UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

GMA 00122 – MÉTODOS MATEMÁTICOS I

SÉRIES DE FOURIER

ROGÉRIO MELLO RANGEL

NITERÓI

04/10/2010

1

Autor: Rogério Mello Rangel – Escola de Engenharia, Universidade Federal Fluminense – Mat: 105.40.052-8

Filiação: Ronaldo de Paiva Salgado Rangel

Maria Valéria Mello Rangel

E-mail: rogerio.mrangel@gmail.com

Professor: Altair Sousa de Assis, D.sc.

Trabalho: Séries de Fourier

“O seu único inimigo é você mesmo.”

2

1. Resumo

Uma Série de Fourier é capaz de decompor qualquer função ou sinal periódico em

uma soma (possivelmente infinita) de um conjunto de funções oscilantes, no caso,

senos e cosenos (ou ainda, exponenciais complexas). O estudo das Séries de Fourier é

um ramo da Análise de Fourier, idealizadas por Joseph Fourier, afim de resolver a

equação do calor em uma chapa metálica.

A equação do calor é uma equação diferencial parcial (EDP), cuja solução geral não

era conhecida até o desenvolvimento deste método. Eram apenas conhecidas soluções

para casos particulares, como por exemplo, quando a fonte de calor se comportava

como uma função senoidal ou cosenoidal. Essas soluções são conhecidas como

soluções fracas. A idéia por trás do método era modular uma fonte de calor com uma

função complicada através de uma combinação linear de senos e cosenos, e

representar a solução como uma combinação linear das soluções fracas. Essa

combinação é chamada de Série de Fourier.

Apesar da motivação inicial ter sido resolver a equação do calor, logo tornou-se

óbvio que esse mesmo método poderia ser utilizado para resolver vários problemas

matemáticos e físicos.

2. Introdução

O presente material tem por finalidade apresentar, de maneira didática e

compreensiva, através de conteúdo teórico e exemplos, o assunto Séries de Fourier,

com ênfase em Séries Duplas de Fourier, Convergência das séries de Fourier e a

Identidade de Parseval. conforme são entendidos pela ementa da disciplina

GMA00122 - Métodos Matemáticos I, oferecida pelo Departamento de Matemática

Aplicada do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense. Tal ementa

pode ser encontrada no site www.uff.br/gma.

3

a b

c

d

y

x

R

3. Série Dupla de Fourier

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano se:

I) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um número

finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou

em ambos, e

II) Existe lim( x , y )→( x0 , y0)

f (x , y ) quando (x0 , y0 ¿ é um ponto de descontinuidade de f e (

x , y ¿ tende a (x0 , y0) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é dividida

pelos arcos de descontinuidade.

Figura1

¿ f , g>¿∬R

f ( x , y ) g (x , y )dR(01)

¿ f , g>¿∫a

b

∫c

d

f (x , y )g ( x , y )dxdy (02)

4

Extensão:

¿ f , g>¿∭…f (x , y , z ,…)g (x , y , z ,…)dxdy… (03)

Teorema:

Sejam { f i(x)} e {g j( y )} bases ortogonais dos espaços euclidianos cp[a ,b ] e

cp [c ,d ], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos

{ f i (x ) g j( y)} , i=1,2 ,… j=1,2 ,… , é uma base de cp(R), onde R é o retângulo

a≤ x≤b , c≤ y ≤d .

Seja a série dupla de Fourier abaixo:

f ( x , y )=∑i , j

α ijhij ( x , y )(04)

1) Base para cp [ – π ,π ]

f ( x )∈cp [−π ,π ] , x∈ [−π ,π ]

{cos nx , sinmx }n=0,1,2…m=1,2,3…

2) Base para cp [ – π ,π ]

f ( y )∈ cp [−π , π ] , y∈ [−π ,π ]

{cos py ,sin qy } p=0,1,2…q=1,2,3…

Assim,

5

R

-

-

x

y

3) Base para cp (R)

Figura 2

{cos nxcos py ,cos nx sin qy , sinmx cos py ,sinmx sin qy }

3.1 - Cálculo dos Coeficientes de Fourier

f ( x , y )∈cp(R)

f ( x , y )=∑ijα ijhij ( x , y )(05)

α ij=¿ f , hij>¿

∥ hij∥2(06)¿

α ij=1

∥ hij∥2∫

−π

π

∫−π

π

f ( x , y )h ij ( x , y )⏟φi ( x )φ j ( y)

dxdy (07)

Assim,

6

f ( x , y )=∑n=0

∑p=0

αnp cosnx cos py+∑n=0

∑q=1

α nqcos nxsin qy+∑m=1

∑p=0

αmp sinmx cos py+∑m=1

∑q=1

αmq sinmx sin qy (08)

Onde,

∥cos ( ix )cos ( jy ) ∥2={ 4 π2

2 π2

π2 ,i ≠0e j ≠0(09)

Ex.: F ( x , y )=xy

α np=1

∥cosnx cos py∥2∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx cos pydxdy=0(10)

α nq=1

∥cosnx sin qy∥2∫−π

π

∫− π

π

xy cosnx sin qy dxdy=0 (11)

αmp=1

∥sinmx cos py∥2∫−π

π

∫−π

π

xy sinmx cos py dxdy=0 (12)

αmq=1

∥sinmx sin qy ∥2∫− π

π

∫−π

π

xy sinmx sinqydxdy (13)

xy= f ( x , y )=4 [sin x sin y− sin x sin 2 y1×2− sin 2 x sin y

2×1+ sin x sin 3 y

1×3+…]

⇒ f (x , y )=xy=4∑m=1

∞

∑q=1

∞

(−1)m+q sinmx sin qymq

(14)

αmq=∫− π

π

∫−π

π

xsinmxdx ysin qydy

∫−π

π

∫−π

π

sin2mx sin2qydxdy(15)

∫−π

π

∫−π

π

sin 2mx sin2qy dxdy=π2(16)

αmq=1π2∫−π

π

∫−π

π

xsinmxdx ysinqy dy (17)

αmq=1π2

∫−π

π

x sinmxdx∫−π

π

ysin qy dy (18)

7

αmq=4π2∫0

π

x sinmxdx∫0

π

y sin qydy (19)

x sinmxdx=(−1)m+1 πm

(20)

y sin qy dy=(−1)q+1 πq(21)

αmq=4π2 [(−1)m+1 π

m ] [(−1)q+1 πq ]=(−1)m+q 4mq

(22)

De um modo mais geral, o conjunto de funções

sin(mπa x )sin (nπb y ) ,sin(mπa x )cos( qπb y) ,cos( pπa x )sin ( nπb y ),cos ( pπa x)cos( qπb y)é uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo

−a≤ x≤a ,−b≤ y ≤b.

Teorema: Seja R o retângulo −π ≤x ≤π ,−π ≤ y ≤π , e suponhamos que F seja contínua

em R e que ∂F∂ x

, ∂F∂ y

,e ∂2F∂ x ∂ y

existam e sejam limitadas em R. Então, a série dupla de

Fourier de f converge pontualmente para F em R.

4. Convergência das Séries de Fourier

4.1 Convergência em Média

4.2 Desigualdade de Bessel e Igualdade de Parseval

8

Teorema: Seja u1 ,u2 ,..., um conjunto ortonormal de vetores de um espaço euclidiano

de dimensão infinita, e seja u um vetor arbitrário deste espaço. Então,

∑k=1

∞

(u , uk )2≤ ∥u∥2 ,

(Desigualdade de Bessel)

esta expressão é chamada de desigualdade de Bessel. Além disso, u1 ,u2..., é uma base

do espaço em questão ↔

∑k=1

∞

(u1 ,u2)2=∥ u∥2 ,

(Igualdade de Parseval)

que é a igualdade de Parseval.

No caso das séries de Fourier a igualdade de Parseval é dada por:

∥ f ∥2= 1π∫−π

π

( f ( x ))2dx=a02

2+∑

K=1

∞

(ak2¿+bk

2) , ¿

onde ak e bk são os coeficientes de Fourier.

De fato:

f=¿ f ,1>1∥1∥2

+∑k=1

∞

¿¿

Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação (1) por f obtém-se:

¿ f , f >¿∥ f ∥2=¿ f ,1>¿ f ,1> ¿∥1∥2

+¿ f , cos (kx )>¿ f ,cos (kx )

∥cos(kx)∥2+

¿ f , sin (kx )>¿ f ,sin (kx )∥sin(kx)∥2

¿

Tendo em vista que:

∥1∥2=∫−π

π

dx=2π ,

∥ f ∥2=∫−π

π

( f ( x ) )2dx ,

9

∥cos ( kx )∥2=∫−π

π

cos2 (kx )dx=π ,

∥sin (kx ) ∥2=∫−π

π

sin2 (kx )dx=π

Conclui-se que:

¿¿¿

∫−π

π

f ( x ) cos (kx ) dx¿¿=ak

¿¿¿

∫−π

π

f ( x ) sin(kx )dx¿¿=bk

Assim,

1π ∫

−π

π

(f ( x ))2dx=a02

2+∑

k=1

∞

(ak2¿+bk

2) ,¿

como queria demonstrar.

Teorema : Seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp [−π ,π ] (f

tem uma derivada primeira contínua por partes em [−π ,π ]). Então, o desenvolvimento

em série de Fourier de f converge pontualmente em [−π ,π ] e tem o valor f ¿¿ em

cada ponto x0 do interior do intervalo, e f ¿¿ em ±π .

Note que ao escrevermos a série de Fourier de f como:

f ( x )=a02

+∑k=1

∞

(aK cos (kx )+bk sin(kx ))

significa que a série em questão converge em média para f .

10

limN→∞

∥ f −∑k=0

N

¿¿¿

ou seja,

f ( x )= f .1∥1∥2

+∑K=1

∞

¿¿

(média)

Ressaltamos que convergência em média não significa que a série converge

pontualmente no sentido que

f (x0 )=a02

+∑k=1

∞

¿¿

para todo x0em[−π ,π ].

Contudo, o teorema apresentado explicita sob que condição a convergência pontual

ocorre, ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função f ∈ [−π , π ] ,

continuamente diferenciável por partes converge, de fato, para f ¿) quando x0 é um

ponto de continuidade de f (ou seja, converge na reta inteira).

Teorema: Seja f uma função contínua em (−∞,∞), com período 2π , e considere que f

tenha derivada primeira contínua pro partes.

Então, a série de Fourier de f converge uniforme e absolutamente para f em todo

intervalo fechado de x se f for contínua diferenciável por partes em (−∞,∞) com

período 2π. Então, a série de Fourier definida converge uniformemente para f e

qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f.

11

4.4 Derivação e Integração das Séries de Fourier

Teorema: Seja f uma função contínua em (−∞,∞ ), com período 2π, e considere que f

tenha derivada primeira f ' contínua por partes. Então, a série de Fourier de f 'pode ser

obtida derivando a série def termo a termo, e a série derivada converge pontualmente

para f ' ( x ) se f ' ' (x ) existe.

Ou seja,

Se

f ( x )=a02

+∑k=1

∞

(aK cos (kx )+bksin (kx ))

f ' ( x )= ddx

( f ( x ) )= ddx ( a02 +∑

k=1

∞

(aK cos (kx )+bksin ( kx )))

f ' ( x )= ddx ( a02 )+∑

k=1

∞ ddx (aK cos (kx )+bksin (kx ) )

f ' ( x )=∑k=1

∞

k (bK cos ( kx )−aksin (kx ) )

12

f ' ( x )=∑k=1

∞

(k bK cos ( kx )−kaksin (kx ) )

Teorema: Seja f uma função contínua por partes em (−∞,∞) com período 2π, e seja a

série de Fourier de f

f ( x )=a02

+∑k=1

∞

(aK cos (kx )+bksin (kx ))

Então,

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b [ a02 +∑k=1

∞

(aK cos (kx )+bk sin ( kx ) )]dx∫a

b

f ( x )dx=a02

(b−a)⏟

A0 /2

+∑k=1

∞

aK ¿¿¿

Em outras palavras, a integral definida de f , de a até b, pode ser calculada integrando-

se a série de Fourier de f termo a termo.

No caso de integral indefinida fica (teorema da integração):

Seja função arbitrária de cp[−π ,π ] com série de Fourier:

f ( x )=a02

+∑k=1

∞

(aK cos (kx )+bksin (kx ))

Então, a função

∫a

x

f ( t )dt ,−π<x<π

Tem uma série de Fourier que converge pontualmente com relação a todo x do

intervalo [-π ,π ¿, e

∫0

x

f (t )dt=∑k=1

∞ bk

k+∑

k=1

∞ (a¿¿K+(−1)k +1a0)k

sin ( kx )−∑k=1

∞ bk

kcos(kx)¿

13

Pode-se entender que

ddx∑k

¿∑k

ddx

¿⇒∫∑

k¿∑

k∫

4. Agradecimentos

À Vanessa Schmitt, Ana Paula Nogueira, com as quais dividi este trabalho.

5. Referências

S. de Assis, Altair , Notas de Aula, Métodos Matemáticos

Wikipédia, “Séries de Fourier”

TOLSTOV, Geordi P. , Fourier Series

14

Apêndice 1 – Fenômeno de Gibbs

As somas parciais das séries de Fourier tendem a ir além dos valores da função

próximo a um ponto de descontinuidade.

Assim, os valores de f (x) entre duas descontinuidades quaisquer estão no

intervalo (−π /2 , π /2), enquanto que os de SN(x ), a n-ésima soma parcial, percorrem

um intervalo um pouco maior, [−αN , αN ]. O valor de αN quando N→∞ determina

aquele que é conhecido como intervalo de Gibbs de f .

15

SN(x )f (x)

xx ππ−π −π

π2

π2

−π2

−π2

Apêndice 2 – CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER

1. Convergência em Média

Em um espaço de funções com produto interno expresso por um integral a

afirmação segundo a qual

limk→∞

‖f k−f‖=limk→∞ (∫

a

b

[ f k ( x )− f (x ) ])1/ 2

=0

não é o mesmo que dizer que a seqüência { f k } converge para a função f em todo ponto

de [a ,b ] (convergência pontual). Em Análise Matemática, essa convergência via

produto interno é conhecida como convergência de média, para enfatizar que ela é

calculada por integração, que em certo sentido é um processo de média generalizado.

16

Ex: A seqüência de funções {x , x2 , x3 ,…} converge em média para zero em e [−1 ,1 ]

(espaço das funções contínuas no intervalo fechado [−1 ,1 ]).

De fato,

limk→∞

‖xk−0‖=limk→∞ (∫

−1

1

x2k dx)1 /2

=limk→∞ ( 2

2 k+1 )1/2

=0

Entretanto, {x , x2 ,…} não converge para zero em cada ponto.

O exemplo dado mostra que a convergência em média é diferente da pontual.

Definição: Diz-se que uma série infinita ∑k=1

∞

uk de vetores de um espaço euclideano

converge para o vetor u ⟺ a sequência associada das somas parciais converge para u

no sentido que limkn→∞

‖uk−u‖=0.

Se este é o caso, escrevemos

u=∑k=1

∞

uk

e dizemos que u ⟺ para cada número real ε>0 existe um inteiro K tal que

17

‖∑k=1

N

uk−u‖<ε

toda vez que N>K . O real ε pode ser entendido como o “erro”. Na verdade,

‖∑k=1

N

uk−u‖ é a “distância” da soma ao vetor u .

É sabido que todo espaço euclidiano de dimensão finita tem uma base ortonormal

u1 ,u2, u3 ,…,uNe que todo vetor deste espaço pode ser escrito de modo único sob a

forma

u=(u ∙u1 ) u1+…+( u∙ uN ) uN

É possível generalizar este resultado para espaços euclidianos de dimensão infinita.

Assim

u=(u ∙u1 ) u1+…+( u∙ uN ) uN+…

ou

u=∑k=1

∞

(u ∙uk )uk

18

Entretanto, sem informações mais detalhadas, não existe, evidentemente, nenhuma

garantia que esta série convirja para u. É claro que se converge (e isto ocorre em

inúmeras situações), justifica-se escrever ∑k=1

∞

( u∙ uk ) uk , e dizemos que a série converge

em média para u.

Os produtos internos (u ∙ uk ) se denominam de coordenadas ou coeficientes de Fourier

(generalizados) de u em relação a base (ou conjunto ortonormal) u1 ,u2 ,… .

É comum escrever u ∑k=1

∞

(u ∙uk ) uk, onde o símbolo é para ressaltar que a

série em questão pode não convergir para u.

Caso convirja justifica-se usar o símbolo de igualdade.

Teorema: Seja ∑k=1

∞

ak uk qualquer série infinita que converge em média para u, isto é,

u=∑k=1

∞

ak uk.

Então, ak=u ∙uk para cada inteiro k .

É claro que se a série converge em média para u vale escrever

19

limN→∞‖u−∑k=1

N

ak uk‖=0

Onde ∑k=1

N

ak uk é soma parcial SN.

Se o espaço euclidiano em tela for cp [a ,b ] deve-se entender ucomo f (aaa ), ak com AN

, BN e uk como sin (N x ) e cos (N x ) (a=−π ,b=π ), se f periódica de período 2π .

Convergência Uniforme

Teorema M de Weierstrass

Se,

∑k=1

∞

M k

é uma série convergente de números reais positivos e, se

∑k=1

∞

f k (x )

é uma séria de funções tais que |f k ( x )|≤M k para todo k e todo x no intervalo a≤ x≤b,

então

∑k=1

∞

f k (x )

é uniforme e absolutamente convergente em a≤ x≤b.

20

Obs1: Se ∑k

¿ f k ( x )∨¿¿ converge, diz-se que a série converge absolutamente.

Obs2: Diz-se que uma sequência { f k (x )} converge uniformemente para função f (x) no

intervalo a≤ x≤b, se qualquer que seja ε>0 existe um inteiro positivo K , dependendo

de ε , mas não de x, tal que |f k ( x )−f ( x )|<ε quando k ≥ K e x esta no intervalo dado.

Note que se { f k(x )} for a sequência das somas parciais {Sk (x)} a série correspondente

converge uniformemente.

|Sk ( x )−f (x )|<ε quandok>K⇒limk→∞

|Sk ( x )−f ( x )|→0 , ∀ x .

Quando k→∞,

S∞ ( x )=limk→∞

Sk ( x )=∑k=0

∞

ûk (x)

“coincide” exatamente com f ( x ) ,∀ x∈[a ,b ]. A convergência uniforme é “global”.

21

x

Sk (x )

2 ε

a b

f (x)

Obs : A sequência {Sk ( x ) } é construída a partir da sequência {ûk ( x ) }. Para o caso da

série de Fourier

Sk ( x )=∑N=0

k

¿¿

Ou seja,

S0 ( x )=A0

S1 ( x)=A0+A1 cos(x )+B1sin( x)

.

.

.

Sk ( x )=A0+A1cos ( x )+B1sin ( x )+…+Akcos (kx )+¿B ksin (kx )¿

⇒S∞ ( x )=∑

N=0

k

¿¿

(Série de Fourier)

22

Apêndice 3 – Teorema

Seja f contínua por partes em (−∞,∞), com período 2π , e considere que

f ( x )=12¿

Então, a série de Fourier de f converge para f (x0) e cada ponto x0 em que f tem

derivada à direita e à esquerda. Em particular, se f é continuamente diferenciável por

partes, sua série de Fourier converge para f (x) em relação a todo x (Condição de

Direchlet).

23