LT1 – Aula 22 (23.05.05)

Linha de transmissão

1.Estudo de ondas electromagnéticas transversais guiadas por linhas de transmissão.

2. Estruturas que suportam ondas TEM:

a) Linha de planos paralelos

Em microondas a linha de planos paralelos é fabricada de forma simples e barata usando

técnicas de circuito impresso num substracto dielétrico (“striplines”).

00

z~H,

z~Eg2

1k2zk

1

T~H

00

z~H,

z~Ef2

1k2zk

1

z~E

TEM1kzk0zE0zH:Modos

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

===

Metal

diel.

Metal Metal

diel.

b) Linha bipolar

Linhas telefónicas em areas rurais

Linhas de potência

Linhas da antena TV no telhado para o receptor

c) Cabo coaxial

Vantagem: confinam os campos E, H no dielétrico. Cabos de telefone e TV e cabos de entrada

de instrumentos de medida de alta precisão.

(evitam interferências)

Nota: estas estruturas propagam também modos TE e TM, quando a separação entre os

condutores for significativa em, termos de λ.

3. As eqs. gerais das linhas de transmissão podem ser formuladas com base num modelo de

circuitos em termos de uma resistência, inductância, condutância e capacitância por unidade

de comprimento da linha, isto é de parâmetros distribuídos ao longo da linha.

A partir das eqs. das linhas de transmissão deduzem-se todas as características da

propagação das ondas ao longo das linhas.

O estudo das propriedades das linhas em regimes harmónicos fica muito facilitada

utilizando métodos gráficos, que evitam o recurso a cálculos repetidos com números

complexos. A carta mais conhecida é a carta de Smith. Vamos usá-la para determinar as

características das ondas nas linhas e para resolver problemas de adaptação de impedâncias.

As linhas de transmissão suportam modos TEM: cabo coaxial, linha bifilar, “stripline”.

Modos TEM 1kzk0zE0zH ===

• As componentes transversais do campo eléctrico obedecem a equações semelhantes às da

electrostática, embora pulsem no tempo com frequência ω.

• As componentes transversais do campo magnético obedece a eqs. semelhantes às da

magnetostática.

• Pode-se definir unicamente tensão e corrente, V e I.

• As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada troço elementar de

linha ∆z é modelado por parâmetros R, L, G e C definidos por unidade de comprimento:

R – resistência em série dos condutores [Ω/m]

L – indutância em série dos condutores [H/m]

G – condutância em paralelo [S/m]

C – capacidade em paralelo [F/m]

L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores.

C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores.

R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade finita dos condutores.

G – É devida ás perdas dieléctricas no material entre condutores.

R e G – Traduzem perdas

a) Dieléctrico com perdas

G – dieléctrico não perfeito σd ≠ 0

b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente , deixa de ser um modo TEM.

c) R = Ri – resistência interna dos condutores

Li, Ci ≈ 0 normalmente desprezam-se

• A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos campos electromagnéticos e a teoria dos circuitos.

• Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão podem ser abordados como uma extensão da teoria dos circuitos ou como uma especialização das equações de Maxwell.

• A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da linha de transmissão é o comprimento eléctrico. Nos circuitos as dimensões físicas são muito menores que o comprimento de onda, enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção considerável do comprimento de onda.

• A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros distribuídos, em que a tensão e a corrente variam em amplitude e fase ao longo da linha

zE

iCeCCiLeLL

eGGeCC

eCeL

2IeL21

mW

2VeC21

eW

21 Hd

eL

VQ

eC

iCeCC

+=+=

==

µε=

=

=

µ=

=

+=

∫I

l

Exterior ao condutor perfeito

Auto indução exterior ao condutor perfeito

Energia eléctrica

Energia magnética

Equações canónicas das linhas de transmissão:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω+=ω+=−

ω+=ω+=−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω+=−

ω+=−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+=∂

∂−

∂∂

+=∂

∂−

VcjGVcjVRdz

Id

ILjRILjIRdzVd

)z(VCj)z(VGdz

)z(Id

)z(ILj)z(IRdz

)z(Vd

t)t,z(VC)t,z(VG

z)t,z(I

)t,z(tIL)t,z(IR

z)t,z(V

As eqs. resolvem-se em ordem a :IeV

( )( ) zjkjcjGLjRqueem

0I22dz

I2d

0V22dz

V2d

)I(

=β+α=ω+ω+=γ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=γ−

=γ−

a) Condutores perfeitos (σ = ∞)

R = 0 Modos TEM → kz= k0

b) Materiais de boa qualidade (situação real)

Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência

ω L >> R

ω c >> G

Solução geral das eqs (I):

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

γ−γ−=

γ+γ−=

ze0Z2aze

0Z1a)z(I

ze2aze1a)z(V

Onda incidente Onda reflectida

Gera-se uma onda incidente de tensão a partir da fonte que dá origem a uma onda incidente

de corrente, que está relacionada com V através da impedância característica. Mas quando

a linha está terminada por Zs ≠ Z0, a razão em V e I é Zs. Por isso surge uma onda

reflectida de modo a satisfazer esta condição.

⎪⎩

⎪⎨⎧

γ−=

γ=→+=

γ++γ−===

=====

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

γ+−γ−=

γ+γ−=

ll

ll1

11l

e2rV2ae2iV1a

2rV2iV

e2a1a2V)z(V

2I)z(Ie2V)z(Vzem

ze0Z2aze

0Z1a)z(I

ze2aze1a)z(V

0ZsZsZsZ

2I0Z2V2I0Z2Vjeksk

2iV2rV

sZ2I2V

22I0Z2V

22I0Z2V

2V2rV

22I0Z2V

2iV

2I0Z2rV

0Z2iV

0Z2V

0Z2rV

0Z2iV

2V2rV2iV

2V2rV2iV

)z(e

0Z2rV)z(

e0Z2iV)z(I

)z(e2rV)z(e2iV)z(V

+−

=+−

=θ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

+−==

+=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−γ−−−γ

=

−γ−+−γ=

ll

ll

ks - factor de reflexão na carga

( )

( )θ−β−α−+α∝

θ−β+α−+α∝

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ β−α−θ+β−α⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ β−α−θ+βα=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ γ−−γ=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ γ−+γ=

y2cosk2y2e2ky2e2iI)y(I

y2cosk2y2e2ky2e2iV)y(V

yjeyejekyjeyeyjeyejekyjeye2iV)y(V

yeskye0Z2iV

)y(I

yeskye2iV)y(V

• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Zs = Z0 não háonda reflectida (ks = 0).

Linha sem perdas

πλθ

=θ

−=λ

+πλθ

=

+=π=θ−β

4y

k12iV)y(V

2m

4máxy

k12iV)y(V

m2máxy2

Primeiro máximo de tensão:

( )

( ) 2ky2cosk212iI

)y(I

2ky2cosk212iV

)y(V

+θ−β+=

+θ−β+=

a) A tensão é máxima quando:

• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.

( )

2m

44miny

1m2miny2

λ+

λ+

πθλ

=

π+=θ−βb) A tensão é mínima quando:

pk1k1

minImáxI

minVmáxV

=−+

==c) Factor de onda estacionária

Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞

Impedância nos planos de máximo e de mínimo

a) Plano de máximo ymáx de tensão

b) Plano de mínimo ymin de tensão

Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.

mRp0Z

k1k1

0ZmáxIminV

minyZ

mRp0Z

k1k1

0ZminImáxV

ymáxZ

==+−

==

==+−

==

Linha com perdas

( )

( )θ−β−α−+α=

θ−β+α−+α=

y2cosk2y2e2ky2e2

2iI)y(I

y2cosk2y2e2ky2e2

2iV)y(V

Quando cos (2βy - Ө) 1 tem-se:

yekye2iV

Vy

yekye2iV)y(V

k2y2e2ky2e2

2iV)y(V

α−−α=

α−+α=

+α−+α=

Quando cos (2βy - Ө) -1

Quando há perdas os pontos de estacionaridade das

funções deixam de coincidir com os

de cos (2βy - Ө).

Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão

próximos.

2iIyI

e2iV)y(V

Impedância da linha

A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha.

À distância y = l da carga tem-se:

ll

l

l

ll

ll

l

β+β+

==

+−

=

β−−

β−+==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ β−−β=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ β−+β=

==

===

tgSZj0Ztg0ZjsZ

0Z)y(Z

0ZsZ0ZsZ

sk

2jesk1

2jesk10Z)y(Z

yjeskyje0Z2iV

)y(I

yjeskyje2iV)y(V

)y(I)y(V

)y(Z

I) Linha sem perdas

R =0, G = 0 ( )( )CjGLjRZCjGLjR

ω+ω+

=ω+ω+=γ

00Xe)(constanteCL

0Xj0R0Z

LC1vf

LC0LCjj

==+=

=βω

=

⎩⎨⎧

ω=β=αω=β+α=γ

b) Velocidade de fase

c) Impedância característica

a) Constante de propagação:

(função linear de ω)

(constante)

II) Linha com fracas perdas

R << ωL (relações facilmente verificadas em altas frequências)

G << ωC

a) Constante de propagação

LCeCLG

LCR

21

CLG

LRR

21LCj

CG

LR

j211LCj

Cj2G1

Lj2R1LCj

CjG1

jLR1LCjj

ω≈β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ω+ω≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω≈

ω++ω=β+α=γ

(função aproximada linear com ω)

a) Velocidade de fase

CjGLjRZ

0CG

LR

21

CL

0XeCLR

CG

LR

j211

CL

Cj2G1

Lj2R1

CL

CjG1

1Lj

R1CL

0Xj0R0Z

LC1vf

ω+ω+

=

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ω−=≈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ω+≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+≈

ω+ω

+=+=

=βω

= (Aproximadamente constante)

c) Impedância característica