M etricas riemannianas de Einstein e as suas generaliza˘c~oes · 2019-04-08 · vetoriais e...

Metricas riemannianas de Einsteine as suas generalizacoes

Andrzej Derdzinski

The Ohio State University

Minicurso no Instituto de Matematica e Estatısticada Universidade de Sao Paulo (IME-USP)

Dias .., .., .. e .. de agosto de 201914h30 as 16h00

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ultima atualizacao: 2019/04/07

Andrzej Derdzinski Metricas de Einstein

PARTE I

VARIEDADES RIEMANNIANAS DE EINSTEIN

https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/beamer/variedades.pdf p.I–1


NOTACAO DE EINSTEIN

Para descrever tensores ou, mais geralmente, secoes de fibradosvetoriais e conexoes pelos seus componentes locais, usaremos anotacao de Einstein.

Ela consiste em omitir o sımbolo de somatorio e interpretar ındicesrepetidos no mesmo termo como indicador desse somatorio,exigindo tambem que estes ındices aparecam uma vez em cima euma vez em baixo.

Por exemplo, em um espaco vetorial n-dimensional, v = vaea e aexpressao do vetor v como combinacao linear da base e1, . . . , en.



OUTRAS CONVENCOES NOTACIONAIS

O espaco dual V ∗ do espaco vetorial real ou complexo ,Vconsiste de todos funcionais lineares V → IK, onde IK e o corpode escalares (IR ou C).

Cada base e1, . . . , en de V da origem a sua base dual e1, . . . , en

em V ∗, definida por ea(eb) = δab (o sımbolo delta de Kronecker,igual a 1 se a = b e a 0 se a 6= b). Em otras palavras,ea(v) = va para v ∈ V .

Quando ξ ∈ V , temos ξ = ξaea, onde ξa = ξ(ea) se chamam os

componentes de ξ em relacao a base e1, . . . , en. Claramente,ξ(v) = ξav

a para ξ ∈ V ∗ e v ∈ V .



PRODUTOS INTERNOS

Seja h : V × V → IR uma funcao bilinear sobre um espacovetorial real V de dimensao n. Os componentes de h em relacaoa base e1, . . . , en sao os numeros hab = h(ea, eb), formando umamatriz quadrada [hab] de ordem n. Obviamente,h(v ,w) = habv

awb para todos v ,w ∈ V .

Uma tal funcao h e dita um produto interno pseudoeuclidiano emV se ela e simetrica e nao-degenerada, isto e, seh(v ,w) = h(w , v) para todos v ,w ∈ V e o operador linearV → V ∗ atribuindo o funcional h(v , · ) ao vetor v ∈ V e umisomorfismo. Se h e positiva definida, ela se chama um produtointerno euclidiano.



BASES ORTONORMAIS

Seja V um espaco pseudoeuclidiano, isto e, um espaco vetorialreal de uma dimensao finita n munido do produto internopseudoeuclidiano fixo, denotado aqui por 〈 , 〉. A base e1, . . . , ende V e dita ortonormal se 〈ei , ej 〉 = 0 para i , j tais que i 6= j

〈ei , ei 〉 = εi para i = 1, . . . , n, onde εi ∈ 1,−1.

Por um subespaco do tipo tempo ou do tipo espaco ou do tipo luzem V entende-se um subespaco vetorial V ′ de V tal que arestricao de 〈 , 〉 a V ′ e positiva definida ou negativa definida ounula, respectivamente.



SIGNATURAS METRICAS

Para uma base ortonormal e1, . . . , en de um espacopseudoeuclidiano V , o subespaco vetorial gerado porei : 〈ei , ei 〉 = −1 e do tipo tempo da dimensao mais altapossıvel, e aquele gerado por ei : 〈ei , ei 〉 = 1 e do tipo espacoda dimensao mais alta possıvel. A maximalidade das suasdimensoes n− e n+ (chamadas o ındice positivo e o ındicenegativo de 〈 , 〉) e obvia – dois subespacos pertencendo aos doistipos diferentes que acabamos de mencionar tem que possuir ainterseccao trivial.

A diferenca n−− n+, dita a signatura de 〈 , 〉, nao deve serconfundida com a sua signatura metrica − . . .−+ . . .+, formadade n− sinais negativos seguidos por n+ sinais positivos.



OPERACAO DE SUBIR/DESCER UM INDICE

Equivalentemente, um produto interno pseudoeuclidiano em V ecaracterizado pelas condicoes hab = hba e det [hab] 6= 0 emalguma (ou, toda) base e1, . . . , en de V .

Os componentes recıprocos do produto interno pseudoeuclidianoem V em relacao a base e1, . . . , en sao os elementos da matrizquadrada [hab] = [hab]−1 de ordem n, inversa a matriz [hab].

A relacao ξ = h(v , · ) entre ξ ∈ V ∗ e v ∈ V pode ser exprimidana forma ξa = habv

b, bem como va = habξb. Dizemos que ξ (ouv) e obtido a partir de v (ou de ξ) descendo (ou subindo) umındice. Neste caso frequentemente escrevemos va em vez de ξa.



TRIVIALIZACOES LOCAIS

A variedade e por definicao conexa. Sempre assumimos que asvariedades, aplicacoes, fibrados, secoes e conexoes saodiferenciaveis de classe C∞.

Seja E um fibrado vetorial (real ou complexo) sobre a variedadebase M. Uma trivializacao local para E , definida sobre um abertoU ⊆ M, e um sistema de secoes e1, . . . , eq da restricao de E a U,cujos valores constituem em todo ponto x ∈ U uma base da fibraEx . Entao toda secao local ψ de E , definida sobre U, pode sereunicamente exprimida como ψ = ψaea, onde ψa : U → IK sao oscomponentes de ψ em relacao a trivializacao local e1, . . . , en (eIK denota o corpo de escalares, IR ou C).



FIBRADO TANGENTE

As coordenadas locais x1, . . . , xn sobre o aberto U em umavariedade n-dimensional M dao origem a trivializacao local∂1, . . . , ∂n do fibrado tangente TM, definida sobre U. A saber, ovalor do campo vetorial ∂i no ponto y ∈ U e a velocidadev = x(0) em t = 0 da curva t 7→ x(t) ∈ U cuja imagem sob aaplicacao (x1, . . . , xn) : U → IRn e t 7→ (x1(t), . . . , xn(t), ondex i (t) = y i + t e x j(t) = y j se j 6= i , enquanto (y1, . . . , yn)denota a imagem de y .

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METRICAS PSEUDORIEMANNIANAS

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CONEXOES EM FIBRADOS VETORIAIS

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TENSOR DE CURVATURA

O tensor de curvatura R da conexao ∇ no fibrado vetorial sobre avariedade base M e dado por

R(v ,w)ψ = ∇w∇vψ − ∇v∇wψ + ∇[v ,w ]ψ.

para campso vetoriais u, v tangentes a M e uma secao ψ dofibrado.

[R(v ,w)ψ]x depende apenas dos valores de v ,w e ψ em x .

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TORCAO E CONEXOES SIMETRICAS

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OPERACOES NATURAIS

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CONEXOES E OPERACOES

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CONEXAO DE LEVI-CIVITA

os sımbolos de Christoffel

Γ kij =

1

2gks(∂i gjs + ∂j gis − ∂sgij).

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IDENTIDADES DE BIANCHI

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OCTAEDRO DE MILNOR

Um tensor de curvatura algebrico no espaco pseudoeuclidiano V equalquer funcao quadrilinear R : V × V × V × V → IR tal queR(u, u′, v , v ′) = −R(u′, u, v , v ′) = −R(u, u′, v ′, v) eR(u, v ,w , · ) + R(v ,w , u, · ) + R(w , u, v , · ) = 0 para todosu, v ,w , u′, v ′ ∈ V . Isto implica que

R(u, u′, v , v ′) = R(v , v ′, u, u′).

Veja o octaedro de Milnor, clicando em:

https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/courses/

7711/octahedron.pdf



https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/courses/7711/octahedron.pdf

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TENSORES DE SCHOUTEN E WEYL

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TEOREMA DE SCHUR

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Obviamente, λ = Scal/n. Se n 6= 2, podemos equivalentementerequerer que Ric = λg para ume funcao λ : M → IR, pois λ terque ser constante por o teorema de Schur (que segue daidentidade de Bianchi para Ric).

Para n = 2, temos sempre Ric = λg com a funcao λ (acurvatura Gaussiana de g).



METRICAS DE EINSTEIN

Uma metrica de Einstein sobra a variedade M de dimensao n ≥ 1:qualquer metrica pseudoriemanniana g sobre M tal que

Ric = λg

para um numero real λ ∈ IR, chamado a constante de Einstein deg . Obviamente, λ = Scal/n. Neste caso dizemos tambem que opar (M, g) e uma variedade de Einstein, e usamos o termovariedade Ricci plana ou Ricci-flat quando λ = 0.

Se n 6= 2, podemos equivalentemente requerer que Ric = λgpara ume funcao λ : M → IR, pois λ ter que ser constante por oteorema de Schur (que segue da identidade de Bianchi para Ric).



MOTIVACAO

• naturalidade: a mais simples “condicao de autovalor” (naolinear) imposta sobe a metrica g (“metricas de Einstein sao ososciladores harmonicos da geometria riemanniana”);

• as metricas riemannianas optimais: por exemplo, sobresuperfıcies compactas ou variedades complexas compactas comuma primera classe de Chern negativa;

• fluxo de Ricci : as metricas de Einstein sao os seus pontos fixos(a menos de difeomorfismos homoteticos);

• a relatividade geral: solucoes do vacuo para as equacoes deEinstein, com ou sem a constante cosmologica (λ 6= 0 ou λ = 0).



OS EXEMPLOS MAIS SIMPLES

• variedade riemanniana planaflat =⇒ Ricci-plana (herebelongs a case n = 1);

• superfıcies fechadas de curvatura gaussiana constante: roundS2 and IRP2, flat tori and Klein bottles, higher genus hyperbolicsurfaces;

• spaces of constant curvature (in dimensoes n ≤ 3 these are aonly Einstein variedades);

• Riemannian homogeneous spaces with an irreducible isotropyrepresentacao (e.g., CPn and IHPn with their standard metricas);



METRICAS INVARIANTES EM GRUPOS DE LIE

Let H be a connected Lie group, with a Lie algebra h (consistingof all left-invariant vector fields on H). a Killing form B : aleft-invariant simetrica 2-tensor on h, with

B(v ,w) = tr (Ad v)(Adw) for v ,w ∈ h,

where, as usual, Ad v = [v , · ] : h→ h. By requiring that

∇vw =1

2[v ,w ] whenever v ,w ∈ h,

we define a torsionfree conexao ∇ with a Ricci tensor

Ric = − 1

4B , so that ∇Ric = 0.



Namely, B(∇uv ,w) + B(v ,∇uw) = 0 due to bi-invariance of B,i.e., skew-symmetry of B([u, v ],w) in u, v ,w .

Therefore:

• For any semisimple Lie group H, the Killing form B of H is abi-invariant Einstein metrica on H.

In a above example, B is also locally simetrica in a sense that∇R = 0.

Local symmetry implies that ∇Ric = 0, and so, in a Riemanniancase, locally simetrica variedades are (locally) products of locallysimetrica Einstein variedades.



A CONJECTURA DE ALEKSEEVSKY (1975)

Alekseevsky made a following (still wide-open) conjecture:

Whenever G/K is homogeneous Riemannian Einstein variedadewith negative Einstein constant, K must be a maximal compactsubgroup of G.

Here is a special case (also open):

Every connected Lie group carrying a left-invariant RiemannianEinstein metrica with negative Einstein constant is solvable.



Another unsolved special case:

SL(n, IR), for any n ≥ 3, admits no left-invariant RiemannianEinstein metrica.

However, Leite and Dotti (1982) showed that SL(n, IR), for everyn ≥ 3, does admit a left-invariant metrica riemanniana of negativeRicci curvature.

If Alekseevsky’s conjecture is true, a task of classifyinghomogeneous Riemannian Einstein variedades will be nearlycompleted.



VARIEDADES QUASE COMPLEXAS

Por uma variedade quase complexa entende-se uma variedade Mmunida de uma estrutura quase complexa, isto e, um endomorfismoJ : TM → TM tal que J 2 = −Id. Equivalentemente, requeremosque o fibrado tangente J seja equipado com a estrutura de umfibrado complexo (em que J faz o papel da multiplicacao pelaunidade imaginaria i).

A palavra ‘quase’ e omitida, e J se tambem chama integravel, seJ pode ser localmente identificada, por difeomorfismos, com aestrutura analoga obvia (constante) em um espaco vetorialcomplexo.



ESPACOS DA COHOMOLOGIA

Seja ΩpM o espaco de p-formas diferenciais sobre a variedadeM, e d : ΩpM → Ωp+1M, por cada p, o operador de derivadaexterior. Por definicao, ΩpM = 0 se p < 0 ou p > n, onden = dimM. Dois subespacos importantes de ΩpM sao ZpM, onucleo de d : ΩpM → Ωp+1M (que consiste de p-formas ditasfechadas) e BpM = d(Ωp−1M) (o espaco de p-formas exatas).

Porque BpM ⊆ ZpM, podemos definir o espaco vetorial quocienteHp(M, IR) = ZpM/BpM, chamado o espaco da cohomologia dede Rham para M em dimensao p.



METRICAS E VARIEDADES DE KAHLER

A metrica riemanniana g sobre a variedade quase complexa M edita quase hermitiana se Jx : TxM → TxM preserva, em todoponto x ∈ M, o produto interno gx (ou, o que e o mesmo, se Jx eo oposto do adjunto de si mesmo em relacao a gx). Neste caso gse chama uma metrica de Kahler (e (M, g) uma variedade deKahler) se, alem disso, ∇J = 0, onde ∇ denota a conexao deLevi-Civita de g .

Dada uma variedade de Kahler (M, g), as formulasω(u, v) = g(Ju, v) e ρ(u, v) = Ric(Ju, v), para todos camposvetoriais u, v tangentes a M, definem 2-formas fechadas ω e ρ,chamadas a forma de Kahler e a forma de Ricci de (M, g).



CLASSES POSITIVAS E NEGATIVAS EM H2(M, IR)

Seja ΩpM o espaco de p-formas diferenciais sobre a variedadeM, e d : ΩpM → Ωp+1M, por cada p, o operador de derivadaexterior. Por definicao, ΩpM = 0 se p < 0 ou, p > n = dimM. Dois subsespacos importantes de ΩpM saoZpM, o nucleo de d : ΩpM → Ωp+1M (que consiste de p-formasditas fechadas) e BpM = d(Ωp−1M) (o espaco de p-formasexatas. Porque BpM ⊆ ZpM, podemos definir o espaco vetorialquociente Hp(M, IR) = ZpM/BpM, chamado o espaco dacohomologia de de Rham para M em dimensao p.



AS CONJECTURAS DE CALABI (1954)

Seja c1 a primeira classe de Chern de uma variedade complexacompacta M que admite uma metrica de Kahler.

If c1 < 0, then M also admits a Kahler-Einstein metrica, and such ametrica is unique up to a constant factor.

• If c1 = 0, every positive cohomology class ω ∈ H 2(M, IR)contains a unique Kahler form representing a Ricci-flat Kahlermetrica.

The first part of a conjecture was proved, independently, by Aubin(1976) and Yau (1977); a second, by Yau (1977).



O CASO EM QUE c1 > 0

As superfıcies complexas compactas CP2#CP2 e CP2#2CP2,apesar de satisfazer a condicao c1 > 0, nao admitem nenhumasmetricas de Kahler-Einstein.

texto em preparacao



ORIENTACAO

No espaco vetorial real V de dimensao finita e positiva, oconjunto do todas bases (ordenadas) possui precisamente doiscomponentes conexos, chamados as orientacoes de V . O espacoV e dito orientado se uma orientacao dele e escolhida.

Por exemplo, cada espaco vetorial complexo m-dimensional, onde1 ≤ m <∞, e canonicamente orientado como espaco real: paratodas bases complexas e1, . . . , em, as bases reaise1, ie1, . . . , em, iem determinam a mesma orientacao.

Portanto toda variedade quase complexa e tratada por padraocomo variedade orientada.



EXPANSAO DE UM PONTO

Seja x um ponto da variedade complexa m de dimensaocomplexa m (isto e, de dimensao real 2m). A expansao do pontox em M (chamada tambem a operacao blow-up) da origem auniao disjunta M ′ = (M r x) ∪ P(TxM), onde o espacoprojetivo P(TxM) consiste das linhas complexas passando por 0em TxM). Sobre M ′ se pode construir uma estrutura complexanatural, cuja restricao a M r x coincide com aquela de M (eque portantro transforma M ′ em uma variedade complexa m damesma dimensao complexa m). Como variedade orientada, M ′ edifeomorfa a soma conexa M#CPm de M e CPm, esta ultimasendo CPm com a orientacao oposta a sua orientacao canonica davariedade complexa.



A METRICA DE PAGE

Dadas duas metricas riemannianas g , g sobre a variedade M,dizemos que g e conforme a g se g = φg para uma funcaopositiva φ : M → IR.

Don Page (1978) construiu uma metrica riemanniana de Einsteinsobre CP2#CP2, conforme a uma metrica de Kahler.

Veja tambem pag. I–48.

texto em preparacao



A METRICA DE CHEN, LEBRUN E WEBER

A operacao de expansao de um ponto na variedade complexa M,repetida k vezes para pontos distintos de M, produz umavariedade difeomorfa a soma conexa M#kCPm, ondem = dimCM.

Chen, LeBrun and Weber (2008) provaram a seguinte teorema.

A superfıcie complexa compacta CP2#2CPm. obtida a partir deCP2 por expansao em dois pontos distintos, admite uma metricariemanniana de Einstein com constante de Einstein positiva,conforme a uma metrica de Kahler.

Veja tambem pag. I–48.



EXEMPLOS COMPACTOS CONHECIDOS COM n = 4

A menos de multiplicacao da metrica pelas constantes positivas, osexemplos conhecidos de variedades riemannianas compactas deEinstein em dimensao quatro sao os seguintes:

• quocientes isometricos compactos dos espacos homogeneosIR4, S4, H4, CP2, CH2, S2× S2, H2× H2,

• superfıcies complexas compactas munidas de metricas deKahler-Einstein – as metricas existem quando c1 < 0 ou c1 = 0devido a prova (por Yau e Aubin) das conjecturas de Calabi;enquanto Siu (1988), Tian (1987), e Tian e Yau (1987)demonstraram a sua existencia em alguns casos em que c1 > 0.

• CP2#CP2 com a metrica de Page,

• CP2#2CP2 com a metrica de Chen, LeBrun and Weber.https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/beamer/variedades.pdf p.I–38


O OPERADOR ESTRELA DE HODGE

Seja V un espaco pseudoeuclidiano orientado de dimensao n.Denotando por V ∧p a p-esima potencia exterior de V , pode-sedefinir o operador linear ∗ : V ∧p→ V ∧(n−p), chamado a estrela deHodge, em tal maneira que

∗(e1 ∧ . . . ∧ ep) = εp+1 . . . εp ep+1 ∧ . . . ∧ em

se e1, . . . , en e uma base ortonormal compatıvel com a orientacaoe εi = 〈ei , ei 〉 ∈ 1,−1. Entao ∗∗ : V ∧p→ V ∧p e igual a(−1)(n−p)pε vezes a identidade, onde ε = ε1 . . . εn. Veja pag. 9 em


7711/topics.pdf



https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/courses/7711/topics.pdf


OPERADORES DE CURVATURA

Seja V novamente um espaco pseudoeuclidiano orientado dedimensao n, com o produto interno 〈 , 〉. Se R e qualquer tensorde curvatura algebrico (pag. I–18) em V , ele da origem a seuoperador de curvatura V ∧2→ V ∧2, denotado por o mesmosımbolo R, e definido por 2(Rζ)ij = R ij

pq ζpq. Equivalentemente,

R(v ∧ w) = R(v ,w , · , · ), onde 〈 , 〉 e usado para subir e descerındices, bem como para identificar bivetores com funcoes bilinearesanti-simetricas sobre V , e (v ∧ w)ij = v iw j − v jw i.

Para dois tais tensores R, R, o seu produto interno e dado por〈R, R〉 = tr RR, e se ve facilmente que 4〈R, R〉 = R ijpqRijpq. Nocaso euclidiano, se introduz tambem a norma |R| = 〈R,R〉1/2.



AUTODUALIDADE DE BIVETORES

Seja W novamente um tensor de curvatura algebrico comRic(W ) = 0 em um espaco euclidiano orientado V de dimensao4. A formula para ∗∗ dada na pag. I–36 implica que∗ : V ∧2→ V ∧2 e uma involucao: ∗∗ = Id.

Portanto V ∧2 se decompoe na soma direta V ∧2 = Λ+⊕ Λ−, ondeΛ± e o autoespanco de ∗ para o autovalor ±1. Bivetores em Λ+

e em Λ− sao ditos autoduais e anti-autoduais, respectivamente.Nao e difıcil demonstrar que dimΛ± = 3. Clique e veja pag. 11 em


7711/topics.pdf





TEOREMA DE SINGER E THORPE

Seja V um espaco pseudoeuclidiano orientado de dimensao 4, eW um tensor de curvatura algebrico em V tal que Ric(W ) = 0(isto e, a sua contracao de Ricci e nula). O teorema de Singer eThorpe (1969) afirma que, neste caso, o operador de curvaturaW : V ∧2→ V ∧2 comuta com a estrela de Hodge ∗ : V ∧2→ V ∧2.

Para uma prova, clique e veja pag. 10–11 em


7711/topics.pdf





TENSOR DE WEYL (ANTI)AUTODUAL

Seja (M, g) uma variedade riemanniana orientada de dimensaoquatro. A igualdade V ∧2 = Λ+⊕ Λ− na pag. I–41, paraV = TxM em todo ponto x ∈ M, implica a decomposicao[TM]∧2 = Λ+M ⊕Λ−M, onde Λ+M e Λ−M sao subfibradosvetoriais com fibras tres-dimensionais, consistindo de bivetoreschamados autoduais e anti-autoduais, respectivamente.

Devido ao teorema de Singer e Thorpe (pag. I–42), os subfibradosΛ±M sao invariantes pelo tensor de Weyl de g , operando (pag.I–40) como um endomorfismo W : [TM]∧2→ [TM]∧2. Isto daorigem as restricoes W± : Λ±M → Λ±M de W , ditas os tensoresde Weyl autodual e anti-autodual, com as normas |W±| definidaspor |W±|2 = tr (W±)2.https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/beamer/variedades.pdf p.I–43


CURVATURA E NUMEROS CARACTERISTICOS

Temos as seguintes expressoes para χ(M), a caracterıstica deEuler, e τ(M), a signatura, da qualquer variedade riemannianacompacta orientavel de dimensao quatro:

192π2χ(M) = 24‖W ‖2 − 12‖Ein‖2 + ‖Scal‖2,

onde ‖ ‖ e a norma L2. Ao mesmo tempo,

12π2τ(M) = ‖W+‖2 − ‖W−‖2.

Estas igualdades seguem de formulas mais gerais e implicam que

96π2[2χ(M) + 3τ(M)] = 48‖W+‖2 − 12‖Ein‖2 + ‖Scal‖2.



A DESIGUALDADE DE THORPE E HITCHIN

Toda variedade de Einstein compacta orientavel (M, g) de dimensaoquatro satisfaz

|τ(M)| ≤ 2

3χ(M).

A desigualdade e estrita exceto no caso em que (M, g) e plana ouadmite uma aplicacao recobrimento (M, g)→ (M, g) localmenteisometrica de grau 1, 2 ou 4, onde M e uma superfıcie complexaK3 com uma metrica g de Kahler Ricci plana.

A desigualdade, provada por Thorpe (1969), e imediata da ultimaformula na pagina precedente. O caso em que temos a igualdade,resolvido por Hitchin (1974), e muito mais difıcil.



ALGUMAS CONSEQUENCIAS

Como um corolario imediato obtemos o resultado de Berger (1960):

Para toda variedade de Einstein compacta 4-dimensional (M, g),

χ(M) ≥ 0,

com igualdade se e somente se (M, g) e plana.

Por exemplo, se Σ e uma uma superfıcie compacta naodifeomorfa a S2 ou IRP2, entao (devido ao teorema de Berger) asvariedades produto S2×Σ e IRP2×Σ nao admitem metricasriemannianas de Einstein.



OUTRAS CONSEQUENCIAS

Seja Mk = CP2#kCP2, onde k e um inteiro nao negativo. Adesigualdade de Thorpe e Hitchin implica que Mk nao admitenenhuma metrica riemanniana de Einstein se k > 8. Em fato,χ(Mk) = k + 3, enquanto |τ(Mk)| = k − 1.

Por outro lado, de um resultado geral de Tian (1990) segue quemetricas de Kahler-Einstein existem sobre Mk para k = 3, . . . , 8,enquanto Mk = CP2 possui a sua metrica classica de Fubini-Study.

Finalmente, como ja mencionado, M1 e M2 admitem metricasriemannianas de Einstein conformes a metricas kahlerianas, apesarde nao admitir metricas de Kahler-Einstein.



OUTRAS OBSERVACOES

Metricas de Einstein conformes a metricas de Kahler

A Kahler metrica g globally conformal to g can be written downexplicitly: g = |W+|2/3g , where | | is a g -norm and W+ is aself-dual Weyl tensor of g .



DIMENSOES SUPERIORES

Em dimensoes n mais altas que 4 pouco sabe-se do significadotopologico da existencia de metricas riemannianas de Einstein.

Para n ≥ 5 nao e conhecido nenhum resultado analogo adesigualdade de Thorpe e Hitchin.

E mesmo concebıvel que toda variedade de dimensao n ≥ 5admita uma metrica riemanniana de Einstein.



PARTE II

METRICAS DE EINSTEIN INDEFINIDAS

https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/beamer/variedades.pdf p.II–1


SIGNATURAS DA METRICA (n = 4)

A menos de troco do sinal geral da metrica, em dimensao quatroexistem tres signaturas metricas possıveis (veja pag. I–6):

++++ , −−++ , −+++riemanniana, neutra, lorentziana.

O caso de metricas de Einstein que sao riemannianas foi jadiscutido. Foi tambem mencionado que metricas de Einsteinlorentzianas servem como modelos importantes do espaco-tempona relatividade geral. Um tal modelo descoberto por Schwarzschild(1917) preve o valor correto da precessao do perielio de Mercurio,diferente daquelo previsto pela teoria newtoniana.



EQUACAO DE CAMPO DE EINSTEIN

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EXEMPLOS NEUTROS RICCI PLANOS

E facil construir colecoes enormes de metricas neutras de Einstein.

Por exemplo, em um aberto de IR 4 com as coordenadascartesianas t, x , y , z , para qualquer funcao f da variavel real t, aformula

[gjk ] =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 f

.define uma metrica neutra Ricci plana. Os tipos isometricos locaisdas metricas desta famılia formam um espaco de dimensao infinita.



PARTE III

SOLITONS DE RICCI

https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/beamer/variedades.pdf p.III–1


TIPO GERAL E TIPO GRADIENTE

Uma variedade riemanniana (M, g), bem como a sua metrica g , edita um soliton de Ricci se

Lvg + Ric = λg

para um numero real λ ∈ IR, chamado a constante de soliton de g ,e um campo vetorial v sobre M.

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TEOREMA DE PERELMAN

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PARTE IV

METRICAS DE CURVATURA HARMONICA

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