Lubrificação

Mecnica dos Fluidos II

14/20Monitor: Nuno Jorge S. Diashttp://www.vortex.unb.br/nuno/

Lubrificao


Monitor: Nuno Jorge S. Diashttp://www.vortex.unb.br/nuno/

So escoamentos que acontecem em pequenas fendas ou espaos, onde uma dimenso do espao muito maior que a outra.

So escoamentos que se desenvolvem em uma nica direo, ou seja,

u . u=0

Note que u . u=0 o termo de inrcia na Eq. de Quantidade de Movimento

(u. u )= p+ u u t

=0

Quando podemos desprezar os termos de inrcia em relao ao termos viscosos?



Considere um sistema composto por um veio e o seu respectivo mancal

ZOOM L h

Desprezando os termos de inrcia

u y

= p x

uU ;xL; yhEscalas

FN

Uh=FNL

1L

p=FNA=

FNL

FN=ULh

hL



Fora Tangencial (Cisalhamento)

= u y

FTL=U

hFT=U

Lh

Qual das duas foras a maior?

FTFN

= hL1FTFN

As FT esto associadas com a viscosidade do fluido. Quanto maior for a viscosidade do

fluido maior ser a Fora Tangencial. Assim fluidos muitos viscosos proporcionam uma diminuio de F

N podendo provocar o indesejvel contato fsico entre o veio e o mancal.

Assim a F N ter que ser muito maior que a F

T e para tal tem que existir presso

perpendicular ao plano do escoamento.



U h(x , y )

L

Considere o escoamento de um fluido visocoso em regime permanente entre dois contornos rgidos: y=0 e y=h(x,y). Seja U a velocidade do escoamento na horizontal e L o comprimento da escala tpica na horizontal.

Escalas: u ,wU ; x , zL; yh0 h0 uma escala tpica de h.

Equao da Continuidade

u x

+ v y

+w z

=0

u x

; w z

UL

v y

UL vU

h0L v1

x

y z



Equao da Quantidade de Movimento na direo x.

(u u x +v u y +w u z )= p x + ( u x + u y + u z )UL

UL

Uh0

2UL

Pela anlise de escala observa-se que: u y

u x

, u z

Comparando os Termos de Inrcia com os Termos Viscosos:

F IFV

=U h0

h0L=R eh (h0L ) F IFV=

U L (h0L )

2

=R eL (h0L )2

ou

F IFV



Aps as observaes anteriores escreve-se as eqs. da Quantidade de Movimento para as trs direes:

x p x

= u y

p x

Uh0

2

z p z

= w y

p z

Uh0

2

y p y

= v y

p y

ULh0

Comparando os termos de presso

p / y p / x

=h0L1 p

y p

x



Ento fico com o seguinte sistema de equaes para resolver:

u y

= 1 p x

u= 12

p x

y+C1y+C2

w y

= 1 p z

w= 12

p z

y+C3y+C4

Condies de Contorno y=0u=0 ;w=0 y=h( x , y)u=0 ;w=0

u= 12

p x

y (h0 y )

w= 12

p z

y (h0 y )

u z

= 12

p x z

y (h0 y)

w x

= 12

p x z

y (h0 y )



u z

= 12

p x z

y (h0 y)

w x

= 12

p x z

y (h0 y )

=w x

u z

=0

Voticidade nula: escoamento irrotacional no plano xz

Clula Hele-Shaw: constituda por duas placas distanciadas por um distncia . Usada para demonstrar escoamentos potenciais.



Q=U A=U= 1A u . nds=

1h0 l0

h0

12

p x

y (h0 y)dy l=1

h02

12 p x

Calculando a Vazo

U=K ( ,) 1 p x

Comparando com a equao de Darcy para meio poroso

K

Funo da permeabilidade do meio porosoPorosidade

Distribuio de Porosidade

U=K p x

Assim Taylor constatou que poderia usar a clula Hele-Shaw para simular um meio poroso em que a constante de permeabilidade K. No estudo de Taylor a preocupao era saber a vazo ideal para retirar petrleo das rochas. O que estava acontecendo era que estavam a usar uma grande vazo para empurrar o petoleo das rochas. O resultado era de pouca extrao de petrleo devido a gua penetrar no petrleo (Fingers de Saffman-Taylor)



Equao Geral de Reynolds da Lubrificao

Considere o caso bidimensional

U L

L

y

x

y=h( x)

Aproximao da Lubrificao

LL1

Escalas

uU ; xL; y L





u x

+ v y

=0 vU vu


(u u x +v u y )= p x + ( u x + u y )UL

UL

U( L)2

u x

u y




0= p x

+ u y

p x

U( L)2

0= p y

+ v y

p y

U ( L)2

p / y p / x

=1 p y

p x

p y

0

p=p(x )

u y

= 1 p x

u( y )= 12

p x

y2+C1 y+C2

Equao da Quantidade de Movimento na direo x

Condies de Contorno

u( y=0)=U ;u( y=h(x))=0



u( y )= 12

p x

y ( yh)+U (1 yh )


Parte Linear (Couette)

Parte Parablica (Poiseiulle)

u x

+ v y

=00

hu x

dy+0

h v y

dy=00

hu x

dy+v ( y=h)v ( y=0)=00

hu x

dy=0

Pelo Teorema de Leibniz que corresponde ao Teorema de Transporte de Reynolds 1D, demonstra-se que:

0

hu x

dy= dd x 0

h(x)

udy



dd x 0

h(x)

udy=0 16

dd x (h dpdx )=U dhd x

Equao de Reynolds da Lubrificao para o caso Bidimensional (2D)

Equao no-linear: dependendo de h(x) a soluo numrica ou grfica

Aplicao: Dada a geometria do mancal, h(x), integra-se em x e determina-se a distribuio de presso. Com a distribuio de presso deternimar a Fora Nornal sobre o mancal (que sustenta o veio ).

16 [ dd x (h dpdx )+ dd y (dpdy )]=U dhd x Equao de Reynolds da Lubrificao para o caso Tridimensional (3D)

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