M EIOS C OM PUTACIONAIS NO ENSINO - Universidade de …mat1131/Trabalhon4Liete.pdf · [ABC]. 6. ro...
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M
MEIONO
TRABA
Trabalho r
Mestrado
10 de Junh
OS C ENS
ALHO N
realizado p
no Ensino
ho de 2012
COMSINO
Nº 4
por Liete S
da Matem
2
MPUO
oares Mart
mática no E
UTAC
ta Salvador
nsino Bási
CION
r Inácio
ico e no Se
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I N D I C
Introduçã
Pontos no
Definição
Elementos
Classificaç
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Centros de
Cir
Inc
Ort
Bar
Recta de E
Conclusão
Referência
C E
o
táveis de u
de Triângu
s do Triâng
ção de triân
ção de triân
e um Triân
cuncentro
centro de um
tocentro de
ricentro de
Euler
o
as Bibliográ
um triângul
ulo
gulo
ngulos quan
ngulos quan
gulo
de um triân
m triângulo
e um triâng
e um triâng
áficas
lo
nto ao com
nto aos seu
ngulo
o
gulo
ulo
mprimento d
us ângulos
MEIOS
dos seus la
COMPUTA
dos
ACIONAIS NNO ENSINO
Página 1
O
I N T R O
Este trabaMatemáticpágina wetrabalho sautoria degeométricexploração
A primeirdesenvolv“Casa dasrelativame
Categoria
Pontos nDescritivoe incentroPoderá serPara ver ede utilidad
InteractivTempo: VCategorizTema: GeUnidade DPalavrasEnviado p
A geometcidadãos normalmepouco esp
O ensino dcálculos.
D U Ç Ã O
alho foi reaca. Consisteeb da "Casasejam criae J. Richtercas de grano de polied
a fase do tver, não fois Ciênciasente a tema
: Document
notáveis do : Estudo do) usando or manipulaeste objectodes.
vidade: AcVariável zado em: Dometria T Didáctica: Chave: Ma por: Erika B
ria e a mea que a eente deixadpaço à acção
da geometr
O
alizado no e na elabora das Ciêncidas ou nor – Gebertnde qualidadros.
trabalho, qi fácil cons”. Após uas relacion
tos/Matemá
e um triâdos pontoso Geogebra.ado pelos alo deverá te
tivo
DocumentoTriângulosVárias atematica, Bizarr
edida são descola, no da para os fo dos aluno
ria reduz‐s
âmbito daração de umias". Preten software t e U. H. Kade – ou no
que consistsiderando uma intensados com a
ática/3º Cicl
ângulo s notáveis d. lunos de for instalado
os/Matemás (8ºano)
duas áreasentanto,
finais dos aos na comp
se, tradicio
a disciplinam trabalho nde‐se aindCinderella
Kortenkampo software
iu na escoa panópliasa análisea matemáti
lo do EB
de um triân
orma autóno o Geogebr
ática/3º Ci
da Matemnão tem anos lectivoreensão do
nalmente,
MEIOS
a de Meiosescrito incda que toda– programp focado nPoly – pro
lha do tema de temase dos matica, acabei p
ngulo (baric
noma ou utira, que pod
iclo do EB
mática funddado a deos e tratados conceito
à aplicação
COMPUTA
s Computacorporandoas as ilustrama de Geona investigograma de
ma ou do as disponibilteriais dispor escolhe
centro, orto
ilizado peloderá encont
damentais evida atena a partir ds geométri
o de fórmu
ACIONAIS N
cionais no o um tema rações que cometria Digação de coGeometria
ssunto a ablizados na poníveis ner o seguin
ocentro, cir
o professortrara na no
para o dianção. A gedas definiçicos.
ulas e à rea
NO ENSINO
Página 2
Ensino daretirado daconstem nonâmica daonstruçõesa focado na
bordar e apágina daneste site,te:
rcuncentro
r na aula. ossa página
a‐a‐dia doseometria éões, dando
alização de
O
2
a a o a s a
a a ,
o
a
s é o
e
Na resoluapropriadprocessos
Os alunostarefas expeças poliutilização
Tanto os desenvolvcom a Mat
Neste meuBaricentro
Começo pde triângu
Todas as ipermitiu iNeste trab“Cinderellaexplorada
ução de prdo para rea e justificá‐
s devem rexploratóriasigonais enccompleme
recursos ver a intuiçtemática.
u trabalho o de um tri
or fazer umulos, concei
ilustrações interagir e balho as ila”, no casoas de forma
roblemas galizar exper‐los com rig
ecorrer a ss e de invcaixáveis eenta a abord
computacção geomét
resolvi desângulo, mu
ma revisão itos necessá
foram exeficar a conlustrações o efectivo a dinâmica,
geométricoriências, elgor progres
software destigação. e sólidos dedagem dinâ
cionais comtrica, a cap
senvolver ouitas vezes
sobre a deários para
cutadas nonhecer, umaparecem de utilizaçcom a utili
s, é imporlaborar estssivo.
e GeometrOs materiae enchimenâmica ao es
mo os moacidade de
os conceitoreferidos c
efinição de a introduçã
o software m pouco mecomo ima
ção em salização do s
MEIOS
rtante que tratégias, f
ria Dinâmicais manipunto em acrstudo da Ge
odelos geoe visualizaç
os de Circucomo os po
triângulo eão do tema
de geometelhor, as pagens retira de aula, oftware.
COMPUTA
os alunosformular co
ca, sobretuuláveis (porílico) conseometria.
ométricos ção e uma
uncentro, Inntos notáv
e uma refea escolhido.
ria dinâmicotencialidaradas de fias mesma
ACIONAIS N
s tenham onjecturas,
udo na reaor exemplostituem rec
concretos relação ma
ncentro, Orveis de um t
rência aos .
ca “Cindereades deste icheiros quas ilustraçõ
NO ENSINO
Página 3
um tempodescrever
alização deo, tangram,cursos cuja
permitemais afectiva
rtocentro etriângulo.
elementos
ella”. O queprograma.ue criei noões seriam
O
3
o r
e , a
m a
e
s
e . o m
P O N T O
• Triân
Figura pla
• Elem
Observand
‐ Os ponto
‐ Os segmtriângulo.
‐ Os ângucujos vértcontêm oângulos in
‐ Os ângulum dos ladlado adjac
• Class
Figura
O S N O T
ngulo
ana limitada
mentos do
do o triâng
os A, B e C s
entos de r
ulos internotices são osos lados dnternos:
∠ ABC
los externodos do triâcente.
Ângulo
sificação
3
Á V E I S
a por três s
o Triângu
ulo conseg
são os vérti
ecta AB, BC
os do triâns vértices ddo triângul
, ∠ACB e ∠
os são os ânângulo e pe
os α, β e γ.
de triâng
D E U M
segmentos
ulo
gue‐se ident
ces.
C e AC são
ngulo são do triângulolo. Assim
∠ BAC.
ngulos formlo prolonga
gulos qu
T R I Â N
de recta (a
tificar algu
os lados do
os ânguloo e os ladotemos trê
mados poramento do
uanto ao c
MEIOS
G U L O
a que se cha
ns dos seu
o
os os ês
comprim
α
Figu
Figura
COMPUTA
amam lado
s elemento
mento dos
ura 1
a 2
ACIONAIS N
s).
os:
s seus lad
β
NO ENSINO
Página 4
dos:
γ
O
4
‐ Triângu
‐ Triângu
‐ Triângu
• Class
‐ Triângu
‐ Triângu
‐ Triângu
• Cent
Dado um ttriângulo. possíveis triângulo.
Figura
lo Equiláte
ulo Isóscel
lo Escalen
sificação
lo Acutâng
lo Isóscele
lo Escalen
tros de um
triângulo eNo entanpara defin
a 4
ero: os lad
es: dois ladiferente
no: os três l
de triâng
gulo: tem t
es: tem um
no: tem um
m Triâng
equilátero, nto, quandir esse pon
os têm tod
dos com o e.
ados têm t
gulos qu
três ângulo
ângulo rec
ângulo obt
gulo:
é mais ou o o triângnto. De seg
os o mesm
mesmo co
odos comp
uanto aos
s agudos.
cto.
tuso.
menos intgulo não éguida, vere
MEIOS
o comprim
ompriment
primentos d
seus âng
uitivo o qué equiláteremos algum
COMPUTA
mento.
to e um lad
diferentes.
gulos:
ue se entenro, existemmas definiç
ACIONAIS N
do com com
nde pelo cem várias aões de cen
NO ENSINO
Página 5
mprimento
entro desseabordagensntro de um
O
5
o
e s m
Cir
O Circunce
Construçã
‐ Dado o os pontoslados do tr
‐ Pelos prectas segmentosrespectiva
‐ Essas ponto G, triângulo.
Como o cirentão é ocircunferê
No casocircuncenttriângulo
Ver figura
rcuncent
entro de um
o (ver figur
triângulo s médios driângulo, p
pontos E, Fperpend
s de rectaamente.
rectas intque é o
rcuncentroo centro dncia circun
de umtro (ponto [ABC].
a 6.
tro de um
m triângulo
ra 5):
[ABC] encde cada umontos E, F e
F e D traiculares a BC , AB
tersectam‐Circuncent
o do triângude uma cirnscrita de [A
m triânguG) encont
m triângul
o é o ponto
contrar m dos e D.
çar as aos
e AC,
se no tro do
ulo [ABC] ercunferêncABC].
lo acutânra‐se no in
lo
de intersec
está à mesmcia que pa
ngulo, o nterior do
Figura 5
MEIOS
cção das me
ma distânciassa pelos
COMPUTA
ediatrizes d
ia dos três vpontos A,
ACIONAIS N
dos seus la
vértices do, B e C, c
NO ENSINO
Página 6
ados.
o triângulo,chamada a
O
6
, a
No caso dtriângulo (
Quando selados do tfigura 8).
Inc
O Incentrodas bissec
Construçã
‐ Dado o dos ângulo
‐ As bisseque se des
Figura
de o triângu(ver figura
e trata de triângulo, q
centro de
o de um trictrizes dos
o (ver figur
triângulo os A, B e C.
ectrizes insigna por in
a 7
ulo ser obt7).
um triânguque coincid
e um triâ
iângulo é oseus ângul
ra 9):
[ABC] traç
ntersectam‐ncentro do
tusângulo o
ulo rectângde também
ângulo
o ponto de os internos
çar as bisse
‐se num ptriângulo.
o circuncen
gulo o circcom o diâ
intersecçãs.
ectrizes
ponto D
Figura 9
MEIOS
ntro (ponto
cuncentro (âmetro da c
ão
Figura
COMPUTA
o D) encon
(ponto M) circunferên
8
ACIONAIS N
ntra‐se no e
coincide concia circun
NO ENSINO
Página 7
exterior do
om um dosnscrita (ver
O
7
o
s r
Como o Incentro deinscrita (v
Construçã
‐ Pelo poperpendicintersecçãlados do tG.
‐ Estes pocircunscriIncentro.
Or
O Ortocen
A altura dforma a en
Construçã
‐ Por cad[ABC] tralado opost
‐ As rectasse designa
Important
ncentro de u uma circuver figura 1
o (ver figur
nto D (Incculares aosão de cada triângulo d
ontos pertta no triâ
rtocentro
tro de um t
de um triânncontrar o
o (ver figur
da um dosçar as rectto de cada v
s intersectaa por Ortoc
tes definiçõ
um triânguunferência 0)
ra 10):
centro) tras lados douma das r
definem os
tencem à cângulo cujo
o de um t
triângulo é
ngulo, é dalado opost
ra 11):
s vértices tas perpenvértice.
am‐se numcentro do tr
ões sobre o
ulo está à mtangente
açar as reco triângulorectas compontos E,
circunferêno centro é
riângulo
o ponto de
ada pelo seo ao vértice
do triângundiculares
m ponto G qriângulo.
o ortocentro
mesma distâaos lados
ctas o, a m os F e
ncia é o
e intersecçã
egmento dee, formand
ulo ao
que
o do triâng
F
Fig
MEIOS
ância dos trdo triângu
ão das suas
e recta, trado um ângu
ulo:
igura 10
gura 11
COMPUTA
rês lados dulo, chama
s três altura
açado a parlo recto.
ACIONAIS N
do triânguloada de circ
as.
rtir de um
NO ENSINO
Página 8
o, então é ocunferência
vértice de
O
8
o a
e
‐ No caspont
‐ No cacoinc
Figur
so de um trto da região
aso de umcide com o
a 13
riângulo aco interior d
m triângulovértice do
cutângulo odo triângulo
o rectânguângulo rec
o ortocentroo.
orttriâ
ulo o ortocto.
MEIOS
o é um
‐ No caso tocentro é uângulo.
centro
F
COMPUTA
de um triâum ponto
Figur
Figura 14
ACIONAIS N
ângulo obtuda região e
ra 12
NO ENSINO
Página 9
usângulo oexterior do
O
9
o o
Ba
O Baricent
A medianaponto méd
Construçã
‐ Dado o pontos E, F
‐ Unir cada
‐ O ponto d
O baricenttriângulo d
O baricent
aricentro
tro de um t
a de um triâdio do lado
o (ver figur
triângulo F e D.
a um dos p
de intersec
tro é o cende materia
tro divide c
Figura 1
o de um tr
triângulo é
ângulo, é dao oposto.
ra 15):
[ABC] enco
ontos enco
cção dessas
ntro de graal homogén
cada media
5
riângulo
o ponto de
ada pelo se
ontrar os p
ontrados (E
s rectas é o
vidade do eo pelo seu
ana na razã
GBDG
e intersecçã
egmento de
pontos mé
E, F e D) com
Baricentro
triângulo. u baricentr
o de 2:1 (T
GAFG
CGGE
MEIOS
ão das suas
e recta, que
dios de ca
m o vértice
o do triângu
Isto quer do, ele fica e
Teorema de
GE
21
COMPUTA
s medianas
e une um vé
ada um dos
e oposto.
ulo.
dizer que, sem equilíbr
Ceva).
ACIONAIS N
.
értice do tr
s lados do
se suspendrio.
NO ENSINO
Página 10
riângulo ao
triângulo,
dermos um
O
0
o
,
m
• Ap
Podemos [ABC]. Ent
igual a 12.
licação do
construir tão o triân
Figura 1
o Teorema
o triângulongulo [DEF
6
de Ceva
o [DEF], unF] é semelh
nindo os pante ao triâ
AC 2 EF
AB 2 DF
CB 2 DE
MEIOS
pontos médângulo [AB
COMPUTA
dios de cadC] com a r
ACIONAIS N
da lado dorazão de s
NO ENSINO
Página 11
o triânguloemelhança
O
o a
• Recta
Num triânno circuncque se inte
Estes trêsdesigna‐se
Figura 17
a de Eule
ngulo qualqcentro, ponersectam n
“centros” e por Recta
7
er
quer [ABC]nto G; as meno ortocent
dum triâna de Euler.
] desenhamedianas, qutro, ponto K
ngulo, pont
mos as medue se intersK.
os G, H e K
MEIOS
diatrizes deectam no b
K, são colin
COMPUTA
e cada ladobaricentro,
neares e a
ACIONAIS N
o, que se inponto H, e
recta que
NO ENSINO
Página 12
ntersectam as alturas,
os contém
O
2
m ,
m
C O N C L
A utilizaçMatemátic
As ferram
Deste modao fornectrabalhar resposta q
Trabalhanproprieda
Existem, dque permi
Como quado professpareçam professor.ser usadapromove a
A tecnologsobre os proporciopresença,
L U S Ã O
ção das teca e, em pa
entas tecno
do, a tecnoer um mecom progrque a tecno
ndo com uades das fig
disponíveisitem trabal
alquer outrsor, podenpoder trab. Pelo contr a tecnologa sua realiz
gia pode asobjectos
nadas pelocontribui p
cnologias rticular, ao
ológicas pe
logia enriqio de visuramas de geologia pode
um prograguras, pode
s na Internlhar proble
ro instrumendo ser usabalhar de rário, o seugia, mas tazação e o en
ssim constivisualiza
o softwarepara o dese
é hoje imo da geome
ermitem o a
quece a exteualizar noçeometria dproporcio
ma de geom ainda ex
net, pequenemas intere
ento de ensada de momodo indu papel é eambém na nvolviment
tuir um codos no ee, o que penvolvimen
mprescindívtria.
acesso a mo
ensão e a qões geoméinâmica, a nar.
ometria dixplorar rela
nos programessantes do
sino, a formdo adequaependenteessencial dselecção dto dos seus
ntexto parecrã e ospara alémnto da comu
MEIOS
vel quando
odelos visu
qualidade détricas sobaprendizag
inâmica, oações e form
mas interao ponto de v
ma como aado ou não com a teesde logo adas tarefass alunos.
a discussões efeitos do desen
unicação m
COMPUTA
o nos refe
uais podero
das investigbre diferengem dos al
s alunos pmular e tes
activos, desvista da geo
tecnologia. Embora, ecnologia, ao definir s que prop
es entre osdas divernvolvimentmatemática.
ACIONAIS N
rimos ao
osos.
gações em ntes perspeunos é aux
podem invtar conject
signados poometria.
a é utilizadpor vezes,esta não squando e cpõe e na fo
s alunos e orsas transo dos con.
NO ENSINO
Página 13
ensino da
geometria,ectivas. Aoxiliada pela
vestigar asturas.
or applets,
da depende os alunossubstitui ocomo deveorma como
o professorsformaçõesnceitos em
O
3
a
, o a
s
,
e s o e o
r s m
R E F E R Ê
Apontame
Universida
http://ww
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http://are
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http://ww
Ê N C I A S
entos de
ade de Coim
ww.casadas
ww.apm.pt/
ea.dgidc.mi
io.dgidc.mi
ww.cindere
S B I B L I O
Geometria
mbra, 2011
sciencias.or
/apm/revis
n‐edu.pt/m
n‐edu.pt/m
ella.de/tiki‐
O G R Á F
a, António
1
rg/
sta/educ67
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matematica
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I C A S
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7/Tecnolog
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a/Documen
MEIOS
ro, Depar
gias.pdf
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COMPUTA
rtamento
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de Matem
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NO ENSINO
Página 14
mática da
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