Luis Alonso Salas Alvarado Simulação bidimensional de ... amiga Ana Roxo de quem estou eternamente...

Luis Alonso Salas Alvarado

Simulação bidimensional de corridas de detritos usando o Método de

Elementos Discretos

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Geotecnia da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador:

Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr.

Rio de Janeiro, junho de 2006

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410780/CA

Luis Alonso Salas Alvarado

Simulação bidimensional de corridas de detritos usando o Método de

Elementos Discretos

Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Geotecnia da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada:

Eurípedes do Amaral Vargas Jr.

Orientador e Presidente PUC-Rio

Joao Luiz Elias Campos Tecgraf

Nelson Ferreira Fernadez IG/UFRJ

Cláudio Palmeiro do Amaral PUC-Rio

Rio de Janeiro, 30 junho de 2006

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da universidade .

Luis Alonso Salas Alvarado Natural de Costa Rica. Gradou-se em Engenharia Civil (Universidad de Costa Rica-UCR) em 2003. Tem realizado estudos integrados em Sistemas de Informação Geográfica (SIG) no CIEDES (1997-2001) e de Geologia na Escola Centroamericana de Geologia da UCR (2000-2002). Tem participado em diversos projetos, seminários e congressos nas áreas de pavimentação, gestão integrada de riscos naturais, bases de dados georreferenciadas, estruturas de concreto sismo-resistentes e fundações tanto em Costa Rica como em El Salvador e no Brasil. Responsável da seção de pesquisa de materiais geológicos para uso industrial no LANAMME-UCR (2002-2003). É parte do corpo docente do Departamento de Geotecnia na Escola de Engenharia Civil da UCR.

Ficha Catalográfica

Alvarado, Luis Alonso Salas Simulação bidimensional de corridas de detritos usando o Método de Elementos Discretos / Luis Alonso Salas Alvarado; Orientador: Eurípedes Vargas do Amaral Jr.- Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2006. 154 f.: il. ; 30 cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia civil – Teses. 2. Geotecnia. 3. Método de Elementos Discretos. 4. Relaxação dinâmica. 5. Simulação numérica. 6. Fluxo hiperconcentrado. 7. Corridas de massa. 8. Corridas de detritos. 9. Fluxos granulares. I. Vargas Jr, Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD:624

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Aos meus pais pelos seus grandes ensinos na luta

da vida e seu amor à longa distância.

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Agradecimentos Ao professor Eurípedes A. Vargas Jr. pela sua direção e parceria na

realização deste trabalho, seus conselhos e ensinos do mundo da modelagem

numérica na Geotecnia. Também pela sua grata amizade.

Ao João Luiz E. Campos e Raquel Q. Velloso pelo seu apoio e conselhos

para eu conseguir entender programação de objetos. Principalmente pela sua

disposição a me ajudar nos momentos críticos.

Aos meus colegas e amigos de estudo: brasileiros, argentinos,

colombianos, peruanos, venezuelanos, cubanos, panamenhos, bolivianos,

nicaragüenses e outros ticos; cuja amizade e experiências de convivência nunca

esquecerei. Em especial à Tânia e família, Ygor, Adenilson, Renato, Vanessa,

Ana Lúcia, Leandro, Cristiano, Thaíse, Melchi, Anita, Yaneth, Marielos, Paco,

Francisco, Victor, Oscar, Laura, Karina, Viviana, Julio e Jackeline. Também aos

meus caros amigos Melvin e Adriana. Junto a vocês sempre “fiquei bem na foto”.

Aos meus amigos brasileiros que me ajudaram a compreender e aprender

mais sobre a cultura brasileira: família Teixeira, família Ayres, Sônia e família,

Raíssa e família, Judy, Leila, Ângelo, Alexandre, Betty, Daise, João e muitos

mais. Especial agradecimento a Cláudio Villaça. Obrigado a todos pelo

agradável convívio e baladas que me fizeram esquecer que era mais um

estrangeiro no Brasil.

Aos professores do Departamento da seção de Geotecnia pelas suas

novas contribuições ao meu saber profissional. Em especial a minha prezada

amiga Ana Roxo de quem estou eternamente agradecido pela sua ajuda.

A CAPES e FAPERJ pelo apoio econômico neste tempo todo enquanto

realizava minha dissertação.

Às pessoas que, ao longo da minha vida, emprestaram um pouco de seu

apoio, carinho, saber, entusiasmo e determinação para alcançar este sucesso

profissional. Em especial a todos os meus caros amigos ticos e familiares que,

ainda longe, nunca deixaram de acreditar em mim e sempre estiveram a

disposição para me poupar da saudade da terra.

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RESUMO

Alvarado, Luis Alonso Salas; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. Simulação bidimensional de corridas de detritos usando o Método de Elementos Discretos. Rio de Janeiro, 2006. 154 p. Dissertação de Mestrado- Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Apresenta-se neste trabalho uma ferramenta numérica programada que

permite a simulação bidimensional de corridas de detritos usando o Método de

Elementos Discretos (DEM) desenvolvido por Cundall em 1979, cuja

metodologia resolve as equações do movimento simultaneamente de cada

elemento mediante a técnica numérica de Relaxação Dinâmica (MRD) por se

tratar de um problema transiente. Esta metologia parte da existência do

programa SAND desenvolvido na PUC (2002) para uma simulação da produção

de areia em poços de petróleo sob fluxo bifásico. Dois aspectos novos

incorporados neste tipo de análise são a representação gráfica de anteparos

mediante segmentação de curvas spline cúbicas e o uso da metodologia de

Munjiza na detecção de contatos com os propósitos de implementar o uso de

paramentos irregulares próximos à curva real do terreno e diminuir o tempo de

execusão do programa, respectivamente. Com diversos exemplos de

paramentos e variando os parâmetros de entrada do modelo numérico é

avaliada a idoneidade da ferramenta criada para simular os principais

mecanismos físicos característicos do movimento deste tipo de fenômeno. Além

disso, são descritas em detalhe as principais feições e terminologias usadas na

classificação e identificação das corridas de detritos e fenômenos similares, pois

estas são usualmente confundidas nas literaturas existentes e entre os

profissionais das áreas da Geologia, Geografia e Geotecnia.

Palavras chaves Engenharia Civil; Geotecnia; Método de Elementos Discretos; relaxação

dinâmica; simulação numérica; fluxo hiperconcetrado; corridas de massa;

corridas de detritos; fluxos granulares.

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ABSTRACT Alvarado, Luis Alonso Salas; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral (Advisor). Two-dimensional simulation of debris flow using Distinct Element Method. Rio de Janeiro, 2006. 154 p. MSc Dissertation- Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

A programed numerical tool that allows two-dimensional simulation of

debris flows is presented in this dissertation. Cundall´s Distinct Element Method

(DEM) is used to this purpose, which was developed in 1979. Following this

methodology, motion equations are simultaneilly solved by the numerical method

of Dynamic Relaxation (MRD) for each distinct particle. This method is used in

order to the transient behavior of this particular problem. The numerical modeling

is based on the SAND program, developed at PUC (2002) for a numerical

application on sand production for petroleum extraction process considering

biphasic flow motion. Two new features incorporated in this kind of analyses are

the graphical representation of walls with cubic spline curves segmentation and

the implementation of the Munjiza´s method for contact detection. They attemp to

implement irregular curves that are closely to represent real sliding surface and to

decrease the total program executation time respectively. The idoneousness of

the programed numerical tool for the representation of the most caracteristic

phisical mechanisms of these kind of flows is tested using several curves

configurations as variation on the inicial parametrics values of the numerical

model. Moreover, main features and associated terminologies for identification

and classification of debris flows and similar events are largely described here

because of the usual confusion in the use of them within scientific literatures and

professional communications between technician of Geology, Geography and

Geotechnical Engineering.

Keywords Civil Engineering; Geotecnia; Distinct Element Method; dynamic relaxation;

numerical simulation; hyper-concentrated flow; lands flow; debris flows; granular

flows.

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RESUMEN

Alvarado, Luis Alonso Salas; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral (Orientador). Simulación bidimensional de flujos de detritos com el uso del Método de Elementos Discretos. Rio de Janeiro, 2006. 154 p. Disertaión de Maestría- Departamento de Ingeniería Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

En este trabajo se disponibiliza una herramienta numérica para la

simulación bidimensional de flujos de detritos usando el Método de Elementos

Discretos (DEM) creado por Cundall en 1979, donde las ecuaciones del

movimiento para cada elemento son resueltas simultáneamente con la técnica

numérica de Relajación Dinámica (MRD) debido al comportamiento transiente

del fenómeno. La herramienta se basa en el programa SAND desarrollado en la

PUC (2002) para la simulación de producción de arena en la extracción de

petróleo en pozos considerando condiciones de flujo bifásico. Dos nuevos

aspectos se introducen en este tipo de análises: la representación gráfica de

paredes mediante la segmentación de curvas splina cúbicas y el uso de la

metodologia de Munjiza en la detección de contactos. Ambos son

implementados con la intención de hacer uso de paredes irregulares próximas a

la forma real de la curva del terreno y de disminuir el tiempo de ejecución del

programa respectivamente. Mediante varios ejemplos con diferentes superficies

y con variación en los valores de los parámetros de entrada del modelo numérico

fue posible evaluar la idoneidad de la herramienta aquí creada para simular los

principales mecanismos físicos característicos del movimiento de este tipo de

fenómenos. Además, se describen detalladamente las principales características

e terminologías utilizadas en la identificación y clasificación de los flujos de

detritos y fenómenos similares, pues estos son motivos de confusión en la

literatura existente y entre los profesionales de las ramas de Geología, Geografía

y Geotecnia.

Palabras claves Ingeniería Civil; Geotecnia; Método de Elementos Discretos; relajación

dinámica; simulación numérica; flujo hiperconcentrados; flujos; flujos de detritos;

flujos granulares.

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SUMÁRIO Listas de Figuras.…………………………….......……………………...........….…..12

Listas de Tabelas.................................................................................................15

Listas de Símbolos...............................................................................................16

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO.....................................................................................................20 1.1. Importância e definição do problema........................................................20 1.1.1.Importância na Região Latino-americana............................................21 1.2. Objetivos do trabalho................................................................................23 1.2.1. Objetivo Geral....................................................................................24 1.2.2. Objetivos Específicos ........................................................................24 1.3. Alcance da Pesquisa ................................................................................25 1.3.1. Trabalhos Prévios..............................................................................26 1.3.2. Descrição Metodológica ....................................................................28 1.3.3. Limitações da pesquisa .....................................................................29 1.4. Conteúdo ..................................................................................................30

CAPÍTULO 2

CARACTERIZAÇÃO DAS CORRIDAS DE DETRITOS ......................................32

2.1.Classificação dos Movimentos de Massas ................................................32

2.1.1.Deslizamentos do Terreno (Landslides)..............................................32

2.1.2.Corridas de sedimentos (Sediment Flows)..........................................33

1. Corridas Fluidas (Slurry Flows) ............................................................34

2. Corridas de material granular (Granular Flows) ...................................35

2.2. Classificação e definição de corrida de detritos........................................36

2.2.1. Alguns critérios de classificação.........................................................38

2.2.2.Condições de ocorrência das corridas de massa................................42

1. Gradiente ou inclinação da encosta: ....................................................42

2. Conteúdo de Água:...............................................................................44

3. Materiais geológicos: ............................................................................44

2.2.3.Principais feições físicas das corridas de massa ................................45

2.2.4.Características das corridas de massa ...............................................47

2.2.4.1.Tamanho das partículas sólidas ....................................................48

2.2.4.2. Movimento interno de partículas...................................................49

2.2.4.3. Perfil de velocidades e espessuras ..............................................49

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2.2.4.4. Distribuição da concentração de sedimentos .................................50

2.2.4.5. Zonas de tensões cisalhantes ........................................................50

2.2.4.6. Forças internas ...............................................................................51

2.2.4.7. Outros fatores de consideração......................................................51

2.2.5. Modelos reológicos das corridas de massa..........................................53

2.2.5.1. Eficiência energética nas corridas de massa .................................53

2.2.5.2. Alguns modelos reológicos para corridas de massa ......................55

CAPÍTULO 3

MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS NA SIMULAÇÃO DE CORRIDAS DE

DETRITOS...........................................................................................................62

3.1. Filosofia da Modelagem............................................................................62

3.1.1. Modelos Estatísticos...........................................................................63

3.1.2. Modelos Determinísticos ....................................................................67

3.1.2.1. Método dos Elementos Finitos (FEM) ..........................................68

3.1.2.2. Métodos de Elementos Discretos (DEM)......................................73

3.1.2.3. Algumas características comparativas dos métodos....................77

3.2. Modelo de Elementos Discretos de Cundall .............................................78

3.2.1. Escolha dos parâmetros do modelo ...................................................85

3.2.1.1. Convergência Numérica ...............................................................85

3.2.1.2. Estabilidade Numérica..................................................................89

CAPÍTULO 4

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL NA SIMULAÇÃO DE CORRIDAS DE

DETRITOS.......................................................................................................... 91

4.1. Estruturação básica do programa SAND..................................................91

4.1.1. Geometria das Partículas. ..................................................................92

4.1.2. Detecção de Contatos. .......................................................................97

4.1.3. Aplicação das Leis Físicas ...............................................................102

4.1.4. Visualização .....................................................................................103

CAPÍTULO 5

RESULTADOS E DISCUSSÕES ......................................................................104

5.1. Resultados ..............................................................................................104

5.1.1. Condições Padrão ............................................................................104

5.1.2. Parâmetros considerados.................................................................106

1. Tipo de Amortecimento........................................................................107

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2. Rigidez..............................................................................................107

3. Fração de tempo crítica ....................................................................108

4. Atrito .................................................................................................109

5. Tipo de superfície .............................................................................109

6. Número de Partículas .......................................................................110

5.1.3. Aplicação da metodologia do DEM ..................................................110

1. Geração da malha inicial de partículas e massa instável inicial........110

2. Simulação da corrida e visualização de variáveis. ............................111

5.2. Exemplos de Aplicação...........................................................................118

5.2.1. Exemplo com superfície irregular complexa.....................................118

5.2.2. Exemplo com variação repentina no ângulo de atrito......................121

5.3. Discussão de Resultados........................................................................124

CAPÍTULO 6

CONCLUÇÕES E RECOMENDAÇÕES ...........................................................126

6.1. Conclusões.............................................................................................126

6.2. Recomendações e propostas para futuros trabalhos .............................129

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................131

ANEXOS…………………………………………………………………………………………….....137

ANEXO I: Classificação de Varnes para movimentos de massa (1978) .......138

ANEXO II: Diagramas de algumas classificações dos fluxos de detritos ......139

ANEXO III: Descrição dos modelos reológicos mais usados na modelagem do

movimento das corridas de massa [7], [9], [12]. ...................................................141

ANEXO IV: Método tridimensional de Elementos Discretos de Cundall (1988) ..

..............................................................................................................145

ANEXO V: Algoritmo de curvas bidimensionais spline cúbicas [54] ................149

ANEXO VI: Algoritmos de detecção de contatos ...........................................152

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Listas de Figuras

CAPÍTULO 1

FIGURA 1.1- Evolução comparativa da freqüência de desastres na América

Latina e o Caribe, e o Mundo no século passado [2] ....................................22

CAPÍTULO 2

FIGURA 2.1- Classificação reológica de Pierson e Costa (1987) para misturas

água-sedimento e sua correlação com termologias típicas [10] . ...................41

FIGURA 2.2- Partes de uma corrida de massa e sua relação com o gradiente [9]

..................................................................................................................43

FIGURA 2.3- Caracterização do gradiente e o movimento de uma corrida [9] ....43

FIGURA 2.4- Processos envolvidos na ocorrência de corridas [9] . .....................45

FIGURA 2.5- Possíveis feições de uma corrida durante sua ocorrência [12] .......46

FIGURA 2.6- Taxonomia de uma corrida de massa [19].......................................47

FIGURA 2.7- Granulometria típica de uma corrida de detritos [18] . .....................48

FIGURA 2.8- Movimentos internos das partículas dentro do corpo de uma corrida [9] . .................................................................................................................49

FIGURA 2.9- Caracterização do perfil de velocidade e espessura de um fluxo [9] .

....................................................................................................................50

FIGURA 2.10- Distribuição da concentração de sólidos no corpo do fluxo [9] . ...50

FIGURA 2.11- Caracterização da taxa de cisalhamento dentro do corpo do fluxo [9] . .................................................................................................................51

FIGURA 2.12- Efeitos da gradação direta e inversa no desenvolvimento do

movimento fluxo de detritos [9] . ....................................................................52

FIGURA 2.13- Transferência de energia de uma corrida de massa [14] . .............53

FIGURA 2.14. Diagrama de relação com início e deposição da corrida de massa

na determinação da transferência de energia. .............................................54

FIGURA 2.15. Relação H/L versus volume para corridas de massa ocorridas na

Serra do Mar, SP-RJ, Brasil [21] . .................................................................55

FIGURA 2.16. Reogramas característicos de alguns modelos reológicos para a

modelagem de corridas de massa [7]. ...........................................................56

FIGURA 2.17. Reogramas característicos de alguns modelos reológicos para a

modelagem de corridas de massa [14] ..........................................................60

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CAPÍTULO 3

FIGURA 3.1- Métodos numéricos comummente usados na modelagem de

corridas de detritos. ......................................................................................62

FIGURA 3.2- Precipitação acumulada versus tempo relacionada à ocorrência de

corridas de detritos e grandes deslizamentos [21]. ........................................66

FIGURA 3.3- Volume de controle infinitesimal da massa....................................69

FIGURA 3.4- Volume de controle infinitesimal da massa....................................70

FIGURA 3.5- Saída da simulação da corrida de detritos Frank, 1917 [37]............73

FIGURA 3.6- Etapas da lógica dos Métodos de Elementos Discretos................74

FIGURA 3.7- Simulações usando celas autômatas uni e bidimensionais [24]. .....75

FIGURA 3.8- Simulação sob o enfoque newtoniano de DEM. ............................76

FIGURA 3.9- Ciclo de cálculos segundo a metodologia DEM.............................79

FIGURA 3.10- Ciclo de cálculos seguindo a metodologia de MRD.....................80

FIGURA 3.11- Modelo usado para os contatos entre partículas. ........................81

FIGURA 3.12- Notação usada na dedução das equações de movimento. .........82

FIGURA 3.13- Correção do ângulo entre sistemas de coordenadas. .................84

CAPÍTULO 4

FIGURA 4.1- Interface gráfica do Programa SAND mostrando os contatos entre

elementos. ....................................................................................................92

FIGURA 4.2- Etapas de implementação computacional do DEM. ......................92

FIGURA 4.3- Esquema para a geração de elementos discretos.........................93

FIGURA 4.4- Hierarquia de classes para a definição geométrica do elemento

discreto. ........................................................................................................93

FIGURA 4.5- Hierarquia de classes para a definição dos tipos de anteparos no

programa SAND. ..........................................................................................94

FIGURA 4.6.a- Esquema da rotina SPLINE. .......................................................95

FIGURA 4.6.b- Esquema da rotina SPLINE (continuação). ................................96

FIGURA 4.7- Representação gráfica de anteparo (a) linear (b) Spline cúbico

linearizado com 5 segmentos.......................................................................96

FIGURA 4.8- Etapas na detecção de contatos seguindo as hierarquias de

objetos usadas no SAND. ............................................................................98

FIGURA 4.9- Sistema de celas usado na busca de contatos segundo o algoritmo

Mujinza. ........................................................................................................99

FIGURA 4.10- Exemplo de detecção de contatos na cela (i,j) segundo o

algoritmo de Mujinza. ...................................................................................99

FIGURA 4.11- Ciclo de cálculo para determinar velocidades e deslocamentos

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das partículas a partir da detecção de contatos seguindo a algoritmo

Mujinza e sua relação com a etapa de aplicação das leis físicas. .............100

FIGURA 4.12- Esquema de programação do mapeamento dos paramentos para

seu uso no algoritmo de Munjiza ...............................................................101

FIGURA 4.13- Hierarquia de classes para a definição dos tipos de

amortecimento............................................................................................102

FIGURA 4.14- Esquema da atualização das variáveis no ciclo de cálculo. ......103

CAPÍTULO 5

FIGURA 5.1- Perfis patrões utilizados na avaliação de parâmetros de entrada do

programa SAND. ........................................................................................105

FIGURA 5.2- Processo de sedimentação e densificação das partículas na

geração da massa instável inicial para a simulação da corrida. ................111

FIGURA 5.3- Perfis de profundidade para a configuração padrão com a

identificação das suas principais feições taxonómicas...............................113

FIGURA 5.4. Classificação do fluxo segundo o perfil de profundidade para

algumas configurações...............................................................................114

FIGURA 5.5-. Feições de segregação na simulação da corrida de detritos no

programa SAND para diferentes configurações.........................................116

FIGURA 5.6. Perfis de velocidade característicos para a configuração patrão no

ciclo 10000. ................................................................................................117

FIGURA 5.7. Perfil irregular de exemplo na aplicação do programa SAND na

simulação de uma corrida de detritos.........................................................119

FIGURA 5.8. Perfis de profundidades para o exemplo de corrida detritos sobre

uma superfície irregular simulada com o programa SAND. .......................119

FIGURA 5.9.Tipo de segregação nas distintas zonas de deposição da corrida. ....

...............................................................................................................120

FIGURA 5.10- Configurações da massa instável usadas na simulação de

redução repentina do coeficiente de atrito. ................................................121 FIGURA 5.11- Desenvolvimento da corrida a patir da redução do coeficiente de

atrito. ........................................................................................................123

ANEXOS

FIGURA IV.a. Notação usada nas equações do DEM-3D. ...............................145

FIGURA VI.a. Técnicas de detecção de contatos para elementos discretos [54]. ....

..................................................................................................................142

FIGURA VI.b. Esquema da técnica da cela adjunta..........................................143

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FIGURA VI.c. Esquema da técnica da partícula mais próxima ou cutoff. .........143

FIGURA VI.d. Técnica de Triangulação dinâmica de Delauny..........................144

Listas de Tabelas

CAPÍTULO 2

Tabela 2.1- Descrição dos mecanismos de falha dos movimentos de massas. .33

Tabela 2.2- Classificação dos fluxos de sedimentos segundo a velocidade e

conteúdo de água [7]. ....................................................................................34

Tabela 2.3- Síntese dos tipos de corridas de massa agrupados segundo

características do material, tipo de movimento e velocidade [7]. ..................36

Tabela 2.4- Caracterização dos fluxos hiperconcentrados [8]. .............................37

Tabela 2.5.a- Principais classificações dos fluxos hiperconcentrados usado nas

pesquisas. ....................................................................................................38

Tabela 2.6- Relação entre o gradiente e características do movimento uma

corrida de massa [12]. ....................................................................................43

Tabela 2.7- Principais características dos diversos tipos de fluxos [9]. ................46

Tabela 2.8- Valores típicos das propriedades básicas das corridas de massa [14]. .

....................................................................................................................47

Tabela 2.9- Classificação da fração sólida das corridas de massa proposta por

Znamensky e Gramani [7]..............................................................................48

Tabela 2.10- Classificação qualitativa dos fluxos detríticos por Jan e Shen (1997) [7]. ..................................................................................................................55

Tabela 2.11- Relação cinemática com as propriedades reológicas do fluxo

propostas por Lee (1994) [9]..........................................................................61

CAPÍTULO 3

Tabela 3.1- Valores de coeficientes e expoentes da equaçao (3.3.a) para

corridas de detritos [19]. .................................................................................64

CAPÍTULO 5

Tabela 5.1- Principais parâmetros avaliados na idoneidade da simulação de

corridas do programa SAND. .....................................................................106

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Lista de Símbolos

CV concentração volumétrica de sólidos.

Vsol volume da fração sólida.

Vliquid volume da fração liquida.

R coeficiente de resistência adimensional.

τMC tensão cisalhante por atrito dado pelo critério de Coulomb.

τC tensão cisalhante que considera o efeito da coesão dos sedimentos

finos.

τµ tensão cisalhante devida à viscosidade.

τT tensão cisalhante dos efeitos turbulentos.

τD tensão dispersiva que considera as colisões interpartículas.

P componente vertical da força dispersiva do fluxo.

φD ângulo de atrito dinâmico.

M coeficiente empírico (0.042)

f(λ) função da concentração volumétrica linear.

ρs densidade das partículas sólidas.

ds diâmetro médio das partículas sólidas.

du/dy taxa de deformação ou o gradiente de velocidade.

µ viscosidade dinâmica do fluido.

λ concentração linear, relacionada com a concentração volumétrica CV e

a concentração máxima volumétrica de sólidos CV* (≈ 0.6 -0.7):

µB viscosidade Bingham dinâmica do fluido.

τy tensão ao cisalhamento Mohr-Coulomb ( CMC ττ + )

ζ parâmetro que caracteriza o comportamento dispersivo e turbulento.

µC parâmetro de dispersão definido por Bagnold.

µT parâmetro de turbulência.

ρm densidade da mistura.

ρf densidade do fluido.

ρs densidade das partículas sólidas.

lm cumprimento de mistura de Prandt, ≈ kh, (com k=0.4, constante de Von

Karma, e h= espessura do fluxo).

a constante empírica (≈ 0.01).

sγ& gradiente de velocidades (du/dy).

h espessura do fluxo.

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χ ângulo medido respeito à horizontal da linha que une o topo da zona

inicial e da zona de deposição.

S inclinação do fundo do canal (m/m).

ξ coeficiente que depende da concentração e dimensões das partículas

(s.m-1/2).

n coeficiente de Manning (s/m1/3).

C* coeficiente de Chezy (m1/2/s).

C1 coeficiente empírico (m0,7/s).

Q* Relação entre dois eventos similares QP2/ QP1

i intensidade (mm/h) da precipitação iniciadora.

dt duração (h) da precipitação.

Zt quantidade de água retida no solo que provoca a instabilidade por

saturação.

Kd coeficiente de drenagem (1/s).

φu ângulo mínimo de atrito entre partículas.

µ atrito no contato entre partícula-partícula ou partícula-paramento.

KN, KT rigidezes normal e tangencial respectivamente no contato (N/m).

CN, CT coeficientes de amortecimento normal e tangencial respectivamente no

contato.

CTR, CR coeficientes de amortecimento traslacional e rotacional respectivamente

aplicado a cada partícula.

∑i

iF somatória de forças nos contatos da partícula.

∑i

iM somatória de momentos devido às forças tangenciais nos pontos

de contato da partícula.

δθ deslocamento rotacional da partícula.

αC coeficiente de amortecimento local adimensional.

Ac área de contacto entre partículas.

{Φ} matriz normalizada de autovalores do sistema dinâmico amortecido

{U} vetor deslocamento nas coordenadas normalizadas.

ωang freqüência angular do sistema linear (mola).

ς razão de amortecimento Ci /CCRITICO, geralmente usada no valor crítico

de 1,0.

fT freqüência do sistema dinâmico amortecido.

sig(x,y) operador no qual o signo da magnitude x é dado pelo valor y.

Et energia cinética instantânea.

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∆E variação de energia cinética acumulada.

ε fração de amortecimento correspondente à freqüência máxima.

∆t0 passo de tempo sem efeitos viscosos.

θ ângulo interno do polígono regular formado pelos centros de partículas.

RMAX variação máxima de raio de um elemento discreto tipo disco.

RMIN variação máxima de raio de um elemento discreto tipo disco.

rand() número aleatório entre 0 e 1.

κCURV curvatura da função em estudo.

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“The geotechnical engineer should apply theory and experimentation but tempers them by putting

them into the context of the uncertainty of nature. Judgment enters through Engineering and Geology”

Karl Terzaghi, 1961.

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CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1. Importância e definição do problema

A modelagem de fenômenos naturais é importante para o desenvolvimento de

um país. Os cientistas e técnicos ao terem maior conhecimento das ameaças naturais

permitem o desenvolvimento de obras ou medidas de prevenção que garantam um

menor impacto do evento, um melhor conhecimento sobre os setores mais vulneráveis

a esses eventos e maior estabilidade financeira para os investidores externos ou

internos contra perdas por desastres.

As corridas de massa são fenômenos imprevisíveis na sua ocorrência, rápidos e

os de maior impacto econômico direto. A caracterização destes fenômenos tem sido

considerada objeto de estudo especializado pela comunidade internacional por causa

do pouco entendimento dos mecanismos de início e da dinâmica do movimento deste

tipo de fluxo de massa. Além de que sua distribuição geográfica não é limitada aos

países em desenvolvimento, estes se apresentam até nos grandes centros urbanos

onde se têm um número grande de vidas expostas. Algumas medidas preventivas se

têm promovido, mas em alguns casos estas ampliaram os impactos (rompimento de

aterros ou barragens dissipadoras de energia). Atualmente, se está criando uma maior

consciência na aleatoriedade da natureza e das formulações simplistas das

modelagens na área geotécnica, em especial pela variação estatística dos parâmetros

dos modelos no que se refere à convergência numérica dos mesmos, o que leva a ter

uma grande gama de diferentes modelos segundo as preferências e habilidades

matemáticas dos pesquisadores e o propósito dos usuários. Por outro lado, o avanço

da tecnologia tem permitido realizar estudos mais realistas deste tipo de evento. A

criação e adaptação de novas ferramentas numéricas e gráficas fazem o processo de

gestão de risco contra corridas de massa mais eficaz e eficiente, mas uma adaptação

errada pode provocar o mesmo desastre ou ampliar seus efeitos.

DBD


Capítulo 1: Introdução

21

Sob esta perspectiva, este trabalho apresenta uma aplicação numérica da

formulação lagrangiana para o movimento hidrodinâmico de partículas na

modelagem de corridas de massa (especialmente de corridas de detritos) usando

alguns algoritmos numéricos da dinâmica não-linear como o de Relaxação Dinâmica

e computação gráfica. Utilizam-se formatos que podem ser usados junto com outras

ferramentas clássicas da gestão de risco como os Sistemas de Informação

Geográfica (SIG), criando assim uma ferramenta complementar a algumas

metodologias existentes. O método numérico utilizado aqui (Método de Elementos

Discretos, MED) é de recente uso na área da simulação de materiais geotécnicos, o

qual vai ganhando maior popularidade por certas vantagens diante dos métodos

numéricos tradicionais (Elementos Finitos, FEM; Diferencias Finitas, DFM; etc.),

porém um não se mostra melhor do que os outros. Estes métodos parecem ser

complementares entre si.

As aplicações aqui introduzidas são consideradas pioneiras na área da

simulação de corridas de massa no Brasil assim como na Costa Rica, país da

origem do autor. A importância futura para o desenvolvimento de pesquisas no

Brasil e principalmente na região centro-americana é muito grande devido à

freqüência destes fenômenos, assim como de novas iniciativas na gestão de riscos

naturais a nível regional. A falta deste tipo de metodologia aumenta ano a ano o

risco associado às corridas de massa nas principais cidades latino-americanas.

Cabe mencionar que esta ferramenta não tem espaço físico ou temporal definido, é

uma ferramenta numérica criada para se adaptar à maioria das condições físicas de

ocorrência dos fluxos que possam ser considerados como corridas de detritos

principalmente.

1.1.1. Importância na Região Latino-americana

Ao longo do tempo, os países de América Latina e o Caribe têm tentado

desenvolver-se dentro dos seus próprios problemas políticos e econômicos,

acumulados desde os primeiros dias da colônia, indistintamente sejam estes de

origem espanhola, inglesa, portuguesa ou francesa.

DBD



22

Incidência de desastres em América Latina, Caribe e o Mundo

Nos últimos anos os desastres naturais tenham marcado um retrocesso pauta

neste desenvolvimento, em alguns deles com maior força do que em outros,

propiciando o atraso econômico nacional ou até regional. Deste modo, os problemas

econômicos fundamentais da região estão diretamente ligados à vulnerabilidade

diante das catástrofes naturais. Alguns desses eventos provocam além dos danos

diretos (perdas de vidas, pessoas feridas e danos econômicos), outras

conseqüências como prejuízos no PIB (Produto Interno Bruto), na balança comercial,

no endividamento externo, no equilíbrio fiscal e nos índices de investimentos

internos.

FIGURA 1.1- Evolução comparativa da freqüência de desastres na América Latina e o Caribe, e o Mundo no século passado [2] .

Por isso, é importante que estes países comecem a adotar medidas de

prevenção e de diminuição dos impactos dos desastres. Assim, organismos

multilaterais como a Organização das Nações Unidas (ONU) e Organização dos

Estados Americanos (OEA), têm organizado diferentes atividades a nível

internacional (como a DIRDN, “Decênio Internacional para a Redução dos

Desastres Naturais” na década de 90), relacionadas a prevenção e gestão dos

riscos naturais para reduzir a forte tendência de subdesenvolvimento e desastres.

Destas iniciativas surgiram grandes avanços sobre a caracterização da ameaça e

da vulnerabilidade como os principais fatores do risco e a proposta de uma nova

visão sobre a gestão dos riscos como parte complementar dos planos políticos dos

países [1]. Mas também, ficou claro o acréscimo da freqüência dos desastres na

região (ver FIGURA 1.1), o maior impacto direto e indireto nas economias e as

DBD



23

grandes deficiências acumuladas através dos tempos no conhecimento geral sobre

o risco [2]

Por outro lado, no primeiro qüinqüênio deste século, tem-se visto os primeiros

frutos dessas iniciativas no avanço do estudo preliminar das ameaças naturais e

antropogênicas, assim como na determinação da vulnerabilidade dos aglomerados

urbanos. Mas por outro lado, ainda prevalecem evidentes algumas falhas do modelo

econômico tradicional, o fraco impacto da pesquisa no melhoramento do

conhecimento dos fatores de risco e a falta de informação do público em geral sobre

sua participação na gestão de riscos.

Recentemente, por desastres ocorridos na região, tem-se notado a falta de

maior conhecimento nos mecanismos prévios à manifestação do fenômeno natural

assim como da vulnerabilidade do meio urbano. A falta de modelagens físicas ou

metodologias qualitativas menos simplistas tem levado a acreditar em prognósticos

que resultaram muito conservadores e ajudaram a aumentar o impacto do desastre.

Um outro fator de consideração é o fato de como são manipuladas as

estatísticas dos desastres, pois na região os terremotos, furacões e erupções

vulcânicas aparecem como os maiores desastres quando na verdade sabe-se que

muitas das vítimas destas eventualidades foram afetadas por “eventos secundários”

ativados por fatores como a alta vibração do terreno, a saturação do solo, o

derretimento de gelo e a erosão de encostas pela atividade humana prévia à

manifestação do fenômeno natural [2]. Assim, os cientistas e técnicos têm procurado

desenvolver melhores metodologias para entender estes processos e contribuir ao

melhoramento da gestão de riscos.

1.2. Objetivos do trabalho

Os principais propósitos deste trabalho são descritos a seguir:

DBD



24

1.2.1. Objetivo Geral

Fornecer uma ferramenta numérica para a análise bidimensional de corridas

de massa, especialmente as denominadas fluxo de detritos com o uso do Método de

Elementos Discretos (DEM).

1.2.2. Objetivos Específicos

Classificar e caracterizar os fenômenos de fluxos ou corridas de massa.

Caracterizar os principais métodos numéricos utilizados nas modelagens de

corridas de massa.

Atualizar as rotinas sobre o Método de Elementos Discretos (DEM) descritas

no programa SAND.

Avaliar o uso de superfícies curvas linearizadas mediante algoritmos de

interpolação cúbica Spline na corrida de massas.

Caracterizar o conceito de Relaxação Dinâmica para solução de sistemas

dinâmicos.

Aplicar os conceitos de programação de objetos da linguagem C++ para a

modelagem de corridas de massa.

Aperfeiçoar as rotinas de procura de contatos entre partícula-partícula e

partícula-paramento na procura de eficiência no tempo de corrida do

programa.

Avaliar a funcionalidade das rotinas implementadas no programa original

com um caso de superfície irregular complexa.

DBD



25

1.3. Alcance da Pesquisa

O presente trabalho parte da existência de um programa desenvolvido na PUC

-Rio, inicialmente para aplicações na área da Geomecânica Computacional,

especificamente para problemas de contacto aplicado na Mecânica de Rochas. Este

programa está baseado no programa RBM desenvolvido por Cundall (1974). Mas,

uma aplicação homóloga ao programa aqui utilizado foi desenvolvida em parceria

com o CENPES/ PETROBRAS e o TECGRAF [3] para aplicações em produção de

areia em poços de petróleo. Deste último, é que se realizam as principais

modificações nas rotinas do programa para as aplicações na dinâmica do

movimento bidimensional das corridas de massas.

Nos projetos mencionados anteriormente uma porção do material geotécnico

era encaixotado para realizar a simulação. Trabalhou-se a uma escala reduzida

onde o material simulado encontrava-se relativamente confinado por paramentos

lineares ou segmentos de círculos (número pequeno de anteparos) e os

deslocamentos das partículas eram pequenos. Este trabalho atualiza as rotinas

existentes para conseguir usar um maior número de segmentos de anteparos e de

partículas na simulação, tentando evitar o aumento do tempo de corrida do

programa. Aliás, a massa simulada caracteriza-se por apresentar grandes

deslocamentos e sem confinamento. Para conseguir este propósito, trabalha-se

diretamente com as rotinas relacionadas à geração dos paramentos, malha inicial

de partículas e determinação de contatos.

A partir destas modificações realiza-se uma pequena análise de sensibilidade

dos outros parâmetros (como amortecimento, passo de tempo e rigidez) não

alterados do programa original durante as corridas das simulações para confirmar

suas validações para este tipo específico de eventos. Assim, pretende-se

disponibilizar uma nova ferramenta para a simulação de corridas de massa.

Finalmente, leva-se a avaliar a ferramenta para o caso de uma superfície

irregular complexa simulando condições reais vistas no campo.

DBD



26

Por outro lado, este trabalho incorpora uma breve recopilação bibliográfica

sobre informação já existente no âmbito internacional no tocante à modelagem

assim como da caracterização física destes eventos naturais cujas referências são

limitadas no Brasil. Além do mais as terminologias, tipologias e classificações de

estes eventos são comumente confundidas entre os estudiosos de diferentes áreas.

A maioria dos estudos disponíveis apresenta diversos pontos de vista evidenciando

a falta de um maior entendimento destes fenômenos e de consenso internacional na

nomenclatura e critérios de classificação. Não se pretende impor nenhum ponto de

vista neste aspecto no trabalho. Somente mostra-se os diversos contextos

existentes para se ter consideração deles em futuros trabalhos relacionados a

simulação, pois nenhum modelo numérico atual faz consideração da complexa

realidade destes fenômenos.

1.3.1. Trabalhos Prévios

As ferramentas numéricas existentes são caracterizadas por dissertações

anteriores disponíveis na biblioteca setorial de pós-graduação na PUC-Rio,

especialmente as referentes a soluções de sistemas dinâmicos não-lineares em

aplicações na Geotecnia com o Método de Relaxação Dinâmica [4], [5], [6]. Embora

estes possam ficar em alguns aspectos por fora dos objetivos da pesquisa, recorre-

se a monografias e artigos científicos de fácil acesso nos sites eletrônicos de jornais

ou revistas técnico-científicas reconhecidas nas áreas de Geotecnia, Computação

Gráfica e Análise Numérica. Este material é referenciado ao longo dos parágrafos

dos capítulos seguintes.

Entre estes trabalhos destacam-se duas linhas tradicionais de pesquisa, os

trabalhos sobre métodos numéricos sob o enfoque lagrangiano para o Método de

Elementos Finitos (FEM) e para o Método dos Elementos Discretos (DEM). Sob

estes enfoques têm-se criado escolas de pesquisadores das quais se podem

mencionar algumas de suas principais tendências e especialidades na área.

Sobre DEM, os trabalhos mais destacados são os da escola italiana, tanto na

área de simulação de condições de disparo e do movimento do fluxo propriamente

dito como relações estatísticas para aplicações de gestão do risco associado às

DBD



27

corridas de massa bidimensionais [7], [10], [18], [26], [40], [48]. A técnica numérica mais usada

nesta região é o Método de Celas Autômatas. Mas é o trabalho de Calvetti [10] que

faz referência a uma aplicação bidimensional com DEM para corridas de detritos e

menciona outros métodos numéricos existentes e aplicados de forma geral na

Europa. Este autor faz a simulação para um canal de inclinação constante, fazendo

análise de sensibilidade do modelo para a variação de tamanho das partículas,

principalmente na forma de deposição da massa, verificando que para partículas de

menor tamanho a massa tende a se acumular na base do paramento inclinado, ou

seja, simula o menor avance frontal da corrida comparado a simulação do mesmo

volume com partículas de maior tamanho.

A escola canadense, por outro lado, tem-se dedicado mais aos métodos

contínuos sob enfoque lagrangiano [35], [36], [37], [38]. Embora estes trabalhos sirvam de

referência só para a simulação destes fenômenos para os objetivos desta pesquisa.

Recentemente, tem-se evoluído aos problemas tridimensionais sobre superfícies

irregulares. O trabalho desenvolvido por Hungr [37] é o mais representativo e chega

até simulações tridimensionais sobre superfícies não-lineares. Porém, este enfoque

não deixa de ser complexo na programação, denso na modelagem numérica e com

certas limitações computacionais que o mesmo autor menciona nos seus artigos.

As escolas chinesa e japonesa talvez sejam as mais avançadas em

simulações bi e tridimensionais sob enfoques de elementos finitos e aplicação de

modelos reológicos complexos [9], [12], [23], [34], [47], [60] ou mais realistas segundo o

avanço e entendimento físico do processo. O trabalho de Takahashi [12] talvez seja a

melhor referência no estudo do comportamento reológico das corridas de detritos

disponível para a comunidade internacional. Este autor propõe um modelo por

camadas para simulações numéricas, o que ajuda a entender grandemente o

fenômeno de segregação, o que é impossível de simular com FEM.

Recentemente, a comunidade internacional tem-se interessado em pesquisar

mais nas aplicações do DEM, mas infelizmente não se tem tanta literatura

disponível sobre o tema. A informação é limitada, e geralmente só estão disponíveis

resultados finais das aplicações numéricas sem deixar claras hipóteses e valores

dos parâmetros utilizados no modelo.

DBD



28

1.3.2. Descrição Metodológica

De forma geral, a metodologia computacional de um processo simulado com

DEM segue as seguintes etapas: geração da geometria e malha de elementos

discretos, detecção de contatos, aplicação de leis físicas nos pontos de contatos e

visualização do processo. Neste caso a geometria dos elementos é constante e

representada por discos de uma unidade de profundidade.

Seguindo estas etapas foram feitas várias corridas com diversas

configurações de paramentos e variações nos valores dos parâmetros de entrada

do modelo numérico. Entre todas as configurações foi selecionada uma como a

padrão ou de comparação para as outras.

Primeiramente, para a malha inicial de partículas criou-se uma malha de 4022

discos com raio de 3,0 m em configuração densa, com densidade constante de

2,5t/m3. A distribuição densa de partículas permitiu a menor formação de espaços

vazios e menor tempo de demora do processo. Usou-se o processo de

sedimentação por camadas sucessivas para formar a massa inicial instável. A

simulação da massa instável inicial acontece em duas etapas: sedimentação e

densificação do material, como acontecem normalmente na natureza. Este processo

é demorado e nele foram usadas combinações de parâmetros que facilitassem o

processo (atrito nulo, rigidez de 104 N/m), pois a configuração espacial final de

partículas é o único que interessa desta etapa.

Usaram-se configurações lineares normais assim como curvas spline cúbicas

segmentadas para representar as diferentes configurações de paramentos. A

segmentação das curvas foi feita a partir de quatro a cinco segmentos lineares.

Para cada configuração foi extraído um perfil de profundidades para trinta

pontos e um outro perfil de velocidade cada cinco ou sete pontos ao longo do

comprimento da corrida. Estes pontos não são fixos, pois sua posição varia entre a

primeira partícula em avanço da corrida e a última. Vários testes prévios à escolha

final mostraram que alguns parâmetros deviam ser mudados por causa da escala da

configuração a simular e do número envolvido de partículas e paramentos. Assim

DBD



29

para cada configuração se variou um parâmetro enquanto que os outros ficaram

constantes cujos valores corresponderam aos valores patrão.

Finalmente, são usadas curvas irregulares nos paramentos como exemplos de

aplicação e de avaliação da idoneidade do programa para simulação destes eventos

que poderiam corresponder a casos generalizados que possam ser encontrados em

campo. Em especial para simular certos mecanismos típicos do movimento da

massa dos fluxos.

1.3.3. Limitações da pesquisa

Fica evidente que ao se tratar de um programa computacional existe a

limitante da capacidade para realizar o ciclo de cálculos numéricos num tempo

adequado o qual se quer determinar durante o desenvolvimento da pesquisa, pois

também se considera a existência de alguns algoritmos lógicos de programação que

ajudam a otimizar tanto o tempo quanto a capacidade de armazenamento de dados.

A pesquisa se limita ao espaço bidimensional por enquanto, pois o

desenvolvimento dos algoritmos em terceira dimensão requer maior tempo de teste

e conhecimento de técnicas numéricas e de programação mais avançadas. O

programa SAND pode ser tratado como um programa genérico que conforme

surgem aplicações vão-se adicionando nele novas rotinas, aumentado a sua

versatilidade e funcionalidade. Então, numa etapa inicial estas rotinas podem

conviver sem problemas maiores, mas se sugere que numa etapa da evolução do

programa seja feito um trabalho de otimização do programa tanto em uso de

memória dinâmica para não ir perdendo eficiência cada vez que se adiciona uma

rotina.

Este trabalho limita-se à criação da ferramenta numérica e a dar algumas

sugestões sobre a sensibilidade de alguns dos parâmetros de entrada e da

idoneidade do método para a simulação de corridas de detritos e de fenômenos

similares. Por enquanto, os mesmos parâmetros (rigidez e amortecimento) do

Método de Cundall não estão associados a parâmetros físicos reais, por isso não

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30

podem ser facilmente comparados com métodos de Elementos Finitos e seus

parâmetros.

No caso dos exemplos numéricos realiza-se só a corrida para simular o

fenômeno sem fazer análises profundas qualitativas, pois se trata de uma análise

bidimensional de teste da idoneidade numérica deste método. Esta ferramenta deve

ser primeiramente aplicada em casos simples para ir conferindo e corrigindo suas

limitações numéricas para logo avançar a aplicações mais complexas ou reais.

Também não se requer de corroborações em campo de feições de corridas, pois o

programa ainda está muito limitado para incorporá-las na análise. O programa só

simula mecanismos do fenômeno dinâmico do movimento da massa de um fluxo.

1.4. Conteúdo

Este trabalho foi dividido em capítulos que permitissem um esclarecimento

gradual dos conceitos envolvidos na simulação numérica de corridas de detritos.

No segundo capítulo, após apresentar as principais características físicas e

taxonômicas das corridas de massa, assim como o esclarecimento da terminologia

usada, são descritos alguns aspectos básicos dos modelos reológicos mais

utilizados para a simulação destes eventos.

Apresentam-se no terceiro capítulo, de forma geral, os principais métodos

numéricos utilizados na modelagem dinâmica de corridas de detritos. Após uma

descrição do ciclo numérico do DEM, é introduzida a solução particular a estas

equações dadas pela metodologia de Relaxação Dinâmica. Assim, apresenta-se a

sistemática numérica do DEM dentro da modelagem proposta.

Também, neste mesmo capítulo são descritos os conceitos básicos para

considerar grumos de partículas circulares como elementos discretos dentro da

análise o que significa a incorporação da solução das equações do movimento para

corpos rígidos. No seguinte capítulo, descreve-se o programa SAND e as

modificações introduzidas para atingir os propósitos do trabalho. Na mesma

DBD



31

caracterização, mostram-se alguns algoritmos que foram usados para aperfeiçoar a

capacidade do programa.

No quinto capítulo, mostra-se alguns resultados do programa SAND incluindo

as suas novas modificações. No capítulo final são listadas as conclusões obtidas do

estudo e sugestões para dar continuidade ao trabalho tanto na otimização de rotinas

quanto a sua aplicação a outros problemas.

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CAPÍTULO 2 CARACTERIZAÇÃO DAS CORRIDAS DE DETRITOS

2.1. Classificação dos Movimentos de Massas

Os movimentos de massas são aqueles processos da geodinâmica superficial

onde um movimento ou queda apreciável de material ocorre na presença da força

gravitacional sobre uma superfície com determinado gradiente permitindo o acúmulo

do material. Mas esta definição envolve muitos processos que podem ser

diferenciáveis segundo a natureza do material da encosta (consolidado ou não

consolidado), além da velocidade e natureza do movimento que caracterizam o

evento [7]. Estes aspectos são bases para classificar os movimentos de massas em

dois grandes grupos: deslizamentos de terra (landslides) e fluxos de sedimentos

(sediment flows). Esta classificação está referida às pesquisas que sobre o tema a

escola italiana tem desenvolvido nos últimos anos e foi adotada neste trabalho, pois

eles também trabalham com alguns tipos de rochas e solos residuais semelhantes

aos achados no Brasil, assim como solos do quaternário e de origem vulcânica

achados em outras partes de América Latina.

2.1.1. Deslizamentos do Terreno (Landslides)

Este grupo se caracteriza pela presença de uma superfície ou área de ruptura

onde agem forças de cisalhamento na resistência máxima ou residual do solo ou

rocha, caracterizadas pelas propriedades e leis constitutivas próprias de materiais

porosos. Em outros casos só as forças gravitacionais agem.

Os principais mecanismos de ruptura destes fenômenos são: rotação (rolling),

escorregamento (sliding), queda (falling) e colapso (land collapsing). Daqui em

adiante, serão apresentados os termos em inglês para uniformizar os conceitos,

pois em alguns casos a tradução ao português é similar.

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Capítulo 2: Caracterização das corridas de detritos

33

Mecanismo Características Modelo

Deslizamento com rastejo

(Slump)

- Movimento repentino do material rodando (mm/ano, m/s) a jusante sobre uma superfície côncava de ruptura. Forças de cisalhamento responsáveis pela falha. - O topo dos blocos deslizantes permanece não-deformado. - Ativados por eliminação de material ao pé dos blocos por atividades humanas ou erosivas, chuvas intensas ou sismos.

Escorregamento (Slide)

- Movimento sobre superfícies de ruptura ou juntas pré-existentes. Forças de cisalhamento responsáveis pela falha. - Não apresenta rotação do material em movimento. - Movimento do material sob certo comportamento plástico com infiltração de água.

Queda (Fall)

- Queda livre do material sobre gradientes altos ou queda com algumas colisões com outros blocos. -Forças gravitacionais responsáveis da instabilidade. - São eventos extremamente rápidos (m/min, m/s) que resultam na acumulação do material (tálus) na base da encosta.

Tabela 2.1- Descrição dos mecanismos de ruptura (ou colapso) dos movimentos de massas.

Estes mecanismos se apresentam em três tipos de movimentos conhecidos com

características bem diferenciáveis como se mostra na Tabela 2.1.

2.1.2. Corridas de sedimentos (Sediment Flows)

As corridas ou fluxos são eventos onde a natureza dos elementos líquidos e

gasosos interferem nas propriedades dinâmicas dos sedimentos em transporte cujas

leis físicas envolvidas e comportamento reológico costumam ser simplificados a

problemas de transporte de sedimentos num fluido. A energia interna de alguns é muito

grande em comparação a qualquer outro evento de forma que são considerados os

fenômenos de maior poder destrutivo dentro de seu gênero.

Este grupo é divido segundo o conteúdo de água, pois é este fator que determina

se o fluxo se comporta mais como um fluido ou como uma massa mais densa (ver

Tabela 2.2).

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34

Tabela 2.2- Classificação dos fluxos de sedimentos segundo a velocidade e conteúdo de água[7].

1. Corridas Fluidas (Slurry Flows) São fluxos rápidos de material desagregado ou material que virou desagregado

por saturação. Estes fluxos se caracterizam por um alto teor de saturação, apresentam

de 20% a 40% de volume de água. Além destes limites o evento é chamado de

corrente fluida (stream). Entre eles temos:

a. Solifluxão: Movimento lento (cm/ano) e contínuo de solo saturado formando

lóbulos sobre a encosta. Típico de zonas nórdicas que ano a ano são afetadas pelos

ciclos de congelamento e degelo.

b. Fluxos de Detritos: São misturas saturadas de ar ou água, que descem a

altas velocidades (1m/ano a 100 m/h), sob o efeito da gravidade. Caracterizam-se pela

variedade de tamanhos dos sedimentos transportados. Estes costumam se apresentar

depois de chuvas fortes quando o material se satura. Também, se apresentam num

deslizamento (“slump” ou “landslide”) quando a massa se desagrega e mistura com ar

e água. Durante o movimento estes tendem a incrementar seu volume (dilatação) e a

deposição se dá em forma de lóbulos tipo “dedos” com superfície irregular. Espalham-

se sobre grandes áreas quando o gradiente é constante na encosta.

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35

c. Fluxos de Lama: Estes contêm um alto teor de umidade assim como

conteúdo de sedimentos finos e coesivos (aprox. 50% de areia, silte e argila),

diminuindo a viscosidade do fluxo (~1 km/h) pelo que afetam grandes áreas, sendo

dentro de vales altamente destrutivos. São de composição mais uniforme do que os

fluxos de detritos.

2. Corridas de material granular (Granular Flows) Apresentam um baixo conteúdo de água (de 0% a 20%). Seu comportamento

semifluido deriva da mistura dos sólidos com ar. Alguns são iniciados por altas

vibrações ou sobre carregamento.

a. Rastejo (Creep): Movimento extremamente lento (cm/ano a mm/ano). De

grandes volumes de deposição e sensível às mudanças estacionais anuais.

b. Avalanches de Detritos: São um fenômeno extremo aos fluxos de detritos,

pois desenvolvem altas velocidades (~300 km/h), carregando grandes volumes de

material devido ao colapso total das laterais da encosta. São comparadas com as

avalanches de neve e se depositam em forma de língua cumprida por toda a encosta.

c. Fluxos de Solo: São eventos de comportamento cinético similar aos fluxos de

detritos, a diferença está no baixo conteúdo de água. Sua distribuição granulométrica é

variada.

d. Fluxos de Grãos: Eventos de granulometria grossa e uniforme, porem rápidos.

Desta forma podemos agora localizar os fluxos de detritos (debris flows) ou

corridas de detritos, como comumente são chamados no Brasil, dentro do amplo grupo

das corridas de massa (ver Tabela 2.3).

Lastimosamente, estes não são os únicos critérios usados para classificar os

fluxos de detritos ou corridas de massa. Observando outros critérios, alguns eventos

anteriores caem dentro da definição de outro. Atualmente existe uma falta de acordo

na comunidade internacional sobre a nomenclatura a usar nas pesquisas

DBD



36

principalmente por a falta de semiótica na hora de traduzir os termos de uma língua a

outra.

Tabela 2.3- Síntese dos tipos de corridas de massa agrupados segundo características do material, tipo de

movimento e velocidade [7].

Muitos trabalhos são feitos sob o lema de “fluxos gravitacionais”, “lahares”,

“fluxos granulares não-saturados”, etc.; e dentro do corpo do trabalho surge o conceito

de “debris flow” como sinônimo dos anteriores.

2.2. Classificação e definição de corrida de detritos

Nos últimos anos tem-se apreciado que se pode ter um melhor entendimento dos

fluxos de detritos se estes são estudados sob o ponto de vista reológico e as leis

constitutivas que caracterizam o fenômeno pois a hidrodinâmica não-linear tem ganho

importantes avanços teóricos nos últimos 50 anos em conjunto com a evolução da era

espacial.

Fica clara a diferença entre fluxo de detritos (pois a iteração sólido-fluido

determina o comportamento do fluxo) e outros fenômenos onde só uma fase domina o

comportamento do material como os deslizamentos (parte sólida) ou correntes de

enchentes (fluido). Mas isto não é suficiente, pois existem outros fenômenos similares

como os fluxos de lama, solo, rocha, etc. Assim surge o conceito de mistura de

sedimentos hiperconcentrada ou fluxo hiperconcetrado para descrever aqueles

DBD



37

fenômenos regidos por uma reologia determinada pela interação de partes sólidas e

líquidas em movimento.

Um fluxo hiperconcetrado é um fluido em movimento que transporta uma alta

porcentagem de material sólido. Dita mistura é chamada de fluxo bifásico. Mas o

problema é que nem sempre pode-se considerar as mistura como em bi-fase ou fases

separadas.

Um dos parâmetros básicas no estudo destes fluxos é concentração média de

sólidos CV. Este é um parâmetro para a grande maioria dos critérios de classificação

de corridas de massa e líquidos. Este parâmetro é determinado para uma mistura em

condições estáticas como:

liquidsol

solV VV

VC

+= (2.1)

Uma caracterização geral dos fluxos hiperconcentrados sob esta perspectiva é

dada por Dasgupta (2002) [8] na Tabela 2.4.

Tabela 2.4- Caracterização dos fluxos hiperconcentrados [8].

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38

2.2.1. Alguns critérios de classificação

No início, a classificação das misturas de água-sedimento foi feita pela

observação direta do fenômeno, avaliações experimentais, análises morfológicos dos

depósitos, ou com modelos físicos ou teóricos simples. Estes últimos têm evoluído

bastante com a aparição de modelos reológicos mais complexos. Um breve resumo

dos critérios mais utilizados nas análises internacionais é apresentado na Tabela 2.5.a

e Tabela 2.5.b [9], [10], [11], [12].

Autor Critérios Classificação

Sharpe (1938) Velocidade relativa. Concentração relativa de sedimentos.

Avalanche de detritos Fluxo de lama Fluxo de solo Solifluxão Rastejo Correntes

Varnes (1958) Tipo de material. Tipo de movimento.

Corrente de blocos Avalanche de detritos Fluxo de detritos/ lama Fluxo de solo Solifluxão Rastejo

Lowe (1979) Tipo de movimento. Comportamento reológico das partes sólidas y liquidas.

Corrente turva Fluxo fluidizado Fluxo liquidificado Fluxo detrítico granular Fluxo detrítico coesivo

Beverage e Culbertson

(1979)

Concentração de sólidos Porcentagem de água

Corrente Corrente densa Fluxo de corrente hiperconcentrado Fluxo de lama

Takahashi (1981) Mecanismos de transporte de grãos.

Fluxo de detritos Fluxo piroclástico “Sturzstorm” Queda

Savage (1984) Reologia dos fluxos granulares Fluxo em regime macroviscoso Fluxo em regime quase-estático Fluxo em regime inercial granular

O´Brien e Julien (1985)

Concentração de sedimentos. Propriedades do fluido.

Enchente de lama Fluxo de lama Fluxo de detritos

Pierson e Costa (1987)

Velocidade. Concentração de sedimentos. Propriedades reológicas

Correntes Fluxos hiperconcentrados Fluxo fluido com atrito Fluxo fluido viscoso Fluxo granular fluidificado Fluxo granular com atrito Fluxo granular viscoso

Tabela 2.5.a- Principais classificações dos fluxos hiperconcentrados usadas nas pesquisas.

DBD



39

Poucas destas classificações estabelecem os limites entre uma categoria e outra.

Entre as primeiras classificações, a de Varnes (1958) virou ponto de referência para a

terminologia internacional no estudo destes processos, pois esta permitiu comparar as

observações no campo com as experiências de laboratório destes fenômenos. Além

disso, este mesmo autor propôs em 1978 a classificação geral mais aceita dos

movimentos de massa (ver ANEXO I). Este autor definiu o fluxo de detritos como

aquela mistura cuja concentração de material grosso é maior do que 50%. Umas das

classificações incipientes em considerar aspectos mais reológicos da interação entre a

fase sólida e liquida foi proposta por Lowe em 1979. Este autor classificou os fluxos de

detritos segundo o mecanismo de suspensão das partículas sólidas e o

comportamento plástico do fluxo segundo o modelo reológico de Bingham que será

explicado nas próximas secções.

Autor Critérios Classificação

Davies (1988) Característica do movimento do fluido. Granulometria dos sedimentos

Corrente com carga de fundo/ carga suspensa. Fluxo fluidizado. Fluxo de lama Fluxo hiperconcetrado Fluxo de detritos

Granulometria dos sedimentos Fluxo detrítico rochosos. Fluxo de lama Fluxo de detritos

Chou (1991)

Natureza da força de arraste

Fluxo detrítico potenciado por sólidos. Fluxo detrítico potenciado por fluidos.

Coussot (1992) Concentração relativa da fração fina

Fluxo detrítico de finos Fluxo detrítico granular

Chen (1999) Fator de iniciação

Por deslizamentos Por falha de barragens Por erosão Por acréscimo de poro-pressão

Hungr (2001) Granulometria. Velocidade.

Avalanche de detritos Fluxo de detritos Deslizamento por fluxos de areia. Deslizamento por fluxo de argilas.

Tabela 2.5.b- Principais classificações dos fluxos hiperconcentrados usadas nas pesquisas.

Por outro lado, as experiências chinesas introduziram novas terminologias,

considerando fluxo hiperconcentrado como aquele fluxo com cisalhamento medível.

Assim, Takahashi propõe uma classificação onde se considera um maior

conhecimento das interações sólido-fluido do fluxo onde pressões dispersivas e forcas

DBD



40

viscosas agem segundo a predominância de uma fase sobre a outra. Sob esta

perspectiva, o fluxo de detritos é uma mistura de material granular disperso num fluido

intersticial de água e argilas ou material mais fino. Então, este fluxo pode ter diferentes

mecanismos de dissipar energia segundo a predominância do efeito das colisões entre

partículas grossas, densidade e viscosidade do fluido.

O´Brien e Julien desenvolveram experiências de laboratório onde determinavam

as concentrações assim como as tensões de escoamento, tensões das forças viscosas,

tensões devidas à turbulência e tensões dispersivas devidas às colisões internas das

partículas sólidas.

Estes autores determinaram que os fluxos de detritos fossem misturas com

grandes concentrações de material clástico grosso, onde as colisões entre estas

partículas e as tensões dispersivas são os principais mecanismos de dissipação de

energia. Então, definiu-se que os fluxos detríticos granulares sem coesão são

subcategorias dos fluxos de detritos onde o atrito e colisões internas são os

mecanismos que predominam no fluxo.

Pierson e Costa propuseram uma classificação a mais didática até agora

desenvolvida em forma de gráficos bidimensionais como se mostra na FIGURA 2.1.

Nesta proposta os limites A, B e C são dados segundo as propriedades das

partículas sólidas numa mistura padrão sem coesão, de granulometria grossa uniforme.

O ponto A é o ponto quando aparece a máxima tensão de iniciação de arraste de

material, o ponto B é onde se alcança a suspensão estática das partículas sólidas e o

início da fluidificação, e o ponto C marca o fim da fluidificação.

Por outra parte, as correntes se comportam como o típico fluido newtoniano a

não-newtoniano segundo o aumento das partículas sólidas. Neste caso, os fluxos de

correntes hiperconcentradas apresentam concentrações volumétricas de sedimentos

entre 20 e 60%, mas apresentam uma baixa tensão de escoamento pelo que são

diferenciados de fluxos hiperconcentrados. Maiores detalhes sobre esta classificação

serão dados na seguinte seção.

DBD



41

Finalmente, os critérios usados por Coussot (1996) [11] subdividem os fluxos de

detritos em dois grandes grupos: granulares cuja porção fina (φ < 40 µm) é menor do

que 10% da fração total sólida e de finos cuja fração fina supera os 10%. Maiores

detalhes sobre algumas destas classificações são dados no ANEXO II.

FIGURA 2.1- Classificação reológica de Pierson e Costa (1987) para misturas água-sedimento e sua correlação com termologias típicas [10] .

Tendo conhecimento destes conceitos básicos, destacados pesquisadores têm

dado uma definição deste complexo fenômeno, entre os mais aceitos na literatura

científica estão:

“O fluxo de detritos é um fluxo gravitacional de solo, rocha e/ou água, iniciado por um deslizamento. Este processo se caracteriza por ter um início, transporte e deposição de todos estes materiais, cujas conseqüências não só são causadas pelo volume e velocidade dos materiais transportados, senão por sua inesperada ocorrência”

H. Chen, 1999

“Os fluxos de detritos são fluxos que variam suas propriedades cinemáticas de muito rápidos a extremamente rápidos de detritos não-plásticos sobre uma encosta inclinada”

Hungr, 2001

DBD



42

“Os fluxos de detritos são massas formadas por misturas de água, sedimentos finos, rocha e detritos originados nas encostas que correm a jusante em canais naturais para se depositarem em vales ou zonas abertas de baixo gradiente. As fortes interações entre a fase sólida e líquida influenciam o comportamento destes fluxos e diferenciam este evento de outros similares como avalanches de rochas e enchentes”

Iverson, 2001

2.2.2. Condições de ocorrência das corridas de massa

As corridas de massas iniciam sobre encostas inclinadas até se depositarem em

bacias abertas durante os períodos posteriores a grandes precipitações. O fluxo se

inicia com a movimentação a jusante da encosta de uma frente de grandes blocos

seguido pelo corpo e parte final da corrida. A deposição se dará quando a corrida

encontre gradientes baixos ou perda de confinamento lateral (espaços amplos) ainda

que o fluido continue a jusante em gradientes muitos baixos. Os elementos mais

importantes da corrida são sua velocidade e espessura, pois estes parâmetros

determinam a extensão e severidade dos danos. Tem-se reportado [9] fluxos de mais

de 5.0 m de espessura a 13.0 m/s, com uma peso específica de 2.5 t/m3.

Existe uma combinação crítica de fatores naturais e antrogênicos a qual dá

origem ao processo das corridas de massa. Alguns deles não são considerados nas

modelagens bidimensionais por limitação dimensional. Alguns como a curvatura da

encosta, área de contribuição e estrangulamento do canal de corrida só são

significativos e possíveis de considerar nos modelos numéricos e simulações

tridimensionais. Os fatores mais reconhecidos e considerados pelos pesquisadores

para simulações bidimensionais são:

1. Gradiente ou inclinação da encosta: Sabendo que a gravidade é a maior força de arraste na iniciação das corridas de

massa, então se identifica que a maior gradiente da encosta maior potencial

gravitacional de arraste ou iniciação. Sob este conceito, numa encosta podem se

identificar três zonas importantes segundo a estabilidade do material: zona de

ocorrência, zona de transporte e zona de deposição (Ver FIGURA 2.2). A zona de

ocorrência costuma ter gradientes maiores do que 25º, mas tem-se reportado até

gradientes de 15º. Por outro lado, a gradientes maiores o material não se acumula de

forma que não existe o fluxo.

DBD



43

As outras zonas se apresentam em gradientes maiores do que 10º. Durante o

transporte deve ter confinação suficiente para manter a velocidade caso contrário não

existe fluxo de detritos.

FIGURA 2.2- Partes de uma corrida de massa e sua relação com o gradiente [9] .

Ainda que aos 15º começa o depósito das bordas externas da massa e as

línguas do material de deposição aparecem após dos 10º quando o gradiente e

confinamento são quase nulos. (ver Tabela 2.6 e FIGURA 2.3).

Ângulo Características do movimento 20° < θ Ocorrência

15° < θ < 20° Início do fluxo

10° < θ < 15° Início de decréscimo da velocidade e continuação do fluxo.

3° < θ < 10° Diminuição de velocidades e parte frontal pára.

0° < θ < 3° Deposição

Tabela 2.6- Relação entre o gradiente e características do movimento uma corrida de massa [12].

FIGURA 2.3- Caracterização do gradiente e o movimento de uma corrida [9] .

DBD



44

2. Conteúdo de Água: Este é o mais importante fator na ocorrência das corridas. Existem três

mecanismos de ação mediante os quais a água poderia iniciar uma corrida:

precipitação, degelo da neve ou rompimento de uma barragem. O primeiro mecanismo

é o principal detonante das corridas, pois o fluxo de água em materiais porosos reduz

sua resistência (aumento da poro-pressão), além de servir de meio de transporte ou

lubrificador uma vez iniciado o movimento.

3. Materiais geológicos: Para a ocorrência de corridas de massa é importante ter grandes quantidades de

material geológico não-consolidado desacomodado. Formações geológicas complexas,

falhas e dobras intemperizadas e sujeitas à atividade sísmica, camadas não-

consolidadas e encostas instáveis são as fontes primárias para a ocorrência de

corridas de massa.

No Brasil, se apresentam freqüentemente em solos residuais ou maciços

rochosos altamente fraturados durante vários dias de chuvas contínuas.

Na Costa Rica, por exemplo, as condições mudam drasticamente em relação ao

Brasil, pois há predomínio de formações do Quaternário de origem vulcânica recente,

alta atividade sísmica com um alto regime de precipitações durante pelo menos nove

meses por ano, adicionando a temporada de furacões do Caribe nos meses de

setembro até novembro.

Apesar da importância destes fatores, são necessárias três condições para a

ocorrência de uma corrida que devem se apresentar simultaneamente [14], [15], [16], [17]:

• Colapso do material geológico.

• Saturação do material.

• Potencial para converter energia gravitacional em energia cinética interna para

passar da simples ruptura por cisalhamento do material a um estado de

deformação mais difusa reconhecida como fluxo.

DBD



45

FIGURA 2.4- Processos envolvidos na ocorrência de corridas [9] .

Por isso nem todo evento de altas precipitações são indício de ocorrência de

corridas de massa. Também, os sismos sob as anteriores condições são eventos de

ocorrência.

2.2.3. Principais feições físicas das corridas de massa

Uma corrida de massa típica consiste numa série de ondas de material com altas

porcentagens de sólidos (argila, silte, areia, areia grossa e blocos) misturadas com

uma porcentagem pequena de água. Alguns estudos [9], [12], [14] caracterizam estes

fluxos com uma densidade entre 1.45 a 2.24 t/m3, com uma concentração volumétrica

de sedimentos de 0.27 a 0.75, com velocidades entre os 2 a 10 m/s.

Ante esta variedade, Takahashi (1991) caracteriza três tipos de feições que

poderiam ocorrer quando se inicia o movimento destes fluxos:

Tipo 1 : Baixa densidade, fluxo contínuo.

Tipo 2: Alta densidade, fluxo pulsante.

Tipo 3: Alta densidade, fluxo de uma só pulsação.

DBD



46

TIPO 1 2 3

Característica do fluxo Permanente Pulsante Um pulso Tipo de Fluxo Turbulento Laminar Laminar

Granulometria sobre a camada do fundo Finos Finos + Grossos Grossos + Finos

Carga Grossa No fundo No corpo No corpo Densidade ≤ 1.6 t/m3 ≥ 1.8 t/m3 ≥ 1.8 t/m3

Viscosidade ≈ 10-100 x água ≥ 1000 x água ≥ 1000 x água Velocidade Baixa: ≈ 2 m/s Alta: ≈ 3-5 m/s Alta

Efeito no fundo Deposição Muito Erosivo Muito Erosivo

Tabela 2.7- Principais características dos diversos tipos de fluxos [9].

Tipo 1 Tipo2 Tipo3

FIGURA 2.5- Possíveis feições de uma corrida durante sua ocorrência [12] .

O fluxo em qualquer destes tipos pode ser divido taxonomicamente em três

partes:

• A cabeça composta principalmente por blocos. Apresenta uma protuberância

inversa à direção do movimento devido ao fenômeno de gradação inversa que

consiste na acumulação de grandes blocos onde existe uma forte tendência a

desacelerar pelo qual esta parte aumenta seu volume. Também pode dever-se

à inclusão de objetos durante o movimento (pontes, árvores, carros, etc.). Nesta

seção, há um decréscimo da pressão intragranular chegando a ser nula no

fundo da parte frontal e máxima na parte traseira, pois existe uma perda de

conteúdo de água.

• O corpo composto de grande variedade de detritos numa matriz mais ou

menos viscosa.

• O final ou rabo cuja influência é desprezível nos parâmetros característicos da

corrida.

DBD



47

FIGURA 2.6- Taxonomia de uma corrida de massa [19].

A influência da cabeça vai decrescendo significativamente conforme se

desenvolve o movimento pelo que é considerado desprezível. Assim, o comportamento

do fluxo é tipificado principalmente pelas características do corpo. Vale remarcar que

estas duas partes se comportam como corpos plásticos enquanto o final se comporta

como um líquido [11].

2.2.4. Características das corridas de massa

Segundo observações feitas no campo tanto quanto no laboratório, as principais

características de uma corrida de massa que a diferenciam dos outros fenômenos são:

PROPRIEDADE SIMBOLOGIA VALORES TÍPICOS

PARTÍCULAS SÓLIDAS Densidade (kg/m3) ρs 2500 - 3000 Diâmetro meio (m) δ 10-5 - 10 Ângulo de Atrito (°) φs 25 - 45 Coef. de restituição e 0.1 – 0.5

FLUIDO INTERSTICIAL Densidade (kg/m3) ρf 1000 - 1200 Viscosidade (Pa.s) µ 0.001 – 0.1

MISTURA Volume fração sólida vs 0.4 – 0.8 Volume fração liquida vf 0.2 – 0.6 Permeabilidade (m/s) K 10-7 – 10 -2

Permeabilidade intríns. (m2) κ 10-13 – 10-9

Módulo Elástico (Pa) E 103 - 105

Ângulo de Atrito (°) φ 25 - 45 Tabela 2.8- Valores típicos das propriedades básicas das corridas de massa [14].

DBD



48

2.2.4.1.Tamanho das partículas sólidas A fase sólida varia desde silte até grandes blocos. Assim, quando silte e argila

são misturados com água se forma um fluxo viscoplástico chamado às vezes de fluxo

fluido (slurry). Se for adicionado areia, então se fala de fluxo de lama (muddy) ou se

forem fragmentos de rocha (debris). Nestes casos o comportamento do fluxo pode

apresentar um comportamento de fluxo dispersivo ou dilatante como se explica mais

na frente. Durante sua trajetória, este tipo de fluxo age com seu ambiente

continuamente, seja pela erosão (adição de material) ou por processos de deposição

(perda de material) de forma que a análise granulométrica não é simples e às vezes

nem representativa. Uma outra dificuldade é que ao variar a concentração volumétrica

de sólidos, varia o comportamento reológico do fluxo durante o movimento.

Um outro aspecto relacionado ao movimento destes fluxos e sua granulometria é

o fato de que devido às colisões entre partículas e atrito interno, as mesmas partículas

tendem a diminuir de tamanho de forma exponencial durante o movimento [7].

Baseados no estudo detalhado de grande variedade de corridas dois pesquisadores,

Znamensky e Gramani (2000), propuseram a seguinte classificação:

INTERVALO

de até CLASSE d (mm) Descrição d (mm) Descrição

Micro (µm) 0.00024 Argila muito fina 0.062 Areia muito fina Meso (mm) 0.0062 Areia muita fina 16 Pedregulhos Macro (m) 16 Pedregulhos 4000 Matacões

Tabela 2.9- Classificação da fração sólida das corridas de massa proposta por Znamensky e Gramani [7].

Alguns estudos na Itália [18] têm caracterizado as partes do fluxo por sua

granulometria.

FIGURA 2.7- Granulometria típica de uma corrida de detritos [18] .

DBD



49

2.2.4.2. Movimento interno de partículas Mediante observações de laboratório, uso de traçadores, e comprovações

numéricas os pesquisadores têm determinado que o movimento interno das partículas

dentro da massa de uma corrida se caracteriza por um movimento caótico no final do

fluxo. Caso contrário ao das partículas do corpo que mostram só pequenas ou

nenhuma perturbação. A maioria das partículas apresenta um movimento à jusante da

encosta, só alguns grãos da camada em contacto com a superfície apresentam certos

desvios a montante.

FIGURA 2.8- Movimentos internos das partículas dentro do corpo de uma corrida [9] .

2.2.4.3. Perfil de velocidades e espessuras Velocidades típicas vão desde 0.5 m/s até 20 m/s devido à variação do tamanho

das partículas sólidas [16], da concentração de sedimentos, do gradiente, estreitamento

e curvatura da trajetória do fluxo.

De forma geral, diz-se que a velocidade no final é maior do que na região do

corpo do fluxo e que a velocidade é maior na superfície do fluxo do que no contato com

a superfície da trajetória. O máximo gradiente está presente no fundo enquanto que os

gradientes são quase uniformes perto da superfície.

A espessura é variável no fluxo, mas a tendência é de diminuir da cabeça ao final.

A espessura média característica do fluxo determina-se na parte central do corpo

quando o fluxo tem-se depositado (desconsideram-se os grandes blocos isolados).

Têm-se reportado espessuras acima dos cinco metros. A espessura durante a corrida

pode ser determinada aproximadamente no campo por observação direta das bordas

da trajetória sendo muito especulativo quanto maior tenha sido a porcentagem de finos

carregados.

DBD



50

FIGURA 2.9- Caracterização do perfil de velocidade e espessura de um fluxo [9] .

2.2.4.4. Distribuição da concentração de sedimentos De forma geral, dentro do corpo do fluxo pode-se identificar uma baixa

concentração de sedimentos no fundo e na superfície. O coração do corpo apresenta

uma maior concentração de sedimentos com um decréscimo a meia espessura da

cabeça ao final do fluxo. Fica clara a complexidade espacial e temporal deste

parâmetro na caracterização do movimento do fluxo de forma que seu estudo deve ser

mais detalhado para se conseguir modelagens mais realistas.

FIGURA 2.10- Distribuição da concentração de sólidos no corpo do fluxo [9] .

2.2.4.5. Zonas de tensões cisalhantes Existem três zonas diferenciáveis dentro do fluxo: cabeça, corpo e final A parte

superior da cabeça e do corpo apresentam uma velocidade próxima à velocidade

média e os grãos cisalham-se um sobre o outro lentamente. Na parte inferior destas

zonas se desenvolve uma força de cisalhamento muito grande Enquanto ao final esta é

uma zona de comportamento similar a um líquido, onde os grãos são cisalhados

rapidamente apresentando gradientes de velocidades muito altos.

DBD



51

Na etapa inicial do movimento a densidade é similar à de um líquido. Conforme o

movimento se desenvolve as interações das partículas sólidas mudam este

comportamento totalmente até desacelerar. Quando se produz a deposição, a água se

filtra do esqueleto do material transportado.

FIGURA 2.11- Caracterização da taxa de cisalhamento dentro do corpo do fluxo [9] .

2.2.4.6. Forças internas As corridas de massa são misturas de areia grossa areia grossa e água, cujas

partículas sólidas colidem, roçam, rodam e até vibram dento da matriz líquida durante o

movimento. Dito comportamento faz com que estes processos tenham um

comportamento não-newtoniano.

Assim, as forças que agem são tanto externas como internas. Entre as externas

temos a pressão estática, gravidade, força de Arquimedes e a força de cisalhamento

na base. Por outro lado, as forças internas são as forças de arraste produto das

colisões e atrito entre partículas, viscosidade e turbulência. Como se pode notar, as

características dinâmicas das corridas são complexas e envolvem tanto a parte sólida

como líquida e suas interações. Esta qualidade faz com que a mecânica convencional

fique longe de uma análise realista. É por isso que modelar matematicamente o

comportamento completo de uma corrida é difícil. Os modelos existentes resolvem o

problema descartando as interações menos dominantes do comportamento e

considerando somente aquelas dominantes como se mostra nos modelos das

próximas seções.

2.2.4.7. Outros fatores de consideração Para realizar modelagens das corridas existem outras propriedades que

deveriam ser consideradas na análise:

• Dilatação: O movimento cisalhante entre grãos sob uma tensão normal faz a

massa aumentar de volume.

DBD



52

• Fluidificação: A camada inferior em contato com a superfície está estática, mas

conforme evolui o fluxo esta capa se satura adquirindo um comportamento

semifluido reduzindo o atrito e coesão interna, isto é, as forças por gradiente de

pressão anulam as forças gravitacionais. Este comportamento também

depende da velocidade da corrente fluida que satura dita camada.

• Segregação: O fluxo por sua maior influência das forças gravitacionais

apresenta uma gradação de partículas grossas no fundo a partículas menores

no topo (gradação direta). O processo inverso também se apresenta (gradação

inversa) principalmente na cabeça do fluxo. (ver FIGURA 2.13). Este fenômeno

não tem sido estudado com detalhe, principalmente as causas fundamentais

que o ocasionam.

Antes de entrar na descrição dos principais modelos reológicos usados na

modelagem das corridas, explicam-se alguns conceitos básicos sobre eficiência

energética das corridas, pois sem este mecanismo seria pouco provável o movimento

do fluxo, além de que os mecanismos de transferência diferem dos encontrados em

líquidos puros.

FIGURA 2.12- Efeitos da gradação direta e inversa no desenvolvimento do movimento fluxo de detritos [9] .

DBD



53

2.2.5. Modelos reológicos das corridas de massa

2.2.5.1. Eficiência energética nas corridas de massa

Sabe-se que num fluxo com partículas elásticas e de superfície lisa numa matriz

líquida as forças viscosas são as responsáveis por diminuir a energia cinética e

consequentemente o deslocamento total da massa. Pelo contrário, nas corridas de

massa (com partículas irregulares e inelásticas) ainda que as forças viscosas dissipem

energia, se incrementa o deslocamento total da massa. Para isto, Iverson (1997) [14]

estudou as transferências energéticas no movimento de uma corrida de massa.

FIGURA 2.13- Transferência de energia de uma corrida de massa [14] .

Integrando as equações básicas de conservação energia no centro de massa do

fluxo antes e após do movimento, tem-se que a energia potencial inicial dada por MgH

pode ser comparada com a energia dissipada na trajetória horizontal L do fluxo que é

equivalente às forças resistivas dadas por MgR:

MgRLMgH = (2.2)

Assim, da anterior relação podemos determinar que:

αtan==LHR (2.3)

Medições de campo dos parâmetros H e L têm mostrado [14] as seguintes

relações:

DBD



54

• Os valores de L/H são maiores para fluxos com maior conteúdo de água do que

dos fluxos granulares ou similares.

• Corridas a grande escala são mais eficientes do que as de pequena escala.

• L/H depende da geometria da trajetória e as condições de fronteira do leito

(existência de erosão ou sedimentação).

• Para volumes maiores do que 105 m3, L/H aumenta mais ou menos

proporcionalmente ao logaritmo do volume. Mas para volumes menores o valor

fica entre 2 e 4.

Pela equação (2.3), L/H independe da massa, mas observações no campo e

laboratório contradizem este fato. Maiores pesquisas devem ser feitas para determinar

o tipo de relação entre R e a densidade específica do fluido.

FIGURA 2.14. Diagrama de relação com início e deposição da corrida de massa na determinação da

transferência de energia.

Para grandes eventos (km3), L/H mostrou ser igual ou menor do que 0,1 [20].

Estes tipos de eventos se têm registrado também no fundo marinho, na superfície da

Lua e Marte.

Algumas medições deste parâmetro já foram feitas no Brasil [21] para eventos da

Serra do Mar, entre os estados de São Paulo e Rio de Janeiro (ver FIGURA 2.15).

Estes autores analisaram principalmente os fluxos de detritos em solos residuais, para

os quais obtiveram a relação de L/H = 1.8 V0.15. Este tipo de relações são uma tentativa

qualitativa para caracterizar estes fenômenos devido ao complexo de sua dinâmica.

DBD



55

FIGURA 2.15. Relação H/L versus volume para corridas de massa ocorridas na Serra do Mar, SP-RJ,

Brasil [21] .

2.2.5.2. Alguns modelos reológicos para corridas de massa

Uma equação reológica ou constitutiva na mecânica de fluidos é aquela que

relaciona a tensão de cisalhamento com a taxa de deformação cisalhante. Para as

corridas de massa existem muitos autores que já propuseram uma equação

relativamente adequada, pois se sabe que a presença da grande variedade de

tamanhos e formas das partículas sólidas dificulta a descrição do fluxo com uma só lei

constitutiva. Além de disso, uma grande maioria dos modelos até hoje desenvolvidos

são bidimensionais e cada modelo tem sua própria limitação teórica.

As principais feições a serem consideradas na determinação de uma relação

reológica para as corridas de massa são: viscosidade do fluido intersticial, turbulência,

atrito e colisões interpartículas. Assim vários autores têm tentado agrupar as diferentes

categorias de regimes. Uma delas é mostrada na Tabela 2.10. Maiores detalhes destes

modelos são apresentados no ANEXO III.

REGIME FLUXO DETRITICO EFEITOS

1. FRICCIONARIO 2. COLISIONAR

3. FRICCIONARIO-COLISIONAR Granular - Fluido intersticial desprezível.

- Iterações granulares dominam

4. MACROVISCOSO 5. VISCOPLÁSTICO Finos - Fluido intersticial domina.

- Iterações granulares desprezíveis 6. VISCOPLÁSTICO COLISIONAR Blocos - Dominam iterações fluido - partícula.

Tabela 2.10- Classificação qualitativa dos fluxos detríticos por Jan e Shen (1997) [7].

DBD



56

De forma geral, estes modelos podem se agrupar em três grandes grupos

descritos por Laigle e Coussot (1997):

1. Modelo de fluxo granular onde predomina a inércia dos grãos. O modelo de

Bagnold tem sido a referência deste grupo.

2. Modelos de fluxos viscoplásticos onde os efeitos inerciais dos grãos

perdem importância. O modelo de Bingham é o mais conhecido.

3. Modelos dissipativos onde são consideradas tensões devidas à viscosidade

entre as partículas sólidas e o fluido, assim como as tensões dispersivas e produto da

turbulência.

Assim, nos fluxos hiperconcentrados a tensão cisalhante τ vem dada por:

DTCMC ττττττ µ ++++= (2.4)

FIGURA 2.16. Reogramas característicos de alguns modelos reológicos para a modelagem de corridas de

massa [7].

DBD



57

Da equação (2.4), de forma geral, derivam a maioria dos modelos reológicos.

Talvez o modelo mais conhecido seja aquele que descreve o regime friccionário, pois é

de múltiplas aplicações em outras áreas relacionadas com resistência dos materiais.

1. Modelo Mohr–Coulomb

Este modelo é usado para predizer distribuição de tensões e velocidades de

certos experimentos de laboratório com material granular, mas para qualquer outra

situação não é recomendado. É dado por:

( )φστ tan+= cy (2.5)

Onde os parâmetros c e φ são os mesmos definidos na Mecânica de Solos, e σ é

a tensão vertical aplicada sobre o ponto de estudo no fundo do corpo do fluxo.

2. Modelo Dispersivo ou Dilatante (Modelo de Bagnold)

Bagnold (1954) [22] pesquisou a relação entre a taxa de deformação e a tensão

cisalhante de uma mistura de partículas em um fluido newtoniano dentro de um cilindro

rotativo. Na sua formulação ele assume colisões elásticas de forma que não há

dissipação de energia. Este fato não concorda com o que realmente acontece com

uma corrida de massa. Ele determinou a existência de uma região de predomínio

inercial e uma outra macro-viscosa. Para taxas altas de cisalhamento ele determinou

que a tensão pudesse ser atribuída pelo atrito e colisões entre partículas. No domínio

inercial, tanto a tensão normal como de cisalhamento dependem da taxa de

deformação de segunda ordem.

Muitas relações têm sido propostas para este comportamento, mas a fórmula

mais reconhecida é:

DP φσ tan= (2.6)

( ) ( )2

22

2cos

⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅=

dydudCf

dydudfM ssssD ρρλλφτ (2.7)

Bagnold definiu NBAG (Número de Bagnold) como um parâmetro de classificação

do fluxo. Este número representa a taxa entre as forças inerciais e as viscosas.

DBD



58

=

dydud

N ssBAG µ

λρ 221

(2.8)

Com: 1

31

1

−

∗

−

=

VCC

λ (2.9)

Bagnold determinou que se NBAG < 40 o fluxo estava no regime macroviscoso

(dependência linear das tensões respeito ao gradiente de velocidade), e se NBAG >450

então o fluxo tem predomínio das forças inerciais (regime friccional). Também

identificou a zona intermediária e chamou de zona de transição. A equação (2.8)

também já foi verificada para NBAG ≥ 450 e 0.14 ≤ CV ≥ 0.60 ou 1.4 ≤ λ ≥ 14.

3. Modelo Viscoplástico (Modelo de Bingham)

Este modelo está dado pela equação:

+=

dydu

By µττ para τ > τy (2.10)

0=dydu para τ < τy

Sob gradientes baixos este modelo consegue descrever o comportamento de

fluxo tipo “slurry” de silte e argilas com alguma porcentagem de areia. Este modelo tem

sido popular por modelar o comportamento de fluxos de lama e fluxos detríticos de

lama viscosos.

3. Modelo Viscoplástico-colisionar (Modelo de O´Brien e Julien)

Estes autores (1997) propuseram um modelo quadrático dado por: 2

+

+=

dydu

dydu

y ζµττ (2.11)

Onde:

CMCy τττ += (2.12)

222mmssTC lda ρλρµµζ +=+= (2.13)

( ) VsVfm CC ρρρ +−= 1 (2.14)

DBD



59

Na equação (2.11), o termo τy é assumido como uma propriedade do material

que não depende da taxa de deformação. O segundo termo descreve as tensões

viscosas que agem com as partículas sólidas. O último termo caracteriza as tensões

dispersivas e turbulentas induzidas pelas colisões entre partículas. O propósito de

juntar estes dois efeitos é ressaltar o fato de que a altas concentrações de partículas

grossas as tensões dispersivas serão dominantes, enquanto que a grandes

concentrações de finos as tensões viscosas superarão as tensões turbulentas. Para

usar esta relação três requerimentos simultâneos são necessários:

• O fluxo tem alta concentração de sedimentos, tipicamente CV > 0.5.

• Altos gradientes de velocidade, tipicamente excedem 10 1/s.

• Uma boa quantidade de sedimentos grossos, aproximadamente com

dimensões maiores do que 5% da espessura do fluxo.

Por outro lado, Savage & Hutter (1989) [17] propuseram uma teoria para fluxos

granulares gravitacionais mediante análise adimensional, com a qual foi proposto um

parâmetro que caracteriza a relação entre o atrito e o peso das partículas (Usando a

simbologia da Tabela 2.9):

( )ghd

Nfs

ssSAV ρρ

γρ−

=

• 2

(2.15)

Se NSAV > 0.1/tanφ os efeitos das colisões têm maior influência e se NSAV <

0.01/tanφ dominam os efeitos do atrito. Por outro lado, considerando o parâmetro

descrito pela equação (2.8), se NBag < 40 o fluxo está no regime macroviscoso

(dependência linear das tensões respeito ao gradiente de velocidade), e se NBag > 450

então o fluxo tem predomínio das forças inerciais (regime friccional).

Iverson e LaHusen (1993) [15] propuseram um outro parâmetro para avaliar as

tensões por atrito das viscosas:

( )( ) µγ

φρρ•

−

−==

s

fss

SAV

BAGFRIC

V

ghVNN

N1

tan (2.16)

DBD



60

Onde se NFRIC > 1000 tem predomínio das forças de atrito, caso contrário, as

forças viscosas dominam.

Um outro parâmetro usado é aquele que mede a tendência da poro-pressão do

fluido originada pelo movimento das partículas ao reduzir o contato entre elas:

kVN

ss

DAR •=

γρ

µ (2.17)

Assim, um sistema de classificação de corridas de detritos surge em combinação

com alguns destes parâmetros como se mostra na FIGURA 2.17.

FIGURA 2.17. Reogramas característicos de alguns modelos reológicos para a modelagem de corridas de massa [14] .

Existem outros modelos mais complexos, mas não representam totalmente o

fenômeno. Destaca-se o modelo multicamada de Takahashi (1997) [12] que analisa a

corrida como se fosse composta por duas camadas de fluxo permanente obtendo-se

perfis uniformes de velocidade para cada uma delas. Neste modelo, a camada inferior

é dominada pelos efeitos das colisões entre partículas enquanto que a camada

superior tem predomínio dos efeitos da turbulência.

Os modelos até agora disponíveis incluem parâmetros físicos que, ás vezes, são

de difícil determinação tanto no campo quanto no laboratório. Alguns pesquisadores

procuram encontrar relações entre parâmetros mensuráveis entre estes modelos.

Existem algumas correlações da mecânica e reologia dos fluxos (viscosidade,

DBD



61

gradiente de velocidades, etc.) e a cinemática (velocidade, rigidez, dissipador, etc.) e

hidrodinâmica (vazão, longitude de dispersão, vazão, etc.) de partículas. Este ponto

será discutido em maior detalhe no capítulo seguinte.

Lee (1994) [9] propôs relações para a tensão cisalhante basal (τb) e a velocidade

média do fluxo ( u ), levando em conta a reologia do fluxo assim como o peso dos

parâmetros reológicos na determinação da tensão. Os detalhes se mostram na Tabela

2.11 (ver ANEXO III).

Modelo Reológico Tensão basal τb

Friccionário φστ tan+= cb

Colisionar 2__

425 u

hbατ =

Friccionário-Colisionar

2__

2yb u

5h2H1

1hα

49

−

⋅⋅+= ττ

Macroviscoso __

3 uhm

bµ

τ =

Viscoplástico

__

2

621

1 u

hHHyb

−

⋅+=µττ

Viscoplástico colisionar

η

ηη

ηµφφτ

__

1

121

11cos u

HhHpsencb

+

−

+

++=

H= espessura do fluxo sem considerar camada turbulenta.

Tabela 2.11- Relação cinemática com as propriedades reológicas do fluxo propostas por Lee (1994) [9].

DBD


CAPÍTULO 3 MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS NA SIMULAÇÃO DE CORRIDAS DE DETRITOS

3.1. Filosofia da Modelagem

A modelagem é a representação matemática de um sistema real, mas esta não

é perfeita, fora do caso de um sistema linear simples. Uma modelagem deve, dentro

do possível, ser validada com experiências práticas ou calibrada com observações no

campo ou laboratório.

Por outro lado, um conceito de grande confusão com a definição anterior é a

simulação que é a programação, manipulação e análise de resultados do modelo

num computador. Isto permite fazer avaliações dos parâmetros do modelo sem

maiores perdas de tempo, além do que o estado do sistema pode ser conhecido em

qualquer momento e até pode-se observar processos impossíveis de visualizar na

vida real. Então, falar-se-á agora sobre os enfoques mais usados na modelagem de

corridas de detritos. Em geral, o enfoque da modelagem destes fenômenos pode-se

dividir em três grandes grupos: enfoques estatísticos, determinísticos e modelos a

escala [23], [24].

FIGURA 3.1- Métodos numéricos comummente usados na modelagem de corridas de detritos.

DBD


Capítulo 3: Método de Elementos Discretos na simulação de corridas de detritos 63

3.1.1. Modelos Estatísticos

Estes modelos são usados principalmente na avaliação potencial da ameaça

por corridas, pois são métodos semiquantitativos. Um bom modelo empírico deve

tentar ser rápido, objetivo e reproduzível, que possa ser usado quando o tempo,

dados, orçamento o pessoal são inadequados para poder aplicar métodos

sofisticados [10]. Rickenmann (1999) debate que as corridas de detritos e fenômenos

similares são tão complexos que os métodos numéricos por mais avançados que

forem são limitados para as aplicações práticas. Este autor não considerou que as

simulações podem melhorar o entendimento do fenômeno e mecanismos de

ocorrência para produzir medidas preventivas eficazes ante este tipo de ameaça.

Nestes modelos, os autores tentam correlacionar algumas características

básicas das corridas como a máxima distância percorrida, vazão pico, velocidade

máxima ou volume com as observações de campo ou laboratório. Contudo, ditas

correlações são difíceis de obter, pois as observações diretas no campo ou provas a

escala são muito limitadas. A disponibilidade de um acervo estatístico de eventos

bem descrito ou de experiências de laboratório realista em muitos países é

inexistente, mas em outros é de uma cronologia muito recente. Assim, são poucos os

países que dispõem deste acervo. Cabe mencionar que as bases de dados do

Canadá, Estado Unidos, Japão e Comunidade Européia são invejáveis. Em especial,

a base de dados integrada dos países da Comunidade Européia (DOMODIS,

DOcumentation of MOuntain DISasters) [25], talvez seja a mais completa atualmente,

pois tem registrado eventos nos mais diversos ambientes e condições geológicas

possíveis, desde fluxos no fundo do Mar do Norte até nos Alpes para os últimos 20

anos.

Rickenmann (1995) propôs que primeiro deve ser avaliada a probabilidade de

ocorrência de corridas e depois se deve estimar quantitativamente os parâmetros

mais importantes mencionados anteriormente. São indispensáveis as bases de dados

de eventos passados assim como descrições sedimentodológicas e litológicas.

Os parâmetros mais usados são: a área da bacia hidrográfica, o gradiente, o

índice geológico entre outros, correlacionados com o volume da massa.

DBD



Especificamente sob este enfoque, a escola suíça é a mais destacada dentre as

outras principalmente no uso das análises regressivas [19]. Zimmermann e

colaboradores (1997) acharam que a variável mais significativa na determinação da

distância de percurso da corrida era a área da bacia, A (em Km2): 26,02.0 −⋅= Aχ (3.1)

Estes autores determinaram que esta equação é diferente para aquela que

descreve avalanches de detritos, pois esta última depende da grandeza do gradiente

da trajetória seguida. Este foi o indício para que Rickenmann propusesse uma

relação onde demonstra a dependência com o volume de sedimentos (Vol, m3) com a

vazão pico (Qp) entre dois eventos similares:

1

265

1

26/5** 1,01,0

P

P

QQ

VolVol

VolQ =

⋅=⋅= (3.2)

Rickenmann (2000) propôs equações similares às usadas na hidráulica na

determinação da vazão máxima. Ainda que o fenômeno físico das corridas de detritos

não seja comparável com as equações para um fluido puro, as leis do regime

turbulento permitem algumas similitudes. Assim por exemplo, a típica equação de

resistência de Manning ou Chezy usada na hidráulica pode ser usada com as

seguintes mudanças:

βαSHCv r=__

(3.3.a)

Onde: Tipo de Fluxo Cr α β Relação Q* Fluxo laminar newtoniano µ

ρ3g 2 1 µ* = 20 Q* 3/5

Fluxo Dilatante ξ 1,5 0,5 ξ* = 150 Q* -2/5

Fluxo turbulento newtoniano: Manning n-1 0,67 0,5 n*=0,077 Q* -1/15

Fluxo turbulento newtoniano: Chezy

*C 0,5 0,5 C**=22

Fluxos de detritos transientes C1 0,3 0,5 C1*= 10 Q* 2/25

Tabela 3.1- Valores de coeficientes e expoentes da equação (3.3.a) para corridas de detritos [19].

Alguns autores russos, chineses e japoneses propõem variações da equação

(3.3.a) com os seguintes valores: 0,5 < α < 0,67 e 0,25 < β < 0,5. Uma outra relação

para a velocidade média do fluxo de detritos é [10]: 33,033,01,2 SQv ⋅= (3.3.b)

DBD



Uma vez conhecida a largura aproximada do canal pelo qual ocorre o fluxo,

com a equação (3.3.a) ou (3.3.b) pode-se determinar a vazão máxima do fluxo.

Contudo isto, este autor propôs uma relação diferente entre a vazão máxima QP (m3/s)

e o volume (m3) para fluxos detríticos de lodo: 8,00225,0 VolQP ⋅= (3.4)

Enquanto que Misuyama (1992) estimara a vazão como: 78,0135,0 VolQP ⋅= para o fluxo detrítico granular (3.5.a)

79,00188,0 VolQP ⋅= para o fluxo detrítico de lama (3.5.b)

E como se pode apreciar nas equações anteriores, a vazão é maior nos fluxos

detríticos granulares do que nos de lama.

Por outro lado, Rickenmann também estudou a distância de percurso da corrida: 25,0350 VolL ⋅= (3.6.a)

Para materiais aluvionares, esta distância Lf é dado por: 3/1

*15 VolLf ⋅= (3.6.b)

Mas, na Itália, este autor determinou a seguinte relação: 275,0

*7 VolLf ⋅= (3.6.c)

Por outro lado, também têm sido caso de estudo as condições de ocorrência

destes eventos, principalmente originados por chuvas intensas. Neste caso, a escola

italiana recentemente apresentou trabalhos considerando propriedades da curva

característica para solos parcialmente saturados piroclásticos e a precipitação na

região sul da Itália [26]. Neste trabalho, os autores propõem duas relações para a

determinação de precipitações que poderiam iniciar a ocorrência de uma corrida de

detritos: a primeira só é feita por análise estatística das precipitações que

ocasionaram uma corrida de detritos, enquanto que a segunda é formulada

considerando a saturação do solo durante as precipitações até produzir a corrida: 39,082,14 −⋅= tdi (3.7.a)

DBD



tdt

t ZKdZ

i ⋅⋅+= 48,0 (3.7.b)

No Brasil, Kanji e Massad (2002) propuseram uma relação similar para os

eventos ocorridos na Serra do Mar no Estado de São Paulo [21]. Esta relação

considera precipitações de larga duração (vários dias ou semanas) nas quais

aconteceram corridas de detritos principalmente para intensidades altas durante

curtos períodos de duração. 41,04,22 tdi ⋅= (3.7.c)

FIGURA 3.2- Precipitação acumulada versus duração de tormenta relacionada à ocorrência de corridas

de detritos e grandes deslizamentos [21].

Existem estudos mais detalhados sobre este aspecto com considerações

teóricas mais fortes [27]. Um outro fator de estudo estatístico tem sido a relação do

coeficiente de resistência e o volume da corrida como foi visto na secção 2.2.5.1 do

capítulo anterior.

Em geral, estes métodos enfocam-se sobre a taxa de perda do volume no fluxo

(vazão), geometria do canal por onde escoa o fluxo e geometria física do processo [23].

DBD



3.1.2. Modelos Determinísticos

Sob este enfoque, os autores determinam relações físicas que caracterizam a

natureza da corrida. Assim, existem modelos muito simples aplicáveis a certos

experimentos sob condições muito controladas até os modelos que consideram a

natureza dinâmica não-linear do fenômeno das corridas.

Com isto, uma corrida de detritos é considerada um meio não-linear

viscoelastoplástico compressível que precisa de algumas simplificações para poder

ser modelado matematicamente [9]. De aí que algumas modelagens seguem uma das

seguintes suposições:

• O fluxo de detritos é um fluido contínuo isotrópico.

• O fluxo de detritos é um fluido incompressível.

• As tensões isotrópicas e deformações volumétricas são desprezíveis, só são

consideradas as deformações causadas por tensões desviadoras.

• A aceleração vertical é desprezível.

Segundo a natureza do sistema, o enfoque determinístico tem dois grandes

grupos. O primeiro considera o fluxo como um meio contínuo caracterizado pelas

velocidades (Enfoque Euleriano) ou pelas posições dos nós em estudo (Enfoque

Lagrangiano), no qual podem ser aplicadas as leis de continuidade física e o segundo

grupo considera o fluxo como uma composição de elementos unitários com geometria

definida As partículas agem entre si mediante leis físicas ou por simples imitação do

movimento natural do fluxo.

No primeiro grupo a técnica numérica de maior sucesso tem sido o Método dos

Elementos Finitos (FEM), com o qual o fluxo é considerado como um só elemento

pelo que sua caracterização é dada para a massa toda envolvida no movimento,

desprezando as particularidades internas desta. Assim por exemplo, o fenômeno de

segregação direta ou inversa não pode ser modelado dentro deste enfoque. Em geral,

neste grupo as técnicas de solução podem ser analíticas ou numéricas, sendo as

primeiras o grupo mais limitado nas aplicações práticas [23].

DBD



Por outro lado, a técnica numérica mais usada do segundo grupo é o Método

dos Elementos Discretos (DEM). Sob este enfoque o fluxo é visto como um meio de

unidades geométricas definidas que agem entre si de tal forma que o comportamento

global é visto como o somatório destes comportamentos. O principal problema deste

método é a grandeza dos tempos nas simulações quando se trata de muitas

partículas tentando se aproximar ao caso real.

3.1.2.1. Método dos Elementos Finitos (FEM)

Neste método geralmente são usadas as equações de Navier-Stokes de

conservação de massa e as de conservação de momentum. Estas equações podem

ser tomadas sob distintos supostos, dos quais os mais utilizados são aqueles

relativos ao sistema em estudo: volume de controle integral ou diferencial.

Com o enfoque do volume integral não se requer muita informação sobre a

variação das pressões e velocidades no contorno pelo que o enfoque é muito pratico

e útil na solução de problemas de mecânica de fluxos. Porém as condições de

fronteira no volume de controle no problema de corridas de detritos é importante, pois

o comportamento deste varia segundo o gradiente de velocidades. Neste caso, usa-

se o enfoque do volume diferencial o qual estuda o equilibro num ponto do volume e

com técnicas de integração pode-se determinar as variações no contorno de dito

volume.

Ainda que este enfoque não seja o interesse principal deste trabalho, ao menos

se descreverão as equações básicas e se comentarão alguns casos de estudo, pois

estes métodos são os mais predominantes na literatura consultada e em alguns

casos os autores concluem no fato de considerar o DEM como um método alternativo

no estudo das corridas de detritos na simulação de certos processos que não podem

ser simulados com o FEM.

1. Equação de Continuidade (Conservação de massa)

Considerando um volume infinitesimal ρm com velocidade Vr

= u i + v j + w k .

Então, por conservação de massa no volume [28], [29]:

DBD



( ) elementosaindoentrando mt

mm∂∂

=−∂ (3.8)

( ) ( ) ( )−

∂

∂−+

∂

∂+−

∂

∂− dxdzdy

yv

vdydzdxx

uudydzdx

xu

u mm

mm

mm 222

ρρ

ρρ

ρρ

( ) ( ) ( )=

∂

∂−+

∂

∂++

∂

∂− dxdydz

zw

wdxdzdzzw

wdxdzdyy

vv m

mm

mm

m 222ρ

ρρ

ρρ

ρ

( )dxdydzt mρ∂∂ (3.9)

Simplificando (3.9):

( ) ( ) ( ) ( )mmmm tw

zv

yu

xρρρρ

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ (3.10.a)

0=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

zww

yvv

xuu

t mm ρ

ρ (3.10.b)

A equação (3.11) é formalmente apresentada como:

( ) 0=⋅∇+ VDt

Dm

m ρρ (3.11.a)

FIGURA 3.3- Volume de controle infinitesimal da massa.

Onde o diferencial do material é:

zw

yv

xu

tDtD

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= (3.11.b)

DBD



2. Equação de Conservação de momentum (Equações Navier-Stokes)

Dada uma massa infinitesimal δm, sob o campo gravitacional g e aplicando a

segunda Lei de Newton, tem-se que [28], [29]:

amFFF CORPOSUPERFÏCIE ⋅=+=∑ δδδδ (3.12)

Seguindo a FIGURA 3.4 o equilíbrio de forças na direção x vem dado por:

( ) xmzxyxx

x gdxdydzdxdydzzyx

F ρττσ

δ +

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∑ (3.13.a)

Similarmente, nas outras direções tem-se:

FIGURA 3.4- Volume de controle infinitesimal da massa.

( ) ymzyyxy

y gdxdydzdxdydzzyx

F ρτστ

δ +

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∑ (3.13.b)

( ) zmzyzxz

z gdxdydzdxdydzzyx

F ρσττ

δ +

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∑ (3.13.c)

Usando as equações (3.13) em (3.12), obtém-se:

( ) ( )DtDudxdydzgdxdydzdxdydz

zyx mxmzxyxx ρρ

ττσ=+

∂∂

+∂

∂+

∂∂ (3.14.a)

( ) ( )DtDvdxdydzgdxdydzdxdydz

zyx mymzyyxy ρρ

τστ=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (3.14.b)

( ) ( )DtDwdxdydzgdxdydzdxdydz

zyx mzmzyzxz ρρ

σττ=+

∂∂

+∂

∂+

∂∂ (3.14.c)

DBD



Sabendo que por simetria:

xyyx ττ = zyyz ττ = zxxz ττ = (3.15)

Então, finalmente obtém-se a equação de conservação de momentum na sua

forma mais geral:

i

ijjm

jm x

gDt

DV∂

∂+=

σρρ (3.16)

Com as equações (3.11.a) e (3.16), e fazendo uso das características

reológicas vistas na secção 2.2.5, alguns autores têm desenvolvido simulações de

corridas de detritos usando técnicas de integração numéricas especiais que são até

referência nesta área de pesquisa. A avaliação conjunta destas duas equações tem

sido resolvida levando em conta a natureza das condições inicias (enfoque euleriano

ou lagrangiano) e a dimensão da análise. As análises unidimensionais são muito

reducionistas, as análises bidimensionais ficam reservadas a certas condiciones ou

suposições simplificadores dos casos reais. Mas uma análise tridimensional integral

não tem sido alcançada a causa das limitações dos modelos reológicos nesta

dimensão. Aliás, a técnica mais usada considera o fluxo quase-tridimensional, pois o

volume de controle é suficientemente pequeno para supor que as variações verticais

são constantes.

O Método da Integração de Espessura Média (Depth Avaraged Method, DAM) [30], [31] tem sido a técnica numérica mais usada na solução das equações (3.11.a) e

(3.16), pois supõe variações nulas da velocidade na vertical o que permite simplificar

em um grau as equações anteriores. Geralmente a integração realiza-se mediante o

algoritmo de Garlekin [32].

Savage e Hutter (1989) [9] propõem a teoria das avalanches de detritos com a

aplicação deste método, descrevendo principalmente massas granulares contínuas

com comportamento friccionar de Coulomb, usando tanto o esquema de diferenças

finitas euleriano e lagrangiano. Mais tarde o último autor trataria o fluxo sobre

superfícies curvas [33].

O´Brien e Julien (1993) [9] comparam resultados da simulação numérica com

resultados produzidos no programa FLO-2D principalmente usado para análise de

DBD



ameaça de fluxos de lodos. Estes autores determinam o inflexível do FLO-2D para

simular segregação, salto hidráulico ou ondas de choques.

Hunt (1994) [9] analisa o fluxo de detritos como se fosse um fluido newtoniano

laminar. A principal contribuição deste autor está em tentar simular o fluxo como

laminar viscoso.

Wang e Shen (1999) [34] são os primeiros em apresentar uma simulação

unidimensional sob o enfoque lagrangiano para o fluxo resultante na ruptura de uma

barragem. Ao mesmo tempo introduzem o método Hidrodinâmico de Partículas

Suaves (SPH) ao analise de corridas de detritos.

Por outro lado, Hungr (2003) [35], [36], [37] propôs um método FEM lagrangiano bi e

tridimensional utilizando critérios do SPH para garantir continuidade na integração

para simular alguns eventos no Canadá. Tal vez este seja o modelo mais completo

deste gênero. Os resultados foram aplicados a simulações controladas de laboratório

e um caso real de avalanche de detritos com resultados promissórios.

Este, sem dúvida, é um dos autores mais destacados sobre o tema. Ele propõe

os objetivos a serem seguidos em qualquer ação para desenvolver uma modelagem

de corridas de detritos, os quais têm tido grande aceitação entre a comunidade

internacional. Eles são [35]:

• O modelo deveria permitir determinar tensões internas anisotrópicas, não-

hidrostáticas as quais podem ser controladas por uma reologia interna

diferente da reologia basal.

• Deve permitir a simulação de entrada e saída de material durante o fluxo.

• Deve permitir a utilização de mais de um modelo reológico que varie na

trajetória do fluxo ou dentro da massa do mesmo.

• Deve permitir grandes deslocamentos assim como ramificações da massa

sem problemas de distorção na malha dos elementos.

• Deve ser amigável para o usuário e eficiente para facilitar retroanálise e

calibrações com casos reais.

DBD



FIGURA 3.5- Saída da simulação da corrida de detritos Frank de 1917 [37].

Também, Chen e Lee (2000) [38] descrevem uma formulação tridimensional para

a solução das equações de conservação de massa e momentum usando o esquema

de Galerkin e a quadratura Gaussiana do ponto intermédio para simulações de

eventos em Hong Kong. Este é a análises em FEM tridimensional sob o enfoque

euleriano mais completa até agora desenvolvida. Este trabalho remarca a importância

na representação do terreno, pois desta dependem as forças de gravidade e atrito

que agem sobre a massa em movimento. A integração é feita com algoritmos

eulerianos, mas a malha faz uso das metodologias espaciais lagrangianas para

grandes deslocamentos.

3.1.2.2. Métodos de Elementos Discretos (DEM)

Sob este enfoque, a massa do fluxo é vista como composta de unidades

uniformes geométricas descontinuas, cujo comportamento individual estatisticamente

determina o comportamento global. Podem-se destingir quatro etapas fundamentais

na construção da lógica do DEM [24], [39]. Primeiro, a seleção da geometria das

partículas (partículas bi ou tridimensionais; polígonos ou discos, poliedros ou esferas).

Neste caso são partículas tipo disco.

Segundo, o desenvolvimento de um algoritmo eficiente permanente na

detecção dos contatos. Esta é a etapa que consume mais tempo de cálculo. O

DBD



número de operações depende à vez do número de partículas e da forma destas.

Este ponto é o de maior interesse deste trabalho, onde é aplicado um algoritmo

unário de procura de contatos e um algoritmo de representação de paramentos

curvas linearizados.

Terceiro, a programação das leis físicas às quais obedecem as partículas para

a determinação dos seus deslocamentos. Podem ser as leis da mecânica clássica ou

leis adaptadas. O presente trabalho segue as leis físicas newtonianas. Finalmente, a

visualização da simulação propriamente dita e resultados.

FIGURA 3.6- Etapas da lógica dos Métodos de Elementos Discretos.

Uma descrição dos principais métodos deste grupo apresenta-se a continuação:

A. Celas Autômatas Uma cela autômata é um espaço geométrico que pode estar preenchido ou em

branco. Uma partícula, neste caso, é representada por uma cela preenchida. A

configuração das celas (estado autômata) evolui através do tempo e espaço sob

determinadas regras. Neste método o espaço e tempo são descontínuos.

O método foi descrito pela primeira vez por John Conway (1970) e uma das

suas principais características é que não precisa de leis físicas puras senão de

relações empíricas simples que reproduzem o comportamento natural do fenômeno.

Este é um método qualitativo com ênfase na reprodução visual de fenômenos.

A escola italiana é quem mais experiência tem no uso deste método,

principalmente na região sul da Itália [40]. Esta escola desenvolveu um modelo sobre

celas hexagonais bidimensionais.

DBD



FIGURA 3.7- Simulações usando celas autômatas uni e bidimensionais [24].

B. Enfoques Empíricos Sob este enfoque estão aqueles métodos que não usam as leis da física

newtoniana, mas são definidas geralmente por relações estatísticas. O método de

Monte Carlo é o mais famoso e utilizado na mecânica estatística. A idéia é não

calcular as trajetórias das partículas senão usar feições aleatórias estatísticas que

reflitam a realidade do fenômeno. Assim, em vez de leis físicas usam-se leis

probabilísticas pelo qual é um método muito eficiente para simulações com um

número grande de partículas. Sua desvantagem radica no fato de desprezar os

efeitos de borda das partículas e sua pouca flexibilidade na visualização.

C. Enfoques Mistos Estes enfoques misturam a rapidez dos métodos empíricos com a flexibilidade

dos enfoques newtonianos.

D. Enfoques Newtonianos Sob esta perspectiva, o deslocamento e contatos são determinados pelas leis

da mecânica clássica. Neste enfoque estão agrupadas duas escolas: corpos

deformáveis e não-deformáveis. Nestes enfoques, o tempo de cálculo é muito

importante no desempenho do método.

DBD



Escola de Corpos deformáveis

Fundada por Cundall em 1971, mas foi dada a conhecer em 1979 quando

Cundall e Strack publicaram o modelo de elementos distintos ou discretos [41]. Neste

enfoque, o contacto das partículas é modelado como uma composição de amolas e

amortecedores simulando o efeito de atrito e dissipação de energia pela colisão entre

partículas seguindo as leis de repulsão de Newton. Para determinar a variação

temporal do sistema precisa-se integrar um sistema de equações de segunda ordem.

Este modelo já tem avançado á enfoques tridimensionais com maior facilidade do que

os métodos desenvolvidos com FEM.

FIGURA 3.8- Simulação sob o enfoque newtoniano de DEM [33].

Escola de Corpos Não-Deformáveis

Sob esta escola, os contatos são pontuais e as partículas têm coeficientes de

atrito e de restituição mediante os quais são feitos os cálculos das velocidades destas

depois do choque. A probabilidade de que duas partículas vizinhas estejam em

contato é nula, caso contrário à da escola anterior. Por este motivo a primeira escola

se adapta à natureza real das massas densas quase estáticas, enquanto esta

segunda é ideal para as massas não muito densas e dinâmicas.

Trabalhos feitos sob este enfoque serão descritos na seguinte secção. É

importante considerar que a evolução deste modelo na simulação de corridas de

detritos é muito recente. O método tem sido muito usado na simulação de misturas

granulares de processos industriais e na área da suspensão de partículas.

DBD



3.1.2.3. Algumas características comparativas dos métodos

Johansen e Laux (1998) [42], segundo a experiência norueguesa na simulação

de fluxos de materiais granulares, fazem uma comparação entre os modelos

lagrangiano (representado por DEM) e euleriano (representado por FEM). A

experiência deste país na simulação deste tipo de fluxo é similar quanto nos outros

países do mundo, pelo qual suas observações podem ser generalizadas.

Partindo do que os modelos lagrangianos determinam as trajetórias individuais

das partículas, estes permitem descrever uma grande variedade de efeitos físicos do

jeito mais fundamental. Em princípio pode ser modelado para qualquer tamanho e

forma de partícula, sendo forte principalmente na simulação de segregação,

fragmentação e aglomeração de partículas.

Para simulações com grande número de partículas não-esféricas que incluam

as forças viscosas nos contatos, o método vira nada prático. Contudo, este defeito

pode ser resolvido modelando as partículas como grumos, perdendo o enfoque

fundamental do fenômeno obtendo-se comportamentos aproximados segundo as

reologias utilizadas. A sua maior desvantagem está nos tempos de cálculo.

Por outro lado, quando na modelagem usa-se as equações de conservação

(massa, momentum ou energia) ou enfoque euleriano, as fases sólidas e liquidas são

consideradas interpenetráveis e o comportamento é uma representação física meia

do fluxo. O método é usado para sistemas que precisam de boas simulações

quantitativas, dependendo a sua qualidade do modelo físico e das experiências de

laboratório das quais foi gerado o modelo reológico.

A sua maior desvantagem, citada pelos autores, é a sua rigidez lógica, pois o

método considera comportamentos meios, eliminando as particularidades do

fenômeno das equações. Assim, por exemplo, o método tem problemas nas

interações partícula-parede. Especificamente, este método tem problemas na

simulação nos processos de erosão e deposição. Contudo, este problema pode ser

resolvido criando rotinas mais consistentes e robustas, aumentando grandemente sua

DBD



carga numérica e extensão. Isto faz do método euleriano ser vantajoso a respeito dos

métodos lagrangianos em muitos poucos casos.

Ambos os métodos podem a ser comparados desvantajosos para grandes

simulações considerando modelos complexos a causa do consumo de tempo ou

memória na hora de execução das rotinas. Mas, algumas experiências simuladas

parecem apontar aos métodos lagrangianos como os mais eficientes em aspectos de

representação fundamental dos fenômenos [42], [43].Tanto assim que os métodos

eulerianos complexos se baseiam em malhas eulerianos para aumentar sua

eficiência.

3.2. Modelo de Elementos Discretos de Cundall

Este método foi desenvolvido por Cundall (1971) para problemas

bidimensionais em Mecânica das Rochas, mas publicado em 1979 [41]. A popularidade

do método está não sua flexibilidade para sua extensão à terceira dimensão e a sua

versatibilidade para qualquer forma e tamanho de partículas. Aqui se descreverão as

equações para o caso específico de discos ou esferas para a análise bidimensional.

Este autor trata o problema das iterações partícula-partícula como um problema

transiente em estado de equilíbrio com as forças internas. Sob esta hipótese, o

sistema é resolvido usando um esquema explícito de diferencias centrais para análise

de transiente. Uma outra suposição é que o passo de tempo de cálculo é tão

pequeno que os distúrbios não se propagam para outras partículas que estejam além

da vizinhança da partícula em estudo. Deste jeito só são consideradas as forças de

contacto geradas com as partículas imediatas.

Por outro lado, a deformação individual das partículas é muito pequena em

comparação a deformação total da massa. Esta deformação é modelada como uma

interposição de partículas relacionada com as forças geradas no contato. Assim o

ciclo básico do método se descreve na seguinte figura.

O esquema numérico de integração descrito anteriormente é chamado de

Método de Relaxação Dinâmica (MRD) [4], [46], que foi desenvolvida a meados da

DBD



década dos sessenta quando alguns pesquisadores tentaram simplificar a análise

dinâmica transiente como uma sucessão discreta no tempo de soluções em regime

permanente. A sugestão desta possibilidade foi fundamentada no fato de que um

sistema oscilante excitado por uma perturbação constante no tempo com

amortecimento tende à posição final de equilíbrio sob ação da mesma.

FIGURA 3.9- Ciclo de cálculos segundo a metodologia DEM.

Figueiredo (1991) [4] fez uma descrição detalhada do método, da qual aqui só

serão tratados as aspectos teóricos básicos do método. O ciclo do MRD é similar ao

da FIGURA 3.9. Neste caso o ciclo inicia-se com as forças aplicadas no início da

análise, que sendo traduzidas a termos de deslocamentos e fazendo uso das

relações constitutivas obtêm-se as forças resultantes geradas nos contatos de cada

partícula. Estas forças resultantes são descontadas das forças iniciais, dando como

resultado a uma força desequilibrada com a qual inicia-se o novo ciclo. O ciclo

termina quando estas forças desequilibradas sejam nulas ou tenham sido transferidas

aos contatos. Dada a sua natureza explícita de solução, este método deve garantir a

estabilidade e convergência da solução.

A estabilidade pode ser garantida com a seleção adequada do passo de tempo

na realização das integrações. Enquanto à convergência, esta é garantida com a

utilização apropriada de parâmetros de amortecimento.

DBD



Seguindo os lineamentos da mecânica clássica newtoniana sob o enfoque

lagrangiano, o ciclo detalhado dos cálculos se descreve como segue.

FIGURA 3.10- Ciclo de cálculos seguindo a metodologia de MRD.

Primeiramente, o contato é modelado como um sistema paralelo de uma massa

m, com uma amola de rigidez K [F/L2] e um amortecedor C [M/L], tanto no sentido

normal e tangencial ao ponto de contato. A força tangencial tem um limite dado por a

força de cisalhamento por descrita pelo coeficiente de atrito de Coulomb, µ. As forças

amortecedoras em ambas as direções são ativadas pelas velocidades relativas do

ponto de contato. Por outra parte, o movimento global da partícula tem dissipação de

energia mediante um amortecedor para o movimento rotacional e outro para a

translação. Mas, este é um dos modelos de contato mais simples [45], [47].

Agora, supondo um suposto contato entre duas partículas circulares com as

características mostradas na FIGURA 3.12, e considerando o sistema local de

coordenadas dado por os vetores n e t , define-se o contato como:

L * < 21 RR + (3.17)

O ponto de contato considera-se localizado na metade dos pontos P1 e P2

segundo a FIGURA 3.12. Assim, a velocidade relativa no ponto de contato é:

( ) ( )2221112121RVRVVVV PPPP ωω +−+=−=− (3.18)

DBD



FIGURA 3.11- Modelo usado para os contatos entre partículas.

Considerando os vetores unitários globais e os locais, tem-se:

==

−=

11

coscos

yx

sensen

tn

ϕϕϕϕ ⇒ ( )ϕϕ senn ,cos= e ( )ϕϕ cos,−= sent (3.19)

Determinando as componentes normal e tangencial da velocidade relativa do

ponto de contato, temos que:

( ) ( ) ntRRnVVVN ⋅+−⋅−= 221121 ωω (3.20.a)

( ) nVVVN ⋅−= 21

( ) ( ) ttRRtVVVT ⋅+−⋅−= 221121 ωω (3.20.b)

( ) ( )221121 RRtVVVT ωω +−⋅−=

Que integrando por diferencias finitas, os deslocamentos relativos nas direções

normal e tangencial vêem dados por:

dtVNN ⋅=δ (3.21.a)

dtVTT ⋅=δ (3.21.b)

Assim, a força induzida por deslocamento e efeito do amortecedor viscoso no

ponto de contato (amortecimento local) e descrita por:

NNNNNK

NN VCKDFF +=+= δδ (3.22.a)

TTTTTK

TT VCKDFF +=+= δδ (3.22.b)

Então, as forças totais no ponto são para o novo ciclo de cálculo são:

Nt

Nt

N FFF δ+= −1 (3.23.a)

Tt

Tt

T FFF δ+= −1 (3.23.b)

DBD



FIGURA 3.12- Notação usada na dedução das equações de movimento.

Estas forças são positivas no sentido contrario aos dos vetores n e t da

FIGURA 3.12.

Por outro lado, a força de cisalhamento está limitada pela força de atrito de

Coulomb, a saber:

cuNNT AcFFF ⋅+=≤ φµ tan (3.24.a)

A equação (3.24.a) é generalizada para materiais geológicos. Mas esta força é

limitada sob algumas hipóteses que seguem estes critérios:

Se FN < 0, então FT = 0 e FN=0, pois não são válidas forças de tração.

|FT| > µ|FN|, então FT = FN·tanφu + c·Ac e a força viscosa DT é constante (c·Ac = 0,

geralmente).

O momento no sentido anti-horário ocasionado por estas forças no centro

geométrico de da partícula i, é dado por:

( )∑∑ ⋅= iTii FRM (3.25)

Agora, considerando todas as forças induzidas nos pontos de contato de uma

partícula, se determinarão pela segunda Lei de Newton os novos valores de

acelerações. Deste jeito, considerando um efeito amortecedor no movimento geral da

DBD



partícula (amortecimento global) devido ao meio fluido, se considera os coeficientes

de amortecimento para a translação CTR e outro para o efeito rotacional CR, no

somatório de forças. Assim, considerando a variável bidimensional r(x,y) de

deslocamento e pela segunda Lei de Newton para uma partícula de massa m, tem-se:

∑+=+⋅i

iTR FmgrCrm &&& (3.26)

∑=+⋅i

iR MCI ωω& (3.27)

Onde a inércia pode ser a de um disco (mR2/2) ou esfera (2mR2/5). Usando o

algoritmo de diferenças centrais, as velocidades das equações anteriores podem ser

expressas em termo das velocidades nos tempos t - ½dt e t + ½dt como:

+=

+− dttdttt rrr2

12

121

&&& (3.28)

+=

+− dttdttt2

12

121 ωωω (3.30)

Por tanto, as acelerações são descritas como:

+=

+− dttdttt rrdt

r2

12

11

&&&& (3.31)

+=

+− dttdttt dt 21

21

1 ωωω& (3.32)

Substituindo as equações (3.31) e (3.32) nas equações (3.26) e (3.27), e logo

obtendo uma expressão para as velocidades no tempo t + ½dt, fica:

[ ]

+

++

−

=∑−

+

mdtC

gdtmdtF

mdtC

rr

TR

tii

TRdtt

dtt

21

21

21

21

&

& (3.33)

[ ]

+

+

−

=∑−

+

IdtC

IdtM

IdtC

R

tii

Rdtt

dtt

21

21

21

21

ωω (3.34)

Desta forma, estas velocidades podem ser integradas para obter os

deslocamentos no tempo t+dt como:

DBD



dtrrr dtttdtt ⋅+=++

21&δδ (3.35)

dtdtttdtt ⋅+=++

21ωδθδθ (3.36)

Sob este esquema, Cundall determinou a introdução de um pequeno erro de

médio tempo na determinação nas componentes das forças amortecedoras D, mas

considerou-o desprezível. De fato:

( ) [ ] nrrCVCD dttNNNtN ⋅−=⋅= + 2121 && (3.37.a)

( ) ( ) ( )[ ] dttTTTtT RRtrrCVCD2

1221121 ++−⋅−=⋅= ωω&& (3.37.b)

Note-se que a energia no sistema, segundo as equações (3.33) e (3.34), é

dissipada através do atrito e o amortecimento: local e global. Se estes

amortecimentos fossem nulos, o sistema nunca estaria em equilíbrio.

Uma correção deve ser feita no ângulo entre os sistemas globais e locais de

coordenadas, pois este último incrementa seu ângulo cada passo de tempo como se

descreve na equação (3.36).

FIGURA 3.13- Correção do ângulo entre sistemas de coordenadas.

O ponto P (contato) tem coordenada global, segundo a Figura 3.13 dadas por:

ϕcos⋅+= RXX CP (3.38.a)

ϕsenRYY CP ⋅+= (3.38.b)

DBD



O ângulo ϕ aumenta δθt, considerado uma porção muito pequena (< 0,01 rad),

então:

( ) tttt sensensen δθϕϕδθϕδθϕδθϕ ⋅−=⋅−⋅=+ coscoscoscos (3.39.a)

( ) tttt sensensensen δθϕϕδθϕδθϕδθϕ ⋅−=⋅+⋅=+ coscoscos (3.39.b)

Note-se que o ângulo ϕ + δθt é o novo ângulo, pelo que as equações anteriores

são as formas recursivas de atualização do ângulo entre os sistemas cada passo de

tempo.

3.2.1. Escolha dos parâmetros do modelo

Um dos problemas deste modelo é determinar o valor dos parâmetros que

representem corretamente o material. Assim, Cundall (1979) [41] deu algumas

recomendações na escolha destes parâmetros, mas através do tempo cada autor

utiliza valores diferentes para calibrar o modelo. Alguns pesquisadores seguem a

teoria da elasticidade, mas a Teoria Hertziana [48] proporciona valores mais

apropriados quando a geometria das partículas é mais próxima à geometria real dos

grãos. Contudo isto, os parâmetros das rigidezes e coeficientes de amortecedores

são os mais importantes para garantir a convergência do método, como já se

mencionou. Enquanto o passo de tempo é importante para garantir a estabilidade

numérica.

3.2.1.1. Convergência Numérica

Para materiais elásticos, a rigidez e coeficiente de amortecimento [24] são:

Eq

NN R

EK

2δ

= (3.40)

1

21

11−

+=

RRREq (3.41)

[ ] mKC NCRITICON ⋅= 2 (3.42)

Mas, a partir da equação (3.42), alguns outros autores tomam KN como:

DBD



[ ]dt

CK CRITICON

N = (3.43)

Cundall propôs relações com os parâmetros anteriores para os parâmetros

tangenciais usando qualquer tipo de material:

=T

N

KK 1 ou

32 (3.44.a)

NT CC = (3.44.b)

Mas, no caso que as partículas em contato tenham parâmetros diferentes, usa-

se as relações:

21

111

NNEqN KKK

+= (3.45.a)

21

111

NNEqN CCC

+= (3.45.b)

Relações similares podem ser aplicadas às componentes tangenciais. As

magnitudes de rigidez podem variar de 106 até 109 N/m. Com as relações anteriores,

garantindo a existência do efeito dos amortecedores, o modelo terá a sua

convergência numérica, pois o equilíbrio do sistema estará garantido também.

Contudo, a iteração recursiva das equações (3.33) e (3.34) é complexa, mas

pode ser simplificada considerando o Teorema de Rayleigh para o amortecimento.

Esta é uma aplicação da RD na área de estruturas onde os coeficientes das forças

amortecedoras são descritos pela massa inercial e a rigidez do sistema. Estes dois

fatores caracterizam a relação do amortecimento com a freqüência do sistema. Assim:

KMC ⋅+⋅= βα (3.46)

As constantes α [L-1T-1] e β [T] são escolhidas como constantes de calibração

do modelo. M é a matriz de massas inerciais e K é a matriz de rigidez. Assim, para

o caso dos contatos internos, usa-se as relações:

NN KC ⋅= β (3.47.a)

TT KC ⋅= β (3.47.b)

DBD



Ou a dada por (3.42) e (3.44.b). E para o caso do movimento de cada partícula,

usa-se a relação:

mCTR ⋅= α (3.48.a)

ICR ⋅= α (3.48.b)

Assim, para o primeiro caso as equações (3.22.a) e (3.22.b) simplificam-se a:

+=+=

dtKDFF NNN

KNN

βδδ 1 (3.49.a)

+=+=

dtKDFF TTT

KTT

βδδ 1 (3.49.b)

Amortecimento e Dissipação de Energia Cundall (1982) introduz dois tipos de mecanismos de dissipação da energia

para o sistema. Um deles, a nível local (amortecimento autolocal) para quando existe

muita variação na direção das velocidades das partículas o que é descrito por:

[ ]( ) [ ]( )( )( )Cii rmgFsigmgFrm α⋅++⋅+= ∑∑ &&& ,1 (3.50.a)

[ ]( )( ) dtrmgFsiggmF

rr Cii

dttdtt⋅

⋅++⋅

+

+= ∑∑−+

α&&& ,12

12

1 (3.50.b)

[ ]( )( )Cii MsigMI αωω ⋅+⋅= ∑∑ ,1& (3.51.a)

[ ]( )( ){ }I

dtMsigM Ciidttdttαωωω ⋅+⋅+= ∑∑−+

,12

12

1 (3.51.b)

O parâmetro αC (≈ 0.7) no programa SAND é chamado por “cadl”. Por outro

lado, a nível global (amortecimento autoglobal) relacionado com os parâmetros das

equações (3.48.a) e (3.48.b) substituídas nas equações (3.33) e (3.34):

[ ]

+

++

−

=∑−

+

21

21

21

21 dt

gdtmdtFdtr

r tiidtt

dtt α

α&

& (3.53)

[ ]

+

+

−=

∑−

+

21

21

21

21 dt

IdtMdt

tiidtt

dtt α

αωω (3.54)

DBD



Em geral, os valores dos coeficientes de amortecimento obtêm-se considerando

análises dinâmicas matriciais [49]. Assim, o sistema matricial a resolver é dado por:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }ExtFXKXCXM =++ &&& (3.55)

Que fazendo uso de transformações ortogonais de matrizes, obtém-se:

{ } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } { } { }EXTTTTT FUKUCUM Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&& (3.56)

O que se reduz a um sistema de n equações não-acopladas da forma,

considerando (3.46):

{ } { } { } ( ){ }iiiangiiangii tFUUU =++ 22 ωως &&& (3.57)

i

iiang m

K=2ω (3.58.a)

iangiangi22 βωαως += (3.58.b)

O que permite deduzir uma relação para os coeficientes de amortecimento:

ςωα ang2= (3.59)

angωςβ 2

= (3.60)

πω2

angTf = (3.61)

Onde ς [adimensional] y fT [Hz] são parâmetros de entrada no programa SAND,

representados pelas variáveis _frac e _freq respectivamente.

Contudo isto é necessário garantir a convergência da solução mediante a

medição da razão entre a potência dissipada pelos amortecedores viscosos e a taxa

de variação da energia cinética, pois isto é uma medida indireta para saber se o

trabalho dos amortecedores está adsorvendo a energia cinética momentânea do

sistema.

EEt

RAT ∆⋅

=∆α2 > AFAC (3.62)

DBD



Esta razão ∆RAT deve manter um valor AFAC para todos os passos de tempo e

tipicamente AFAC ≅ 1,0. Figueiredo (1991) [4] encontra um valor ótimo de AFAC = 0,95

para aplicações na Mecânica de Rochas. Se a relação (3.57) se mantiver, o valor do

fator global de amortecimento deve ser corrigido em:

MUL

corrigido Aαα = (3.63.a)

Caso contrário:

MULcorrigido A⋅= αα (3.63.b)

Onde AMUL é uma constante para promover os ajustes de α. Comummente AMUL

≅ 1,1.

3.2.1.2. Estabilidade Numérica

Figueiredo (1991) [4] faz um estudo detalhado sobre as condições de

estabilidade numérica do MRD, demonstrando as mesmas limitantes que garantem a

estabilidade numérica feitas por Cundall em 1979.

Considerando o sistema amola-amortecedor com um só grau de liberdade,

Cundall [41] determina que o valor de passo de tempo crítico é:

{ }{ }MAXTN

MINCRITICO KK

mmdt

,,

2 21= (3.64)

Mas sabe-se que o sistema possui mais graus de liberdade (são vários pontos

de contato com sistema amola - amortecedor por cada contato). Por cada pondo de

contato deste tipo é lógico pensar que o sistema tende a enrijecer-se, pelo que o

passo de tempo tende a ser ainda menor ao dado pela equação (3.59). Para isso,

alguns pesquisadores propõem um valor limite para o passo do tempo considerando

a equação anterior:

CRITICOFRACADOTADO dttdt ⋅≤ (3.65)

Cundall [45] recomendou que fossem adotados valores de tFRAC não maiores a

0,1. Na verdade, para um sistema dinâmico linear com amortecedor, o tempo crítico

vem dado por [50]:

DBD



( )εε −+⋅≤ 2* 12Kmdtcrítico (3.66)

0/

/

2 tKC

TN

TNcritico

∆⋅⋅=ε (3.67)

( )εε −+∝∴ 21FRACt (3.68)

Uma extensão tridimensional deste método foi apresentada por Cundall em

1988 [44], [45] para uma aplicação em maciços rochosos. Uma adaptação deste método

para partículas esféricas é apresentada no Anexo IV.

Esta versatilidade dimensional é uma das principais vantagens do DEM respeito

a outros métodos numéricos, pois suas leis físicas são de fácil extensão de dois a

três dimensões sem precisar de ferramentas ou métodos de integração numéricos

especiais. Uma outra característica do método é que sua lógica computacional é

simples comparada ao Método de Elementos Finitos, o que permite que o Método de

Elementos Discretos para simulações com grande número de partículas seja

modelado com a técnica de paralelização de ordenadores. Esta técnica permite que

um processo de fluxo granular seja simulado por dois ou mais computadores

simultaneamente, o que diminui o tempo de execução e a sobrecarga de memória.

Estas simulações são relativamente custosas, mas são baratas em comparação às

simulações deste tipo com FEM ou elementos de contorno.

A aplicação do Método de Elementos Discretos em Geotecnia é relativamente

recente, mas parece ser promissório no avanço do entendimento fundamental do

comportamento dos materiais porosos.

DBD


CAPÍTULO 4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL NA SIMULAÇÃO DE CORRIDAS DE DETRITOS

4.1. Estruturação básica do programa SAND

O programa SAND foi desenvolvido para aplicação a problemas relacionados à

produção de areia em poços de petróleo [3] considerando fluxo mono e bifásico. Na

verdade, SAND é a extensão gráfica de uma biblioteca programada na linguagem C++

que analisa os dados de entrada ao programa e faz os cálculos respectivos.

Usando a programação orientada a objetos (POO), Campos et al (2002) [3]

desenvolveram uma biblioteca (DEMlib) com a idéia de implementar o DEM e que de

vez facilitasse a manutenção e extensão da mesma para sua aplicação a outros

problemas relacionados com este método. Usando a definição de objetos, elementos e

classes [52], [53] conseguem-se atingir as mais diversas condições e geometrias dos

problemas a serem tratados com este método numérico. Assim, a biblioteca DEMlib

consiste em um conjunto de classes que definem objetos básicos que são usados na

implementação do DEM e uma extensão gráfica como já se mencionou.

SAND foi programado nas linguagens C e C++, com o toolkit de interface

IUP/LED e o sistema gráfico CD, proporcionando as seguintes facilidades:

• Interface gráfica para visualização dos passos de análise.

• Definição interativa das paredes que definem as condições de contorno do

problema e dos discos que representam o meio granular.

• Visualização das forças de contato e atuantes no centróide de cada partícula.

• Interface com a linguagem de programação interpretada LUA, que permite a

geração de discos com dimensões definidas segundo as regras definidas pelo

usuário.

DBD


Capítulo 4: Implementação computacional na simulação de corridas de detritos 92

FIGURA 4.1- Interface gráfica do Programa SAND mostrando os contatos entre elementos.

De forma geral, pode-se falar que o programa SAND segue a metodologia

descrita no capítulo anterior para a implementação do DEM. Uma forma simplificada e

seguida no desenvolvimento do mesmo programa se mostra a continuação.

FIGURA 4.2- Etapas de implementação computacional do DEM.

4.1.1. Geometria das Partículas.

Nesta etapa consideram-se duas etapas. A primeira relacionada com a geração

da geometria dos elementos discretos e a determinação das propriedades geométricas.

A segunda referida à geometria dos anteparos (paredes) de escoamento ou condições

de contorno.

DBD



A geração das partículas é feita com uma rotina simples que permite a geração

de uma malha regular ou densa. Aliás, permite-se gerar uma malha com diâmetro e

densidade variáveis (Vede FIGURA 4.3). O arquivo de saída está formatado para o

programa de interface LUA 5.0 que é utilizado pelo SAND para ler ditas propriedades.

FIGURA 4.3- Esquema para a geração de elementos discretos.

De forma geral, o programa armazena estas informações no objeto BLOCK que

representa um elemento discreto genérico (Vede FIGURA 4.4). As principais

características contidas neste objeto são: área, volume, inércia, coordenadas do

centróide, velocidade e deslocamentos do elemento. Métodos particulares de cálculo

de algumas propriedades segundo o tipo de partícula são contidas nas classes PBlock

e DBlock.

FIGURA 4.4- Hierarquia de classes para a definição geométrica do elemento discreto.

DBD



Por outro lado, estabelecem-se as condições do contorno do problema definindo

os anteparos dos elementos discretos. Num início, SAND foi desenvolvido para o caso

de poucos anteparos confinantes, geralmente em forma de caixote. Os primeiros

elementos criados foram segmentos retos, polígonos e arcos de círculo. Estas classes

estão contidas no objeto WALL (Vede FIGURA 4.5).

Este trabalho incorpora uma nova sub-rotina para representar uma função curva

bidimensional mediante o algoritmo de interpolação curva spline cúbica. Foi

programada a sub-rotina SPLINE que segmenta a função cúbica, considerando a

definição de curvatura (κcurv) admissível em cada ponto (κcurv ≤ 0.25), em segmentos

lineares de menor tamanho conseguindo uma representação curva de um elemento de

parede. O arquivo de saída é formatado para ser usado pela classe LWall.

FIGURA 4.5- Hierarquia de classes para a definição dos tipos de anteparos no programa SAND.

O uso das Spline cúbicas se justifica respeito a outras ordens, pois os pontos de

inflexão para maiores ordens não fazem diferença visual apreciável e estes não se

apresentam em ordens menores pelo que dificulta a continuidade [54]. Em geral, uma

curva spline cúbica Sn3(x) tem as seguintes características [55]:

• É um polinômio cúbico para cada par sucessivo de pontos do conjunto total de

pontos dados n.

• A primeira e segunda derivada desta função são continuas no intervalo de

estudo.

• A tangente final em cada intervalo é igual à tangente inicial do intervalo

seguinte.

DBD



• É preciso conhecer uma condição inicial para poder resolver o sistema de

incógnitas (coeficientes do polinômio cúbico). Se a segunda derivada do ponto

inicial ou final do conjunto for conhecida e nula, diz-se condição de contorno

natural. Se a tangente do ponto inicial ou final do conjunto for conhecida e não

nula, diz-se de condição de contorno fixa.

O algoritmo usado se mostra de forma esquemática na FIGURA 4.6.a e FIGURA

4.6.b. Maiores detalhes sobre este algoritmo são apresentados no Anexo V.

FIGURA 4.6.a- Esquema da rotina SPLINE.

DBD



FIGURA 4.6.b- Esquema da rotina SPLINE (continuação).

Desta forma, representa-se qualquer tipo de curva mediante certo número de

segmentos lineares de tamanho variável segundo a curvatura do ponto em estudo.

Uma saída típica do programa SAND do algoritmo anterior se mostra na seguinte figura.

(a) (b)

FIGURA 4.7- Representação gráfica de anteparo (a) linear (b) Spline cúbico linearizado com 5 segmentos.

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Existem alguns outros algoritmos de curvas spline até de quinta ordem

propriamente dito, ainda que a teoria permita ordens maiores estas são referidas a

outros algoritmos mais eficientes como polinômios de Hermite, polinômios de Bézier,

polinômios de Berstein ou NURBS [54]. Estes métodos são recomendados para

interpolações de curvas ou superfícies tridimensionais que representam o terreno.

4.1.2. Detecção de Contatos.

Uma vez conhecida a geometria do problema é preciso avaliar a potencial

existência de contato entre elementos e calcular dito ponto poder aplicar as leis físicas

respectivas. Esta é a etapa crítica do DEM, pois o algoritmo utilizado para a detecção

determina o tempo de cálculo e a capacidade de memória dinâmica consumida. Por

exemplo, para um arranjo de N partículas, o número de iterações uma a uma a serem

feitas para conferir a existência ou não de contato é de N(N-1)/2, pelo qual é preciso

algoritmos mais eficientes [24]. Aliás, o problema complica-se ainda mais para

geometrias não-circulares de partículas e paredes de forma irregular em grande

número.

Este problema tem sido objeto de estudo em aplicações de modelagem

geométrica, gráfica computacional e robótica [56]. Este processo usualmente é feito em

duas etapas. A primeira identifica o par de objetos que poderiam potencialmente estar

em contato em um determinado passo de tempo. As técnicas mais usadas têm sido a

da cela adjacente (consome muita memória) e da partícula mais próxima (para arranjos

grandes não é recomendado) as que são chamas de técnicas binárias pelo tipo de

estrutura encadeada de dados com que são programadas (Vede ANEXO VI).

Recentemente, a triangulação dinâmica tem mostrado alguns resultados muito

satisfatórios, mas é de uma alta complexidade programática [24], [56]. Para este efeito,

SAND originalmente usando a técnica da cela adjacente subdivide o domínio total do

problema geométrico em unidades menores (box) para reduzir o tempo de cálculo e o

aumento da memória armazenada na busca potencial de contactos entre partículas

muito distantes. Estes subdomínios são representados por caixas bidimensionais com

dimensões estabelecidas pelo usuário, mas como mínimo devem ser maiores o iguais

ao menor diâmetro existente de partícula. Caixas muito grandes ou muito pequenas

não são escolhas eficazes para reduzir o tempo de cálculo [56]. Desta forma, cada

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partícula é referida a cada subdomínio com uma lista contendo também a localização

dos seus potenciais vizinhos. Na segunda etapa se verifica se o contato entre ditas

partículas existe usando o critério da equação (3.17). Logo depois se procede a

determinar o ponto de contato para efeitos de determinar as forças atuantes que

dependem da magnitude da interposição entres partículas.

A partir desta subdivisão o programa determina o tipo de contato, seja este entre

partícula-partícula ou partícula-anteparo como se mostra na FIGURA 4.8. Antes de

determinar o tipo de contato deve-se conferir a existência real do mesmo. Este

processo é dinâmico e demorado pelo que o consumo de memória é alto.

FIGURA 4.8- Etapas na detecção de contatos seguindo as hierarquias de objetos usadas no SAND.

Uma coisa importante de destacar é o fato de que o tempo de CPU na procura de

contatos é independente da distribuição espacial das partículas ao igual que o

armazenamento de memória [57].

Neste trabalho é usado o algoritmo de Munjiza de procura não-binária (NBS) [57].

Este método se baseia num mapeamento das partículas contidas numa janela por

colunas ou celas verticais (dimensão ny) cujas entradas contêm a primeira partícula

contida em cada cela. Logo, é feito um mapeamento das partículas em celas

horizontais (dimensão nx). A detecção dos contatos a partir da cela (i,j) realiza-se nas

celas adjacentes (i-1, j), (i-1, j-1), (i, j-1) e (i+1, j-1) e não em todas as celas adjacentes

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como se faz nos métodos tradicionais. Desta forma o tempo diminui de Φ(N2) a

Φ(N⋅(Rmax/Rmin)2 ) [57].

FIGURA 4.9- Sistema de celas usado na busca de contatos segundo o algoritmo Mujinza.

Para determinar os possíveis contatos numa cela procuram-se a partir do

elemento j da cela ny as partículas contidas na cela nx. Nesta última cada partícula está

referida à seguinte partícula (por isto é chamada não-binário) contida na cela onde é

realizada a busca de possíveis contatos. Uma vez achadas as possíveis partículas

candidatas a estarem em contato se verifica a condição da equação (3.17) para

descartar contato provável de contato real. O tamanho das celas (nx, ny) deve ser como

mínimo 3 Rmin para garantir ao menos uma partícula em cada cela. A janela

(searching window) deve ter um tamanho mínimo de 2⋅Rmax.

FIGURA 4.10- Exemplo de detecção de contatos na cela (i,j) segundo o algoritmo de Mujinza.

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De forma geral, o ciclo do algoritmo de Mujinza é descrito como segue:

FIGURA 4.11- Ciclo de cálculo para determinar velocidades e deslocamentos das partículas a partir da

detecção de contatos seguindo a algoritmo Mujinza e sua relação com a etapa de aplicação das leis

físicas.

Por outro lado, para incluir os paramentos lineares dentro deste algoritmo devem-

se considerar os pontos extremos que definem dita reta como uma entidade só. O

problema é que uma linha contida na janela de procura estará contida

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simultaneamente em várias celas. Propõe-se aqui um algoritmo de mapeamento de

paramentos com igual formato do que o usado para mapear as partículas. Mas neste

caso, os pontos iniciais do segmento linear definem os vértices opostos de uma área

retangular que será identificada como a linha dentro da janela de procura de contatos.

Deste jeito a procura de contato partícula-paramento se limita para aqueles

paramentos contidos dentro da janela de procura e não se faz procura entre todos os

paramentos como estava a rotina original, reduzindo o tempo de execução. Para

compreender melhor o algoritmo, vede a seguinte figura.

FIGURA 4.12- Esquema de programação do mapeamento dos paramentos para seu uso no algoritmo de

Munjiza .

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4.1.3. Aplicação das Leis Físicas

Uma vez detectado um contato e sua localização espacial, aplica-se as

formulações vistas na secção 3.2 seguindo o Modelo de Cundall para obter as forças

de contato. Estas forças, junto com as forças de corpo são aplicadas nos centros de

massa de cada partícula para serem incluídas nas equações do movimento geral do

sistema. Assim, determinam-se as velocidades e os deslocamentos produzidos por

estas forças o que leva a uma atualização na posição da partícula. Desta forma inicia-

se o ciclo de cálculo para o seguinte passo de tempo como se ilustra na FIGURA 4.11.

As formulações do DEM relacionadas a estas leis físicas estão contidas dentro

do objeto BLOCK, pois é um procedimento genérico para qualquer geometria de

partícula. Mas para os efeitos dos amortecedores SAND usa a rotina DAMP, no qual

estão contidos os critérios de servo-controle sobre amortecimento que Cundall [44], [45]

formulou para garantir a estabilidade numérica do método, tanto para os parâmetros

local e global.

FIGURA 4.13- Hierarquia de classes para a definição dos tipos de amortecimento.

As formulações desta etapa quase não foram modificadas, pois são rotinas de

implementação de equações matemáticas comuns sem envolver cálculos iterativos

complexos os quais não possam ser resolvidos pela programação tradicional. As

formulações desta etapa são simples relativamente e com muito sentido físico que não

precisam de muita refinação programática.

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4.1.4. Visualização

Seguindo a metodologia do ciclo de cálculo do DEM, só falta a visualização do

processo. As principais feições que podem ser mostradas no programa SAND são: os

contatos (link), as velocidades, os deslocamento e forças de contato. O ciclo da

atualização visual difere da etapa dos cálculos e geralmente usa-se freqüência maior à

da etapa numérica. Tipicamente é de 10dt a 500dt para mostrar um ciclo.

FIGURA 4.14- Esquema da atualização das variáveis no ciclo de cálculo.

Nesta fase fizeram-se mais aplicações do que implantações importantes como,

por exemplo, mostrar estratigrafia simbólica para ver efeitos de segregação e dos

parâmetros de amortecimento. Esta parte não deixa ser parte importante do processo,

pois uma análise de dados com DEM sem parte visual não tem sentido nenhum. O

problema radica para aplicações tridimensionais a grande escala o com muito detalhe

do fenômeno a ser simulado.

Outras rotinas implementadas no programa SAND estão relacionadas à extração

de informação durante a execução do programa como perfis de profundidade de fluxo,

velocidades e seguimento de uma partícula de interes. Toda modificação feita no

programa tem sido relatada de forma simples neste apartado com a intenção de que

sejam constatadas e consideradas em futuros trabalhos com este método.

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CAPÍTULO 5 RESULTADOS E DISCUSSÕES

5.1 Resultados

Foram realizadas vinte e seis simulações as quais consideram variação nos

valores dos parâmetros de entrada do modelo quanto na configuração geométrica da

superfície de escoamento e no tamanho das partículas. Considerando a ausência de

um caso de comparação, escolheu-se uma destas configurações de parâmetros

como a configuração patrão para comparação. Estas simulações são feitas com a

intenção de avaliar intervalos de validade dos parâmetros assim como a idoneidade

da simulação para representar feições e mecanismos das corridas de detritos.

Além destas simulações, foram feitos alguns exemplos de aplicação simulando

algumas condições comuns de ocorrência destes fenômenos.

5.1.1 Condições Padrão

O perfil patrão tem superfície de escoamento linear, escolhido de forma

arbitrária, mas seguindo configurações similares às consultadas nas referências

bibliográficas. Os parâmetros patrões para os dados de entrada são:

• Razão KN/KT = 1,0 com KN = 1x105 N/m*.

• Densidade de partículas 2,5 ton/m3.*

• tFRAC de 0,1.

• Coeficiente de atrito µ= 0,1 (∼ 5,7°).

• fT de 300 Hz usando o método de amortecimento local (recomendado para

sistemas rígidos).

• 4022 partículas de raio constante de 3 m.

* Estes valores estão proporcionados, pois os valores reais são 1x108 N/m e 2500 N/m3.

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Capítulo 5: Resultados e Discussões 105

(a) Perfil linear patrão usado na simulação das diferentes configurações de parâmetros.

(b) Principais feições topográficas simuladas com o perfil patrão.

(c) Perfil spline patrão linearizado a partir de quatro segmentos usado na simulação de corridas.

FIGURA 5.1- Perfis patrões utilizados na avaliação de parâmetros de entrada do programa SAND.

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O perfil patrão permite simular as diferentes zonas de ocorrência [9] das corridas

descritas na secção 2.2.

Mas também, aplicou-se um perfil spline linearizado com 4 segmentos (número

de segmentos considerados na interpolação da curva cúbica spline).

A massa instável para todas as configurações é a mesma, isto é que o

paramento baixo a massa é o mesmo para o caso linear e spline. O mesmo acontece

para o caso de 4022 e 8500 partículas.

Também, simularam-se camadas de material usando diferentes cores para

efeitos de avaliar feições como segregação, fluidificação e outras feições

taxonômicas de corridas como identificação da cabeça, corpo e cola do fluxo.

5.1.2 Parâmetros em consideração

Em alguns casos puderam-se detectar algumas limitantes conferindo a validade

de alguns valores de parâmetros discutidos em trabalhos anteriores [3], [4], [5], [39], [41];

para serem consideradas em futuras modificações e aplicações do programa. Os

parâmetros avaliados foram:

Parâmetro Símbolo Intervalo de Variação Freqüência

(Amortecimento autolocal) fT 50-900 Hz

Coeficiente de amortecimento (Amortecimento autoglobal) αc 0,3-0,9

Rigidez Normal (KN/KT= 1,0) KN 103-107 N/m

Rigidez Tangencial (Razão KN/KT variável) KN/KT 3

2 -1

Fração de tempo critico tFRAC 0,01-0,1

Atrito interno µ 0,0-0,1

Atrito (partícula/paramento) µd/µp

0,1/0,3 0,03/0,1 0,1/0,03

Tipo de superfície - Linear Spline linearizada

Número de partículas N 4022 com raio constante 8500 com raio entre 1,5 a 3,0 m

Tabela 5.1- Principais parâmetros avaliados na idoneidade da simulação de corridas do programa SAND.

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1. Tipo de Amortecimento

O primeiro parâmetro analisado foi a freqüência fT do método autolocal, variada

entre os valores de 50, 100, 200, 300, 600 e 900 Hz. Notou-se que a maior freqüência

a massa apresentava um comportamento mais fluido pelos patrões registrados nos

perfis de profundidade e velocidade. Mas o tempo de execução destes seis perfis foi

muito similar entre 2 a 3 horas.

Enquanto ao parâmetro autoglobal (αc), este mostrou problemas na

determinação de contatos, para os valores testados de 0.3, 0.5, 0.7 e 0.9. Em

determinado ciclo, algumas partículas experimentavam uma força de contato muito

grande pelo qual no seguinte passo de tempo estavam muito separadas mantendo o

contato (link) anterior. Este problema se pôde corrigir reduzindo a fração de tempo

crítico o que aumenta o tempo de execução ou aumentando o tamanho das celas de

procura que foi considerada uma solução fácil, mas menos técnica.

2. Rigidez

Diminuindo a rigidez nos contatos se produz um colapso das partículas sob o

seu próprio peso. Então existe uma relação direta e de dependência entre densidade

e rigidez.

No caso contrário apresenta-se o problema similar ao do amortecimento

autoglobal, o sistema ao ser tão rígido de um passo de tempo a um outro, as

partículas se transmitem grandes forças pelo que se apresentam deslocamentos

exagerados entre partículas alterando o fluxo natural delas. Neste caso, uma solução

válida é o aumento da densidade ou diminuição da fração de tempo crítico como se

mencionou anteriormente, mas com o inconveniente do aumento do tempo de

execução.

Quando se variou a razão entre as rigidezes, não houve modificação importante

nos tempos de execução. Uma modificação importante deu-se na configuração dos

perfis de profundidade e velocidade como era esperado, pois a menor rigidez o fluxo

tende a apresentar comportamento de fluxo laminar com velocidade baixa e similar.

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3. Fração de tempo crítica

Constatou-se que ao diminuir este parâmetro evita-se alterações devidas aos

grandes deslocamentos que algumas partículas podem experimentar a causa de

grandes valores nas forças de contacto entre um ciclo e outro. Mais para determinado

valor desta fração, o sistema demora demais como para conseguir convergência até

o final da simulação. Este parâmetro é crítico na aplicação do método e do qual se

tem pouca informação qualitativa.

Toda bibliografia consultada usava uma magnitude inferior aos 10%

recomendado por Cundall sem uma justificativa clara. Na verdade este parece ser o

parâmetro inicial de calibração do modelo para cada simulação, que infelizmente

depende da massa e rigidezes usadas.

Um outro ponto de aclaração é o fato da relação entre o tamanho da cela de

procura de contatos e esta fração, pois no caso de 1% do tempo crítico se obteve

bons resultados para celas maiores aos dois raios mínimos, mas o tempo de

execução se aumenta significativamente. Os resultados mais aceitáveis foram para

frações entre 0,1 e 0,05 usando o mesmo tamanho de cela na procura de contatos

(2Rmin). Para tamanho de celas menores esta fração deve ser diminuída.

4. Atrito

Este parâmetro altera diretamente a cinemática das partículas. Suas alterações

importantes se notam na configuração da superfície da corrida e velocidades. Um fato

importante de notar foi que a menor ângulo de atrito maior é o tempo de execução da

simulação, pois a atribuição de forças cisalhantes nos contatos diminui, ficando o

deslocamento vertical regido pelo desequilíbrio entre as forcas de gravidade e forças

normais dos contatos.

Para simular o fato de que uma corrida acontece sobre uma superfície rugosa

ou com baixa rugosidade, executaram-se simulações onde o atrito entre o contato

partícula-partícula (µd) era diferente e menor ou maior ao existente entre partícula-

paramento (µp). Ao aumentar µp se aumenta o atrito paramento-partícula, dificultando

o deslocamento das camadas superiores como o efeito de um pingo de mel sobre

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uma folha seca. No caso contrário, ao diminuir dito valor a camada em contato direto

com o paramento serve como camada de lubrificação para o resto das camadas

como o efeito do pingo de mel sobre uma folha umedecida. Com estas variações

simularam-se os fenômenos de fluidificação, segregação e dilatação descritas na

secção 2.2.4.7.

5. Tipo de superfície

Variando o tipo de superfície tentou-se avaliar a idoneidade do programa para a

simulação de superfícies muito irregulares e com grande número de segmentos, em

especial o algoritmo desenvolvido para a procura de contacto entre partículas e

paramentos para reduzir o tempo de procura destes contatos.

Seguindo as feições geradas nos perfis de profundidade entre ambos os tipos

de superfície, ficou evidente que as curvas spline linearizadas permitem obter

configurações tanto de distribuição de velocidades e profundidade mais acordes ao

descrito nas secções 2.2.2, 2.2.3 e 2.2.4. Como por exemplo, identificação total de

estratos ou camadas quando a superfície, perfis de profundidade menos

quebrantados e suaves devidos à mudança gradual da pendente do terreno.

6. Número de Partículas

Com as variações consideradas tentava-se avaliar as idoneidades do SAND

para simular o processo de sedimentação das partículas para obter a massa instável

inicial assim como a idoneidade do algoritmo de procura de contatos partícula-

partícula e partícula-paramento.

Neste caso os fenômenos de segregação foram mais contrastantes, pois ao

aumentar o numero de partículas com variação no raio, o acomodo do material

durante a sedimentação, fluxo e deposição foram com superfícies suaves

conseguindo configurações mais densificadas. Com isto, acredita-se que ainda se

esteja simulando a massa com elementos discretos, estes tendem a simular uma

massa mais homogênea e densa.

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Este fato não implica que para distribuições não-compactas de partículas o

modelo não seja representativo. Nesta aplicação em particular, devido à escala da

simulação em que um elemento discreto representa uma mistura de material sólido e

líquido, as propriedades do material misturado ficam regidas pelas magnitudes dos

parâmetros do modelo numérico. Aliás, estes parâmetros não estão correlacionados

de forma direta com propriedades físicas reais do material pelo que qualquer valor

que garanta estabilidade e convergência numérica tecnicamente é aceitável. É claro

que a intuição indica que entre menor for o tamanho dos elementos mais próximos ao

caso de médio contínuo, mas a um custo muito alto de consumo de memória e tempo

de execução ainda os cálculos pareçam mais simples dos que os realizados por

outros métodos numéricos como FEM.

5.1.3 Aplicação da metodologia do DEM

Seguindo a metodologia descrita na secção 1.3.2 e 4.1 sobre o Método de

Elementos Discretos, se mostram as principais observações.

1. Geração da malha inicial de partículas e massa instável inicial

Para gerar a massa inicial usa-se o processo de sedimentação em camadas.

(Vede FIGURA 5.2) Quando as partículas sedimentam inicia-se o processo de

reacomodo delas ou densificação. Durante este, notou-se a formação de algumas

feições próprias dos materiais geológicos como falhas pelo peso próprio das

camadas inferiores devidas às camadas superiores durante o processo. Uma outra

característica notada, ainda tentando garantir a distribuição mais densa possível, é

que as camadas inferiores sofreram interposições partícula-partícula maiores que as

superficiais. Isto é que usando este processo para grandes números de partículas é

impossível obter uma configuração muito densa e sem interposição grande de

partículas, mas para os propósitos deste trabalho este fato não afeta grandemente os

resultados.

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FIGURA 5.2- Processo de sedimentação e densificação das partículas na geração da massa instável

inicial para a simulação da corrida.

Antes de iniciar a corrida, todas as forças nos contatos são zeradas (forças,

velocidades, deslocamentos, etc.) e as interposições existentes nos primeiros ciclos

de execução geram forças de contato pré-existentes previas à corrida.

Enquanto a geração dos paramentos com curvas spline cúbicas linearizadas,

notou-se que a linearização com quatro ou cinco segmentos dava bons resultados.

Números menores não modificam muito os resultados respeito à configuração linear e

maiores só aumentam o tempo de procura de contatos partícula-paramento, sem

melhoras na configuração final de partículas.

2. Simulação da corrida e visualização de variáveis.

Seguindo a metodologia do DEM, se seguem duas etapas: detecção de

contatos e aplicação das leis físicas. Estes processos se analisam indiretamente e

em conjunto, analisando as feições registradas nos perfis de profundidade e

velocidade assim como a visualização gráfica. Aqui se mostrarão os resultados

obtidos para a configuração patrão, os das outras configurações foram obtidos com

procedimentos similares e comparados com os da configuração patrão e somente

alguns deles mostrar-se-ão.

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1. Perfis de Profundidade.

O programa permite determinar um perfil de profundidades cada determinado

ciclo para um número determinado de pontos, neste caso foi 30 pontos ao longo do

comprimento da massa em movimento. Para o caso patrão perfilaram-se ditas feições

cada 2000 ciclos que para o caso de partículas de igual diâmetro é equivalente a um

intervalo de dt ≅ 5,32 s. Destes perfis observa-se o tipo de superfície desenvolvida na

zona de fluxo (Vede FIGURA 5.1.b), a qual foi comparada com as feições descritas

na FIGURA 2.5.

Notando da FIGURA 5.3 que o fluxo pode ser classificado do Tipo 3, segundo a

classificação dada na secção 2.2.3 e pelos valores de velocidade registrados como

se verá mais adiante eram maiores a 3 m/s.

Comparando os perfis finais das diferentes configurações pode-se dizer que

para os diferentes valores de freqüência fT utilizados no método de amortecimento

autolocal, o alcance ou distancia horizontal percorrida pela massa desde o início da

zona de deposição diminui significativamente para valores cada vez maiores de fT.

Por outro lado, ao reduzir a razão de rigidezes (KN/KT), o alcance tende a

aumentar para as razões menores num tempo de execução menor à configuração

patrão. No caso da influência do atrito tem-se que a menor ângulo de atrito, o alcance

tende a ser maior, mas para chegar ao repouso o processo é demorado.

Em quanto ao tipo de superfície, sob superfícies spline cúbicas linearizadas a

massa consegue um alcance maior em um tempo de execução significativamente

menor à configuração patrão.

Estas relações são essenciais para considerar em simulações de retroanálises

de casos reais ou em futuras aplicações na planificação territorial, pois o alcance das

corridas é o parâmetro mais importante e significativo destes fenômenos, assim como

a profundidade e velocidade.

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Respeito ao formato da superfície na zona de fluxo das corridas notou-se que

ao aumentar a freqüência fT a superfície tende a passar do fluxo Tipo 3 a Tipo 2,

segundo a classificação de Takahashi. Quando se reduz a razão de rigidezes

acontece o mesmo, mas neste caso as feições são mais marcadas do que com a

variação de freqüência para o caso de amortecimento local. Por outro lado, quando

se reduz o atrito, a tendência neste caso é passar da corrida Tipo 3 à Tipo 1.

No caso em que a superfície de escoamento é uma curva spline linearizada a

corrida se classifica claramente como Tipo 1 . Mas quando o tamanho de partículas

não é constante se acontece um melhor acomodo delas quando em movimento,

então a corrida pela feição da superfície é classificada como Tipo 1.

FIGURA 5.4. Classificação do fluxo segundo o perfil de profundidade para algumas configurações. Perfil

(a) Tipo 2, (b) Tipo 2, (c) Tipo 2 e (d) Tipo 1.

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Mas como acontece na prática a classificação das corridas pelo perfil é difícil.

Alguns destas classificações complementaram-se com os valores de velocidade

seguindo os critérios dados na TABELA 2.7.

2. Segregação.

O fenômeno melhor representado e do qual não se tem muita referência é a

segregação que é precisamente o grande lance do DEM, assim como a dilatação

sem ter que recorrer a formulações nem alterações complexas nas relações básicas

do modelo numérico.

Estratificando a massa instável inicial em camadas coloridas observou-se a

segregação que se acontece nas primeiras camadas em contato com a superfície de

escoamento do mesmo jeito que se observou o processo de segregação com a

mudança de pendente como se mostra na FIGURA 5.6.

É importante notar que depois do movimento da massa é possível identificar

estratos seguindo o patrão da massa inicial como foi descrito na secção 2.2.4. Este

fato é de essencial importância para os geólogos e geógrafos para identificação e

estipulação das velocidades e movimentos internos da massa. Além disso, permite a

clara identificação das feições taxonômicas de uma corrida como se mostra na

FIGURA 5.6.(d).

Observou-se que para partículas de tamanho variado sobre superfície de

escoamento spline linearizada se produz o menor efeito de segregação das camadas.

Porém, para valores em aumento da freqüência fT o efeito diminui, pois parece que as

camadas são mais flexíveis (as partículas são mais amortecidas), evitando grandes

deslocamentos que causariam a segregação de algumas partículas.

3. Perfis de Velocidade

Os perfis de velocidade são usados como medidas qualitativas do

comportamento reológico da massa do fluxo, ainda que não exista uma relação clara

entre os parâmetros de entrada do modelo DEM e os modelos reológicos tradicionais.

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A experiência e limitação dos modelos reológicos deixam aberta a possibilidade

de procurar outras soluções. Neste caso o tamanho da partícula influi na precisão do

perfil, pois a menor raio mais proximidade ao caso do modelo contínuo, mas com a

limitante de alto custo em processamento computacional e tempo de execução.

Ao simular o fenômeno de segregação com este método é de esperar perfis

atípicos respeito aos prognosticados pelos modelos reológicos, pois algumas

partículas apresentam grandes deslocamentos verticais o revezamento como as

partículas das camadas em contato com os paramentos.

FIGURA 5.6- Perfis de velocidade característicos para a configuração patrão no ciclo 10000.

Também algumas partículas da superfície podem ir mais rápidas ou devagar

devido a que não estão em contato direto com outras partículas, como se mostra na

FIGURA 5.6. Observe-se que neste caso a velocidade parece ser uniforme como se

fosse fluxo uniforme ou laminar. Vendo o perfil da superfície da massa se confirma

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dito comportamento e mais por que a massa escoa numa superfície de pendente

constante.

Lembre-se que ditos perfis são medidas qualitativas do comportamento

reológico da massa em movimento. Para uma configuração obtiveram-se estes perfis

para cada perfil de profundidade e pela irregularidade do trajeto resultaram diversos

perfis de velocidade que variam o comportamento reológico da massa com o tempo.

O importante aqui é notar que se dispõe de uma ferramenta para conferir esse

comportamento qualitativamente sem ter que usar modelos complexos.

5.2 Exemplos de Aplicação

5.2.1. Exemplo com superfície irregular complexa

Aplicou-se o valor padrão dos parâmetros de entrada aplicado a uma superfície

irregular complexa (Ver FIGURA 5.7) para simular uma corrida. Durante a simulação

observaram-se os seguintes fatos:

• No trecho de ocorrência o fluxo adquiriu as máximas velocidades, sendo estas de

até 17 m/s.

• No patamar depositou-se a maioria do material, este tem gradiente nulo reduzindo

ao máximo a capacidade de transformar a energia potencial da massa em cinética,

fato que explicaria a sedimentação quase total do material. No processo de

deposição se conservam muito bem as feições das camadas (estratigrafia) e

quase não se apresenta segregação na massa.

• No seguinte trecho inicia-se um segundo processo de corrida, mas este é de

menor velocidade, maior segregação e menor espessura de fluxo até se acumular

um pouco deste material no início da zona de deposição. Neste caso, a

segregação é total e o material acumulado é misturado totalmente.

• O alcance na zona de deposição, a pesar de apresentar pouco material é

significativamente maior ao obtido no caso linear simples. Claro que a espessura

deste é pequena.

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FIGURA 5.7- Perfil irregular de exemplo na aplicação do programa SAND na simulação de uma corrida de detritos.

FIGURA 5.8- Perfis de profundidades para o exemplo de corrida detritos sobre uma superfície irregular

simulada com o programa SAND.

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FIGURA 5.9- Tipo de segregação nas distintas zonas de deposição da corrida.

Neste caso o fluxo é composto. Na primeira parte o fluxo é Tipo 3 pela sua alta

velocidade e o perfil de superfície profundidade e no seguinte processo é Tipo 1 pois

a velocidade neste processo é menor a 1 m/s e o perfil da superfície é muito uniforme

a pesar da massa estar totalmente segregada.

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5.2.2. Exemplo com redução repentina no coeficiente de atrito

Para este caso usaram-se duas configurações: uma vertical e outra simulando

uma encosta com patamares. Em ambas as configurações simulou-se um coeficiente

de atrito inicial de 0,7 que é repentinamente reduzido a 0,25 valores correspondentes

a 35° e 15° respectivamente.

FIGURA 5.10- Configurações da massa instável usadas na simulação de redução repentina do

coeficiente de atrito.

Em ambos os casos, as magnitudes de velocidades obtidos são muito baixas,

não superam 1 m/s para os diferentes valores de freqüência fT usados (50, 100, 300 e

600 Hz). Neste caso o fluxo pode ser classificado como Tipo 1 segundo a

classificação de Takahashi.

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Por outro lado, os perfis de profundidade gerados são muito uniformes em

ambos os casos. Isto é que a profundidade da corrida ao longo da superfície de

movimento tende a ser constante o que confere a classificação dada a estas corridas

segundo os critérios de Takahashi.

Uma característica distintiva entre ambos as configurações é o fato de que no

primeiro caso a segregação da massa é mais apreciável do que no segundo caso.

Isto se explica pela maior capacidade que tem o primeiro caso (perfil vertical) de

poder transformar energia potencial em energia cinética como se descreve no

apartado 2.2.5.1. respeito ao segundo caso (perfil com patamar). Esta transformação

permite maior movimento interno das partículas produzindo os efeitos de segregação.

Também, note-se que no primeiro caso nem todo o material chega a se

movimentar, mas no segundo a massa toda escorrega no fluxo. Isto deve-se

principalmente a que no primeiro caso a mesma massa confina o material das

camadas inferiores em maior magnitudes do que no segundo.

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5.3 Discussão de Resultados

Dos parâmetros de entrada do programa que podem ser correlacionados

qualitativamente com o comportamento reológico das corridas são a rigidez, o atrito e

o tipo de amortecimento.

Primeiramente, analisando a variação da rigidez normal (KN) mantendo uma

razão de rigidez constante (KN/KT = 1.0), valores inferiores a 105 N/m provocam o

colapso da massa sob o seu próprio peso. Para valores maiores, tem-se de diminuir a

fração de tempo crítica, pois o método diverge em determinado passo de tempo onde

as forças internas entre partículas são grandes provocando deslocamentos

exagerados destas.

Mas quando se varia a razão entre rigidezes, mantendo constante a rigidez

normal (KN= 105 N/m) e dentro do intervalo sugerido pelo Cundall [41] (ver equação

3.44.a) o método fica estável como este autor argumentou. Pode-se dizer que para o

maior valor desta razão (1.0) e o menor valor (2/3), a massa passa de um

comportamento viscoso a um menos viscoso ou plástico. Com os perfis de

profundidade e as magnitudes das velocidades máximas (3 m/s e 7 m/s

respectivamente) obtidas na zona de fluxo, seguindo a classificação de Takahashi

(ver seção 2.2.3) as corridas podem ser classificadas do Tipo 2 e 3 respectivamente.

Comparando com a tabela 2.4 as corridas são classificadas como fluxos

hiperconcentrados, dos quais as corridas de massa são uns deles.

Variando os valores para o atrito, o comportamento da massa pode-se

comparar mais com o comportamento de corrida de detrito ou lama. Os perfis de

profundidade e de velocidade para valores maiores a 0,1 produzem fluxos com

superfícies muito irregulares como os de Tipo 1 e Tipo 2, com velocidades menores

aos 2 m/s, e os fenômenos de segregação direta e inversa são muito característicos

na massa da corrida como se mostra nas figuras 5.5.a e 5.5.c. Por isso, considerando

as descrições dadas na seção 2.1.2, estas simulações estão correlacionadas com

corridas de detritos.

DBD



Para valores menores a 0,1 no atrito as superfícies geradas são mais uniformes

ou com uma tendência a serem lisas seguindo o contorno dos paramentos.

Apresenta-se um comportamento similar a um líquido, os efeitos de segregação

quase que são desprezíveis, as velocidades na zona de fluxo chegaram a valores

muito altos como 11 m/s e apresentaram um alcance na zona de deposição maior às

simulações com valores maiores a 0,1. Estas simulações aqui podem ser

classificadas como do Tipo 3 da classificação de Takahashi e podem ser

considerados como fluxos de lama segundo as descrições da seção 2.1.2.

Mas com tudo isto, o parâmetro que mais modifica o comportamento da massa

é o tipo de mecanismo de amortecimento escolhido. Neste caso do tipo global

caracterizado pela freqüência fT. Para valores maiores aos 300 Hz, os perfis de

profundidade e de velocidade são típicos de massas viscosas a fluidas como o efeito

que produz a variação da razão de rigidez, mas neste caso as velocidades são muito

maiores entre 5 e 8 m/s. Os perfis podem ser identificados como de Tipo 2 e Tipo 3.

O alcance na zona de deposição destes é maior do que a produzida com valores de

atrito menores a 0,1. Os efeitos de segregação não são tão desprezíveis, são mais

visíveis do que no caso de valores menores a 0,1 de atrito.

No caso dos valores menores de freqüência, os perfis mudam caracterizando a

uma massa menos fluida, mais plástica. Os perfis neste caso são típicos das corridas

Tipo 1. Os efeitos de segregação são muito marcados dentro da massa em

movimentação quantos os produzidos com valores maiores a 0,1 de atrito. As

velocidades são baixas respeito ao caso anterior não passam de 1 m/s.

Nos casos anteriores, as revisões dos perfis de profundidade e de velocidade

foram feitos para o caso de paramentos lineares e de spline cúbica linearizada assim

como para partículas de igual raio quanto com variação de tamanho. Para a maioria

dos casos, foi necessário usar o perfil de spline cúbica linearizado com partículas de

tamanho variado para poder identificar melhor os tipos de corridas, pois nos outros

casos a mudança brusca no gradiente entre paramentos adjacentes afetava a feição

dos perfis de superfície de forma irregular. Então o uso de superfícies curvas

linearizada permitiu a identificação adequada das corridas e melhores simulações dos

mecanismos relacionados com corridas de massa.

DBD


CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

6.1 Conclusões

Uma vez provadas as rotinas implementadas e depois de se obter resultados

para alguns casos específicos, pode-se dizer que a metodologia do DEM é idônea

para a simulação de corridas de detritos. Este método permite simular algumas

feições físicas das corridas de maneira simples e sem muito cálculo numérico

complexo como é requerido em outras metodologias numéricas. A parte visual joga

um papel muito importante neste ponto, pois ao partir do conceito de partícula

fundamental o fenômeno deixa de ser visto de forma generalizada e podem-se

apreciar algumas irregularidades que outros métodos não permitem como a

segregação da massa, o efeito de fluidificação, o comportamento do material

superficial nas mudanças bruscas de pendente assim como os movimentos relativos

de um grupo de partículas respeito a outro. Nisto, diz-se que o método é considerado

eficaz, pois com um algoritmo regido por leis físicas simples consegue-se simular

feições de grande importância no estudo de corridas de detritos a um custo numérico

relativamente baixo. Mas também neste ponto poderia ser mais eficiente respeito a

outras metodologias numéricas que precisariam de programações complexas para

conseguir realizar ditas simulações.

Por outro lado, os parâmetros de entrada do método não são variáveis

complexas, mas podem apresentar confusão pelo fato de serem variáveis tomadas

de modelos físicos simples muito utilizados em outras áreas da Engenharia e que

neste caso, só têm significado para a convergência e estabilidade numérica do

método. Isto faz que a calibração do modelo possa ser complicada e demorada em

tempo de programação quanto de execução. Faltam maiores referencias

bibliográficas sobre intervalos de magnitude válidos para ditas variáveis (atrito, rigidez,

freqüência, coeficiente de amortecimento, entre outras).

DBD


Capítulo 6: Conclusões e Recomendações 127

Em especial, faltam correlações com variáveis do comportamento reológico

(viscosidade principalmente) que é a metodologia mais estudada, aplicada e aceita

para a simulação deste tipo de fenômenos físicos seguindo filosofias para médios

contínuos e cujos resultados têm sido de grande difusão científica.

Porém, deve advertir-se que segundo os perfis de velocidades aqui obtidos

(Vede FIGURA 5.5 e 5.6), a solução numérica proposta pela metodologia DEM pode

entrar encontra posição com alguns dos supostos básicos dos modelos reológicos

tradicionais. Como por exemplo, o fato a existência do fenômeno de segregação

interna da massa móvel e a possibilidade de revezamento das partículas pelo qual

poderia não ser válida uma comparação quantitativa entre os parâmetros de um

método e o outro. Por outro lado, os modelos reológicos usam parâmetros

diretamente associados a propriedades do material em quanto no DEM são só

variáveis do modelo numérico.

Ainda com tudo isso, a aplicação neste trabalho do método do DEM

demonstrou ser muito efetivo na simulação física das corridas para qualquer tipo de

superfície de escoamento. Mas neste ponto, a implementação de superfícies

linearizadas a partir de curvas spline cúbicas facilitou a idoneidade deste tipo de

superfície no método ao produzir resultados mais concordantes com as descrições de

campo e teóricas como as mencionadas por Lorenzini [7] e Cheng [9]

independentemente dos parâmetros de entrada utilizados. Com o programa original

ao tentar aumentar o número de paramentos impactou negativamente no tempo de

execução, pelo qual se programou uma rotina simples para reduzir dito impacto.

Respeito ao estado original do programa SAND, pode-se dizer que este foi otimizado

de certa forma, pois a rotina de procura de contatos reduziu quase em um terço o

tempo de execução inicial e de vez permitiu ampliar o trecho de aplicação deste até

agora conseguido na PUC-Rio.

Simulações pequenas e controladas permitiram avaliar as bondades dos

parâmetros de entrada principalmente na simulação de feições físicas (profundidade,

segregação) e cinemáticas (deslocamentos e velocidades). As principais variáveis do

modelo como rigidez normal e tangencial, coeficientes de amortecimento, atrito e

DBD



parâmetros de amortecimento autolocal e global mostraram serem influentes segundo

o tipo de feição a ser simulada.

Dentre elas a de maior importância é a fração do tempo crítico que leva

rapidamente à estabilidade ou instabilidade o modelo. Neste ponto parece existir uma

contradição técnica do método, pois para frações pequenas o método parece ficar

mais estável e de vez aumenta significativamente o tempo de execução. Por isso

recorre-se ao uso de algoritmos mais eficientes na procura de contatos. As outras

variáveis têm as suas limitantes, mas algumas delas podem ser controladas variando

dita fração de tempo. Este fato já tinha sido relatado pelo próprio Cundall [41], [44], [45].

De forma geral, observou-se que a variação de alguns parâmetros parecia

reproduzir algumas feições feitas pela variação de outros parâmetros. Entre eles cabe

mencionar que a variação da razão de rigidezes apresentou tendências similares às

produzidas pela variação proporcional inversa da freqüência fT ou à variação

proporcional direta do atrito, principalmente no tipo de superfície da massa móvel e

depositada, assim como as feições de segregação Porém, cada uma destas

configurações proporciona uma variação de velocidades distinta como era de esperar,

pois como já se mencionou a velocidade está ligada ao comportamento reológico.

Então se conclui que existe uma relação, ao menos qualitativa entre os parâmetros

reológicos e do modelo DEM. Esta relação deve ser estudada, não é fácil, mas

ajudaria a resolver algumas incongruências entre ambas as metodologias.

Por outro lado, as simulações mostraram o uso relevante do amortecimento

autolocal do que o autoglobal. Ainda este último seja parametricamente mais simples

do que o primeiro, durante a simulação este produziu inconveniências na simulação

(deslocamentos descontrolados em algumas partículas), cuja solução impactou

diretamente no tempo de execução do programa (como diminuir o valor da fração de

tempo crítico), fazendo pouco efetivo o uso deste tipo de amortecimento para a esta

simulação.

Então, diz-se que as rotinas implementadas ao programa original mostraram

aumento na eficiência e eficácia deste relativamente. Ainda que fique claro que

quando se aumenta o número de partículas e paramentos em demasia estas já não

DBD



seriam tão eficientes, pois na bibliografia consultada como Müller [24], Ferrez [56],

Munjiza [57], Nezami [58] e Schaller [59], fazem-se referência a outros métodos de

procura de contatos e geração de malha de partículas mais eficientes e até simulando

condições reais para grandes sistemas. Mas para chegar a este ponto precisa-se alta

destreza na programação e computadores de alta tecnologia como para reduzir

significativamente a sobrecarga de memória e o tempo de execução das simulações.

Também cabe aclarar que esta é uma limitação geral da metodologia DEM. Para

pensar em maiores aplicações a paralelização de processos e triangulação dinâmica

são as referências mais citadas.

Por experiência do autor deste trabalho no uso de sistemas de informação

geográfica e gestão de riscos, este considera possível e de grande idoneidade a

implementação deste programa dentro de uma metodologia conjunta de

planejamento urbano tradicional para delimitação de zonas de alto e baixo risco

contra este tipo de fenômenos naturais e ouros similares. Pois o parâmetro simulado

mais importante é o alcance da corrida na planície de deposição que é calculado com

grande facilidade sem grande número de cálculos complexos, nada que não possa

ser implementado nas rotinas de um sistema georeferenciado.

6.2 Recomendações e propostas para futuros trabalhos

O programa atual está ainda em etapa de desenvolvimento pelo qual suas

aplicações práticas podem ser ainda muito limitadas.

Existem algumas limitações na parte do uso geral do programa como para

pensar num uso generalizado do método. A interface de entrada de dados não é

muito versátil para um usuário não familiarizado na linguagem LUA 5.0, pois de

preferência qualquer usuário está mais familiarizado com o ambiente WINDOW.

Por outro lado, o programa atualmente no conta com um manual o espécie de

livro de ocorrências onde sejam descritas as modificações feitas. Isto facilitaria a

introdução de melhores efetivas, pois no presente trabalhos se deram por certas

algumas rotinas que logo depois com as primeiras simulações tiveram de serem

DBD



revisadas e corrigidas. Assim que este trabalho inicia este tipo de descrições para um

futuro trabalho mais detalhado do programa.

Seria importante procurar uma base de dados reais sobre ocorrências e

descrições de eventos ocorridos para calibrar o modelo, mas antes disto recomenda-

se fazer algumas melhoras antes de iniciar esta etapa.

Primeiro, deve trabalhar-se na programação do algoritmo de triangulação

dinâmica para o caso bidimensional. Pois vendo as referências consultadas, estas

apontam este método como o mais efetivo pelo momento disponível. Depois é

preciso adaptar do modelo de Cundall para o caso tridimensional junto com a

triangulação dinâmica. Que no caso de estarem ambas as rotinas disponíveis para o

caso 2D é mais fácil adaptar a estas novas condições. Simultaneamente deve

trabalhar-se no uso de interpolação de superfícies de terreno 3D para facilitar o seu

uso nas rotinas anteriores. Pero estas rotinas são usadas em outras áreas assim que

sua programação pode resultar trivial.

Outro ponto para trabalhar fortemente é a saída gráfica 3D e a geração da

malha inicial da massa instável, os processos de sedimentação e densificação em 3D

podem resultar muito demorados pelo aumento de cálculos e contatos numa partícula.

Associado a estas adaptações está implícito o uso de alta tecnologia pelo que é

requerido também certo investimento nada baixo em equipamento com

características especiais como rede para paralelização de processos. Com estas

adaptações pode-se pensar em calibrações com eventos reais ou simulações a

escala.

Fica aberta a aplicação para simulação de quedas de rochas e uso de outro

formato geométrico de partículas (elípticas, paralelepípedos ou grumos de partículas).

DBD


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DBD


ANEXOS

DBD


138

ANEXO I: Classificação de Varnes para movimentos de massa (1978)

TIPO DE MATERIAL Material altamente

intemperizado TIPO DE MOVIMENTO Maciços

Rochosos Detritos Solo

QUEDAS

Queda de detritos Queda de solo

TOMBAMENTOS

DESLOCAMENTOS LATERAIS

Rotacional*

DES

LIZA

MEN

TOS

Translacional

Avalanches Avalanche de Rochas

Rápidos Fluxo de rochas

FLUXOS

Lentos

Rastejo profundo Rastejo Superficial

COMPLEXOS Combinação de dois ou mais dos movimentos anteriores.

* No caso de rochas, este tipo de movimento se apresenta devido ao intenso fraturamento do maciço pelo qual pode se comportar como solo para efeitos de desenvolvimento de uma superfície curva de ruptura.

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139

ANEXO II: Diagramas de algumas classificações dos fluxos de detritos

A. Classificação de Lowe (1979) [10]

B. Classificação de Beverage e Culbertson (1979) [10].

C. Classificação de Davies (1988) [9]

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140

D. Classificação de Coussot (1996) [11].

E. Classificação reológica proposta por Iverson (2001) [10].

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141

ANEXO III: Descrição dos modelos reológicos mais usados na modelagem do movimento das corridas de massa [7], [9], [12].

Modelo Friccionário (Mohr-Coulomb)

Equação Reológica ( )φστ tan+= cy

Tensões dominantes Atrito entre partículas, pois estas viajam muito juntas uma das outras.

Conveniência Regime plástico, quase-estático sob baixos gradientes de velocidades (baixa deformação). 0.51 ≤ CV ≤ 0.56

Característica da velocidade

- τ é independente da velocidade. - Efeitos desprezíveis dos esforços dinâmicos e do fluido intersticial.

-Não é adequado para fluxos de detrito.

Modelo Colisionar (Bagnold)

Equação Reológica 2

=

dyduατ

Tensões dominantes Colisões entre partículas e forças dispersivas

Conveniência

Regime inercial (totalmente dinâmico), fluxo granular a altos gradientes de velocidades (deformação rápida) e partículas espacejadas.


Distribuição da velocidade:

( )

−−

⋅= 2

323

32 yhh

sengu m

αθρ

Velocidade superficial: 23

32 h

sengu ms ⋅

⋅=

αθρ

Velocidade Meia:

suU53__

=

Velocidade relativa à da superfície: 23

1

−=

−hy

uuu

s

s

- Proposto em 1954. - α é função da viscosidade (µ), dimensões, tamanho e concentração

DBD


142

de partículas sólidas e ângulo de atrito interno. - Também conhecido como modelo dilatante ou dispersivo.

Modelo Friccionário - Colisionar (Johnson)

Equação Reológica 2

+=

dydu

y αττ

Tensões dominantes Colisões e atrito entre partículas Conveniência Regime inercial misto, fluxo granular.



( )

−−

⋅= 2

323

32 yHH

sengu m

αθρ 0 ≤ y ≤ H

θρτseng

hHm

y

⋅−=

Velocidade superficial: 23

32 H

sengu ms ⋅

⋅=

αθρ H ≤ y ≤ h

Velocidade Meia:

suhHU

⋅−=521

__


1

−=

−Hy

uuu

s

s 0 ≤ y ≤ H

- Proposto em 1970. - τy e α são constantes.

Modelo Macroviscoso

Equação Reológica dydu

mµτ =

Tensões dominantes viscosas

Conveniência Regime viscoso; fluxo newtoniano de baixa concentração Cv ≤ 0.09.



−

⋅=

223

2

21hy

hysengh

um

m

µθρ

Velocidade superficial:

m

ms

senghu

µθρ

2

2

=

Velocidade Meia:

suU32__

=

DBD


143


1

−=

−hy

uuu

s

s

- µm é viscosidade aparente, 2.25λ1.5µw (Bagnold) ou 5,25.41−

⋅+ Vw

m CKπµ

µ

(Chu) com K = 2,5 para esferas rígidas.

Modelo Viscoplástico (Bingham)

Equação Reológica dydu

By µττ += τ > τy

Tensões dominantes Coesão entre partículas e viscosas.

Conveniência Regime viscoso com alta concentração de sólidos.



−

⋅=

223

2

21Hy

HysengH

uB

m

µθρ 0 ≤ y ≤ H

θρτseng

hHm

y

⋅−=

Velocidade superficial:

B

ms

sengHu

µθρ

2

2

= H ≤ y ≤ h

Velocidade Meia:

suhHU

⋅−=311

__


1

−=

−Hy

uuu

s

s 0 ≤ y ≤ H

- Aplicável para partículas sólidas pequenas (argila, silt).

Modelo Viscoplástico Colisionar (Chen)

Equação Reológica

η

µφφτ

++=

dydupsenc 1cos

η

µσ

+−=

dydup 2

Tensões dominantes Atrito e colisões entre partículas e viscosas.

Conveniência Regime em suspensão; fluxo de detritos (fluxo de alta concentração)



−−

+

=

++ η

ηηη

µθρ

ηη

11

1

1*

111 H

ysengHu 0 ≤ y ≤ H

DBD


144

θρτseng

hHm

y

⋅−=

m

sen

sen

ρφ

µµ

θφ

ρ

+

−=

1

2

*

1

tan1

Velocidade superficial: ηη

µθρ

ηη

1

1

1*

1

+

=+ sengHus H ≤ y ≤ h

Velocidade Meia:

suhHU

⋅

+−=

121

__

ηη

Velocidade relativa à da superfície: ηη 1

1+

−=

−Hy

uuu

s

s 0 ≤ y ≤ H

- Modelo Viscoplástico Generalizado (MVG) de Chen (1988). - µ1 e µ2 índices de consistência constantes. - η índice característico de fluxo 1.0 -2.0

DBD


145

ANEXO IV: Método tridimensional de Elementos Discretos de Cundall (1988)

Cundall [44], [45] propôs a extensão de seu método para três dimensões. Neste

caso, o autor desenvolveu o método para blocos como uma aplicação na mecânica

das rochas. As principais diferenças deste método respeito ao desenvolvido para 2D

é que a velocidade angular deixa de ser um escalar e sim um vetor que segue o

Teorema de Euler para rotações em 3D [54] . Além de que o contato das esferas é

uma área; AC (não maior ao 1% da área superficial média das esferas). Um outro

aspecto de consideração nos cálculos é o fato de que somente o vetor normal n é

conhecido enquanto que o vetor tangencial t não. O modelo de contato utilizado é o

mesmo da seção 3.1.2.3. Assim, aplicando as modificações respectivas para

elementos esféricos, o método de Cundall para 3D é:

FIGURA IV.a. Notação usada nas equações do DEM-3D.

A velocidade das esferas em contato vem dada por:

( )izyxi rrrr &&&& ,,= (iv.1.a)

( )izyxi ωωωω ,,= (iv.1.b)

No ponto médio de contato das esferas, a velocidade relativa média v deste

é dada por:

DBD


146

( ) ( ) nRRrrv ˆ221121 ×+−−= ωω&& (iv.2)

A força normal no plano normal definido na área de contato AC é:

( ) nnvCKF NNNN ˆˆ ⋅⋅−⋅−= δδr

(iv.3)

Com:

( ) dtnvN ⋅⋅= ˆδ (iv.4)

Desta forma a força tangencial é:

( )TTTTS vCKF −⋅−= δδr

(iv.5)

Com:

( ) ( ) nRRnnvvvT ˆˆˆ 2211 ×++⋅⋅−= ωω (iv.6)

e:

dtvTT ⋅=δ (iv.7)

Assim, considerando a força de cisalhamento seguindo a Lei de Coulomb, se:

TFr

> CN AcF ⋅+φtanr

(iv.8)

Então:

TFr

=( )

T

TCN F

FAcF

rr

⋅⋅+⋅ φtan (iv.9)

Finalmente, o somatório das forças e momentos devido a todos os contatos é:

( )∑ +=k

iTiNFFFrrr

(iv.10)

( )∑ ×⋅=k

iTExterno FnRMr)

(iv.11.a)

[ ] [ ] [ ] [ ]HIHMInercial ×+⋅== ωω rr& (iv.11.b)

[ ] [ ]ωr⋅= IH (iv.11.c)

Que no caso de partículas esféricas, o segundo termo de (iv.11.c) é nulo, pelo

que o caso 3D se reduz ao caso 2D. Por outro lado, as equações do movimento,

considerando o Teorema de Amortecimento de Rayleigh, para uma esfera são

dadas por:

DBD


147

iiii gmF

rr +=+ &&& α 3,2,1=∀i (iv.12.a)

i

iii

IM

=+ ωαω& 3,2,1=∀i (iv.12.b)

Onde os termos não-lineares foram desprezados a causa da análise quase-

estático no espaço de tempo dt. Deste jeito, a solução é similar ao caso 2D.

Partindo de:

( )dtti

dttii

t rrr 21

21

21

+− += &&& (iv.13.a)

( )dtti

dtti

ti

21

21

21

+− += ωωω (iv.13.b)

( )dtti

dtti

ti rr

dtr 2

12

11

+− += &&&& (iv.14.a)

( )dtti

dtti

ti

dt 21

21

1+− += ωωω&

(iv.14.b)

A solução das equações (iv.11) é:

[ ]

+

++

−

=∑−

+

21

212

1

21

dt

dtgmdtFdtr

ri

tiidtt

i

dtti

α

α&

&

(iv.15.a)

[ ]

+

+

−

=∑−

+

21

212

1

21

dtIdtMdt

itiidtt

i

dtti

α

αωω

(iv.15.b)

Finalmente, a atualização dos deslocamentos da esfera vem dados por:

dtrrr dtti

ti

dtti ⋅+= ++ 2

1&δδ (iv.16.a)

dtdtti

ti

dtti ⋅+= ++ 2

1ωδθδθ (iv.16.b)

Onde se reconhece o vetor de deslocamento do centro das esferas:

( )ii zyxr ,,=δ (iv.17.a)

( ) ( )iizyxi γϕψθθθδθ ,,,, == (iv.17.b)

DBD


148

Este último vetor corresponde aos ângulos do teorema de rotação de Euler.

Estes ângulos devem ser atualizados pela correção descrita na equação (3.39) no

Capítulo 3:

( ) iiiii sen δθθθδθθ ⋅−=+ coscos 3,2,1=∀i (iv.18.a)

( ) iiiii sensen δθθθδθθ ⋅−=+ cos 3,2,1=∀i (iv.18.b)

Agora, a relação entre coordenadas globais e locais não é tão simples quanto

no caso 2D. Partindo que a rotação de cada eixo global (x,y,z) é no sentido horário,

obtêm-se as matrizes de rotação (matrizes de rotação de Euler) dadas por:

ψψψψψ

cos0cos0

001

,

sensenRx

−=

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

cos0010

0cos

,

sen

senRy

−=

1000cos0cos

, ψγγγ

γ sensen

Rz −=

(iv.19)

A combinação destas matrizes produz rotações diversas do corpo, mas a

mais utilizada nas modelações gráficas em 3D é dada pela ordem Rz,γ·Rx,ψ·Ry,ϕ.

Assim, as coordenadas locais vêem dadas por:

=

⋅⋅=

zyx

RRRttn

yxz ϕψγ ,,,

3

2

ˆ

(iv.20)

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅

zyx

sensensensensensensensensensensensensensensen

ϕψγϕψϕψγϕγϕγϕψγϕγϕψγϕγϕγϕψγϕγ

coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos

Onde ),(ˆ 21 ttt = . Estes vetores estão contidos no plano comum de contato

como se observa na FIGURA IV.a.

DBD


149

ANEXO V: Algoritmo de curvas bidimensionais spline cúbicas [54]

Sabendo da existência de um conjunto de pontos x0,y0; x1, y1 ....xn, yn; então

se diz que existe um conjunto de funções SP(x) contendo uma função típica

interpolante cúbica Sn3(x) para cada intervalo [xj, x j+1] para j=0, 1, ..., n-1; com as

seguintes características:

1. ( ) ( ) ( ) jjjj yxfxSxS === 33 ∀ j = 0, 1,..., n.

2. ( ) ( )13

13

1 +++ = jjjj xSxS ∀ j = 0, 1,..., n-2.

3. ( ) ( )13

13

1 +++ ∂=∂ jjxjjx xSxS ∀ j = 0, 1,..., n-2.

4. ( ) ( )132

13

12

+++ ∂=∂ jjxjjx xSxS ∀ j = 0, 1,..., n-2.

E deve-se satisfazer algum das seguintes condições de contorno:

5. ( ) ( ) 0320

32 =∂=∂ nxx xSxS (Condição de Contorno Natural)

6. ( ) 003 fxS xx ∂=∂ e ( ) nxnx fxS ∂=∂ 3 (Condição de Contorno Fixa)

A condição (1) e (2) garante a interpolação dos pontos contidos em cada

intervalo. A condição (3) garante uma transição suave das funções entre intervalos e

a (4) garante continuidade de ordem dois para polinômios cúbicos. Sabendo que

dito polinômio é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )323jjjjjjjj xxdxxcxxbaxS −+−+−+= ∀ j= 0, 1,..., n-1. (v.1)

O sistema de algébrico a ser resolvido é de 4n incógnitas (coeficientes do

polinômio dos n pontos) contra:

• n+1 equações dadas por a condição (1).

• n-1 equações dadas por a condição (2).



• 2 condições de contorno dadas por (5) ou (6).

Aplicando as condições anteriores na equação (v.1), tem-se que aplicando (1)

e (2):

( ) ( ) jjjjj yxfaxS ===3 ∀ j= 0, 1,..., n-1. (v.2)

DBD


150

Então:

( ) ( ) ( ) ( )312

111111 jjjjjjjjjjjjjj xxdxxcxxbaxSSa −+−+−+=== +++++++

j= 0, 1,..., n-2. (v.3.a)

Tomando jjj xxh −= +1 j=0, 1, ..., n-1.

( ) ( )321 jjjjjjjj hdhchbaa +++=+ j=0, 1,..., n-1. (v.3.b)

Agora, aplicando (3):

( ) jjjx bxS =∂ (v.4.a)

21 3 jjjjjj hdhcbb ++=+ (v.4.b)

Finalmente, aplicando (4):

( ) ( )2

22

2 jjxjjjjx

xSccxS

∂=⇒=∂ (v.5.a)

jjjj hdcc 31 +=+ (v.5.b)

Tomando dj de (v.5.b) e substituindo em (v.4.b) e (v.3.b), tem-se que:

( )1

2

1 23 ++ +++= jjj

jjjj cch

hbaa j=0, 1,..., n-1. (v.6)

( )11 ++ ++= jjjjj cchbb (v.7)

Tomando ambas as equações para resolver para bj:

( ) ( )11 23

1++ +−−= jj

jjj

jj cc

haa

hb (v.8.a)

( ) ( )jjj

jjj

j cch

aah

b +−−=∴ −−

−−

− 11

11

1 23

1 (v.8.b)

Substituindo as equações (v.8.a) e (v.8.b) em (v.7), obtém-se:

( ) ( ) ( )11

11111332 −−

++−−− −−−=+++ jjj

jjj

jjjjjjj aah

aah

chchhch (v.9)

Aqui são conhecidos os hj e aj com os quais se podem conhecer os

coeficientes { }noj

c . Depois usando (v.8.a) serão conhecidos os coeficientes { }nojb e

DBD


151

com (v.5.b) os valores de { }nojd . Além, considerando as condições de contorno tem-

se que:

( ) ( ) 0320

32 =∂=∂ nxx xSxS 0=∴ nc e 00 =c (v.10.a)

ou

( ) 003 fxS xx ∂=∂ e ( ) nxnx fxS ∂=∂ 3

( )11

33 −−

−−∂⋅=∴ nnn

nxn aah

fc e ( ) 0010

0 33 faah

c x∂⋅−−= (v.10.b)

Desta forma, o sistema a resolver como bxA = , onde seguindo (v.10.a):

( )( )

( )

+

++

=

−−−−

1000002000

00000200002000001

1122

2211

1100

nnnn hhhh

hhhhhhhh

AOOO

=

nc

ccc

x

M

M2

1

0

( ) ( )

( ) ( )

−−−

−−−

=

−−−

−−

0

33

330

212

11

010

121

nnn

nnn

aah

aah

aah

aah

bM

M (v.11)

E para (v.10.b):

( )( )

( )

+

++

=

−−

−−−−

11

1122

2211

1100

00

200002000

0000020000200002

nn

nnnn

hhhhhh

hhhhhhhh

hh

AOOO

=

nc

ccc

x

M

M2

1

0

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

−−∂⋅

−−−

−−−

∂⋅−−

=

−−

−−−

−−

11

212

11

010

121

0010

33

33

33

33

nnn

nx

nnn

nnn

x

aah

f

aah

aah

aah

aah

faah

bM

M(v.12)

Assim, o sistema pode ser resolvido com qualquer método para matrizes

diagonais.

DBD


152

ANEXO VI: Algoritmos de detecção de contatos

O maior problema do DEM é a eficiência do algoritmo de detecção de contatos

entre as partículas. Este problema é tratado usualmente como de duas etapas:

reconhecimento de potenciais partículas de contato e identificação dos pontos dos

contatos.

As técnicas mais usadas se baseiam nos critérios da cela adjacente, da

partícula mais próxima ou recentemente da triangulação dinâmica.

FIGURA VI.a. Técnicas de detecção de contatos para elementos discretos [54].

Do primeiro esquema da FIGURA VI.a, para um arranjo de N partículas implica

N(N-1)/2 iterações para identificar potenciais contatos, pelo qual não é uma técnica

atrativa para problemas dinâmicos e grande quantidade de partículas.

Os esquemas de celas adjuntas (malha espacial, fina ou grossa) se baseiam na

duplicidade das listas das partículas contidas em cada cela [57]. Conferindo os

potenciais contatos entre partículas pertencentes à mesma cela e celas adjuntas. Entre

estes esquemas, o mapeamento direto de partículas é o mais básico (Vede FIGURA

VI.b), na qual se requerem n iterações na procura de contatos.

DBD


153

FIGURA VI.b. Esquema da técnica da cela adjunta.

Por outro lado, as técnicas de partículas mais próximas ou cutoff, pode ser

mediante um raio de influência ou um quadrilátero. Neste esquema, cada partícula tem

uma lista para as outras partículas e somente aquelas que estejam dentro desta área

têm valores não nulos. Mas também, as partículas que ficam dentro de dita área são

atualizadas a cada passo de tempo pelo que cada partícula registra todas as partículas

que passaram por sua área de influência [58]. Esta técnica não é recomendada para

grande número de partículas. São necessárias n·log n iterações na procura.

FIGURA VI.c. Esquema da

técnica da partícula mais próxima ou cutoff.

O esquema de Quadtree é um sistema binário de procura ao igual que os

anteriores, mas neste esquema precisam-se N·log N iterações.

Atualmente, novos algoritmos estão sendo desenvolvidos para melhorar o tempo e

memória de armazenamento dos contatos nos programas de DEM.

DBD


154

A técnica de triangulação dinâmica reduz as iterações de n(n-1)/2 a 3n para um

arranjo de n partículas, convertendo-se na técnica mais eficiente até agora

desenvolvida para o caso bidimensional [24]. Esta também é conhecida como

triangulação dinâmica de Delauny [57].

Müller (1996) [24] apresenta um trabalho extensivo sobre esta técnica e adverte

que a aplicação tridimensional da técnica é interessante, mas apresenta uma

programação tediosa e requer ferramentas matemáticas e computacionais potentes,

com as quais muitos modelos de interação entre partículas não seriam aplicáveis neste

caso.

FIGURA VI.d. Técnica de Triangulação dinâmica de Delauny.

Estes métodos aqui descritos aplicam para partículas disco ou esféricas. Para

outro tipo de geometria, os métodos viram mais complexos e de difícil programação [60],

[61], pois a este nível o problema vira mais uma encrenca da lógica computacional

(programação dinâmica, gráficos tridimensionais, etc.) do que problema físico (modelo

de contato, modelo reológico, etc.).

DBD


Luis Alonso Salas Alvarado Simulação bidimensional de ... amiga Ana Roxo de quem estou eternamente...

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