Equação da onda em coordenadas esféricasPaula Chaves

UFF – Universidade Federal Fluminense

Introdução

A Equação da onda é uma equação de derivadas parciais que descreve a propagação de uma onda.

Onde: u é uma função da posição e do tempo que descreve o comportamento da onda; c é a velocidade da onda;

t é o instante temporal.

u geralmente é dado por:

Onde: A é a amplitude da onda; w = 2πf é a frequência angular;

f é a frequência de oscilação da onda;

t é o instante temporal.

r é a posição.

k é o vetor de onda.

Para o vetor de onda temos as seguintes relações:

Onde λn é o comprimento de onda medido na direção n. Para um sistema de coordenadas cartesiano com três dimensões, n = x ou y ou z.

Palavras-chave: onda, coordenadas esféricas, equação.

Resumo

Este trabalho consiste em desenvolver a equação da onda com todos os seus métodos e peculiaridades. Para isso tivemos que mostrar o método de frobenius, demonstrar os

polinômios de Legendre associados, calcular o laplaciano em coordenadas esféricas e também relatar a equação de Bessel.

1 – Método de Frobenius

Um método importante para obtenção de soluções de equações diferenciais tais como a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma:

onde ck = 0 para k < 0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se supõe diferente de zero.

Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação ß (constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar as constantes ck.

2 – Polinômios de Legendre Associados e Harmônicas Esféricas

Seja a equação da onda:

Esta equação pode ser separada no sistema de coordenadas esféricas, dando origem às quatro equações ordinárias seguintes [Ψ ≡ R.ϴ.Ф].

Ψ ≡ R.Θ.Ф.T

(1)

(2)

(3)

(4)

Como Ф(Ø) tem que ser periódica em Ø (λ1 = -m2) a equação (3) torna-se:

Supondo x = cos(ϴ) ( Y(x) ≡ ϴ(ϴ) ) tem-se:

Esta equação é conhecida como equação de Legendre associada. Torna-se uma equação de autovalor característica para λ2, se exigirmos que a equação seja infinita nos pontos singulares x = ±1 (condições de contorno). Os autovalores serão λ = l(l+1) (após uso do método de Frobenius). Fazendo agora a troca de variável:

(I)

Obtém-se:

(1 – x2) u`` - 2 (m+1) x u` + [ l(l+1) – m(m+1) ]u = 0 (II)

Para m = 0 esta é a equação de Legendre com solução:

u(x) = Pl(x)

Derivando (II) com respeito a x tem-se:

(1 – x2) (u`)`` - 2 [(m+1)+1] x (u`)` + [ l(l+1) – (m+1) (m+2)]u` = 0

Ou seja: Pl(x) é a solução de (II) com m = 0, é a solução de (II) com m = 1 e assim por

diante. Logo, é a solução da equação (II). Assim,

(III)

A função (III) é chamada de Polinômio de Legendre associado e denotado por:

3 – Equação de Bessel

Funções de Bessel de primeira espécie:

Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como:

(6)

ou

(7)

onde Γ(n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo, Γ(n+1) = n!, Γ(1) = 1. Para n = 0, (6) se torna:

J0(x) = 1 – x2 / 22 + x4/2242 - x6/ 224262 +... (8)

A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. A figura dá os gráficos de J 0(x) J1(x) e .

Se n é metade de um inteiro ímpar, Jn(x) pode-se exprimir em senos e cossenos.Pode-se definir uma função J-n(x), n > 0, substituindo-se n por -n em (6) e (7). Se

n é inteiro, então pode-se mostrar que :

Se n não é inteiro, Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução

geral de (1) é:

se n diferente de 0,1,2,3,...

Funções de Bessel de segunda espécie:

Define-se à função de Bessel de segunda espécie de ordem n como:

se n diferente de 0,1,2,3,...

se n igual à 0,1,2,3,...

Quando n = 0,1,2,3,..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):

(12)

onde ɤ = 0,5772156... é a constante de Euler.

Ψ(p) = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/p, Ψ(0)=0 (13)

A figura dá os gráficos de Y0(x), Y1(x), . Note-se que estas funções, bem como todas as funções Yn(x), n > 0, não são limitadas em x = 0.

Se n é a metade de um inteiro ímpar, Yn(x) pode-se expressar-se em termos de funções trigonométricas.

Funções geratriz de Jn(x):

A função:

é a geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. É de grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades que frequentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

Fórmulas de recorrência:

Os resultados abaixo servem para todo n:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz. Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6 respectivamente.

As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, co Yn(x) substituindo Jn(x).

4 – Cálculo do Laplaciano

Em coordenadas esféricas:

Somando, +

Se obtém:

5 – Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas

Usando o método da separação de variáveis:

Dividindo a expressão acima por P TR, temos:

Como esperamos que a solução varie harmonicamente com o tempo, fazemos:

⟶

Como P( é periódica de período 2π,

Fazendo a mudança de variável , temos:

Substituindo em (I):

Sob esta forma esta equação lembra a equação de Legendre. Para explorar esta semelhança, faremos uma segunda mudança de variável.

Substituindo em (II):

Portanto se fizermos esta equação será satisfeita pelos n-ésima

derivada de

Fazendo x = mr e R(r) ⟶ Y(x)

Substituindo na equação (III):

Comparando com a equação de Bessel modificada:

Como l é inteiro e p inteiro, a solução é do tipo:

ConclusãoA equação de onda é uma importante equação diferencial parcial lineal de segunda

ordem que descreve a propagação de uma variedade de ondas, como as ondas sonoras, as ondas de luz e as ondas na água. É importante em vários campos como a acústica, o eletromagnetismo e a dinâmica de fluídos.

Agradecimentos

Agradecemos, primeiramente, ao professor Altair, pela iniciativa de nos propor esse trabalho visando não só nos preparar para a vida profissional, como ajudar ao próximo. Aos nossos colegas de turma, em especial os que compartilharam essa tarefa conosco. Aos nossos pais e familiares, pelo apoio de hoje e sempre.

Referências- Material disponibilizado na xerox (Prof. Altair)

- Eugene Butkov, Fisica Matemática, 1978 editora Guanabara 2 S.A

Equação da onda em coordenadas esféricasClaudia Leal

UFF – Universidade Federal Fluminense

Introdução

A Equação da onda é uma equação de derivadas parciais que descreve a propagação de uma onda.

Onde: u é uma função da posição e do tempo que descreve o comportamento da onda; c é a velocidade da onda;

t é o instante temporal.

u geralmente é dado por:

Onde: A é a amplitude da onda; w = 2πf é a frequência angular;

f é a frequência de oscilação da onda;

t é o instante temporal.

r é a posição.

k é o vetor de onda.

Para o vetor de onda temos as seguintes relações:

Onde λn é o comprimento de onda medido na direção n. Para um sistema de coordenadas cartesiano com três dimensões, n = x ou y ou z.

Palavras-chave: onda, coordenadas esféricas, equação.

Equação da onda em coordenadas esféricasFlávio Carvalho

UFF – Universidade Federal Fluminense

Introdução

A Equação da onda é uma equação de derivadas parciais que descreve a propagação de uma onda.

Onde: u é uma função da posição e do tempo que descreve o comportamento da onda; c é a velocidade da onda;

t é o instante temporal.

u geralmente é dado por:

Onde: A é a amplitude da onda; w = 2πf é a frequência angular;

f é a frequência de oscilação da onda;

t é o instante temporal.

r é a posição.

k é o vetor de onda.

Para o vetor de onda temos as seguintes relações:

Onde λn é o comprimento de onda medido na direção n. Para um sistema de coordenadas cartesiano com três dimensões, n = x ou y ou z.

Palavras-chave: onda, coordenadas esféricas, equação.

Equação da onda em coordenadas esféricasIngrid Schulz

UFF – Universidade Federal Fluminense

Introdução

A Equação da onda é uma equação de derivadas parciais que descreve a propagação de uma onda.

Onde: u é uma função da posição e do tempo que descreve o comportamento da onda; c é a velocidade da onda;

t é o instante temporal.

u geralmente é dado por:

Onde: A é a amplitude da onda; w = 2πf é a frequência angular;

f é a frequência de oscilação da onda;

t é o instante temporal.

r é a posição.

k é o vetor de onda.

Para o vetor de onda temos as seguintes relações:

Onde λn é o comprimento de onda medido na direção n. Para um sistema de coordenadas cartesiano com três dimensões, n = x ou y ou z.

Palavras-chave: onda, coordenadas esféricas, equação.