Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Lugares geométricos usando o produto escalar

Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1

1. Considere num referencial o.n. Oxy os pontos A )1,2( e B )7,9( .

1.1. Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB] usando o produto escalar.

1.2. Uma equação da circunferência de diâmetro [AB] usando o produto escalar.

2. Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma triangular não regular

[AEKGHI].

Sabe-se que:

As bases são triângulos retângulos isósceles ( EKAE e

HIGH ) com hipotenusa de comprimento igual a 22 ;

A base [AEK] está contida no plano xOy;

As arestas laterais do prisma são perpendiculares à base;

O ponto A coincide com a origem do referencial e o ponto G

tem cota 2;

O ponto M é o ponto médio de [IG];

Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta [EM] usando o produto escalar.

3. Na figura seguinte está representado, num referencial o.n. Oxyz, um

prisma quadrangular regular.

A base [EOFG] está contida no plano xOy.

O ponto D tem de coordenadas (3 , 3, 5).

Determine uma equação da superfície esférica que passa nos oito vértices

do prisma.

4. Considere, num referencial o.n. Oxy, a circunferência de equação 8222 yyx .

4.1. Determine uma equação da reta r que é tangente à circunferência no ponto T )51,2( .

4.2. Determine as coordenadas do ponto de tangência à circunferência pela reta s que é paralela à reta r.

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5. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGO].

Admita que, o ponto D tem coordenadas )4,3,2( e o ponto E tem

coordenadas )1,1,2( .

Determine uma equação:

5.1. da superfície esférica circunscrita ao cubo [ABCDEFGO];

5.2. do plano tangente, à superfície esférica circunscrita ao cubo, no

ponto E.

6. Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu

centro na origem do referencial;

[AB] é um diâmetro da base;

O vértice C tem coordenadas (0 , 0, 3);

O ponto B tem coordenadas (0, 2, 0).

6.1. Escreva uma equação vetorial da reta BC.

6.2. Calcule o ângulo formado pelas retas AC e CB. Apresente o resultado arredondado às unidades.

6.3. Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta [AC].

6.4. Determine uma equação da superfície esférica de diâmetro [BC].

7. Na figura seguinte está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma

esfera de diâmetro [BC].

Sabe-se que o ponto B coincide com a origem do referencial e que o ponto

C tem coordenadas (0 , 0 , 4).

7.1. Defina por uma condição a esfera representada na figura.

7.2. Determine uma equação do plano tangente à esfera no ponto de coordenadas )1,2,1(