~ i m m eIs m e c h a n i k -----------------------------
Vorlesung
von
1. Abschnitt. Lc.grane;e'sche Gleichungen.
N2 1. Hamil ton' sche s Prinzip............................... 1 2. Invariantes Vario.tionsproblem ........................ 3 3. Das l{aupertuis I sche Prinzip ••........................ 7 4. Abhängigkeit der Lösungen von den Integrationskon-
stanten .....•..... 10 5. Scharen periodischer Lösungen .•...................... 12 6. Kräfte ~roportional einer Potenz der Entfernung ...... 14 7. Integral invariante •.................................. 19 6. Anwendung auf periodische Lösungen ...............•.•. 20 9. Satz über gscblossene geodätische Linien •........... 22
10. Quasiperiodische BeVlegungen •..•...................... 23
N2 1. ~bleitung der kanonischen Gleichungen ................ 28 2. Die Fundamentaldifferentialform ...................... 32 3. Aequivalenz der Differentialfona mit den kanonischen
Gleichungen ............ 35 4. Trnnsfo~ation eines k~nonischen Gleicnungs-Systems .• 38 5. Zrweiterte Berö~ungstransformation ••................ 40 6. ;..nwendungen:
B. Transformation auf rotierendes System ....••....... 42 b. Reduktion des Dreikörperproblems ........•......... 45 c. Radau'sche Transforr~etion •..................... .. 60 d. Ihre Anwenoung auf das Attraktionsprob1em ......... 63
7. Äequivalenz der k~onischen Gleichungen und der Ja­ cobi-Hamilton'schen partiellen Diff.-Gleich .•. 65
a. Herstellung einer allgemeinen Brührungstransfor- , mation •.•..••..•. 66
b. t:achweis der Aequivalenz .....•....•............... c. Durboux'scher Aequ~valenzbeweis .................. .
Kap. 11. Spezielle Bewegungsprobleme der H~elsmechanik.
Ng 1. Lösung der Hamilton-Jacobi'schen Differential-Gleich­ ung für die Zentralbewegung ••••.•..... 60
2. Anwendung auf das Newton'sche Gesetz ••••............. 92 a. Ba.b.:ngle i ch ung. . . . • . . . . . . . . . . . . . ................... 93 b. Der Ausdruck der ze i tlichen Aenderung .••.......... 95 c. Ausgestaltung zur Berührungstransformation ••..... 100 d. Die exzentrische Anomalie als regularisierender
Parameter •.....•..••.•. 101 e. Grenzfall der gerudlinigen Bewegung •.....•..... .. 103
2
](~ 3. Untersuchung der Umkehrung der Kepler' sehen CTleichung tD~ 4 . Das Lambert-I;agrange' sehe Tbeorem ....... . .............. 137 5 . BestL~ung der Babnel emente aus Lagekoordinaten und
GescbwindiSkeitskomponenten ............... 154
1. ]~bschnitt. Elementare Störungstbeorie.
NQ 1. l~ethode der Veriat ion der Konstanten ..... . ... . ... 156 2. i..nwendung auf dos Newton I sehe Problem ............ 161 3. Beisyiele zur eieDentaren Störungstheorie ... . .... 168
&. Störungskraft normal zur Bahneba~e ............ 16ß b. Di e Hausen'scben Bewegungsgleichungen ......... 171 c. Di e Lagrange 'schen speziellen Lesungen des
Dreikörper~roblems ......... . 173
l;~ 1. 'Zi!lt'ührung der Klanmerausdr'..icke von Lo.grange und Poisson . . . . ....... 183
t... hauptsätze über die Klsmrnerausdrücke .... .. . . ... . . 166 3. Transfol~tionsformel mit PBr~eter •...... ....... 190 4. Bedeutung der Klammerau3drücke für dle Theorie
der kanonischen Gl.icbungen .•.•..... 191 5. Ergänzungen zur Theorie der kanonischen Trans-
formntionen .................. . .. 195 6. Allgemeine und k~onische Form der Störungs-
gleichungen .... . ..... . ........ 210 7. Untersucbung der Bewegung eines Punktsystems •.... 213 8. Folgerungen für die Legranse'scben Lösungen des
dreikör.?erproblems ............. ' .' .226
5. 6. 7.
Störungsgle icbungen .....•........................ 227 Die Re1benentwickl ungen für einen Planeten •...... 236 Reihenentwicklungen für zwei Pl oneten . . ••...•• • .. 247 Die Reihenentwicklung für dle reziproke Ent-
fernun.g ... •... ......... 249 Konvergenzverbältnisse der unt.rsucbten Re1ben ••. 251 Die Lep lace' scben Koeffizienten .......•.......... 253 Die Entwicklungen der Störungsfunktion •..•....... 261 a. Die klassiscbe ~twicklung von Leverrier ...... 261 b. Die Metbode von Tisseraud ... .......... ........ 268 c. Die Methode von Hausen ........................ 274
3
Jlg l.
2. 3.
Di. Reihenentwicklung des Stikulorleils ... . .............. 283 Integration der Säkular-Differentialgleichung bei Ver-
nachlässigung der Glieder 4. und höherer Orwlung ...... 293 Numerische l.u.flösung der Stikulargleichung nach Jacobi. •• 299 Zwischenintegrale der Stikular-Differentialgleichung •.... 302 ~eduktion der acht Sälulargleichungen des Dreikörper­
problems auf vier •............................. 307 Konvergenz der Lösungen der allgemeinen Säkulargleich-
ungerl ..•..... ... . 311
Schlusskauitel.
Hg. I. Das Theorer.1 von Poisson ....... 0 •••••••••••••••••• •• ••••• 312 2. Periodische und doppelt-asymptotische Bahnen . . .•........ 317.
Himmelsmechanik. --------
1. Absohnitt. Lagrange-Gl.eichungen.
1. Hamilton'sches Prinzip.
Wir gehen aua von einem meohanischen System m1 t n Freiheitsgraden,
dessen generalisierte Koordinaten x,,- (~ = 1,2 '" n) seien. Vorausge­
setzt wird die Existenz einer Kräftetunktion, also ein konservatives
Krä1"tesystem. f(xi) bedeute 1m Folgenden eine :E\mktion von (x. "','"
x x ... x~ ). Dann ist die kinetische lihergie ~. -
"'0 die Koeffizienten g"l' die Koordinaten x", eIl thal. ten. Die Kräfte­
funktion U(x), eine Funktion der Lage, ergibt sioh aua
(2)
Vorsohrift ein für allemal gelten soll.
Dann wird die sog. Lagrange-Funktion definiert duroh
(3) :t { >( K) ~ 3?)(~.. r,,- J.. .. y.) + 2{ (~ . . .r..)
Duroh Nulleet.an dar Variation des Integral.e
ergibt
(4)
cl' !t!cd'JoU ~ er
2
der Bewegung ergeben, nllmlich
die Funktion x~(t).
beliebige Funktionen L(xi), die also nicht die spezielle Form
U(x) + T(xi) wie in der llaohanik heben.
Wir setzen
(ö) I
ponenten genannt. Wir -definieren die HamHtan 'sehe Funktion
(7 )
(8) "1e ( )(" y) =
während die Le.grang6-Funkt1ao
3
, 1IuJ. tipl1ziert zan die Lagrange I sehen Ableitungen mit x .. und summiert
man über~ , Ba ergibt sioh:
(9)
Wird nun zugelassen, dass in der Lagrange-FuIlktian L die Zei t t ex_
plizit auftritt, also L = L(xit), eo wird , ,
" X"
(10)
Ist nun t in L(n) explizit nicht enthalten, so ist 0t: = o.
Für jed.e Lösung der Differentialgleichung Lo(. =:f' 0 ergibt sich
also
(11 ~ )
4
d.i. die Euler'sche HQRogenl~ätB-Eedingung, also ist in diesem Fal­
le L(n) hOllogen in x", von der Dimension 1. d.h.
Dann ist aber auch Xo(. L"" =' 0, die Lagrange 'sohe Differentialgl.eioh­
ung1jll sind linear abh.!!ngig, wir haben also nioht genügend (n!!&l.ioh .
M -1) Differen tial.gl.eiohungen, UlIl al.le /}-< :runktionen x"" (t) festzu-
legen. Der tiefere Grund hierfür ist, dass in diesem Fall das Varia­
tionsproblea invariant gegen beliebige Parametertransforaation ist.
Ersetzen wir nllm1ich t duroh 'f (t), dann wird sus
. .,?t I ,/014 I
also aus L dt wieder Ldt; d.h. Ldt ist invariant gegen Parameter­
transformation. Das Integral. I hängt nur von der Kurve ab, liie 1m
""_ ..JA~~ ~ ~--L. dJ~(y' _, , - i'~)
(R~) duroh die m :runkti.",...x~(t) festgelegt wird, da bei der Darstel_
lung der Kurve in dieser Form der Parameter frei 1st. 11n ihn be­
st~t zu maohen, wählen wir als Parameter I, also L(xi) = 1.
Der vornehmste Fall eines solohen geometrisohen Variationspro­
b1ems ist das der geodätisohen Linien 1m Raum beliebiger Krümmung;
Bogenelemen t dI,. ~ 7"1' d r.. d 1) Kurve x~ = X.(t).
]1IDr die geodätischen Linien ist dann -&
,
-t. I .
5 1
ist homogen von 1. Dimension in x .... Z.B. ergeben sich die Differentialgleichungen der geodätisohee
Linien der Ebene 1m euklidischen Raum aua
"" J Ir Y, <.,. .v , r. cL( ~ (J .
-t. "
• "', } . - , . . Z:+ i, ~ y. - Ir .. "
Y i!.'.J. i.·
. ,. .. L = 0 , ergeben nur eine Gleichung: x~ xt, - xI! x .... = 0,
Integration ergibt c"., x.., + O;z.. X,t =- 0, dann c..., x., + o~ xe ::: o~ J also
wie zu erwarten, die Gleichung der Geraden.
Da die Invarianzeigenschaft eua der Homogenität des Integranden
folgt, können wir neben das allgemeine Variat1onsproblem
7;
+. immer eingeometrisohes stellen. Setzen wir nämlich
und bestimmen hleraua die ""'ktion -;} (xi), so ist diess homogen in
:i..t von 1. Dimension, also ~ (x, I< i) ~ I<!r( Y Y)
~ (xi) setzen wir ein in
6
Dann ist
.... also L (xX' homogen in x. "!,on :.l. Dimension, das Variationsproblem '
ein geometrisches Problem. Es ist
wobei
dJ;- ) (' i ,l ~ LX, -r) f C - 'T' )("'7-< (J' A)/
nach Definitionsgleichung für ';;) ,(da
= (j
, i) in L "" implizi te Auftreten von x"" und x " . bei bei Bll_ 0J~
kann das
dung von ~ unberücksichtigt bleiben, sodass '" '<
") " Da naoh Gl. (jf- die L "" .linear abhllngig sind, kann noch eine
IUeichung z.ur Bestimmung des Parameters hinzugefügt werden, als
welche wir .nehmen ) (xic) = I, d.h. 7(( X;); -C I g( 1.d) ~ tC:ä)
I- C
Die beiden &leiohungssysteme sied also äquivalent, sobald die In_
tegrationskonstente h des Systems L",- den Wert 0 erhält. Mi t endem
Worten: Die Lösungen des Varietionsproblems d:J~o- , 1'U.r das die
Energiekonstante h den Wert
&leiohung die Parameterbestimmungsgleichung ist.
Der Zusammenhang von I und I"" ergibt sioh daraus, dass längs den
Extremalen ~ = 1, also
'J 1<" _ j(:t ( )( X) -f- c-) dt ~ g + c.(t- t:.,) -<,
3. Das Maupertuis'sche Prinzip der kleinsten Wirkung.
FUr dan Fall der Mechanik ergeben die vorstehenden Betrachtungen
sehr eie1'aeh den Zusammenhang des Hamil ton I sehen Prinzip8~m1 t dem voc
Maupertuis. In der Meohanik iet
let von jetzt ab h die Bezeichnung 1'ü.r den vorgegebenen Wert der :ihe1
tOlgtr ja-(' r-rr\-.r ~~ ~ giekocstante, so
f. Tfx'iJ - ~ ~ . I
~ t) [ U 1--0 ,
[ f;t ( Yi-) cU = r;-
geometrischen
t:
i,
Das letzte Variationsproblem ist die mathematische Formulierung , aucjQJ
des Prinzips von Yaupertuis, ( das Prinzip der kleinsten Wirkung ge-
nannt, das also ein rein geometrisohes, die Bahnkurve festlegendes
Yariationsproblam iat, wenn T - U ~ h . In Hinbliok auf den Begriff
der geodätisohen Linie kann man dies sO f onnulieren: In unserm Sys­
hm sind die Bahnen der Ehergiekanstan te h iden tisch m1 t den gec­
dä tischen Linien eines R m1 t der J.lassbestimmung ... .
d//= t [Zr.(VJ j. ~ J' L 7'0 d%-< d~ .
Aus unseren allgemeinen Betrachtungen folgt nooh, dase das J.lauper_
\I
tUis' sehe rn. tegral (auch Maupertuis' sohe Wirkung gan8ll!l t) = Hamll ton'
sehes Integral (W1rkUng) + h(t-t.).-ift'
Unsere Ueberlegungen ergeben ausserdem sehr einfach den ZUsammen_
heng des Problems der geodätischen Linien eines R mit der Massbe-- stimmung
mit dem Hamilton'schen Prinzip eines Spez1alfells. Setzen wir nämlich
so wird
,.1
fl' . /
Wird nun h = l gesetzt, so ist 'das Hamilton'sohe Problem 1:
r / ~ /'l' X;,y,. di ~ (I'
identisch mit dem ge~trisehen
-t
Durch letzte Gleichung ist Bogenlänge als Parameter festgelegt.
Wird also die Bogenlänge als Parameter gewählt, so iet das Varia.­
tioneproblem der geodätischen Linien 1m R" äquivalent mi t dem Hamll­
ton 'sehen Prinzip tl1r den Fall, dass , "
"i 'j,; ;> x... -I' I
10
tegrat1onskonstanten.
Ist eine LBsungeschar der Lagrange-Gle1chungen L~ = 0 gegeben
duroh x~ = x~(t,c), wo c eine Integrat10nekonstante 1st, so ist auch
7.. von t l c abhängig, also J« " 7-< (~<).
"" 7 = f :('Cä) ca -t.
Das In tegral
bängt von t, tl)' x, x ab, 1st e.lso e1ne Funktion von t t(l und c
t-
Wir bilden die D1fferent1al~uotienten dieser Hemilton'schen Wirkung
I nach t t. und c: I
=
11
,
Hängt die LÖ8lmgsBchar ab von m Kons tan ten c ( •• • c7k, -J also
x 0( ~ Y", ( -t, .c, . . . . c~ )
"j ->( ~ / .( ( t, c,
so ergeben sich ganz entsprechend für diesen Fall die Differential­
quotienten der HamiltoD'sohen Wirkung
'I! '7 ;) 7 dI .I- t;! c cl C4 + it
4.
da
12
Setze ioh also 7-< d Y., • (J d Y) usw., so ergibt sich, da
';j( ~ 7" "0( - :;f "I' : 0( ']. fj cL~) - (JD elf D) - ;Je d/ I- ~ ci-t;,
Wir nehmen nun eIl, L(xX) enthalte t nicht explizit, dsnn ist dies
auch bei H(n) der Fall. Wie in Gleichung (/I) naohgewiesen, ist in
diesem Fall H(xi) = h, wobei h für unsere Lösungasoher natürlich
h(o •••• 0_ ) ist. Denn ist aber H = H. = h, also naoh Gleiohung (/I )
In diesem Fall iet das Hwnilton'ache Variationaproblem einem geo­
metrischen Veriationaproblem IIquival""t, wo "/""= '7 -I- ..{ (t -t-.)
=
Im Fall der MBChSIlik iat dies das Differential des Msupertuis'schen
Wirkungsintegrals.
Gibt es eine Schar periodisoher Lösungen der Lagrange-Gleichungen
und 1st r dle Zeltperiode, denn wird sein
. . Eben:!"alls, . da /.(. nur Ablel tun gen nach x und x", enthll:tt
. i
13
Vorausgesetzt wird, dass h tur verschiedene Lösungen aus der Sohar
auch versohiedenen Wert habe, also h(o, ••. o _ )tconstans. Das .J.
Wirkungs1.ntegral I tur ganz~Peri ode hlIngt nur von t . und 0, ••• 0_
ab, da ja t = t . + T (0, .,. c _) iat, also
'J ( +, t . , C, ' .. • c •• ..) -
Da es sich um periodische Lösungen handelt, so wird
wezU1 ioh t (I ersetze durch t o + r: also , ( 1clX) (;;'dx U
) = q-
demnaoh 1st I von t un abhlln gig •
c .... )
ist '7 ~ine = r. Setze
Funktion von h
ich 7" = f(h),
I so ist r = f (h); T ist eine Funktion der :fuergiekonstan ten
allein, sodass Bahnen .mit gleicher Energiekonstanten dieselbe Peri­
ode haben.
Die Fun damen tal-Different1a.lrelatlon führt für einen sp'ziel~
7all der Mechanik zu einem sohönen Ergebnis Jacobi's.
Wir nehmen an
1. 0 TCx), sodass also g "'j konstant sind und
H. U (x) sei homogen von der pten Dimension.
Dieser Fall stellt sich immer ein für Massenpunkte, die pro­
protional einer Potenz der :fu tfernung sich anziehen. Sind z .B. N
Massenpunkte mit den Koordina ten x , gegeben, wo ~ 11. = # ist,
=: m = m z J
WO (h, k = 1 ••• ur) Summenindizes der Massenpunkte, nicht der
durchlaufend numerierten Koordinaten sind j R...{ '- die fu ttemung der
punkte P~ und P,(,
1 x', L J
proportional R ,
/() :1_ 'd ( 7+ k. ) Jot ~ '/))(~ = 1) Y., - ~
'?U - • da (j) ;.--<. = 0, weil x in rr nicht vorkommt. cl..
~::: ~ 'dU ~"'- ?I ~ /T, dt '0 ,.. '" 0Y~
du'j) (Xj; + (>'7)
Der letz te Tenn folgt aus: L -<. = (f
, also (y''j) =
z.B. be1
Da T homogen in x -<. von 2. Dimension, U homogan in x"'- von pter
Dimension, so 1st
(.r ~ ~ ) T ­
16
Dam.1t 3ind wir imstande, die I181Idlton 'sche und Maupert~"sche Wlr_.
ktmg aus zurechnen, denn t
(1' + <.)7~ } (ff-Z) ( Tf U)dt ~ j{z~O») -f-(t - l) ~} dt: i o ~o
~ r k = I + h( t _ t, ), 30 ergibt sich
~ die Ergebnisse V~ Lagrange und Jacobi zu erhalten, ist weitere
Spezialisierung notwendig. Wir fUhren ein e Hilfsfunkti on ein:
Dann ist
d t
1'/:. t! i
Für U homogen in Xo( von der Dimension p folgt aus GI. ( ) '
Diese Gleichung benutzen Lagrange und Jacobi. Betrachten wird den
Sl'.ezialfall
wellll h d.1e MaBsenl'unktindizes sind.
Ist nun R~ d.1e Entfernung des. Massenpunktes p. VOIIL Schwerpunkt,
R die Entfernung des Schwerpunktes vom Ursprung, so fOlgt aus dem
Steiner"s.chen Satz über Trägheitsmomente:'
"Q C d1e Gesch .. ind1gke1 t des Sch"er.punktes 1st.
Jetzt bemerkt Jacob1, dass bei einer Be"egung, be1 der zur zeit
t und t 0
die rela tiv;e Lage der Plmkte und ihre Geschw1nd1gke1 t die-
sel be l.et, .. 'U- zur Zeit t , undt. denselben Wert haben. nenn -c;t..'&
(, V ~ [~4 'R; = d.... L """- _ rß , < 'j{(~
also
= 0 sein.
Z.B . für p = - 2~
1 d.h~ die relativ auf den Schwerpunkt bezogene Energie eines solchen
S'ystems veraoh"indet in diesem Fall.
7. IntegraJ.invariante der D1.fferentiaJ.gleichung im al1gemeinen
Fall T(X) = 1g ~~ x~ x~ Dn al1gemeinen FaJ.l
hatte sich bei der AnnBhme von U(x) als homogen pter Dimension er_
geben d
(rH) J ~ tUl/) - 2(-I'~t) +(f' - ~) 4 (-t-r,)
Inl:l.e rhalb der Lö8ung8SChar.
war all.gemein
Berechnen wir dasselbe dI aua der Gleichung (r~). 80 ergibt sich
(j +1.) d7- H-I'dy) + Z(;;d;()_ <.(x'ci;t')-Z[7'dY') + (pU)~ d (t - t.) + 0 - 1) ( -6- t,)d.I.
Vergleiche ich das. m.1t dem al1gemeillen Wirkungsdifferential (.{If ) • •
80 ergibt sich nach MUltiplikation mit p + 2<
= {J- .
und nach t gegeben. G~eichzeitig iet eine Integra11nveriante der
Lösungsacher der Lagrange DLfferenti~~eichungen gewonnen. Denn
trennen wir die G~eichung fo~gendermassen
f{jÜj - z(A'cly} - Z;,~ d-t -(j'- <j-td4
~ /l ( d:t'., d l ., cU., d-l')
50 muss die rechte Seite e1ch auf die Fron bringen laaaen
Denn zunächst kann die rechte seite, dt. nicht ent~ten, da die
Unke Seite v.on t. unabh!lngig ist. Aus demae~ben Grunde können die
Koef.fizlen ten von dc t: weder t noch t D enthalten i" sodass
Links müssen a~~e DLfferenti~~uotienten nach t verschwinden und die
Differantiü~uotienten nach e , müssen C', sein, aUo L ,
- @.: (c, .. ' -c .... j
wonnen.
Nehmen "ir !etzt wieder an, unsere Lösungsscher habe die Periode
r = r (0, ••. _0",), so ist für t = t, +r: (xl) = (x.,.), also
nach dem Vorhergehenden:
(fi- 2) r;; ~ (f' - <.) 4 7:
Cf> i- z) 71*_ l!f.4. r
In der ~hysik benötigt man öfters den Mittelwert der Energie für die
Zeitdauer einer ~ollen periode. Bilden wir diesen Mittelwert für den
vorliegenden Fal~, so erhalten wir f.H t,;.'
T~ A JTdt '" Je ~(Yy) + fd.Q'; -r - {I'r~r
t, -t.
10+2 l'''z -u f" U /f d.l _ U dt ~ ~
(1'<.)1: ;I;i Y) ) = f+Z -c.
Im Mittel verteilt sich also die konstante Energie im Verhältnis
p ~ 2 auf kinetische und potentielle Energie, fall. ein periodisches
System vorliegt und
"o~· konstant und. U(x) eine hOlllCgene Funktion der x von der ~~? . ~
Dimension p iet. Ferner liefert in dies.sm Fall unsere f'und6Illentale
DLfSerentialrelation wegen
-:= C'l°d>'") ~ (.r 0 d l O)
unter der Voraussetzung,. dass h nicht für elle Lösungen denselben I! konstanten Wert hat, ergibt 6ich aus dieser Differentialgleichung ,
1
22
T I~/ ::;: CODSt.
Ist z.B. P ~ 2, so fOlgt 1C = const; Qas bedeutet konstante Periode
für alle Bewegungen, bei denen die Kraft einfach proportional der
Entfernung ist. :r", Fall des Newton "schen Granta t .lonsproblems ist
p = -1, also
Das ist beim ZWei-Körperproble~der Ausdruck des dritten Kepler~
sehen Geaetzes. •. wenn m.a.r:. bedenkt •. dass h der reziproke Wert_ der
grassen Achsenlänge 1st.
Falls p = - 2, ben~tzen wir die Gleichung:
Das ergib t 1'ür p = _. 2 0 = h r . D.a eine periodische Bewegung vor_
liegen so~,kann ~ nicht verschwinden, es m~s also h = 0 sein.
Da aber im Falle einer periodischen Bewegung die Schwerpunktsgeschw~
digkeit = 0 sein m~s. •. so steht =er Res~ltat h = 0 im Einklang
mi t der .racobi'·sohen Bemer~g. die für den Fall p = - 2 a~sagte A. h 2
h-f .... C =0.
a~ ein Syste~ an" für das
"U = 11-; :rU}~ {J-0 J,,~
~= 'Je - 'T =..t.
ist,.. so vrissen wir, da.se d1eaes Hamilton "sehe V"cäriat1onsproblem
äquivalent ist dem der geodätischen Linien in dem n-dbnensionalen
RaU!!L mU den Koordinaten (x ~ •.• X~ ) ~ periodizität bedeutet dann, , dass die geodätischen Linien geschlossen sind. Wir erhalte~ unter
diesen Voraussetzungen
liefert die Differentialgleichung
deren Intergation ergibt
-6,. "C
d":~ j Y). T 'dC • -w: r -t,
Da h r: konstant ist J haben wir also den Satz gew'onnen:- Geschlosse_
ne geodätische Linien im D_dbnensionalen Raum haben konstante Länge. !
Z. B. die Rauptkreise auf der Kugel.
10. Quaaiperiodische Bewegungen.
wie für rein periodische Bewegungen jetzt Folgerungen ziehen für
den Fall quasiperiodischer Vorgänge. Wir nennen die Bewegung eines
Systems quasiperlodlsch, ":enn nach einer Zeit. r die Punkt- und
24
Geaohwindigkeitsvektoran relatiw zum System dieselben sind wie zu
Anfang der Bewegung, das ganze System jedooh um eine !.ehee sich ge_
dreht hata Wahlen wir als Bezugssystem. ein drelachsiges, rachtwink_
liges KoardinatenByst~, deasen dritte Koordinatenachse mit der
Dreha0hse zusammenfällt und nummeri.eren die Koordinaten x <.I(, der el!1-
zeInen. punkte des Systems. laufend,. so gehört die Koordinate Xoc... zur
i ~ A.obse, wenn a(;; i (mod. 3)
x~ l. J
Dann verhalten sich rein periodisch die Koordinaten, die sich auf
die Drehachse, also hier die dritte ~ohse beziehen. Ist ~ der
Winkel, um den in der Z.ei tperl ode 'C das Sys tem sich gedreht hat,
so gilt wegen Armahme der QUas"1periodizi tät für die Koord.inaten,
die sich auf die erste und zweite !.ebse beziehen
25
Y2. =- X.,. 0 /)?"...,.J- f- .xJ." un ,}
Vorausgesetzt war ferner, dass die Geschwindigkeitsvektoren nach Ver_
lauf der Zeit Z- relativ dieselben sind; damit gilt dasselbe für
da die Ve,kt.oren nur mi t den Zahlen:Caktoren
m. .(. muI.tip11z1.ert a1.nd.
Der ' Koeffizient von dJ- ist aber die Flächengeschw1ndigkeit des
Punktes (x, x~ x 3 ), alao konstant naoh dem bekannten Satz der Me­
chanik für ein freies Syst~, wie wir es hier v.oraU8setzan~ Dhsere
Gleichung können wir also schreiben
Die Flächengeachwindigkeit C hängt ebenfalls von den Parametern
c . . .... c ab, sodass. wir zusammenfassend haben " ---
r~ -r(e, " ' < .... J I
1.. -t.( C," ' <",j
Damit erhält unsere Eundamental-Di1'1'erential1'orm für ein ~uasiperio_
disches System die Gestalt~
Damit haben "ir für die ( e, 4, -J; 'C ) eine Haft"sche DUter.ent-
ialglelch=g ge"onnen, deren Lösungen eine Illteg;,aJmannl g1'altigkeit
M 1m vierdimensionalen Rallm mit den Koordinaten (e, A, -J, r )
darstellen, wobei für alle FortsChreitungsrichtungen innerhalb der
Mannigfaltigkeit eben diese Pfatt"sche Gleichung gelten muss, Durch
eine geeignete Transtormation können "ir jedoch zu einem P~oblem
im dreidimensionalen Raum gelangen, indem wir setzen:
. cf ~ ..A c - ~ _ t (c, . . . . C~) f ~ '7 = 1: <: ,... /' ( 1: , C~)
+- = -V ( C. , . C ~)
Lddition ergibt:
27
in drei D1mlmsi.onen besitz t dann und nur dann zweid1me::ts-ionale In-
tegraImannigfaltigkeiten. wenn die Relation besteht
In unserem Fall 1st aber die linke Seite -(p + 2), also 1m allge_
meinen nicht O. Damit iet, von dem trivialen Fall t '7/ -J., = ccmst
abgesehen,_ nachgeWiesen. dass_ die Integralmannigfaltigkeiten ein­
dimensionalesind• d..h. f I,-J sind Funkt~onen von (L, _ .• • < .... ).
die 1Ur gleiche Parameterwerte eine Kurve im dreidimensionalen
Raum. :t'ür die Gesamtheit der-Werte von (e ._ c ..... ), also eine '11t - I
gli.edrige Knrv;enschar bestimmen. Es ist. ralls 'f -1' conat
28
set .. t man diese Werte in die Pfaff"sche G~eichung ein, so fOlgt
In:tolge der- Efaff"schen Differential~eichung sind a~o 'I/I; und
!f{'(/von einander' abhllngig und zwar derart, dass tj/(J'/ einer be­
s timmtan gewöhnliohen DUferen tialgleichung genügt, sobald j' (;I)
bekannt ist.
1. Allleitung der kanonischen DUferen tialgleichungen.
"
Gleichungen zu erhalten. Zu dem Zweck. betrachten wir das Variations-
problem '
V&riationsproblems ergeben
. -..)
•
Das s1Jld 1m. ellegemeinen n DUferentia.l~eich=gen 2. Ordnung für
n ViU:faheIn x •• ••. x ..... De man jedoch jedes System von Differen tia.l- , "
gleichungen 2. Ordnung mit. n iariabeIn ersetzen kann durch doppelt
so vie~ DUferantialgleichungen L Ordnung mit 2"Va:CiabeIn, kann
man bier anstatt. des Syst.eme (L.) der Lagrange G~ichungen 2 n Dif-
29
X ,,- x '1 ••• x"", nehmen:
. ,(~ I
geschrieben wird d-t: ?,Z'
Jedoch haben bei den Lagrange Gleichungen die ),,,, = 'o }-", eine . ::,i~ . "' A~"'\
so grosse Rolle gespielt, dass wir versucheu, die 2 n Diff~ent1Rl_ . • ~ . • ..)i
gleichungeu 1. Ordnung in den 2 n Variabeln x ••• x x ••• x um-" " ......, ....
zuformen in 2 n Differentialgleichungen 1. Ordnun g mit den
h!lngige'!i Variabeln x .... x~ 1, ... . 'd'l UD. ab_
(. I
Zu dem Zwec k miissen. wir voraussetzen J dasa die /4 . .. J",
sich nach den i, ... x .... auflösen lass en, "0= notwendig und hin­
rsiohende Be~ingung ist, dass ihre Funktionaldeterminante nicht
identisch verschwindet.
Wegen der Bedeutung der I": heisst das, dsss die Determinante
( ' / 1:- ~fi --~~~ (O;..{ 'IJ .;/' I
Zu bemerken ist hier, dass bei geometrischen Variat1<:nsproblemen
diese Funktionaldeterminante immer i dentisch versohwindet. Denn . . 1~
dort ist L(XX) homogen von 1. Dimension in x ", i'I" infolge_ I 0<
dessen 'homogen von O. Dimension in x.{ d.h. L(ti ) ist nur von den
Verhlll tnissen x X:: •••.. : x abh!lngig, die n-Funktionen 1 L ~
30
können also nicht unabh!!ngig von einander sein, da sie nur von
(n _ 1) Variabeln abh!!ngen, die Funktionaldeterminen te muss lI'er_
s chwinden. Im Falle eines rein geometrisohen Variationsproblems
lassen sich also die x"" nicht naoh des.- 7 ..:. auf!l:ösen. .
Ist jedoch unsere Voraussetzung für die Auflösbarkeit erfüllt,
so bleibt immer noch die Frage offen, wie man die llnformunr{ der
Differentialgl eichung sm leichtesten erreicht. Zu dem Zweck be­
trachten wir die Hamilton'sche Funkton
gfCxi) ,
• Hierin muss man sich jetzt die x ,,<- durch die y " ausgedrückt denken,
sodass wir haben H = H(x y t),
Aus der ursprümglichen "orm von H erhsl ten wir
da wegen
Differentials liefert :
Der Bückweg von den kanonischen Differentialgleichungen zu den La­
grange_Differentialgleichungen erfolgt mit Hilfe des Variations_
problems, aus den Lagrangegleichungen sofort, sobald wir die Funk­
tion L (xX) haben.
In dieser Gleichung muss nUll Y ~ durch x~ ausgedrückt werden, was
aua . ?Je X",,:= 'd!-<
, -
zur Gewinnung der kanonischen Gleichungen im Variationsproblem
setzt .
Dann ergeben sich die kanonischen Gleichungen sofort als die La­
grange 'schen Gleichungen dieses Variationsproblems
_ 0-
2. Die Fun damen talditferen tialrelation der kanonischen Differen 1>- :
ialgleichungen •
über Lösungsscharen unserer Differentialgleichungen leicht finden
könnten. Dies veranlasst uns, auch für die kanonischen Differential_
gleichungen eine Differentialbeziehung zu suchen. Zu dem Zweck be_
traohten wir eine 2 n parametrige Lösungssohar der kanonischen Dit-
terentialgleichungen
und bestimmen eine Funktion ~ ( t c ••• , < c .. ) so dass I
'd )"'''­ Hierbei bedeutet rot-
33
D1e rechte seite, d1e eine Funktion von x~ y~ und t 1st, kann ,
man nach (1) als Funktion von (t c ••• 0 •• ) schreiben. Jetzt bil- '" -
den wir die D1fferentialquotienten rq C..t.. .
71 <­z1er en wir d1e Definitionsgleichung für 'U
ry-nr _ 'd'j.( ~4
Infol ge der lca.r:. o!:l1sChen Gleichun gen
,
von gesagt wurde, f olgt
d~ das erste und letzte Glied sich aufheben.
Integration ergibt ;
Q 11r 'C)JV- cL?V-~ U cU + fic,,- dc,-
=(7"' ~7' - 'J<.)tU +(1'" ~~ - ri/,.)d<:<.
In unserer rruheren Sohreibweise ergibt sich also
Das Wesentliche an diesem Ausdruck ist, dass die linke Seite, die
eine Ditferentialform in dt dc , .. •• dc t..... ist, sich zerspalten
lässt in ein vollständiges Differential dW und einen Differential_
ausdruck in .( c, . . . . dClA dessen Koeffizienten C", ••• Ce.. in , dem Sinn Konstanten sind, dass sie Funktionen der IntegratioIlskan_
stanten sind. Wegen dieser Konstanz kann man hier leicht zu dem
Differen tialausdruck gelangen, dem .,ir bei den Lagr"n·g.e",Gleichungen
bege@let sind. Denn :
d( 111- 1V;)
Aber es ist
A No f- et.. d c < = (Je d.,-o) - 'lt" cU.
also
,i'd ~ (7 d l<) _(;;r.d)(.)~-:Jed{ -I-'Jf.c/.I,
Das ist die damals gewannene Dlfferentialform.
35
Gleichungen •
kann man zeigen, dass sie den kanoolschen Gleichungen äquivalent 1st, .
dass also eine 2 n-parametrlge Schar, die ihr genügt, auch Ltlsungs-
schar der kanonischen Differentialgleichungen ist. Zu dem
trachten wir eine .Funktionenschar
36
Zweok b e_ "1
wo die c .•• Cw.., von...--einander unabhängig sind, d.h. dass sie in_
nerhalb angebbarer Grenzen nach den x y auflösbar sind, 1be
"_{ y-. " " ." ... ,,..,< " N I Ftmktionaldetenninen te Je J"_ nich"t identisch 'lJ(/("" , Gh,,)
dort verschwindet. Ferner gelte für diese Funktlonenschar unsere
Differentialrelation
t() ~ dI r,) y< Denn lösen wir dx .,; wieder auf in '0+ f- '71-;:;: ,.( c < sodass
ci W-"" (1« ~~ - -X) cU f- ( J« %: ~e4) dc<
Ein Vergleich m1 t
fd1'ir
'IJ C~
Denn differenzieren wir die erste Gleichung nach c 4 ' die zweite
37
nach t und sabtrahieren die ResuJ.tate VOll einander. Es ergibt sich
'7J IE4 t'J 'i! ,,~ -) Ci CCiY:, ) deDll rv + _0- und die Terme ':/ 0& ;;;: { ~ I 7.( 7f)i 'i>c(
r;;7e .. haben sich weg. Fü.r roe .. schreiben wir
<>Je 'i)~ '()~ 9'1-<. -+ -(')x", (i)c~ ~l"- ruc(
sodass wir haben
c = f/)X-< () '1.(. <pe) 1:>'"" ( roC( ( ~ f- "dX.( + 1)<4
Diese Gleichung gilt für h = 1, 2 . ... 2 n. Somit haben wir 2 n liDe-
are homre Gleichungen für die 2 n Grössen
?:k. J))e (u- -t- ~
, Die Determinante dieser l inear homgenen Gleichung ist aber gerade
die Funkt10naldeterminante
VC8:F de.rwlr vorausgesetzt" hatten , dasB sie nicht verschwindet in dem
"
so gebildet, dass wir es zerspalten können in ein vollständiges
Differential und ein Glied m1 t cU, also
(~ d'1 J - (d ct-J() ~ - cl. fl f- A ~ Da
ergibt Addition
1.< ~ 9" ( i/ c?
. .. c~ .... )
da sowohl x .. als Y.", funktionen Von t, c, .,. c ... sind, tiir die
1
früher erfUllt, sodass also
df"- /() ( "XI- 1)) = -di- r,; '10< .
Demnach ist wesentl1clle Bedingung für eine Transformation der kanon­
ischen Differentialgleichung in kano~ lsch~n Differentialgleiohungen,
dass die neuen Veränderlichen mit den ursprtlnglicllen dur oll die Dif-
ferentialrelation
=_0(..0
formationen, von denen die bier besprochene eine besondere Klasse
darstellt, nämlicll die sogenannte kanonische Berührungstr~sforma­
ti on .
worin die 4..: die neUeJ:l Lagekoordinaten sind.
Wir nehmen jetzt an, dass die neuen Lagekoordinaten nur von den
41
ten abhängen, d.h.
nete Transformationen der y so erweitert werden, dass die gesamte
Transformation eine kanonisohs Berührungstransformation wird, also
der Differsotie.lrelation
Die Punkttransforme.tion ist also durch die rJx: Festsetzung -hol. = It.,., ~
f· /11- (07"
6. Anwendungen.
CL. Transformation der Bewegungsgleichungen auf ein rotierendes
Koordinatensystem.
Wir gehen aus von einem festen Koordinatensystem mit den Achsen
X. At X, und den Punktkoordina.>ten x.., XL x,. Diese Punktkoordinaten
sollen transformiert werden in die Punktkoordinaten &, e, e, des ro­
tierenden Systems mir den Achsen ~ ~ Jt, . In jedem Moment ist dann
der Zusammenhang des X-Systems mit deml'-System- gegeben durch den
Vektor der instentanen Winkelgeschwindigkeit, dessen Komponenten 1m
)t; -System sein sollee. Wir wollen diese Punkt-
transtor.matlon ZQ einer Berührungstransformatian erweitern. Für unse_
re allgemeinen Formeln sind die f-<. .ft±<! die neue",Punktkoordinate -h­
die Lagekoordinat&t.q {. Zu bestimmen sind also die Pol.' Die 7_ 7t /3 usw. interpretieren wir zu diesem Zweck als die Komponenten eines
von P (x,x,x,) ausgehenden Vektors. (Im Vorstellungskreis der Mec~_ "
Hk sind die ;; <. die Impulsvektoren ),
Jetzt seien die ~" ":J 1- va ~ die Kom90nenten dieses Vektors nach
den Acheen X, )t~ I Jt-J Wir könnten nun naoh unseren allgemeinen Ueb­
erlegungen die kanonischen Berührungstransformationen bestimmen, Dooh
1st es hier zweckmässiger~ einen direkten Weg zur Bestimmung der ~.,{
zu gehen, und zwar stellen wir dazu einige kinematische Betraohtungen
an,
• j
43
Wir denken uns nämlich d.x .. d.xl.. d.x) als die Komponen ten eines Vek_
tors, bezogen auf das X-System. Im Je -system habe d1eB~ Vektor die
Komponente"" -;te; ;;Ce:, ~ wobei die ~"'- keine Difrerentiale
zu sein brauchen. Wegen der Invarianz der Winkel 1st
Was ist hierbei p(~ ausgedrückt durch die TransformationsgröBsen?
Da die x ~ nur von t~ . . CA und t abh!lngen, so werden die Differentia-
le d.x~ Linearkambinationen von dß, d(. c;( C J '" d-t sein.
Hier setzt die kinematische Betrachtungsweise ein. Ich betrachte zu­
erst die Transformation für t = const., also dt - 0- • Dann bedeu­
ten die Glieder mit d fJ, oie. de, nur die Verschiebungen zum G I I
System :;t; frl Je j • Von diesen sind die Komponen ten nach den aß.. Bind.
N ehms ioh nun konstan t, t:{(, ~ ~ l = "'e, ~ '" , so
bedeutet das, der Punkt soll sich im System ~ nicht verechlebenJ
ganzen Systems X ge_ sondern es kommt mir auf die Verdrehung des
gen das XL _System an. In diesem Fall ist
Für die allgemeine Bewegung ergibt eich ~ durch Zuse.zmnenaetzung
der eben erhaltenen Werte
a-e; = dez 1- ( 0-, (, -lv:t fJ) dt
~~ A(, f ( 1-1, t,- t.r;. C,) ,u
Mit Benutzung dieser Formeln wird
;p. d[:. ~ ~ • cq; f Y, ztt.,
= (~c:fti +
44
Nehme ich vom Vektor ~ das Dreb.-Moment in Bezug a~ den Ursprung
so ist '1YL das ImpuI sm omen t des Punktes , und die De terminan te
Welln <'YU, I -1/U1. , ~ s die Komponenten des Impulsmomeo.tes naoh den
Achsen X I ?f:,)(; sind, :Für das ganze System ergibt sich so:
wo ~ ~ L CVol. 'I/U ~
Nennen wir das resultierende Impulsmomant 1m}t -System 'h2 so • ist
wenn
sind,
in Bezug auf Jel Jel ~3
Nach unseren allgemeinen Formeln 1'ü.r die kanonisohe Berührungs_
trez:.sformatlbCll bra.uohen wir also nur zu setzen
und haben dann sotort die transformierten kanonischen Ditterential_
45
gleichungen
Demnach können wir die Bewegungsgleichungen 1m neuen System in der­
selben Form schreiben wie 1m alten System, aorem wir
setzen .
Zu beachten iat die Bedeutung der t' 0( / iJ ": ' (/-<. sind die Koordinaten der Massenpunkte 1m bewegten System; die
"p-<. sind jedoch nicht die Komponenten der Relativ1mpulee, sondern die
nach den Achsen des bewegten Systems genommenen Koordinaten des abso­
luten Impulses. Der Nutzen der eben durchget'ührten Transformation der
kanonischen Differentialgleichungen in die eines rotierenden Systems
liegt darin, dass man mit ihrer Hilfe Vorgänge der terrestrischen Me­
ohanik leioht erfassen kann.
~ Reduktion des Dreikörperproblems.
Gegeben sind in einem festen System m1t den Achsen X X X zwei 1 z. J
sich bewegende llassenpunkte
PL (x.x,-x, ). Die kBttonisohen
P und Pt 1
m1t den Koord1na ten P (x x x ) , . " Differentialgleiohungen sollen fü.r ein
neues System transfOrmiert werden, dessen Koordinatenachsen duroh fol­
gende Bestimmungen festgelegt werden.
Als )t 7tz Ebene .. lIhle man die Ebene, die durch die Punkte PP, I f ~
und den Ursprung 0 des alten Systems geht, die sich also mit P, 1'1 ge-
46
gen das x: ~ System bewegt. Zunächst bestimnen wir die Je, -Achse.
Dem Dreieok 0 P, P k
legen wir einen festen Gmlaufssinn und der Nor­
malen in 0 auf der Ebene 0 P, P < einen positiven Richtungseinn bei,
wann sie nach der Seite gerichtet iet, nach der die vorgesohriebene
Unlaufung des Dreiecks eine Rechtsschraubung ergibt • .us *, -Achse
nehmen wir dann diese Normale. Betrachten wir nun die Knotenlinie der
Ebene 0 P, P ,- d.h. ihre Schnittgerade mit der XI X2-~ Ebene des alten
Systems, so können wir nach Festlegung des UnlBufssmnes von A 0 P I ~
diese Knotenlinie in zwei wohlunterscheidbare Halbgeraden von 0 aus
zerlegen: in eine aufsteigende und eine absteigende Knotenlinie, wo­
bei die aufsteigende Knotenlinie die Halb gerade ist, die auf der
o p p. Ebene bei einer Drehung 1m Sinn der Unlautung von 0 P, P">-
auf der positiven Seite der X. XL -Ebene in -die andere Halbgerade
übert'ührt werden kenn.
Diese aufsteigende Knotenl1nie nehmen wir als}f; Achse. Dann ist
duroh die Besti..Jmnung, dass das)t -Koordinatensystem. ge:a.a.u so orien_
tiert sein soll wie dae X_System, die zweite Achse ~l als Normale
in 0 auf der Jt 1)Cl Ebene mit bestimmtem l'os1tiven Sinn festgelegt.
Die Komponente i der Massenpunkte in Bezug auf das){ -System eeien
1; (tA t~ t, i 11 [~~f, C' Dabei ist 0-_
Um die ~ Jtl. -Ebene gegen des X-System festz1ile_ge~, ftihre ich die
Winkel 1 J 1- ein. 1f ist der Winkel zwischen der X, - und der X Achse, '1 der Winkel zwischen der Xl - und '7t~ -Achse. Ferner sei­
en die Koml'onenten del!f"Impulevektora..1m )f -System 1). 11> "9 J ~ Die Transformation sei nun derart gewählt, dass die
neuen Punktkoordineten q, q2 q, ••• q\< qs- q( gerade die Lagekoordi­
nElten der Punkte 1m neuen System seien, also ',
47
Die Transformation ist also wieder eine Punkttransformation, die zu - einer Berührungetransformation erweitert werden eoll, d.h. gesucht
ist der Ausdruck für die p,." p, • Bilde ich wieder wie im vorher_
gehenden Beispiel den Vektor (u, dx L dx 3 ) und nenne seine Koordina­
ten im -* _system ot,(,- vt(!; ott.; so wird (;4 ) I I
Um. ~ zu bestizmnet1, wende ich wieder kinElnatlsche Ueberlegungen an.
----x,
X: ..
HaI te ich zunächst '1,vJiß feet, also die Lage der Ebene, so
iet d~ = d J- = O. Dann sind die Komponen ten der Verschiebung (dx)
gleich den Komponenten der Verschiebung de ,also '.
•
48
Halte ich andererseits den Punkt P relativ .um neuen System fest,
drehe icb a.lao das X -System wie einen starren Körper um 0, dann
iet Ag, ""- deL ~ deJ ~ o;' aber die Komponente-<. ~d.r Ver_
schiebung dx gleich denen des Drebmomen ts um die Acheen ~ , also
~ = eJ ci tv,t - e L d v J
~ - &. e;( q-3 f] dlJ-, - - ct-t; - ~, dt.J; ~. doV'L - -
Hierbei sind die ol E.r,,- die Kompcnaoten der int10iteeimalen Drehung,
4?-;. Drehung um J. J( -Achee lindert sich r ~':.o..- oL 'J
..4- J.. _ ().. Q Bei inf10itesimaler Drehung e!Her X, -Achee ändert sich 11 ~~~_ dV' ,
Da aber die Jt3 t .Jt-"Adhsen in - einer Ebene liegen, ergeb -en~il-i"ch als Komponenten dieser Aeoderung für die )4. und Xi -Achse '
Set.an
wir jetzt diese beiden Bewegungen zusammen,
7ft[; dt4 + fJ dtvL - ft dir, "...,
,
dtJI (t d'-J - (J d<.J , ()ig, - I I - ,
BO fOlgt
<= "J' c1t, I- I' 0«(, + ;) J dt1
Das Entsprechende ergibt sich für die Koordinaten des zweiten Punktes.
Es ist aJ.eo
+- e, tlL (, d "I vi '", d~, \ ), '1L '1, + (}~ e ,- ~.
y, '!J ,- 'fj,
In den beiden Deterininan ten sind die lhterdeterminen ten der Kompo­
nen ten d. t,r;,. die an tsprechendan Komponen ten des Impulemomen tas des be­
treffeUden punktes. Nenne 1ch aJ.so die Koordinaten d.s resultierend~
Impulsmoment>(Cler beiden >'unkte im Jt -Systsm: 'dfl, ?-i2., -;:)623
so lässt 8ich die Gleichung sohre1ben:
Die reohte Seita enthält nur DifferentialaU3dTÜcke in d'!, ••• dqG '
muss also be1 der Berührungstransformat1on der Ausdruok (p d q ) sein.
In dem Differen1ialausdruok rechts 1st zu beachten, dass
50
Ferner gilt die Transformationsformel
sodass 01(3 ~ ?-1z, ~.~ ':I'-!- 'ii'lJ c- j' -j', wo o/{J die Kompooen te des re­
sul tierenden Impulsmomen tes ist. Es ergeben sich also Tür die p oe folgende flerte
Diese Transformationsformeln sind zum ersten Mal von Wbittaker
(1904) Analytische Mechanik. 1. AufI., Deutsch bei Springer, ange­
geben. Wie bereohnen sich die Komponen ten :ftfZo( des rasul tierenden
Impulsmomen taB 1m J( -System?
Wir haben
Ferner war
'J, '3- ':J~ ':J.r
p·r. -f, iz + 'hfo'f-- ehA
'dil, ( 1', ,,~p, 1'. 7, 7. 'h 7' ) ~----," ':f' - 'J,- "1f.
L 'J,' ~ ':J
51
Ausserdem kann man auch die dJ "{}, durch di e Koordinaten 'Jot , t ... ausdrucken. Denn
weil
= "! '" ":J 1 -f <t q. "j'
_ 0-
"). ' 1: ( - '1>1'. - ' 'j~ ?fl.)
j ' _ . % (', 1'. + 'h ~)
Dabei ist 'dVl. ~ Fflz ('1J- jt', f>. " 'j'. , 1,· .. ,,) sodase also die "(j" "fj, als
Funktion der Transfonnatiaosvariabel p •• • • p, Q,., •• , 'l.r dargestellt
sind.
Ausaerdem werden wir später die Kamponenten vtt., .p., 0«., des resul_
tierenden Impulsmomentes 1mm X-System benutzen, sodass wir sie eben_
falls in ihrer Abhängigkeit vOll der Trenstormationsvariabeln darstel_
len . . _
Zu dem Zweck stellen wir zunächst die Tabelle der Richtungs .. ,
zwischen den und X-Achsen her.
}t.
52
Pr c..o!r - t:i[<A/>'f ,>,.~J;(", - 1t.,<.ny)+",,~ , >,,_- ·9J
Ebenso ergibt sicb
prob1ems in Angriff nehmen. Wir brauchen nur vorauszusetzen 1 dass
invariant ist gegenübar kogradienter ortbogonaler Transformation,
in unserem Fall also nur abbängig von der Gestalt + Lage des Drei_
ecks 0 p. p. und der Orientierung der beiden Impulsvektoren gegen
das Dreieck. wenn H diese verlangten Invarianzeigenscbaften besitzt
dann gelten die drei Fl!!cbensätze: Der Vektor des gesamten Impuls_
momen tes ist ein 1m Raum feststebender Vektor von konstari ter Länge,
also f-- Komponente,gegen das 1m Raum feste System X kCllstent:
d{ ~ c I •
,
Wegen der Ortboginalinvar1anz kann icb H auf die J6 Koordina ten be_
53
Da
und
"J.,- "j3 <: p, . pe 9, '!J- )
"JG = "jG (p, -p. '/, 9,- ) -'T? /
k~ ioh R duroh die P1 ... Pe q, •.. qs ausdrüoken, H 1st von q.
frei. Die kanonisohen Differentialgleiohungen dieses Problems
&-< - 9ft - (j) '1", ,p-
ofJ3;. 0/1 (Gi ~ f· . &)
sind 12 Differen tialglelohungen 1. Ordnung, also ein Differm tial_
gle1oh=es- system 12. Ordnung.
Dieses lässt sich jetzt eofort reduzieren auf ein System 10. Ord_
n ung.
Denn in H kommt ja CJ.(; explizit nlch t vor, also ist
c!A 0# Pt ~. - lr ~
54
löst,
d."
so finden wir p(. ::::: c., als die Parameterkonstan te und q ~ aus:
CZf .~ durch Quadratur. Dieses System hat ~ach dem Fläch-
-- Ij) Cl
ensatz noch zwei In tegrale, nämlich M'1 = c...,} M2.. = c~ • Wir zeigen
jetzt, dass durch geeignete Wahl des Koordinatensystems aus
M ( p ••• P r- q, •• , qs- ) un d M 2.. (:p I • •• P r q, ••• ~ s-) P U!1 d q so f ~ ~ r ~
eliminiert werden können, dass man wieder zu einem kanonischen. Sys-
tem gelangt. Zu diesem Zweck nehmen wir die invariable.'::. Ebene:;; d.i.
die Ebene, die senkrecht auf dem konstanten Impulsmomentvektor steht,
als- X,A._Ebens, sodass also die X -Achae die Richtung des Lmpuls- I Z
momentvektors hat. In diesem System ist
,.c, cl. 0 , ~J =- -c -
cUt -= d(~ ~ 0- d(3 -=- <: ,
} Vhc C(I) r: fitJ ) Cjs- =:
= eP) ~ Cf d<,
t r - en" :::- ()-. -::: .. 't lAn Lf s-
Bei Substl tution dieser Werte VO!1 P;r und q b in H ergibt sich also
H:::: 7e ( fo, . . . f7~ 'I, . . '11;), h -?d,] -:. Pl){fo, . 'Pv 't, - - 'iv ) -tft­
Die Frage 1st jedoch, ob man diese Substitution der p und q r;- s
schon vor der Bildung der kanonischen Differentialgleichungen, also
vor der Differentiation von H vornehmen darf. Bei p 1st dies selbs~ S'
55
vers tä:ldl1ch. da Ps = o.-.p.
Für q" ergibt sich: bei Differen zieren vo!]. H nach irgend einer
Variabeln />' .. . p. '7 • .. '1. d"'ich 'l}- nenne:
o ff
da P, = o. Daraus ergibt sich
Die Substitution darf also vor der Differenzierung vorgenommen wer_
den. Diese rein formal gewonnene Einsicht kann man vertiefen durch
folgende Ueberlegu>:>.g: q" = <f kommt nur durch '{j, '{J, in H her- tritt ~
ein uod zwar in aeIIl AusdI1lCk .:. . tür ':Jj, ";1, nur in ?P, ~'.1. :f .
Demnach ist
0ff ~ ~}(l> 0'J' 'l) 17l,) ~ r . h 12ft ) Ll fIJ 'j,
DaraUß ergibt sich wegen
56
Da wir also berechtigt sind, vor der Differentiation in H die beiden
Variabeln p, und '1, zu substi tutieren, so ist
Damit ist ein Differentialgleichungs-System 8 . Ordnung ·gewonnen.
Wenn dieses integriert i st, also die p" • •• p. '1 •••• '1~ als Funktion
der zeit gewonnen sind , dSll!l ist
[ 1- I .,. 9~ J <'V><" C-<') c. ",;..
Das aus H(p I . ,. Pt'- 'l, •.. '1 .. ) sich ergebende Differ.eIl :ialgleichungs_
System 8. Ordnung kann jetzt sehr einfach um 2 Ordnungen reduziert
werden .-
Denn zunächst hat man als Integral der Differentialgleichungen
noch H = h zur Verrugm,g, woraus e ine Variable z . B. p" el1mbiert
werden kann; auoaerdem !tann man anstelle der unabhängigen Variablen
teine unserer Variabeln P", ..... PJ q,. ~ . '1" z .Ba '1 ein1'ühr ,. an. Wir
se t zen al so '1'1"= 6. Dann ergibt die Eliminierung von .P~ :
'X~ ( "I, '/. '13 .( ,< ) f'f = f , 1'L /,J
I .., /
Hier ist H nicht mehr unabhängiges Integral, da es den Parameter s
enthält.
57
Aber aus der Iden tität H(p~ ~~ Pfo ) - h = 0 ergibt sich durc~ Dif_
!erenZleru!! g :
Entsprechend ergibt sich
( .( ~ 1 2, 3)
D~it haben wir für p~ p. P, ' ~~ ~. q, ein Differen2ialgleic~ungS_
System 6. Ordnung gewonnen. Ist dieses gelöst, so ist zunächst t a ls
~ktion von s zu bestimmen. Es ist
dt
lOH'" fO-4
~/f /f
f GIf~
-t c&.J--;:. - ro-t.
Damit hat man auch s ::::: s(tL also q'f = qt,< (t) und alle bisher ge­
fundenen qol(S) I ft (/J) als Funktionen von t.
p ergibt sich durch Einsetzen aller gefundenen Funktionen von t If-
in H~ "
Die wei teren Werte P.r J Pe J q s' q, t'olgen genau v/1e frü.her.
Die Reduktion des dri tten Kör.perproblems auf ein Differen tlal­
gleichungs-System 6. Ordnung 1st zuerst von Lagrange, dann von Jaco­
bi durchgeführt worden. Andere Reduktionen haben 7J~ und Rad.au
59
gegeben' Die hierbei von Radau benutzten Xoordina ten werden wir als
drittes Beispiel für kanonische Berührungstranst"ormationen benutzen.
Zwischenbetrachtung über die invariable Ebene •.
Die Komponenten des Normalvektors der invariablen Ebene sind
d< . L - , ~] - c,
also ihre Gleichung
ter man die Ebene versteht, die Radiusvektor und Impulsvektor bil_
den 10 dem betrachteten Zeitpunkt. Der Impulsmomantvektor steht aur
dieser Eahnebene se!lkrecht. Sind seine Komponen ten 1'ür den eretElll
, • , G h d Bahn b L_,. p_ Punkt 1.1 I ).!>- ).!, so ist die leic ung er e ene , - ..
Für die ~ . ergibt sich entsprechend
J . /, ,,<:/ -I- ctf~ 11 ~J ~ <> ~ """. ) 2 • .)
Für die Schnittl10ie der beiden Ebenen ergibt sich
Da I •
I
ebenen immer in der invaria.blen Ebene liegen.
~Radausche Transformation.
punkttranstormationen behandelten, stellt die von Radau zur RedUk_
tion des Drelkörperproblems benutzte Tran8~onnatlan eine echte Be­
rührUngstransformation dar. Wir beschränken uns hier auf den Fall
eines Massenpunktes mit den Y'arlabeln x..,. x 2.. x\ . (Y", Y L Y,) iet wle_ ~
der der Impulsvektor. Unter Benutzung des früher eingeführtan Be_
griffS der Khotenlinie nennen wir: €j; ..A.... Winkel zwischen Khotenlinie
und Radiusvektor, ~ den Winkel zwischen Khotenlinie und X ~Achse ~ ,
<J den Winkel zwischen Impulsmamen tvektar !i '1] •
und X~ -Achse.
A1s neue Variable p..(., q<. nehmen wir dann ml t Radau:
11 = -r-
7. ~ GJ
1'- : d{ = 1 (KL)(y') - (YJ/
Im Falle der Bewegung eines Massenpunktes ist y ~ mx, also
f, =
Man sieht an der Tralls:formatlansformel!1 sofort, dass keine erwe1 t(. ... .
te punkttransformation vorliegt. Denn !i,j,e x" hängen nicht nur von ' .
den Lagekoordina tan . 9.", ' sondern auch von den neuen Ilnpulekoordin •. _
""
61
diusvektor r und die drei WiJlkel .J; '1..-:->e;wobei '1' von den Lage-
koordinaten nicht abhängt, vielmehr C08 b- demnach-VIF '1'- , r
Jetzt mUSS der Nachweis erbracht werden, dass tatsächlich eine Be­
rübrUngstransformation vorliegtj mit andern Worten, dass die neuen
Varlebelo (p ,q) mit den Variabelo .(X,Y) iJl VerbiJldung stehen durch
einen Ausdruck von der Form:
Zu dem Zweck b1lden wir dx" dx .. dx,_ KiJlematische Betrachtung ergibt
bei Festhal ten der WiJlkel und Aenderung nur iJl der r-Richtung:
~ x;: = ...:...-, ( -"<, -y) ~r
Wird r konstant gehalteo, so ergibt·. sich·-.eine iJlfiJlitesimale Drehung
mit den Komponenten d t:v, ~L, ci",; wo
< d Jt- f <An <f cL @ -I', cllJ-, -
..A wobei der 1. Term bei Drehung um X, -Achse sioh ergibt, der 2. Term
die r, _Komponen te der Drehung um den Impulsmomen tvektor is t.
Bei der Drehung um die IDlotenliJlie ändert eich '1 um d1 , die
Komponenten dieses Drehvektors in Bezug au~ die X,- bzw. X 2 -Achse
siJld cos.9 d r bzw. sin .JcL:r • Ferner ergibt sich bei Drehung um
tors in Bezug auf die X - bzw. ,
M als Komponente des Drehvek_
X, -Achse sin '1 siJl-J!- a{ .v
bzw. -'}-i~ ':f ".,~d~sodass also Zusammensetzung ergibt:
vi "", - CO'> -3 d'j +- --...,-~ '1 ,-,.,-" S- 0(. €I;
d "', __ r.,-.,}d'f _ 6.g,'1 , .... "'.J- &L fi
Andererseits ist bei Festhal tung von r die Verschiebung .-
cLx. --I f, .,c<f. - ~ dCJJ
d.r: - XI d<J-j X; dv, "-
oi,rJ • .(" d<J-4 - T1 dqz.
Zusammensetzung der be1den Bewegun g en ergibt also zunächst
dv, ~ ~ 4 +- .J(J d <.J. - .('" d<r J
Y... .I J - -/ ttlx,-- • y 0( y- -I- XI "fAll - .Y1 V( 41-.
J -' , ~ ~ -'._ / " -t d V<-A" -.,. vvy ... ~ L 0< <>-, - x, CJ.
Es ist demo ach I d Q, d<> ... MJI
(Jdd ~ 4t- ( .J( ,,/) rh- +- X; X' ... .t)
7, "j .... 7,
62
: ~ (Yj)M + eIL~ d<J, f d( .. M L f- Uf; ct<>J
Fü.r d 4 , ~L d<J, setze i ch die vorher get'Undenen Ausdrücke in
ein:
~ %- {xy J h- f d -J-.dl.J + vi Cf (df. "".J. -I- -« <.v> J) I
+ cl. @( dl, ,., ,,/ -,,- ,J. - ..L< .... "!~.J "~1
Es 1st jedoch
va '?--' -"'i ""' ~ -J.
( J cl-r') = *- U')J urr + cf,( ( d €J f- C-V.> 'j 0{ -V)
~ P, d74 1-\1'~ d'/L + r~ ",cf3
- (jo'n
63
matiOU .
blem.
Vorgelegt sei das Attrakt1onsproblem für den Fall, dass die Bn_
ziehende Masse sich im Ursprung I die angezogene mit der Masse
m = 1 im pUnkt x y zf14~- Für dieses Problem 1st die Kräftefunktion U eine Funktion ~ ,. ,
Also U = U( y-). Für m = 1 ist
T- A. . ~ • z... i/) . t: { ..(, + J", +- 1 1-' -- x ..
= i. t 71 l +- 7.2- f- -;; ') :I( - T- '2c
d,r:., 'd( T-ZO 0T 7ZF~ ro :; "-
- fO;!«
= Qy"
64
HÜ', q) = H(x y), da bei der Radau'schen TransformationA = O.
Aus den Transformationsgleichungen
'j, ~
\
\ .
H ist"drei von q L q l P 3 • Es treten also ~ drei zyklischE!>! Koordi_
naten auf. Dann ist aber Pt P, q, konstant, d.h.~ 'f ...:-...'l8-kanstant.
Durch 1, -J. iet die Lage der Lnstan tanen Bahnebene gegen das feste
KoordinatansysteP1 bestiwnt. Demnach 1st in unserem Fall die instan_
tane Bahnebene fest, d.h. die Bewegung des Massenpunktes erfOlgt in
einer Ebene. Es sind also nur noch r und G? als Funktionen von t zu
bestimmen. Da M = c, so ist J j
65
- Um e9 zu bes timmen beachten wir, da s s
__ r-Z ~~ Es ergibt sich hier also c ~ d.h. die Flächengeschwindig_
kei t ist kansta.n t.
Ist aUS der Differentialgleichung r als Funktio~ von t ermittelt, d.@ <-
so kann man diese Funktion in di e Gleichung ~ - -y~ einsetz_
an und erhält Q durch Quadratur.
Kommt es nur auf die Bahnkurve an, so t'ührt man ,.,. als un ab_ cl. @? <-
hängige Variable ein und es ergibt sich e<.T - --{'" r !(,j' Aus der
Form von f ( r) ergeben sich also die spe ziellen Eigenschaft9!l der
Bahnkurve.
1. ~~~v;lenz de.::....~o.::-sc~en~~~~r':' ~:~~.~~e~.c~":'g~~~ Jacobi_Raml1tanlSchen partiellen Different1algleichung. =-=,;."",....., .. ..,..._'_' _._. __ ............. -".....----~" .... ~...... N.··. . .. _"""..: .~ •. _ .... ,~ ....... ·----· ·wi; ~ir gesehen haben, führt eine Berührungst;';sformatiOll die
66
den Zusammenhaug des Systesm der kanonischen Gleichungen mit einer
partiellen Differentialgleichung her.
wo
Eill s ehr allgemeiner Weg um solche BerührungstranSformationen
zu erhalten, 1st folgender:
Wir nebmen eine willkürliche Funktion 12 (x • ••• x .. IJ. ••• IJ. t l, . "
.. "-) .
67
DeDJl sind die bekannten Variabeln p , 'l 0<. , so kann man die x_ ';)JL " -
aus - :? = fi) 'l~ berechnen. Dies ist immer möglich, W8L!Jl
~", - ' - - 1") ;;1= 0 _~_ In unserem Fall ist diese Funktio"alde_ I"1J[Y" . . ~ .t' .. ) -. I'ö)2.A· I
terminante (--1) I I'iJ,y. "''f/> I verschwindet also nicht "ach Vor-
aussetzung.
Set. t man j atz t die x~ (p, 'l) in 7-< ~ I'iJVy~ { ..J2 ( .-;, " ". 7,' - - 7,;)
ein, so erhält man auch 1.: ~ 'I.., (r, '1), Ungekehrt erhält man auch, ")..../2..
wenn man die x..t..' y...( transformieren will, die q.o(, aus J-I' - --,-g Y..,
deDJl
Die 'l(x, y} setzt llIBl:l in - f. - ein und erhält so
Diese Transformation ist eine Berührungstransformation , denn
dJ2~ ~ "-~ + 0fl d,1 '0---'2. 0-'< -< (i) J "- .I. +- 0-&- oU-
"" '7"- d-yo( po. cL,!", --r- QJ2 dA 1) -l,-
("j tÜ') - (r";{ 'J) + !1 oLl ~
Dosere Differential Beziehung ist also , erfüllt.
t h~~ wir Jl so zu wählen, dass H'" = H + 11 -= 0 wird. Jetz SUC ~
Dann erhalten wir n~lich als kanonische Differentialgleichungen
.... ) (
'1.( = c<mS t
gegebene Gleichung
algleichung, die die Hamilton-Jacobi'sche Dirrerentialgleichung ge­
nannt wird:
wo [] =.-D- (x" •.. x~ q., • •. q ,) a....c.::fJ-~ ~, . . . r 4.. von D kon_
stau ten parametern '1.0<- abhängt.
Naoh Lösung dieser Differentialgleichung ergibt sich durch die
Transformatianaformeln
folgt
o =
.. p .. )
69
Das ist die Fonn, der wir seinerzeit als FUndamentaldifferentialre-
latien für die kanonischen Differentialgleichungen bege~et sind.
Der konstan te Differentialausdruck @.(, d'C,,-­
trat, ist hier P..t... dq~ •
der damals auf-
Wir wissen von damals, dass eine Funktionenschar x"", y< mit den
2 ""'- In tegra tionskonstan ten p~ q -< die diese Differ.:an tialform er­
füllt, auch Lösungssohar der kanonisohen Differentialgleichungen ist.
Ausserdem hatte sich damals für die Hamilton'sche Wirkung ein
sehr einfacher Ausdruck ergeben, nämlich
Derselbe ergibt sich hier aus
d R 0...Q 9J2 d~ r:J JL f().f2 011- ~----- =- f- - - -= fV-t; + IQ~ 10:70( o&t ~t; /() ..r'"" olt-
_'de Idlt- ;f{Y,7) - 1- / -<. liJ y~' -
Die Hamiltan 1sche Wirkung ist
b jedoch f:
t:
I/' , "' t-:. c
wie oben behauptet war.
Aus alledem sieht man, dass es darauf ankommt, ---12 so zu be-
70
stimmen, dass es n Koostanten 9< t 0(, -r , ' , ..J enthält. Machen
wir den Ansatz
wo :r von t nicht abhängen soll, 80 haben wir in.-f2 die In tegra­
tianskonstante.4. als J~ ""'- -&, sodass g nur noch (n _ 1)
andere KC!lstanten zu enthalten braucht. D.h. 'iiI- ~(~~, ' ,' ";,) wo q = h. Die Transformaticnsfonnelll für dieses -.f2 - <j' - 4'.-6
" ,lauten
fo"' r():f (0<::= ~ , >t.)
Das ist eine BerlihrungstransformatiOll, da
r (()f tJ) d .) = ?öi'; dx< I- 07< clf1..,
~ (':101 dJl..) - Cf.. -+) d,7, - r. d,7L
als zugehörige Differentialform sich ergibt.
Die zugehörige Jacobi_Hamilton'sche Differentialgleichung ist
71
denn
I
aus
wird also ~ H(x 'M ) ~ h = O. Von h sehen wir, dass es Integrations_ , konstan te 1st, denn
gleiohung ist 'l" ~ ferentialgleichung
demnach folgt aus der partiellen Dif-
h ist also die E1ergiekonstante. ~ steht mit dem Maupertuis'schen
Wirkungsin tegral in demselben Zuaammenhang wie J1 mit dem Haroil ton­
achen Integral, nämlich
denn da 'i» * = I + h (t ~ t O), s o ist
~*= -0(;(9) - J){;(, "I) f-~-t - -<tc
= (.l2{ x'i) -I- a) _ (.J2(:/°7) + -a,)
= fc)"c;) - .f{x°'1).
sche Differentialgleichung
äQ.u1valen t ist einem kanonischen Differen tialgleiohungs-System. Zu
dem Zweck nehmen wir an, es sei 1lllS eine LöS1lllgsschar der kanonisch_
en Differentialgleichung gegeben:
wo die AnfangsWerte sind
({"J )-<
aleo eine i..ösungeschar mit den 2n + 1 Parametern -y.:' 7./ t· (,,: , .. "J .
Zu diesem kanonischen System gehört eine D1fferentialform
wO c ... = c ... (x' y' t') -'1'. Ersetzen wir jetzt t duroh t 0
dann wird die Differentialform
Subtraktion ergibt
Die (x y) werte zur Zeit t hängen also mit denen zur Zeit t O (l.uroh
I
gleichungen geben die infinitesimale Transformation der (x y) Werte
zur Zeit t in die (l< y ) Werte zur Zei t t + at, sodass Au1'suchen der
Lösungen dee kanonischen Systems gleichbedeU.tend ist mit Au1'suchen
der Schar, die diese Berührungstraneformation gestattet. Setzen wir
jetzt .J2 - ..f2 ° = I , so ergibt unsere Differentialform
d ':J = (:y V<- l') _(d°,x.."O) _ r;e(x :J ) oll +- ';kC ",°:J°{;")qt .
Dieses Differential würde sehr einfach den Differentialquotienten
von I ergeben, wenn es gestattet wtl.re, die x, x; t . t O
als unabhßng­
ige Variable einzuführen; dies ist nur möglich, wenn ich alle Vari_
ablen durch sie ausdrüoken kann . Es kommt also darauf an, dess wir
eus den gegebenen Gleichungen der Schar
,« _ .(<. { -t( r X; o.
~Or-J' " /,
< ~ ,
':.:. -t ° (x' x. 1:t, )
darstellE>:! können. Zu dem Zweck müssen die ersten n ·Glei.ohur. gen >'- ,e.':·-
nach y~ auf'lösbar sein, denn wenn dies geschehen ist, braucht man
nur die j/ ........ 1", durch die x XO t , t' auszudrücken, um 7..: eo-
fort ale Funktionen von x-,-x';,.t, tO zu erhalten. Die notwendige und
h inreichende Bedingung für die Au1'lösbarkei t der m. ers ten G1eich-
o 0 ungen nach y ..... y.,.., J
ist aber
74
({)C.y· •
Dieser Bedingung sind "ir in anderer Form früher schon einmal be­
ge€p-et. Denken wir =s nämlich x"' = ter Awlehme der A<lalytizitä t <
in einet potenzreihe von t - t O entwickelt, so ~t
demnach
Das Nicht_verschwinden dieser Determinante war seinerzeit als Be­
dingung dafür aui'getreten. dass man von den kanoniachen Gleichungen 'tiCK; < <. Y .. )
zu den Lagrange'schen zurückkehren kann. Ist also (,J ( 0 ~o '7t < - 'l,o) so ist
75
Die letzten Gleichungen ergeben also
d.i. die Jacobi-Hamilton'sche Differentialgleichung tur I mit den n • 0 Konstanten x, ••. x~ • Diese Differentialgleichung liefert ein voll-
ständiges Integral, falls
o 'U7(x><,0t-t0) ..:..... 1'(' -= /U XoJ.°
Setzen wir hier X.t. = Xc< (t Xc> y" t 0 ), so mU8S rechts iden tisch - y • '"
stehen. Wir bilden die Funktionaldeterminante
J~ • )
(()(7,"· . :; .. !
"" 'J<'";} (-4) ~
Daraus folgt
d.h. die Voraussetzung datur, dass I ein vollständiges Integral der
76
ist, ist erfüllt. Damit ist nachgewiesen, dass die Jacobi-Hamilton t
sehe Differentialgleichung einem kanonischen Differen tialgleichungs­
system ä<luivalent ist. Denn unter den ß"e'i7fi~~te~ Voraussetzungen f'übrt
die Differentialform der kanonischen Differentialgleichungen zu obi-
ger Jacobi-Hamilton'scher Differentialgleichung, während vorher nach­
gewiesen war, dass diese zu der Differen tialform der kanonische~ Dif­
ferentialgleichungen führt. Die Differentialform .selbst ~ar aber der
kanonischen Differen tialgleichungen äquivalen t.
(. Darboux's Nachweis der Ae<luivalenz. _ ...,_~~~~~~?i'o?'>; ~ ~""'o(h'i.l./'.R.T~ .. f'!t(;.~""""' ~,.."~ . .. ,,,'J'~ .... ;.".~.'\~~ ... -~7~ 1'._ ~_o;
Einen aadern Weg zur Herleitung der Aequivalenz schlägt Darboux
in seiner Flächentheorie ein. Er nimmt an, dass zu
'Je + ~~ 0 eine Lösung gef~del1 sei. Dann gilt der Satz: Nehmer.. . -~-- '
wir von eiLeroYl)ifferentialgleichungs-System die ersten n Gleichungen
/I-
(o(~ /I, - . ~) I
nehmen wir von letzterem Differentialgleich~gs-System irge~d ei~e
Lösung Xo<, (t) und bilde!1 Y cL. (t) nach obiger Vorschrift, so ist damit
eine Lösung der kanonischen Differen tialglei chung gewonnen.
77
Kennt m~ also eine spezielle Lösung "der Jacobi-H~ilton'schen
Gleichung und kenn t man eine n - gliedrige Lösungsschar der gewÖhnlich_
en Di fferaot i algl eichungen ( ), wobei di ese Differen t ialglei chun gen ?J2...
in J2 e in Imp1llspo t ential b es itzen: ,,/J - /l) x~ so p.B.ber wir in
den x ,Y.., ein volls t ändiges Läswgssystem der kanonische" Difi'erer.t-
1alglei chungen . Zu bewe ise~ 1st alsoJ dass unter ~ser~ Voraussetz-
ungen
= 0
Wir setzen jetzt
und b ilden
~ Q'J(. ro!JJ fd7e 1J:a. - f .f - -= '7J x'., rot tOl,ß 'O4/> t;)-r'" iUj ... ro X<.
da ja rv...f2 --- "1'" f'j /' = ()) I"
~Af' ru F oC".!.< 1ft -- a-t -;- fbx" - 0X'oL
78
Ist nun l!' E 0, wie ':'I11r acge~o!llmen haben, so ist unsere Behnu~tu.:::tg be-
wiesen. ~:ar sehen jedoc!l, dass es gCU':c.lcht ::J.ötog ist, :F =- 0 e.:-:.~U::8~-
sc, viehle:b.r genügt sc:!::!.ot! die Annal5e, d:isS F nlc'!::!t 8y.l)lizit z Dl e~t-
1JF ~ält, d.h. ~/~ = o.
Diectrage erhebt sich l::.l::., ob sich r..1c~t weitere btegratlonsver­
einfach~g erzielen lässt, we~ ~ n oc e~ weniger KO::J.st~tec ent­
hl!lta :;Vir :::J.eh!nen z.B. an, dass Jl noch ebe Konstante Centhält,
also
cp(r .. ~ . · y~+)
Demnach
falls für x" eine Lösung des Systems gesetzt 'Iird. Setzen 71ir jetzt
79
1'JJ2 fi)c
dann 15 t :f'ü.r jede Lösung = 0, o.lso c/J (x. __ x. t) = C. Ist
fl ein e Lösung der Jacobi-H~iltantsc~en Diffe~tialgleichuag, iann
ist F = 0, damit S Iii F ~, r,U2. fifI ca ~ 0 und so '-t-' - '" c ' H2.be'c ".ir i :l
J2 k Eara.raeter I dan.~ kÖ:J.n~ wir k solche In tegrale ar:.gebe::::l. Dami t
ist von eiv.er 3l1dern Seite her die Ae 'lulvale.::.z der- Jacobl-I-!a::::::J.ilto!l­
sehen TIiffere:::L tialeleichung Uld der kano!J..lschen Differer:. tialglelch-
UD gen ß nIl.. e s en .
Ist nfunlich -12 = J) (x, ... xl.o. q, ... ~~ t), so erhSilten wir zu­
nächs t VO!l de" II Differe:l tialgleichungell
~ ' . r ...
t;J...f2 " Parameter die n Integrale "1-<-
7, "
Parametern 'l., ••• Cl. ,,-' wobei die
= - 1' .. (<1(= 1 ... n) liefer".
Als allgemeil~ste Lösun g ergeben sich also 2!J. LÖSU!lgeu x.., ... X 'LI
y .,. y mit 211 Konstan ten 'l., ~ ... ... •.. p~ • Diese Ueberleg-
unge" geb e" gleichzei tig die Brücke zur Variatloosrec~~ung, inde~
die n_glledrige Lösungsschar das Feld der Extre~alen liefert, das
eine Schar von rralOsformatiDrlsfltiche.r. zulässt, llÖ!nlic~ die Fläcb.en
..i2 (x t) = CDrlst. , Hiermi t schlioSS8!1 "ir die allgemeice Betrachtu",:> der kanO:lischell
Differel:! tialgleichungen ab, um ws speziellen Be1J1egungsprobl~e~ der
Himmelsmechanik zuzuwenden. In einem 2. Teil der VorlesQ~g werden
wir aill' die Theorie der kanonischen Differ8!ltialgleiChunge" "ieder
zurückkomme!. .
Himmelsmechanik.
80
1. Abschnitt. Betrachtung der speziellen Zen t r alb eWe 8"00 g.
(Keppler, Newt~~.)
1. Lösung der Hamil tO'J.-Jacobi' sehen Gleich=g für die Zen tralb e_ ~ .. ~ .. __ ._. _~ _ ____ _ . ___ _ .. __ ,-,' -'-'.s::.- .. ____ _ _ ___ _ .• .... .
wegung. -;-.-_ .~_ . .
Ein Massenpunkt von der Masse 1 in der variablen Entfernung r
vom Ursprung soll sic h bewe3€U unter dem E~fluss e~er v on r uaab-
hllngigen Kraft, die die Kräftef=ktion U(r) besitzt. lh ter Benutzung
der Radau'schen Transformation soll die Hawilton-Jacobi'sche Dif-
ferentialgleichung rür dieses Problem aufgestellt und gelöst werden.
Es 1st
T- J
2{ "" rzt ( -Y-) '1' 2= -1'/ -I- .Iv 2 -1--1', '
T{y) - 'Zar)
der Form /er X ~;;, ~ 'j ~.e;f, also nur
noch zwei Parameter r;yf
J frei sind .
so erhalten wir als Jacobi_Hamilton'sche Gleichung
AJ2. L cf' '-f.( I- 1x,J J r; ~
4
81
durch Trennung der Variabeln gelöst werde~ kannten, machen wir auch
hier einen entsprechenden Ansatz. Wir zerlegen 'iI additiv in zwei
Teile, wo der erste von der Ltinge ....,.... , der zweite von der Rich tu:og
allein abhängt, also
'1;= "'-
':!.,t f- 'f>,,~ = ('I ,( y») :,.. z
Die Differentialgleichung lautet also
eine Funktion F( T) von
allein wird, daun liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung vor.
Diese Forderung bestimmt aber scbon die Fonn von 'T"(y) Denn da
I\l; (x x x ) von der Dimension , ( L :\
_ 2 sein. Da aber ..,. selbst von
'- o ist, muss tf'.r"ol von der D1mensi on
der Dimension 1 in den x x x ;st '1 It. l .... ,
so muss ,e'L ~~ .
F("") in rr von (- 2)ter Dimension sein, also von der ;'ort!!
Es ergibt sich durch unsere E'orderung r
unsere Differentialgleichung lautet jetzt
y%.
82
D1 l' tri tt also noch die Konstan te c auf. Wir wählen '-f so, dass
es noch zwei Parameter enthält; den Parameter c und den letzten noch
freien Parameter q3 • Das ist möglich} denn wählen wir einen von 0
ausgehenden festen Vektor ], f2/ 13 und nennen den Winkel zwisoh-
et: diesem Vektor und de?Il Radiusvektor ® , so ist ®C,.-; .;(L-XJ Jf t :t ) hQ.O)ogen von.(·Dl,mens10!1 O. Bilden wir den Gradi~ ten von ® , so liegt
dieser in der Ebene ( :J T ) und steht senkrecht auf T , und zwar
ist
wenn A die Riohtung des Gradnian tau bedeutet. Es ist ab er -y- d.. @=o ~ und infolgedessen Grad. @ = 1y.. Wir setzen ~ = A ~ ( da denn
~ z L c~ (Grad y) = C (Grad 0 ) = ~1. ,wie wir verlangt hatten.
thsere Fqnktion ~ selbst wird dan!1 ",..
J f{h) cl-v +- ~ @ ( x, Kr.- XJ ~)
Verfügen wir jetzt noch über die Lage des Vektors f } indem wir X, 1~, 'fI-- ß."-1J'" --..-I --.~ J.,.J
vorschreiben, dass er in derYlositiven X,Achse den Winkel ~ bildet,
so ist @ vollkommen bestimmt \IDd dami t über den letzten Farameter
ver fugt, nämlich q):;;; J--. Wir haben somit als die drei Parameter, von denen.. ct noch ab-
hän gt , er hal t en q I ::: h J q 2. :::: C, q) = ~ .. unsere allgemeinen Betrachteungen über das Integral ~ der Raml1-
83
ton-Jacobi 'sahen Ditteren tialgleichung führen für den Fall n = 3 zu
6 In tegre.lgleichungen:
~ /lJ<, "t, =
-V -h "j, 0 rb7, <t~ < "'1,
Um die rechten Sei teu auswerte!l ·zn kannen, müssen wir die Dlfferen t­
ialquotienten von ~ kennen, die sich am schnellsten aua dem voll­
"st!!ndigen Ditteren ti al ci."@ bestimmen lassen. cl @ gewinnen wir
durch kinematische Ueberlegungen, nachdem wir in 0 den Vektor c
senkrecht auf der Ebene durch ,.,.. und er eingeführt haben, dessen
Komponen ten nach den drei Achsen Bind
c = c sin Cf' sin -J. I
c 2 = c sin ':! COB 1}
C = c cos CI' , J
die Aenderung von ol4, die für d @ Jetzt ist
die Komponente von cl. ~ in der c_Richtung, d.h.
in" Betracht kommt,
ChJ d.s.- ;. m Variiere ich ~ nicht, dagegen die Lage von p(x XL X 3)' so muas , ich von dem Dre~ektor mit den Komponenten
seine Komponente in der c_Richtung nehmen. Dies liefert als Beitrag
zu
84
I ,
<. d.@ ~ - -Y, "' ... x J dllY-- Cl <, CL C,
Daraus ergeben sich als die ilifferential~uotienten von c E9 nach
den einzelnen unabhängigen Variabeln:
f{)(j; :L I X" y~ I -C -0 >f, - yL Cz. C '3
0G> :L I ><J ,,~ J <.. iF7; : yL <-, c,
,(. '()(Ö'J 4- I X, X'L I '1>"', : T- C, CL
Damit sind wir imstande, aUS ...-
G€:> - c J -<. /()~ =
folgende Int.gralgleichunge~ zu ge~~e~. -r-d..--
-t -P,: f -qr;>(y) -"0 .,..
f h (_ f~~) - f. = GJ + l Y {«) " ')-"
1'1 = + Cl
Aus diesen drei Gleichungen ergeben sich die x -< als Ftmktionen VOll
t, P und q:
Zur Gewinnung der /'" differenziere ich 'ff nach x" Das ergibt
85
('1-, ~ 1f~ X; -y- + d.. I y' L... C: J I X't.. ~
ib <LI <, " / ":I/, ~ Xz ,... -I- -,-~ "-, X;
73 @ .,. Xl --r +
d... I ;. c./ y~ x.:
Zunächst folgt aus der Tatsache, daes P, konstant und (, = c cos l'
1st, dass auch c:f :::; const. 1st.
Da ,;r Integrationskonstante ist, so ist also die Bahnebene, die
durch ,(} und '/ bestimmt ist, feet gegsn das X-System.
In der Sprache der Astronomie heisst der feste
w~end man rJ die Knotenlänge nennt. Aus linie,
COl:lst •
• ...c.:::; "
Vektor 1 Klo oten_
unter Beachtung dieser Tatsache bilden wir aus der Gleichung für
jetzt, um die Bedeutung der -<-<. (.,., 4;~·J)kennen zu lernen, die De­
terminante"der J,latrix
Aber .aus der Gleichung der Behnebene folgt
X c, + x c , L •
Demnach ist
'(" 'h - X3 7~ ~ -<,
86
Damit sind d1e Konstan ten . als die Kompone:l ten des Impulsmoments ge­
gen di e fes teo Achsen erkenn t.
Es hat sich demnach als Transformation ergeben
Um nun auch die Bedeutung der P",- zu erkennen, suchen w1r ~ fsst_
zu legen. Zu . diesem Zweck machen w1r dia Voraussetzung, dass es im
Laufe der Bewegung mindestens ein lo!1nimum fur den Rad1usvektor 'Y"
g1bt. Durch diese Voraussetzung haben wir sp1ralförmige Bahnen ausge­
schlossen. Wir w!!hlen jetzt i'ü.r '>:: einen l.!inimalwert von .'}':
,
JJD astrooOI!lischen Sprachgebrauch nennt man diesen Min1malwert
Periheldistanz und die Richtung von 0 zu dem Ferihelpunkt die ap­
sidenlinie. Befindet sich also ein Massecpunkt 1m Perihel, so ist
für ihn:
Da 10= ....,. min., so 1st d.... (Lrj' () ~ = O. lhd wegen '-# = f rauch
f ( ...,.. .. ) = O. 'etzen wir in unserll!it Formeln "Y = Yt> I so fOlgt fe:rn.er
l)t-P, .... O
2) e + p. = O.
IHr setzen p, = - g. D8Iln ist g der Winkel zwischen Kllotenlinle und
apsidenlinie. Ferner hatte sich bereits vorher ergeben
3) p 1 = C cos .
Damit sind die JC~ y" als Funktionen von (i-to); 4. ,e, ;t :,J-,y)
gewonnen, wo t - t., die vom periheldurchgang aus gezählte Zeit 1st.
Jetzt erhebt sich die Frage, ob die x". y", mit den Konst8Ilten durch
Berührungstr8IleformatlO1l zusammenhängen. Wir hatten in Gleichung ( )
d S- = (pLY'j -1- (I:-/,,)d'i, -/,L&{7z.- - h e{<h
Daraus folgt
88
so wird
Dieser Relation entnehmen wir, dass die x~ J y< auch mit
( -6--6., '1, ,.,} ') durch eine Berübrur.gstransfonnatlon zUßammen- 4 c. t:. ~y
hängen.
Der AUßdruck -;/'- h(t - t o ) - c g hat eine einfache lledeutung.
Er ist nämlich die vom Perihel aus gezählte Hamilton 'sehe Wirkung.
Denn für das Perihel ist bei dieser Zählung tP°= c g. Die Hamil­
ton 'sehe Wirkung hatte sich aber ergeben als
cf - 'fo - .{ Cf: - t.)
'f - .-1(-/' - -60) - c'J
Wir erinnern uns jetzt, dass 1m ter Annahme der Homogen i tät von U( )
wir die Hamilton'eche Wirkung durch die Lage- und Geschwindigkelts_
koordinaten ausdrucken. konnten. Nehmen wir also an, dass
dann wird
ist, so wird
1- 'fii .t. d.{i - t,) ~ (dd~) . -f- -<. e«(i- t .} t- c.t" '~1d
1!_L und C<> = (_.l) ~(t- t.) Setzen wir jetzt J<.=
ci"" = -fE - t.)
Bei Einführung von Il und ,v.,wird demnach
/ so wird
Diese Differentialbeziehung, die in der Störungs theorie eine grosse
Rolle spielen wird, zeigt, dass die x, , y..: auch mi t den
I
I
durch eine Brührungstransformation zusammenhängen.
Haben Wir es mit einer periodischen Bewegung zu tun, so ist, wie /'.-'
sich seinerzeit ( ) ergeben hatte, r::{ -t.) V = const. für die
ganze Schar der Lösungen. Nehmen wir in dem Ausdruck für Wals
Zel tpunkt t = t 0 + r, so ergibt sich (Ar", 'r (- 4.) ,,~'
e
90
Da.raus folgt, dass die Bewegung für die ganze Schar periodisch'?"" tN'
1st. Durch Normieren können wir es llnmer erreichen, dass die Periode
in c..r gerade 271 ist, sodass dann die Lösungen sich in Fourier'
sehen Reihen darstellen lassen.
sieht man, dass das bequemste Koordinatensystem erhalten wird, wenn
wir nehmen
a.ls Jt" =Achse die Ba.hnebenennormale,
die beiden gemeinsame Normale in Rich tung einer rechtsläui'1gen Schraubung der -Xi in die X, _Achse
Nenne ich jetzt die wahre Anomlaie, d.h. den Winkel zwischen Apsi­
denlinie Jf, und dem Radiusvektor ~ ,so ist für die Bewegung
® = '1t- + g und
Bilden wir jetzt
(;3 ~
o
=l~Ly' + ~L I~ ::~,1) aber ~: ~.~ ~~ / > 0 und
,.11 ;(1- xJ
I -- 1ß- "' .... -<..-,
", X. X,
/{ (jC ~~ 7J - ", J,.) C.(X,7, - X.'hJ -f- G.(';7. - J{J,)] - t-= ( y'L
:L '- .. C,/) c..
~ (C, +- C-a. +- - " <.-v·
. --{fr. ":J. ;s. 1%, = '"
Aus 0 = 1r + g = V- - P,- ergibt sich ferner so:rort ® + 1><- - v-pt... ... f · - asl Bahngleichung in Polarkoordinaten.
v ~ C y' i)iF.J Yo
Zur Bestimmung der &eit heben wir die Gleichung
Y04-
In diesen beiden Integralgleichungen treten eIs Konstanten nur c und
h auf. Demnech hängt die Bahn und das Gesetz der zeitlichen Aender_
un g nur von der Ebergiekonstante und dem konstanten ImpUlsmoment ab.
Bestimmt man dagegen aUB den Koordinaten f?, und e CL die ursprüng_
lichen x , x • x 3 • so ergeben sich drei Gleichungen der , 'or \" I z.
)( = , A, e, + 13, (;z.
.(L - AL ~, 1- 73" f __ cJ2-. : A,J -V, '!, 7 ) , 73, = 71 ( ~ :J, '1) I
~ ; AJ e~ + 73, r: ..
92
wo die Koeffizienten der e. abhilngen von den übrigen Konstan ten ~ 1-"))
2. Anwendung a~ Newtao'sohes Gesetz. - y ... _ ' .~ . . -_ .. - ,' _ .. ~ .. , . ... . -. -, - ... '" " , " ' - ",
Aus unserer allgemeinen Betrachtung ergeben sich die Gesetze der
Bewegung eines ~aasenpunktes,auf den eine Newton 'sehe Anziehungs_
kraft einwirkt, wenn wir setzen U("..) = "'$', wo I' >0 Anziehung,
j"-- '- 0 Abstossung bedeutet. Dann ist
h < > 1CY) = 2{ y -+-4) - T. =
Bei der In tegra ti on tritt ~ auf. Wir müssen also fordern, dass
demnach mindestens 1 + !LA c"- ./'-' '> 0 ist. Wir setzen
A+
~ '-.c.. '- (~ /'- ) "-j("') = ~ - y - -Z
wo I ~ - !z I L r-: I sein muss, damit f( T) positiv ist.
f ( 'T) = 0 hat zwei
zwischen denen -y-
o r(-f';--L) I I
CL
r'-<) Intervalls
'Yo r, die Funktion f( -Y) L 0 ist. "Iö ist offenbar der kleinste
Wert, den -y- bei der Bewegung annimmt. Da r ~ -~ I so führe ich den Hilfswinkel X ein durch die BedL'1gUD g
aod.llss sich für X = 0 ergibt
Führen wir diesen Hiltawinkel in die ~leichung 1r_
ein, so ergibt sich zunächst z.
01-,- = (-'-?{4;r d.X /,«4'-I-L c.."X)L
Es ist jedoch
und "r L V fv) (., 1 JL '")...,' .... -x - /' (A -I-- "- "" 7( ) '­
:r
CI:. BahngleichUZlg. -
Somit sehen wir, dass die eingeführte Hilfsvariable die wahre
Anomalie ist. So..u wird die Gleichung, mit der wir X' eingeführt
haben, zur PolergleichUZlg der Bahn. Nach ~ aufgelöst lautet sie
wenn wir p = cl. - , c = + Y~jo setzen.
Das ist die Gleiohung eines Kegelschnitts in Polarkoordianten
mit einem Brennpunkt als Koordinaten-l.{ittelpunkt und zwar tUr
eine Ellipse eine parabel eine Hyperbel.
Aus 1 + L
/"L ::: ß-- folgt, dass
im Fall der Ellipse h L 0 im Fall der Parabel h = 0 im ]all der Hyperbel h > O.
94
Aus der Kurvengle1chung ergibt sich, dass die Kegelschnitte gegen das
~~ -System die Lage haben wie die Figg. sie zeigen.
...... ~~, .. 'l'lr.l , •• ,.1
!C .. " ' . . I
.'
~~' .. --- ,
Von der Hyperbel kommt nur der linke Ast in Frage, während bei ~ L 0
also bei Abstossung der reö&te Ast nur in Betracht käme. Dass im Fell
der Ellipse h negativ ist, kann uns nicht überraschen, da jede perio­
dische Bewegung negative Ehergiekonstan ten bat. Hier jedoch z· ~ eht
auch umgekehrt negative Energiekaustante periodische Bewegung, näm-
lieh Bewegung auf Ellipse, nach sich.
Um lästige Fallunterscheidgungen vo~ Ellipse und Hyperbel nicht
dauernd vornehmen zu müssen, vereinbaren wir, dass bei der Ellipse
die grosse Halbachse a positiv, bei der Hyperbel a negativ gerechnet
werde. Dann wi~ p = a(l - L Z
) für Ellipse und Hyperbel, da im Fall 2.
der Ellipse OL.,/ 0 I -1- ~ > 0 und 1m Fall der Hyperbel q L 0
./( _ e 1. .?- 0 I also beide Male p pos1 ti v ist. Dann kann man die Eher­
glekonstante zu der so gewählten Halbachse in Beziehung bringen. Denn
aus
95
fOl g t
Um das Verhalten von Parabel und Hyperbel im lhendli chen zu unter­
scheiden, betrachten wir di e Geschwindigkeit~ür sehr grosse ~
Der Ausdruck für (-,pI L wird
Dann ist
für di e Hyperbel
wonach die Geschwindigkeit der Parabel im lhendl ichen nach 0 streb t ,
während di e der Hyperbel einem positiven endlichen Gr enzwert, näID-
l ich der doppelten Energi ekonstente, zustrebt.
J.. Der Ausdruck der zeitl i chen Aenderur.g . -
1. Parabel. - -~"" ._.,.
Nach der D".iskuasiOl1 der Babnform wenden wir uns su doro~7.. Aus_
druck für d i e zeitliche Aenderungg-~ ' ..,. i - t:: ~ f:t;;. " ' fc! vv)
'Y,
96
o
.....r.:
2. Ellipse. -
lux die Ellipse führen wir nach dem Vorgang Kepplers eine Hilfs-
variable LL 1 die sogenannte exzentrisohe Anomalie, ein. Ihre Be-