Sociedade Brasileira de Matemática

Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional

MA11 � Números e Funções Reais

Unidade 9 � Funções A�ns

Exercícios

Exercícios Recomendados

1. Quando dobra o percurso em uma corrida de táxi, o custo da nova corrida

é igual ao dobro, maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida

original?

2. A escala N de temperaturas foi feita com base nas temperaturas máxima

e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a

seguinte:

◦N ◦C

0 18

100 43

Em que temperatura ferve a água na escala N ?

3. Mostre que uma função a�m f : R → R �ca inteiramente determinada

quando conhecemos f(x1) e f(x2) para x1 6= x2.

4. Prove que toda reta não vertical r é o grá�co de uma função a�m.

5. Um garoto brinca de arrumar palitos fazendo uma sequência de quadrados

como na �gura. Se ele fez n quadrados, quantos palitos utilizou?

1

6. As grandezas X e Y são inversamente proporcionais. Se X sofre um

acréscimo de 25% qual o decréscimo percentual sofrido por Y ?

7. Mostre que os termos a1, a2, . . . , an de uma progressão aritmética são os

valores f(1), f(2), . . . , f(n) de uma função a�m.

(a) Mostre que cada ai é igual à área de um trapézio delimitado pelo

grá�co de f , pelo eixo OX e pelas retas verticais de equações

x = i− 12e x = i+ 1

2.

(b) Mostre que a soma S = a1+a2+ · · ·+an é igual à área do trapézio

delimitado pelo grá�co de f , pelo eixo OX e pelas retas verticais

x = 12e x = n+ 1

2.

(c) Conclua que S =a1 + an

2n.

8. Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante

subindo alguns degraus da escada no percurso. Para uma certa escada,

observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5

degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. Quantos são os degraus

da escada e qual o tempo normalmente gasto no percurso?

9. Augusto, certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade

do que possuía e pagou, na saída, R$ 2,00 de estacionamento. Se após

toda essa atividade ainda �cou com R$ 20,00, que quantia ele tinha

inicialmente?

10. Seguindo as ideias de E.W., construa uma régua para medir números de

sapatos.

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11. Estuda-se a implantação da chamada �fórmula 95�. Por essa fórmula os

trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma da idade com

o número de anos de serviço atingisse 95. Adotada essa fórmula, quem

começasse a trabalhar com 25 anos, com que idade se aposentaria?

12. Em uma escola há duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda

com peso 3. Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, fará prova

�nal. Sua média �nal será então a média entre a nota da prova �nal, com

peso 2 e a média das provas mensais, com peso 3. João obteve 4 e 6 nas

provas mensais. Se a média �nal para aprovação é 5, quanto ele precisa

obter na prova �nal para ser aprovado?

13. Arnaldo dá a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e dá a Carlos

tantos reais quanto Carlos possui. Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e

a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o

mesmo. Terminam todos com R$ 16,00 cada. Quanto cada um possuía

no início?

Exercícios Suplementares

1. Uma caixa d'água de 1000 litros tem um furo no fundo por onde escoa

água a uma vazão constante. Ao meio dia de certo dia ela foi cheia e, às

6 da tarde desse dia, só tinha 850 litros. Quando �cará pela metade?

2. Admita que 3 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro

de 36 metros em 5 dias.

(a) Quantos dias são necessários para que uma equipe de 5 operários,

trabalhando 6 horas por dia, construa um muro de 15 metros?

(b) Que hipóteses foram implicitamente utilizadas na solução do item

anterior?

(c) Dentro dessas mesmas hipóteses, exprima o número D de dias ne-

cessários à construção de um muro em função do número N de

operários, do comprimento C do muro e do número H de horas

trabalhadas por dia.

3

3. Dado o grá�co da função f , abaixo, obtenha, em cada caso, o grá�co da

função g tal que:

(a) g(x) = f(x)− 1;

(b) g(x) = f(x− 1);

(c) g(x) = f(−x);

(d) g(x) = 2f(x);

(e) g(x) = f(2x);

(f) g(x) = |f(x)|;

(g) g(x) = f(|x|);

(h) g(x) = max{f(x); 0}.

4. Determine os valores reais de x que satisfazem a

(a) 2x+ 3− (x− 1) < x+ 1;

(b) 2x+ 3− (x− 1) < x+ 5;

(c) min{x+ 1; 5− x} > 2x− 3;

(d) min{x+ 1; 5− x} < 2x;

(e) min{2x− 1; 6− x} = x;

(f) 2|x+ 1| − |1− x| 6 x+ 2;

(g) (2x+ 3)(1− x) = (2x+ 3)(x− 2);

(h) |x+ 1− |x− 1|| 6 2x− 1.

5. Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de salsichas: um

desconto de 10% é dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que

o preço do quilo de salsicha é de R$ 4,00, pede-se:

(a) o grá�co do total pago em função da quantidade comprada;

(b) o grá�co do preço médio por quilo em função da quantidade com-

prada;

4

(c) a determinação de quais consumidores poderiam ter comprado mais

salsicha pagando o mesmo preço;

(d) a determinação de quantos quilos foram comprados por um consu-

midor que pagou R$ 15,00.

6. Dadas as progressões aritméticas

(a1, a2, . . . , an, . . .) e (b1, b2, . . . , bn, . . .),

mostre que existe uma, e somente uma, função a�m f : R → R tal que

f(a1) = b1, f(a2) = b2, . . . , f(an) = bn, . . .

7. De�na uma função f : R → R pondo f(x) = 2x se x é racional e

f(x) = 3x se x é irracional. Mostre que se tem f(nx) = nf(x) para

todo n ∈ Z e todo x ∈ R mas f não é linear.

8. Prove que a função f : R → R, de�nida por f(x) = 7x + sen(2πx), é

crescente e, para todo x ∈ R �xado, transforma a progressão aritmética

x, x+1, x+2, . . . numa progressão aritmética. Entretanto, f não é a�m.

Por que isto não contradiz o fato provado no �nal da seção 5.4?

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