV V V V VV F F V FF V F V FF F F F V

A proposição p ∧ q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, asproposições p ∨ q e p ↔ q também são verdadeiras. Logo, a primeiraproposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:

p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q


Demonstração de Implicação Lógica II

Proposiçõesp ↔ q, p → q e q → p

Exemplo

p q p↔q p→q q→pV V V V VV F F F VF V F V FF F V V V

A proposição p ↔ q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas,proposições p → q e q → p também são verdadeiras. Logo, a primeiraproposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:

p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p


Tautologias e Implicação Lógica

TeoremaA proposição P(p, q, r , . . .) implica a proposição Q(p, q, r , . . .) isto é:P(p, q, r , . . .) ⇒ Q(p, q, r , . . .)se e somente se a condicional:P(p, q, r , . . .) → Q(p, q, r , . . .)é tautológica.

ImportanteOs símbolos → e ⇒ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p → q),enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a condicionalP(p, q, r , . . .) → Q(p, q, r , . . .) é tautológica).


Demonstração de Tautologia e Implicação Lógica

Condicional(p → q) ∧ p → q

Exemplo

p q p→q (p→q)∧ p (p→q)∧ p → qV V V V VV F F F VF V F F VF F V F V

Portanto, simbolicamente: (p → q) ∧ p ⇒ q


Equivalência Lógica

DefiniçãoDiz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) é logicamente equivalente a umaproposição Q(p, q, r , . . .), se as tabelas-verdade destas duas proposiçõessão idênticas.

NotaçãoP(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .)

ImportanteEm particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r , . . .) são ambastautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes.


Propriedades da Equivalência Lógica

É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-sedas propriedades reflexiva(R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é,simbolicamente:

Exemplo(R) P(p, q, r , . . .) ⇔ P(p, q, r , . . .)(S) Se P(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .), então

Q(p, q, r , . . .) ⇔ P(p, q, r , . . .)(T) Se P(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .) e

Q(p, q, r , . . .) ⇔ R(p, q, r , . . .), entãoP(p, q, r , . . .) ⇔ R(p, q, r , . . .)


Demonstração de Equivalência Lógica I

Proposições¬p → p e p

Exemplo

p ¬p ¬p→pV F VF V F

A proposição ¬p → p e p são equivalentes nas colunas 1 e 2, isto é:

¬p → p ⇔ p


Demonstração de Equivalência Lógica II

Proposiçõesp → p ∧ q e p → q

Exemplo

p q p∧q p→p∧q p→qV V V V VV F F F FF V F V VF F F V V

A proposição p → p ∧ q e p → q são equivalentes nas colunas 4 e 5, isto é:

p → p ∧ q ⇔ p → q


Tautologias e Equivalência Lógica

TeoremaA proposição P(p, q, r , . . .) é equivalente à proposição Q(p, q, r , . . .), isto é:P(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .)se e somente se a bicondicional:P(p, q, r , . . .) ↔ Q(p, q, r , . . .)é tautológica.

ImportanteOs símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ↔ q),enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicionalP(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .) é tautológica).


Demonstração de Equivalência Lógica

Proposições(p ∧ ¬q → c) e (p → q)

Exemplo

p q c p∧¬q p∧¬q→c p→q (p∧¬q→c) ↔ (p→q)V V F F V V VV F F V F F VF V F F V V VF F F F V V V...

......

......

......


Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Dedução

DefiniçãoDado um argumento P1,P2 e P3 → Q chama-se demonstração oudedução de Q a partir das premissas P1,P2, . . .Pn, a sequência finita deproposições X1,X2, . . .Xm, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorrelogicamente de proposições anteriores da sequência, e de tal modo que aúltima proposição Xm seja a conclusão Q do argumento dado.

Desta forma, se for possível obter a conclusão Q através do procedimentode dedução, o argumento é válido, caso contrário, não é válido.

O método dedutivo é mais eficente para demonstração de implicações eequivalências lógicas do que quando utiliza-se de tabelas-verdade.


Álgebra das Proposições

Propriedades da Conjunção;Propriedades da Disjunção;Propriedades da Conjunção e Disjunção;Negação da Condicional; eNegação da Bicondicional.


Propriedades da Conjunção

Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposiçõestambém simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa eidentidade.

Idempotentep ∧ p ⇔ p

Exemplo

p p∧p p∧p↔pV V VF F V


Propriedades da Conjunção (cont.)

Comutativap ∧ q ⇔ q ∧ p

Exemplo

p q p∧q q∧p p∧q↔q∧pV V V V VV F F F VF V F F VF F F F V



Associativa(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Exemplo

p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)V V V V V V VV V F V F F FV F V F F F FV F F F F F FF V V F F V FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F



Identidadep ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c

Exemplo

p t c p∧t p∧c p∧t↔p p∧c↔cV V F V F V VF V F F F V V


Propriedades da Disjunção

Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposiçõestambém simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa eidentidade.

Idempotentep ∨ p ⇔ p

Exemplo

p p∨p p∨p↔pV V VF F V


Propriedades da Disjunção (cont.)

Comutativap ∨ q ⇔ q ∨ p

Exemplo

p q p∨q q∨p p∨q↔q∨pV V V V VV F V V VF V V V VF F F F V



Associativa(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Exemplo

p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)V V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F V V F VF V V V V V VF V F V V V VF F V F V V VF F F F F F F



Identidadep ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p

Exemplo

p t c p∨t p∨c p∨t↔t p∨c↔pV V F V V V VF V F V F V V


Propriedades da Conjunção e Disjunção

Seja p, q e r proposições simples quaisquer, podemos representar aspropriedades: distributiva, absorção e regras De Morgan.

Distributivap ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Exemplo

p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q) ∨ (p∧r)V V V V V V V VV V F V V V F VV F V V V F V VV F F F F F F FF V V V F F F FF V F V F F F FF F V V F F F FF F F F F F F F


Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)

Absorçãop ∧ (p ∨ q) ⇔ p e p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

Exemplo

p q p∨q p∧(p∨q) p∧(p∨q) ↔pV V V V VV F V V VF V V F VF F F F V


Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)

Regras De Morgan (1806–1871)¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

Exemplo

p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V


Negação da Condicional

DemonstraçãoComo p → q ⇔ ¬p ∨ q, temos:

¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ ¬¬p ∧ ¬qou seja:

¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q

Exemplo

p q p→q ¬(p→q) ¬q p∧¬qV V V F F FV F F V V VF V V F F FF F V F V F


Negação da Bicondicional

DemonstraçãoComo p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), temos:

p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)e portanto:

¬(p ↔ q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p) ⇔ (¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∧ ¬p)ou seja:

¬(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

Exemplo

p q ¬p ¬q p∧¬q ¬p∧q (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) p↔q ¬(p↔q)V V F F F F F V FV F F V V F V F VF V V F F V V F VF F V V F F F V F


Demonstração da Implicação I

Implicaçãop ∧ q ⇒ p

Exemplop ∧ q → p ⇔¬(p ∧ q) ∨ p ⇔(¬p ∨ ¬q) ∨ p ⇔(¬p ∨ p) ∨ ¬q ⇔Tautologia ∨¬q ⇔Tautologia


Demonstração da Implicação II

Implicação(p → q) ∧ p ⇒ q

Exemplo((p → q) ∧ p) → q ⇔¬((p → q) ∧ p) ∨ q ⇔(¬(p → q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔(¬(¬p ∨ q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔((¬¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔((p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔((¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ q ⇔(Tautologia ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ q ⇔(¬p ∨ ¬q) ∨ q ⇔¬p ∨ (¬q ∨ q) ⇔¬p ∨ Tautologia ⇔ Tautologia


Demonstração da Equivalência I

Equivalênciap → q ⇔ p ∨ q → q

Exemplop ∨ q → q ⇔¬(p ∨ q) ∨ q ⇔(¬p ∧ ¬q) ∨ q ⇔(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ⇔(¬p ∨ q) ∧ Tautologia ⇔p → q


Demonstração da Equivalência II

Equivalência(p → q) ∧ (p → ¬q) ⇔ ¬p

Exemplo(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ⇔¬p ∨ (q ∧ ¬q) ⇔¬p∨ Contradição ⇔¬p


Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Inferência

DefiniçãoÉ o processo pelo qual se chega a uma proposição, firmada na base de umaou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo.

Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar avalidade de um dado argumento P1,P2, . . . ,Pn ` Q consiste em deduzira conclusão Q a partir das premissas P1,P2, . . . ,Pn mediante o uso decertas regras de inferência.


Regras de Inferência

Regra de Adição (AD);Regra de Simplificação (SIMP);Regra da Conjunção (CONJ);Regra de Absorção (ABS);Regra Modus ponens (MP);Regra Modus tollens (MT);Regra do Silogismo disjuntivo (SD);Regra do Silogismo hipotético (SH);Regra do Dilema construtivo (DC); eRegra do Dilema destrutivo (DD).


Regra da Adição

DefiniçãoDada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção comqualquer outra proposição, isto é, deduzir p ∨ q, ou p ∨ r , etc.

Exemplo

pp ∨ q

pq ∨ p


Regra de Simplificação

DefiniçãoDa conjunção p ∧ q de duas proposições se pode deduzir cada uma dasproposições, p ou q.

Exemplo

p ∧ qp

p ∧ qq


Regra da Conjunção

DefiniçãoPermite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a suaconjunção p ∧ q ou q ∧ p (conclusão).

Exemplo

pqp ∧ q

pqq ∧ p


Regra da Absorção

DefiniçãoEstá regra permite, dada uma condicional p → q como premissa, deladeduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedentep e cujo consequente é a conjunção p ∧ q das duas proposições queintegram a premissa, isto é, p → p ∧ q.

Exemplo

p → qp → (p ∧ q)


Regra Modus Ponens

DefiniçãoTambém é chamada Regra de Separação e permite deduzir q(conclusão) a partir de p → q e p (premissas).

Exemplo

p → qpq


Regra Modus Tollens

DefiniçãoPermite, a partir das premissas p → q (condicional) e ¬q (negação doconsequente), deduzir como conclusão ¬p (negação do antecedente).

Exemplo

p → q¬q¬p

p → ¬qq¬p


Regra do Silogismo Disjuntivo

DefiniçãoPermite deduzir da disjunção p ∨ q de duas proposições e da negação ¬p(ou ¬q) de uma delas a outra proposição q (ou p).

Exemplo

p ∨ q¬pq

p ∨ q¬qp

¬p ∨ qpq


Regra do Silogismo Hipotético

DefiniçãoEsta regra permite, dada duas condicionais: p → q e q → r (premissas),tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda,deduzir uma terceira condicional p → r (conclusão) cujo antecedente econsequente são respectivamente o antecedente da premissa p → q e oconsequente da outra premissa q → r .

Exemplo

p → qq → rp → r


Regra do Dilema Construtivo

DefiniçãoNesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seusantecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destascondicionais.

Exemplo

p → qr → sp ∨ rq ∨ s


Regra do Dilema Destrutivo

DefiniçãoNesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negaçãodos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dosantecedentes destas condicionais.

Exemplo

p → qr → s¬q ∨ ¬s¬p ∨ ¬r


Validade Mediante Regras de Inferência I

Argumentop → q, p ∧ r ` q

Exemplo

(1) p → q(2) p ∧ r(3) p 2 – SIMP(4) q 1,3 – MP


Validade Mediante Regras de Inferência II

Argumentop ∧ q, p ∨ r → s ` p ∧ s

Exemplo

(1) p ∧ q(2) p ∨ r → s(3) p 1 – SIMP(4) p ∨ r 3 – AD(5) s 2,4 – MP(6) p ∧ s 3,5 – CONJ


Ementa do Curso

1 Introdução




5 Método Dedutivo




Termo e Predicado

Na Lógica Proposicional as interpretações não dependem da estruturainterna de suas proposições, mas unicamente no modo como secombinam;Já lógica de Predicados, dada uma proposição simples qualquer, podedestacar dela dois entes:

Termo; ePredicado.

O termo pode ser entendido como o sujeito da sentença declarativa; eO predicado é uma declaração a respeito do termo.

ExemplosSócrates é mortalTermo: SócratesPredicado: é mortal


Função Proposicional

Seja T um conjunto de termos, uma função proposicional em T é umpredicado p associado a um termo x , p(x);A expressão p(a) é verdadeira só e somente se a ∈ T ; eNas funções proposicionais, os termos são variáveis, enquanto que asproposições são constantes.

ExemplosSeja o conjunto Z = {1, 2, 3, 4, . . . }, são funções proposicionais:par(x)primo(x)


Quantificadores

DefiniçãoSão operadores lógicos que restringem as funções proposicionais, de formaque elas se refiram a todo um conjunto de termos T , ou parte dele.

Há dois tipos de quantificadores:Universal: ∀; eExistencial: ∃.

Exemplos∀x(matematica(x)), ler-se: Tudo é matemática.¬∃x(homem(x) ∧ infiel(x)), ler-se: Não existe homem infiel.∀x(homem(x) → mortal(x)), ler-se: Todos os homens são mortais.


Negação dos Quantificadores

Se usarmos a para representar um predicado associado aos termos de umconjunto T , as seguintes equivalências se verificam:

¬∀x(p(a)) ⇔ ∃x¬(p(a))¬∃x(p(a)) ⇔ ∀x¬(p(a)).

ImportanteAs equivalências já estudada no cálculo proposicional podem ser usadas nasfunções proposicionais.

ExemploNão existe baleia que seja réptil

¬∃x(baleia(x) ∧ reptil(x)) ⇔ ∀x¬(baleia(x) ∧ reptil(x)) ⇔∀x(¬baleia(x) ∨ ¬reptil(x)) ⇔ ∀x(baleia(x) → ¬reptil(x))

Todas as baleias não são répteis.


Validade de Argumentos com Quantificadores

É possível provar a validade de argumentos que envolva proposiçõesquantificadas;Para isso, é necessário transformar os argumentos com quantificadoresem argumentos não quantificados, por meio de exemplificações;Em seguida, aplicar as regras de inferências lógicas já estudadas; ePor fim, uma vez concluída a prova de validade do argumento, usa-sea generalização para obter a conclusão do argumento quantificado.


Exemplificação Existencial

DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se existe umtermo associado ao predicado p, estipulamos que tal termo seja c .

Exemplo∃x(p(x))

p(c)


Exemplificação Universal

DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se todos ostermos são associado ao predicado p, escolhemos um deles, c , um termoconstante.

Exemplo∀x(p(x))

p(c)


Generalização Existencial

DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se concluímosque um termo c constante está associado ao predicado p, então existe umtermo associado a p.

Exemplop(c)

∃x(p(x))


Generalização Universal

DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se o termo ctomado na exemplificação pode ser qualquer um, ou seja, pode ser tomadoaleatoriamente, então qualquer termo está associado ao predicado p.

Exemplop(c)

∀x(p(x))


Validade Mediante Regras de Inferência I

ArgumentoTodos os jogadores são atletas.Todos os atletas sofrem contusões.Logo, todos os jogadores sofrem contusões.

Exemplo

(1) ∀x(jogador(x) → atleta(x))(2) ∀x(Atleta(x) → contusao(x))(3) jogador(Zico) → atleta(Zico) 1 – EU(4) Atleta(Zico) → contusao(Zico) 2 – EU(5) jogador(Zico) → contusao(Zico) 3,4 – SH(6) ∀x(jogador(x) → contusao(x)) 5 – GU


Validade Mediante Regras de Inferência II

ArgumentoTodos que estavam doentes foram medicados.Alguns não foram medicados.Logo, nem todos estavam doentes.

Exemplo

(1) ∀x(doente(x) → medicado(x))(2) ∃x¬(medicado(x))(3) doente(Pedro) → medicado(Pedro) 1 – EU(4) ¬medicado(Pedro) 2 – EE(5) ¬doente(Pedro) 3,4 – MT(6) ¬∀x(doente(x))


LógicaComputacional - ifrn.edu.brdiegonascimento/dokuwiki/lib/exe/fetch.php?media=... · Diego S....

Documents

Transcript of LógicaComputacional - ifrn.edu.brdiegonascimento/dokuwiki/lib/exe/fetch.php?media=... · Diego S....