Séries de Fourier

Danniel Sistons Nunes de Souza

Universidade Federal Fluminense

Email: dannielsistons@yahoo.com.br

O trabalho em questão, aborda de forma clara e sucinta, todo o desenvolvimento e resolução das Séries de Fourier. De acordo com as aulas ministradas pelo Professor Dr. A.S. de Assis, do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense.

INTRODUÇÃO

Na Matemática, o conceito de séries surgiu na tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos. Porém esta generalização trouxe diversas dificuldades, pois nem sempre é possível definir o valor resultante da soma de uma série, geralmente não é possível trocar a ordem dos termos de uma série e algumas séries possuem soma infinita. Então Jean-Baptiste Joseph Fourier, introduziu o conceito de Séries de Fourier, que consiste numa representação de funções periódicas como uma soma de funções.

No estudo proposto foi apresentada a teoria e a forma de resolução das Séries de Fourier, assim como a forma de proceder numa mudança de intervalo das mesmas séries. Afim de apresentar ao aluno, durante seus estudos, uma forma tranquila da análise e resolução de problemas que abordem as Séries de Fourier.

1

1. SÉRIES DE FOURIER

1.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS

Uma função f(x) é dita periódica com um período T, se f( x + T) = f(x) para qualquer x. Do que decorre que f( x + nT ) = f(x) para n inteiro. n = 0, ±1, ±2, ...

Exemplo:

1 – Se f(x) = tan (x), temos que tan (x + π) = tan (x), logo T = π

2 – Achar o período da função f(x) = sen (x)

Se a função for periódica

sen n(x + T) = sen nx

sen n(x) cosnT + sennTcos n(x) = sen n(x)

cos nT = 1 cos nT = cos 2π

sennT = 0 sennT = sen 2π

Logo: T=2 πn

OBS: Se duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = ag(x) + bh(x) é periódica com período T.

1.2 – SÉRIE TRIGONOMÉTRICA

É uma série de funções cujos termos são obtidos mulplicando-se os senos e os cosenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficiente, que não dependem da variável x e são admitidos reais.

12

A0+ A1 cos x+A2 cos2x+…+B1 sin x+B2 sin 2 x+…

ou

12

A0+∑n=1

∞

Ancos nx+Bn sin nx ... (1)

Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for covergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2π, a soma S(x) será uma função periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π).

2

T=2 πn

F(x)

-π π x

As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.

f ( x )=12

A0+∑n=1

∞

( Ancos nx+Bn sin nx)

Esta representação é possível se a f(x)satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.

1.3 – CONDIÇÕES DE DIRICHLET

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função.

1ª) A função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com exceção, talvez, de um númer finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).

Exemplo:

f ( x )={1 para−π<x<00 para 0<x<π e f ( x+2 π )= f (x)

Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x = 0

Contra-exemplo:

f ( x )=¿ no intervalo (0, 2π)

Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3

2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo ( -π, π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.

Exemplo:

3

Podemos considerar 3 sub-intervalos:

no 1º f(x) é crescente;

no 2º f(x) é decrescente;

no 3º f(x) é crescente.

Apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo.

f(x)

x

Contra-exemplo:

f ( x )=sen 1x

,−π<x<π

1.4 – ORTOGONALIDADE – Integrais de EULER

Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2π, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.

INTEGRAIS DE EULER

1 ) ∫−π

π

cosnx dx=0 n = 1, 2, 3, ...

2 ) ∫−π

π

sennxdx=0 n = 0, 1, 2, ...

3 ) ∫−π

π

cos pxcos qx dx=0 (p ≠ q ) inteiros

4 )∫−π

π

cos² pxdx=π p = 1, 2, ...

4

Esta função apresenta um númer infinito de máximos e mínimos na vizinhança de t = 0

5 ) ∫−π

π

sen px sen qxdx=0 ( p ≠ q ) inteiros

6 ) ∫−π

π

sen ² px dx=π p = q ≠ 0

7 ) ∫−π

π

sen px cosqx dx=0 {p=qp ≠ q ou

Demonstrando:

1 ) ∫−π

π

cosnx dx=0 ; n = 1, 2, ...

De fato:∫−π

π

cosnx dx=[ 1n

sennx ] π−π

=1n [sen nπ−sen (−nπ ) ]=0

2 ) ∫−π

π

sennxdx=0 ; n = 0, 1, 2, ...

De fato:∫−π

π

sennx dx=−[ cosnxn ] π

−π=−1

n¿¿

3 ) ∫−π

π

cos pxcos qx dx=0 ; p ≠ q

De fato:cos x ( p+q ) x=cos px cosqx−sen pxsen qx ... (1)

cos ( p−q ) x=cos px cosqx+sen px s enqx ... (2)

Somando membro a membro (1) + (2)

cos px cosqx=12¿

∫−π

π

cos px cpsqx dx=12∫−π

π

¿¿¿¿

4 ) ∫−π

π

cos² px dx=π ; q = p = 1, 2, ...

De fato: cos ² px+sen ² px=1 ... (1)

cos ² px−sen2 px=cos2 px ... (2)

5

Somando (1) + (2)

2 cos ² px=1+cos2 px

∫−π

π

cos ² pxdx=12∫−π

π

( 1+cos2 px ) dx=12∫− π

π

dx+ 12∫−π

π

cos ² pxdx=12

[ 2 π ]+0=π

5 ) ∫−π

π

sen px sen qxdx=0 ; (p ≠ q) inteiros

cos ( p+q ) x=cos pxcos qx−sen px senqx ... (1)

cos ( p−q ) x=cos px cosqx+sen px senqx ... (2)

Subtraindo-se (2) – (1)

sen px sen qx=12

¿

∫−π

π

sen px sen qxdx=12∫−π

π

¿¿¿

6 ) ∫−π

π

sen ² px dx=π ; p = q ≠ 0

∫−π

π

sen ² px dx=∫−π

π 1−cos2 px2

=12∫−π

π

dx−12∫−π

π

cos2 px dx=π

7 ) ∫−π

π

sen px cosqx dx=0 {p=qp ≠ q

sen ( p+q ) x=sen px cosqx+senqx cos px ... (1)

sen ( p−q ) x=sen pxcos qx−sen qxcos px ... (2)

Somando (1) + (2)

sen px cosqx=12¿

∫−π

π

sen px cosqx dx=12∫−π

π

sen ( p+q ) x dx+ 12∫−π

π

sen ( p−q ) x dx=0

1.5 – DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE FOURIER

6

Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar an, bn em termos de f(x) de maneira que no intervalo (-π, π) a série trigonométri[ca (1) seja igual à função f(x), isto é,

f ( x )=12

A0+∑n=1

∞

¿¿

Mas: ∫−π

π

An cosnx dx=0 e∫−π

π

Bn sennx dx=0 então:

∫−π

π

f ( x ) dx=12

A0∫−π

π

dx=12

A0 [ 2π ]=A0 π

Calculando de An :

A0=1π ∫

−π

π

f ( x ) dx

Multiplicando (1) por cos px, sendo p, nº fixo dado e integremos entre os limites –π e π.

∫−π

π

f ( x ) cos pxdx=∫−π

π 12

A0 cos pxdx+∑n=1

∞

∫− π

π

¿¿¿¿¿¿¿

Se n = p

∫−π

π

f ( x ) cosnx dx=An∫−π

π

cos ² nxdx=An π

An= 1

π ∫−π

π

f ( x )cos nx dx

Cálculo de Bn:

Multipliquemos (1) por sen px e integremos entre –π e π.

∫−π

π

f ( x ) senx dx=∫−π

π 12

A0 senpx dx+∑n=1

∞

¿¿¿¿

Se n ≠ p

Mas se n = p

∫−π

π

f ( x ) sennx dx=∫−π

π

Bn sen2 nx dx=Bn π

7

-π π

f(x)

-π π

f(x)

x

Bn=1π ∫

−π

π

f ( x ) senn x dx

Exemplo:

Determinar a série de Fourier da função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer o esboço do gráfico de f(x) e das primeiras três somas parciais.

1.

An=1π ∫

−π

π

f ( x ) cos nx dx

An=1π

¿

An=1π

¿

A0=1π

¿

Bn=1π

¿

Bn=−1nπ

¿

f ( x )=12+ 2

π(sen x+ 1

3sen3 x+…)

As somas parciais são:

S1=12

S2=12+ 2

πsen x

S3=12+ 2

π(sen x+ 1

3sen3 x)

8

-π π -π π

1

1

-π π

1

9

-π π

1

f(x)

x

-2π 2π

)

-π π x x

Vimos que para

f ( x )={ 1 , 0<x<π0 ,−π< x<0

f ( x+2 π )= f (x)

a série que Fourier representa é f ( x )=12+ 2

π(sen x+ 1

3sen3 x+…)

Vamos determinar a série de Fourier para

f 1(x)={ 12

, 0<x<π

−12

,−π<x<0

f 2(x)={ 1 , 0<x<2π0 ,−2 π<x<0

A função f 1(x)é a f (x) deslocada 12 unidade para baixo, logo:

f 1(x)=f ( x )−12= 2

π(sen x+ 1

3sen3x+…)

A função f2(x) é a mesma f(x), exceto por uma alteração na escala do tempo

f 2(x)= f (x)2

=12+ 2

π(sen x

2+ 1

3sen 3 x

2+…)

Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.

EXERCÍCIOS

10

1

f(x)

2 t

Para t = 2,

f(x)π

-π π x

1.6 – Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet

1. f ( t )= t−2t ²−t−2

,0< t<2 π

2. f ( t )=¿

3. f ( x )=21

x−1 , 0<x<2π

4. f ( x )={0 ,−π< x<0x ² , 0<x<π

5. f ( z )=sen 1z−1

,0<z<2 π

1.7 – Desenvolver em séries de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π.

1. f ( x )={−x ,−π<x<0x ,0< x<π

2. f ( x )=x3 ,−π<x<π3. f ( x )=et ,−π<x<π

4. f ( t )={k ,−π<t<0−k , 0<t <π

, ondek é constante

PARA CONFERIR:

1.6.1 – Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.

2 – Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2.

3 – Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x = 1.

4 – Sim, as duas condições são satisfeitas.

5 – Não, pois na vizinhança de z = 1 temos um número infinito de máximos e mínimos.

1.7.1 f ( x )={−x ,−π<x<0x ,0< x<π

A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.

11

A0=1π ∫

−π

π

f ( x ) dx=¿ 1π ∫

−π

0

−x dx+ 1π∫0

π

x dx=−1π

x ²2

¿−π0 + 1

πx ²2

¿0π= π ²

2 π+ π ²

2 π=π ¿

An=1π ∫

−π

π

f ( x ) cosnx dx=¿ 1π ∫

−π

0

−xcos nxdx+ 1π∫0

π

xcosnx dx ¿

Fazendo a integração por partes:

∫u dv=uv−∫v du

u=x∴du=dx

dv=cosnx dx∴ v= sen (nx )n

An=−1π

¿

An=−1π

cos nxn ²

¿− π0 + 1

πcosnx

n ²¿0

π

An=1π

cosnxn ²

¿0π+ 1

πcosnx

n ²¿0

π

An=2

π n2 ¿

An={ 0 paran par−4n ² π

paran ímpar

Bn=1π ∫

−π

π

f ( x ) sennxdx=¿ 1π ∫

−π

0

−x sennx dx+ 1π∫0

π

x sennx dx¿

u=x∴du=dx

dv=sennx dx∴ v=−cos (nx )n

Bn=−1π

¿

An=1π [π cosnπ

n+ sennx

n2 ¿−π0 ]+ 1

π [−π cos nπn

+ sennxn2 ¿0

π]=0

12

Logo f ( x )= π2−4

πcos x− 4

9 πcos3 x−…

1.7.2 – f ( x )=x ³ ,−π<x<π

A0=1π [∫

−π

0

x ³ dx+∫0

π

x ³ dx]= 1π [( x4

4 )¿−π0 +( x4

4 )¿0π]=1

π (0−π 4

4+ π4

4 )=0

An=1π [∫

−π

0

x3 cosnxd x+∫0

π

x3 cosnxdx ]An=

1π [ x3 sennx ¿−π

0 −∫−π

0 3 x2

nsennxdx+ x3

nsennx ¿0

π−∫0

π 3 x2

nsennxdx ]

An=1π [−∫

−π

0 3 x2

nsennxdx−∫

0

π 3 x2

nsennxdx ]

An=1π [−3

n (x2(−cosnxn )¿−π

0 −∫− π

0−2 x

ncosnxdx)−3

n (x ² (−cosnxn )¿0

π−∫0

π−2 x

ncosnxdx)]

An=1π [−6

n2 (∫−π

0

xcosnxdx+∫0

π

xcosnxdx)]An=

1π [−6

n ³ (cosnx¿−π0 +cosnx ¿0

π )]= 1π [−6

n ³ (−cosnx ¿0π +cosnx ¿0

π ) ]=0

Calculando Bn:

Bn=1π [∫

−π

0

x3 sennxdx+∫0

π

x3 sennxdx ]Bn=

1π [−x3 cosnx ¿−π

0 +∫−π

0 3 x2

nco snxdx− x3

nco snx¿0

π+∫0

π 3 x2

nco snxdx ]

Bn=1π [∫

−π

0 3 x2

ncosnxdx+∫

0

π 3x2

ncosnxdx ]

Bn=1π [3

n (x2( sennxn )¿−π

0 −∫−π

02xn

sennxdx)+ 3n (x ²( sennx

n )¿0π−∫

0

π2 xn

sennxdx)]Bn=

1π [−6

n2 (∫−π

0

xsennxdx+∫0

π

xsennxdx)]f ( x )=2[( π ²

1− 6

1³ )senx−( π ²2

− 62³ )sen2 x+( π ²

3− 6

3³ )sen3 x−…]1.7.3 – f ( t )=et ,−π<t<π

13

A f(t) satisfaz as condições de Direchlet.

CÁCULO DOS COEFICIENTES:

A0=1π ∫

−π

π

f ( t ) dt=¿ 1π ∫

−π

π

et dt=1π

et ¿−ππ = 1

π(eπ−e−π)¿

An=1π ∫

−π

π

f ( t )cos nt dt=¿ 1π ∫

−π

π

e t cos nt dt ¿

Sabemos que:

∫u dv=uv−∫v du

u=e t∴du=e t dt

dv=cosnt dt ∴v= sen(nt)n

∫❑

❑

et cos nt dt=e t senntn

−1n∫−e t sennt dt

u=e t∴du=e t dt

dv=sennt dt ∴ v=−cos (nt )n

∫❑

❑

et cos nt dt=e t senntn

−1n[e t¿¿ cosnt

n−∫−e t cosnt

ndt ]¿¿

∫❑

❑

et cos nt dt=1n

e t sennt+ 1n ²

e t cosnt− 1n ²∫e t cosnt dt

∫❑

❑

et cos nt dt+ 1n2∫ et cosnt dt=1

net sennt+ 1

n2 e t cosnt

(1+ 1n2 )∫ e t cosnt dt=1

net sennt + 1

n2 e t cosnt

Multiplicando por n²

(n ²+1 )∫e t cosnt dt=n e t sennt +e t cosnt

∫−π

π

e t cosnt dt=n et sennt+et cos ntn2+1

¿− ππ

14

Mas, sennπ=sen (−nπ )=0

cos nπ=cos ( – nπ )=¿¿

∫−π

π

e t cosnt dt=eπ ¿¿¿¿

An=1π

(−1)n eπ−e−π

n ²+1

De modo análogo calculamos Bn

Bn=1π ∫

−π

π

f (t ) sen nt dt=¿−(−1 )nn ( eπ−e−π )

π (n2+1 )¿

Logo, f ( t )=et= 12π

( eπ−e−π )+∑n=1

∞

¿¿

ou

e t= eπ−e−π

π¿

1.7.4 f ( t )={k ,−π<t<0−k , 0<t <π

A0=1π [∫

−π

0

kdt−∫0

π

kdt ]=1π [kt ¿−π

0 −kt ¿0π ]=0

A0=1π [∫

−π

0

kdt−∫0

π

kdt ]=1π [kt ¿−π

0 −kt ¿0π ]=0

An=1π [∫

−π

0

kcosntdt−∫0

π

kcosntdt ]= 1π [ksennt ¿−π

0 −ksennt ¿0π ]=0

Bn=1π [∫

−π

0

k sennt dt−∫0

π

k sen ntdt ]= 1n π [−kcos nt ¿−π

0 +k cosnt ¿0π ]=0

Bn=1

nπ [kcosnt ¿0π+kcosnt ¿0

π ]=2 K [ (−1 ) ²−1 ]nπ

={ 0 , sen for par−4 K

nπ, se n for ímpar

15

f (t )=−4 Kπ (sen t + 1

3sen3t + 1

5sen5t +…)

1.8 – FUNÇÕES PARES E IMPARES

Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π), diz que:

g(x) é par se g(-x) = g(x)

h(x) é ímpar se h(-x) = -h(x)

x

g(x)

x

h(x)

Observações:

Gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0

Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar

verificamos que:

De fato:

16

Então:

De fato:

Então:

O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x) é ímpar.

17

O produto de uma função par por uma função par é par.

O produto de uma função ímpar por uma função ímpar é par.

CONCLUSÃO: Se f(x) é uma função par, f(x)sen(nx) é ímpar e

Se f(x) é uma função ímpar, f(x)cos(nx) é ímpar e

TEOREMA I

A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de

Fourier em cossenos.

18

Com coeficientes:

A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possuí período 2π é uma série de

Fourier em senos.

Com coeficientes:

Consideremos f(x) par.

Mas como f é par f(-x) = f(x)

Por outro lado,

19

Como f(x) e cos(nx) são funções pares, temos:

Consideremos f(x) ímpar

Como f é ímpar, f(-x) = -f(x)

Por outro lado,

Como f(x) e sen(nx) são funções ímpares,

20

Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é

conveniente integrar de – π a π ao invés de 0 a 2π.

Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o eixo

horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para

formas de onda simétricas.

EXEMPLOS:

1. Determinar a Série de Fourier da função:

xf(x)

Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (-π, π).

Cálculo dos Coeficientes.

21

Como f(x) é par; bn=0

Integral que foi calculada anteriormente.

2. Determine a Série de Fourier para f(t).

t

f(t)

Embora pudéssemos determinar a Série de f(t) diretamente vamos relocalizar os eixos a fim

de usar as relações de simetria, pois a f(t) não é nem par nem ímpar.

1o CASO: A subtração de uma constante de produz uma função ímpar de f1(t).

t

f1(t)

22

Logo

Portanto:

2o CASO: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par f2(t).

t

f1(t)

Logo

23

Portanto

Como,

Podemos reescrever f(t)

Como no resultado anterior.

1.9 – Funções com Período Arbitrário

Até agora consideramos funções periódicas de período 2π. Por uma simples

mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T

qualquer.

24

Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. Seja f(t)

definida no intervalo .

Somando membro a membro I e II

Substituindo em I

Então

Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde , logo a é definida no

intervalo .

Assim,

Onde

25

Para simplificar os cálculos façamos

Onde

,

O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T,

por exemplo, 0 < t < T.

O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.

EXEMPLO:

Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T = 4

26

t

f(t)

Temos que

Como f(t) é par,

27

1.10 – Séries em Senos e Séries em Cossenos

Desenvolvimento de meio período.

Seja f(t) de período T = 2L

Se f(t) for par a Série de Fourier fica:

Com coeficientes:

Se f(t) for ímpar:

Com coeficientes:

28

x

y

L

x

y

L -L

f(t) prolongada como função par

29

x

y

-L L

Prolongamento periódico ímpar

OBS: Constatamos que II e IV empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0,L).

Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries I e III. Se a

função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0,L).

Fora deste intervalo, a série I representará o prolongamento periódico par da f(t), tendo período 2L;

e a III o prolongamento periódico ímpar da f(t).

EXEMPLO: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo

(0,L) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.

30

t

f(t)

L L/2

t

f(t)

L L/2 -L/2 -L

Logo,

31

EXERCÍCIOS

1.11 – Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares.

1. f(x) = sen(x) + cos(x)

2. f(x) = x2 cos(nx)

3. f(x) = x|x|

4. f(x) = ex

5. f(x) = x3sen(x)

Resolução:

1. f(x) = sen(x) + cos(x)

f(-x) = sen(-x) + cos(-x)

f(x) = -sen(x) + cos(x)

Logo a função nem par nem ímpar.

2. f(x) = x2 cos(nx)

f(-x) = (-x) 2cos(-nx)

f(-x) = f(x)

Logo a função é par

3. f(x) = x|x|

f(-x) = -x|-x|

f(x) = -x|x|

f(x) = -f(x)

Logo a função é ímpar

4. f(x) = ex

f(-x) =

32

Logo a função é nem par nem ímpar

5. f(x) = x3sen(x)

f(-x) = (-x) 3sen(-x)

f(-x) = -x3(-sem(nx))

f(-x) = x3sen(x)

f(-x) = f(x)

Logo a função é par

1.12 – Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período 2π.

1. f (x) x2 , e obter o seguinte resultado devido a Euler:

RESOLUÇÃO:

Como f(x) é par, bn=0

x

y

33

Fazendo x = π, temos:

2. f(x) = -1, , f(x) = 1 ; f(0) = 0 e mostrar que

RESOLUÇÃO:

Como f(x) é ímpar logo temos

34

x

f(x)

Fazendo (ver gráfico)

3. f(t) = sen2(t),

35

t

f(t)

RESOLUÇÃO:

Como f(t) é par,

Portanto,

4. , e mostrar que

36

t

f(t)

RESOLUÇÃO:

Como f(t) é uma função par logo .

Fazendo t = 0 temos: f(t) = 0

1.13 – Determine a Série de Fourier das funções periódicas de período T:

1. f(t) = 1 (-1< t < 0), f(t) = -1 (0 < t < 1), f(0) = 0, T = 2

37

RESOLUÇÃO:

t

f(t)

Como f(t) é ímpar temos:

Logo,

38

2. f(t) = 1 (-1 < t < 1), f(t) = 0 (1 < t < 3), T = 4

RESOLUÇÃO:

t

f(t)

39

3. f(x) = x ( ), T = 2

RESOLUÇÃO:

x

y

40

4. f(x) = (0 < x < 1), f(x) = 1-x (1 < x < 2), T = 2

RESOLUÇÃO:

x

y

41

1.14 – Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. 2. e por meio da

Série de Fourier em senos as funções 3. e 4.; fazer o prolongamento periódico correspondente:

42

1. f(x) = 1 (1 < x < 2), f(x) = x-2 (2 < x < 4)

x

f(x)

Prolongamento periódico par

Cálculo da Integral:

43

2. f(x) = t3

RESOLUÇÃO:

44

x

f(x)

Logo,

45

3. f(x) = cos(x) (0 < x < π)

RESOLUÇÃO:

x

f(x)

46

` 4. f(t) = et

RESOLUÇÃO:

47

x

f(x)

48

2 – Séries de Fourier: Mudança de Intervalo

Até aqui, tratamos exclusivamente de funções nos intervalos e . Para muitas

finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos generalizar nossos

resultados para um intervalo arbitrário . Mas, ao invés de começar imediatamente com o mais

geral, será mais simples considerarmos primeiro os intervalos da forma e seus espaços

euclidianos associados CP . Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza.

Com efeito, é óbvio que as funções

são mutuamente ortogonais em CP (Exercício 1, abaixo).* Além disso, justamente como

no caso em que , pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço, e, por

conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se

ainda Séries de Fourier) convergem em média. E, finalmente levando-se na devida consideração o

comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual são

válidas neste contexto.

* Realmente, todo o problema consiste em fazer uma mudança de coordenadas no eixo dos x, substituindo-se πx/p por x nas funções empregadas anteriormente.

Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de CP ,

notemos que:

Então, pela Fórmula (8-22)

49

Para todo k. E, com isto, encerramos.

A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano CP

. Com efeito, se fizermos, , de modo que , as funções (2.1)

formarão uma base para CP . Isto nos leva imediatamente às seguintes fórmulas para o

cálculo do desenvolvimento em Série de Fourier de uma função f em CP :

em que

Exemplo 1. Determine a Série de Fourier em CP da função .

Aqui, , e (2.5) torna-se

A integração por partes dá, então,

50

Portanto,

O gráfico desta série é dado na Fig. 2.1

x

f(x)

Fig. 2.1

x

f(x)

x

f(x)

Fig 2.2 Fig. 2.2

Exemplo 2. Determine a Série de Fourier da função f mostrada na Fig. 2.2

Neste caso,

e as Fórmulas (2.5) dão

51

Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser

simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.

Designemos por F a extensão periódica de f a todo eixo x (Fig. 2.3). Então, as funções

e são periódicas com período 2, e temos

para qualquer número real a. [Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio d g ser contínua por partes

em com período 2p. Então,

para qualquer par de números reais (a, b).] Fazemos agora a = -1 em (2.6), para obter

Mas, no intervalo [-1, 1], F coincide com a função par |x|. Donde para todo k, e

.

Portanto,

52

3 – SÉRIE DUPLA DE FOURIER

Diz-se que uma função é continua por partes num retângulo R do plano se:

(i) f é contínua no interior e na borda de R, com a possível exceção de um número

finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, e

(ii) Existe quando é um ponto de descontinuidade de f e

tende a pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é

dividida pelos arcos de descontinuidade.

53

Teorema: Sejam e bases ortogonais dos espaços euclidianos CP e CP

, respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos , i = 1, 2, 3, ... e j =

1, 2, 3, ... é uma base de CP[R], onde R é o retângulo

Seja a Série de Fourier abaixo

1. Base para CP[-π, π]

2. Base para CP[-π, π]

Assim,

3. Base para CP[R]

54

3.1 – CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER

f ( x , y )∈cp ( R )

f ( x , y )=∑i , j

α i , jh i, j ( x , y )

α i , j=¿ f , hi , j>¿

‖hi , j‖²¿

α i , j=1

‖hi , j‖²∫−π

π

∫−π

π

f ( x , y ) hi , j ( x , y )dxdy

hi , j(x , y)=φi(x)φ j( y )

Assim,

f ( x , y )=∑n=0

∑p=0

αn , p cosnxcospy+∑n=0

∑q=1

α n ,q cos nxsenqy+∑m=1

∑p=0

α m, p senmx cospy+∑m=1

∑q=1

αm, q senmx senqy

,

Onde:

‖cos (ix ) cos ( jy)‖²={ 4 π ²2 π ²

π ² , i≠ 0e j≠ 0

55

EX:

F ( x , y )=xy

α n , p=1

‖cosnx cospy❑‖²∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx cospy dxdy

α n ,q=1

‖cosnx senqy‖² ∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx senqy dxdy

α m, p=1

‖senmx cospy‖² ∫−π

π

∫−π

π

xy senmx cospy dxdy

α m, q=1

‖senmx s enqy‖²∫−π

π

∫−π

π

xy senmx senqy dxdy

xy= f ( x , y )=4 [senx seny− senx sen 2 y1∗2

− sen2 x seny2∗1

+ senx sen3 y1∗3

+… ]f ( x , y )=xy=4∑

m=1

∞

∑q=1

∞

(−1)m+q senmx senqym∗q

α m, q=∫−π

π

∫−π

π

xy senmx senqy dx dy

∫−π

π

∫−π

π

xy se n2 mx se n2 qydx dy

α m, q=1

π ² ∫−π

π

∫−π

π

x senmx dx y senqy dy

α m, q=1

π ² ∫−π

π

x senmxdx∫−π

π

y senqy dy

α m, q=4

π ²∫0π

x senmx dx∫0

π

y senqy dy

∫0

π

x senmx dx=¿¿

∫0

π

y senqy dy=¿¿

56

α m, q=4

π ² [(−1)m+1 πm ] [(−1)q+1 π

q ]=(−1)m+q 4mq

De um modo mais geral, o conjunto de funções:

sen(mπa

x) sen( nπb

y ) , sen (mπa

x )cos( qπb

y) , cos( pπa

x )sen( nπb

y) ,cos( pπa

x )cos ( qπb

y)é uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo: -a ≤ x ≤ a, -b

≤ y ≤ b.

Teorema: Seja R o retângulo –π ≤ x ≤ π, -π ≤ y ≤ π, e suponhamos que F seja contínua em R, e que

∂ F∂ x

, ∂ F∂ y

e ∂ ² F∂ x ∂ y

existam e sejam limitadas em R. Então, a série dupla de Fourier de F converge pontualmente para F em R.

4. FORMA COMPLEXA DAS SÉRIES DE FOURIER

f ( x )=A0

2+∑

n=1

∞

¿¿

cos ( nπL x)=1

2 (ei (nπ

L )x+e

−i ( nπL ) x

)

sen(nπL

x )= 12i

(e i( nπL ) x

−e−i (nπ

L ) x)

f ( x )=A0

2+∑

n=1

∞ 12¿¿

f ( x )=A0

2 +∑n=1

∞ 12 ( An−i Bn ) e

+¿+∑n=1

∞ 12 ( A n+i B n) e−¿ ¿

¿

f ( x )=A0

2 +∑n=1

∞

Cn ei (nπ

L )x+∑

n=1

∞

C n e−i( nπ

L ) x

f ( x )=A0

2+∑

n=1

∞

Cn ei ()x+ ∑n=−1

−∞

C−n e−i ()x

57

C-n = Cn

f ( x )= ∑n=−∞

∞

Cn ei (nπ

L ) x

Cn=1

2L ∫−L

L

f ( x)e−i( nπ

L ) xdx

⟨ f , g ⟩=∫a

b

f ( x ) g ( x ) dx

⟨e i nπL

x, e

−i nπL

x ⟩= 12 L∫

−L

L

ei ()e−i ()dx={0 , n≠ 11 , n=1

CONCLUSÃO

A Série de Fourier é uma ferramenta poderosa na forma de análise de funções períodicas, de período A, onde A é um valor arbitrário. Tendo a Série de Fourier diversas aplicações, como na determinação de tensão em um capacitor em regime estacionário, Equações da Onda, do Calor, em Série Telescópica, etc.

Portanto ao término desse estudo o aluno estará apto a resolução de problemas que incluam a utilização de Séries de Fourier em diversas áreas de atuação. Assim como a resolução de problemas a partir da paridade de uma função.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer ao Professor Dr. A. S. de Assis, da Universidade Federal Fluminense, pela disponibilização do material utilizado no trabalho. Aos parentes, amigos e colegas pela paciência durante o desenvolvimento desse estudo. Este trabalho teve apoio do professor A.S de Assis.

REFERÊNCIA

A. S. de Assis, Séries de Fourier, 2010

58