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Funes Trigonomtricas

Continuao

Sumrio

20.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

20.2 As Frmulas de Adio . . . . . . . . . . . . . . . . 2

20.3 A Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos . . . . . . . . 8

20.4 Exerccios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 13

Unidade 20

Introduo

20.1 Introduo

Nesta Unidade, nalizamos o nosso estudo das funes trigonomtricas. Na

Seo 2, estabelecemos as conhecidas frmulas para seno e cosseno da soma

de dois arcos. Uma aplicao importante dessas frmulas a frmula para a

transformao de rotao no plano.

Outra aplicao apresentada a parametrizao racional do crculo unitrio,

para a qual fornecida uma interpretao geomtrica.

Na Seo 3, estabelecemos a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos, as quais

correspondem a relaes envolvendo lados e ngulos de um tringulo qualquer.

A Lei dos Cossenos pode ser considerada como uma generalizao do Teorema

de Pitgoras para tringulos no necessariamente retngulos. A Lei dos Senos

estabelece uma proporcionalidade entre os lados de um tringulo e os senos de

seus ngulos opostos. Essas leis nos permitem determinar todos os elementos

(lados e ngulos de um tringulo) em situaes em que so conhecidos alguns

destes.

20.2 As Frmulas de Adio

As frmulas clssicas que exprimem cos(+) e sen (+) em termos de

cos, cos , sen e sen podem ser demonstradas de vrios modos. Daremos

aqui a prova que nos parece a mais direta. Outras duas provas sero propostas

nos Exerccios 3 e 4.

Figura 20.1: Adio de arcos

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Unidade 20

Funes Trigonomtricas Continuao

Na gura, onde CB OB, temos OA = cos( + ), OB = cos ,BC = sen , AB = AB = sen sen e OB = cos cos .Logo

OA = OB AB = cos cos sen sen .Noutras palavras,

cos( + ) = cos cos sen sen .

Tomando em vez de na frmula acima, como cos() = cos esen () = sen , obtemos

cos( ) = cos cos + sen sen .

Alm disso, como

sen (pi

2+ t) = cos t e cos(

pi

2+ t) = sen t,

a frmula de cos( + ) nos d tambm

sen ( + ) = cos(pi2+ +

)= cos

(pi2+

)cos + sen

(pi2+

)sen ,

ou seja,

sen ( + ) = sen cos + sen cos.Da resulta imediatamente que

sen ( ) = sen cos sen cos.

As frmulas para o seno e o cosseno do arco duplo so consequncias diretas:

cos 2 = cos2 sen 2 e sen 2 = 2 sen cos.

Como aplicao das frmulas de adio, mostraremos como determinar as

coordenadas do ponto A = (x, y), obtido do ponto A = (x, y) por meio da

rotao de ngulo em torno da origem de R2.Chamemos de o ngulo do eixo OX com o segmento OA e escrevamos

r = OA. Ento r = OA e se tem

x = r cos, y = r sen, x = r cos( + ), y = r sen ( + ).

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Unidade 20

As Frmulas de Adio

Figura 20.2: Rotao de um ngulo

As frmulas de adio fornecem

x = r cos cos r sen sen = x cos y sen ,y = r cos sen + r sen cos = x sen + y cos .

Portanto a rotao de ngulo em torno da origem a funo T : R2 R2denida por

T (x, y) = (x cos y sen , x sen + y cos ).

Outra aplicao interessante das frmulas de adio consiste em mostrar

que cos e sen se exprimem como funes racionais de tg 2, fato que est

intimamente ligado com a parametrizao racional da circunferncia unitria C,

conforme veremos agora.

um fato bastante conhecido, e muito fcil de constatar, que para todo

nmero real x vale a igualdade(1 x21 + x2

)2+( 2x1 + x2

)2= 1.

Isto signica que, para todo x R, os nmeros dentro dos parnteses acimaso respectivamente a abscissa e a ordenada de um ponto da circunferncia

unitria C, isto , so o cosseno e o seno de um ngulo . Alm disso, todo

nmero real x a tangente de um (nico) ngulo (pi2, pi2). Logo a igualdade

acima signica que, para cada um desses valores de , existe um tal que

1 tg21 + tg2

= cos e2 tg

1 + tg2= sen .

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Unidade 20

Funes Trigonomtricas Continuao

fcil mostrar que = 2 usando as frmulas de cos 2 e sen 2. Basta

substituir tg por sen/ cos no primeiro membro destas igualdades e fazer

as simplicaes bvias para ver que

1 tg21 + tg2

= cos 2 e2tg

1 + tg2= sen 2.

Equivalentemente,

cos =1 tg2

2

1 + tg2 2

e sen =2tg

2

1 + tg2 2

.

Figura 20.3: Parametrizao racional do crculo

Dado o ponto arbitrrio B = (cos, sen) da circunferncia unitria, como

o ngulo inscrito APB a metade do ngulo central = AOB que subtende o

mesmo arco

_

AB, vemos que tg 2 a inclinao da reta PB, onde P = (1, 0).Mantendo o ponto P xo e fazendo

2variar em (pi/2,+pi/2), cada semirretade inclinao igual a tg

pi2corta a circunferncia unitria num nico ponto

B = (cos, sen). Todos os pontos da circunferncia podem ser obtidos

assim, menos o prprio ponto P .

A correspondncia

x 7(1 x21 + x2

,2x

1 + x2

) uma parametrizao racional de C. Para todo x Q, o ponto que lhecorresponde tem ambas as coordenadas racionais.

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Unidade 20

As Frmulas de Adio

Exerccios Recomendados

1. Use as frmulas de seno e cosseno da soma para determinar os senos e

cossenos dos seguintes ngulos (medidos em radianos):

pi

8,

pi

12,

3 pi

8e

5pi

12.

2. Obtenha frmulas para tg( + ) e para sec( + ), em funo de tg

e tg .

3. Nesta Unidade, foi apresentada uma demonstrao para as frmulas de

cosseno e seno da soma de dois arcos. Nessa demonstrao, so dados

os ngulos e os pontos A so B determinados por construo:

primeiro, determinamos B como o (nico) ponto tal que CB OB;em seguida, determinamos A como o ponto tal que ABC um tringulo

retngulo em A. Diretamente das denies de cosseno e seno, segue

que: OA = cos( + ); OB = cos ; BC = sen . Neste exerccio,

propomos que voc complete os detalhes dos demais passos que levam

prova das duas frmulas.

(a) Justique por que podemos armar que C = .

(b) Qual a razo entre as medidas de AB e BC? Justique sua

resposta.

(c) Conclua que AB = sen sen .(d) Qual a razo entre as medidas de AC e BC? Justique sua

resposta.

(e) Use o item anterior e a semelhana dos tringulos ABC e OBB

para concluir que OB = cos cos .

4. Considere dois ngulos e , 0 < , b, e o ngulo A.

Este o pouco conhecido quarto caso de congruncia de tringulos, segundo

o qual dois tringulos so congruentes quando tm dois lados iguais e um ngulo

igual oposto ao maior desses dois lados. Note-se que A > B, logo o ngulo B

agudo.

Aqui se usa novamente a lei dos senos. A partir da proporo

a

sen A=

b

sen Bobtm-se sen B =

b

asen A.

Como b < a, vemos que basen A um nmero positivo menor do que 1, logo

existe um nico ngulo B, menor do que dois retos, cujo seno igual a basen A.

Em seguida, determina-se o ngulo C pela igualdade A + B + C = 2 retos.

Agora, conhecendo a, b e C, recai-se no caso 2.

Observao 3Do ponto de vista em que nos colocamos, o tringulo ABC dado,

tratando-se apenas de calcular 3 dos seus elementos quando so dados ou-

tros 3. Por isso no cabia acima indagar se A+ B < 2 retos, antes de calcular

C. Entretanto, verdade que, dados a > b e A < 2 retos, existe um tringulo

ABC tal que BC = a, AC = b e A o ngulo dado. Para ver isto, tome um

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Unidade 20 A Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos

segmento AC de comprimento b e uma semirreta AX tal que o ngulo CAX

seja igual ao ngulo A dado. Com centro no ponto C, trace uma circunferncia

de raio a. Como b < a, o ponto A pertence ao interior dessa circunferncia,

logo a semirreta AX corta a circunferncia num nico ponto B, que o terceiro

vrtice do tringulo procurado.

A gura abaixo ilustra esta ltima situao.

Figura 20.6: Quarto caso de congruncia de tringulos

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Unidade 20

Funes Trigonomtricas Continuao

20.4 Exerccios Recomendados

1. No problema proposto no texto, so apresentadas algumas situaes em

que o fato de serem conhecidos alguns elementos de um tringulo dado

permite-nos determinar todos os demais por meio da aplicao da Lei

dos Cossenos ou da Lei dos Senos. Voc observa alguma analogia entre

essas situaes e os assim chamados casos de congruncia de tringu-

los? Essa analogia no casual. Cada um dos casos de congruncia de

tringulos estabelece um conjunto de condies mnimas sucientes para

um tringulo que determinado, isto , condies que garantam que no

possa existir outro tringulo satisfazendo essas mesmas condies que

no seja congruente ao tringulo dado. De forma anloga, em cada uma

das situaes do problema do texto so dadas condies sucientes para

o que o tringulo dado que (unicamente) determinado.

Na mesma linha desse problema, considere um tringulo ABC, com lados

a, b e c e vrtices respectivamente opostos A, B e C.

(a) Se so dados o lado a e o ngulo A, voc espera ser capaz de

determinar os demais elementos do tringulo por meio da Lei dos

Cossenos e/ou da Lei dos Senos? Justique sua resposta.

(b) Se so dados os lados a, b e c (satisfazendo as condies de existn-

cia de tringulos) e o ngulo A (com uma medida qualquer), voc

espera ser capaz de determinar os demais elementos do tringulo

por meio da Lei dos Cossenos e/ou da Lei dos Senos? Justique sua

resposta.

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